Giao trinh co hoc luong tudung cho SV

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i><b>Chương 2: TOÁN TỬ. </b></i>

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ, TỐN TỬ TUYẾN TÍNH

1. Định nghĩa

2. Các ví dụ

3. Tốn tử tuyến tính

II. CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TỐN TỬ

III. <b>H</b> ÀM RIÊNG TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ
RIÊNG CỦA TOÁN TỬ

IV. <b>TO</b> ÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (HAY
TỐN TỬHECMIT

1. Ðịnh nghĩa tốn tử hecmit:

2. Các tính chất của tốn tử hecmit:

V. CHÚ THÍCH VỀ TRƯỜNG HỢP TỐN TỬ CĨ PHỔ
LIÊN TỤC

<i><b>Chương 2: TỐN TỬ. </b></i>

<b>I. ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ. TỐN TỬ TUYẾN TÍNH: </b>

1) <i>Ðịnh nghĩa: </i> _TOP

<i>Toán tử là một thực thể toán</i> học mà khi tác dụng lên một hàm số
bất kì sẽ cho ta một hàm số khác.

Nghĩa là ta có:

Trong đó là một tốn tử; là các hàm số bất kì với (x) là
một tập hợp tọa độ nào đó chứ khơng phải chỉ riêng tọa độ x.

2) <i>Các thí dụ:</i> _TOP

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

3) <i>Toán tử tuyến tính.</i> _TOP

II. CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TỐN TỬ

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>III. HÀM</b> RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG
CỦA TỐN TỬ

Nói chung khi cho tốn tử tác dụng lên hàm thì ta được
hàm số .(Với (x) là tập hợp biến số nào đó). Nhưng cũng có
trường hợp ta lại được chính hàm số đó nhân thêm với một hằng số.
Tức là:

Khi đó ta nói là hàm riêng của tốn tử Â và phương trình trên
gọi là phương trình trị riêng của tốn tửĠ. Cịn a được gọi là trị riêng
ứng với hàm riêng của tốn tử Â.

Một tốn tử có thể có nhiều hàm riêng và mỗi hàm riêng thì tương ứng
với một trị riêng (cũng có thể có trường hợp một trị riêng ứng với nhiều

hàm riêng, trường hợp này ta gọi là trị riêng có suy biến), nên ta đánh
chỉ số để phân biệt các phương trình trị riêng và được viết như sau:

.

Số trị riêng có thể là hữu hạn hay vơ hạn; có thể là gián đoạn hay
liên tục.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Ðể tìm trị riêng và hàm riêng của một tốn tử, ta phải giải phương
trình trị riêng của tốn tử đó.

Thí dụ :
Cho tốn tử

Hãy tìm hàm riêng và trị riêng của tốn tử Â biết rằng hàm riêng
tuần hồn trong khoảng (o,L).

(ta không viết đối số tọa độ x để khỏi rườm rà)

.

Với C là hằng số được xác định từ điều kiện chuẩn hóa.

Vì hàm số tuần hồn trong khoảng (0,L) nên ta có . Tức
là:

.

<b> </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

1- Ðịnh nghĩa toán tử hecmit: _TOP
Cho tốn tử Â và các hàm số bất kì . Nếu hệ thức sau
được thỏa mãn :

.

thì Â được gọi là tốn tử hecmit ( hay tốn tử tự liên hiệp tuyến
tính):

Từ biểu thức của định nghĩa và chú ý rằng hàm sóng là mơ tả
một trạng thái vật lí nên nó bằng khơng khi tọa độ bằng vơ cùng,ta dễ
dàng chứng minh được tốn tử là toán tử hecmit, cịn tốn tử

khơng phải là hecmit.

2- Các tính chất của toán tử

hecmit: TOP

a/ Các trị riêng của toán tử hecmit là những<i> số thực.</i>

<b>b/ Các hàm riêng của toán tử hecmit trực giao với nhau.</b>

Trước hết ta định nghĩa sự trực giao như sau:
Nếu có hệ các hàm . (n =1; 2; 3...)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Thí dụ các hàm sin(nx) trực giao trong khoảng

Bây giờ ta chứng minh các hàm riêng của toán tử hecmit trực

giao với nhau. Muốn vậy ta hãy chọn . Khi đó

biểu thức định nghĩa là:

.

vì các hàm là các hàm riêng của toán tử Â nên phương
trình trên trở thành:

.

Nói chung

Tức là các hàm trực giao với nhau.

Nếu các hàm riêng được chuẩn hóa thì ta có thể gộp cả hai điều
kiện trực giao và chuẩn hóa lại làm một điều kiện gọi là điều kiện trực
chuẩn như sau:

<b>c/ Các hàm riêng của toán tử hecmit lập thành một hệ đủ.</b>

Tính chất này có nội dung như sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Ta thừa nhận tính chất này ,mà khơng cần phải chứng minh

V.CHÚ THÍCH VỀ TRƯỜNG HỢP TỐN TỬ CĨ PHỔ LIÊN TỤC
Một tốn tử có các trị riêng là liên tục thì được gọi là tốn tử có
phổ liên tục. Ðối với tốn tử có phổ liên tục thì phương trình trị riêng

được viết:

Ðể phân biệt với tốn tử có phổ gián đoạn.

Trong phương trình trị riêng này ta đã lấy trị riêng của toán tử làm
chỉ số chạy. Như vậy a là thông số biến đổi liên tục chứ khơng phải là
các số ngun. Ðối với tốn tử có phổ liên tục, các tính chất vẫn như
tốn tử có phổ gián đoạn. Tức là:

- Trị riêng là những số thực.

- Hệ các hàm riêng lập thành hệ đủ.
- Các hàm riêng trực giao với nhau.

Nhưng điều kiện chuẩn hóa lại khác. Khi đó ta có:

khi tọa độ tiến tới vô cực.

Với gọi là hàm đenta Derac, là một hàm suy rộng cho bởi
quy tắc tích phân.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Ví dụ hàm đenta đối số x là:

.

Miễn sao trong khoảng (a,b) có chứa điểm x = 0 hay x = c.

Ta cũng chú ý rằng khi phân tích hàm f(x) theo hệ các hàm riêng
của tốn tử có phổ liên tục thì ta phải dùng công thức:

thay cho công thức:

trong trường hợp tốn tử có phổ gián đoạn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<i><b>Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ</b></i>

I. SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG TRONG
CƠ LƯỢNG TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN

II. CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

III. <b>GI</b> Á TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN SỐ ĐỘNG
LỰC

IV. <b>TÍNH</b> HỆ SỐ PHÂN TÍCH

V. <b>GIÁ</b> TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN TÍCH
ĐỐI VỚI TỐN TỬ CĨ PHỔ LIÊN TỤC

VI. <b>TỐN</b> TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG LƯỢNG

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

VII. NGUN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ DẠNG CÁC TỐN

TỬ KHÁC

VIII. <b>S</b> Ự ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC

IX. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG

<i><b>Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ</b></i>

I. SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ LƯỢNG

TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN TOP

Ta biết rằng các hạt vi mơ có tính chất sóng rất rõ rệt, do đó khái
niệm chuyển động của chúng trong cơ lượng tử khác nhiều so với khái
niệm chuyển động trong cơ cổ điển. Trong cơ học lượng tử khơng có
khái niệm qũy đạo.

Ta hãy xét sự khác nhau về khái niệm chuyển động trong cơ học
cổ điển và cơ lượng tử.

* Với cơ học cổ điển, hạt chuyển động theo một qũy đạo xác định.
Các biến số động lực như tọa độ, năng lượng, xung lượng ...được xác
định chính xác đồng thời tại từng điểm và từng thời điểm trên qũy đạo.

* Với cơ học lượng tử thì chuyển động của hạt được coi như một
bó sóng định xứ trong một miền của khơng gian và bó sóng này thay
đổi theo thời gian (một sóng bất kì có thể phân tích thành tổ hợp tuyến
tính các sóng điều hịa-bó sóng). Cịn các biến số động lực nói chung
khơng được xác định chính xác đồng thời, mà khi nói về chúng, ta chỉ
có thể nói xác suât để biến số động lực ấy có giá trị nằm trong khoảng

nào là bao nhiêu mà thơi.

Vì sự khác biệt đó, các biến số động lực trong cơ học lượng tử
không mô tả bằng số như cơ cổ điển mà phải mơ tả chúng bằng các
tốn tử. Ta thừa nhận một số giả thuyết như những tiên đề.

II. CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ _TOP

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<i>Tính chất tuyến tính là phản ánh ngun lí</i> chồng chất rằng: Nếu
hệ lượng tử có thể ở các trạng thái mô tả bằng các hàm sóng

thì hệ cũng có thể ở trạng thái mơ tả bằng hàm sóng .
Trong đó là các hằng số bất kì và nói chung là phức.<i><b> </b></i>
<i><b>Tiên đề 2: </b></i>

<i>Khi ta đo một biến số động lực nào đó thì ta chỉ thu được những</i>
<i>giá trị bằng số là các trị riêng của toán tử biểu diễn biến số động lực</i>
<i>ấy. </i>

Từ tiên đề này ta suy ra các toán tử biểu diễn biến số động lực là
những tốn tử hecmit (vì trị riêng là thực) và có đầy đủ các tính chất
của tốn tử hecmit.

<i><b>Tiên đề 3: </b></i>

Nghĩa là các hệ số phân tích cũng được chuẩn hóa.
Cơng thức

là điều kiện chuẩn hóa của hệ số phân tích. Với ý nghĩa là tổng xác
suất các trạng thái có thể phải bằng một.

Nếu

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>III. GIÁ</b> TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC<b> </b> _TOP

Ta định nghĩa giá trị trung bình của biến số động lực L biểu diễn
bằng toán tử như sau:

.

Từ đó ta suy ra:

Với các đã chuẩn hóa thì :

(3.1).
Còn các chưa chuẩn hóa thì:

(3.2).

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

trạng thái (tức theo hàm sóng) của hệ lượng tử. Ta sẽ chứng minh giá
trị trung bình có biểu thức:

. (3.3).

Trong đó là hàm sóng mơ tả trạng thái của hệ và ta lưu ý rằng

(x) là tập hợp các biến số nào đó chứ khơng riêng gì tọa độ x.

Ta xét có phổ gián đoạn ( trị riêng là gián đoạn ).
a/ Trường hợp chưa chuẩn hóa:

Ta hãy thay

Tử số của (3.3) là:

Trong đó
.

Suy ra tử số của (3.3) là
.

Tương tự, mẫu số tính được là . Từ đó cơng thức (3.3)
trở thành:

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

.

Ðây chính là cơng thức định nghĩa (3.2) mà ta đã biết.

b/ Trường hợp đã chuẩn hóa thì mẫu số của (3.3) bằng 1 và
ta dễ dàng tính được . Cũng là công thức định nghĩa (3.1)
mà ta đã biết. Vậy công tức (3.3) đã được chứng minh.

<b>IV. TÍNH</b> HỆ SỐ PHÂN TÍCH _TOP

Như trên ta đã thấy, muốn tính được xác suất hay giá trị trung
bình của biến số động lực thì ta phải biết được các hệ số phân tích. Ta

hãy tìm cách để tính chúng.

Nếu các hàm sóng chưa chuẩn hóa thì các sẽ sai khác nhau
một hằng số. Thơng thường ta phải chuẩn hóa các hàm sóng để biểu
thức xác suất được đơn giản.<b> </b>

<b>V. GIÁ</b> TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN TÍCH ĐỐI VỚI TỐN

TỬ CĨ PHỔ LIÊN TỤC TOP

Ðối với tốn tử có phổ liên tục thì hàm sóng là:
.

Trong đó L là trị riêng của tốn tử có phổ liên tục. Ta hãy tìm
biểu thức xác suất, giá trị trung bình và hệ số phân tích trong trường
hợp này.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Vì các giá trị L là liên tục nên ta khơng thể nói xác suất để biến số
động lực có giá trị L là bao nhiêu được mà chỉ có thể nói xác suất để L
có giá trị nằm trong khoảng từ L đến (L+dL) là bao nhiêu mà thơi. Xác
suất này thì tỉ lệ với dL và có biểu thức:

.

là mật độ xác suất để biến số động lực có giá trị L. Như vậy,
với tốn tử có phổ liên tục, tiên đề thứ Ba được phát biểu như sau:

Mật độ xác suất để biến số động lực có giá trị L tỉ lệ với .
Tức là tỉ lệ với khi C(L) chưa chuẩn hóa. Cịn nếu C(L) đã
chuẩn hóa thì =

Nếu các hệ số C(L) được chuẩn hóa sao cho:

b/ Giá trị trung bình:

Biểu thức giá trị trung bình của biến số động lực L vẫn là:
.

Thật vậy,ta hãy chứng minh cho trường hợp tổng quát là hàm
sóng chưa chuẩn hóa như sau:

Thay

thì tử số sẽ là

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

= .

Tương tự, mẫu số là .Ta suy ra

là công thức định nghĩa. Vậy ta đã chứng minh xong.
c/ Hệ số phân tích:

<b>VI TỐN</b> TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG LƯỢNG _TOP
a/ Toán tử tọa độ:

Xét hạt chuyển động trên trục ox, trạng thái của hạt được mơ tả
bởi hàm sóng ; giả sử đã chuẩn hóa. Tốn tử tọa độ phải có
dạng thế nào để hệ thức của giá trị trung bình được thỏa mãn. Tức là:

(3.4).

Mặt khác, nếu là mật độ xác suất để hạt có tọa độ là x và lưu
ý rằng tích của tọa độ với các hàm sóng là giao hốn được thì ta có:

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Như vậy trong biểu diễn tọa độ (sau này ta sẽ nói rõ) thì tốn tử
tọa độ chỉ là phép nhân với tọa độ mà thôi.

b/ Toán tử xung lượng:

Ta đã biết rằng hạt tự do có năng lượng E, xung lượng thì
tương ứng với một sóng phẳng có dạng:

.

Trong đó hình chiếu của xung lượng là xác định nên hàm sóng
là hàm riêng của toán tử . Do đó ta có phương
trình trị riêng:

Hai vế của phương trình bằng nhau .Vậy
.

Tương tự

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Từ đó ta suy ra :

.

VII. NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ DẠNG CÁC TOÁN TỬ

KHÁC<b> </b> TOP

Cơ học cổ điển là trường hợp riêng của cơ học lượng tử. Trong
cơ học cổ điển, các biến số động lực liên hệ với nhau bằng các công
thức đã biết như:

Trong cơ học lượng tử thì các biến số động lực được biểu diễn
bằng các toán tử và chúng cũng liên hệ với nhau bằng các cơng thức
tương tự như thế. Ðó là nội dung của nguyên lí tương ứng trong cơ
học lượng tử. Từ ngun lí tương ứng và dạng các tốn tử đã biết, ta
có thể suy ra được các tốn tử khác.

a/ Toán tử năng lượng:

Trong cơ học cổ điển ta có cơng thức:
.

Theo nguyên lí tương ứng ta có dạng của tốn tử là:

.

Thay dạng của các toán tử đã biết vào biểu thức ta được:

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Trong cơ học cổ điển ta có:

Thay dạng các toán tử dã biết ta được:

. (3.7)

Ba toán tử trên là ba tốn tử hình chiếu của tốn tử mơ men động
lượng có dạng là

(3.8)

<b> </b>

<b>VIII. S</b>Ự ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC<b> </b> _TOP

Xét hệ lượng tử có hàm sóng và hai biến số động lực L,M của
hệ, chúng được biểu diễn bằng hai toán tử .

Theo tiên đề Ba (trường hợp riêng), muốn thì hàm sóng (x)

phải trùng với hàm riêng . Nghĩa là

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Nếu đo đồng thời M với L và muốn M cũng có giá trị xác định thì
(x) cũng trùng với hàm riêng của . Tức là là hàm riêng
chung của hai toán tử . Vậy, muốn đo chính xác đồng thời hai
biến số động lực L, M của hệ lượng tử ở cùng một trạng thái thì hai

tốn tử biểu diễn chúng phải có chung hàm riêng. khi đó ta có:

Ta sẽ chứng minh điều kiện cần và đủ để hai tốn tử có chung
hàm riêng là hai toán tử phải giao hoán với nhau. Tức là giao hốn tử
của chúng bằng khơng.

a/ Ðiều kiện cần (hai tốn tử có chung hàm riêng thì giao hoán):

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

IX. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG _TOP
Xét hệ lượng tử ở trạng thái và hai biến số động lực L và M ,
chúng được biểu diễn bằng hai toán tử .

Ta biết rằng nếu giao hốn thì ta đo được chính xác đồng
thời cả L và M. Nếu chúng không giao hốn thì khơng đo chính xác
đồng thời được.

Giả sử khơng giao hốn. Ta hãy xét xem khi đo chúng
đồng thời thì độ chính xác đạt đến mức độ nào?

Vì biến diễn hai biến số động lực nên chúng là các tốn tử
hecmit. Nên ta có:

với là toán tử hecmit.

Gọi là giá trị trung bình của hai biến số động lực L và M thì độ
lệch khỏi giá trị trung bình của L và M là:

.

Bây giờ ta hãy tính:

.

Thực hiện phép tính ở vế phải ta tính được:
.

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Ðể tìm mối liên hệ giữa , ta dùng một thủ thuật sau:

Nế
u đo đồng thời hai đại lượng này thì độ chính xác phải tn theo hệ
thức bất định sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Ý nghĩa vật lí của hệ thức này ta phải hiểu như sau:

Khi quan sát một hệ lượng tử (electron chẳng hạn), ta phải chiếu
vào nó một bức xạ có bước sóng ngắn, tức có xung lượng lớn (xung
lượng P = ). Khi foton va chạm với electron thì ta xác định
được vị trí của electron. Nếu lúc đó ta muốn xác định đồng thời cả
xung lượng thì phép đo xung lượng kém chính xác. Vì do xung lượng
của foton lớn nên xung lượng của electron bị biến đổi nhiều, khơng
cịn như cũ nữa, do đó ta khơng đo được chính xác đồng thời cả xung
lượng và tọa độ của hạt.

Ðiều này chứng tỏ các hạt vi mô khác với các vật vĩ mơ thơng
thường. Các hạt vi mơ vừa có tính chất sóng lại vừa có tính chất hạt,
đó là một thực tế khách quan. Việc khơng đo được chính xác đồng
thời cả tọa độ và xung lượng của hạt là do bản chất của sự việc chứ
khơng phải do trí tuệ của con người bị hạn chế. Kĩ thuật đo lường của
ta có tinh vi đến mấy đi nữa cũng khơng đo được chính xác đồng thời
cả tọa độ và xung lượng của hạt. Hệ thức bất định Heisenberg là biểu
thức tốn học của lưỡng tính sóng hạt của vật chất.

BÀI TẬP CHƯƠNG 3

<b>Bài 3-1. Cho hạt chuyển động tự do trên một</b> đường thẳng.

1/ Chứng minh rằng có thể đo được một cách chính xác đồng
thời xung lượng và năng lượng của hạt.

2/ Nếu hạt chuyển động trong một trường có thế năng V(x) ( 0
thì sao?

<b>Bài 3-2. Hạt chuyển động trong không gian. Chứng</b> minh rằng có
thể đo được chính xác đồng thời bình phương của xung lượng

<b>Bài 3-3. Toán tử năng lượng của một hạt có</b> thể viết dưới dạng:
. Hãy tìm độ bất định của năng lượng đối với thời gian
(t).

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

<b>Bài 3-4. </b> <b>Hạt chuyển động trên trục x trong</b> khoảng (-a, a) và
hàm sóng có dạng:

<b>1/ Chuẩn hóa hàm sóng này.</b>

2/ Tìm xác suất tìm thấy hạt trong khoảng (a/2 , a)

<b>Bài 3-7.</b> <b>Ðộng năng của electron trong nguyên tử</b> Hydro có
giá trị cỡ 10 eV. Hãy dùng hệ thức bất định Heisenberg tìm kích
thước nhỏ nhất (đường kính d) của nguyên tử.

<b>Bài 3-8.</b> <b>Dùng hệ thức bật định đánh giá năng</b> lượng nhỏ
nhất Emin của electron trong nguyên tử Hydro có kích thước là d.

<b>Bài 3-9.</b> <b>Hạt vi mơ có độ bất định về xung lượng</b> là 1% xung
lượng của nó . Tính tỷ số bước sóng De Broglie và độ bất định
về tọa độ x của hạt.

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

I. <b>PHƯ</b> ƠNG TRÌNH SCHRODINGGER KHƠNG PHỤ
THUỘC THỜI GIAN

II. <b>CÁC</b> TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH
SCHRODINGER MỘT CHIỀU

1. Tính chất chẵn lẻ của nghiệm

2. Tính liên tục của nghiệm và đạo hàm của nó:
III. HỐ THẾ CĨ CHIỀU SÂU VƠ HẠN

IV. <b>HỐ</b> THẾ CÓ BỀ SÂU HỮU HẠN

V. THẾ BẬC THANG

VI. HÀNG RÀO THẾ VÀ HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM

VII. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HỊA

Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH<b> SCHRODINGER. </b>

<b>I. PHƯ</b>ƠNG TRÌNH SCHRODINGGER KHÔNG PHỤ THUỘC
THỜI GIAN

Xét hạt chuyển động trong trường thế có thế năng phụ thuộc vào
tọa độ . Hạt có năng lượng E và hàm sóng phụ thuộc tọa độ là
. Phương trình trị riêng của tốn tử năng lượng (tốn tử Hamilton)

sẽ là:

Phương trình này mang tên là phương trình Schrodinger khơng
phụ thuộc thời gian, là phương trình đạo hàm riêng hạng hai tuyến
tính. Nó có nghiệm với bất kì giá trị nào của E. Song không phải
nghiệm nào cũng ứng với một trạng thái vật lí. Chỉ có những nghiệm
thỏa mãn đơn giá, liên tục và hữu hạn mới biểu diễn một trạng thái
vật lí và mới chấp nhận được. Các nghiệm không thỏa mãn điều kiện
trên thì khơng chấp nhận được. Người ta chứng minh rằng chỉ có

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

những giá trị đặc biệt của E mới cho nghiệm theo quan điểm vật lí.
Thường những giá trị ấy là những giá trị gián đoạn và một dải những
giá trị liên tục của E.

- Các giá trị gián đoạn của E ứng với nghiệm giảm nhanh về số
không khi tọa độ tiến tới vô cực. Trạng thái này gọi là trạng thái liên
kết.

- Các giá trị liên tục của E ứng với nghiệm hữu hạn ở vô cực và
gọi là trạng thái không bị liên kết.

Việc giải phương trình Schrodinger trong khơng gian là phức tạp.
Ðể làm quen, trước hết ta hãy giải bài tốn trong khơng gian một
chiều, tuy rằng bài tốn một chiều nó không ứng với chuyển động của
môt hệ thực. Nhưng qua đó nó cho ta một số ý niệm đầu tiên về tính
chất sóng hạt của vật chất. Hơn nữa, cũng có những bài tốn trong
khơng gian ba chiều ta có thể quy về bài toán một chiều được.

Vậy việc giải bài toán một chiều là cần thiết và quan trọng.

Giả sử hạt chuyển động trên trục ox, hạt có thế năng V(x) thì

phương trình Schrodinger có dạng:

Phương trình này gọi là phương trình Schrodinger một chiều.

II.<b> CÁ</b>C TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHORODINGER

MỘT CHIỀU

1- Tính chất chẵn lẻ của

nghiệm:<i> </i> TOP

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

2- Tính liên tục của nghiệm và đạo hàm

của nó: TOP

Theo địi hỏi về vật lí,nghiệm của phương trình và đạo hàm của nó
theo tọa độ phải đảm bảo liên tục thì xác suất tìm thấy hạt mới liên tục.
Như vậy, tại những điểm mà thế năng gián đoạn, nghiệm và đạo hàm
theo tọa độ của nó phải liên tục. Ta hãy chứng minh tính liên tục của
đạo hàm.

Giả sử thế năng bị gián đoạn tại như hình. Tức là khi ở bên trái
và bên phải thì thế năng không liên tục, hai giá trị khác nhau một
lượng hữu hạn như hình. Phương trình Schrodinger cho ta

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

III. HỐ THẾ CĨ CHIỀU SÂU VƠ HẠN:

Ta hãy xét bài toán mà hạt chuyển động trên trục ox, thế năng
có dạng:

Một trường thế như vậy gọi là hố thế có bề sâu vơ hạn, chiều
rộng là 2a

Muốn cho hạt chuyển động được trên miền ngoài khoảng (- a,a)
thì ta phải cấp cho hạt một năng lượng bằng (vì V= và năng
lượng E = T +V).Ta không thể làm được điều này. Vậy hạt bị nhốt
trong hố thế, nên nó chỉ có mặt trong khoảng (- a , a) mà thơi.

Như vậy ngồi khoảng (- a , a) hàm sóng của hạt là Cịn
trong khoảng (- a , a) thì hàm sóng tuân theo phương trình

Schrodinger như sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Nghiệm của phương trình này là Trong đó
A và B là các hằng số phải xác định từ các điều kiện biên và điều kiện
chuẩn hóa.

Với bài tốn này thì thế năng là hàm chẵn của tọa độ nên bài tốn
có hai lớp nghiệm riêng biệt chẵn và lẻ.

a/ Lớp chẵn:

Vì nghiệm là chẵn nên có dạng:

Nhìn vào biểu thức của năng lượng ta thấy năng lượng của hạt bị
gián đoạn theo số nguyên lẻ.

b/ Lớp nghiệm lẻ:

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

<b>IV. HỐ</b> THẾ CÓ BỀ SÂU HỮU HẠN

Xét hạt chuyển động trên trục ox và thế năng có dạng

Ta thấy rằng hạt chuyển động tự do trong
khoảng (-a,a) và muốn hạt ra khỏi khoảng này thì

phải cấp cho hạt một năng lượng lớn hơn hoặc bằng V0.

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Phương trình Schrodinger trong miền /x/ < a có dạng:

Giải các phương trình trên ta được nghiệm như sau:

Vì thế năng là hàm chẵn của tọa độ nên bài tốn có hai lớp
nghiệm chẵn và lẻ riêng biệt.

a/ Lớp nghiệm chẵn:

Chú ý các diều kiện vật lí ta chọn được nghiệm là:

Chú ý hàm chẵn nên ta có :

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

V. THẾ BẬC THANG

Xét hạt chuyển động trên trụ x và thế năng có dạng:

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Như vậy khi đi từ miền (I) qua miền (II) thì hạt phải tốn một cơng
bằng . Cịn khi hạt

đi từ miền (II) qua miền (I) thì động năng của hạt tăng thêm một lượng
là

Ta hãy xét hạt có năng lượng E đi từ miền (I) qua miền (II). Theo
cổ điển thì nếu hạt sẽ qua được miền (II), cịn nếu thì hạt sẽ
bị phản xạ trở lại tại gốc tọa độ và không qua được miền (II). Ta hãy
xét bài toán theo cơ học lượng tử.

a/ Trường hợp :

Ở miền (I) phương trình chuyển động là:

Cịn sóng truyền qua khơng có dạng của sóng tới nên hệ số
truyền qua không khải là mà là:

.
Ðiều kiện biên ở x = 0 cho ta:

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

Ta cũng thấy hệ số phản xạ . Tức là cho dù , xác
suất để hạt quay lại ở x = 0 vẫn khác không. Ðiều này khác với cổ
điển.

b/ Trường hợp E<V0:

Ở miền (I) phương trình vẫn là:

.

Còn ở miền (II) thì phương trình là:

).

Do đó hàm sóng trong miền (I) là :

E = .

Và ở miền (II) là:

(đảm bảo hữu hạn).
Ðiều kiện biên ở x=0 cho ta:

.

Ta cũng thấy A,B có giá trị tùy ý nên năng lượng của hạt cũng có
giá trị tùy ý.

Ta hãy xét hệ số phản xạ . Thay biểu thức của A*, A
ta sẽ tính được R = 1. Tức là hạt cũng phản xạ hồn tồn nhưng
khơng phải tại x=0 mà chỉ là chủ yếu tại đó mà thơi. Vì rằng ta thấy xác
suất tìm thấy hạt ở miền x>0 là khác khơng. Cụ thể .
Nhưng ta thấy mật độ giảm nhanh về số không khi x tăng. Ðiều này
cũng hơi khác cổ điển .

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Hàng rào thế năng là miền của khơng gian mà tại đó thế năng lớn
hơn miền lân cận. Thí dụ hàng rào thế đơn giản nhất là hàng rào thế
vng góc có dạng:

Giải hệ bốn phương trình trên ta tìm được các hệ số A,B,C,D. Ta
chú ý vì ở đây ta thấy sóng truyền qua có dạng của sóng tới nên hệ số
D xác định hệ số truyền qua

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Như vậy, theo cơ học lượng tử, dù cho hạt vẫn có thể
chuyển động được ở miền (III). Tức hạt qua được hàng rào thế. Hiện
tương trên gọi là hiệu ứng đường ngầm.Hiệu ứng đường ngầm giải
thích được nhiều hiện tượng vật lí hiện đại.

VII. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

Hạt chuyển động trên trục ox dưới tác dụng của lực hồi phục F =
- kx .Với k là hệ số đàn hồi. Theo cổ điển thì hạt sẽ dao động xung
quanh vị trí cân bằng x = 0. Ta gọi hạt chuyển động như vậy là dao
động tử điều hịa.

Theo cổ điển thì phương trình chuyển động của hạt là:
.

Nghiệm tổng qt của phương trình có dạng:

x =Asin(wt) + Bcos(wt) = acos(wt+j).

Trong đó a là biên độ, ( là pha ban đầu.

Ta thấy rằng với mọi giá trị của , năng lượng E của hạt đều
được xác định và tỉ lệ với . Vậy năng lượng của dao động tử điều
hòa là tùy ý và nhỏ nhất là .

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

Theo nguyên lí tương ứng thì tốn tử thế năng có dạng:

.

Do đó tốn tử năng lượng là:

.
Và phương trình trị riêng của tốn tử năng lượng là:

.

Ðây là phương trình vi phân hạng hai đối với n(x) có hệ số thay

đổi. Giải phương trình này ta tìm được nghiệm n(x). Nghiệm này phải

thỏa mãn một số điều kiện vật lí và chính từ những điều kiện này, ta
tìm được năng lương của hạt là:

Như vậy, khác với cổ điển, năng lượng của dao động tử điều hòa
là gián đoạn theo số nguyên n chứ không phải là liên tục và giá trị nhỏ
nhất của năng lượng là chứ không phải bằng 0 như cổ điển.

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

Từ đó, bằng phương pháp quy nạp tốn học, ta tìm được cơng

thức cho hàm Trong đó:

gọi là đa thức hecmit. là hệ số chuẩn hóa.

<i><b> </b></i>

BÀI TẬP CHƯƠNG 4

<b>Bài 4-1. Hạt chuyển động trên đường thẳng ox</b> và thế năng có
dạng:

V(x) = 0 khi 0< x < a ;

1/ Hãy tìm trị riêng và hàm riêng của toán tử năng lượng.

2/ Hạt Ở trạng thái .Hãy tìm xác suất của

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

<b>Bài 4-2. Hạt chuyển động trên trục ox và</b> thế năng có dạng:
V(x) = 0 khi - a< x < a và

1- Tìm các trị riêng và hàm riêng tương ứng dạng cosin
của năng lượng.

2- Giả sử trạng thái của hạt được mơ tả bởi hàm sóng:
.

Vẽ đồ thị mật độ xác suất tìm thấy hạt theo tọa độ và xác định giá
trị năng lượng của hạt khi ta tiến hành phép đo năng lượng của hạt

<b>Bài 4-3. Hạt bị nhốt trong hố thế có bề sâu</b> vơ hạn như bài
(4-2).

<b>1/ Tìm các hàm riêng dạng sin và các trị riêng</b> tương ứng
của năng lượng.

2/ Giả sử trạng thái của hạt là . Vẽ đồ thị phân bố xác
suất tìm thấy hạt theo tọa độ và tìm xác suất để phép đo năng
lượng cho ta giá trị:

,

<b>Bài 4-4. Cho bài toán như bài (4.2). Trạng</b> thái của hạt là:

<b> </b>

<b>1/ Tìm xác suất của phép đo năng lượng cho ta</b> giá trị

, .

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40></div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

<i><b>Chương 5: SỰ BIẾN ÐỔI TRẠNG THÁI THEO THỜI GIAN</b></i>

I. <b>PHƯ</b> ƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHỤ THUỘC THỜI
GIAN

II. <b>M</b> ẬT ĐỘ XÁC SUẤT VÀ MẬT ĐỘ DÒNG XÁC SUẤT

III. <b>Đ</b> ẠO HÀM TOÁN TỬ THEO THỜI GIAN

IV. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC
LƯỢNG TỬ

V. <b>TÍCH</b> PHÂN CHUYỂN ĐỘNG

<b> Chương 5: SỰ BIẾN ÐỔI TRẠNG THÁI THEO THỜI GIAN </b>
<b>I. PHƯ</b>ƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHỤ THUỘC THỜI

GIAN<b> </b> TOP

Ở chương 4 ta đã nghiên cứu phương trình Schrodinger khơng
phụ thuộc thời gian, mơ tả trạng thái của hạt có năng lượng không đổi
theo thời gian (trạng thái dừng). Nghiệm của phương trình là phần phụ
thuộc khơng gian của hàm sóng, hàm sóng đó có dạng:

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42>

= .

Với

là phần phụ thuộc không gian (tọa độ) của hàm sóng.
Cịn

là phần phụ thuộc thời gian của hàm sóng.

Ðối với hạt có năng lượng không đổi và chuyển động trong
trường có thế năng, phần phụ thuộc khơng gian của hàm sóng tn
theo phương trình Schrodinger khơng phụ thuộc thời gian mà ta đã
xét. Ðó là phương trình trị riêng của năng lượng:

Bây giờ ta hãy xét xem hàm sóng thay đổi theo thời gian như thế
nào.

Trước hết ta thiết lập phương trình cho hạt tự do có xung lượng
xác định rồi suy ra cho trường hợp bất kì.

Ðạo hàm theo thời gian của hàm sóng ta được:

</div>
<span class='text_page_counter'>(43)</span><div class='page_container' data-page=43>

Hàm sóng là nghiệm của phương trình cũng phải đơn giá,
liên tục và hữu hạn.

Nếu biết tại một thời điểm nào đó, ta có thể suy ra tại
thời điểm bất kì sau đó bằng phương trình Schrodinger phụ thuộc thời
gian. Thật vậy, tích phân phương trình Schrodinger theo thời gian ta

được:

Tức là cứ cho t một gía trị ta có hàm sóng tương ứng ở thời điểm
t.

<b>II. MẬT</b> ĐỘ XÁC SUẤT VÀ MẬT ĐỘ DÒNG XÁC

SUẤT<b> </b> TOP

Ta biết rằng mật độ xác suất tìm thấy hạt ở điểm đang xét là

với đã chuẩn hóa

Vì hàm sóng phụ thuộc thời gian nên nói chung cũng phụ thuộc
thời gian và có dịng hạt lưu thơng trong khơng gian. Ta hãy xét mối
liên hệ giữa mật độ xác suất và dịng hạt.

Từ phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian ta có:

</div>
<span class='text_page_counter'>(44)</span><div class='page_container' data-page=44></div>
<span class='text_page_counter'>(45)</span><div class='page_container' data-page=45>

Thật vậy,xác suất tìm thấy hạt trong thể tích ,do đó độ
biến thiên xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV theo thời gian là:

Mà . Do đó ta có:
.

Ðó chính là sự biến thiên xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V theo
thời gian. Cịn vế phải:

Chính là xác suất hạt đi vào thể tích V theo thời gian.

Vậy độ biến thiên xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V theo thời
gian bằng xác suất để hạt đi vào thể tích V theo thời gian. Ðó chính là
nội dung của định luật bảo tồn xác suất hay là định luật bảo toàn số
hạt rằng: số hạt trong thể tích V tăng lên hay giảm xuống thì phải có số
hạt bên ngồi đi vào hay bên trong đi ra.

Nếu tích phân lấy theo tồn khơng gian thì vế phải bằng khơng vì
khi

Tức là hạt khơng thể đi ra ngồi khơng gian

<b> </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(46)</span><div class='page_container' data-page=46>

Nếu trạng thái cuả hạt là đã chuẩn hóa thì trị trung bình của
biến số động lực L sẽ là:

Vì nói chung phụ thuộc thời gian nên cũng phụ thuộc
thời gian. Ta hãy tính:

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(47)</span><div class='page_container' data-page=47>

được gọi là ngoặc Poisson lượng tử.

IV. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC

LƯỢNG TỬ<b> </b> TOP

Ta đã biết các phương trình chuyển động trong cơ cổ điển là các
phương trình như:

</div>
<span class='text_page_counter'>(48)</span><div class='page_container' data-page=48>

Xét hệ gồm một hạt khối lượng m thì năng lượng là :

Với tọa độ suy rộng , xung lượng suy rộng Thì từ các
phương trìnhchuyển động trên ta suy ra các phương trình quen thuộc:

Bây giờ ta hãy xét các phương trình tương tự trong cơ học lượng
tử xem sao.

Cho không phụ thuộc rõ vào thời gian thì từ phương trình
Heisenberg ta có:

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(49)</span><div class='page_container' data-page=49>

</div>
<span class='text_page_counter'>(50)</span><div class='page_container' data-page=50>

<b> </b>
<b>V. TÍCH</b> PHÂN CHUYỂN

ĐỘNG TOP

Trong cơ học cổ điển ta đã có định nghĩa tích phân chuyển động
là một hàm của tọa độ, xung lượng và thời gian, hàm này là không đổi
theo thời gian. Nghĩa là nếu là tích phân chuyển động thì:

Cũng tương tự, trong cơ lượng tử ta cũng có tích phân chuyển
động rằng: Nếu một đại lượng động lực L không thay đổi theo thời
gian thì đại lương động lực đó là tích phân chuyển động.

Nghĩa là:
Hay :

Nếu không phụ thuộc rõ vào thời gian thì:

</div>
<span class='text_page_counter'>(51)</span><div class='page_container' data-page=51>

Từ đó ta cũng suy ra

Nghĩa là nếu L là tích phân chuyển động thì trị trung bình của nó
cũng là tích phân chuyển động.

Ta cũng chứng minh được xác suất để L có giá trị cũng là
tích phân chuyển động.

Thật vậy. Vì L là tích phân chuyển động nên có

chung hàm riêng. Tức là ta có các phương trình:

<i><b> BÀI TẬP CHƯƠNG 5</b></i>

<b>Bài 5-3. Hạt chuyển động trong trường thế</b> có thế năng
V(z)=a.z, trong đó a = const .Hỏi rằng những đại lượng động
lực nào là tích phân chuyển động?

</div>
<span class='text_page_counter'>(52)</span><div class='page_container' data-page=52>

<b>Bài 5-4. Phương trình </b> <b>là</b> phương trình

Schrodinger phụ thuộc thời gian. Hãy chứng minh rằng phương
trình Schrođinger khơng phụ thuộc thời gian chỉ là trường hợp
riêng của phương trình trên khi hệ lượng tử ở trạng thái dừng.

<b>Baì 5-5. Từ phương trình Schrodinger, hãy tìm</b> hàm sóng ứng
với trạng thái dừng của hệ lượng tử.

<b>Bài 5-7. Phương trình </b> <b>mơ tả</b> chuyển động của
hạt tự do. Hãy tìm hàm sóng ( phần phụ thuộc r ) của hạt.

<b>Bài 5-8. Hạt chuyển động tự do. Chứng minh</b> rằng có thể đo
chính xác đồng thời năng lượng và xung lượng của hạt. Từ đó
tìm hàm riêng của năng lượng và xung lượng của hạt.

<i><b>Chương 6: MÔ MEN ÐỘNG LƯỢNG. </b></i>

I. <b>TỐN</b> TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG

II. TRỊ RIÊNG CỦA MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG

III. <b>HÀM</b> RIÊNG CỦA TỐN TỬ MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG
<b> </b>

IV. <b>M</b> ẪU VEC TƠ VÀ PHÉP CỘNG MƠ MEN ĐỘNG
LƯỢNG

V. <b>TÍNH</b> CHẲN LẺ CỦA HÀM CẦU ĐỐI VỚI PHÉP
NGHỊCH ĐẢO KHÔNG GIAN

</div>
<span class='text_page_counter'>(53)</span><div class='page_container' data-page=53>

I.<b> TỐN</b> TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG _TOP
Theo ngun lí tương ứng thì biến số động lực mô men động
lượng của hệ được mô tả bằng tốn tử mơ men động lượng là:

Tốn tử này có ba thành phần là ba tốn tử hình chiếu trên ba
trục tọa độ là:

Ngồi ra người ta cịn định nghĩa tốn tử bình phương mơ men
động lượng, tốn tử này có dạng:

Nghĩa là hai hình chiếu của mơ men động lượng khơng đo được
chính xác đồng thời, cịn một hình chiếu và bình phương của mơ men
động lượng thì đo được chính xác đồng thời.

</div>
<span class='text_page_counter'>(54)</span><div class='page_container' data-page=54>

Ngồi ra người ta cịn đưa ra các tốn tử sau đây:

Trong cơ học lượng tử, đôi khi giải bài toán trong tọa độ cầu lại
đơn giản hơn. Vậy ta hãy tìm dạng các tốn tử mơ men động lượng

trong tọa độ cầu để có thể áp dụng chúng trong việc giải các bài toán

</div>
<span class='text_page_counter'>(55)</span><div class='page_container' data-page=55>

<b> </b>

<b>II. TRỊ</b> RIÊNG CỦA MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG _TOP
Ðể tìm trị riêng của mơ men động lượng , ta phải giải
phương trình trị riêng của chúng. Gọi là hàm riêng của tốn tử

thì ta có phương trình trị riêng là:

Do đó ta viết
lại nghiệm như sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(56)</span><div class='page_container' data-page=56></div>
<span class='text_page_counter'>(57)</span><div class='page_container' data-page=57>

III. HÀM RIÊNG CỦA TOÁN TỬ MÔ MEN

ĐỘNG LƯỢNG<b> </b> TOP

Trong tọa độ cầu thì biểu thức của các tốn tử chỉ chứa
các tọa độ và các đạo hàm riêng theo hai tọa độ này. Do đó đối với
hàm sóng (hàm riêng của hai tốn tử này), ta cũng chỉ xác định được
phần phụ thuộc của hàm sóng mà thơi. Cịn phần phụ thuộc r coi
như được chứa trong hằng số nhân.

</div>
<span class='text_page_counter'>(58)</span><div class='page_container' data-page=58></div>
<span class='text_page_counter'>(59)</span><div class='page_container' data-page=59>

...
Thay vào biểu thức của ta tính được:

Từ đó người ta đã tính được các hàm cầu tương ứng:

.

.

....

<b>IV. MẪU</b> VEC TƠ VÀ PHÉP CỘNG MÔ MEN ĐỘNG

LƯỢNG TOP

</div>
<span class='text_page_counter'>(60)</span><div class='page_container' data-page=60></div>
<span class='text_page_counter'>(61)</span><div class='page_container' data-page=61>

<b>V. TÍNH</b> CHẲN LẺ CỦA HÀM CẦU ĐỐI VỚI PHÉP NGHỊCH
ĐẢO

KHÔNG GIAN<b> </b> TOP

Nếu ta đồng thời đổi chiều cả ba trục tọa độ của hệ tọa độ vng
góc thì hệ tọa độ thuận trở thành hệ ngược. Phép biến đổi như vậy gọi
là phép nghịch đảo khơng gian.Khi đó ta có:

</div>
<span class='text_page_counter'>(62)</span><div class='page_container' data-page=62>

Vậy hàm cầu có tính chẵn lẻ khi nghịch đảo không gian. Số chẵn
lẻ của hàm cầu phụ thuộc vào lượng tử so , tức là phụ thuộc vào mô
men động lượng .

BÀI TẬP CHƯƠNG 6

<b>Bài 6-1. Chứng minh các hệ thức giao hoán sau</b> đây:

.

<b>Bài 6-2. Chứng minh các hệ thức giao hoán: </b>

<b> </b> <b>. </b>

<b> </b> <b> . </b>

<b> </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(63)</span><div class='page_container' data-page=63>

.

<b>Bài 6-7. Ðiã tròn đồng chất có khối lượng</b> M, bán kính R, nằm
trong mặt phẳng ngang và có thể quay dễ dàng quanh trục
thẳng đứng qua khối tâm cuả nó.

1/ Hãy tìm hàm sóng và các mức năng lượng có thể tương ứng
của điã theo quan điểm cơ học lượng tử.

2/ Ðĩa có thể quay với vận tốc góc có giá trị như thế nào?

</div>
<span class='text_page_counter'>(64)</span><div class='page_container' data-page=64></div>

<!--links-->
<a href=' /><a href=' /> giáo trình cơ học

• 126
• 379
• 0