Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Bài 3: Phương trình lượng giác thường gặp

Chào mừng quý
thầy cô đến dự
giờ thăm lớp


Kiểm tra bài cũ:
Giải phương trình sau :

Sin x  Sinx  0
2

Giải pt
bằng cách
nào???

sin x  sin x  2  0
2

Giải

Sin 2 x  Sinx  0 � Sinx  Sinx  1  0
x  k
�
Sinx  0
�
��
�� 
k �Z
�
Sinx  1
x   k 2

�
� 2


BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
II.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1)Định nghĩa :
Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng
giác là phương trình có dạng :

at 2  bt  c  0;(a �0)
Trong đó a,b,c là các hằng số và t là một trong
số các hàm số lượng giác.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a )3cos 2 x  5cos x  2  0
b)3 tan 2 x  2 3 tan x  3  0


a )3cos 2 x  5cos x  2  0
BÀI GIẢI
a

b)3 tan 2 x  2 3 tan x  3  0

Đặt t = cosx

ĐK : 1 �t �1

Ta được phương trình :

t 1
�
3t 2  5t  2  0 � � 2
�
t
� 3

(thoả mãn đk)

Khi t  1 � cos x  1 � x  k 2 , k �Z
2
�
x  arccos  k 2
�
2
2
3
Khi t  � cos x  � �
k �Z
3
3
2
�
x   arccos  k 2
�
3
�

Kết luận:


a )3cos 2 x  5cos x  2  0
b)3 tan 2 x  2 3 tan x  3  0
Đặt t = tanx

b

Ta được phương trình :

3t  2 3t  3  0, �
 6  0
2

Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm.


2. Cách giải

Qua các ví dụ trên, hãy nêu
trình
bậc cho
hai
Bước 1 : Đặt ẩn cách
phụgiải
và phương
đặt kiều
kiện
đối với một hàm số lượng giác?

phụ (nếu có)
Bước 2 : Giải phương trình theo ẩn phụ

ẩn

Bước 3 : Đưa về giải các phương trình lượng giác cơ bản
Bước 4 : Kết luận
Ví dụ 2: Giải phương trình

2sin 2 2 x  2 sin 2 x  2  0


2sin 2 2 x  2 sin 2 x  2  0
+)Đặt t = sin2x

ĐK : 1 �t �1

�
t 2
(loại)
2t 2  2t  2  0� �
+)Ta được pt :
� 2
(thoả mãn)
t
�
2
2
 � 2
 ) Khi t 

� sin 2 x 
� sin 2 x  sin
2
2
4
� 
� 
x   k
2
x


k
2

�
8
�
4
�
k �Z
�
��
k �Z
3
�
3

x


 k
�
2x 
 k 2
�
� 8
�
4

x   k , k �Z
8
+)KL: Pt đã cho có hai nghiệm
3
x
 k , k �Z
8


Cos2x ???

Sinx ???

Sin2x+
Cos2x=
1

4sin x  4 cos x  1  0
2

4 cos x  4sin x  1  0

2


3.Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng 1:

asin2x + bcosx + c = 0 và acos2x + bsinx + c = 0

Cách giải: Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một
hàm số lượng giác,áp dụng:
2
2
�
sin
x

1

cos
x
2
2
sin x  cos x  1 � � 2
2
cos
x

1

sin

x
�

1/ a sin x  b cos x  c  0

2 / a cos 2 x  b sin x  c  0

� a  1  cos 2 x   b cos x  c  0

� a  1  sin 2 x   b sin x  c  0

� a cos x  b cos x  a  c  0

� a sin 2 x  b sin x  a  c  0

2

2

Đây là phươngtrình bậc hai đối với một hàm số
lượng giác đã biết cách giải ở trên.


Ví dụ áp dụng:
Giải phương trình sau:

4sin x  4 cos x  1  0
2

Giải:

4sin x  4cos x  1  0
2

� 4  1  cos x   4cos x  1  0
2

� 4cos x  4cos x  3  0
2

Đặt: t = cosx;

 1 � 4t
KL:

2

1 �t �1

 4t  3  0

3
 l
2
1
 tm 
2
1
� cos x 
2

� 2
�x  3  k 2
��
k �Z
�x  2  k 2
�
� 3

�
t

�
� �
�
t 
�


Giải phương trình :

3cos 6 x  8sin 3 x cos 3 x  4  0
2

� 3cos 6 x  4sin 6 x  4  0
2

� 3(1  sin 6 x)  4sin 6 x  4  0
2

� 3sin 6 x  4sin 6 x  1  0

2


a tan x  b cot x  c  0

Dạng 2:

� 
cos
x
�
0
�
�x �  k
�� 2
k �Z
ĐK: �
sin x �0
�
�
�x �k

1
�
tan x 
�
cot x
tan x.cot x  1 � �
1
�

cot x 
�
tan x
�

C1: a tan x  b cot x  c  0 C 2 : a tan x  b cot x  c  0
1
1
 b cot x  c  0
� a tan x  b.
 c  0 � a.
cot x
tan x

� a tan x  c tan x  b  0 � b cot x  c cot x  a  0
2

2


Ví dụ áp dụng:
Giải phương trình sau:

3 tan x  6cot x  2 3  3  0(*)

� 
cos x �0
�
�x �  k
�� 2

k �Z
�
sin x �0
�
�
�x �k

ĐK :

1
(*) � 3 tan x  6
 2 3 3  0
tan x

� 3 tan x  (2 3  3) tan x  6  0
2

Đặt t = tanx ta có pt:

�
t 3
3 t  (2 3  3) t  6  0 � �
t  2
�
2



t  3 � tan x  3 � x   k , k �Z
3

t  2 � tan x  2

� x  arctan(2)  k , k �Z , (tm)
Vậy pt đã cho có hai nghiệm là:


x   k , k �Z
3

x  arctan(2)  k , k �Z


II.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1)Định nghĩa :

at 2  bt  c  0;(a �0)

2. Cách giải

3.Phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

asin2x + bcosx + c = 0 và acos2x + bsinx + c = 0

a tan x  b cot x  c  0
BTVN : bài 2a,3 – sgk - tr36,37


Cảm ơn quý
thầy cô đã đến

dự giờ thăm lớp