tuyen cac bai tap hhkg

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Bài tập hình khơng gian</b>
<b>I/ Hình chóp đều</b>

<b>1. Cho hình chóp tam giác đều SABC có đờng cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2</b> 6.Điểm M,N là
trung điểm của cạnh AC,AB tơng ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN
<b>2. Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. cạnh bên SA = a</b> 5. Một mặt phẳng (P)
đi qua A, B và vng góc với (SCD), (P) lần lợt cắt SC,SD tại C1 v Dà 1.

a) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABC1D1 b) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn ABCDD1C1

<b>3. </b>Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB =60o.Tính thể tích hình

chóp SABCD theo a

<b>4. </b>Cho tam giác đều ABC cạnh a.Trên đường thẳng d vng góc với mf(ABC) tại Alấy điểm M.Gọi H là

trực tâm của tam giấcBC,K là trực tâm của tam giác BCM
a) CMR MC (BHK) ; HK (BMC)

b)Khi M thay đổi trên d,tìm GTLN của thẻ tích tứ diện KABC

<b>5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AD, AB, SC. </b>
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP).

b) So sánh thể tích của hai khối đa diện do mặt phẳng (MNP) chia ra trên hình chóp.

<b>6. Cho hỡnh chúp tứ giác đều có chiều cao h và cạnh đáy a. Tính thể tích của khối lập ph ơng có một mặt nằm</b>
trên đáy của hình chóp và 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh bên của hìmh chóp đó.

<b>7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Qua A, B và trung điểm của SC dựng một mặt phẳng. Tinh tỉ số thể</b>
tích hai phần của khối chóp do mặt phẳng này chia ra.

<b>8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. </b>
a) Tính đờng cao và thể tích khối chóp theo a.

b) Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của AB, AD, SC. Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD lần lợt tại Q, R.
So sánh các đoạn thẳng QB, RD với SB.

c) Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

<b>9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng </b>



(0o_<



< 90o_{). Tính tg của các góc giữa hai mp(SAB) và (ABCD) theo}



_{. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo}



_.
<b>10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lợt là trung điểm các</b>
cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mp(AMN) vng góc với mp(SBC).

<b>11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a, chiều cao SO = </b>

2
6

<i>a</i> _{. Mp(}

_

_{) qua A vu«ng gãcvíi SC}
cắt SB, SC, SD lần lợt tại B, C, D. tính thể tích hình chóp S.ABCD và diện tích tứ gi¸c AB’C’D’.

<b>12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh a, SA = SB = SD = a. Tính diện tích</b>
tồn phần và thể tích của hình chóp.

<b>13. Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh a = </b>₆ ₂cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung của
hai đờng thẳng AD và BC.

<b>14. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều.</b>
a. Tìm tâmvà bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

b. Qua A dựng mp(



) vng góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mp(



) và hình chóp .
<b>15. Cho hình chóp đều S.ABC , đáy ABC cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc </b> (0o_< _{< 90}o_{). Tính}
thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC).

<b>16. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.</b>
a. Tính thể tích hình chóp S.ABCD.

b. Tính khoảng cách từ tâm mặt dáy ABCD đến các mặt bên của hình chóp.

<b>17. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đờng cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng </b>2 6. Điểm M, N là
trung điểm các cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó.
<b>II. Hình chóp có một cạnh bên vng góc với đáy</b>

<b>1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA = 2a và vng góc với mặt phẳng</b>
(ABC). Gọi M và N lần lợt là hình chiếu vng góc của A trên các đờng thẳng SB và SC. Tính thể tích của
khối chóp A.BCMN.

<b>2. Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm M thay đổi trên đờng thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) tại A</b>
(M không trùng với A). Gọi O và H theo thứ tự là trực tâm của tam giác ABC và MBC. Xác định vị trí của M
để thể tích khối tứ diện OHBC đạt giá trị lớn nhất.

<b>3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC bằng </b>α. Cạnh SA = h của hình
chóp vng góc với đáy. Lấy trung điểm P của BC và các điểm M, N lần lợt trên AB, AC sao cho AM = AN =
AP. Tính thể tích của khối chóp S.AMPN.

<b>4. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc ASB bằng 2</b>



. Hãy tính thể tích khối
chóp

<b>5. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60</b>o_{và cạnh đáy bằng a.Tính thể tích}

của khối chóp

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>7. Cho đờng trịn đờng kính AB = 2R trong mặt phẳng (P) và một điểm M nằm trên đờng trịn đó sao cho góc</b>
MAB bằng 300_{. Trên đờng vng góc với mặt phẳng (P) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2R. Gọi H và K lần}
l-ợt là hình chiếu vng góc của A trên SM, SB.

a) Chøng minh r»ng SB vu«ng gãc với mặt phẳng (KHA). b) Tính thể tích khối tø diƯn SKHA

<b>8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vng góc với mp đáy (ABC).</b>
Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) theo a biết rằng SA =

2
6

<i>a</i> _.

<b>9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vng góc với đáy</b>
và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. CMR tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo
a.

<b>10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. SA vng góc với mp(ABCD) và SA = a.</b>
Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ S đến đờng thẳng BE.

<b>11. Cho tam giác vng cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đờng thẳng vng góc với mp(ABC) tại A lấy</b>
điểm S sao cho góc giữa hai mp(ABC) và (SBC) bằng 60o_{. Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.}

<b>12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a và SA vng góc với đáy, </b>
SA = a. Kẻ AH _ SB, AK _ SD.

a. CMR SC vu«ng gãc víi mp(AHK).

b. Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mp(AHK). Tính diện tích của thiết diện đó.

<b>13. Cho tam giác ABC có AB = AC = a và góc </b>_BAC = 2



. Trên đờng thẳng d qua A và vng góc với
mp(ABC) lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung điểm của BC. Hạ AH _SI.

a) Chøng minh AH (SBC). TÝnh dé dµi AH theo a,



.

b) Gọi K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt AK/AI = x. Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc với AI cắt
các cạnh AB, AC, SC, SB lần lợt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích tứ giác này.

<b>14. Cho tam giác vng cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đờng thẳng d đi qua A và vuông góc với</b>
mp(ABC), lấy một điểm S khác A.

a) CMR tứ diện SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vng góc với nhau.

b) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Tính bán kính mặt cầu này trong
trờng hợp mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc 30o_.

c) Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC khi S chạy trên d (S

_

A).
d) Lấy S’ đối xứng với S qua A, gọi M là trung điểm của SC. Xác định thiết diện tạo

bởi mp đi qua S’, M và song song với BC cắt tứ diện SABC. Tính diện tích của thiết diện đó khi SA = <i>_a</i> ₂.
<b>15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng. Cạnh bên SA vng góc với mp đáy, SA = AB = a.</b>
a) Tính diện tích tam giác SBD theo a. b. CMR BD  SC.

c) Tính góc giữa đờng thẳng SC và mp(SBD).

<b>16. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh BC = a. Trên đờng thẳng d vng góc với mp(ABC) tại A,</b>
lấy điểm S sao cho góc giữa hai mp(SBC) và (ABC) bằng 60o_{. Hãy tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.}

<b>17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA </b>_ (ABC) và SA = a. Gọi M là một điểm
thay đổi trên cạnh AB. Đặt _ACM =



, hạ SH vng góc với CM

a. Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC.
b. Hạ AI _ SC, AK _ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAIK.
<b>III/ Tứ diện</b>

<b>1. Cho hình tứ diện ABCD có BC = CD = DB, AB = AC = AD. Gọi H là chân của đờng cao hình tứ diện xuất</b>
phát từ A, K là chân của đờng vng góc hạ từ H xuống AD. Đặt AH = a, HK = b. Tính thể tích của khối tứ
diện ABCD theo a và b.

<b>2. Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh </b><i>a</i>. Gọi A’, B’, C’, D’ theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD.
a) Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình vng.

b) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn DAA’B’C’D’ theo <i>a</i>.

c) TÝnh thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn DAA’B’C’D’ theo <i>a</i> nÕu A’, B’, C’, D theo thứ tự là điểm nằm
trên cạnh AB, AC, CD, BD sao cho AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = a/4

<b>3. Cho tứ diện đều SABC có cạnh là a. Dựng đờng cao SH</b>

a) Chứng minh SA _BC b) Tính thể tích của khối chóp SABC
<b>4. Cho hình chóp tam giác SABC có SA = x;BC= y;các cạnh cịn lại đều bằng 1.</b>

a)TÝnh thĨ tÝch khèi chãp theo x,y. b)Víi x,y bằng bao nhiêu thì thể tích khối chóp lớn nhất?

<b>5. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp(ABD); AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính</b>
khoảng cách từ A tới mp(BCD).

<b>6. Cho t diện ABCD với các mặt (ABC), (ACD), (ADB) là tam giac vuông tại A. Gọi h là đờng cao xuất phát</b>
từ A của tứ diện ABCD. CMR : 1₂ 1₂ 1₂ 1₂

<i>AD</i>
<i>AC</i>

<i>AB</i>

<i>h</i>    .

<b>7. Cho tø diÖn ABCD cã AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c.</b>
a. Tìm tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện.

b. CMR bốn mặt của tứ diện là các tam giác có ba gãc nhän

<b>8. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mp(BCD) và (ABC) vng góc với nhau và góc </b>_BDC
= 90o_{. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2<i>S</i> <i>abc</i>(<i>a</i><i>b</i><i>c</i>)

<b>10. ho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và AOB = AOC = 60</b>o_{; BOC = 90}o_.
a. Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và CMR tam giác ABC vuông.
b. CM OA _ CB.

<b>11. Cho tứ diện ABCD có cạnh CD = 2a, các cạnh cịn lại đều bằng a</b> ₂
a. CMR các góc _CAD và _CBD bằng 1 vng

b. TÝnh diƯn tÝch toµn phần của tứ diện ABCD

c. CMR hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau

<b>12. Cho tứ diện ABCD cã AB = BC = CA = AD = DB = a</b> ₂ vµ CD = 2a.

a. CMR AB CD. Hãy xác định đờng vng góc chung của AB và CD.
b. Tính thể tích tứ diện ABCD.

c. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

d. Gäi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CM H là trực tâm tam giác
ABC.

<b>13. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d vµ </b>_ASB = 120o_,__{BSC = 60}o_,_{ASC = 90}o_.
a. CM tam giác ABC vuông.

b. Tính thể tích tứ diện SABC.

c. Tính bán kính hình cÇu néi tiÕp tø diƯn SABC.

<b>14. Cho tø diƯn ABCD. Mét mp (</b>



) song song víi AD vµ BC cắt các cạnh AB, AC, CD, DB lần lợt tại M, N,
P, Q.

a. CM tứ giác MNPQ là hình bình hµnh.

a. Xác định vị trí của (



) để cho diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn nhất.
<b>15. Cho tứ diện SABC có các góc phẳng ở đỉnh S vuông </b>

a. CMR 3<i>S_ABC</i> <i>S_SAB</i> <i>S_SBC</i> <i>S_SCA</i> .

b. Biết rằng SA = a, SB + SC = k, đặt SB = x. Tính thể tích tứ diện SABC theo a, k ,x và xác định SB,
SC để thể tích tứ diện SABC đạt giá trị lớn nhất.

<b>16. Cho tø diÖn ABCD cã AB = BC = AD = CA = DB = a</b> 2 vµ CD = 2a.

a. CMR AB vng góc với CD. Hãy xác định đờng vng góc chung của AB và CD.
b. Tính thể tích tứ diện ABCD.

c. Xác định tâm I của mặt cu ngoi tip t din ABCD.

d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CMR H là trực tâm tam giác ABC.

<b>17. Cho t din ABCD cú độ dài cạnh AB = x (x > 0), tất cả các cạnh cịn lại có độ dài bằng 1. Tính độ dài</b>
đoạn vng góc chung của hai cạnh AB và CD. Tìm điều kiên đối với x để bài tốn có nghĩa.

<b>18. Tính thể tích khối tứ diện ABCD< biết AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD, DAB đều bằng</b>
60o_.

<b>19. Cho các tia Ox, Oy, Oz đơi một vng góc, lần lợt lấy các điểm khác O là M, N và S với OM = m, ON =</b>
n, OS = a. Cho a không đổi, m và n thay đổi sao cho m + n = a.

a. Tính thể tích của hình chóp S.OMN. Xác định vị trí của M và N để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.
b. CM các góc OSM = MSN = NSO = 90o_.

<b>IV/ Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy</b>

<b>1. Cho một hình chóp có đáy là một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a.Mặt bên qua cạnh huyền</b>
vng góc với đáy,hai mặt bên cịn lại đều tạo với đáy góc 45o

a)CMR hình chiếu vng góc của đỉnh hình chóp xuống đáy là trung điểm cạnh huyền của đáy
b)Tính thể tích của khối chóp

<b>2. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân AB=AC= a.mf(SBC) vng góc với mf(ABC) và SA=SB</b>

=A.

a)CMR tam giác SBC là tam giác vuông

b)Cho SC = x.Tính thể tÝch khèi chãp theo a vµ x

<b>3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, mp(SBC) </b>mp(ABC) và SA = SB = a.
a. CMR tam giác SBC vuông tại S.

b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, biết SC = x.
<b>V/ Lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập phơng</b>

<b>1. </b>Khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB và A1D bằng 2 và độ dài

đường chéo của mặt bên bằng 5.

a)Hạ AK A1D (K



A1D ).CMR AK =2

b)Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1

<b>2. </b>Cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 với AB=a;BC= b;AA1

a)Tính diện tích tam giác ACD1 theo a,b,c

b)Giả sử M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích của tứ diện D1DMN theo a,b,c

<b>3. Cho hình lập phơng ABCD.ABCD có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của cạnh BC và I là tâm của mặt</b>
bên CCDD.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

b) Tính thể tích của các hình đa diện do mặt phẳng (AIK) chia ra trên hình lập phơng.

<b>4. Cho l</b>ng tr tam giác ABCA1B1C1 c đáy ABC l mà ột tam giác đều cạnh a,điểm A1 cách đều các điểm
A,B,C.Cạnh AA1 tạo với mặt phẳng đáy một gúc 60o

a) Tính thể tích khối lăng trụ

b) Chứng minh mặt bên BCC1B1 là một hình chữ nhật

<b>5. Hỡnh lng trụ đứng ABCA1B1C1đáy ABC là một tam giác vuông tại A,AC=b,góc C =60</b>o_{.Đờng chéo BC1 tạo}
với mf(A A1C1C) một góc 30o_.

a)Tớnh di AC1

b)Tính thể tích khối lăng trụ

<b>6. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1. Trên tia A1B1 lấy điểm M sao cho B1M = </b>1

2A1B1. Qua M và

các trung điểm của A1C1 và B1B dựng một mặt phẳng. Tính tỉ số thể tích hai phần của khối lăng trụ do mặt
phẳng này chia ra.

<b>7. Cho hỡnh lập phơng ABCD.A’B’C’D’. Thiết diện của hình lập phơng tạo bởi mặt phẳng đi qua đỉnh A,</b>
trung điểm của cạnh BC và tâm của mặt DCC’D’ chia khối lập phơng thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của
hai phần đó.

<b>8. BiÕt thĨ tÝch khèi hép ABCDA1B1C1D1 b»ng V. tÝnh thĨ tÝch khèi tø diƯn ACB1D1</b>

<b>9. Cho lăng trụ đều ABCA1B1C1.Tam giac ABC1 có diện tích là </b> 3S và hợp với mặt đáy góc



a)Tính thể tích lăng trụ

b)S khơng đổi,cho



thay đổi.Tính



để thể tích lăng trụ lớn nhất

<b>10. Cho lăng trụ đều ABCDA1B1C1D1 cạnh đáy a.Góc giữa đừơng chéo AC1 và đáy là 60</b>o _{.Tính thể tích khối}
lăng trụ

<b>11. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1,đáy ABC cân đỉnh A.Góc giữa AA1 và BC1 là 30</b>o_{và khoảng cách giữa}
chúng là a.Góc giữa hai mặt bên qua AA1 là 60o_{.Tính thể tích lăng trụ}

<b>12. Cho lăng trụ ABCA1B1C1 đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu cảu A1 lên măt phẳng (ABC) trùng với</b>
tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Biết góc BAA1 = 45o_{.Tính thể tích lăng trụ}

<b>13. Cho hình hộp ABCDA1B1C1D! có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,góc A bằng 60</b>o_{.Chân đờng vng góc hạ}
từ B1 xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đờng chéo của đáy.Biết BB1 =a

a)Tính góc giữa cạnh bên và đáy
b)Tính thê tích của khối hộp

<b>14. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc </b>_BAD = 60o_{. Gọi}
M là trung điểm AA’, N là trung điểm CC’. CMR bốn điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính
độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vng.

<b>15. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng cân với AB = AC = a, góc </b>_BAC = 120o_,
cạnh bên BB’ = a. Gọi I là trung điểm của CC’. CMR tam giác AB’I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai
mp(ABC) và (AB’I).

<b>16. Cho h×nh lập phơng ABCD.ABCD. Tìm điểm M thuộc cạnh AA sao cho mp(BDM) cắt hình lập </b>
ph-ơng theo một thiết diện cã diƯn tÝch nhá nhÊt.

<b>17. Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ với cạnh bằng a </b>

a. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng AA’ và BD’.
b. CMR đờng chéo BD’ vng góc với mp(DA’C’).

<b>18. Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a và một điểm M trên cạnh AB, AM = x, 0 < x < a. Xét mp(P)</b>
đi qua M và chứa đờng chéo A’C’ của hình vng A’B’C’D’.

a. TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa hình lập phơng cắt bơi mp(P).

b. Mp(P) chia hỡnh lp phơng thành hai khối đa diện, hãy tìm x để thể tích của một trong hai khối đa
diện đó gấp đơi thể tích khối đa diện kia.

<b>19. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ và điểm M trên cạnh AD. Mp(A’BM) cắt đờng chéo AC’ của</b>
hình hộp tại H.

a. CMR khi M thay đổi trên cạnh AD thì đờng thẳng MH cắt đờng thẳng AB tại một điểm cố định.
b. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đợc tạo bởi mp(A’BM) cắt hình hộp trong trờng hợp M l

trung điểm của cạnh AD.

c. Giả sử AA = AB và MB vuông góc với AC. CMR mp(ABM) vuông góc với AC và điểm H là trực
tâm của tam giác ABM.

<b>VI/ Một số bài toán khác</b>

<b>1. </b>Cho hỡnh chúp SABC đỉnh S, đáy là tam giác cân AB=AC=3a,BC=2a. biết rằng các mặt bên (SAB),
(SBC),(SCA) đều hợp với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 60o_{.Kẻ đường cao SH của hình chóp.}

a)Chứng tỏ H là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC và SABC

b)Tính thể tích của khơi chóp

<b>2. Trên nửa đờng trịn đờng kính AB = 2R, lấy điểm C tuỳ ý. Kẻ CH vng góc với AB. Gọi I là trung điểm</b>
của CH. Trên nửa đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I, lấy điểm S sao cho góc ASB = 900_.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600_.

b) Cho AH = x. Tính thể tích khối tứ diện SABC theo R và x. Tìm vị trí của C để thể tích đó lớn nhất.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>4. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = </b><i>a</i>, BD = 2

3

<i>a</i>

. Trên đờng thẳng vuông góc với (P) và đi
qua giao điểm của hai đờng chéo hình thoi, lấy điểm S sao cho SB = <i>a</i>.

a) Chứng minh rằng tam giác ASC là tam giác vuông.
b) Tính thể tích hình chóp SABCD

<b>5. Cho hình chóp SABC .Trên các tia SA,SB,SC lần lợt lấy các điểm A</b>_,B_,C_.
CMR

<i>SC</i>
<i>SC</i>
<i>SB</i>
<i>SB</i>
<i>SA</i>
<i>SA</i>
<i>V</i>

<i>V</i>
<i>SABC</i>

<i>C</i>
<i>B</i>
<i>SA</i>

'
'
'

.
.

'
'
'

<b>6.</b> Trong khụng gian cho đoạn OO1 = H và hai nửa đường thẳng Od,O1d1 cùng vng góc với OO1 và vng

góc với nhau. Điểm M chạy trên Od, điểm N chạy trên O1d1 sao cho ta ln có OM2+O1N2 =k2(k cho trước)

a)Chứng minh đoạn MN có độ dài khơng đổi

b)Xác định vị trí M trên Od và N trên O1d1 sao cho tứ diện OO1MN có thể tích lớn nhất.

<b>7. Cho hai mp(P) và (Q) vng góc với nhau có giao tuyến là đờng thẳng</b>_. Trên _ lấy hai điểm A, B với
AB = a. Trong mp(P) lấy điểm C, trong mp(Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với  và AC =

BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a.
<b>8. Hình vng ABCD có cạnh bằng một đơn vị độ dài. Hai điểm M, N lần lợt di động trên cạnh AD và CD</b>
sao cho AM = x, CN = y và góc _MBN = 45o_{. Tìm x, y đẻ diện tích tam giác MBN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ}
nhất.

<b>9. Cho tam giác ABC, AB = AC. Một điểm M thay đổi trên đờng thẳng vng góc với mp (ABC) tại A (M</b>
khơng trùng với điểm A).

a. T×m quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam gi¸c MBC

b. Gọi O là trực tâm tam giác ABC, hãy xác định vị trí của M để thể tích tứ diện OHBC đạt giá trị lớn
nhất.

<b>10. Trong mp(</b>



) cho đờng tròn (T) đờng kính AB = 2R. Gọi C là một điểm di động trên (T). Trên đ ờng
thẳng d qua A và vng góc với mp(



) lấy điểm S sao cho SA = R. Hạ AH _SB, AK _ SC

a. Chøng minh AK  (SBC), SB (AHK)

b. Tìm quỹ tích điểm K khi C thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHK
<b>11. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1.</b>

a. TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp theo x, y.

b. Với giá trị nào của x, y thì hình chóp cã thĨ tÝch lín nhÊt.

<b>12. Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C). Các nửa đờng thẳng Ax, Cy vng góc với</b>
mp(ABCD) và ở về cùng một phía với mp đó. Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không
trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n.

a. Tính thể tích của hình chóp B.AMNC (Đỉnh B, đáy AMNC).

b. Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện đối với a, m, n để góc _MIN vng

<b>13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều với AD = 2a, AB = BC = CD = a, đ ờng cao SO</b>
= <i>a</i> 3 trong đó O là trung điểm của AD.

a. TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp S.ABCD.

b. Gọi (



) là mp qua A và vng góc với SD. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp (

).

<b>14. Trên các cạnh Ox, Oy, Oz của tam diện vuông Oxyz, lấy lần lợt 3 điểm A, B, C víi OA = a, OB = b, OC =</b>
c. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

a. Tính độ dài OH và diện tích tam giác ABC.

b. Khi a, b, c thay đổi sao cho a2_{+ b}2_{+ c}2_{= k}2_{với k là hằng số dơng, tìm giá trị lớn}
nhất của độ dài OH và của diện tích tam giác ABC.

c. CMR a2_{tgA = b}2_{tgB = c}2_tgC.

<b>15. Cho gãc tam diƯn Sxyz víi </b>_xSy = 120o_,__{ySz = 60}o_,_{zSx = 90}o_{. Trên các tia Sx, Sy, Sz theo thứ tự}
lấy các điểm A, B, C sao cho SA = SB =SC = a.

a. CMR tam giác ABC vuông. Xác định hình chiếu vng góc H của S lên mp(ABC).
b. Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC theo a.

<b>16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lớt trên cỏc cnh SB, SD sao cho:</b>

2

<i>DN</i>
<i>SN</i>
<i>BM</i>
<i>SM</i>

a. Mp(AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỉ số SP/CP.

b. Tính thể tích hình chãp S.AMPN theo thĨ tÝch V cđa h×nh chãp S.ABCD.

<b>17. Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Trên đờng thẳng vng góc với mp(P) tại A,</b>
lấy điểm S sao cho SA = h (h > 0). M là một điểm di động trên cạnh SB. Gọi I, J lần l ợt là trung điểm của
BC, AB

a. Tính độ dài đoạn vng góc chung của SI và AB.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>18. Cho ba tia Ox, Oy, Oz vng góc với nhau từng đôi một . Xét tam diện Oxyz. Cho điểm M cố định nằm</b>
trong góc tam diện. Một mp qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lợt tại A, B, C.Gọi khoảng cách từ M đến các mp
(OBC), (OCA), (OAB) lần lt l a, b, c.

a. CMR tam giác ABC không phải là tam giác vuông.

b. CM  1

<i>OC</i>
<i>c</i>
<i>OB</i>

<i>b</i>
<i>OA</i>

<i>a</i>

c. Tình OA, OB, OC theo a, b, c để tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.

<b>19. Cho một tam diện vuông đỉnh O. Trên ba cạnh của tam diện ấy lấy ba điểm A, B, C sao cho : AC = 2OB,</b>
BC = 2OA.

a. Giả sử M, N là chân các đờng vng góc kẻ từ O xuống AC và BC.CMR MN _ AC.
b. Tính cos<i>MON</i>.

c. Gäi D là trung điểm của đoạn AB. CM
₄ 1

4




<i>AB</i>
<i>MN</i>
<i>OCA</i>
<i>tg</i>

<i>OCD</i>
<i>tg</i>

<b>20. Trên mp(</b>



) cho góc _xOy. Đoạn SO = a vng góc với mp(



). Các điểm M, N chuyển động trên
Ox, Oy sao cho ta ln có : OM + ON = a.

a. Xác định giá trị lớn nhất của th tớch t din SOMN.

b. Tìm quỹ tích tâm I của mặt cầu nhoại tiếp tứ diện SOMN. CMR khi tứ diện có thể tích lớn nhất thì
nó lại có bán kính mặt cầu ngoại tiếp nhỏ nhất.

<b>21. Cho tam giác đều OAB có cạnh AB = a > 0. Trên đờng thẳng d đi qua O và vng góc với mp(OAB) lấy</b>
một điểm M với OM = x. Gọi E, F lần lợt là các hình chiếu vng góc của A lên MB và OB. Đờng thẳng EF
cắt d tại N.

a. CMR AN _ BM.

b. Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

<b>22. Trong mp(P) cho hình vng ABCD cạnh a có tâm là O.Trên các nửa đờng thẳng Ax, Cy vng góc với</b>
(P) và ở về cùng một phía đối với (P) ta lần lớt lấy hai điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.

a. Tính độ dài MN.Từ đó CMR điều kiện cần và đủ để tam giác OMN vuông tại O là xy =

2
2

<i>a</i> _.

b. Giả sử M, N thay đổi sao cho tam giác OMN vng tại O. Tính thể tích tứ diện BDMN. Xác định x,
y để thể tích tứ diện này bằng

4
3

<i>a</i>

.

<b>23. Trong mp(P) cho đờng tròn (C) tâm O đờng kính AB = 2R. Lấy một điểm S thuộc đờng thẳng vng góc</b>
với mp(P) tại O sao cho OS = R 3. I là điểm thuộc đoạn SO với SI =

3

2<i>R</i>

, M là điểm thuộc (C).

a. Tớnh t s SH/SM vi H là hình chiếu của I lên SM.Từ đó suy ra quỹ tích của H khi M di động trên
(C).

b. Xác định vị trí của M trên (C) để cho hình chóp H.AMB có thể tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất
này.

<b>24. Cho hình vng ABCD cạnh a trong mp(P). Hai điểm M, N di động trên hai cạnh CB và CD . Đặt CM =</b>
x, CN = y. Trên đờng thẳng At vng góc với mp(P) lấy điểm S . Tìm hệ thức giữa x, y để :

a. Các mp(SAM) và (SAN) tạo với nhau góc 45o_.
b. Các mp(SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.

<b>25. Cho ng trũn tâm O bán kính R. Xét hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mp đáy (S và A cố cố</b>

định), SA = h cho trớc, đáy ABCD là một tứ giác tuỳ ý nội tiếp đờng tròn đã cho mà các đờng chéo AC và BD
vng góc với nhau

a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

b. Hi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất.

<b>26. Bên trong hình trụ trịn xoay có một hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm</b>
trên đờng trịn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh cịn lại nằm trên đờng trịn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt
phẳng hình vng tạo với đáy hình trụ góc 45o_{. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ đó.}

<b>27. Trong mp(P) cho đờng thẳng d và điểm A nằm ngồi d. Một góc </b>_xAy di động quanh A, cắt d tại B và
C. Trên đờng thẳng qua A và vng góc với (P) lấy một điểm S. Gọi H, K là các hình chiếu vng góc của A
lên SB và SC.

a. CMR A, B, C, H, K thuộc một mặt cầu.

b. Tính bán kính mặt cầu trên biÕt AB = 2, AC = 3, _BAC = 60o

</div>

<!--links-->