Đề khảo sát chất lượng HSG năm học 2014 - 2015 môn Toán lớp 11

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 2
ĐỀ THI THỬ

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG MƠN TỐN LỚP 11
NĂM HỌC 2014 - 2015
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
GV ra đề: Nguyễn Văn Minh

Câu 1 (6,0 điểm).


a) Giải phương trình : 2 2 cos 2 x + sin 2 x cos  x +


3π 
π

÷− 4sin  x + ÷ = 0
4 

4

 x+ y + x− y = 2

, ∀x, y ∈ R
b) Giải hệ phương trình sau: 
 y + x − y − x = 1

Câu 2 (5,0 điểm).
a) Cho tập A là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số khác nhau được lập từ tập

E={1;2;3;4;5;6}; chọn ngẩu nhiên hai số từ tập A. Tính xác suất để hai số được chọn
thỏa mãn có các chữ số đơi một khác nhau và có tổng bằng 18.
b) Cho dãy số ( un ) xác định như sau:

u1 = 2015

3un
.Tìm lim un ?

u
=
,
∀
n
≥
1
n
+
1

un + 2


Câu 3 (4,0 điểm).
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và
DBC. Mặt phẳng (α ) qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB lần lượt tại các điểm M,
N, P, Q với AM = x , AN = y ( 0 < x < y < a ).
a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui và MNPQ là hình thang cân.
b) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a , x và y.
Câu 4 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x − y = 0 và đường tròn

2
2
( C ) : ( x − 1) + ( y + 4 ) = 5 . M là điểm thuộc d, qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C)
(A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MCD đến đường tròn (C) với C nằm giữa M và D;
5
9

AB cắt CD tại N. Tìm tọa độ điểm M biết rằng CD=1 và ND = .
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho tam giác ABC khơng có góc nào tù. Chứng minh rằng :
tan

A
B
C
A
B
C 10 3
+ tan + tan + tan .tan .tan ≥
. Dấu bằng xãy ra khi nào ?
2
2
2
2
2
2
9
................................ Hết ....................................
Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh: ......................................................................................

SBD: ....................


x ≥ 0
y ≥ 0

*Điều kiện: 
x − y ≥ 0
y − x ≥ 0

*Hai vế của PT của hệ khơng âm,bình phương 2vế ta được:
 x 2 − y = 2 − x

 2 y 2 − x = 2 y − 1
x ≤ 2
 y ≥ 1/ 2

⇔
4 x − y − 4 = 0
4 x − 4 y + 1 = 0
 x = 17 /12
⇔
là nghiệm của hệ
y = 5/3
Giải:
A

D

K

N

C
M

I

B
+ Gọi K trung điểm DC khi đó IK vng góc DC. Mà IA vng góc MA suy ra đường trịn đường
kính MI đi qua I,K.A,B. (Kí hiệu là đtròn (T))
5
4
1 4 1
+ CD = 1, DN = ⇒ NC = , NK = − = . . Đương tròn ( C) Tâm I(1.-4) , R2=5.
9
9
2 9 18
N là điểm trong ( C) ta có: ND.NC=NA.NB=20/81 .
Tương tự vì N trong (T) : NK.NM=NA.NB=20/81
40
Suy ra NM =
. Trong bài toán này điểm I cố định, nếu ta tính được IM thì điểm M cần tìm là
9
giao của đường thẳng (d) với đường trịn bán kính IM. Vấn đề tính IM ?
+ Sử dụng định lý hs cos cho tam giác INM ta có:
·
·
IM 2 = IN 2 + NM 2 − 2 IN .NM . cos ( INM

) = IN 2 + NM 2 + 2 IN .NM .cos ( INK
) (*)
·
· ) = −cos (·INK ) = − KN , thay vào (*) ta có:
) = cos (π − INK
Lưu ý rằng
cos ( INM
IN
385 1600 40 2025
+
+
=
= 25 .Vậy IM = 5.
IM2=IN2+NM2+2NK.NM=
81
81 81
81
Cơng việc cịn lại là tìm giao của đường trịn ( I;5) và (d) cho ta 2 điểm M cần tìm là ( 1;1) và (-4;-4).


ui +1 = 1 + u1u2 ...ui ∀i ≥ 1
⇒ ui +1 − 1 = ui (ui − 1)
⇒ ui > 1 ∀i ≥ 1, ui +1 > 1 + u1 ∀i ≥ 1
1
1
1
1
1
1
=

− ⇒ =
−
ui +1 − 1 ui − 1 ui
ui ui − 1 ui +1 − 1
Sn =
=

1
1
+ ... +
u1
un
1
1
1
1
1
2
1
+
−
+ ... +
−
= −
u1 u2 − 1 u3 − 1
un − 1 un +1 − 1 u1 un +1 − 1

un +1 − 1 = u1u2 ...un > u1 (1 + u1 ) n −1 = 2014.2015n −1
0<

1
un +1 − 1

<

1
2014.2015n −1

1
1
= 0 ⇒ lim
n
−
1
n →+∞ 2014.2015
n →+∞ u
n +1 − 1
lim

lim sn =

n →+∞

2
1
=
.
u1 1007