PHÒNG GD - ĐT CẨM GIÀNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP
HUYỆN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Mơn: Tốn 9
Thời gian làm bài:150 phút
Sưu tầm: Phạm Văn Cát
THCS Cẩm Định Cẩm Giàng
HD
(Đề thi gồm 01 trang
Ngày thi 16-10-2013
Câu 1( 2 điểm)
a)Cho biểu thức: A = (x2 - x - 1 )2 + 2013
Tính giá trị của A khi x =
3
3 1 1
3
3 1 1
b) Cho (x + x2 2013 ).(y + y 2 2013 )=2013. Chứng minh x2013+ y2013=0
Câu 2 ( 2 điểm)
a) Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5)
b) Chứng minh
x2 1
a
b
c
2 , với a, b, c>0
bc
ac
ba
Câu 3 ( 2 điểm)
a) Tìm số dư của phép chia đa thức (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức
x2+10x+21
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017
Câu 4 ( 3 điểm)
1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt
là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh:
a) DE2=BH.HC
b) AH3=BC.BD.CE
2)Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c. Chứng minh sin
Câu 5( 1 điểm)
Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh:
1
1
1
1 1 1
a bc bc a c a b a b c
.................... Hết ...............
Â
a
2 bc
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN 9
Nội dung
Câu
1 a)
3
x=
3 1 1
=
3(
3
3 1 1
=
3(
3 1 1) 3(
3 1 1
3 1 1)
3 1 1 3 1 1) 2 3
2
3 1 1
3
Thay x = 2 vào biểu thức A ta có:
A = (22 – 2 – 1)2 + 2013 = 1 + 2013 = 2014
Vậy khi x =
Biểu
điểm
0,25
3
3 1 1
3
3 1 1
thì giá trị của biểu thức A là 2014
0,25
0,25
0,25
----------------------------------------------------------------------------------(x + x2 2013 ).(y + y 2 2013 )=2013
b)
(x - x2 2013 )(x + x2 2013 ).(y + y 2 2013 )=2013(x - x2 2013 )
0,25
-2013.(y + y 2 2013 )=2013(x - x2 2013 )
-y - y 2013 =x - x 2013
2
Tương tự: -x - x2 2013 = y - y 2 2013
b)
+ y2013=0
0,25
2013
0,25
x2+ 5x +1 = (x+5) x 2 1
x2+1 + 5x = (x+5) x 2 1
x2+1 + 5x - x x 2 1 - 5 x 2 1 =0
x 2 1 ( x 2 1 -x) +5(x- x 2 1 )=0
( x 2 1 -x) ( x 2 1 - 5) = 0
( x 2 1 -x) = 0 hoặc ( x 2 1 - 5) = 0
x 2 1 =x hoặc x 2 1 = 5
x2+ 1 = x2 (khơng có x thỏa mãn), hoặc x2+ 1 = 25
x2 = 24
x = 24
Vậy nghiệm của PT là x = 24
0,25
0,25
0,25
0,25
x+y =0 x =-y x
2 a)
0,25
2
0,25
0,25
0,25
0,25
(b c)a
bca
bca
(b c)a
2a
a
2
bca
bc
a
2a
2a
a
bc abc
3
Ta có
0,25
b
2b
c
2a
,
ac abc
ba abc
a
b
c
2(a b c)
2
bc
ac
b a (a b c )
Tương tự:
0,25
Dấu bằng xảy ra khi b+c =a, c + a =b, a+ b= c (Điều này không có)
a
b
c
2
bc
ac
ba
Vậy
4 a)
b)
2
2
(x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 =( x +10x+16)( x +10x+24) +2013
=( x2+10x+21- 5).( x2+10x+21+3) +2013
=( y- 5).( y+3) +2013, đặt y = x2+10x+21
= y2- 2y+1998 chia cho y dư 1998
(x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21dư 1998
A= 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017
= (y+x+1)2+2(1+y) 2+2014
Vậy minA = 2014 khi y =-1 và x =0
5
A
0,25
0,25
0,5
0, 5
0,5
0,5
0,25
E
D
B
a)
b)
H
C
Vì D, E là hình chiếu của H trên AB, AC, nên DH AB, HE AC
Tứ giácADHE có DAE =90 0, ADH =90 0, AEH =90 0
Tứ giácADHE là hình chữ nhật
AH = DE, mà AH2=BH.HC nên DE2=BH.HC
Ta có AH2=BH.HC AH3=BH.HC.AH
AH.CB = AB.AC, BA2=BH.BC, AC2=CH.BC
AH3=BC.BD.CE
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
A
I
C
B
D
Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC
BD DC
BD DC BD DC
CB
a
=
AB AC
AB AC AB AC AB AC b c
Vẽ BI AD BI BD
Ta có
 BI
Â
BD
Â
a
Ta có sin
. Vậy sin
sin
2 AB AC
2 bc
2 AB
0,25
0,25
0,25
0,25
6
1
x
1
y
4
x y
1
11 1
(I)
x y 4 x y
Với x 0, y 0 ta có ( x y)2 4 xy
0,25
a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c >0, a+c -b >0, c +b- a >0,
Áp dụng bđt(I) với các số x= a+b-c, y= a+c -b dương ta có:
1
1
4
2
a b c a c b a b c a c b a
1
1
4
2
Tương tự:
bac bca cbaabc b
1
1
4
2
c ba c a b c ba c a b c
1
1
1
1 1 1
(đpcm)
a bc bc a c a b a b c
0,25
0,25
0,25