Bộ 16 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2017-2018 có đáp án

16 Bộ Toán 9 vào 10 Chuyên các Tỉnh Cả Nƣớc
Năm học: 2017 – 2018
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
QUÃNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Mơn: Tốn – Chun
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

Đề 1
Bài 1
1/ Giải phương trình: (x - 1)(x + 2) + 2 x 2 + x + 1 = 0
2/ Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng:
|

x+ y
2

xy | + |

x+ y
+
2

xy |= | x | + | y |

Đẳng thức trên cịn đúng hay khơng, trong trường hợp x, y là các số thực âm? Tại sao?
Bài 2
1/ Giả sử n số nguyên dương thõa mãn điều kiện n2 + n + 3 là số nguyên tố. Chứng minh

rằng n chia 3 dư 1 và 7n2 + 6n + 2017 khơng phải là số chính phương.
2/ Tìm tất cả các số nguyên x, y thõa mãn phương trình 2x 2 + 4y2 - 4xy + 2x + 1 = 2017 .
Bài 3
1/ Cho đa thức P(x) = x3 – 6x2 + 15x – 11 và các số thực a, b thõa mãn P(a) = 1, P(b) = 5.
Tính giá trị của a + b.
2/ Giả sử x, y là các số thực dương thay đổi và thõa mãn điều kiện x(xy + 1) = 2y2. Tìm
các giá trị nhỏ nhất của biểu thức H =

y4

(

1 + y2 + y 4 x 4 + x 2

)

.

Bài 4
·
·
· . Gọi M,
= yOB
1/ Cho hai điểm A, B phân biệt nằm trong góc nhọn xOy
sao cho xOA
N lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên Ox, Oy và P, Q lần lượt là hình chiếu vng góc
của B lên Ox, Oy. Giả sử M, N, P, Q đôi một phân biệt. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P,
Q cùng nằm trên một đường trịn.
2/ Cho tam giác ABC khơng cân, có ba góc nhọn. Một đường trịn qua B, C cắt các cạnh
AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, CE.

·
·
= NAC
a/ Chứng minh rằng các tam giác ABD, ACE đồng dạng với nhau và MAB
.
b/ Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên AB, K là hình chiếu vng góc N lên AC và
I là trung điểm của MN. Chứng minh tam giác IHK cân.

Bài 5
Cho 9 số ngun dương đơi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố
2; 3; 5. Chứng minh rằng trong 9 số đã cho, tồn tại hai số mà tích của chúng một số chính
phương.


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH

KỲ

ĐỀ CHÍNH THỨC

1.
Bài 2
Trong mһ
t phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 2x + 2m + 8
(với m tham số).
a/ Khi m = - 4, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P).
b/ Chứng minh rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) ln cắt nhau tại điểm phân biệt có
hồnh độ x1; x2. Tìm m để x1 + 2x2 = 2.
íï xy 2 + y 2 - 2 = x 2 + 3x

ï
Bài 3: Giải hệ phương trình: ïì
ïï x + y - 4 y - 1 = 0
ïỵ

Bài 4
Cho qng đường AB dài 300km. Cùng một lúc xe ô tô thứ nhất xuất phát từ A đến B, xe
ô tô thứ hai đi từ B về A. Sau khi xuất phát được 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của
mỗi xe, biết thời gian đi cả quãng đường AB của xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30
phút.
Bài 5
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Điểm C là điểm bất kỳ trên (O), C không
trùng với A, B. Tiếp tuyến tại C của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại P, Q.
Gọi M là giao điểm của OP với AC, N là giao điểm của OQ với BC.
a/ Chứng minh rằng: Tứ giác CMON là hình chữ nhật và AP.BQ = MN2.
b/ Chứng minh rằng: AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính PQ.
c/ Chứng minh rằng: PMNQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí điểm C để đường trịn
ngoại tiếp tứ giác PMNQ có bán kính nhỏ nhất.
Bài 6
Cho ba số thực dương x, y, z thõa mãn
P=

y 2z2

(

x y 2 + z2

)

+

1
1
1
+ 2 + 2 = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:
2
x
y
z

z2x 2

(

y z2 + x 2

)

+

x 2y2

(

z x 2 + y2

)

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
HẢI DƢƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Tốn – Chun Nguyễn Trãi
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề)

Đề 3
Bài 1
1/ Cho 3 số x, y, z đôi một khác nhau và thõa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tính giá trị
của biểu thức: P =

2018(x - y)(y - z)(z - x)
2xy2 + 2yz 2 + 2zx 2 + 3xyz

2/ Rút gọn biểu thức: Q =

1 + ax 1 - bx
1 2a - b
với x =
và 0 < a < b < 2a.
1 - ax 1 + bx
a
b

Bài 2
1/ Giải phương trình: x 2x + 3 + 3( x + 5 + 1) = 3x + 2x 2 + 13x + 15 + 2x + 3
íï x 2 + 4y - 13 + (x - 3) x 2 + y - 4 = 0

ï
2/ Giải hệ phương trình: ïì
ïï (x + y - 3) y + (y- 1) x + y + 1 = x + 3y - 5
ïỵ

Bài 3
1/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 5y2 – 4xy – 4y + 3 = 0
2/ Tìm tất cả các số nguyên dương (x, y) thõa mãn: x2 + 3y và y2 + 3x là số chính
phương.
Bài 4
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B (A, O, B
không thẳng hàng). Trên tia đối của tia AB lấy điểm C, kẻ tiếp tuyến CD, DE với (O), trong đó
D, E là các tiếp điểm và E nằm trong (O’). Đường thẳng AD, AE cắt (O’) lần lượt tại M và N
(M, N khác A). Đường thẳng DE cắt MN tại I, OO’ cắt AB và DI lần lượt tại H và F.
1/ Chứng minh: FE.HD = FD.HE
2/ Chứng minh: MB.EB.DI = IB.AN.BD
3/ Chứng minh: O'I ^ MN
Bài 5
Cho x, y, z là ba số dương thõa mãn:
nhỏ nhất của biểu thức: M =

x 2 + y2 +

x2
y2
z2
+
+
y+ z z+ x x+ y

y2 + z 2 +

z 2 + x 2 = 6 . Tính giá trị


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
Năm học: 2017 – 2018
Mơn: Tốn – Chuyên
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề 4
Bài 1
ỉ1
1/ Tìm tất cả các số tự nhiờn x thừa món ỗỗ ỗố x

ửổ
ữỗỗ 1 ữ
ữ
x - 1ứốỗ x + 1
2

2/ Vi a, b, c l cỏc số thực thõa mãn điều kiện a + b + c = 3 và
2017

trị của biểu thức: P = (a - 3)

2017

(b - 3)

2017

(c - 3)

ư
÷³ 1
1÷
÷
ø
1 1 1
+ + = 3 . Tính giá
a b c

.

Bài 2
1/ Giải phương trình:

x+ 5-

x+ 1

(

)

x 2 + 6x + 5 + 1 = 4

íï 2 x + 3y + 2 - 3 y =
2/ Giải hệ phương trình: ïì

x+ 2

ïï x - 3x - 4 y + 10 = 0
ïỵ

Bài 3
Cho đường trịn (O), từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC
với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC, I là trung điểm
của BH. Đường thẳng qua I vng góc với OB cắt (O) tại hai điểm D, K (D thuộc cung nhỏ
BC). Tia AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E. DK cắt BE tại F.
1/ Chứng minh rằng: Tứ giác ICEF nội tiếp đường tròn.
·
·
= 2DHK
2/ Chứng minh rằng: DBH
3/ Chứng minh rằng: DB.CE = BE.CD và BF.CE2 = BE.CD2
Bài 4
1/ Tìm các số nguyên x, y thõa mãn phương trình sau: x3 + 1 = 4y2
2/ Tìm các số tự nhiên x thõa mãn biểu thức x4 – x2 – 10x – 25 là số nguyên tố.
Bài 5
1/ Xét các số thực a, b, c không âm, khác I và thõa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị của
biểu thức P =

1

1
+
+ (a + b)(4 + 5c)
a + bc b + ac

2/ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) bán kính R = 4cm (O nằm trong tứ giác
ABCD). Xét 33 điểm phân biệt nằm trong tứ giác ABCD sao cho khơng có 3 điểm nào thẳng
hàng. Chứng minh rằng trong 33 điểm đó ln tìm được 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác có
diện tích nhỏ hơn

3 3
(cm2).
4


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Tốn – Chun Tốn, Tin
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề)

Đề 5
Bài 1:
Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0 (m tham số, x ẩn)
a/ Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b/ Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2. Chứng minh: | x 1 + x 2 + x 1x 2 |£

9
.
8

Bài 2:
íï 2x 2 - xy = 1
Cho hệ phương trình: ïì 2
trong đó, m tham số và x, y ẩn số.
ïï 4x + 4xy - y 2 = m
ïỵ

a/ Giải hệ phương trình khi m = 7.
b/ Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm.
Bài 3
Cho hình thang ABCD với AD, BC là hai cạnh đáy; BC > AD. BC = BD = 1; AB = AC,
·
·
CD < 1, BAC
+ BDC
= 1800 ; E là đểm đối xứng với D qua đường thẳng BC.
·
·
= 2AEC
a/ Chứng minh rằng: 4 điểm A, C, E, B cùng nằm trên một đường tròn và BEC
.
b/ Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại điểm K, đường thẳng BC cắt đường thẳng
AE tại điểm F. Chưng minh rằng: FA = FD và đường thẳng FD tiếp xúc với đường trịn ngoại
tiếp tam giác ADK.
c/ Tính độ dài CD.

Bài 4
Cho phương trình x2 + y2 + z2 = 3xyz (1). Mỗi bộ số (x, y, z) trong đó x, y, z là các số
nguyên dương thõa mãn (1) được gọi là một nghiệm nguyên dương của phương trình (1).
a/ Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương có dạng (x, y, y) của phương trình (1).
b/ Chứng minh rằng tồn tại nghiệm nguyên dương (a, b, c) của phương trình (1) và thõa
mãn điều kiện min {a, b, c}> 2017 . Trong đó kí hiệu min {a, b, c}là số nhỏ nhất trong ba số a,
b, c.
Bài 5
Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương a1; a2, … , an+1 thõa mãn điều kiện
1 £ a 1 < a 2 < ... < an- 2 £ 3n . Chứng minh rằng tồn tại hai số a i, a j (1 £ j < i £ n + 2 / i, j Î ¥ )
sao cho n < ai – aj < 2n.


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
Năm học: 2017 – 2018
Mơn: Tốn
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề 6
Bi 1
ổx x + x - 2
ỗ
1/ Cho biu thc A = ỗỗ
ốỗ

x- 1

ử
ữ
x- 1
ữ
vi x 0; ạ 1
.
ữ
ữ
x + 3 x + 2÷
ø 2x + x 0 - 3
x+2

a/ Rút gọn biểu thức A
b/ Tính giá trị biểu thức A khi

x
=
4

1009 + 2017
2

2

1009 -

2017
2

(1)

2/ Cho phương trình x – 2x – 2m – 1 = 0 ( x ẩn, m tham số). Tìm các giá trị của m để
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thõa mãn:
x12 + (2m + 5)x 2 + 2m
2

+

2
122
=
11
x + (2m + 5)x 1 + 2m
2
2

Bài 2
1/ Giải phương trình: 2x 2 - x + 4 - 3x = 2 x 2 - 2x + 2
íï x 2 y 2 + 4 = 2y 2
2/ Giải hệ phương trình: ïì
ïï (xy + 2)(y - x ) = x 3y 3
ïỵ

Bài 3
1/ Tìm tất cả bộ số nguyên dương (x, y, z) thõa mãn

x + y 2017

là số hữu tỉ đồng thời

y + z 2017

(y + 2)(4zx + 6y – 3) là số chính phương.
2/ Trong hình vng cạnh 1dm đặt một số hình vng nhỏ có tổng chu vi bằng 9dm.
Chứng minh rằng luôn tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất ba hình vng nhỏ (khơng kể hình
vng bao ngồi)
Bài 4
Cho tam giác OAI vng tại A, B là điểm đối xứng với A qua đường thẳng OI. Gọi H, E
lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BI. Trong đó D là giao điểm của đường thẳng AE và
đường trịn(C) tâm O bán kính OA (D khác A).
1/ Chứng minh rằng: Tứ giác BHED nội tiếp.
2/Gọi J là giao điểm của đường thẳng ID và đường tròn (C) (J khác D). Chứng minh
rằng: Tam giác BJA cân tại B.
3/ Gọi K là giao điểm của đường thẳng ID và đường tròn (C) (K khác D). Chứng minh
rằng: IH2 = ID.IK – DH.HK
Bài 5
Cho hai số thực dương x, y thõa mãn 2 xy +
P=

y 4x
+
+ 15xy.
x 3y

x
= 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
Năm học: 2017 – 2018
Mơn: Tốn - Chuyên
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề 7
Bài 1:
2

ỉ1 1 1 ư
1
1
1
÷
Cho a, b, c l cỏc s thc khỏc 0, thừa món ỗỗ + + ữ
= 2 + 2 + 2 . Chng minh
ữ
ữ
ỗốa b c ø
a
b
c

rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc.

Bài 2

(

2

)

a/ Giải phương trình: 4x 2 = (3x - 2) 2x + 1 - 1

íï x 2 - 2y 2 = xy + x + y
ï
b/ Giải hệ phương trình: ïì
ïï x 2y - y x - 1 = 4x - 4y
ïỵ

Bài 3
2

é
ëê

ù
ú
û

2

a/ Cho phương trình: (x - a ) êa (x - a ) - a - 1ú+ 1 = 0 . Tìm tất cả các giá trị tham số a
để phương trình có số nghiệm dương nhiều hơn số nghiệm âm.

b/ Cho a, b, c là các số dương thõa mãn

1
2017
2018
+
+
£ 1.
1 + a 2017 + b 2018 + c

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = abc.
Bài 4:
Cho hình vng ABCD có cạnh bằng a, M là một điểm bất kỳ trên cạnh AB (M khác A
và B). Gọi E là giao điểm của tia CM và tia DA. Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho
BF = DE. Gọi N là trung điểm của đoạn EF.
a/ Chứng minh hai tam giác EAC và NBC đồng dạng.
b/ Xác định vị trí điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp 6 lần diện
tích hình vng ABCD.
Bài 5
Trên một đường tròn cho 16 điểm phân biệt, dùng 3 màu xanh, đỏ, vàng để tô các điểm
ấy (mỗi điểm chỉ tô một màu). Mỗi đoạn thẳng nối bắt kỳ trong 16 điểm trên được tơ màu nâu
hoặc màu tím. Chứng minh rằng: Với mỗi cách tô màu luôn tồn tại ít nhất một tam giác có các
đỉnh cùng màu và các cạnh cũng cùng màu.


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
Năm học: 2017 – 2018

Mơn: Tốn – Chun Tốn (Lê Q Đơn)
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thi gian giao )

CHNH THC

8
Bi 1
ổ x- 2
ỗ
Cho biu thc A = ỗỗ
ỗố x - 1

ử
ữ
x 2 - 2x + 1
÷
÷
÷
2
÷
x + 2 x + 1ø
x+2

a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. Rút gọn A.
b/ Tìm x để A ³ 0
c/ Tìm giá trị lớn nhất của A.
Bài 2
1/ Giải phương trình sau: 4x4 + 4x3 – 20x2 + 2x + 1 = 0.
2/ Chứng minh rằng nếu số tự nhiên abc là số ngun tố thì b2 – 4ac khơng là số chính
phương.

Bài 3
Cho đa thức f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1 (m tham số). Bằng cách đặt x = t + 2. Tính
t(x) theo t và tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Bài 4
1/ Cho đường trịn (T) tâm O bán kính AB, trên tiếp tuyến tại A lấy một điểm P khác A,
điểm K thuộc đoạn OB (K khác O và B). Đường thẳng PK cắt đường tròn (T) tại C và D (C
nằm giữa P và D). H trung điểm của CD.
a/ Chứng minh tứ giác AOHP nội tiếp đường tròn.
· = BAH
·
b/ Kẻ DI // PO, điểm I thuộc AB, chứng minh: PDI
2
c/ Chứng minh đẳng thức PA = PC.PD
d/ BC cắt OP tại J, chứng minh Ạ // DB.
2/ Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm I thuộc miền trong tam giác, kẻ IM ^ BC ,
kẻ IN ^ AC,IK ^ AB . Tìm vị trí của I sao cho tổng IM2 + IN2 + IK2 nhỏ nhất.
Bài 5
Cho các số thực dương x, y, z thõa mãn xyz £ 1. Chứng minh rằng:
x (1 - y3 )
y3

+

y (1 - z3 )
z3

+

z (1 - x 3 )
x3

³ 0


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Tốn – Chun Phan Bội Châu.
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề)

Đề 9
Bài 1
a/ Giải phương trình: 3x + 7 x - 4 = 14 x + 4 - 20
íï 6x + 4y + 2 = (x + 1)2
ï
b/ Giải hệ phương trình: ïì
ïï 6y + 4x - 2 = (y - 1)2
ïỵ

Bài 2
Tìm số tự nhiên n thõa mãn S(n) = n2 – 2017n + 10 với S(n) là tổng các chữ số của n.
Bài 3
Cho các số thực dương a, b, c thõa mãn c a . Chng minh rng:
ổ a
ỗỗ
ỗốa +

2

ử
ổ b
ữ
ỗ
+
ữ
ữ ốỗỗ b +
bứ

2

2

ử
ổ c ử
3
ữ
ữ
ỗỗ
+

4
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ốc + a ứ 2

cứ

Bi 4
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M
khác A. Qua M kẻ các tiếp tuyến MC, MD với (O’) (C, D là các tiếp điểm và D nằm trong
(O)).
a/ Chứng minh rằng: AD.BC = AC.DB
b/ Các đường thẳng AC, AD cắt (O) lần lượt tại E, F (E, F khác A). Chứng minh đường
thẳng CD đi qua trung điểm của È.
c/ Chứng minh đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi.
Bài 5
Trong đường trịn (O) có bán kính bằng 21 đơn vị, cho 399 điểm bắt kỳ A1; A2; .....;
A99. Chứng minh rằng tồn tại vơ số đường trịn có bán kính bằng 1 đơn vị nằm trong đường
trịn (O) và khơng chứa điểm nào trong 399 điểm A1; A2; ....; A399.


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
NINH BÌNH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
Năm học: 2017 – 2018
Mơn: Tốn – Chun Tốn
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề 10
Bài 1
Cho P =

3 a
+
a+ 2

a+1 5 a+ 2
+
với a ³ 0;a ¹ 4
4- a
a- 2

a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tính giá trị biểu thức P khi a = 3 1 +

84 3
+ 19

84
9

Bài 2
a/ Giải phương trình:

(

x+ 4-

)(

x- 1

)

x 2 + 3x - 4 + 1 = 5

íï x 3 - 3x = y3 + y
b/ Giải hệ phương trình: ïì 2
ïï x = y 2 + 3
ỵ

Bài 3
a/ Cho các số hữu tỉ a,b,c thõa mãn ab + bc + ca = 2017.
Chứng minh răng:

(a 2 + 2017)(b2 + 2017)(c2 + 2017) là một số hữu tỉ.

b/ Tìm x, y nguyên dương thõa mãn phương trình: 7x2 + 3y2 = 714
Bài 4
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuộc hai nửa mặt phẳng
bờ AB). Tiếp tuyến chung gần B của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’) tại C, D.
Qua A kẻ đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (O) và (O’) tại M, N (M, N khác A). Các
đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E. Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng MN
với đường thẳng BC và đường thẳng BD.
Chứng minh rằng:
a/ Đường thẳng AE ^ CD
b/ Tứ giác BCED nội tiếp.
c/ Tam giác EPQ cân.
Bài 5
Cho các số thực a, b, c thõa mãn điều kiện a + b + c = 2018. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức: P =

a+

a
+
2018a + bc b +

b
+
2018b + ca c +

c
.
2018c + ab


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
TP. ĐÀ NẴNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
Năm học: 2017 – 2018
Mơn: Tốn – Chuyên Lê Quý Đôn
Thời gian: 150 phút, (không kể thi gian giao )

CHNH THC

11
Bi 1
ổx+ 1
1
+

ốỗ x + 1 x + x

a/ Gii bt phng trỡnh: ỗỗ

ử
1 ÷
x
³ 2017 +
:
÷
÷
xø x+ 2 x + 1
3

b/ Cho các số dương x,y thõa mãn x = 4y + 2xy . Tính P =

(

2017

xy 3 3 x - 2 3 y

)

2xy

Bài 2
a/ Cho phương trình x2 + 2(2m – 1)x – 3m = 0 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị
nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 sao cho biểu thức
Q=

2(x12 + x 22 )
x1 + x 2

đạt giá trị nguyên.

b/ Cho phương trình trình ax2 + bx + c = 0 với a, b, c là các số thực a ¹ 0 và 2a + b + c =
0. Chứng minh rằng phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Tìm các nghiệm
2

đó khi biểu thức T = (x1 - x 2 ) + 2 (x1 + x 2 ) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3
3

a/ Giải phương trình: (x + 1) = (x 4 + 3x 3 ) x + 3
íï x 2 + y 2 + xy = 1
ï
b/ Giải hệ phương trình: ì 6
ïï 2x - 1 = xy 2x 2 y 2 - 3
ïỵ

(

)

Bài 4
Các điểm A1; A2; ….; A2n (n ³ 2) được sắp xếp theo thứ tự đó trên đường trịn (O) và
chia đường tròn thành 2n cung tròn bằng nhau. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k
thõa điều kiện 2 < k £ 2n + 1 ta đều có hai dây cung A1Ak và A2Ak+n-1 vng góc với nhau.
Bài 5

a/ Cho tam giác nhọn ABC cân tại A, nội tiếp đường trịn tâm O đường đường kính AD.
Hai đoạn thẳng BC và AD cắt nhau tại I. Gọi M là điểm nằm trên đoạn thẳng CI (M khác C và
I). Đường thẳng qua M song song với BD cắt CD tại K; đường thẳng qua M song song với CD
cắt BD tại Q. Chứng minh rằng: AM vng góc với QK.
Bài 6
Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thõa mãn điều kiện 5x.3y + 1 = (3z + 2)


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Tốn – Chun Hùng Vƣơng
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề)

Đề 12
Bài 1
a/ Cho 3 số a, b, c đôi một khác nhau thõa mãn a2 + b = b2 + c = c2 + a. Tính giá trị của
biểu thức: T = (a + b – 1)(b + c – 1)(c + a -1 )
b/ Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt.
x4 + x3
x + 3mx + 2m =
2
2

2

Bài 2

a/ Tìm các số nguyên m sao cho m2 + 12 là số chính phương.
b/ Chứng minh rằng trong 11 số nguyên tố phân biệt, lớn hơn 2 bất kỳ luôn chọn được
hai số gọi là a, b sao cho a2 – b2 chia hết cho 60.
Bài 3
a/ Giải phương trình: 4x 2 + 5 + 3x + 1 = 13x
í
ïïï 2x + 2y = 6
b/ Giải hệ phương trình : ì
ïï 2x + 5 + 2y + 9 = 8
ïỵ

Bài 4
·
= 1200 , nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là giao điểm của
Cho tam giác ABC cân với BAC
đường thẳng AC với tiếp tuyến của (O) tại B; E là giao điểm của đường thẳng BO với đường
trịn (O) (E ¹ B); F, I lần lượt là giao điểm của DO với AB, BC; M, N lần lượt là trung điểm
của AB, BC.
a/ CMR: Tứ giác ADBN nội tiếp.
b/ CMR: Ba điểm F, N, E thẳng hàng.
c/ CMR: Các đường thẳng MI, BO, FN đồng quy.

Bài 5
Cho các số không âm x, y, z thõa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P = x 2 + y 2 + z2 +

9
xyz
2

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
Năm học: 2017 – 2018
Mơn: Tốn – Chuyên Hạ Long
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao )

CHNH THC

13
Bi 1
ổ

ỗ
Cho biu thc: A = çç

3

2
èç x + x 3 + 3

+

3
x3 -

ưỉ
ư

÷
÷
3
çç x
÷
÷
(với x ạ 0; x ạ
+
+
1
ữ
ữ
ỗỗ
ữ
ữ
x
ữ 3
ữ
27 ứố
ứ

3)

1/ Rỳt gn biu thc A
2/ Tính giá trị của biểu thức A khi x =

3+

5-

3-

29 - 12 5

Bài 2
1/ Giải phương trình: x 3 - x 2 - x x - 1 - 2 = 0
íï x 2 + xy - 2y 2 = 0
2/ Giải hệ phương trình: ïì
ïï xy + 3y 2 + x = 3
ïỵ

Bài 3
Tìm các số tự nhiên n để A = n2018 + n2018 + 1 là số ngun tố.
Bài 4
Cho đường trịn (O; R) đường kính AB, M là một điểm tùy ý thuộc đường tròn (M khác
A và B). Qua A và B lần lượt kẻ các đường thẳng d và d’ tiếp tuyến với đường tròn. Tiếp tuyến
tại M của đường tròn cắt d và d’ lần lượt tại C và D. Đường thẳng BM cắt d tại E.
1/ Chứng minh rằng: CM = CA = CE
2/ Chứng minh rằng: AD ^ OE
3/ Tính độ dài đoạn thẳng AM theo R, nếu AE = BD.
Bài 5
Cho a, b thõa mãn | a |³ 2;| b |³ 2 . Chứng minh rằng:

(a

2

)(

) (a + b)(ab + 1) + 5

+ 1 b2 + 1 ³


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
BÌNH THUẬN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Tốn – Chun Trần Hƣng Đạo
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề)

Đề 14
Bài 1
íï y 2 + 1 = xy
Giải hệ phương trình: ïì 2
ïï x + y 2 + 1 + 2 (x + y ) = 0
ïỵ

Bài 2
Cho n số ngun a1; a2; ….; an thõa mãn S = a1 + a2 + a3 + … + an chia hết cho 6. Chứng
minh rằng: P = a 13 + a 23 + a 33 + ... + a 3n cũng chia hết cho 6.
Bài 3
Cho x, y, z là các số thực dương thõa: x + y + z = 4. Chng minh rng:
ổ
ửổ
ửổ
ử
ỗỗ1 + xy + y ữ

ỗỗ1 + yz + z ữ
ỗỗ1 + zx + x ữ
ữ
ữ
ữ
27
ữ
ữ
ữ
ữỗ
ữỗ
ữ
ỗố
z ứố
x ứố
yứ

Du = xy ra khi nào?
Bài 4
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có AD là đường cao. H là trực tâm của tam giác
ABC. Tia BH cắt đường trịn đường kính AC tại E, F sao cho BE < BF, tia CH cắt đường trịn
đường kính AB tại G, K sao cho CG < CK, đường tròn ngoại tiếp tam giác EDG cắt BC tại
điểm thứ hai P.
a/ Chứng minh rằng: A là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác KEGF.
b/ Chứng minh rằng: Ba điểm B, E, K thẳng hàng.
c/ Chứng minh rằng: Bốn điểm K, D, P, F cùng thuộc một đường tròn.
Bài 5
Trong ngày quốc tế thiếu nhi 1/6 vừa qua, có 97 em nhỏ đến từ 3 trường của một huyện
miền núi được nhận mỗi em một món quà. Biết rằng chỉ có 4 loại quà được phát ra trong 5 em
nhỏ bất kỳ đến từ cùng một trường, nhận cùng một loại q thì có 2 em cùng tuổi. Chứng

minh rằng ln có 3 em nhỏ đến từ cùng một trường, cùng tuổi và nhận cùng một loại quà.


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
HỊA BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Tốn (Chung) - Hồng Văn Thụ
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề)

Đề 15
Bài 1
1/ Rút gọn các biểu thức sau:
a/ A=

5-

125 + 3 45 b / B =

9+ 4 5 -

9- 4 5

2/ Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức sau: C = (x - 1)

2x
x - 2x + 1
2

Bài 2
1/ Trong hệ trục tọa độ Oxy, hãy vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 2
2/ Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BC = 5cm, AH =

12
cm . Tính độ
5

dài cạnh AB và AC.
íï x + y - 5 = 20 - y 2
ï
3/ Giải hệ phương trình: ïì
2
ïï xy = x + 5
ïỵ

Bài 3
Hai vật chuyển động với vận tốc khơng đổi trên một đường trịn có bán kính 20m, xuất
phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 giây lại
gặp nhau, nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4 giây lại gặp nhau. Hãy tính vận tốc
của mỗi vật.
Bài 4
Cho đường trịn tâm O đường kính MN và dây cung PQ với góc với MN tại I (I khác M
và N). Trên cung nhỏ NP lấy điểm J (J khác N và P), nối M với J cắt PQ tại H. Gọi giao điểm
của PN với MJ là G, giao điểm của JQ với MN là K. Chứng minh rằng:
1/ Tứ giác GKNJ nội tiếp.
2/ KG /// PQ
3/ Điểm G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PKJ.
Bài 5

Cho x, y, z các số tự nhiên thõa mãn: x + y + z = 2017. Tìm giá trị lớn nhất của P = xyz.


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
QUẢNG TRỊ
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Môn: Tốn
Thời gian: 150 phút, (khơng kể thời gian giao đề)

Đề 16

Bài 1: Rút gọn biểu thức: A =

3+

5-

13 +

6+

48

2

Bài 2:
Cho biểu thức P =

x 2 y2
1
+
+
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P trong các
y
x
x+ y

trường hợp sau:
a/ x, y các số thực dương.
b/ x, y các số nguyên dương.
Bài 3
a/ Giải phương trình: 2 3 - x + 2 + x = 5
íï x 3 + y 3 + 1 = 3xy
b/ Giải hệ phương trình: ïì 2
ïï x + 2xy + 2y 2 = 5
ïỵ

Bài 4
4

a/ Tìm chữ số tận cùng của a = 20176
b/ Tìm tất cả các nghiệm nguyên (x,y) của phương trình:
7(x + y) = 3(x2 + xy + y2)
Bài 5
Cho đường tròn tâm O, đường kính BC. A là một điểm tuộc đường trịn (A khác B, C). H
là hình chiếu của điểm A trên BC. Vẽ đường trịn tâm (I) có đường kính AH cắt AB và AC lần
lượt tại M và N.

a/ CMR: Tứ giác BMNC nội tiếp.
b/ Vẽ đường kính AK của đường trịn (O). Gọi E là trung điểm của HK.
Chứng minh rằng: EM = EB
Bài 6
Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ BH ^ AC(H Ỵ AC) . Đường
thẳng vng góc với AM tại A cắt BH tại E. Gọi F là điểm đối xứng với E qua A, K là giao
điểm của CF và AB. Chứng minh rằng M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK.


ĐÁP ÁN - 16 BỘ TOÁN 9 VÀO 10 CHUYÊN CẢ NƯỚC
Năm học: 2017 – 2018
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
Năm học: 2017 – 2018
Mơn: Tốn – Chun
Thời gian: 150 phút, (không kể thời gian giao đề)

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
QUÃNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề 1

ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN
Bài 1
1/ Giải phương trình: (x - 1)(x + 2) + 2 x 2 + x + 1 = 0
2/ Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng:
|

x + y
2

x + y
+
2

xy | + |

x y |= | x | + | y |

Đẳng thức trên cịn đúng hay khơng, trong trường hợp x, y là các số thực âm? Tại sao?
Giải
1/ Giải phương trình:
* Cách 1: Ta có: (x - 1)(x + 2) + 2 x 2 + x + 1 = 0 Û x 2 + x + 1 + 2 x 2 + x + 1 - 3 = 0
Đặt: t =

ét = 1
x 2 + x + 1 > 0 Þ t 2 + 2t - 3 = 0 Û êê 1
êët 2 = - 3(loai)

Thay t = 1 t = 1 Þ

ét = 0
x 2 + x + 1 = 1 Û x (x + 1) = 0 Û êê 1
êët 2 = - 1

Vậy nghiệm của phương trình là S = {- 1; 0}
* Cách 2: Ta có: (x - 1)(x + 2) + 2 x 2 + x + 1 = 0 Û (x - 1)(x + 2) = - 2 x 2 + x + 1
ĐK: (- 2 £ x £ 1)
2

(

(x - 1)(x + 2) =

)

(

)

- 2 x 2 + x + 1 Û x2 + x - 2 = 4 x 2 + x + 1
éx = 0
ê1
êx = - 1
ê2
ê
2
Û x (x + 1) x + x - 8 = 0 Þ êx = - 1 + 33 (loai)
ê3
2
ê
ê
êx = - 1 - 33 (loai)
4
2
ëê

Þ

(

)

Vậy nghiệm của phương trình là S = {- 1; 0}
2/ Chứng minh rằng:
Ta có:

|

x + y
2

xy | + |

x + y
+
2

x y |= | x | + | y |


x+ y
x+ y
- xy | + |
+ xy |= | x | + | y |
2
2
( x - y)2
( x + y)2
( x - y)2 ( x + y)2

Û|
+
= x + y =| x | + | y |
|+ |
|=
2
2
2
2

|

(Vì x, y là các số thực dương)
- Xét x, y là số thực âm, đặt: x = - a; y = - b ta có:
x+ y
x+ y
- a- b
- xy | + |
+ xy |= |
- ab | + |
2
2
2
( a + b )2 ( a
- ( a + b )2
- ( a - b )2
|+ |
|=
=|
+

2
2
2

|

a- b
+ ab |=
2
- b)2
= a + b =| a | + | b | .
2

Vì a, b > 0.
Vậy đẳng thức trên vẫn đúng với x, y là các số tực âm.
Bài 2
1/ Giả sử n số nguyên dương thõa mãn điều kiện n2 + n + 3 là số nguyên tố. Chứng minh
rằng n chia 3 dư 1 và 7n2 + 6n + 2017 khơng phải là số chính phương.
2/ Tìm tất cả các số nguyên x, y thõa mãn phương trình 2x 2 + 4y 2 - 4xy + 2x + 1 = 2017 .
Giải
1/ Chứng minh n chia 3 dư 1 và 7n2 + 6n + 2017 không phải số chính phương.
Vì n số ngun dương nên n2 + n + 3 > 3. Gọi r là dư khi chia n cho 3 nên r Ỵ {0;1;2}
+ Nếu r = 0 hoặc r = 2 thì n 2 + n + 3 M3 mâu thuận với giả thiết n2 + n + 3 là số nguyên tố.
+ Do đó r = 1 hay n chia dư 1, khi đó 7n2 + 6n + 2017 chia 3 dư 2.
+ Một số chính phương khi chia cho 3 có dư là 0 hoặc 1.
Vậy 7n2 + 6n + 2017 không phải là số chính phương.
2/ Tìm tất cả các số ngun x, y thõa mãn pt: 2x 2 + 4y 2 - 4xy + 2x + 1 = 2017
2

2

Ta có: 2x 2 + 4y 2 - 4xy + 2x + 1 = 2017 Û (x - 2y ) + (x + 1) = 92 + 442 = 2017

éx = 8
1
* Xét T/hợp1: (x + 1) = 9 Û (x - 8)(x + 10) = 0 Þ êê
êëx 2 = - 10
é8 - 2y = 44
éy = - 18
2
2
Û êê 1
+ Với x = 8 Þ (8 - 2y) + 92 = 92 + 442 Û (8 - 2y ) = 442 Þ êê
êë8 - 2y = - 44
êëy 2 = 26
éy = 17
2
2
2
1
+ Với x = - 10 Þ (- 10 - 2y ) + (- 10 + 1) = 92 + 442 Û (10 + 2y) = 442 Û êê
êëy 2 = - 27
é(x + 1) = 44
éx = 43
2
2
ê
Þ êê 1
* Xét T/hợp 2: (x + 1) = 44 Û ê
x + 1) = - 44

êëx 2 = - 45
ëê(
éy = 17
2
2
2
+ Với x = 43 Þ (43 - 2y ) + (43 + 1) = 92 + 442 Û (43 - 2y ) = 92 Þ êê 1
êëy 2 = 26
éy = - 18
2
2
2
+ Với x = - 45 Þ (- 45 - 2y ) + (- 45 + 1) = 92 + 442 Û (45 + 2y) = 92 Þ êê 1
êëy 2 = - 27
2

2

Vậy phương trình có các nghiệm nguyên là: (8;-18); (8;26); (-10;17); (-10;-27); (43;17);
(43;26); (- 45;-18); (- 45;-27).


Bài 3
1/ Cho đa thức P(x) = x3 – 6x2 + 15x – 11 và các số thực a, b thõa mãn P(a) = 1, P(b) = 5.
Tính giá trị của a + b.
2/ Giả sử x, y là các số thực dương thay đổi và thõa mãn điều kiện x(xy + 1) = 2y2. Tìm
y4

các giá trị nhỏ nhất của biểu thức H =

(

1 + y2 + y 4 x 4 + x 2

)

.

Giải
1/ Tính giá trị của a + b
* Cách 1: Thay P(a) = 1, P(b) = 5 ta có hệ phương trình sau:
ìï P = a 3 - 6a 2 + 15a - 11 = 1
2
2
2
é
Þ ïí (a )
Û (a + b - 4)ê(a - b ) + (a - 2) + (b - 2) +
3
2
ïï P(b) = b - 6b + 15b - 11 = 5
ởờ
ùợ
ị a + b- 4= 0 a + b = 4

ù
6 ú= 0
ûú

Vậy a + b = 4

* Cách 2:
ìï (a 3 - 6a 2 + 12a - 8) + (3a- 3) = 1 ïìï (a ïí
Û ïí
ïï (b3 - 6b 2 + 12b - 8) + (3b - 3) = 5 ïï (b ỵ
ïỵ
3
3
3
é(a - 2) + 3(a - 1)- 1ù+ é(b - 2) + 3(b - 1)- 5ù= 0 Û é(a - 2) + (b - 2)3 ù+
êë
úû êë
úû
êë
úû
é a - 2)2 - (a - 2)(b - 2)+ (b - 2)2 ù+ 3(a + b - 4)= 0
(a + b - 4)(
êë
úû
é a - 2)2 - (a - 2)(b - 2)+ (b - 2)2 + 3ù= 0
(a + b - 4)(
êë
úû
a + b- 4= 0 Û a + b = 4

3

ìï P(a ) = a 3 - 6a 2 + 15a - 11 = 1
Þ ïí
Û
ïï P(b) = b3 - 6b 2 + 15b - 11 = 5

ïỵ

2) + 3(a - 1)- 1 = 0

Û

é3(a - 1)+ 3(b - 1)ù- 6 = 0
ë
û

Û
Û
Þ

2/ Tìm các giá trị nhỏ nhất của biểu thức H =
y4

H=

2

4

(

4

1+ y + y x + x

Vì x (xy + 1) = 2y 2 Þ

2

)

2

4

(

4

1
1
+ 2 + x4 + x2
4
y
y

(

1 + y2 + y 4 x 4 + x 2
1

=
(

1
1

+ x 4) + ( 4 + x2)
2
y
y

£

)

.
1
2

2x
2x
+ 2
y
y

2x 2 2x
+ 2 = 4
y
y

y4

H=

1

=

y4

3

2) + 3(b - 1)- 5 = 0

1+ y + y x + x

2

)

1

=
(

1
1
+ x 4) + ( 4 + x2)
2
y
y

Vậy giá trị lớn nhất của H =

£

1
2

2x
2x
+ 2
y
y

=

1
4

1
khi x = y = 1.
4

Bài 4
·
·
· . Gọi M,
= yOB
1/ Cho hai điểm A, B phân biệt nằm trong góc nhọn xOy
sao cho xOA
N lần lượt là hình chiếu vng góc của A lên Ox, Oy và P, Q lần lượt là hình chiếu vng góc
của B lên Ox, Oy. Giả sử M, N, P, Q đôi một phân biệt. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P,
Q cùng nằm trên một đường tròn.

2/ Cho tam giác ABC khơng cân, có ba góc nhọn. Một đường tròn qua B, C cắt các cạnh
AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, CE.
·
·
a/ Chứng minh rằng các tam giác ABD, ACE đồng dạng với nhau và MAB
= NAC .
b/ Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên AB, K là hình chiếu vng góc N lên AC và
I là trung điểm của MN. Chứng minh tam giác IHK cân.

Giải
1/ Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc một đường tròn
- Xét D AMO v D BQO ta cú:
ỹù
à= Q
à= 900
M
ùù
ý ị D AMO : D BQO(gn - t gv)
Ã
Ã
AOM = BOQ(gt)ùù
ùỵ
(1)
OM OA
ị
=
OQ
OB

y

Q
B

N

A

- Xột D ANO v D BPO ta cú:
ỹù
à= Pà= 900
N
ùù
ý ị D ANO : D BP O(gn - t gv)
Ã
Ã
AON
= BOP(gt)ùù
ùỵ
(2)
ON
OA
ị
=
OP
OB

O

M

P

x

- Từ (1) và (2) Suy ra:
OM
ON
=
Þ OM.OP = ON.OQ
OQ
OP

Vậy 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn.
2 a/ Chứng minh D ABD : D ACE và
·
·
MAB = NAC

A

- Xét D ABD và D ACE ta có:

D
E

üï
µ- Chung
A
ùù
:

Ã
Ã
ằ ýù ị D ABD D ACE(gg)
ABD
= ACE(Chan
ED)
ùù
ỵ

AB
BD
BM
ị
=
(=
)
AC
CE
CN
- Xột D ABM và D ACN ta có:
ü
ï
AB
BM
=
(cmt )ïïï
AC
CN
ý Þ D ABM : D ACN(cgc)
ù

Ã
Ã
ABM = ACN ùù
ỵù
Ã
Ã
ị BAM = CAN (pcm)

H

B

K

Ã
M

Ã

I

N

Ã

C

Bi 5
Cho 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đó đều chỉ chứa các ước số nguyên tố
2; 3; 5. Chứng minh rằng trong 9 số đã cho, tồn tại hai số mà tích của chúng một số chính

phương.


Giải
Theo đề bài, tất cả 9 số nguyên dương đôi một phân biệt, các số đều chứa các ước số
nguyên tố 2; 3; 5 có dạng 2x.3y. 5z (với x, y, z Ỵ N). Xét tính chẵn lẽ của các bộ số (x, y, z) có
tất cả 8 trường hợp xảy ra. Do đó, tích của 2 số có dạng 22x.33y. 55z (với a, b, c Ỵ N).
Vậy tích của hai số này là số chính phương.

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
Năm học: 2017 – 2018
Mơn: Tốn – Chung
Thời gian: 120 phút, (khơng kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề 2

ĐÁP ÁN HNG DN
ổ
3 x+5
ỗ 1
+
Bi 1: Cho A = ỗỗ
ỗố x - 1 x x - x - x +

2

é
ù
ê x+1
ỳ
ử
ữ
ờ
ữ
- 1ỳỳ vi x > 0; x ạ 1.
ữ
ờ
ữ
ỳ
1ữ
ứờ 4 x
ê
ú
ë
û

(

)

a/ Rút gọn A

(

)

b/ Đặt B = x -

x + 1 A. Chứng minh rằng: B > 1 với x > 0; x ¹ 1.

Giải
a/ Rút gọn biểu thức A
- ĐK: x > 0; x ¹ 1 ta có:
ỉ 1
3 x+5
ỗ
+
A = ỗỗ
ỗỗố x - 1 x x - x - x +
é
ù
ê x - 1 + 3 x + 5ú
ú.
A = êê
ú
ê (x - 1) x - 1 ú
ë
û
1
Þ A=
x

(

(

)

2
é
ù
ê x+1
ú
ư
÷
ê
ú
÷
- 1ú=
֐
÷
ú
1÷
øê 4 x
ê
ú
ë
û

(

2

)=

x- 1

4 x

(

b/ Chứng minh: B = x -

)

ổ
ỗỗ 1
+
ỗỗỗ
ỗỗ x - 1
ố

ử
ữ
ữ
3 x+5
ữ
ữ
ữ
ữ
x - 1 (x - 1)÷
÷
ø

(

(

)

2

( x + 1) . ( x - 1) =
( x + 1)( x - 1) 4 x
4

2

1
x

)

x+1 A> 1

Với x > 0; x ¹ 1 ta có:

(

B = x-

)

(

x + 1 .A = x -

Theo BĐT Cô Si thì

x+

)

x+1.

1
x

Vậy B > 1

1

=

x - 1+

x

> 2 vì x > 0; x ạ 1.

ổ
ử
1 ữ
ữ
= ỗỗỗ x +
ữ- 1 > 1
ỗố

ứ
x
xữ

1

2

)

x- 1
4 x


Bài 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = 2mx + 2m +
8 (với m tham số).
a/ Khi m = - 4, tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và Parabol (P).
b/ Chứng minh rằng đường thẳng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại điểm phân biệt có
hồnh độ x1; x2. Tìm m để x1 + 2x2 = 2.
Giải
a/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = - 4.
Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của pt sau x2 = 2mx + 2m + 8
éx = 0
Thay m = - 4 vào pt ta có x 2 + 8x = 0 Û x (x + 8) = 0 Û êê

êëx = - 8

Khi x = 0 thì y = 0; x = - 8 thì y = 64.
Vậy khi m = - 4 thì tọa độ giao điểm của (d) và (P) là A(0;0) và B(-8;6).

b/ Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm x1 và x2 rồi tìm m để x1 + 2x2 = 2.
Phương trình x2 = 2mx + 2m + 8 Û x2 - 2mx - 2m – 8 = 0 (*) có 2 nghiệm phân biệt.
2

D ' = m 2 + 2m + 8 = (m + 1) + 7 > 0; " m

Vậy (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
- Theo đề bài và đlý Vi ét ta có hệ pt sau:
ïì ïì x + x 2 = 2m
ïì x = 4m - 2
ïïï íï 1
ïïï 1
Û (4m - 2)(2 - 2m ) = - 2m - 8
í ïïỵ x 1 + 2x 2 = 2 Û í x 2 = 2 - 2m
ïï
ïï
ïï x 1x 2 = - 2m - 8
ïï x 1x 2 = - 2m - 8
ỵ
ỵ
éD = 49 + 32 = 81; D = 9
ê
êé
7+ 9
ê
2
= 2
Û 4m - 7m - 2 = 0 Þ êêêx 1 =
8
êê

ê
7- 9 - 1
êêêx 2 =
=
êëë
8
4
ïì - 1ïü
Vậy khi m Ỵ ïí 2; ïý thì x1 + 2x2 = 2 thõa món bi toỏn.
ùùợ 4 ùùỵ
ỡù xy 2 + y 2 - 2 = x 2 + 3x
ï
Bài 3: Giải hệ phương trình: ïí
ïï x + y - 4 y - 1 = 0
ùợ
ùỡ x + x = 2m
2
ùùù 1
ị ớ x 1x 2 = - 2m - 8 Û
ïï
ïỵï x 1 + 2x 2 = 2

Giải
ĐK: y ³ 1 ta có:
ïìï xy 2 + y 2 - 2 = x 2 + 3x (1)
ïìï xy 2 + y 2 - x 2 - 3x - 2 = 0
ïìï (xy 2 + y 2 ) - (x 2 + 3x + 2) = 0
ï
ï
Þ í

Û í
Û ïí
ïï x + y - 4 y - 1 = 0(2)
ïï x + y - 4 y - 1 = 0
ïï x + y - 4 y - 1 = 0
ïỵ
ïỵ
ïỵ
ìï éx = - 1
ïï ê
ìï x + 1 y 2 - x - 2 = 0
ìï y 2 (x + 1)- (x + 1)(x + 2) = 0
)
ïï (
ïï
ïê
2
Û í
Û í
Û í êëx = y - 2
ïï x + y - 4 y - 1 = 0
ïï x + y - 4 y - 1 = 0
ïï
ïỵ
ïỵ
ïï x + y - 4 y - 1 = 0
ïỵ

(

* Thay x = -1 vào pt (2) ta có:

)


ìï x = - 1
ïï
ìï x = - 1
ï
ï
Þ í
Û ïí
ïï y - 1 - 4 y - 1 = 0
ù y- 1 y- 1- 4 = 0ị
ùợ
ùùù
ùợ

(

)

ỡù x = - 1
ïï
ìï y - 1 = 0
Û ïí éêy = 1
ïï
ï
(t m)
í

ïï y - 1 - 4 = 0
ïïï êêy = 17
ỵë
ïỵ

* Thay x = y2 – 2 vào pt (2) ta có: y 2 - 2 + y - 4 y - 1 = 0( 3)
Đặt a =

y - 1 ³ 0 Þ y = a 2 + 1 thay vào pt (3) ta có:
2

(a + 1) - 2 + a + 1 - 4a = 0 Û
Û a (a + 3a - 4) = 0 Û a (a - 1)(a

Þ

2

2

3

a 4 + 3a 2 - 4a = 0
2

)

+ a+ 4 = 0

éa = 0

Û êê
(t m)
êëa = 1
ìï x = y 2 - 2 = - 1
ì
ïï x = - 1
+ Với a = 0 Þ íï
Û
í
2

ïï y = a + 1 = 1
ïy = 1
ỵï
ïỵ
ìï x = 2
ïì x = y 2 - 2 = 2
ï
+ Với a = 1 Þ ïí
Û
í
ïï y = a 2 + 1 = 2
ïy= 2
ỵï
ỵï

Vậy nghiệm của hệ pt là (x, y ) =

{(- 1;1);(- 1;17);(2;2)}

Bài 4
Cho quãng đường AB dài 300km. Cùng một lúc xe ô tô thứ nhất xuất phát từ A đến B, xe
ô tô thứ hai đi từ B về A. Sau khi xuất phát được 3 giờ thì hai xe gặp nhau. Tính vận tốc của
mỗi xe, biết thời gian đi cả quãng đường AB của xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ hai là 2 giờ 30
phút.
Giải
Gọi x, y (km/h) là vận tốc xe thứ I, II (ĐK: y > x > 0)
Sau 3h, quãng đường xe I đi được 3x (km); xe II đi được 3y (km)
Ta có pt sau: 3x + 3y = 300 Û x + y = 100 (1)
300
(h) ,
x
300
(h).
Thời gian xe II đi hết quãng đường BA là
y

Thời gian xe I đi hết quãng đường AB là

Vì xe II đi chậm hơn xe I nên hết nhiều thời gian ta có pt sau:
300 300 5
60 60 1
= Û
=
x
y
2
x
y
2

(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt sau:
ìï y = 100 - x
ïìï x + y = 100
ïìï y = 100 - x
ïï
ïì y = 100 - x
ï
ïí
ï
ï
é
60 60 1 Û í 60
60
1 Û íï x 2 - 340x + 12000 = 0 Û íï êx 1 = 300 Þ y1 = - 200(loai)
ùù
ù
=
=
ùù
ùùợ
ù ờx = 40 ị y = 60(t m)
y
2
2
ợ x 100 - x
2
ïïỵ x

ïỵï ëê 2

Vậy vận tốc của xe I, II lần lượt là 40km/h và 60km/h.


Bài 5
Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB. Điểm C là điểm bất kỳ trên (O), C không
trùng với A, B. Tiếp tuyến tại C của (O; R) cắt tiếp tuyến tại A, B của (O; R) lần lượt tại P, Q.
Gọi M là giao điểm của OP với AC, N là giao điểm của OQ với BC.
a/ Chứng minh rằng: Tứ giác CMON là hình chữ nhật và AP.BQ = MN2.
b/ Chứng minh rằng: AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính PQ.
c/ Chứng minh rằng: PMNQ là tứ giác nội tiếp. Xác định vị trí điểm C để đường trịn
ngoại tiếp tứ giác PMNQ có bán kính nhỏ nhất.
Giải
a/ Chứng minh tứ giác CMON hình
chữ nhật và AP.BQ = MN2
Q

- Xét tứ giác CMON ta có:
·
·
·
OMC = MCN = CNO = 900
Þ Tứ giác OMCN có 3 góc vng là hình

chữ nhật.

I

C

P
M

- Theo hệ thức lượng D POQ vng tại O,
đường cao OC ta có:
PC.CQ = OC2 = R2 hay AP.BQ = MN2
Vậy AP.BQ = MN2 (đpcm)

N

A

B

O

b/ Chứng minh AB tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ.
+ Gọi I trung điểm của PQ nên OI là trung tuyến tam giác POQ vuông tại O.
Do ú: OI =

1
PQ
P Q ị O ẻ (I;
)
2
2

+ Vỡ OI đường trung bình của hình thang vng APQB
Suy ra: OI // AP (//BQ) Þ OI ^ AB tại O.
ỉ P Q ửữ

ữ
Vy AB l tip tuyn ti O ca ỗỗỗI;
ữ
ỗố

2 ø÷

c/ Chứng minh tứ giác PMNQ nội tiếp.
- Theo hệ thức lượng D OCP vng tại C có:
OC2 = OM.OP (1)
Tương tự:
OC2 = ON.OQ (2)
Từ (1) và (2) Suy ra:
OM ON (3)
=
OM.OP = ON.OQ Þ
OQ
OP
- Xét D OMN và D OQP ta cú:
à- Chung
ỹù
O
ùù
ùý ị D OMN : D OQP(cgc)
OM
ON
=
(cmt)ùù
ùùỵ
OQ

OP

Ã
Ã
ị OMN
= OQP

Vậy tứ giác MNQP nội tiếp đường tròn.

D
Q
I

C
P
M

A

N

E
O

B


* Xác định vị trí điểm C trên đường trịn ngoại tiếp tứ giác PMNQ bán kính nhỏ nhất?
+ Gọi D tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ và E giao điểm của OC và MN. Đường
tròn tâm (D) có I trung điểm dây PQ và E trung điểm dây MN.

Þ DI ^ PQ và DE ^ MN
Þ DI // OE và DE // OI
Þ Tứ giác OEDI là hình bình hành.
Þ DI = OE =

1
R
2

+ Theo Đlý Py ta go D DIP vng tại I ta có:
2

2

DP =

2

DI + IP =

2

ổR ữ
ử ổ ử
ỗỗ ữ + ỗỗ P Q ữ
ữ
ữ
ỗố 2 ữ
ữ
ứ ỗố 2 ứữ

2

2

ổ ử ổAB ữ
ử
R 5
ỗỗ R ữ
ỗỗ
ữ
ữ
+
=
ữ
ỗố 2 ữ
ỗ
ữ
2
ứ ố 2 ữ
ứ

Du = xẩy ra khi PQ = AB = 2R hay OC ^ AB.
»
Do đó: C là điểm chính giữa cung AB
của nửa đường trịn (O).
Vậy khi C là điểm chính giữa của nửa đường trịn (O) thì đường trịn ngoại tiếp tứ giác

PMNQ có bán kính nhỏ nhất bằng

R 5
.
2

Bài 6
Cho ba số thực dương x, y, z thõa mãn
P=

y 2z2

(

x y 2 + z2

)

+

1
1
1
+ 2 + 2 = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:
2
x
y
z
z2 x 2

(

y z2 + x 2

)

+

x 2y 2

(

z x 2 + y2

)

Giải
Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:
P=

y 2z 2

(

x y 2 + z2

)

+

z2 x 2

(

y z2 + x 2

)

+

x 2y2

(

z x 2 + y2

)

=

1
ổ1
1ử
ữ
x ỗỗỗ 2 + 2 ữ
ữ
y ứữ
ốz

+

1

ổ1
1ử
ữ
y ỗỗỗ 2 + 2 ữ
ữ
z ứữ
ốx

+

1
ổ1
1ử
ữ
z ỗỗỗ 2 + 2 ữ
ữ
x ứữ
ốy

1
1
1
a
b
c
= a; = b; = c thì P = 2
và a2 + b2 + c2 = 3
+ 2
+ 2
2

2
2
x
y
z
c + b
a + c
b +a
a
b
c
Do đó: P =
+
+
2
2
3- a
3- b
3 - c2

Đặt

Ta lại có BĐT sau:
2

(x - 1) x (x + 2) ³ 0 (ln đúng)
1 2
³
Û
x

2
3 - x2
2 3 - x2
x

(

Þ P³

)

1 2 1 2 1 2
3
a + b + c =
2
2
2
2

Dấu “=” xẩy ra khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1.