Đề Luyện Thi Thử Tốt Nghiệp - Đại Học Năm 2011 - Số 29

Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
www.khoabang.com.vn

Câu I. Cho hµm sè

y=

2x 2 + (1 - m)x + 1 + m
.
x- m

1) Với m = 1, hÃy khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Chứng minh rằng với mọi mạ -1, đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đỷờng thẳng cố định tại một điểm cố
định.
3) Xác định m để hàm số (1) là đồng biến trên khoảng (1;+Ơ).
Câu II.
1) Chứng minh r»ng víi 5 sè a, b, c, d, e bÊt k×, bao giê ta cịng cã
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b + c + d + e).
2) Cho a £ 6, b £ - 8, c £ 3. Chøng minh r»ng víi mäi x ³ 1 ta đều có
x4 - ax2 - bx c.
Câu III. 1) Giải phỷơng trình
2 cos2

3x
4x
+ 1 = 3 cos .
5
5

2) Chøng minh r»ng trong mäi tam gi¸c ABC ta ®Òu cã

2(sinA sin2A + sinB sin2B + sinC sin2C) < (sinA + sinB + sinC)(sin2A + sin2B + sin2C).

(1)


www.khoabang.com.vn

Luyện thi trên mạng

___________________________________________________________________
Câu I.
1) Đề nghị tự giải.
2) Trớc hết tìm điểm cố định A (x o , yo ) sao cho (1) qua A víi ∀m ≠ − 1. Khi ®ã
yo =

2x2o + (1 − m)x o + 1 + m
, ∀m ≠ −1
xo − m

⇒ yo (xo − m) = 2x o2 + (1 − m)xo + 1 + m (∀m) ⇔ (xo − yo − 1)m + yo xo − 2xo2 − xo − 1 = 0 (∀m)
x o − yo = 1

⇒ 

2
yo xo − 2x o − x o − 1 = 0
Gi¶i hƯ ®ã ta ®−ỵc xo = −1 , yo = −2 .

DƠ kiĨm tra r»ng m ≠ − 1 (1) ®Ịu qua (1, 2).
Mặt khác

y'(x) =

2x 2 4mx + m 2 − 2m − 1
(x − m)2

; y'(−1) =

(m + 1)2
(m + 1)2

= 1 víi ∀m ≠ −1.

Tõ ®ã ta thấy, các đờng cong (1) đều tiếp xúc với đờng thẳng y = x 1 tại (1, 2).
3) Muốn hàm đồng biến trong khoảng 1 < x < + thì ta cần chọn m sao cho
2x 2 4mx + m 2 − 2m − 1
(x − m)2

≥0

víi 1 < x < + ∞ ⇔
2x 2 − 4mx + m 2 − 2m − 1 ≥ 0 trong (1 ; + ∞)

m≤1

f(x) = 2x − 4mx + m − 2m − 1 ; ∆' = 4m 2 − 2m 2 + 4m + 2 = 2(m + 1)2 0 .
Nếu m = 1 thì thỏa mÃn.

Đặt

2

2

Nếu m ≠ −1 ta cÇn cã
2f(1) ≥ 0
 m 2 − 6m + 1 ≥ 0

⇔ m ≤ 3−2 2 .
⇔ 
 4m
<
1
<
m
1

 4


KÕt luËn : m ≤ 3 − 2 2 .
C©u II.

1) a 2 + b2 + c2 + d 2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) ⇔


 
 
 


a2
a2
a2
a2
− ab  +  c2 +
− ac  +  d2 + − ad  +  e2 + − ae  ≥ 0

4
 
4
 
4
 
4

2
2
2
a 
a 
a2  
a

⇔ b −  + c −  + d −  + e −  ≥ 0.

2 
2 
2  
2

⇔  b2 +

2) Đặt f(x) = x 4 ax2 bx .
Ta cã : f'(x) = 4 x3 − 2ax − b,
f''(x) = 12 x2 − 2a = 2(6 x2 − a). Do a 6 và x2 1 nên f''(x) 0 f'(x) đồng biến trong khoảng [1 ; + ∞).
f'(1) = 4 − (2a + b) ≥ 0 (do 2a + b ≤ 4).

VËy f'(x) ≥ 0 trong khoảng [1 ; + ) f(x) đồng biến trong khoảng đó. Lại có
f(1) = 1 (a + b) ≥ 3 (do a + b ≤ −2).

VËy víi mäi x ∈ [1 ; + ∞) ta ®Ịu cã f(x) 3 c
(điều phải chứng minh).


www.khoabang.com.vn

Luyện thi trên mạng

___________________________________________________________________
Câu III.

1) Đặt cos

2x
= t (| t | ≤ 1) ta sÏ tíi
5
4t 3 − 6t 2 − 3t + 5 = 0

(t − 1)(4 t 2 2t 5) = 0.

hay
Phơng trình này có hai nghiÖm t1 = 1 , t 2 =

1 − 21
1 + 21
thích hợp, còn nghiệm t 3 =
> 1 bị loại.
4
4

Từ đó tìm ra x.
2) Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
0 < sinA(sin2A + sin2B + sin2C) + sinB(sin2A − sin2B + sin2C) + sinC(sin2A + sin2B − sin2C).(1)
Ta cã :
−sin2A + sin2B + sin2C = −2sinAcosA + 2sin(B + C)cos(B − C) = 2sinA[cos(B + C) + cos(B C)]
= 4sinAcosBcosC,
vậy (1) tơng đơng với
a 2 cosBcosC + b2 cosAcosC + c2 cosAcosB > 0. (2)
NÕu ABC là tam giác nhọn hay vuông thì (2) hiển nhiên đúng. Giả thử ABC là tam giác tù, chẳng hạn có góc A
tù. Thế thì
a 2 = b2 + c2 − 2bc cos A > b2 + c2 , do vËy (cosB, cosC > 0)

a 2 cosBcosC + b2 cosAcosC + c2 cosAcosB > (b2 + c2 ) cosBcosC + b2 cosAcosC + c2 cosAcosB =
b2 cosC(cosA + cosB) + c2 cosC(cosA + cosC) > 0

bëi v× dÉu cosA < 0 nh−ng
cosA + cosB = 2 cos

A+B
A−B

cos
> 0.
2
2


Luyện thi trên mạng
_______________________________________________________________________________

www.khoabang.com.vn

Câu IVb. 1) Gọi K là chân đỷờng vuông góc hạ từ O xuống (d). Ta có:
sina =

a
OK
.
ị OA =
sina
OA

Trong tam giác vuông SOA ta có : SA2 = SO2 + OA2. Nhûng
8a
5
5 a
; SA = OA =
. VËy
3
3
3 sina

2
25a
64a 2
a2
Þ 25 = 64sin2x + 9
=
+
2
2
9
9 sin a
sin a

SO =

1
1
Û sin 2a = Þ sina = Þ a = 30 0 (ở đây ta không lấy giá trị
4
2
sina = -

1
vì a là một góc trong tam giác).
2
^

^

2) Đoạn SO cố định,OES = OFC = 90o. Điểm E và F di chuyển

nhỷng luôn luôn nhìn đoạn cố định SO d ới một góc vuông, do
đó E và F nằm trên mặt cầu đỷờng kính SO.
Mặt khác E và F di chuyển nhỷng luôn luôn nằm trong mặt phẳng (S, d) cố định. Vậy E và F nằm trên giao tuyến của
hai mặt nói trên. Giao tuyến ấy là một đỷờng tròn, kí hiệu là (g), nằm trong mặt phẳng (S, d).
Hạ OH ^ SK ta có H thuộc mặt cầu đỷờng kính SO.
Mặt phẳng (SOK) là mặt đối xứng của hình cầu đỷờng kính SO. Ta lại có mặt phẳng (S, d) vuông góc với mặt
phẳng(SOK). Do đó đỷờng tròn (g) nằm trong mặt phẳng (S, d) phải nhận SK làm trục đối xứng. Do H cũng thuộc (g)
nên SH chính là đỷờng kính của đỷờng tròn đó.
Đảo lại : Lấy một điểm F trên (g), F khác S và khác H. Nối SF, vì SF thuộc mặt phẳng (S, d) do đó SF kéo dài cắt (d)
^

ở B. Nối OB,dựng góc vuông BOA trong mặt phẳng P (A trên d). Nối SA, nó cắt đỷờng tròn (g) tại E. Vì E, F nằm
trên (g) nên E, F nằm trên mặt cầu đỷờng kính SO, do đó OE ^ SA, OF ^ SB.
Vậy tập hợp các điểm E và F là đỷờng tròn (g) - giao của mặt cầu đỷờng kính SO và mặt phẳng (S, d) - trừ hai điểm S
và H.


Luyện thi trên mạng
_______________________________________________________________________________

www.khoabang.com.vn

3) Gọi M là điểm giữa của AB. Vì tam giác AOB vuông ở O nên M chính là tâm đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Tâm I của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SOAB phải nằm trên giao của mặt phẳng trung trực R của đoạn SO với đỷờng
thẳng (D) vuông góc với P tại ®iĨm M. Do ®ã ta cã MI//SO vµ SO = 2MI.
Nối OI, nó gặp trung tuyến SM của tam giác SAB tại G:
Ta có :

G'M
MI

1
G'M
1
=
= ị
= .
G'S
SO
2
SM
3

Vậy G trùng với tâm G của tam giác SAB. Hay nói cách khác ba điểm O, G, I là thẳng hàng.


Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0
________________________________________________________________________________
www.khoabang.com.vn

Câu IVa. Trong mặt phẳng cho hai đỷờng thẳng (D ), (D ) có phỷơng trình
1

(D1) :
(D2) :

2

kx - y + k = 0,
(1 - k2)x + 2ky - (1 + k2) = 0.

1) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đỷờng thẳng (D ) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
1

2) Với mỗi giá trị k, hÃy xác định giao điểm của (D ) và (D ).
1

2

3) Tìm tập hợp các giao điểm đó, khi k thay đổi.
Câu IVb. Trong mặt phẳng (P), cho điểm O cố định, một đỷờng thẳng (d) cố định không đi qua O, một góc vuông


XOY quay quanh điểm O : các cạnh Ox, Oy cắt (d) theo thứ tự tại A và B. Trên đỷờng thẳng vuông góc với mặt phẳng


(P) và đi qua O, lấy điểm S. Gọi a là khoảng cách từ O ®Õn (d), OAB = α.
1) TÝnh gãc α khi OS =

8a
5
, SA = OA.
3
3
∧

2) H¹ OE ⊥ SA, OF ⊥ SB. Tìm tập hợp các điểm E, F khi góc vuông XOY quay quanh O.
3) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, I là tâm hình cầu ngoại tiếp tø diƯn OSAB. Chøng minh r»ng 3 ®iĨm O, G, I
thẳng hàng.