Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 10

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học : 2015 - 2016
Mơn thi: Tốn – Lớp 9
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 x −2
x + 2  x2 − 2x +1
−
÷
Bài 1:(2 điểm) Cho A = 
÷.
x
−
1
2
x
+
2
x
+
1



a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A > 0 .
c) Tìm giá trị lớn nhất của A .
Bài 2:(2điểm)

a) Giải phương trình sau: x 2 − 5 x + 14 = 4 x + 1
b) Cho đường thẳng (d) có phương trình : y = (m-1)x + (m +1) (d)
Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 3:(2 điểm)
a) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng.
b) Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương.
Bài 4: (3 điểm) Cho nửa đường trịn đường kính BC=2R, tâm O cố định. Điểm A di động
trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình
chiếu của H lên AC và AB.
a) Chứng minh: AB . EB + AC . AD = AB2
b) Chứng minh bốn điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường trịn
c) Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện
tích lớn nhất đó theo R.
Bài 5: (1 điểm) Cho x ≠ 0; y ≠ 0 .Chứng minh rằng :
1  x10 y10  1
−5
Q =  2 + 2 ÷+ ( x16 + y16 ) − (1 + x 2 y 2 ) 2 ≥
2 y
x  4
2

---------- HẾT ---------(Đề thi gồm có 01trang)
Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh................................


UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

Mơn thi : Tốn – Lớp 9

Bài 1:(2 điểm)
Ý/phần
a

Đáp án
ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 1

0.25đ
0.75đ

A = − x ( x − 1)

b

c

Điểm

Với x = 0 ta có A = 0
Với x > 0 ta có :
A > 0 ⇔ − x ( x − 1) > 0 ⇔ x ( x − 1) < 0 ⇔ x − 1 < 0(do x > 0) ⇔ x < 1
Vậy với 0 < x < 1 thì A > 0
1 1
1
1 1
1
A = − x ( x − 1) = − x + x − + = −( x − ) 2 + ≤ ⇒ A ≤
4 4

2
4 4
4
1
1
1
Vậy GTLN của A = khi x = ⇔ x = (t / m)
4
2
4

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ

Bài 2:(2 điểm)
Ý/phần

Đáp án
x 2 − 5 x + 14 = 4 x + 1

 ( x − 3) 2 + ( x + 1 − 2 ) = 0

0.25đ

2

a

( x − 3) 2 = 0


2
 x + 1 − 2 = 0
x = 3

x = 3

(

0.25đ

)

0.25đ

 x=3
Vậy….

b

Điểm

Gọi ( x0 ; y0 ) là tọa độ điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m
Ta có: y0 = (m − 1) x0 + m + 1 có nghiệm với mọi m
⇔ ( x0 + 1) m + ( 1 − x0 − y0 ) = 0 có nghiệm với mọi m

0.25đ
0.25đ

0.25đ

 x0 + 1 = 0
 x0 = −1
⇔
⇔
1 − x0 − y0 = 0
 y0 = 2

0.25đ

Vậy điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m là (-1;2)

0.25đ

Bài 3:(2 điểm)
Ý/phần

Đáp án

Điểm


A = n 2 + n + 6 là số chính phương nên A có dạng
A = n 2 + n + 6 = k 2 (k ∈ N * )

0.25đ

⇔ 4n + 4n + 24 = 4k ⇔ (2k ) − (2n + 1) = 23
2

a

2

2

2

2k + 2n + 1 = 23
⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔ 
 2 k − 2n − 1 = 1

0.25đ

(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)

b

2k + 2n = 22
k = 6
⇔
⇔
 2k − 2n = 2
n = 5

0.25đ

Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
Gọi a,b,c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c).

Tích ba số ngun tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5.
Do a,b,c là các số có vai trị như nhau nên :
Giả sử a = 5 được 5bc = 5(5+b+c) ⇔ bc = 5+b+c.
⇔ bc -b - c + 1 = 6 ⇔ (b-1)(c-1) = 6.
Khi đó ta có:

0.25đ
0.25đ

0.25đ

b − 1 = 1
b = 2
⇔
( thỏa mãn)
c − 1 = 6
c = 7
b − 1 = 2
b = 3
⇔
*) 
( loại vì 4 là hợp số)
c − 1 = 3
c = 4

*) 

0.25đ
0.25đ

Vậy ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7
Bài 4:(3 điểm)
Ý/phần

Đáp án

Điểm
A
E

D

a

b
c

C

H

O

Chứng minh : AB . EB = HB2
AC . AD = AH2
HB2 + AH2 = AB2
AB . EB + AC . AD = AB2
Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật
Gọi I là giao điểm của AH và DE => IA = ID = IH = IE
=> Bốn điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn

S(ADHE)= AD.AE ≤

AD 2 + AE 2 DE 2 AH 2
=
=
2
2
2

B

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.5 đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ


0.25đ

AH 2 AO 2 R 2
≤
=
≤
2
2
2

2
R
Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE
2
⇒ S(ADHE)

0.25đ
0.25đ

Hay A là điểm chính giữa của cung AB
Bài 5:(1 điểm)
Ý/phần

Đáp án

Điểm

1  x 10 y 10  1 16
Q =  2 + 2  + ( x + y 16 ) − (1 + x 2 y 2 ) 2
2 y
x  4
 1
1  x 10 y 10
3
=  2 + 2 + 1 + 1 + ( x 16 + y 16 + 1 + 1) − (1 + x 2 y 2 ) 2 −
2 y
2
x
 4

0.25đ

Áp dụng bắt đẳng thức Cô-si cho bốn số dương ta có:

1  x 10 y 10
 2 + 2 + 1 + 1 ≥ 2 x 2 y 2
2 y
x

1 16
( x + y 16 + 1 + 1) ≥ x 4 y 4
4

0.25đ
0.25đ
3
2

=> Q ≥ 2 x 2 y 2 + x 4 y 4 − 1 − 2 x 2 y 2 − x 4 y 4 − = −

5
2

Chú ý : Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm

0.25đ