SKKN: Kinh nghiệm giải bài toán đa thức bằng máy tính cầm tay(MTCT) ở bậc THCS

Sáng kiến kinh nghiệm

Đề tài
Kinh nghiệm giải bài toán đa
thức bằng máy tính cầm
tay(MTCT) ở bậc THCS


A. MỞ ĐẦU
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
“…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết hợp hữu cơ giữa
suy luận toán học với tính tốn trên máy tính điện tử. Có những bài tốn khó khơng những chỉ
địi hỏi phải nắm vững các kiến thức tốn (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải
độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trong q trình giải cịn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp.
Nếu khơng dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu. Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh
tốc độ làm bài, do đó các dạng tốn này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi tốn kết hợp
với máy tính điện tử”.
(Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toán học).
- Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sử dụng rộng rãi trong học
tập, thi cử . Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc tính tốn và những bài tập khơng thể giải
bằng tay.
- Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là “các
bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải tốn trên MTCT đều có .
- Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, của huyện sử dụng MTCT để
dạy về giải “Một số bài tốn về đa thức” thì phần lớn các em nắm được kiến thức nhưng sau đó
việc vận dụng ,cũng như kĩ năng trình bày bài giải chưa hợp lý, chính xác.
Vì vậy tơi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kĩ năng sử dụng MTCT để giải các bài tốn nói
chung và về đa thức nói riêng một cách thành thạo và chính xác là hết sức cần thiết .
Làm thế nào để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan đến đa thức đặc biệt là
các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra hầu hết các tỉnh thành trong cả nước.
Do đó tơi chọn đề tài:“Giải một số bài toán về đa thức ở bậc THCS bằng MTCT ”

II.NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
Nhiệm vụ chính:
Nâng cao hiệu quả hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài toán liên quan đến đa
thức.
Đối với giáo viên:
- Có được nội dung ơn tập cho học sinh khi lồng ghép các tiết giảng dạy với sự hỗ trợ của MTCT
và đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu quả hơn.
- Định hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài toán về đa thức bằng
MTCT.
Đối với học sinh:
- Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về đa thức
- Vận dụng linh hoạt, có kĩ năng thành thạo.


III.PHƯƠNG PHÁP – CƠ SỞ – THỜI GIAN TIẾN HÀNH NGHIÊN CỨU
Phương pháp:





Đan xen việc giải toán trên MTCT trong các tiết dạy( đưa thêm một số bài tập có số phức
tạp,kết hợp nhiều phép tính,…)
Sinh hoạt ngoại khố thực hành giải tốn trên MTCT tại trường THCS Bình Nghi.( Theo
kế hoạch đã được bộ phận chuyên môn nhà trường duyệt)
Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường.
Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện.

Cơ sở – Thời gian tiến hành nghiên cứu: Năm học: 2009 – 2010






Học sinh trường THCS Bình Nghi.(160 học sinh được lựa chọn ở các khối 7,8,9 từ
5/10/2009 đến 1/11/2009).
Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS Bình Nghi( Từ 2/11/2009 đến
15/11/2009).
Đội tuyển HSG giải tốn trên MTCT của Huyện Tây Sơn( Từ 14/12/2009 đến
5/01/2010).

B.KẾT QUẢ
I. TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC:
- Học sinh không biết giải các bài tập về đa thức bằng MTCT như thế nào
- Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra được hướng giải chung cho
dạng bài tập này.
Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Bình Nghi trong năm học 2009 – 2010 khi
chưa thực hiện đề tài

LỚP
7
8
9

SL
30
40
90

BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA
ĐA THỨC
THỨC
SL
TL
SL
TL
5
16,7%
25
83,3%
10
25%
30
75%
23
25,6%
67
74,4%

II. NỘI DUNG – GIẢI PHÁP:
A.KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC :
Định lý Bezout :“ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a)”
Hệ quả :
- Nếu f(a) = 0 , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a


- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f
- Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 ( n TM N) có n nghiệm x1 , x2 …,xn thì

đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử :
P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn)
Sơ đồ Horner:
Để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong trường hợp
tổng quát. P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c)
ta có sơ đồ:
an
an- 1
c bn-1 = an bn -2 =
cbn-1+ an -1

an - 2
bn -3 =
cbn - 2+ an -2

…
…

a1
b0 = cb1 +a1

a0
r = cb0 + a0

Vậy: P(x)=q(x)(x - c) + r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 và
r = c(c(…(c(can + an-1))..)) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0
B. GIỚI THIỆU CÁC PHÍM CHỨC NĂNG PHỤC VỤ VIỆC GIẢI TỐN CỦA CHỦNG
LOẠI MTCT CASIO:
- Các loại máy được sử dụng hiện nay ở trường phổ thơng hầu hết là dịng máy casio fx:
500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES.

- Tuỳ theo cách sử dụng nhưng nhìn chung có hai cách cơ bản dành cho hai dòng
máy:500ES;500VN-Plus;570ES và 500MS,570MS nhưng đối với dịng máy 500ES;500VNPlus;570ES thì việc nhập dữ liệu vào máy cũng như kết quả truy xuất hiển thị giống như phép
tốn ở sách giáo khoa.
- Các phím chức năng , các hàm cơ bản được bố trí dưới dạng hiển thị menu rất thông dụng
- Trong phạm vi của đề tài này chúng ta xem như học sinh đã biết cách sử dụng MTCT
C. CÁC DẠNG BÀI TẬPỨNG DỤNG :
Dạng 1:Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho
nhị thức (ax + b)
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức (ax + b) ta luôn được: P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r.
Muốn P(x) chia hết cho x + thì m + r = 0 hay m = -r = - P(
).
Sử dụng hệ quả của định lý Bezout và chức năng giải phương trình và hệ phương trình của
MTCT để giải quyết.
Ví dụ 1:Tìm m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia hết cho x – 2
Giải :
Đặt g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta có f(x) = g(x) +m2x2 – mx
f(x) M (x – 2 ) <-> f(2) = 0 hay g(2) +4m2 – 2m = 0
Ta có g(2) = –56 Þ f(2) = 0 khi 4m2 – 2m = 56 <-> 4m2 – 2m – 56 = 0
Giải phương trình ẩn m , ta được m1 = 4 và m2 = –3,5
(*) vào EQN chọn phương trình bậc hai một ẩn :


nhập vào máy a =4 ; b=- 2 ; c= -56-> x1 = 4; x2 =- 3,5
Nghĩa là hai đa thức f1(x) = 4x4 – 5x3 + 16 x2 – 4x – 80 và
f2(x) = 4x4 – 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x – 80 đều chia hết cho x – 2
Bài tập tương tự :
Bài 1:Cho đa thức f(x) = x5 – 3x4 +5 x3 – m2x2 + mx + 861 .
Tìm m để f(x) M (x + 3)
HD: Đặt g(x) = x5 – 3x4 +5 x3 + 861 ta có f(x) = g(x) - m2x2 + mx
Giải phương trình ẩn m , ta được : m1 = 5 và m2 =

Bài 2:
(Sở GD – ĐT TP. Hồ Chí Minh. 2003)
Tìm giá trị của m biết giá trị của đa thức f(x) = x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m -5
tại x = - 2,5 là 0,49.
HD: Đây là bài tốn tìm m để đa thức f(x) chia cho x + 2,5 có số dư là 0,49
Ta có: f(x) – 0,49 M (x + 2,5)
- >Tìm giá trị của m biết đa thức x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m - 4,51 chia hết cho x + 2,5
Đáp số:209,105
Ví dụ 2 : Tìm a và b sao cho hai đa thức
f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b và
g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b cùng chia hết cho (x – 3)
Giải:
f(x) , và g(x) cùng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi f(3) = g(3) = 0
Đặt A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x và B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x
Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b
g(x)=B(x) –3a +2b
f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b Þ f(3) = 0 <-> 2a + 3b = –87
g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b Þ g(3) = 0 <-> –3a +2b = –318

Ta có hệ phương trình :
Vào MODE EQN gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta được nghiệm
( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 .
Bài tập tương tự :
Bài 1: (Bộ GD – ĐT, 2005)
Cho biết đa thức P(x) = x4 +mx3 -55x2 +nx –156 chia hết (x – 2) và chia hết cho (x – 3). Hãy
tìm giá trị của m, n và các nghiệm của đa thức.
Giải:
P(x) chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) = 0
Đặt A(x) = x4 – 55x2 – 156

Ta có P(x) = A(x) + 8m + 2n
P(2) = A(2) + 8m + 2n = -360 + 8m + 2n Þ P(2) = 0 <-> 8m + 2n = 360
P(3) = A(3) +27m + 3n= -570 + 27m + 3nÞP(3) = 0 <-> 27m + 3n = 570
Ta có hệ phương trình :
( n = 172; m = 2;

)

Bài 2:Tìm m và n để hai đa thức P(x) và Q (x) cùng chia hết cho (x +4 )
P(x) = 4x4– 3x3 + 2x2 – x + 2m – 3n
Q(x) = 5x5 – 7x4 + 9x3 – 11x2 + 13x – 3m + 2n
HD : Tương tự như ví dụ 2
Đáp số:m = –4128,8 ; n = –2335,2
Dạng 2 : Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó
(vì ax + b bậc 1). Thế

ta được P(

) = r ( Bezout)

Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P(
Ví dụ 3: (Sở GD - ĐT TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:

Giải: Đặt P(x) =
thì số dư : r =P(1,624) = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723
Qui trình ấn máy :
Ấn các phím:
Đáp số: r = 85,92136979

Ví dụ 4: Tìm số dư trong phép chia:

Giải:
Đặt P(x) =
thì số dư : r =P(

) = 3.

+ 5.

- 4.

+ 2.

–7

)


Qui trình ấn máy :
Ấn các phím:
Đáp số: r
=
Bài tập tương tự :
Bài 1: (Sở GD - ĐT Đồng Nai, 1998)
Tìm số dư trong phép chia
Giải:
Số dư : r = (-2,318)5 – 6,723(-2,318)3 + 1,857(-2,318)2 - 6,458(-2,318) + 4,319
Qui trình ấn máy :
Ấn các phím:

Đáp số: r = 46,07910779
Bài 2: (Sở GD - ĐT Cần Thơ, 2003)
Cho
.
Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x – 3.Tìm BCNN(r1,r2)?
Giải:
Số dư : r1 = 24 + 5.23 – 4.22 + 3.2 + 50
Số dư : r2 = 34 + 5.33 – 4.32 + 3.3 + 50
Qui trình ấn máy :
Ấn các phím:
=
số: r1 = 96 ;r2 =239 ;BCNN(r1,r2) = 22944

Đáp

Dạng3 : Tìm đa thức thương và dư khi chia đa thức cho đa thức
Bài toán : Chia đa thức a3x3 + a2x2 + a1x + a0 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức
bậc hai Q(x) = b2x2 + b1x + b0 và số dư r.
Vậy a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b2x2 + b1x + b0)(x - c) + r
= b2x3 + (b2-b1c)x2 + (b1-b0c)x + (r + b0c).
Ta lại có cơng thức truy hồi Horner: b2 = a3; b1= b2c + a2; b0= b1c + a1; r = b0c + a0.
Vậy: r = a0 +ca1 + c2a2 + c3a3
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa


thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong trường hợp tổng quát. P(x) = anxn + an-1xn-1
+…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c)
Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q(x)(x - c)+r theo sơ đồ Horner để được q(x) và r với q(x)
= bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 ta được bảng sau:

c

an
bn-1 = an

an- 1
an - 2
…
bn -2 =
bn -3 =
…
cbn-1 + an -1 cbn - 2+ an -2

a1
b0 = cb1 +a1

a0
r = cb0 + a0

Do đó: r = c(c(…(c(can + an-1))..)) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0
Ví dụ5: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.
Giải
Ta có: c = 5; a7 =1; a6 = 0; a5 = -2; a4 = -3; a3 = a5 = 0; a1 = 1; a0 = -1; b6 = a7 = 1.
Qui trình ấn máy

Vậy :
x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 =
= (x - 5)(x6 + 5x5 + 23x4 + 112x3 + 560x2 + 2800x + 14001) + 7004.
( Ta cũng có thể sử dụng biến Ans để tìm các hệ số và số dư)
Ví dụ 6: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3.

Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x - c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0.
Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:
Tổng quát: P(x) = rn(x-c)n + rn-1(x-c)n-1 +…+ r2(x-c)2 + r1(x-c) + r0

3
3
3
3

1
1
1
1
1

0
3
6
9
12

-3
6
24
51

1
19
91

-2 x4-3x2+x-2
55 q1(x)=x3+ 3x2 + 6x +19, r0 = 55
q2(x)=x2+ 6x + 24, r1 = 91
q3(x)=x + 9, r2 = 51
q4(x)=1 = a0, r3 = 12

Vậy :x4 – 3x3 + x – 2 = (x-3)4+ 12(x-3)3+ 51(x-3)2 + 91(x-3) + 55
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
Nếu khơng có sự hỗ trợ của MTCT thì việc phân tích đa thức thành nhân tử là một bài tốn
khó.
Tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng chức năng giải phương trình của MTCT để tìm nghiệm,
sau đó sử dụng hệ quả của định lý Bezout để giải quyết.


“Giả sử đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 (
x1;x2,…,xn thì P(x) = an(x - x1)(x - x2)…(x - xn)”

) có n nghiệm là

Ví dụ 7:Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 105x2 + 514x – 304
9 Giải:
Tìm chức năng giải phương trình bậc hai:
Nhập a = 105 , b = 514 , c = –304
Tìm được nghiệm của đa thức trên :
Vậy đa thức 105x2 + 514x – 304 được phân tích thành

Bài tập tương tự :
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) 65x2 + 4122x +61093
HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc hai

Nhập a = 65 , b = 4122 , c = 61093
Tìm được nghiệm của đa thức trên :
Vậy đa thức 65x2 + 4122x + 61039 được phân tích thành

b) 299 x2 – 2004x + 3337
HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc hai
Nhập a = 299 , b =- 2004 , c = 3337
Tìm được nghiệm của đa thức trên :
Vậy đa thức 299 x2 – 2004x + 3337 được phân tích thành

c) 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265
HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc ba
Nhập a = 156 , b =- 413 , c = -504, d = 1265. Tìm được nghiệm của đa thức trên :
bn
Vậy đa thức 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265 được phân tích thành


Dạng 5: Tính giá trị của đa thức
Dạng 5.1: Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến(đa thức cho trước)
Bài tốn:Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …
Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.
Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết

dưới dạng

Vậy
.
Đặt bn-1 = bnx0 + an; bn-2 = bn-1x0 + an-1; …; b1= b0x0 + a0; bo=a0. Suy ra: P(x0) = bn
Từ đây ta có cơng thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.

Giải trên máy: - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M.
Thực hiện dãy lặp: bk-1

+ ak

Ví dụ 8: (Phịng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009)
Tính C =
Quy trình:

. Với

à C = -101,0981355.

Ví dụ 9 : (Sở GD TP HCM, 1996) Tính
Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ
Aán phím: 1

8165

khi x = 1,8165


Đáp số : 1.498465582

Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ
Aán phím: 1

8165

Đáp số: 1.498465582

Phương pháp dùng sơ đồ Horner tương đối phức tạp ít hiệu quả ,đối với máy fx-500 MS;fx500 ES chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng
fx-570 MS;fx-570 ES có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm

, máy

hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là
xong. Để có thể kiểm tra lại kết
quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và
đổi các giá trị.

Ví dụ 10: Tính
khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:
235678
Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím

là xong.

Bài tập tương tự :
Bài 1: (Bộ GD – ĐT ,2006)
Tính giá trị của biểu thức
với x = 1,257; y = 4,523
Đáp số : B = 7,955449483

với x = 0,36; y = 4,15
Đáp số : C = 0,788476899
Dạng 5.2 : Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến( đa thức chưa xác định)
Ví dụ 11 : (Phịng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009)

Đa thức P(x) =
giá trị lần lượt là: 1;2;3;4;5.



. có giá trị là 11;14;19;26;35 khi x nhận các

Tính P(11) và P(15).
Tìm số dư r khi chia P(x) cho 10x – 3 .

Giải :
a) Rõ ràng nếu ta thế 1,2,3,4,5 chỉ xác định hệ số tự do , việc còn lại là giải hệ phương trình bậc
nhất 4 ẩn mà máy CASIO không thể giải quyết được . Giải bằng tay thì rất vất vả . Bài tốn này
có thể giải quyết như sau :
9 Xét đa thức phụ k(x) = x2 + 10
Ta có : k(1) = 11 ; k(2) = 14 ; k(3) = 19 ; k(4) = 26; k(5) = 35
Đặt g(x) = P(x) – k(x)
Ta có : g(1) = P(1) – k(1) = 0
g(2) = P(2) – k(2) = 0
g(3) = P(3) – k(3) = 0
g(4) = P(4) – k(4) = 0
g(5) = P(5) – k(5) = 0
Từ đó suy ra 1,2,3,4,5 là nghiệm của g(x)
Mặt khác g(x) là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với P(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = P(x) – k(x) ) và có
hệ số cao nhất là 1
Từ đó suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử :
g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)
mà g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) = g(x) + k(x)
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 + 10
ÞP(11) = 30371;P(15)=240475

9 Vấn đề ở đây là làm sao tìm được đa thức phụ k(x) = x2 + 10 ?
Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và gán cho k(x) nhận các giá trị k(1) = 11 k(2) = 14 , k(3) = 19
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = 0 , c = 10
Þ k(x) = x2 + 10 . Thử tiếp thấy k(4) = 26 và k(5) = 35
Vậy k(x) = x2 + 10 là đa thức phụ cần tìm . Tất nhiên khi thử k(4) 26 hoặc k(5) 35 thì buộc
phải tìm cách giải khác .
Ở câu b) việc tìm số dư quá đơn giản đây là bài toán ở dạng 2 ở trên.
Quy trình: Dư trong phép chia P(x) cho 10x -3 là P(

CALC…X? à

à r = - 45,78407.

)


Bài tập tương tự :
Bài 1:(Thi khu vực 2002, lớp 9)


Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e .

Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ;
P(5) = 25 . Tính các giá trị của P(6) ; P(7) , P(8) , P(9)
HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = 0 , c = 0
Þ k(x) = x2 . Thử tiếp thấy k(4) = 16 và k(5) = 25
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2
ÞP(6) = 36;P(7)=49;P(8) = 64;P(9)=81.


Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 ,

Q(3) = 9, Q(4) =11
Tính các giá trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)
HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 0 , b = 2 , c = 3
Þ k(x) = 2x + 3 . Thử tiếp thấy k(4) = 11
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)+ 2x + 3
ÞP(10) = 23;P(11)=25;P(12) = 27;P(13)=29.


Cho đa thức f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e . Biết f(1) = 1, f(2) = 3,

f(3) = 7, f(4)= 13, f(5) = 21
Tính f(34,567).
HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = -1 , c = 1
Þ k(x) = x2 – x + 1. Thử tiếp thấy k(1) = 1 và k(2) = 3
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – x +1
ÞP(34,567) = (34,567)2 - 34,567 + 1 = 1161,310489

d) Cho đa thức f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Biết f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5 ; f(5) = 11 . Hãy tính f(15) f(16), f(18,25)
HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = -1; k(2) = -1 , k(3) = 1
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = -3 , c = 1
Þ k(x) = x2 – 3x + 1. Thử tiếp thấy k(4) = 5 và k(5) = 11
Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – 3x +1
ÞP(15) = (15)2 – 3.15 + 1 = 181;P(15) = (16)2 – 3.16 + 1 = 209;
P(18.25) = (18.25)2 – 3.18.25 + 1 = 278
Vận dụng linh hoạt các phương pháp , kết hợp với máy tính có thể giải được rất nhiều dạng
tốn đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được . Do đó yêu cầu phải nắm vững
phương pháp và vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lí , logic.
Bài tốn sau đây là một ví dụ mà nhiều học sinh dễ nhầm lẫn trong q trình giải.
Ví dụ 12: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005
Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15)
Giải :
Xét đa thức phụ k(x) = 3x + 5
Ta có k(1) = 8 ; k(2) = 11 ; k(3) = 14 ; k(4) = 17
Đặt g(x) = P(x) – k(x)

Ta có g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = 0 hay g(x) có 4 nghiệm là 1 , 2 , 3 , 4 .
Từ đó suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử :
g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)
mà g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) = g(x) + k(x)
= (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + 3x + 5
àP(15) = 24074!
Chúng ta đã làm đúng theo qui trình của phương pháp vừa đưa ra nhưng kết quả nhận được là
một đáp án sai. Vậy chúng ta đã nhầm lẫn ở bước nào?


Ở bài toán trên khi chúng ta đặt đa thức g(x) = P(x) – k(x) thì kết quả nhận được là đa thức bậc
5 (Cùng bậc với P(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = P(x) – k(x) ) và có hệ số cao nhất là 1 . Nên kết
quả của bài sai là do đa thức g(x) tìm được chỉ là một đa thức bậc 4.
Vậy ta cần giải quyết bài toán này như thế nào?
Đa thức g(x) phải có hệ số cao nhất là hệ số cao nhất của P(x) nên g(x) được phân tích thành
nhân tử như sau g(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) .
Vấn đề cịn lại là tìm số I như thế nào ?
Vì g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) =g(x) + k(x)
Hay P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
Þ Hệ số tự do của P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005
hay 24I = 132000
Þ I = 132000:24 = 5500
Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
Þ P(15) = 132492410
Ví dụ 13:(Bộ GD – ĐT,2005)
Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005. Biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị
1,2,3,4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần lượt là 8,11,14,17.
Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11,12,13,14,15
HD: Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14

(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta có hệ phương trình :
nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 0 , b = 3 , c = 5
Þ k(x) = 3x + 5. Thử tiếp thấy k(4) = 17
Vậy P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
Þ Hệ số tự do của P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005
hay 24I = 132000
Þ I = 132000:24 = 5500
Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5
Đáp án: P(11) = 27775417; P(12)= 43655081; P(13) = 65494484
P(14) = 94620287; P(15) = 132492410.
Bài tập tương tự :
Bài 1:Cho đa thức f(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 115197
Biết f(1) = –1 , f(2) = 1, f(3) = 3 , f(4) = 5 . Tính f(12)
HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị
k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14
(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta có hệ phương trình :


nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 0 , b = 2 , c = -3
Þ k(x) = 2x - 3. Thử tiếp thấy k(4) = 5
Vậy P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x - 3
Þ Hệ số tự do của P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) - 3 = 115197
hay 24I = 115200 Þ I = 115200:24 = 4800
Vậy P(x) = (x + 4800)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x - 3
Đáp số: 38111061
Bài tập tổng hợp:

Bài 1: (Sở GD – ĐT Bắc Ninh, 2005)
Cho đa thức bậc 4 :f(x) = x4 +bx3 +cx2 + dx + 43 có f(0) = f(-1); f(1)= f(-2);
f(2) = f(-3). Tìm b,c,d.
Với b,c,d vừa tìm được ,Hãy tìm tất cả các số nguyên n sao cho
f(n)= n4 +bn3 +cn2 + dn + 43 là một số chính phương.
HD: Ta có: f(0) = f(-1)
f(1)= f(-2)
f(2) = f(-3).

Giải hệ pt :
Đáp số: b = 2; c = 2; d = 1
Khi xác định b, c, d ta có đa thức f(x) = x4 +2x3 +2x2 + x + 43 để tìm n sao cho f(n) là một số
chính phương ta làm như sau :
Vì f(n)= n4 +2n3 + 2n2 + dn + 43=(n2 + n + 1)(n2 + n) +43 > 0,
Gán n vào biến nhớ
thực hiện dãy tăng ,giảm của biến nhớ để tìm
được một số nguyên thì ta xác định được n để f(n) là một số chính phương.
Đáp số : n = -7; - 2; 1; 6.
Bài 2:
Cho f(2x – 3) = x3 + 3x2 – 4x + 5
a) Xác định f(x)
b) Tính f(2,33)
Giải:
a) Đặt t = 2x – 3 Þ
Þ f(t) =
Þf(x)
b)f(2,33)
Qui trình ấn phím :

nếu kết quả nhận

Đáp số :34,57410463
Bài 3:
Cho đa thức P(x) =
a) Tính f(–4) , f(–3) , f(–2) , f(–1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4)
b) Chứng minh rằng với mọi xTM Z thì P(x) nhận giá trị ngun .
Giải :
a) Tính được f(–4) = f(–3) = f(–2) = f(–1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0
b) Suy ra –4 ,–3 , –2 ,–1 , 0 , 1 , 2, 3 , 4 là 9 nghiệm của của P(x)
Þ P(x) được phân tích thành nhân tử như sau :
P(x) =
(x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )
Với x TMZ thì (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 ) là 9 số ngun liên tiếp
Trong đó có ít nhất 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 5, 1 số chia hết cho 7 và 1 số chia hết
cho 9
Đặt A = (x – 4)(x – 3) (x – 2 (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + 4 )
Vì ƯCLN(2,5) = 1 Þ A M 10
ƯCLN(7,9) = 1Þ A M 63
ƯCLN(10 ,63) = 1 Þ A M 630
Þ

là một số nguyên hay P(x) luôn nhận giá trị nguyên với mọi x TMZ

Bài 4: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m.
a. Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3.
b. Với m vừa tìm được ở câu a hãy tìm số dư r khi chia P(x) cho 3x-2 và phân tích P(x) ra tích
các thừa số bậc nhất.
c. Tìm m và n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n và P(x) cùng chia hết cho x-2.
d. Với n vừa tìm được phân tích Q(x) ra tích các thừa số bậc nhất.

HD:a)Đặt g(x) = 6x3 - 7x2 – 16x ta có P(x) = g(x) + m
P(x) M (2x + 3 ) <-> P(

) = 0 hay g(

)+m=0

Ta có g(
) = -12 Þ P(
) = 0 khi -12 + m = 0 <-> m = 12
Đáp số: m = 12
b)Ta có: P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + 12
->Số dư r = P( ) = 0.
c)P(x) , và Q(x) cùng chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) =Q(2) = 0
Đặt A(x) = 6x3 – 7x2 - 16x và B(x) = 2x3 - 5x2 – 13x
Ta có f(x) = A(x) + m


g(x)=B(x) + n
P(2) = A(2) + m= -12 + m Þ P(2) = 0 <->m = 12
Q(2) = B(2) + n = -30 + nÞ Q(2) = 0 <->n = 30
d)Tìm chức năng giải phương trình bậc ba
Nhập a = 2 , b =- 5 , c = - 13, d = 30. Tìm được nghiệm của đa thức trên :

Vậy đa thức Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + 30 được phân tích thành

Bài 5: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m và
Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n.
a. Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x – 2.
b. Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) – Q(x) chỉ có một nghiệm duy

nhất.
HD:P(x) , và Q(x) cùng chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) =Q(2) = 0
Đặt A(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x và B(x) = = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x
Ta có f(x) = A(x) + m
g(x)=B(x) + n
P(2) = A(2) + m= 46 + m Þ P(2) = 0 <->m = - 46
Q(2) = B(2) + n = 40 + nÞ Q(2) = 0 <->n = - 40
-> R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – 6 -> R(x) = 0 <-> x3 – x2 + x – 6 = 0
<->(x – 2)( x2 + x + 3) = 0 có nghiệm duy nhất x = 2
Bài 6: (Thi khu vực, 2003, lớp 9)
a. Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m.
1. Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x – 2,5 khi m = 2003
2. Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5
3. P(x) có nghiệm x = 2. Tìm m?
b. Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) =
51. Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11).
HD:a) Dựa vào các ví dụ 1;3
b)Dựa vào các ví dụ 11
Bài 7: (Sở GD - ĐT Cần Thơ 2002)
Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c. Biết
đúng của
?
HD: Dựa vào bài tập 1(Bài tập tổng hợp)

. Tính giá trị đúng và gần


Bài 8: (Sở GD - ĐT Lâm Đồng, 2005)
Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13)
biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + 7

HD : Đặt g(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x + 7 ta có P(x) = g(x) – m
P(x) M (x – 13 ) <-> P(13) = 0 hay g(13) – m = 0
Ta có g(13) = 1834775 Þ P(13) = 0 khi 1834775 – m = 0 <-> m = 1834775
Đáp số: m = 1834775
Bài 9: (Thi khu vực 2004)
Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. Tính:
a. Các hệ số b, c, d của đa thức P(x).
Đáp số : b = - 3 ; c = 2; d = - 15
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x – 4.
Đáp số :
c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 2x +3.
Đáp số :
Bài 10: (Sở GD - ĐT Hải Phòng, 2004)
Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c. Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41. Tính:
a. Các hệ số a, b, c của đa thức P(x).
b. Tìm số dư r1 khi chia P(x) cho x + 4.
c. Tìm số dư r2 khi chia P(x) cho 5x +7.
d. Tìm số dư r3 khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7).
Bài 11: (Sở GD - ĐT Thái Nguyên, 2003)
a. Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 42. Tính
P(2002)?
b. Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x)
có bậc 3. Hãy tìm hệ số của x2 trong Q(x)?
HD:a) Tương tự như ví dụ 11
Đáp số: P(2002)= 1598401602004
b)Ta lập bảng

2
2
2

2

2
1
1
1
1

8
10
16
18
20

-7 8 -12 2x4+8x3 - 7x2+ 8x -12
13 34 56 q1(x)=x3+ 10x2 + 13x +34, r0 = 56
45 124
q2(x)=x2+1 6x + 45, r1 = 124
81
q3(x)=x + 18, r0 = 81
q4(x)=1 = a0, r0 = 20

Vậy hệ số của x2 trong đa thức Q(x) có bậc 3 là 10
C. KẾT LUẬN
1.khái quát cục bộ :
Qua thực tế dạy – học về sử dụng MTCT để giải tốn, thầy và trị cần nắm vững chu trình tổng
quát :


Muốn đạt được kết quả cao khi giải các bài toán đa thức bằng MTCT chúng ta cần nắm vững

một số vấn đề:
1.Tính năng của các phím, chủng loại máy,
2.Dạng bài, kiểu bài, … -> định hướng đi.
3.Các phép biến đổi, thuật tốn,… -> Dãy lệnh cho máy.
4.Trình bày bài làm(lộ trình đối với những bài tập yêu cầu viết qui trình hoặc kết quả).
Đề tài: “Một số kinh nghiệm về giải các bài toán đa thức ở bậc THCS bằng MTCT ” giúp chúng
ta định hướng cho học sinh các dạng bài tập về đa thức và phương pháp giải những dạng tốn đó.
Giúp cho học sinh tự tin hơn trong việc giải các dạng bài tập về đa thức một cách sáng tạo, phối
hợp nhịp nhàng giữa tư duy và phương tiện bổ trợ, sử dụng có hiệu quả và khai thác hết chức
năng của MTCT.
Kết quả khảo sát ở năm học 2009– 2010
BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC
TỐT
LỚP SL

SL

TL

KHÁ - TBÌNH
SL
TL

SL

HẠN CHẾ
TL


7

8
9

30
40
90

10
18
55

33,3%
45%
61,1%

18
22
25

60%
55%
27,8%

2
0
0

6,7%
0%
0%




Trường THCS Bình Nghi:
Kì thi HSG giải tốn trên MTCT cấp huyện:1.Nguyễn Lực - lớp 9 trường THCS Bình
Nghi giải KK - HSG- MTCT.



Kì thi HSG giải tốn trên MTCT cấp Tỉnh:

1.Nguyễn Lực - lớp 9 trường THCS Bình Nghi giải KK - HSG- MTCT.
2.Nguyễn Quang Sinh- lớp 9 trường THCS Bình Thành giải KK - HSG- MTCT.
3. Lê Văn Đẽ- lớp 9 trường THCS Tây Giang giải KK - HSG- MTCT. ( Đội tuyển Tỉnh dự thi
khu vực)
2. lợi ích và khả năng vận dụng:
- Giáo viên định hướng cách giải các bài tập về đa thức bằng MTCT.
- Có được tài liệu về việc giải tốn bằng MTCT đan xen trong các tiết dạy chính khố và sử dụng
trong các buổi sinh hoạt ngoại khoá về giải toán trên MTCT.
- Học sinh nắm được phương pháp giải, vận dụng hợp lý, sáng tạo sử dụng hiệu quả MTCT trong
việc giải toán. Kết hợp giữa tư duy và thực hành bước đầu hình thành nề nếp làm việc với MTĐT
phù hợp với xu thế phát triển của CNTT.
3. Đề xuất kiến nghị:
- Giáo viên tự rèn, dạy rộng rãi MTCT nghiên cứu chuyên sâu phục vụ đội tuyển và nâng cao
chất lượng các kì thi.
- Thư viện trường cần tổng hợp nhiều nội dung ,kiến thức liên quan đến MTCT phục vụ cho việc
giảng dạy.
- Lãnh đạo: Chỉ đạo, kiểm tra, giám sát phát triển rộng khắp việc sử dụng MTCT trong dạy học
Với kinh nghiệm cịn ít mặc dù đã cố gắng tìm tịi nghiên cứu nhưng khơng tránh những thiếu

sót. Mong quý đồng nghiệp hãy thử áp dụng vào q trình giảng dạy và đóng góp ý kiến để hoàn
thiện đề tài tốt hơn.
D.TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách hướng dẫn sử dụng và giải toán trên máy tính casio.( Nhà xuất bản GD)
- Đề kiểm tra HSG – Giải tốn trên máy tính casio của các tỉnh, thành phố.(Từ năm 1998 đến
nay)
- Chuyên đề về đa thức.
Võ Xán ngày 25 tháng 02 năm 2010
Mai Quốc Điệp