PTHPT Luong Giac hay lop 11

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (139.62 KB, 13 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ LƯỢNG GIÁC.
A- Kiến thức chuẩn bị:

1. Giá trị các hàm lượng giác của một số góc đặc biệt:

0 π/ 6 π/ 4 π/ 3 π/ 2 π 3 / 2π 2π

Góc

Hàm 0o

30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

sin 0 1/2 2 / 2 3 / 2 1 0 -1 0

cos 1 3 / 2 2 / 2 1/2 0 -1 0 1

tan 0 3 / 3 1 3  0  0

cot  3 1 3 / 3 0  0 

*Dấu của các hàm số lượng giác:
Cung phần
tư thứ
Hàm

I II III IV

sin + + - -

cos + - - +

tan + - + -

cot + - + -

2. Các hệ thức cơ bản:

2 2

sin α +cos α =1; tan .cotα α =1(α ≠kπ/ 2,k∈)
sin

tan ( / 2 , )

cos k k

α

α α π π

α

= ≠ + ∈ ; cot cos ( , )

sin k k

α

α α π

α

= ≠ ∈ ;

2
1

1 tan ( / 2 , )

cos k k

α α π π

α

+ = ≠ + ∈ ; 1 cot2 12 ( , )

sin k k

α α π

α

+ = ≠ ∈ .

3. Hàm số lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:

Góc

(*)

Đối

(−α)

Bù

(π α− )

Phụ

( / 2π −α)

Hơn kémπ

(π α+ ) Hơn kémπ/ 2
( / 2π +α)

Sin(*) -sinα sinα cosα -sinα cosα

Cos(*) cosα -cosα sinα -cosα -sinα

Tan(*) -tanα -tanα cotα tanα -cotα

Cot(*) -cotα -cotα tanα cotα -tanα

4. Các công thức lượng giác:

4.1 Công thức cộng cung:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

tan tan

tan( )

1 tan .tan

α β

α β

α β

± =



4.2 Công thức nhân đôi cung:
sin 2α =2sin cosα α

2 2 2 2

cos 2α =cos α −sin α =2cos α − = −1 1 2sin α
2

2 tan

tan 2 (2 , / 2 , )

1 tan k k

α

α α α π π

α

= ≠ + ∈

− 

4.3 Cơng thức tính theo tan ( 2 , )

t= α α π≠ +k π k∈ :
2

2
sin

t
t

α =

+ ;

2
2
1
cos

t
t
α = −

+ ; 2

2
tan

t
t
α =

− .

4.4 Công thức tính theo cos 2α :

2 1 cos 2

sin

α

α = − ; cos2 1 cos 2

α

α = +

2 1 cos 2

tan ( / 2 , )

1 cos 2 k k

α

α α π π

α

−

= ≠ + ∈

+  .

4.5 Công thức nhân ba cung:
3

sin 3α =3sinα −4sin α ; cos3α =4cos3α −3cosα
3

3tan tan

tan 3 tan( ).tan .tan( )

1 3tan 3 3

α α π π

α α α α

α

−

= = − +

− .

4.6 Cơng thức biến tổng thành tích:

cos cos 2cos cos

2 2

α β α β

α + β = + −

cos cos 2sin sin

2 2

α β α β

α − β = − + −

sin sin 2sin cos

2 2

α β α β

α + β = + −

sin sin 2cos sin

2 2

α β α β

α − β = + −

sin( )

tan tan

cos .cos

α β

α β

± = ; cot cot sin( )

sin .sin

β α

α β

± = .

4.7 Cơng thức biến tích thành tổng:

2cos .cosα β =cos(α β− )+cos(α β+ )
2sin .sinα β =cos(α β− )−cos(α β+ )
2sin .cosα β =sin(α β− )+sin(α β+ ) .

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

B- Các dạng phương trình lượng giác:

1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN.
1.1 Lý thuyết:

* sin ( ) sin ( ) ( ) ( ) 2 ... ( )

( ) ( ) 2 ...

u x v x k x

u x v x k

u x v x k x

π

π π

= + =

 

= ⇔ ⇔ ∈

= − + =

   .

* cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ... ( )

( ) ( ) 2 ...

u x v x k x

u x v x k

u x v x k x

π
π

= + =

 

= ⇔ ⇔ ∈

= − + =

   .

* tan ( )u x =tan ( )v x ⇔u x( )=v x( )+kπ ⇔ =x ... (k∈)
(ĐK: ( ), ( )u x v x ≠π/ 2+kπ).

* cot ( )u x =co v xt ( )⇔u x( )=v x( )+kπ ⇔ =x ... (k∈)
(ĐK: ( ), ( )u x v x ≠kπ).

FChú ý: - Điều kiện để phương trình dạng: sinx = m (hoặc cosx = m ) có nghiệm là
1

m ≤ .

- Các bước tiến hành giải một phương trình lượng giác:

+ Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa (gồm căn bậc chẵn, phân số,
logarit, tanx và cotx, …).

+ Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về các dạng
cơ bản.

+ Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra, nghiệm nào
khơng thỏa mãn thì bị loại.

- Các trường hợp đặc biệt:

sinx= ⇔ =0 x kπ ; sinx= ± ⇔ = ±1 x π/ 2+k2π

cosx= ⇔ =0 x π/ 2+kπ ; cosx= ⇔ =1 x k2π ; cosx= ⇔ =1 x (2k+1)π
t an = 0x ⇔sinx=0 ; cot = 0x ⇔cosx=0 .

1.2 Bài tập:

1. Giải các phương trình sau:

a) sin(2x+50 )o =cos(x+120 )o ; b) cos3x−sin 4x=0
c) sin 5x+cos5x= 2 cos3x ; d) tan(x−π/ 5)+cotx=0

e) tan5x = cotx ; f) cos(110o −4 )x +sin(x−80 )o =0
g) cos(2x+3 / 4)π =sin( / 2π +x) ; h) 3.cos sin 1

3 x+ x= −

i) (cos 2x+cos ).(sinx x+sin 3x)=0 ; j) cos(4x−30 )o =cos30o
k) sin(x+24 )o +sin(x+144 )o =cos 20o ;

l) cos (2 x−30 )o =sin (2 x−30 )o +sin(x+60 )o ;

m) tan 2 cot( / 4)

1 tan 2

x x

x

π

+
=

− ; n) cot 2x=cot(x−π/ 4) ;

o) cos 2 .sinx x+sin 3 .sinx x=cos .sin 2x x+cos3 .cosx x ;

p) tan 2 .tan 32 x 2 x=1 ;

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

r) tan 2 2 2 sin .sin(5 ) 1

1 tan 2 2

x

x x

x

π

− + =

− ;

2. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) msinx + 2(m – 1) = (2m – 3)sinx – 1 ; b) cos3x + m – 1 = mcos3x ;
3. Tìm a để phương trình sau có nghiệm:

3
2
cos

2
2

a
x

a

−
=

− ?

2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO

MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
2.1 Lý thuyết:

*Dạng: cosa u+ =b 0 ; asinu+ =b 0 (a≠0 ; u=u x( )).

FPhương pháp:

+ Biến đổi phương trình về dạng: cosu b ; sinu b

a a

= − = − .

+ Nếu b 1

a

− ≤ thì phương trình viết lại cosu=cosϕ ; sinu=sinα

cos ; sin b

a

ϕ α

 = − 

 

 .

Nếu b 1

a

− > thì phương trình vơ nghiệm .

+ Giải phương trình lượng giác cơ bản cosu=cosϕ ; sinu=sinα (nếu có) .
*Dạng: tana u+ =b 0 ; acotu+ =b 0

FPhương pháp:

+ Đặt điều kiện cho u để phương trình tồn tại.

+ Biến đổi phương trình về dạng: tanu b tan ; cotu b cot

a ϕ a α

= − = = − = .

+ Giải các phương trình lượng giác cơ bản trên.
2.2 Bài tập:

1. Giải các phương trình sau:

a) 2sin 4 1 0

x π

 − − =

 

  ; b) cot 4 x 1

π

 + =

 

 

c) cos 2 0

x π

 + =

 

  ; d) 3−2sin 3x=0

e) cos (2 30 ) 3
4

o

x− = ; f) tan 3 .tanx x=1

g) cot 2 .cot 1

x x+π = −

  ; h) 2sin 3 4 3 (0 2 )

x

π π

 + = ≤ <

 

 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

l) (2sin 1)2 (2sin 1)(sin 3) 0

x− − x− x− =

m) sin .(2cos 2).tan 2 0

x π x x

 −  + =

 

 

n) 3tan 2x−4 tan 3x=tan 3 .tan 22 x x ; o) sin 2 0
1 cos 2

x
x =

3
sin

cos 2 4

3 cos 2

sin

x
x

π

 + 

 

 

 + 

 

 

; q) 4sin 4 .cos 4 .cos8x x x=1

r) t anx 1 cot 2 (3tan 3) 0 (0 )

t anx 1 x x x π

−

 +  − = < <

 + 

 

s) tan 2 .sinx x+ 3(sinx− 3 tan 2 )x −3 3=0

t) tan3 1 12 3cot 3 ( 3 )

cos 2 2

x x x

x

π π π

 

− + −  − = < <

 

x) 2 sin 3 sin sin 3 5 sin 1 ;

(

)

2 2

x x x π x π x π π

 +  +   + = ∈ −

   

    

 

y) cos 2 sin 2 sin 2 2 sin

3 3 3

x+  x+π +  x−π = x−π 

     .

2. Giải và biện luận các phương trình :

a) 2( 1)sin 2 .sin 2 1

m+ x π − x= −m

 

b) mcos 2x−2m+ =3 (2m+3) osxc

c) (4m−1)sinx=msinx-8

d) msin .cos .cos 2 .cos 4x x x x−m+2=0

3. Định mđể phương trình sau có nghiệm thỏa điều kiện cho trước :

a) cos 2 cos 1

3 3

m x−m = x− − < <π x π 

 

b) 2t anx=tanx + m + 1 (0 < x < )
2

m π

c) 2(1 t anx)=4 + 3m - 4tanx (0 < x < )
2

m − π

d) m2(cosx−cos 2 )x +2(m2 +4) cos2x=m3+m2+4(cos 2x−cosx+1) (0< <x 2 )π

3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO

MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
3.1 Lý thuyết:

*Dạng: acos2u+bcosu+ =c 0; sina 2u+bsinu+ =c 0 (a≠0 , u=u x( ))

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

+ Đặt t = cosx ( hoặc t=sinx ); điều kiện t ≤1 .
+ Phương trình trở thành: at2 + + =bt c 0 .

+ Giải phương trình bậc hai và nhận nghiệm to thỏa điều kiện ta được phương

trình: cosu = to (hoặc sin u = to ) .

*Dạng:

tan tan 0 ( );

cot cot 0 ( )

a u b u c u k

π π

π

 + + = ≠ +




+ + = ≠



(a≠0 , u=u x( ))

FPhương pháp:

+ Đặt t = tanx ( hoặc t=cotx ) .

+ Phương trình trở thành: at2 + + =bt c 0 .

+ Giải phương trình bậc hai nhận nghiệm to ta được phương trình: tanu = to (hoặc

cot u = to ) .

3.2 Bài tập:

1. Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x−5sinx− =3 0 ; b) 4cos2x−2( 3 1) cos+ x+ 3=0
c) tan2x+ −(1 3) tanx− 3=0 ; d) cot2x−4cotx+ =3 0

e) 4sin2x−4sinx− =3 0 ; f) sin3x+3sin2x+2sinx=0

g) cos 2x+9cosx+ =5 0 ; h) sin 22 2cos2 3 0

x− x+ =

i) tan4x−4 tan2x+ =3 0 ; j) sin 2 4 tan 9 3

x+ x=

k) 2cos 6 tan 3 4

x+ x= ; l) 12 3cot2 5

cos x + x=

m) 3 tan2 9

cosx + x= ; n) 2

( 2 1) tan 2 3 (0 )

cos x x x 3

π

= − − + < <

2. Giải các phương trình sau:

a) cos 2 4cos 5

3 6 2

x π π x

 + +  − =

   

    ;

b) 2cos 2 cos2 10cos 5 7 1cos

2 2 2 2

x

x+ −  π −x+ = x

  ;

c) cos5 .cosx x=cos 4 .cos 2x x+3cos2x+1 ;
d)

2
2
1 t an x

cos 4 3. 2 0

1+tan x

x− − + = ; e) cos 4x+sin 3 .cosx x=sin .cos3x x ;
f) cos 26 sin 26 15cos 4 1

8 2

x+ x= x− ; g) 1 4sin 2− x = 1 4cos 4− x ;

h) cos 2 2sin 2 tan 1 0

x+ x− x+ = ; i) cos4 sin4 sin 2 3sin 22 0

x+ x− x+ x= ;

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINU VÀ COSU

4.1 Lý thuyết:

*Dạng: a.sinu + b.cosu = c ( , ,a b c≠0) (1)

FPhương pháp:

*Cách 1: (Phương pháp lượng giác )

Chia hai vế phương trình (1) cho a2+b2 ta được:
(1)

2 2.sin 2 2.cos 2 2

a b c

u u

a b a b a b

⇔ + =

+ + +

Vì

2 2

2 2 2 2 1

a b

a b a b

   

+ =

   

+ +

    nên tồn tại số α để cos 2 2

a
a b
α =
+ ;
2 2
sin b
a b
α =

+ . Khi đó (1) cos .sin sin .cos 2 2

c
u u
a b
α α
⇔ + =
+

2 2

sin(x ) c

a b

α

⇔ + =

+ .
Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm:

2 2 2

2 2 1

c

a b c

a +b ≤ ⇔ + ≥

(J).
Với điều kiện trên, đặt

2 2

sin c

a b

ϕ=

+ ta đưa (1) về dạng cơ bản

sin(x+α)=sinϕ .

*Cách 2: (Phương pháp đại số )

+ Thử trực tiếp u= +π k2π xem có là nghiệm của phương trình (1) khơng?
+ Trường hợp u≠ +π k2π cos 0

u

⇔ ≠ , bằng cách đặt tan

u

t= và theo cơng
thức A.4.3 ta có:

2 2

2 1

sin ; cos

1 1
t t
u u
t t
−
= =

+ + . Khi đó :

(1)

2 2

2 1

. . ( ) 2 0 (*)

1 1

t t

a b c b c t at c b

t t

−

⇔ + = ⇔ + − + − =

+ +

Vì u≠ +π k2π ⇒ + ≠b c 0 nên điều kiện pt có nghiệm khi:

2 2 2 2 2 2

( ) 0

a c b a b c

′

∆ = − − ≥ ⇔ + ≥

Giải phương trình (*) tìm nghiệm to từđó giải pt: tan

2 o

u
t

= .

FChú ý:

+ Ở cách 1 nếu đặt

2 2

sin a

a b

α =

+ ; cos 2 2

b

a b

α =

+ thì

(1)

2 2

cos(x ) c

a b

α

⇔ − =

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

+ Nếu a2+ =b2 c2 thì (1) ⇔sin(x+α) 1= .
4.2 Bài tập:

1. Giải các phương trình sau:

a) sinx+ 3 cosx= 2 ; b) 2sinx−5cosx=5

c) 3 sinx−cosx= 2 ; d) sin 2 3 sin

(

)

2 x x

π π

 + + − =

 

 

e) 2sin sin 3 2

4 4 2

x π x π

 + +  − =

   

    ; f)

2sin x+ 3 sin 2x=3

g) 1sin 2 1sin 4 1sin 6 1sin 8 0

2 x+ 4 x+ 6 x+8 x=

h) sin 5x+cos5x= 2 cos13x ; i) 1 sin 1

1 cos 2

x
x

+ =

j) 8sin2 3sin 4 0

x

− − = ;

k) 2 3 sin cos 2cos2 3 1

8 8 8

x π x π x π

 −   − +  − = +

     

      ;

l) 3cos 4sin 2 3

3cos 4sin 6

x x

− + =

− − ;

m) 1 cos 4 sin 4

2sin 2 1 cos 4

x x

− =

+ ; n)

2 3

cos 3 sin cos

x+ x x= ;

o) 3 cos 2 sin 2 2sin 2 2 2

x+ x+  x−π =

  ;

p) 8sin .sin 2 6sin cos 2 5 7 cos

4 4

x x+ x+π  π − x= + x

    ;

q) 2cos3x+cos 2x+sinx=0 ; r) sin5 cos5 1 1

cos sin

x x

− = − ;

s) 4(cos 4x−sin 4 )x + =7 4(cos4x+sin4x)
2. Định mđể phương trình sau có nghiệm :

a) (m2+2)sin2x+4 sin cosm x x=m2+3

b) 2sin2x−msin 2x+2(2−m) cos2x=4 có nghiệm ,
4 2

x∈π π 

  .

3. Chứng minh phương trình : sinx+mcosx=1 có nghiệm với mọi m ?
5. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THUẦN NHẤT BẬC HAI

ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

5.1 Lý thuyết:

*Dạng: a.sin2x+b.sin .cosx x+c.cos2x=0 (**) (với a b c, , ∈,a2+ + ≠b2 c2 0)

FPhương pháp:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

+ Xét xem cos 0

x= ⇔ = +x π kπ có là nghiệm (**) không bằng cách thử trực
tiếp.

+ Trường hợp cos 0

x≠ ⇔ ≠ +x π kπ . Chia hai vế của phương trình (**) cho
2

cos x≠0 ta được phương trình bậc hai :
2

.tan .tan 0

a x+b x+ =c

Giải phương trình tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện :
2

x≠ +π kπ.
*Cách 2: (Hạ bậc đưa về dạng bậc nhất đối với sin và cos)
+ Dùng công thức hạ bậc :

2 1 cos 2

sin

α

α = − ; cos2 1 cos 2

α

α = + ; sin cos 1sin 2
2

α α = α

+ Ta có: (**) .1 cos 2 .sin 2 .1 cos 2 0

2 2 2

x x x

a − b c +

⇔ + + =

sin 2 ( ) cos 2 2

b x c a x d a c

⇔ + − = − −

+ Giải phương trình dạng bậc nhất theo sin2x và cos2xđã biết.

FChú ý:

+ Ở cách 1 ta có thể chia hai vế cho sin2x (với điều kiện sin2x≠0) để đưa
phương trình về dạng bậc hai theo cotx .

+ Ở phương trình (**) nếu a = 0 hoặc c = 0, để đơn giản ta nên đưa về phương
trình tích.

+ Đối với phương trình dạng :

a.sin2x+b.sin .cosx x+c.cos2x=d ( , , ,a b c d∈,a2+ + ≠b2 c2 0)
ta có thểđưa về dạng thuần nhất bậc hai bằng cách viết d =d(sin2x+cos2x) .

5.2 Bài tập:

1. Giải các phương trình sau:

a) ( 3 1)sin+ 2x−2 3 sin cosx x+( 3 1) cos− 2x=0 ;
b) 4sin2x+3 3 sin 2x−2cos2x=4 ;

c) sin2 3 sin .cos 2cos2 3 2

x+ x x+ x= + ;

d) sin3x+2sin2x.cosx−3cos3x=0 ;

e) ( 3 1)sin+ 2x− 3 sin 2x+( 3 1) cos− 2x=0 ;
f) 3 sin2x+ −(1 3)sin .cosx x−cos2x+ −1 3 =0 ;

g) 3 sin .cos sin2 2 1

x x− x= − ; h) 3cos2x+4sin .cosx x−sin2x= +2 3;
2. Định mđể các phương trình sau có nghiệm :

a) msin2x+sin 2x+3 cosm 2x=1 ;

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

6. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

6.1 Lý thuyết:

*Dạng: (sina x+cos )x +bsin .cosx x+ =c 0.

FPhương pháp:

+ Đặt sin cos 2 sin

t = x+ x= x+π 

  , điều kiện t ≤ 2 .

Khi đó:

2
1
sin .cos

t

x x= − .

+ Phương trình viết lại:

2
1

. 0

t

at+b − + =c ⇔bt2+2at+2c− =b 0 .

+ Giải phương trình bậc hai theo t và nhận nghiệm to thích hợp, ta được phương

trình 2 sin

4 o

x π t

 + =

 

  .

FChú ý: Đối với phương trình dạng : (sina x−cos )x +bsin .cosx x+ =c 0, bằng cách

đặt sin cos 2 sin

t= x− x= x−π 

 , điều kiện t ≤ 2.

6.2 Bài tập:

1. Giải các phương trình sau:

a) 2(sinx+cos )x +6sin .cosx x− =2 0 ;
b) 2sin 2x−3 3(sinx+cos )x + =8 0 ;
c) (1− 2)(1 sin+ x−cos )x =sin 2x ;
d) cosx−sinx+3sin 2x− =1 0 ;

e) (sinx−cos )x 2−( 2 +1)(sinx−cos )x + 2 =0 ;
f) 2sin 2x−3 6 sinx+cosx + =8 0 ;

g) sin 2 2 sin 1

x+ x−π =

  ;

h) sin3x+cos3x= +1 ( 2−2)sin .cosx x ;
i) cos3x−sin 3x=cos 2x ;

j) sin cos cos 2

1 sin 2

x

x x

x

+ =

− ;

k) 5(sinx+cos )x +sin 3x−cos3x=2 2(2+sin 2 )x ;
l) 2(tanx−sin )x +3(cotx−cos )x + =5 0 ;

2
2

3
1 cos
tan

1 sin

x
x

x

−
=

− ; n) sin 2x 3 3 cos x 4 4 0

π

 

−  − + =

  .

2. Định m để các phương trình sau có nghiệm :
a) sin .cosx x−sinx−cosx+ =m 0 ;

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

c) 4sin 3 .sin 4cos 3 .cos cos2 2 0

4 4 4

x x+  x−π  x+π −  x+π + =m

      .

3. Tìm mđể phương trình: sinx+cosx= +m sin 2x vô nghiệm .

4. Xác định m để phương trình: cos3x+sin3x= +1 msin .cosx x có nghiệm thuộc

;
2

π
π

 

 

  ?

7. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT

7.1 Lý thuyết:

FPhương pháp 1:

Một số phương trình lượng giác khơng ở dạng chính tắc, ta có thể sử dụng các 
cơng thức lượng giác thích hợp để biến đổi đưa về dạng phương trình tích :

1( ). ( )... ( )2 n 0 1( ) 0 2( ) 0 ... n( ) 0
f x f x f x = ⇔ f x = ∨ f x = ∨ ∨ f x =

FPhương pháp 2:

Nếu việc phân tích thành tích khơng thực hiện được, ta cố gắng biểu diễn tất cả 
các số hạng bằng một hàm số lượng giác duy nhất, đó là ẩn số của phương trình.

Các quy tắc chọn ẩn số cơ bản:

*Nếu phương trình khơng đổi khi ta thay thế :
+ x bởi (-x) ⇒chọn ẩn là cosx .

+ x bởi (π −x) ⇒chọn ẩn là sinx .
+ x bởi (π +x) ⇒chọn ẩn là tanx .

*Nếu phương trình khơng đổi khi ta thay cả ba cách thì chọn ẩn là cos 2x.
*Nếu phương trình thay đổi khi ta thay cả ba cách thì chọn ẩn là tan

x

.
7.2 Bài tập:

1. Giải các phương trình sau:

a) sinx+sin 3x+sin 5x=0 ; b) tan3x+tan2x−3tanx=3 ;
c) 1 2sin .cos 2+ x x=sinx+2cos 2x ; d) sin (sinx x−cos ) 1 0x − = ;
e) cosx−cos 2x=sin 3x ; f) cos 7x+sin 8x=cos3x−sin 2x ;
g) tan 3x−tanx=sin 2x ; h) 1 tan 2 1 sin 22

cos 2

x
x

x

−

+ = ;

i) (sinx−sin 2 )(sinx x+sin 2 )x =sin 32 x ;

j) sin3x+cos3x=cos 2x ; k) sin6x+cos6x=sin4x+cos4x ;

l) sin tan 2

x

x+ = ; m) sinx+sin 3x+4cos3x=0 ;

n) sin2 sin 32 sin 52 3
2

x+ x+ x= ; o) sin 2x= +1 2 cosx+cos 2x ;
p) (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tan− x + x = + x ; r) sin4 5cos4 1

x+ x= ;
s) 2cos6x+sin4x+cos 2x=0 ; t) sin cot 2

x

x+ = ;

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

y) sin 3 sin sin 2 cos 2 ( 2 )

1 cos 2

x x

x x x

x π π

− = + < <

− ;

z) tan3 12 3cot 3

cos 2
x x
x
π
 
+ −  − =

  ;

w)3sin 4sin( ).sin 5 8cos2 4

2 2 2

x

x x x

π π π

 − − +  + + =

   

    .

2. Định m để hai phương trình sau tương đương :

1 cos 2+ x+cos3x=2cos 2 .cosx x (1)
2

4cos x−cos3x=mcosx+ −(4 m)(1 cos 2 )+ x (2) .
8. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
8.1 Lý thuyết:

* Ngồi các phương trình cơ bản đã nêu, ta có thể gặp một số phương trình mà
khi giải phải dùng một số cách đặc biệt như :

8.1.1 Phương pháp tổng bình phương :

1
2

2 2 2

1 2
0
0
... 0
0
n
n
A
A

A A A

A
=

 =

+ + + = ⇔ 

 =



8.1.2 Phương pháp đối lập ( Chặn trên và chặn dưới hai vế ) :

A m
A m
B m
B m
A B
≥

=

 ≤ ⇔
  =

 =


8.1.3 Phương pháp phản chứng :
1
1
1
1
1 1
A A
A A
B B
B B

A B A B

≤
 =

 ≤ ⇔
  =

 + = +


*Chú ý :

sin 1

cos 1

sin .cos 1

sin 1
cos 1
A
B
A B
A
B
 =

 =


= ⇔  = −

 = −



8.2 Bài tập:

1. Sử dụng 8.1.1, giải các phương trình sau:

a) x2+2 sin(x xy) 1 0+ = ; b) (sin )x 10+(cos )y 2010 =0
2. Sử dụng 8.1.2, giải các phương trình sau:

a) (cos 4x−cos 2 )x 2 = +5 sin 3x ; b) 2sin2 2 2 3
3

x

x x

= − +

3. Sử dụng 8.1.3, giải các phương trình sau:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

</div>

PTHPT Luong Giac hay lop 11

(

)

(

)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về