Sáng kiến kinh nghiệm: Cách tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài:
Trong cuộc sống việc vận dụng các yếu tố có liên quan đến tốn học là một
vấn đề khơng thể thiếu, khơng thể khơng đề cập tới. Vậy có thể khẳng định rằng: “
Tốn học có một tầm quan trọng rất lớn và chiếm một vị trí hết sức đặc biệt trong
đời sống thực tế của con người ”.
Chính vì thế mà trong chương trình giáo dục phổ thơng, Tốn học luôn luôn
được chú trọng và được dành một thời lượng rất lớn cho chương trình dạy - học
mơn tốn ở trong các nhà trường.
Với vai trò là những người giáo viên, người làm cơng tác giáo dục thì việc
thấm nhuần và thực hiện tốt phương châm giáo dục của Đảng là hết sức cần thiết “
Đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài ”. Nên việc nêu lên những định hướng và giải
pháp phù hợp với yêu cầu giáo dục ở phổ thơng nói chung và ở Tiểu học nói riêng,
nhằm giúp học sinh hình thành, rèn luyện những kĩ năng cần thiết và phát triển
năng lực tư duy toán học là một công việc thường xuyên, cập nhật và luôn phải
được coi trọng không thể xem nhẹ được.
Hiện nay trong các cấp học phổ thơng nói chung và cấp Tiểu học nói riêng,
việc dạy - học mơn tốn đã có nhiều tiến bộ, đã có nhiều đổi mới theo hướng tích
cực hơn. Hoạt động giảng dạy của giáo viên hay hoạt động học tập của học sinh
đều được chú trọng và đạt hiệu quả khá tốt. Việc áp dụng phương pháp dạy học mới
nhằm phát huy tối ưu tính tích cực, sáng tạo của học sinh, dạy - học lấy học sinh
làm nhân vật trung tâm đã được nhiều đồng chí giáo viên khai thác, áp dụng hết sức
thành cơng.
Song bên cạnh đó cũng cịn khơng ít tồn tại, thiếu sót, việc dạy - học thụ
động, đối phó vẫn cịn xảy ra. Việc chú trọng tìm ra cách dạy – cách học hợp lý
nhằm để phát triển đúng năng lực tư duy học toán cho học sinh và điều đặc biệt hơn
việc xác định rõ vai trò thiết yếu, tầm quan trọng đặc biệt của mỗi dạng toán lại
chưa được giáo viên chú trọng, ngay ở chương trình chính khóa cũng như việc phát
hiện và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
Mặt khác, ngoài yếu tố giáo viên và học sinh thì chúng ta cũng khơng thể
khơng đề cập tới vấn đề về sách giáo khoa và các tư liệu tham khảo. Vẫn biết rằng,

theo sự phát triển chung trong nền giáo dục của đất nước thì hệ thống cấu trúc
chương trình cũng được điều chỉnh một cách khá hợp lí. Nhiều tư liệu tham khảo
dành cho mơn tốn cũng được chỉnh sửa, tái bản, đầu tư có chiều sâu và hết sức có
hiệu quả. Nhiều tài liệu đã đáp ứng được các yêu cầu thiết yếu cho quá trình nghiên
cứu và học tập của các độc giả, đặc biệt là cho giáo viên, học sinh và các bậc phụ
1


huynh. Tuy vậy, ngồi tính ưu việt của sách giáo khoa và sách tham khảo thì vẫn
cịn khơng ít những vấn đề về toán học mà tư liệu tham khảo chưa đáp ứng được,
thậm chí cịn thiếu hụt trong q trình dạy - học.
Trong quá trình dạy học, bản thân nhận thấy cách tìm số chữ số 0 tận cùng
trong một tích các số tự nhiên từ trước tới nay vẫn cịn chưa khoa học, kết quả bài
tốn sau khi tìm được đơi khi cịn bị nhầm lẫn, sai kết quả. Chính từ những cơ sở lí
luận và thực tiễn ở trên mà bản thân tôi đã chọn việc nghiên cứu về tìm ra "Cách
tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên".
2. Mục đích nghiên cứu:
Qua quá trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi nhiều năm trong nhà trường tiểu
học, bản thân thấy việc học sinh tìm ra chữ số tận cùng và số lượng chữ số giống
nhau tận cùng trong một tích các số tự nhiên cịn gặp nhiều khó khăn. Vì vậy mục
đích nghiên cứu về vấn đề này là bản thân muốn tìm ra cách thức và phương pháp
giúp học sinh khá giỏi nắm vững cách tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các
số tự nhiên.
3. Bản chất của sự vật nghiên cứu:
Đưa ra cách thức tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên một
cách chính xác nhất đó là: tìm được các cặp thừa số 2 x 5 để khẳng định số chữ
số 0 tận cùng trong tích đó.
4. Đối tượng, nội dung nghiên cứu:
Nghiên cứu "Cách tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên"
5. Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp vấn đáp
- Phương pháp thực hành
- Phương pháp quan sát
- Phương pháp điều tra, thống kê.
6. Khách thể nghiên cứu:
Học sinh khá, giỏi khối 4+5 trường tiểu học Cẩm Long 1, xã Cẩm Long,
huyện Cẩm Thủy, tỉnh Thanh Hóa.
7. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:
Do thời gian và năng lực có hạn nên bản thân chỉ nghiên cứu về cách tìm số
chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên trong thời gian từ tháng 8 năm
2012 đến hết tháng 3 năm 2013.
Kế hoạch cụ thể:
2


- Từ 15/08/2012 đến 05/09/2012 tìm nội dung nghiên cứu.
- Từ 06/09/2012 đến 30/09/2012 điều tra thực trạng giáo viên và học sinh.
- Từ 01/10/2012 đến 15/11/2012 nghiên cứu tìm ra phương pháp, hướng dẫn
học sinh thực hành theo phương pháp mới. Đánh giá và so sánh kết quả trước và
sau khi thực hiện phương pháp mới.
- Từ 16/11/2012 đến 15/03/2013 hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN

Trong toán học, dạng toán tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự
nhiện là một dạng tốn điển hình, khó khơng chỉ riêng với học sinh tiểu học mà cịn
với một bộ phận khơng nhỏ giáo viên. Cách tìm ra chính xác kết quả của bài tốn ở
dạng này đơi khi vẫn còn bị nhầm lẫn, sai kết quả. Do đó, việc cần thiết cho chúng
ta là phải tìm ra cách giải quyết cho dạng tốn này có kết quả chính xác nhất, duy
nhất.

II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Qua quá trình dạy học và được phân cơng nhiệm vụ tham gia bồi dưỡng học
sinh khá giỏi để nâng cao chất lượng mũi nhọn cho học sinh, bản thân tôi nhận
thấy:
1. Về học sinh:
Với đặc điểm tâm sinh lý của học sinh Tiểu học thì tính tư duy trừu tượng
chưa cao, mới chỉ ở trong giai đoạn hình thành và phát triển. Do vậy việc tiếp nhận
tri thức của các em trong quá trình học tập chủ yếu vẫn đang thiên về tính cụ thể.
Do đó, khi thực hành giải các dạng tốn nói chung và dạng bài tốn có liên quan
đến tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên nói riêng. Các em vẫn
chưa tư duy để tìm ra cách giải mà vẫn cịn dựa vào sự hướng dẫn của giáo viên.
2. Về giáo viên:
Hiện nay đội ngũ giáo viên các nhà trường nói chung cũng như trường Tiểu
học Cẩm Long 1 nói riêng đều đạt chuẩn và trên chuẩn; trẻ, khỏe, năng nổ, nhiệt
tình và năng lực tư duy khá tốt. Song do tuổi đời cịn trẻ, tuổi nghề cịn non vì thế
mà kinh nghiệm dạy học cịn ít, vốn tích lũy kiến thức và hệ thống chương trình
mơn học của từng khối lớp chưa sâu, dẫn đến việc cố gắng dạy - học cho học sinh
trên lớp đúng, đủ, chính xác và đạt chuẩn đã là hết sức khó khăn, chứ nói gì đến
cơng tác phát hiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu đạt hiệu quả cao.
Bên cạnh đó có nhiều giáo viên chưa nắm vững cách tìm số chữ số 0 tận
cùng trong một tích các số tự nhiên với lý do: Nhầm lẫn khi chỉ xét số các thừa số 5
3


hoặc số các thừa số 2 trong 1 tích để đưa ra kết quả số chữ số 0 tận cùng trong tích
mà khơng xét đến số cặp thừa số (2 x 5) trong tích đó. Vì vậy kết quả của bài tốn
khơng chính xác. Để tìm được số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên
thật chính xác chúng ta cần phải phân tích và tìm được tất cả các cặp thừa số 2 x 5
trong tích đó.

Cụ thể như các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho tích : 1 x 8 x 7 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37.
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Nếu không chú ý đến số thừa số 2 mà chỉ dựa vào số thừa số là 5 thì bài tốn
này sẽ tính được 5 chữ số tận cùng của tích giống nhau và đều là chữ số 0 (trường
hợp này sai với kết quả thực của tích ). Vì số thừa số 5 nhiều hơn số thừa số 2 sau
khi phân tích.
Kết quả đúng phải là:
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
1 x 8 x 7 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 99 x 41 x 43 x 47
= 8 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x 7 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47 )
= 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x ( 1 x 7 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47).
Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn và số thừa số là 5 ( có 4 thừa số là
2 và 5 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 4 chữ số tận cùng giống nhau và đều bằng 0.
Bài này số lượng các thừa số là 5( bằng 5 ) nhiều hơn số thừa số là 2 (bằng
4 ) nên có 4 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.
Ví dụ 2 : Cho tích C = 1 x 8 x 7 x 5 x 10 x 15 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47.
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Trường hợp này nếu chỉ căn cứ vào số thừa số 2 mà không căn cứ vào sô
thừa số 5 thì kết quả bài tốn cũng khơng chính xác. Vì số thừa số 2 sau khi phân
tích là 4.
Vậy kết quả đúng phải là
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
C = 1 x 8 x 7 x 5 x 10 x 15 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47
C = 8 x 5 x 10 x 15 x (1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37)
C = 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x ( 1 x 7 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47).
Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5 ( có 4
thừa số là số chẵn ( là 2 ) và 3 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 3 chữ số tận cùng

giống nhau và đều là chữ số 0.
4


Bài này số lượng các thừa số là 5( bằng 3 ) ít hơn số thừa số là 2 (bằng 4 )
nên có 3 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.
3. Về tài liệu tham khảo:
Tài liệu tham khảo là một tư liệu cơ bản khơng thể thiếu trong q trình dạy
học của người giáo viên, đặc biệt là các đồng chí giáo viên tham gia làm công tác
nâng cao chất lượng mũi nhọn trong các nhà trường. Về cơ bản, các tư liệu có tính
ưu việt hết sức cao. Song bên cạnh đó, trong nhiều tài liệu cịn có một số hạn chế
nhất định và chưa đáp ứng hết được lòng đam mê khám phá toán học của nhiều
giáo viên và học sinh. Nhiều dạng toán ở tài liệu tham khảo đưa ra hướng giải
quyết chưa có tính thuyết phục cao, vì kiến thức mỗi người có hạn, lĩnh vực tốn
học thì rất rộng lớn.
Dạng tốn : Tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên cũng
khơng phải là trường hợp ngoại lệ, trong cách trình bày cịn có rất nhiều hạn chế,
cách viết còn phiến diện, chung chung, không cụ thể. Các bài tập đưa ra phương
pháp giải chưa gãy gọn, mới xét đến trường hợp số thừa số là 5 ít hơn số thừa số
là 2 có trong tích để tìm số chữ số tận cùng bằng 0, chứ chưa chú trọng hết tất cả
các trường hợp có thể xảy ra trong dạng tốn này liên quan đến kết quả của tích.
(Chẳng hạn : Nhiều bài tập cụ thể ở dạng tốn này thì khơng chỉ căn cứ vào số
thừa số 5 trong tích để xét số chữ số 0 tận cùng là được như tài liệu đề cập, mà
phải xét đến số thừa số là 2 tham gia trong tích khi trường hợp số thừa số chẵn
là 2 ít hơn số thừa số là 5 ).
Để kiểm chứng tính thuyết phục và triết lí đưa ra của sáng kiến, trước khi
triển khai thực nghiệm, bản thân tôi đã tổ chức khảo sát chất lượng học sinh khá
giỏi ở khối 4 + 5 của nhà trường
* KẾT QUẢ KIỂM TRA HỌC SINH ĐẦU NĂM :

TT

1
2

KHỐI LỚP

Khối 4
Khối 5

KẾT QUẢ

SỐ
LƯỢNG
HS KHÁ
GIỎI

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

15
20

0
0

0
0

2
3

13,3
15,0

8
11

53,4
55,0

5
6

33,3
30,0

G

K

TB

Y

Từ những thực trạng và nguyên nhân cơ bản đó đã làm cho nhiều giáo viên
lúng túng trong cách dạy, nhiều học sinh lúng túng trong cách giải. Với trách
nhiệm là người trực tiếp làm công tác bồi dưỡng học sinh năng khiếu, tơi phải suy
nghĩ, tìm tịi, chắt lọc và lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp, với mục đích

5


khắc phục những hạn chế trong quá trình dạy – học của giáo viên và học sinh;
nhằm hoàn thiện về dạng toán này một cách cụ thể và chi tiết hơn.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:

Qua quá trình nghiên cứu, tìm tịi và trao đổi với một số đồng nghiệp để tìm
ra cách giải tốt dạng bài tốn mà sáng kiến kinh nghiệm đã đưa ra, bản thân tôi đã
lựa chọn và đưa ra hướng giải quyết các tồn tại của dạng bài toán trên bằng những
biện pháp cụ thể như sau :
1. Cung cấp cho học sinh một số kiến thức có liên quan đến dạng tốn.
- Tích một số chẵn với một số có tận cùng là 5 thì kết quả của tích có tận
cùng là chữ số 0.
- Tích các thừa số trong đó có ít nhất một thừa số có tận cùng bằng 0 thì tích
đó có tận cùng là chữ số 0.
- Một số tự nhiên có tận cùng bằng 5 thì số đó chia hết cho 5.

- Một số tự nhiên có tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 2 và 5.
- Một số chẵn có thể phân tích thành tích của một hay nhiều thừa số 2 với
thừa số khác.
- Trong một tích có chứa thừa số 2 và có chứa thừa số 5, thì cứ một cặp thừa
số ( 2 x 5 ) cho ta một chữ số 0 tận cùng.
2. Xác định rõ từng dạng bài cụ thể trong dạng tốn tìm số chữ số 0 tận
cùng trong một tích các số tự nhiên.
Đối với dạng toán này chúng ta cần xác định được từng dạng bài như sau:
a. Dạng bài thứ nhất: Tích chứa các thừa số đều là số lẻ trong đó có chứa
thừa số là 5 hoặc khơng có chứa thừa số 5.
Ví dụ : Tích: 1 x 3 x 5 x 7 x 11 x 15 x 19 x 21 x 99.
hoặc 3 x 7 x 9 x 11 x 13 x 17 x 33 x 39 x 41 x 49
b. Dạng bài thứ hai: Tích có chứa các thừa số chẵn và các thừa số lẻ nhưng
không chứa thừa số là 5 hoặc khi phân tích các thừa số khác trong tích cũng khơng
có thừa số là 5.
Ví dụ: 2 x 4 x 7 x 12 x 13 x 17 x 22 x 23 x 24 x 26 x 27 x 29
c. Dạng bài thứ ba: Tích có các thừa số chẵn và các thừa số là lẻ, trong đó
có chứa thừa số 5 ( hoặc khi khai triển có chứa thừa số là 5 ) .
Ví dụ: Tích: 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47.
hoặc ( 4 x 6 x 8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 )
hoặc 1 x 4 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47
hoặc 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009.

6


3. Xây dựng kỹ năng giải toán trong từng dạng bài cụ thể.
a. Dạng bài thứ nhất: Tích chứa các thừa số đều là số lẻ trong đó có chứa
thừa số là 5 hoặc khơng có chứa thừa số 5.
Đối với dạng bài này khơng có chữ số 0 tận cùng. Vì vậy cần hướng dẫn học

sinh quan sát kỹ, nhận xét đúng về dạng bài toán đã cho để xác định cho đúng kết
quả.
Ví dụ 1: Cho tích các thừa số:
3 x 5 x 13 x 15 x 17 x 29.
Hỏi tích trên có chữ số tận cùng là chữ số 0 hay khơng?
Giải
Tích trên khơng có chữ số 0 tận cùng vì tích đó chỉ tồn số lẻ.
Ví dụ 2: Tích của dãy số lẻ tự nhiên liên tiếp từ 11 đến 2001 có mấy chữ số 0
tận cùng ?
Giải
Tích của dãy số trên khơng có chữ số 0 tận cùng vì tích của các số lẻ sẽ
khơng cho ta số chẵn tận cùng bằng 0.
b. Dạng bài thứ hai: Tích có chứa các thừa số chẵn và các thừa số lẻ nhưng
không chứa thừa số là 5 hoặc khi phân tích các thừa số khác trong tích cũng khơng
có thừa số là 5.
Dạng này cũng khơng có chữ số 0 tận cùng. Vì vậy cần hướng dẫn học sinh
như dạng thứ nhất.
Ví dụ: Tích sau có tận cùng là chữ số 0 được không?
2 x 4 x 9 x 13 x 14 x 17 x 33
Giải
Tích trên khơng có chữ số 0 tận cùng vì tích đó khơng có chứa thừa số là 5
kể cả khi phân tích các thừa số trong tích.
c. Dạng bài thứ ba: Tích có các thừa số chẵn và các thừa số là lẻ, trong đó
có chứa thừa số 5 ( hoặc khi khai triển có chứa thừa số là 5 ).
Đối với dạng bài này chúng ta cần xét ba trường hợp:
* Trường hợp 1: Số các thừa số 2 và các thừa số 5 trong một tích sau khi
phân tích mà bằng nhau thì số chữ số 0 tận cùng bằng chính số lượng của các thừa
số 2 hoặc thừa số 5 trong tích đó.
Ví dụ 1: Cho tích:
A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47.

Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào?
Chúng ta phân tích như sau:
7


- Trong tích A có bao nhiêu thừa số chẵn? ( 2 thừa số là 16 và 10 ).
- Trong tích A có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 3 thừa số là 5; 15;
25 ).
- Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵn khác 0 nhỏ
nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành
tích các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác.
- Đếm các thừa số là 2 hoặc các thừa số là 5 để tìm số chữ số tận cùng giống
nhau và là chữ số nào.
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47
A = 16 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47 )
A = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x (1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47).
Như vậy căn cứ vào số thừa số là số là 2 hoặc số thừa số là 5 (có 5 thừa số là
số 2 và 5 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 5 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ
số 0.
Ví dụ 2: Cho tích
B = ( 4 x 6 x 8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 ).
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Chúng ta phân tích như sau:
- Trong tích B có bao nhiêu thừa số chẵn ? ( 4 thừa số là 4; 6; 8 và 12 ).
- Trong tích B có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 7 thừa số là 5; 15;
25; 35; 45; 55; 65 ).
- Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵn khác 0 nhỏ
nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành

tích các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác.
- Đếm các thừa số là 2 hoặc các thừa số là 5 để tìm số chữ số tận cùng giống
nhau và là chữ số nào.
Giải :
Ta thấy tích B có thể viết :
B = ( 4 x 6 x 8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 )
B=(2x2x2x3x2x2x2x2x3x2)x(5x3x5x5x5x7x5x9x5x
11 x 5 x 13 x 5 ).
Như vậy căn cứ vào số thừa số là 2 hoặc số thừa số là 5 ( có 8 thừa số là 2 và
8 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 8 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.
* Trường hợp 2: Nếu số thừa số là 2 ít hơn số thừa số 5 tham gia trong tích
(sau khi phân tích) thì số chữ số 0 tận cùng của tích chính bằng số chữ số 2 trong
tích.
Ví dụ: Cho tích: C = 1 x 4 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47.
8


Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
C = 1 x 4 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47
C = 4 x 5 x 10 x 15 x 25 x ( 1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47 )
C = 2 x 2 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x ( 1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47).
Như vậy căn cứ vào số thừa số là 2 ( có 3 thừa số là 2 ). Vậy tích trên có 3
chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.
Bài này phải căn cứ vào số lượng các thừa số là số chẵn chứ không căn cứ
theo các thừa số là 5 được, vì thừa số chẵn ít hơn thừa số 5.
* Trường hợp 3: Nếu số thừa số 5 tham gia trong tích ít hơn số thừa số 2
(sau khi phân tích) thì số chữ số 0 tận cùng của tích chính bằng số thừa số 5 tham
gia trong tích

Ví dụ: Cho tích P = 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009.
Hỏi P có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng bên phải ?
Giải
Ta thấy tích P có thể viết :
P = 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009
P = 2000 x 2002 x2004 x 2005 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003 x 2007 x 2009
P = 16 x 5 x 5 x 5 x 2002 x 2004 x 401 x 5 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003 x 2007
x 2009.
Ta thấy tích này có số thừa số 2 nhiều hơn số thừa số 5 (sau khi phân tích)
nên số chữ số 0 tận cùng của tích phụ thuộc vào số thừa số 5 tham gia trong tích.
(Tích có 4 thừa số là 5) vậy tích trên có 4 chữ số 0 tận cùng.
** Nhận xét: Qua q trình phân tích 3 trường hợp của dạng bài "Tích có
chứa các thừa số chẵn và các thừa số là lẻ, trong đó có chứa thừa số 5 ( hoặc khi
khai triển có chứa thừa số là 5 )" ta nhận thấy rằng nếu chỉ căn cứ vào số thừa số 2
hoặc số thừa số 5 tham gia trong tích (sau khi phân tích) thì rất dễ bị nhầm lẫn và
dẫn đến kết quả sai lệch như đã phân tích ở phần thực trạng. Chính vì thế bản thân
tơi đã nghiên cứu và đưa ra cách tìm Số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự
nhiên một cách chính xác, tránh sự nhầm lẫn đó là phải xét đến số lượng các cặp
thừa số 2 x 5 tham gia trong tích ( sau khi phân tích).
Cụ thể cách giải cho dạng tốn này như sau:
Bước 1: Viết các thừa chẵn và các thừa số có tận cùng bằng 5 về một phía,
các thừa số lẻ cịn lại về một phía.
Bước 2:
9


+ Phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành các thừa số 5 và các thừa
số lẻ khác.
+ Phân tích các thừa số chẵn thành các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất (bằng
2) và các thừa số khác.

Bước 3:
+ Ghép các thừa số 2 và các thừa số 5 có trong tích ( sau khi phân tích) để
tìm số cặp thừa số 2 x 5 rồi kết luận tích có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng.
+ Trong tích có bao nhiêu cặp thừa số 2 x 5 thì có bấy nhiêu chữ số 0 tận
cùng.
Ví dụ 1 : Cho tích
B = ( 4 x 6 x 8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 ).
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Giải :
Ta thấy tích B có thể viết :
Bước 1:
B = ( 4 x 6 x8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 )
Bước 2:
B = ( 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x2 x2 x3 x2 ) x ( 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x 7 x 5 x
9 x 5 x 11 x 5 x 13 x 5 ).
Bước 3:
B=(2x5)x(2x5)x(2x5)x(2x5)x(2x5)x(2x5)x
( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x 3 x 3 x 3 x 7 x 9 x 11 x 13
Trong tích này có chứa 8 cặp thừa số 2 x 5 mà cứ một cặp thừa số 2 x 5 thì
cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích trên có 8 chữ số tận cùng bên phải
giống nhau và là chữ số 0.
Ví dụ 2 : Cho tích : 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47.
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47
Bước 1: = 8 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47 )
Bước 2: = 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x 5 x 5 x 5 x ( 1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x
47).
Bước 3: = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) x 3 x 5 x ( 1 x 3 x 37 x 39 x 41 x

43 x 47).
Trong tích này có chứa 4 cặp thừa số 2 x 5 mà cứ một cặp thừa số 2 x 5 thì
cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích trên có 4 chữ số tận cùng bên phải
giống nhau và là chữ số 0.
Ví dụ 3 : Cho tích P = 2000 x 2001 x 2002 x… x 2008 x 2009.
Hỏi P có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng bên phải ?
10


Giải
Ta thấy tích P có thể viết :
P = 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009
Bước 1: P = 2000 x 2002 x 2004 x 2005 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003 x 2007 x
2009
Bước 2: P = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 2002 x2004 x 401 x 5 x 2006 x 2008 x
2001 x 2003 x 2007 x 2009. (cịn phân tích được nhiều thừa số 2
nữa nhưng khơng thể phân tích thành thừa số 5 được nữa)
Bước 3: P = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) x 2002 x2004 x 401 x 2006 x
2008 x 2001 x 2003 x 2007 x 2009.
Ta thấy tích này có số thừa số chẵn nhiều hơn số thừa số là 5 và các thừa số
chẵn đó có thể phân tích được rất nhiều thừa số là 2, nên số cặp thừa số 2 x 5 của
tích phụ thuộc vào số thừa số là 5 tham gia trong tích. Trong tích này có chứa 4
thừa số là 5 nên chỉ thành lập được 4 cặp thừa số 2 x 5. Vậy tích trên có 4 chữ số
tận cùng bên phải là chữ số 0.
Kết luận: Đối với dạng toán tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các
số tự nhiên. Điểm mấu chốt cuối cùng là tìm được các cặp thừa số 2 x 5 để
khẳng định số chữ số 0 tận cùng trong tích đó. Đây là nội dung chính của đề tài.
IV. KIỂM NGHIỆM:

Với những biện pháp cụ thể được thể nghiệm trong quá trình nghiên cứu

sáng kiến kinh nghiệm, cũng như việc thực nghiệm công tác giảng dạy theo hướng
nghiên cứu tôi nhận thấy các biện pháp đưa ra có tính hiệu quả cao và tương đối rõ
rệt, cụ thể
* Kết quả kiểm tra học sinh đến trung tuần tháng 12 năm 2012 sau khi đã
thực nghiệm cách giải trên :

TT

1
2

KHỐI LỚP

KẾT QUẢ

SỐ
LƯỢNG
HS KHÁ
GIỎI

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

15
20

2
3

13,3
15,0

4
7

26,6
35,0

8
8

53,5
40,0

1
2

6,6
10,0

Khối 4
Khối 5

G

K

TB

Y

*** Nhận xét về kết quả đạt được :
* Về học sinh:

11


- Hiệu quả học tập được nâng lên rõ rệt, phản ánh rõ nét qua thực nghiệm
cách giải trên. Tỉ lệ học sinh khá, giỏi các lớp dạy thực nghiệm chuyển biến một
cách khá rõ ràng, chất lượng cao hơn hẳn so với đầu năm và so với lớp đối chứng.
- Giúp các em có một hệ thống về phương pháp làm bài cũng như vốn hiểu
biết hết sức phong phú về dạng tốn "Tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các
số tự nhiên".
* Về giáo viên:
- Khi nắm bắt các biện pháp đưa ra của sáng kiến kinh nghiệm, nhiều đồng
chí đã rất tâm đắc và truyền thụ tốt hơn, cụ thể hơn cho học sinh trong dạng toán
này.

- Mỗi một thành viên đều rút ra cho mình một cách nhìn rõ nét hơn, chính
xác hơn về cách dạy của bản thân, điều này hết sức thuận lợi trong việc tổ chức
hoạt động dạy - học cho học sinh khá, giỏi rèn luyện để thi tuyến trên.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Như vậy với quá trình nghiên cứu và viết sáng kiến kinh nghiệm tơi đã rút ra
một số kinh nghiệm hết sức quý báu trong q trình tham gia cơng tác dạy - học
của bản thân là:
- Để giúp học sinh học tốt dạng tốn Tìm số chữ số 0 tận cùng trong một
tích các số tự nhiên bản thân giáo viên cần nắm vững bản chất của dạng tốn này
là "Tìm chính xác các cặp thừa số 2 x 5 trong tích đó" thì mới đưa ra được kết quả
bài tốn đúng nhất. Bởi lẽ có những bài số thừa số 2 ít hơn số thừa số 5 và ngược
lại. Do đó mà ta cần phải dựa vào số cặp thừa số 2 x 5 trong tích. Vì mỗi một cặp
thừa số 2 x 5 đều cho ta 1 chữ số 0 tận cùng. Vậy tích đó có bao nhiêu cặp thừa số
2 x 5 thì có bấy nhiêu chữ số 0 tận cùng.
Mặt khác, cùng một dạng bài nhưng người giáo viên phải biết biến tấu,
chuyển dạng dưới nhiều hình thức hỏi khác nhau, nhằm phát huy tốt các năng lực
tư duy của học sinh và gây được hứng thú cho các em trong học tập. Quan điểm
dạy học sinh một bài cụ thể chặt chẽ, chính xác để học sinh làm được những bài
tương tự cịn lại.
Chính vì vậy, khi giáo viên hướng dẫn học sinh giải dạng tốn tìm số chữ số
0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên chúng ta cần thực hiện theo các bước:
Bước 1: Viết các thừa chẵn và các thừa số có tận cùng bằng 5 về một phía,
các thừa số lẻ cịn lại về một phía.
Bước 2:
+ Phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành các thừa số 5 và các thừa
số lẻ khác.
12


+ Phân tích các thừa số chẵn thành các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất (bằng

2) và các thừa số khác.
Bước 3:
+ Ghép các thừa số 2 và các thừa số 5 có trong tích ( sau khi phân tích) để
tìm số cặp thừa số 2 x 5 rồi kết luận tích có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng.
+ Trong tích có bao nhiêu cặp thừa số 2 x 5 thì có bấy nhiêu chữ số 0 tận
cùng.
Trên đây là toàn bộ nội dung của sáng kiến kinh nghiệm mà bản thân tôi đã
nghiên cứu và thử nghiệm ở học sinh khối lớp 4 + 5 trường Tiểu học Cẩm Long 1
đạt kết quả cao. Tuy thế cũng khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót, chưa thỏa mãn
được hết những mong muốn của mọi người, vì vậy tơi rất mong muốn hội đồng
khoa học nhà trường và cấp trên cùng các độc giả góp ý, bổ sung để sáng kiến kinh
nghiệm này có hiệu quả thiết thực hơn, đóng góp được nhiều tác dụng hơn trong
cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tiểu học.
Xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Hiệu Trưởng

Nguyễn Văn Hoàng

Cẩm Thủy, ngày 15 tháng 03 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.
Tác giả

Nguyễn Xuân Thủy

13

TÀI LIỆU THAM KHẢO
* ƠN TẬP MƠN TỐN TIỂU HỌC - NXB GIÁO DỤC – Huỳnh Bảo Châu ( chủ
biên) Lưu chuyển tháng 03/1999.
* CÁC BÀI TỐN LÍ THÚ Ở TIỂU HỌC - NXB GIÁO DỤC – Trương Công Thành
( chủ biên) Lưu chuyển tháng 09/2001.
*DẠY HỌC MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC – NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI –
Nguyễn Phụ Hy ( chủ biên) Lưu chuyển tháng 11/2001.
* 30 ĐỀ ƠN LUYỆN TỐN CUỐI BẬC TIỂU HỌC - NXB GIÁO DỤC – Vũ
Dương Thụy & Nguyễn Danh Ninh( chủ biên) Lưu chuyển tháng 04/2002.
*CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ở TOÁN Ở TIỂU HỌC( TẬP I &II ) – NXB GIÁO
DỤC – Vũ Dương Thụy & Đỗ Trung Hiệu ( chủ biên) Lưu chuyển quý I / 2001 &
quý I/ 2002.
* TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI BẬC TIỂU HỌC MƠN TỐN - NXB GIÁO
DỤC – Đỗ Trung Hiệu & Lê Tiến Thành ( chủ biên) Lưu chuyển tháng 04/2003.
* GIẢI BẰNG NHIỀU CÁCH CÁC BÀI TOÁN 4 – NXB TỔNG HỢP THÀNH PHỐ
HỒ CHÍ MINH – Trần Thị Kim phương ( chủ biên) Lưu chuyển tháng 04/2005.
* RÈN LUYỆN VÀ NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TIỂU HỌC (
TOÀN TẬP ) - NXB GIÁO DỤC – Đỗ Như Thiên ( chủ biên) Lưu chuyển tháng

10/2006.
* TOÁN NÂNG CAO LỚP 5 - NXB GIÁO DỤC – Vũ Dương Thụy & Nguyễn
Danh Ninh ( chủ biên) Lưu chuyển quý III/2006.
* 45 ĐỀ TOÁN CHỌN LỌC LỚP 5 – NHÀ XUẤT BẢN TRẺ - Đặng Tự Lập & Vũ
Thị Thu Loan ( Chủ biên ) nộp lưu chuyển tháng 01/ 1997.
* TOÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH LỚP 5 – NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC – Nguyễn

Áng - Dương Quốc Ấn- Nguyễn Huy Quán - Hoàng Thị Phước Thảo & Phan Thị
Nghĩa ( Chủ biên ) nộp lưu chuyển tháng 05/ 2003.
* 10 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4 - 5 – NHÀ XUẤT BẢN

GIÁO DỤC– Trần Diên Hiển ( Chủ biên ) nộp lưu chuyển tháng 04/2002.
* 500 BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH & NÂNG CAO 4 – NHÀ XUẤT BẢN THANH NIÊN–
Đỗ Như Thiên & Phan Thế Ngọc ( Chủ biên ) nộp lưu chuyển quý III/ 2003.
* TUYỂN CHỌN 400 BÀI TẬP TOÁN 4 – NHÀ XUẤT BẢN ĐÀ NẴNG– Tơ Hồi
Phong - Huỳnh Minh Chiến & Trần Huỳnh Thông ( Chủ biên ) nộp lưu chuyển quý

02/ 2005.
* TOÁN NÂNG CAO LỚP 4 - NXB GIÁO DỤC – Vũ Dương Thụy & Nguyễn
Danh Ninh ( chủ biên) Lưu chuyển tháng 07/ 2005.
* TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 4 & 5 – NXB ĐẠI HỌC SƯ
PHẠM – Trần Ngọc Lan ( chủ biên) Lưu chuyển tháng 05/ 2005.

14


MỤC LỤC
TT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

14
15
16
17
18
19
20
21

NỘI DUNG
Phần I: Một số vấn đề chung
1. Lý do chọn đề tài
a. Tính lý luận
b. Tính thực tiễn
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng, nội dung nghiên cứu
4. Khách thể nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu
Phần II: Nội dung
I. Thực trạng và nguyên nhân tồn tại
1. Về học sinh
2. Về giáo viên
3. Về tài liệu tham khảo
II. Biện pháp khắc phục
1. Cung cấp cho học sinh một số kiến thức có liên quan đến
dạng toán
2. Xác định rõ từng dạng bài cụ thể trong dạng tốn tìm số
chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên.
3. Xây dựng kỹ năng giải toán trong từng dạng bài cụ thể

III. Kết quả đạt được
Phần III: Kết luận
Tài liệu tham khảo

TRANG
1
1
1
1
2
2
2
2
2
4
4
4
4
5
6
6
7
7
12
14
15
15


ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH CẤP TRƯỜNG

...........................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
....................................................................................... ..............................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
16


......................................................................................................................................

......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
.................................................................................................................
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH PHÒNG GD&ĐT
...........................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
....................................................................................... ..............................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
17


......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
.................................................................................................................
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH SỞ GD&ĐT
...........................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
....................................................................................... ..............................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
18


......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
.................................................................................................................

19