SKKNphong VN time

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Đề tài:

<b>phỏt huy kh nng t duy sáng tạo của học sinh khá</b>
<b>giỏi trong việc học một số định lý về tam giác vng</b>

¸

p dụng dạy : <i>Đối với học sinh khá giỏi trong líp, «n häc sinh giái.</i>

<b>---*---A- Đặt vấn đề:</b>

I/ lêi më ®Çu:

Trong q trình giảng dạy tốn ở trờng trung học cơ sở, việc phát huy cho
học sinh khả năng t duy sáng tạo, thói quen suy nghĩ sâu sắc trớc mọi vấn đề là
một cơng việc địi hỏi ngời dạy ln phải thực hiện thật tốt. Nó giúp phát huy
năng lực t duy cho các đối tợng học sinh. Gây hứng thú học tập cho học sinh ,
giúp học sinh có năng lực tự học tốt.

Trong q trình giảng dạy hình học tơi phát hiện ra ở một số định lý về
tam giác vuông. Nếu mở rộng các định lý ấy vào tam giác nhọn (có ba góc
nhọn); tam giác tù thì có những định lý cho kết quả khác nhau. Từ kết quả đó
giúp học sinh có cái nhìn bao quát hơn về vấn đề đó. Các kết quả tìm đợc giúp ta
giải đợc một số bài tốn nâng cao cho các đối tợng học sinh khá giỏi hoặc giúp
học sinh hiểu đợc mối quan hệ giữa các định lý hình học. Tạo hứng thú khám
phá tốn học, giúp học sinh học tập hình học tốt hơn.

II/ Thực trạng của vấn đề:

1) Thùc trạng:

Qua công tác giảng dạy toán nói chung và môn hình học lớp 8, 9 ở trờng
THCS Định Long nói riêng. Trong những năm qua tôi thấy rằng đa số häc sinh:

- Khơng chịu đề cập bài tốn theo nhiều cách khác nhau, không sử dụng
hết các dữ kiện của bài tốn...

- Khơng biết vận dụng hoặc vận dụng cha thành thạo các phơng pháp suy
luận trong giải tốn, khơng biết sử dụng các bài toán giải hoặc áp dụng phơng
pháp giải một cách thụ động .

- Không chịu suy nghĩ tìm cách giải khác nhau cho một bài tốn hay mở
rộng lời giải tìm đợc cho các bài tốn khác, do đó hạn chế trong việc rèn luyện
năng lực giải toán.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Từ thực trạng của đa số học sinh lớp 8, 9 trờng THCS Định Long nh thế đã
dẫn tới kết quả đa số các em cảm thấy học mơn hình khơ khan, khó hiểu, khơng
có hứng thú cao đối với mơn hình, điều đó đã ảnh hởng khơng nhỏ tới việc học
tập của các em. Chính vì thế mà tơi đã mạnh dạn áp dụng và lồng ghép vào trong
từng tiết luyện tập, các buổi bồi dỡng một số phơng pháp nhằm <i>" phát triển</i>
<i>t duy </i>" của các em, điều đó đã đem lại kết quả khả quan : Đa số các em trong
những lớp mà tôi giảng dạy đã có sự chú ý và ham mê đối với mơn hình nhiều
hơn dẫn đến kết quả , chất lợng mơn tốn ở các lớp đã có sự chuyển biến tích cực
hơn. Chính vì thế mà tơi đã quyết định nêu một số biện pháp của mình đã đợc
thử nghiệm và có kết quả tốt, để các đồng nghiệp có thể tham khảo và góp ý
thêm cho tơi.

<i>Tríc khi tôi cha áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy bồi dỡng học sinh khá</i>
<i>giỏi, thực tế điều tra ở học sinh bồi dỡng năm trớc nhận thấy nh sau:</i>

Số häc sinh tham
gia båi dìng

Số học sinh làm
đợc các bài khó

Số học sinh khơng
làm đợc các bài khó

Số hs phát huy
đợc tính tích
cực

10 4 (=40%) 6 (=60%) 7 (=70%)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3></div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>B - giải quyết vấn đề</b>:
I/ Các giải pháp thực hiện:

Để phát triển " <i>T duy của học sinh</i> " thông qua việc phát triển thêm một
số định lý đã học ở hình học lớp 8, 9. Ngồi việc chú ý đến việc giúp các em
chiếm lĩnh kiến thức cơ bản SGK mà tơi cịn chú trọng đến tính t duy mở rộng
thong các định lý, tính chất để pát triển thành các định lý, tính chất tổng quát
hơn . Qua các buổi dạy bồi dỡng, từ các bài toán ở SGK có thể phát triển thêm
thành nhiều bài khác, hoặc từ một bài trong sách đọc thêm mà đa ra nhiều bài
khác tơng tự. Từ đó rèn luyện ở các em một số phơng pháp suy luận trong giải
bài tập hình học nh: Phơng pháp phân tích tổng hợp, phơng pháp so sánh, phơng
pháp tơng tự, phơng pháp tổng quát hố...

II/ c¸c biƯn ph¸p tỉ chøc thùc hiƯn:

Do điều kiện không cho phép sau đây tôi xin đa ra một số vấn đề mà tôi
thấy vận dụng vào quá trình bồi dỡng, giảng dạy hình ở lớp 8,9 rất phù hợp.

<b>1. Vấn đề thứ nhất:</b>

Trong quá trình giảng dạy định lý <i>" Hệ thức lợng trong tam giác vuông</i> " ta
chứng minh đợc phát biểu bằng định lý sau:

<b>Định lý</b>:" <i>Trong tam giác vng tích của cạnh huyền với đờng cao tơng ứng</i>
<i>bằng tích hai cạnh góc vng</i> "

a.h = b.c ( BC=a; AB=c; AC=b )

Tõ ®iỊu nµy suy ra:

b.c = 2.SABC

Vậy trong tam giác vng tích hai cạnh góc vng bằng hai lần diện tích
của tam giác đó.

Một vấn đề đặt ra là: Nếu tam giác ABC là tam giác thờng vậy thì tích b.c quan
hệ thế nào với diện tích tam giác ABC ? ( bc > 2SABC hay bc < 2SABC ). Ta cú nh

lý sau

<b>Định lý</b>:

<i>Trong mt tam giỏc tớch hai cnh bất kỳ ln lớn hơn hoặc bằng hai lần</i>
<i>diện tích tam giác đó</i>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Chøng minh:

Kh«ng mÊt tÝnh tỉng quát giả sử <i>ABC</i> có ba góc nhọn CHAB ; H AB .
Trong tam giác vuông HAC ta có:

AC HC (bằng khi <i>ABC</i> vuông tại A, HA)

vËy ta cã: AB.AC  AB.AH  AB.AC  2SABC ( đfcm )

dấu bằng sảy ra khi HA hay AC=AH  tam gi¸c ABC vu«ng

Kết quả tốt đẹp này giúp ta chứng minh đợc rất nhiều bài tốn.Xét các ví dụ sau

<b>Ví dụ:</b> Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c, d dơng



<i>_a</i>2 <i>_c</i>2

 

<i>_b</i>2 <i>_c</i>2



  +



<i>a</i>2<i>d</i>2

 

<i>b</i>2<i>d</i>2







<i>a b c d</i>

 





Bài tốn này ta có thể chứng minh một cách đơn giản nhờ bất đẳng thức
Bunhiacỗpxki. Song ở đây nêu ra một cách giải mới ( phơng pháp hình học )

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Xét tứ giác ABCD có ACBD , O là giao điểm hai đờng chéo OA=a, OC=b,

OB=c, OD=d, (a, b, c, d d¬ng )

theo định lý py-ta-go ta có: AB=

2 2

<i>a</i> <i>b</i> ; BC= <i>b</i>2<i>c</i>2 ;

AD= <i>_a</i>2 <i>_d</i>2

 ; BD= <i>b</i>2<i>d</i>2 ;

AC=a+b ; BD=c+d
vậy ta cần phải chứng minh AB.BC + AD.CD  AC.BD

áp dụng định lý ta vừa chứng minh thì

AB.BC  2SABC

AD.CD  2SACD

Suy ra: AB.BC + AD.CD  2SABCD = AC.BD (®fcm )

hay

_

<i>_a</i>2 <i>_c</i>2

_{ }

<i>_b</i>2 <i>_c</i>2

_

  +



<i>a</i>2<i>d</i>2

 

<i>b</i>2<i>d</i>2







<i>a b c d</i>

 





<b>2. Vấn đề thứ hai: </b>

Cũng trong phần hệ thức lợng trong tam giác vuông ta đợc học định lý
py-ta-go. Nội dung định lý phát biu nh sau:

<b>Định lý</b>: "<i>Trong một tam giác vuông bình phơng cạnh huyền bằng tổng bình </i>
<i>ph-ơng hai cạnh góc vu«ng</i> "

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Một vấn đề đặt ra là nếu tam giác ABC có góc A nhọn ; tù thì quan hệ giữa a2_và

tổng b2_{+ c}2_{sẽ nh thế nào ? Ta sẽ chứng minh đợc kết quả sau:}

* NÕu gãc A nhän th× a2_{< b}2_{+ c}2₍₁₎

* NÕu gãc A tï th× a2_{> b}2_{+ c}2₍₂₎

a) Chứng minh (1):

Không mất tính tổng quát giả sử <i>_B</i> < 900 _{(hình trên), gọi H là hình chiếu vuông}

góc của C trên AB, thì H phải thuộc đoạn thẳng AB ( H khác A, H khác B)
suy ra:

BC2_{= BH}2_{+ CH}2_{= (BA-AH)}2_+AC2_-AH2_=AB2_+AC2_{- 2AB.AH < AB}2_{+ AC}2

vËy a2_{< b}2_{+ c}2 _(®fcm)

b) Chøng minh (2):

Ta cã ¢ tï ( ¢> 900_{) gäi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB thì A nằm}

giữa B và H . Suy ra:

BC2_{= BH}2_+CH2_{= ( AB+AH )}2_{+ AC}2_-AH2_=AB2_+AC2_{+2AB.AH >AB}2_+AC2

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Vậy ta có một kết quả đẹp nh sau:
* Nếu Â=900_{thì a}2_{= b}2_+c2

* NÕu ¢<900_{thì a}2_{< b}2_+c2

* Nếu Â>900_{thì a}2_{> b}2_+c2

víi AB = c; AC =b; BC =a;

<b>3. Vấn đề thứ ba:</b>

Trong SGK hình học 7 ( cũ ) trang 51 bài " <i>Đờng trung bình của tam</i> <i>giác</i>"
có nờu hai nh lý sau

<b>Định lý 1</b>: <i>Trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền một nữa cạnh</i>
<i>huyền</i>

AM = BC/2

<b>Định lý 2</b>: <i>Trong một tam giác trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy</i>
<i>thì tam giác đó là tam giác vng.</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

"<i>Trong một tam giác , trung tuyến xuất phát từ một đỉnh góc vng bằng nữa</i>
<i>cạnh đối diện với đỉnh đó</i> "

* Câu hỏi đặt ra là : Trong một tam giác , trung tuyến xuất phát từ một đỉnh góc
nhọn ( hay đỉnh góc tù ) so với cạnh đối diện với đỉnh đó nh thế nào? Khơng khó
khăn lắm để trả lời câu hỏi này.

*) Tr ờng hợp 1 ( trung tuyến xuất phát từ một đỉnh góc nhn ):

Cho tam giác ABC có Â < 900_{, M là trung điểm của BC. Ta so sánh AM với}

BC/2.

Không mất tính tổng quát giả sử <i>_B</i>< 900_{(hình vẽ). Gọi H là hình chiếu vuông}

góc của C trên AB thì H phải thuộc đoạn thẳng AB ( H khác A và H khác B ).

Suy ra: <i>_AHM</i> = <i>_AHC</i>₊ <i>_CHM</i> _><i>_AHC</i>_{= 90}0

suy ra góc H là góc lớn nhất trong tam giác AHM do đó AM > HM.
Mặt khác theo định lý 1 thì HM = 1/2.BC nên AM > 1/2.BC ( đfcm )

*) Tr ờng hợp 2 ( Trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc tù )

Cho tam giác ABC có Â>900_{. M là trung điểm cđa BC. Ta so s¸nh AM víi}

BC

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

dễ thấy M là trung điểm của AD và <i>_ACD</i>_{< 90}0_{. Theo định lý 1 thì AD/2 < CM}

suy ra AM < BC/2 (®fcm)

Vậy ta có thêm hai định lý sau:

<b>*Định lý 3a</b>: <i>Trong một tam giác trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn lớn hơn</i>
<i>nữa cạnh đối diện với đỉnh đó</i>.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Bằng phơng pháp phản chứng ta dễ dàng chứng minh đợc hai định lý khác:

<b>*Định lý 3b:</b> <i>Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng một cạnh, lớn hơn nữa</i>
<i>cạnh ấy thì góc đối diện với cạnh này là góc nhọn</i>.

<b>*Định lý 4b:</b> <i>Trong một tam giác trung tuyến ứng với một cạnh, nhỏ hơn nữa</i>
<i>cạnh ấy thì góc đối diện với cạnh này là tù</i>

<b>4. Vấn đề thứ t : </b>

Theo định lý 1 (<i>ở vấn đề thứ ba</i> ) thì AM = BC/2 hay ma = a/2.

Một vấn đề đặt ra là có hệ thức tổng quát tính độ dài trung tuyến khi tam giác
ABC là bất kỳ không?

Khi học đến định lý py-ta-go và phát triển thêm đợc hai kết quả:

a2_{< b}2_+c2_{với  < 90}0_{và a}2_{> b}2_+c2_{với  > 90}0_{. Ta sẽ chứng minh đợc định lý}

sau:

<b>*Định lý 5</b><i>: Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c và độ dài ba đờng trung</i>
<i>tuyến tơng ứng là ma, mb, mc thì:</i>

ma2 =

2 2 2

2 2

4

<i>b</i>  <i>c</i>  <i>a</i>

mb2 =

2 2 2

2 2

4

<i>a</i>  <i>c</i>  <i>b</i>

(*)

mc2 =

2 2 2

2 2

4

<i>a</i>  <i>b</i>  <i>c</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

không mất tính tổng quát, giả sử H thuộc tia MB. Theo định lý py-ta-go ta có
AB2_{= AH}2_+BH2_{= AH}2_{+/ MB-MH/} 2_{= AH}2_+MB2_+MH2_{-2MB.MH =}

= AM2_+BC2_{/4 - 2MB.MH}

AC2_{= AH}2_+HC2 _{= AH}2_+/MC+MH/2_{= AH}2_+BC2_/4+2MB.MH
 AB2+AC2 = 2AM2+BC2/2

 AM2_{= (2AB}2_+2AC2_-BC2_{)/4 hay m}
a2 =

2 2 2

2 2

4

<i>b</i>  <i>c</i>  <i>a</i>

chứng minh tơng tự có tiếp hai hệ thức cịn lại, và định lý này chính là cơng thức
tính các đờng trung tuyến trong tam giác thờng ở lớp 11. Phần hệ thức lợng trong
sách nâng cao.

Một câu hỏi đặt ra là: Giữa định lý 1; định lý 3a, 4a và định lý 5 có quan
hệ logic với nhau. Vậy liệu định lý 5 có phải là định lý bao trùm cho định lý 1,
3a, 4a hay không? Ta hãy chứng minh.

Chøng minh: Tõ ma2 =

2 2 2

2 2

4

<i>b</i>  <i>c</i>  <i>a</i>

 ma2 -

2

4

<i>a</i> ₌ 2 2 2

2

<i>b</i> <i>c</i>  <i>a</i>

+) NÕu ¢ = 900_{th× a}2_{= b}2_{+ c}2_{(py-ta-go) suy ra}

2 2 2

2

<i>b</i> <i>c</i>  <i>a</i> _=0.

VËy ma2 -
2

4

<i>a</i> _{= 0}

hay ma = a/2 (do ma > 0). Đây chính là nội dung định lý 1.

+) Nếu  < 900_{, ta chứng minh đợc a}2_{< b}2_{+ c}2_{( vấn đề thứ hai )}



2 2 2

2

<i>b</i> <i>c</i>  <i>a</i>

> 0  ma2 -
2

4

<i>a</i> _{> 0}_ _m

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Đây chính là nội dung định lý 3a

+) Nếu Â> 900_{ta chứng minh đợc: a}2_{> b}2_{+ c}2_{( vấn đề thứ ba )}



2 2 2

2

<i>b</i> <i>c</i>  <i>a</i>

< 0  ma2 -
2

4

<i>a</i> _{< 0}_ _m

a < a/2. Đây chính là nội dung

nh lý 4a

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

<b>C</b>/ <b>KÕt luËn</b>:

Qua bài giảng này bản thân tôi thấy với cách chủ động tự nêu vấn đề và
giải quyết vấn đề có sự giúp đỡ của giáo viên làm cho học sinh có hứng thú trong
khi học và giúp học sinh khắc hoạ cụ thể hơn về một định lý. Giúp học sinh có
thói quen " <i>thắc mắc</i> " khi học toán nhất là khi học các khái niệm, các định lý.
Có khả năng tự tìm tịi thêm một số kiến thức mới ( <i>kiến thức nâng cao</i> ). Các
kiến thức nâng cao này giúp học sinh khá, giỏi giải quyết đợc một số bài tập khó.
Khi học bài này tơi thấy rằng kết quả các em hiểu và nắm khá chắc các định lý
về tam giác vuông ( <i>thực chất nhiều khi là trờng hợp đặc biệt của tam giác bất</i>
<i>kỳ ).</i>

<i>Sau khi vận dụng sáng kiến này vào giảng dạy bồi dỡng cho học sinh khá giỏi,</i>
<i>tôi điều tra và cho kết qu¶ nh sau:</i>

Sè häc sinh tham
gia båi dìng

Số học sinh làm
đợc các bài khó

Số học sinh khơng
làm đợc các bài khó

Số hs phát huy
đợc tính tích
cực

10 6 (=60%) 4 (=40%) 9 (=90%)

Đây chỉ là vấn đề nhỏ mà tôi đa vào bài dạy bồi dỡng, nhằm phát huy và giúp
học sinh khá giỏi nâng cao khả năng tự học, tự giải quyết vấn đề. Bài học đã cho
kết quả rất tốt. Mong các đồng nghiệp góp ý và bổ sung, cho đề tài đợc hồn
thiện hơn.

T«i xin chân thành cảm ơn.

<i>Định long,tháng 3 năm 2006</i>

Ngời thực hiÖn

<i> </i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15></div>

<!--links-->