Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm học 2019 – Bộ Giáo dục và Đào tạo (Mã đề 01)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019

________________

Bài thi: TỐN HỌC

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
Mã đề 101

Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  3z  1  0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp
tuyến của  P  ?
uu
r
A. n3   1; 2; 1 .

uu
r
B. n4   1; 2;3 .

ur
C. n1   1;3; 1 .

uu
r
D. n2   2;3; 1 .

2

Câu 2. Với a là số thực dương tùy, log 5 a bằng

A. 2 log 5 a .

B. 2  log 5 a .

Câu 3. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

C.

1
 log 5 a .
2

D.

1
log 5 a .
2

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  2;0  .
B.  2;  � .
C.  0; 2  .
D.  0;  � .
Câu 4. Nghiệm phương trình 32 x1  27 là
A. x  5 .
B. x  1 .
C. x  2 .
D. x  4 .

Câu 5. Cho cấp số cộng  un  với u1  3 và u2  9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. 6 .
B. 3 .
C. 12 .
D. 6 .
Câu 6. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên

A. y  x3  3x 2  3 .

B. y   x3  3x 2  3 .

C. y  x 4  2 x 2  3 .
D. y   x 4  2 x 2  3 .
x  2 y 1 z  3


Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ
1
2
1
phương của d?
uu
r
uu
r
ur
ur
A. u2   2;1;1 . .
B. u4   1; 2; 3 . .

C. u3   1; 2;1 . .
D. u1   2;1; 3 . .
Câu 8. Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là
1 2
4 2
A. r h. .
B. r 2 h. .
C. r h. .
D. 2r 2 h. .
3
3
Câu 9. Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
2
2
A. 27 .
B. A7 .
C. C7 .
D. 7 2 .
Câu 10. Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M  2;1;  1 trên trục Oz có tọa độ là
A.  2;1; 0  .

B.  0;0;  1 .

C.  2;0;0  .

D.  0;1; 0  .


1

f  x  dx  2 và
Câu 11. Biết �
0

1

1

0

0

g  x  dx  3, khi đó �
�
�f  x   g  x  �
�dx bằng
�

A. 5. .
B. 5. .
C. 1. .
Câu 12. Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
4
A. 3Bh. .
B. Bh. .
C. Bh. .
3
Câu 13. Số phức liên hợp của số phức 3  4i là
A. 3  4i .
B. 3  4i .

C. 3  4i .
Câu 14. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

D. 1. .
D.

1
Bh. .
3

D. 4  3i .

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x  2 .
B. x  1 .
C. x  1 .
Câu 15. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  5 là

D. x  3 .

A. x 2  5 x  C. .
B. 2 x 2  5 x  C. .
C. 2 x 2  C. .
Câu 16. Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

D. x 2  C. .

Số nghiệm thực của phương trình 2 f  x   3  0 là
A. 2.
B. 1.

C. 4.
D. 3.
Câu 17. Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a , tam giác ABC vuông tại
B , AB  a 3 và BC  a (minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  bằng

A. 90o .
B. 45o .
C. 30o .
D. 60o .
2
2
Câu 18. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức phương trình z 2  6 z  10  0 . Giá trị z1  z2 bằng
A. 16.
B. 56.
C. 20.
D. 26.
2
Câu 19. Cho hàm số y  2 x 3 x có đạo hàm là
2

3 x

2

B. 2 x 3 x.ln 2 .
C. (2 x  3).2 x 3 x .
Câu 20. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x)  x3  3x  2 trên đoạn [  3;3] bằng
A. 16 .
B. 20 .
C. 0 .

A. (2 x  3).2 x

.ln 2 .

2

D. ( x 2  3 x).2 x
D. 4 .

2

3 x 1

.


Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  2 z  7  0 . bán kính của mặt cầu đã cho
bằng
A. 7 .
B. 9 .
C. 3 .
D. 15 .
Câu 22. Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a và AA '  3a (hình minh họa
như hình vẽ). Thể tích của lăng trụ đã cho bằng

3a 3
3a 3
a3
a3
.

B.
.
C.
.
D.
.
4
2
4
2
2
Câu 23. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x   x  x  2  , x ��. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 0 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
4
Câu 24. Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a b  16 . Giá trị của 4 log 2 a  log 2 b bằng
A. 4 .
B. 2 .
C. 16 .
D. 8 .
Câu 25. Cho hai số phức z1  1  i và z2  1  2i . Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm biểu diễn số phức 3z1  z2
có toạ độ là
 1; 4  .
A.  4;1 .
B.  1; 4  .
C.  4;1 .
D.
A.

Câu 26. Nghiệm của phương trình log 3  x  1  1  log 3  4 x  1 là
A. x  3 .
B. x  3 .
C. x  4 .
D. x  2 .
Câu 27. Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m và
1, 2m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể tích
của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 1,8m. .
B. 1, 4m. .
C. 2, 2m. .
D. 1, 6m. .
Câu 28. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4. .
B. 1. .
C. 3. .
D. 2. .
Câu 29. Cho hàm số f  x  liên tục trên R . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  f  x  , y  0, x  1 và x  4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?


1

4

1

f  x  dx  �
f  x  dx .
A. S   �
1

C. S 

B. S 

1

1

1

4

1

1

4

f  x  dx .
�f  x  dx  �

f  x  dx .
�f  x  dx  �

1

1

4

1

1

f  x  dx  �
f  x  dx .
D. S   �

Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  1;3; 0  và B  5;1; 2  . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB có phương trình là
A. 2 x  y  z  5  0 .
B. 2 x  y  z  5  0 .
C. x  y  2 z  3  0 .
D. 3 x  2 y  z  14  0 .
2x 1
Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  
2 trên khoảng  1; � là
 x  1
2
3
2
3
 C . B. 2ln  x  1 
 C . C. 2ln  x  1 
 C . D. 2ln  x  1 

C .
A. 2ln  x  1 
x 1
x 1
x 1
x 1

4

 x   2 cos x  1 , x ��, khi đó
Câu 32. Cho hàm số f  x  . Biết f  0   4 và f �
2

f  x  dx
�

bằng

0

 4
  14
  16  4
 2  16  16
.
B.
.
C.
.
D.

.
16
16
16
16
Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A  1; 2;0  , B  2;0; 2  , C  2;  1;3 và D  1;1;3 . Đường thẳng
2

2

2

A.

đi qua C và vng góc với mặt phẳng  ABD  có phương trình là

�x  2  4t
�
A. �y  2  3t .
�z  2  t
�

�x  2  4t
�
B. �y  1  3t .
�z  3  t
�





�x  2  4t
�
C. �y  4  3t .
�z  2  t
�

�x  4  2t
�
D. �y  3  t .
�z  1  3t
�

Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn 3 z  i   2  i  z  3  10i . Mô đun của z bằng
A. 3 .

B. 5 .

C.

5.

 x  như sau:
Câu 35. Cho hàm số f  x  , bảng xét dấu của f �
x
�
3
1


f�

 x
0
0

Hàm số y  f  3  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  4;  � .

B.  2;1 .

C.  2; 4  .

D.



1
0

3.

�


D.  1; 2  .

 x  liên tục trên � và có đồ thị như hình vẽ bên.
Câu 36. Cho hàm số f  x  , hàm số y  f �

Bất phương trình f  x   x  m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x � 0; 2  khi và chỉ khi

A. m �f  2   2 .
B. m �f  0  .
C. m  f  2   2 .
D. m  f  0  .
Câu 37. Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai
số có tổng là một số chẵn bằng
1
13
12
313
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
2
25
25
625
Câu 38. Cho hình trụ có chiều cao bằng 5 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách
trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho
bằng


B. 5 39 .
C. 20 3 .

D. 10 39 .
2
Câu 39. Cho phương trình log 9 x  log 3  3 x  1   log3 m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị
ngun của m để phương trình đã cho có nghiệm
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .
D. Vô số.
Câu 40. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBD  bằng
A. 10 3 .

A.

21a
.
14

B.

21a
.
7

C.

2a
.
2

Câu 41. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên �. Biết f  4   1 và

D.

21a
.
28

1

4

xf  4 x  dx  1 , khi đó �
x f�
 x  dx
�
2

0

0

bằng
31
A.
.
B. 16 .
C. 8 .
D. 14 .
2

Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho điểm A  0; 4; 3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và
cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
A. P  3;0; 3 .
B. M  0; 3; 5  .
C. N  0;3; 5  .
D. Q  0;5; 3 .
Câu 43. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên.





3
Số nghiệm thực của phương trình f x  3 x 

4
là
3

A. 3 .
B. 8 .
C. 7 .
D. 4 .
Câu 44. Xét các số phức z thỏa mãn z  2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của các số
4  iz
phức w 
là một đường trịn có bán kính bằng
1 z
A. 34.
B. 26.

C. 34.
D. 26.
1 2
Câu 45. Cho đường thẳng y  x và Parabol y  x  a ( a là tham số thực dương). Gọi S1 và S 2 lần lượt là
2
diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1  S 2 thì a thuộc khoảng nào sau
đây?

�3 1 �
A. � ; �.
�7 2 �

� 1�
�1 2 �
0; �.
B. �
C. � ; �.
� 3�
�3 5 �
 x  như sau
Câu 46. Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f �

�2 3 �
D. � ; �.
�5 7 �


2
Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  2 x  là
A. 9 .

B. 3 .
C. 7 .
D. 5 .
A ' B ' C ' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 6 . Gọi M , N và
Câu 47. Cho lăng trụ ABC �
P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB ' A ' , ACC ' A ' và BCC ' B ' . Thể tích của khối đa diện lồi có các
đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P bằng:
A. 27 3 .
B. 21 3 .
C. 30 3 .
D. 36 3 .

 S  : x 2  y 2   z  2   3 . Có tất cả bao nhiêu điểm
là các số nguyên) thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của  S  đi
2

Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu

A  a; b; c  ( a, b, c
qua A và hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau?
A. 12 .
B. 8 .
C. 16 .
D. 4 .
x  3 x  2 x 1
x



Câu 49. Cho hai hàm số y 

và y  x  2  x  m ( m là tham số thực) có đồ thị lần
x  2 x 1
x
x 1
lượt là  C1  và  C2  . Tập hợp tất cả các giá trị của m để  C1  và  C2  cắt nhau tại 4 điểm phân biệt là

A.  �; 2 .

B.  2; � .

C.  �; 2  .

D.  2; � .

Câu 50. Cho phương trình  4 log 22 x  log 2 x  5  7 x  m  0 ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
A. 49 .
B. 47 .
C. Vô số.
D. 48 .
--------HẾT------ĐÁP ÁN

1.B
11.A
21.C
31.B
41.B

2.A
12.B

22.A
32.C
42.C

3.C
13.C
23.D
33.C
43.B

4.C
14.C
24.A
34.C
44.A

5.D
15.A
25.A
35.B
45.C

6.A
16.C
26.D
36.B
46.C

7.C
17.B

27.D
37.C
47.A

8.A
18.A
28.D
38.C
48.A

9.C
19.A
29.B
39.A
49.B

10.B
20.B
30.B
40.B
50.B

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  3 z  1  0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ
pháp tuyến của  P  ?
uu
r
A. n3   1; 2; 1 .

uu

r
B. n4   1; 2;3 .

ur
C. n1   1;3; 1 .
Lời giải

uu
r
D. n2   2;3; 1 .

Đáp án B
uu
r
Từ phương trình mặt phẳng  P  : x  2 y  3 z  1  0 ta có vectơ pháp tuyến của  P  là n4   1; 2;3 .
2
Câu 2: Với a là số thực dương tùy, log 5 a bằng

B. 2  log 5 a .

A. 2 log 5 a .

1
 log 5 a .
2
Lời giải

C.

D.

1
log 5 a .
2

Đáp án A
Ta có log 5 a  2 log 5 a .
2


Câu 3: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  2;0  .
B.  2;  � .
C.  0; 2  .

D.  0;  � .

Lời giải
Đáp án C

 x   0 � x � 0; 2  � f  x  nghịch biến trên khoảng  0; 2  .
Ta có f �
Câu 4: Nghiệm phương trình 32 x1  27 là
A. x  5 .
B. x  1 .

C. x  2 .
Lời giải

D. x  4 .
Đáp án C

2 x 1

Ta có 3

2 x 1

 27 � 3

 3 � 2x 1  3 � x  2 .
3

Câu 5: Cho cấp số cộng  un  với u1  3 và u2  9 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. 6 .
B. 3 .
C. 12 .
D. 6 .
Lời giải
Đáp án D

Ta có: u2  u1  d � 9  3  d � d  6
Câu 6: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên

A. y  x 3  3 x 2  3 .

B. y   x 3  3 x 2  3 .

C. y  x 4  2 x 2  3 .
Lời giải

D. y   x 4  2 x 2  3 .
Đáp án A

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nên loại C vàD.
Khi x � � thì y � � nên hệ số a  0 . Vậy chọnA.
x  2 y 1 z  3


Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :
. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ
1
2
1
phương của d?
uu
r
uu
r
ur
ur
A. u2   2;1;1 . .
B. u4   1; 2; 3 . .
C. u3   1; 2;1 . .
D. u1   2;1; 3 . .
Lời giải
Đáp án C
Câu 8: Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán kính r là

1 2
4
A. r h. .
B. r 2 h. .
C. r 2 h. .
3
3
Lời giải

D. 2r 2 h. .
Đáp án A

Câu 9: Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là
A. 27 .
B. A72 .

C. C72 .
Lời giải

D. 7 2 .
Đáp án C


2
Số cách chọn 2 học sinh từ 7 học sinh là C7 .

Câu 10: Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M  2;1;  1 trên trục Oz có tọa độ là
A.  2;1; 0  .

B.  0;0;  1 .

C.  2;0;0  .
Lời giải

D.  0;1; 0  .

Đáp án B

Hình chiếu vng góc của điểm M  2;1;  1 trên trục Oz có tọa độ là  0;0;  1 .
1

Câu 11: Biết

f  x  dx  2 và
�
0

A. 5. .

1

g  x  dx  3, khi đó
�
0

1

�
�f  x   g  x  �
�dx

�

C. 1. .
Lời giải

B. 5. .

bằng

0

D. 1. .
Đáp án A

1

1

1

0

0

0

f  x  dx  �
g  x  dx  2  3  5.
�
Ta có �

�f  x   g  x  �
�dx  �

Câu 12: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là
4
A. 3Bh. .
B. Bh. .
C. Bh. .
3
Lời giải

D.

1
Bh. .
3

Đáp án B
Câu 13: Số phức liên hợp của số phức 3  4i là
A. 3  4i .
B. 3  4i .

C. 3  4i .
Lời giải

D. 4  3i .
Đáp án C

z  3  4i � z  3  4i .
Câu 14: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x  2 .
B. x  1 .

C. x   1 .
Lời giải

D. x  3 .
Đáp án C

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x  1 .
Câu 15: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x   2 x  5 là
A. x 2  5 x  C. .

Ta có

B. 2 x 2  5 x  C . .

f  x  dx  �
 2 x  5  dx  x
�

C. 2 x 2  C . .
Lời giải

D. x 2  C. .
Đáp án A

2

 5 x  C.

Câu 16: Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau:


Số nghiệm thực của phương trình 2 f  x   3  0 là
A. 2.
B. 1.
C. 4.
Lời giải

D. 3.
Đáp án C

3
Ta có 2 f  x   3  0 � f  x   .
2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y  f  x  cắt đường thẳng y 
đó phương trình 2 f  x   3  0 có 4 nghiệm phân biệt.

3
tại bốn điểm phân biệt. Do
2

Câu 17: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , SA  2a , tam giác ABC vuông tại
B , AB  a 3 và BC  a (minh họa hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  bằng

B. 45o .

A. 90o .

C. 30o .
Lời giải

D. 60o .
Đáp án B





�
� .
Ta thấy hình chiếu vng góc của SC lên  ABC  là AC nên SC ,  ABC   SCA
� 
Mà AC  AB 2  BC 2  2a nên tan SCA

SA
1.
AC

Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABC  bằng 45o .
2
2
Câu 18: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức phương trình z 2  6 z  10  0 . Giá trị z1  z2 bằng
A. 16.
B. 56.
C. 20.
D. 26.

Lời giải
Đáp án A
Theo định lý Vi-ét ta có z1  z2  6, z1.z2  10 .
Suy ra z12  z22   z1  z2   2 z1 z2  62  20  16 .
2

Câu 19: Cho hàm số y  2 x
A. (2 x  3).2 x

2

3 x

.ln 2 .

2

3 x

có đạo hàm là

B. 2 x

2

3 x

.ln 2 .

C. (2 x  3).2 x

Lời giải

2

3 x

.

D. ( x 2  3x).2 x

2

 3 x 1

.


Đáp án A
Câu 20: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x)  x  3 x  2 trên đoạn [  3;3] bằng
A. 16 .
B. 20 .
C. 0 .
Lời giải
3

D. 4 .
Đáp án B

 x   3x 2  3
Ta có: f  x   x  3 x  2 � f �

�x  1
 x   0 � 3x2  3  0 � �
Có: f �
x  1
�
3

Mặt khác : f  3  16, f  1  4, f  1  0, f  3   20 .

f  x   20 .
Vậy max
 3;3

Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  2 z  7  0 . bán kính của mặt cầu đã
cho bằng
A. 7 .
B. 9 .
C. 3 .
D. 15 .
Lời giải
Đáp án C
Ta có:
2
2
2
2
( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  2 z  7  0 �  x  1  y 2   z  1  9 �  x  1  y 2   z  1  32
Suy ra bán kính của mặt cầu đã cho bằng R  3 .
Câu 22: Cho khối lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a và AA '  3a (hình minh họa
như hình vẽ). Thể tích của lăng trụ đã cho bằng

A.

3a 3
.
4

B.

3a 3
.
2

a3
.
4
Lời giải
C.

D.

a3
.
2
Đáp án A

a
Ta có: ABC là tam giác đều cạnh a nên S ABC 

2

3

.
4
Ta lại có ABC. A ' B ' C ' là khối lăng trụ đứng nên AA '  3a là đường cao của khối lăng trụ.
a 2 3 3a3
.

4
4
2
Câu 23: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x   x  x  2  , x ��. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 0 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 1 .
Lời giải
Đáp án D
x0
�
2
2
Xét f '  x   x  x  2  . Ta có f '  x   0 � x  x  2   0 � �
.
x  2
�
Bảng biến thiên
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là: VABC . A ' B 'C '  AA '.SABC  a 3.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm suy ra hàm số có một cực trị.
Câu 24: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a 4b  16 . Giá trị của 4 log 2 a  log 2 b bằng
A. 4 .
B. 2 .
C. 16 .
D. 8 .
Lời giải
Đáp án A
Ta có 4 log 2 a  log 2 b  log 2 a  log 2 b  log 2 a b  log 2 16  4 .
4

4

Câu 25: Cho hai số phức z1  1  i và z2  1  2i . Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm biểu diễn số phức
3z1  z2 có toạ độ là
A.  4;1 .

B.  1; 4  .

C.  4;1 .
Lời giải

D.

 1; 4  .

Đáp án A

 3 z1  z2  3  1  i    1  2i   4  i .

 Vậy số phức z  3z1  z2 được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ Oxy là M  4;1 .
Câu 26: Nghiệm của phương trình log 3  x  1  1  log 3  4 x  1 là
A. x  3 .
B. x   3 .
C. x  4 .
Lời giải

D. x  2 .

 log 3  x  1  1  log 3  4 x  1  1

Đáp án D

3. x  1 �
  1 � log 3 �
�
� log 3  4 x  1 � 3 x  3  4 x  1  0 � x  2 .

 Vậy  1 có một nghiệm x  2 .

Câu 27: Một cở sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao bằng nhau, bán kính đáy lần lượt bằng 1m
và 1, 2m . Chủ cơ sở dự định làm một bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích bằng tổng thể
tích của hai bể nước trên. Bán kính đáy của bể nước dự dịnh làm gần nhất với kết quả nào dưới đây?
A. 1,8m. .
B. 1, 4m. .
C. 2, 2m. .
D. 1, 6m. .
Lời giải
Đáp án D

Ta có:
V1   R12 h   h và V2   R2 2 h 
Theo đề bài ta lại có:

V  V1  V2  V1   h 
� R2 

36
h.
25

36
61
h
h   R 2 h.
25
25

61
� R  1,56 ( V , R lần lượt là thể tích và bán kính của bể nước cần tính)
25


Câu 28: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. 4. .
B. 1. .
C. 3. .

Lời giải

D. 2. .
Đáp án D

Dựa vào bản biến thiên ta có
lim y  �� x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x �0

lim y  2 � y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 2
x ��

Câu 29: Cho hàm số f  x  liên tục trên R . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  f  x  , y  0, x  1 và x  4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

1

A. S  

4

1

C. S 

1

f  x  dx .
�f  x  dx  �

B. S 

1

1

1

4

1

1

4

f  x  dx .
�f  x  dx  �

f  x  dx .
�f  x  dx  �

1

1

4

1

1

f  x  dx  �
f  x  dx .
D. S   �
Lời giải
Đáp án B

Ta có S 

4

1

4

1

4

1

1

1

1

1

f  x  dx
�f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx  �f  x  dx  �

Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  1;3;0  và B  5;1; 2  . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB có phuowbg trình là
A. 2 x  y  z  5  0 .
B. 2 x  y  z  5  0 .
C. x  y  2 z  3  0 .
D. 3 x  2 y  z  14  0 .
Lời giải
Đáp án B
uuur
Ta có tọa độ trung điểm I của AB là I  3; 2; 1 và AB   4; 2; 2  .
r uuur
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và có vectơ pháp tuyến n  AB nên có phương trình là
4  x  3   2  y  2   2  z  1  0 � 2 x  y  z  5  0 .
Câu 31: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f  x  

2x 1

 x  1

2

trên khoảng  1; � là

2
3
2

3
 C . B. 2ln  x  1 
 C . C. 2ln  x  1 
 C . D. 2ln  x  1 
C .
x 1
x 1
x 1
x 1
Lời giải
Đáp án B
2  x  1  3
2x 1
dx
dx
3
f  x  dx  �
dx  �
dx  2�  3�
 2ln x  1 
C .
2
2
2
�
x 1
x 1
 x  1
 x  1
 x  1

A. 2ln  x  1 


Vì x � 1; � nên

3

f  x  dx  2ln  x  1 
C
�
x 1

 x   2 cos 2 x  1 , x ��, khi đó
Câu 32: Cho hàm số f  x  . Biết f  0   4 và f �


4

f  x  dx
�

bằng

0

 4
.
16
2

A.

  14
.
16

  16  4
.
16
Lời giải

2

B.

2

C.

D.

 2  16  16
.
16
Đáp án C

1
f�
Ta có: f  x   �

 x  dx  �
 2  cos 2 x  dx  2 x  sin 2 x  C .
 2cos2 x  1 dx  �
2
1
1
Theo bài: f  0   4 � 2.0  .sin 0  C  4 � C  4 . Suy ra f  x   2 x  sin 2 x  4 .
2
2
Vậy:

4


4



2
� � 1 �  2  16  4 .
1
�
� � 2 cos 2 x
�4 �
f
x
dx

2
x


sin
2
x

4
dx

x


4
x



�
 �


�
�
� �
� �
�
�
2
4
16
� �

�0 �16
�� 4�
0
0�

Câu 33: Trong không gian Oxyz , cho các điểm A  1; 2;0  , B  2;0; 2  , C  2;  1;3 và D  1;1;3 . Đường
thẳng đi qua C và vng góc với mặt phẳng  ABD  có phương trình là

�x  2  4t
�
A. �y  2  3t .
�z  2  t
�

�x  2  4t
�
B. �y  1  3t .
�z  3  t
�

�x  2  4t
�
C. �y  4  3t .
�z  2  t
�

�x  4  2t
�
D. �y  3  t .
�z  1  3t

�

Lời giải
Đáp án C

uuu
r uuur
uuu
r
uuur
�
AB
Ta có AB   1;  2; 2  , AD   0;  1;3 � �
� , AD �  4;  3;  1 .
Đường thẳng đi qua C và vng góc với mặt phẳng  ABD  có phương trình là

�x  2  4t
�
�y  4  3t .
�z  2  t
�





Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn 3 z  i   2  i  z  3  10i . Mô đun của z bằng
A. 3 .

B. 5 .

C. 5 .
Lời giải

D.

3.
Đáp án C

 x, y �� � z  x  yi .
Ta có 3  z  i    2  i  z  3  10i � 3  x  yi    2  i   x  yi   3  7i
Gọi z  x  yi

�x  y  3
� x  y   x  5 y  i  3  7i � �
�x  5 y  7
Suy ra z  2  i .
Vậy z  5 .

�x  2 .
�
�y  1

 x  như sau:
Câu 35: Cho hàm số f  x  , bảng xét dấu của f �
x
�
3
1


f�

 x
0
0
Hàm số y  f  3  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.  4;  � .

B.  2;1 .

C.  2; 4  .
Lời giải



1
0

�


D.  1; 2  .
Đáp án B


3  3  2 x  1 �
3 x2
�
 2 f �
��

 3  2x  0 � f �
 3  2x  0 � �
Ta có y�
.
3  2x  1
x 1
�
�
Vì hàm số nghịch biến trên khoảng  �;1 nên nghịch biến trên  2;1 .

 x  liên tục trên � và có đồ thị như hình vẽ bên.
Câu 36: Cho hàm số f  x  , hàm số y  f �

Bất phương trình f  x   x  m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x � 0; 2  khi và chỉ khi
A. m �f  2   2 .

B. m �f  0  .

C. m  f  2   2 .
Lời giải

D. m  f  0  .

Ta có f  x   x  m, x � 0; 2  � m  f  x   x, x � 0; 2   * .

Đáp án B

 x  ta có với x � 0; 2  thì f �
 x  1.
Dựa vào đồ thị của hàm số y  f �

Xét hàm số g  x   f  x   x trên khoảng  0; 2  .

g�
 x  f �
 x   1  0, x � 0; 2  .

Suy ra hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng  0; 2  .
Do đó  * ۳ m

g  0  f  0 .

Câu 37: Chọn ngẫu nhiên 2 số tự nhiên khác nhau từ 25 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được hai
số có tổng là một số chẵn bằng
1
13
12
313
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
2
25
25
625
Lời giải
Đáp án C

2
n     C25  300 .
Trong 25 số nguyên dương đầu tiên có 13 số lẻ và 12 số chẵn
Gọi A là biến cố chọn được hai số có tổng là 1 số chẵn.
2
2
Chọn 2 số lẻ trong 13 số lẻ hoặc chọn 2 số chẵn trong 12 số chẵn � n  A   C13  C12  144 .
Vậy p  A  

n  A  144 12

 .
n    300 25

Câu 38: Cho hình trụ có chiều cao bằng 5 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục và cách
trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng 30. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho
bằng
A. 10 3 .
B. 5 39 .
C. 20 3 .
D. 10 39 .
Lời giải
Đáp án C


Goi hình trụ có hai đáy là O, O�và bán kính R .
Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục nên thiết diện thu được là hình chữ nhật ABCD với
30
2 3.
AB là chiều cao khi đó AB  CD  5 3 suy ra AD  BC 

5 3
2

Gọi H là trung điểm của AD ta có OH  1 suy ra R  OH 2  AD 
4
Vậy diện tích xung quanh hình trụ là S xq  2 Rh  2 .2.5 3  20 3 .

 2 3
1
4

2

2.

2
Câu 39: Cho phương trình log 9 x  log 3  3 x  1   log3 m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm
A. 2 .
B. 4 .
C. 3 .
D. Vô số.
Lời giải
Đáp án A
1
Điều kiện: x 
3
Phương trình tương đương với:
3x  1
3x  1

log 3 x  log3  3 x  1   log 3 m � log3
 log3 m � m 
 f  x
x
x
3x  1
1
1
�1
�
�
; x �� ; ��; f �
 x   2  0; x ��
Xét f  x  
� ; ��
x
x
�3
�
�3
�
Bảng biến thiên

Để phương trình có nghiệm thì m � 0;3 , suy ra có 2 giá trị ngun thỏa mãn
Câu 40: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBD  bằng
A.

21a
.

14

B.

21a
.
7

2a
.
2
Lời giải
C.

D.

21a
.
28
Đáp án B


Gọi H là trung điểm AB . Suy ra SH   ABCD  .

d  H ,  SBD  

Ta có

d  A,  SBD  



BH 1
 � d  A,  SBD    2d  H ,  SBD   .
BA 2

Gọi I là trung điểm OB , suy ra HI || OA (với O là tâm của đáy hình vng).
�BD  HI
1
a 2
� BD   SHI  .
Suy ra HI  OA 
. Lại có �
2
4
�BD  SH

1
1
1
a 21
.

 2 � HK 
2
2
HK
SH
HI
14

a 21
Suy ra d  A,  SBD    2d  H ,  SBD    2 HK 
.
7
Vẽ HK  SI � HK   SBD  . Ta có

Câu 41: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên �. Biết f  4   1 và

1

xf  4 x  dx  1 ,
�

khi đó

0

4

x f�
 x  dx bằng
�
2

0

A.

31
.

2

B. 16 .

C. 8 .

D. 14 .

Lời giải
Đáp án B

Đặt t  4 x � dt  4dx

4
4
t. f  t 
xf
4
x
dx

dt

1
�
xf  x  dx  16


Khi đó: �
�

�
16
0
0
0
1

4

Xét:

x f�
 x  dx
�
2

0

Áp dụng cơng thức tích phân từng phần ta có:
4

4

4

0

0

x2 f �

2 x. f  x  dx  16. f  4   2�
x. f  x  dx  16  2.16  16
 x  dx  x 2 f  x   �
�
0

4

0

Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho điểm A  0; 4; 3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz
và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
A. P  3;0; 3 .
B. M  0; 3; 5  .
C. N  0;3; 5  .
D. Q  0;5; 3 .
Lời giải
Đáp án C
Ta có mơ hình minh họa cho bài tốn sau:


Ta có d  A; d  min  d  A; Oz   d  d ; Oz   1 .

uu
r r
Khi đó đường thẳng d đi qua điểm cố định  0;3;0  và do d / / Oz � ud  k   0;0;1 làm vectơ chỉ phương

�x  0
�
của d � d �y  3 . Dựa vào 4 phương án ta chọn đáp ánC. N  0;3; 5  .

�z  t
�

Câu 43: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên.





3
Số nghiệm thực của phương trình f x  3x 

B. 8 .

A. 3 .

4
là
3
C. 7 .
Lời giải

D. 4 .
Đáp án B

4
 1 .
3
 0 � x  �1 .
Đặt t  x 3  3x , ta có: t �

 3x 2  3 ; t �





3
Xét phương trình: f x  3 x 

Bảng biến thiên:

/

4
với t ��.
3
Từ đồ thị hàm số y  f  x  ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số y  f  t  như sau:
Phương trình  1 trở thành f  t  


/

4
có các nghiệm t1  2  t2  t3  2  t4 .
3
Từ bảng biến thiên ban đầu ta có:
3
+) x  3x  t1 có 1 nghiệm x1 .
3
+) x  3 x  t4 có 1 nghiệm x2 .

Suy ra phương trình f  t  

3
+) x  3 x  t2 có 3 nghiệm x3 , x3 , x5 .
3
+) x  3 x  t3 có 3 nghiệm x6 , x7 , x8 .





3
Vậy phương trình f x  3 x 

4
có 8 nghiệm.
3

Câu 44: Xét các số phức z thỏa mãn z  2 . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn của các số
4  iz
phức w 
là một đường trịn có bán kính bằng
1 z
A. 34. .
B. 26. .
C. 34. .
D. 26. .
Lời giải
Đáp án A
4  iz

� w(1  z )  4  iz � z  w  i   4  w � 2 w  i  4  w
Ta có w 
1 z
Đặt w  x  yi  x, y ��

 x  4   y 2 � 2  x  y  2 y  1  x
2
2
� x 2  y 2  8 x  4 y  14  0 �  x  4    y  2   34

Ta có

2. x 2   y  1 
2

2

2

2

2

 8 x  16  y 2

Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức w là đường trịn có bán kính bằng

34

1 2

Câu 45: Cho đường thẳng y  x và Parabol y  x  a ( a là tham số thực dương). Gọi S1 và S 2 lần lượt là
2
diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1  S 2 thì a thuộc khoảng nào sau
đây?

/
�3 1 �
�7 2 �

A. � ; �
.

� 1�
0; �.
B. �
� 3�

�1 2 �
C. � ; �.
�3 5 �
Lời giải

�2 3 �
D. � ; �.
�5 7 �
Đáp án C


1 2
Xét phương trình tương giao: x  a  x

2
�
x1  1  1  2a
, với điều kiện a  1 .
� x 2  2 x  2a  0 � �
2
x1  1  1  2a
�
�

1 t2
.
2
2
g  x  dx  G  x   C .
Xét g  x   x  x  a và �
Đặt t  1  2a ,  t �0  � a 

x1

g  x  dx  G  x1   G  0  .
Theo giả thiết ta có S1  �
0

x2

S2   �
g  x  dx  G  x1   G  x2  .
x1

1 3 1 2
x2  x2  ax2  0
6
2
�
1 t2 �
2
� x22  3x2  6a  0 �  1  t   3  1  t   6 �
� 0
�2 �

Do S1  S 2 � G  x2   G  0  �

� 2t 2  t  1  0 � t 

Khi t 

1 và
t  1 (loại).
2

1
3
�a  .
2
8

 x  như sau
Câu 46: Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f �

Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  2 x  là
A. 9 .
B. 3 .

/

2

C. 7 .
Lời giải

D. 5 .
Đáp án C

Cách 1

x  a, a � �; 1
�
�
x  b, b � 1;0 
�
 x   0 có các nghiệm tương ứng là �
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f �
.
x  c, c � 0;1
�
�
x  d , d � 1; �
�
/

2
�
�
Xét hàm số y  f  x  2 x  � y  2  x  1 f  x  2 x  .
2


�
x 1
�2
x  2x  a
�
x

1

0
�
�
 0 � 2  x  1 f �
Giải phương trình y �
 x2  2 x   0 � �f � x2  2 x   0 � �x 2  2 x  b
�
�
x2  2 x  c
�
�
x2  2 x  d
�
2

2
Xét hàm số h  x   x  2 x ta có h  x   x 2  2 x  1   x  1 �1, x �� do đó

 1
 2 .
 3
 4

2
Phương trình x  2 x  a,  a  1 vơ nghiệm.

2
Phương trình x  2 x  b,  1  b  0  có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 khơng trùng với nghiệm của phương

trình  1 .

2
Phương trình x  2 x  c,  0  c  1 có hai nghiệm phân biệt x3 ; x4 khơng trùng với nghiệm của phương trình

 1

và phương trình  2  .

 1

và phương trình  2  và phương trình  3 .

2
Phương trình x  2 x  d ,  d  1 có hai nghiệm phân biệt x5 ; x6 không trùng với nghiệm của phương trình

 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số y  f  x 2  2 x  có 7 điểm cực trị.
Vậy phương trình y�
Cách 2
x  a, a � �; 1
�
�
x  b, b � 1;0 
�
 x   0 có các nghiệm tương ứng là �
Từ bảng biến thiên ta có phương trình f �
x  c, c � 0;1
�
�
x  d , d � 1; �
�
2
 2  x  1 f �
Xét hàm số y  f  x  2 x  � y�
 x2  2x  .

�
x 1
�2
x  2x  a
�
x 1  0
�
y�
 0 � 2  x  1 f �
x2  2 x  b

 x 2  2 x   0 � �f � x 2  2 x   0 � �
�
�
�
x2  2 x  c
�
�
x2  2 x  d
�
2
Vẽ đồ thị hàm số h  x   x  2 x

 1
 2 .
 3
 4

/
Dựa vào đồ thị ta thấy: phương trình  1 vơ nghiệm. Các phương trình  2 ; 3 ; 4 mỗi phương trình có 2
nghiệm. Các nghiệm đều phân biệt nhau.
 0 có 7 nghiệm phân biệt nên hàm số y  f  x 2  2 x  có 7 điểm cực trị.
Vậy phương trình y�

A ' B ' C ' có chiều cao bằng 8 và đáy là tam giác đều cạnh bằng 6 . Gọi M , N và
Câu 47: Cho lăng trụ ABC �
P lần lượt là tâm của các mặt bên ABB ' A ' , ACC ' A ' và BCC ' B ' . Thể tích của khối đa diện lồi có các
đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P bằng:
A. 27 3 .

B. 21 3 .

C. 30 3 .
Lời giải

D. 36 3 .
Đáp án A


/
AA
',
BB
',
CC
'
A
,
B
,
C
Gọi 1 1 1 lần lượt là trung điểm của các cạnh
.
Khối lăng trụ ABC. A1B1C1 có chiều cao là 4 là tam giác đều cạnh 6 .
Ba khối chóp A. A1MN , BB1MP , CC1 NP đều có chiều cao là 4 và cạnh là tam giác đều cạnh 3 Ta có:



VABC .MNP  VABC . A1B1C1  VA. A1MN  VB .B1MP  VC .C1NP



62 3
1 9 3

�
4 3 � �
4  27 3
4
3 4

 S  : x 2  y 2   z  2   3 . Có tất cả bao nhiêu điểm
là các số nguyên) thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của  S  đi
2

Câu 48: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu
A  a; b; c  ( a, b, c
qua A và hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau?
A. 12 .
B. 8 .

C. 16 .
Lời giải

D. 4 .

Do A ( a;b;c) thuộc mặt phẳng ( Oxy) nên A ( a;b;0) .
Nhận xét: Nếu từ A kẻ được ít nhất 2 tiếp tuyến vng góc đến mặt cầu khi và chỉ khi

Đáp án A

R ���
IA
++��
+�
R 2
3 a2 b2 2 6 1 a2 b2 4.
Tập các điểm thỏa đề là các điểm nguyên nằm trong hình vành khăn (kể cả biên), nằm trong mặt phẳng
(Oxy) , tạo bởi 2 đường tròn đồng tâm O ( 0;0;0) bán kính lần lượt là 1 và 2.

/
Nhìn hình vẽ ta có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
x  3 x  2 x 1
x



Câu 49: Cho hai hàm số y 
và y  x  2  x  m ( m là tham số thực) có đồ thị
x  2 x 1
x
x 1
lần lượt là  C1  và  C2  . Tập hợp tất cả các giá trị của m để  C1  và  C2  cắt nhau tại 4 điểm phân biệt là
A.  �; 2 .

B.  2; � .

C.  �; 2  .
Lời giải

Phương trình hồnh độ giao điểm của  C1  và  C2  :

x  3 x  2 x 1
x



 x2 xm
x  2 x 1
x
x 1
x  3 x  2 x 1
x
�



 x  2  x  m  0 (1).
x  2 x 1
x
x 1
x  3 x  2 x 1
x



 x  2  xm.
Đặt f  x  
x  2 x 1
x
x 1
Tập xác định D  �\  1;0;1; 2 .

D.  2; � .

Đáp án B


f�
 x 


1

 x  2

1

2



1



1

 x  1


2



1
1
x2


1
2
2
x
 x  1 x  2

x  2   x  2
1
1


x2
x 2  x  1 2

 x  2  2  x  1 2
�
f�
ιx  0, x D, x

2.

Bảng biến thiên

Yêu cầu bài toán � (1) có 4 nghiệm phân biệt �2�۳m 0

/

m 2.

Câu 50: Cho phương trình  4 log 22 x  log 2 x  5  7 x  m  0 ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị
nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
A. 49 .
B. 47 .
C. Vô số.
Lời giải

D. 48 .
Đáp án B

�x  0
Điều kiện: �
�x �log 7 m

Với m  1 , phương trình trở thành  4 log 22 x  log 2 x  5  7 x  1  0
log 2 x  1
�
�
�
4 log x  log 2 x  5  0
5
� �x
��

log 2 x  
.
4
�
7 1  0
�
�
x  0 (loai )
�
2
2

Phương trình này có hai nghiệm (thỏa)
Với m �2 , điều kiện phương trình là x �log 7 m
x2
�
log 2 x  1
�
�
�
5
�
4 log x  log 2 x  5  0
5
4
�
�
�
�
log

x


�
x

2
Pt �x
2
�
4
�
7 m0
�
�
7x  m
x
�
7

m
�
�
2
2



5

Do x  2 4 �2, 26 không là số ngun, nên phương trình có đúng 2 nghiệm khi và chỉ khi
�m �3
5
x  2 thỏa điều kiện và khác log 7 m )
�
2 (nghiệm x  2 4 không thỏa điều kiện và nghiệm
�m  7
Vậy m � 3; 4;5;...; 48 . Suy ra có 46 giá trị của m .
Do đó có tất cả 47 giá trị của m