KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012­ - 2013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN: TOÁN ­ KHỐI A, A1

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 

KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012­2013 LẦN 1 
ĐỀ THI MƠN: TỐN ­ KHỐI A, A1 
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
3 x - 2 
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số  y =
, có đồ thị là  (C ) . 
x - 2 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C), biết tiếp tuyến d tạo với trục Ox một góc a  sao 
1 
cho  cos a = 
. 
17
sin 2 x + cos 2 x + 5sin x - cos x - 3 
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: 
= 0 . 
2 cos x -  3 
ì( x + y )( xy + y + 5) = -8 
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  í 2
2 
ỵ x + y + x ( y + 1) = 3 

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: mx  - x - 3 = m + 1 có hai nghiệm 
thực phân biệt. 
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. Hình chiếu vng 
góc  của  S  lên  mặt  phẳng  (ABCD)  trùng  với  trọng  tâm  tam  giác  ABD.  Cạnh  SD  tạo  với  đáy 
(ABCD) một góc bằng  60 o  . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A tới mặt phẳng 

(SBC) theo a. 
ỉ pử
Cõu 6(1,0im) Tỡmttccỏcgiỏtrthcca mvimi xthucỗ 0 ữ taucú
ố 2 ứ
8
8
2
tan x + cot x ³ m + 64 cos 2 x . 
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) 
A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu  7.a  (1,0  điểm)  Cho  đường  trịn  (C ) : x 2 + y 2  - 4 x + 6 y - 12 = 0  và  điểm  M (2; 4 3) .  Viết 
phương trình đường thẳng d cắt đường trịn (C) tại hai điểm A, B sao cho tam giác MAB đều. 
Câu 8.a (1,0 điểm) Tìm hệ số của  x 4  trong khai triển thành đa thức của biểu thức:  (1 + x + 4 x 2 ) 10 . 

(

Câu 9.a (1,0 điểm) Giải phương trình: 3 + 7

)

x2 +2 x

(

+ 3- 7

x 2 + 2 x

) 

x 2 + 2 x 
+ 4 
2 

= 2 

. 

B. Theo chương trình Nâng cao 
x 2 y 2 
+
= 1  và điểm  I (1; 1) . Viết phương trình đường thẳng d 
9
4 
qua I cắt (E) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của MN. 
Câu 7.b (1,0 điểm) Cho elíp  ( E ) :

3 

2 x - 1 - 3 x - 2 
. 
x ®1 
x - 1 
Câu 9.b (1,0 điểm) Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số đó 
ln có mặt hai chữ số lẻ và ba chữ số chẵn. 
Câu 8.b (1,0 điểm) Tính giới hạn:  lim 

­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­ 
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên () đã gửi tới 

www.laisac.page.tl


SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 

KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012­2013 
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ­ KHỐI A, A1 
——————————— 

I. LƯU Ý CHUNG: 
­ Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh 
làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. 
­ Điểm tồn bài tính đến 0,25 và khơng làm trịn. 
­ Với bài hình học nếu thí sinh khơng vẽ hình phần nào thì khơng cho điểm tương ứng với phần đó. 
II. ĐÁP ÁN: 
Câu  Ý 
Nội dung trình bày 
Điểm 
1 
a  1,0 điểm 
TXĐ:  D = ¡ \ {2}. 
Giới hạn, tiệm cận: 
4  ử
4 ử
ổ
ổ
lim y= lim ỗ 3 +
= 3 lim y= lim ỗ 3 +
ữ
ữ = 3

x đ+Ơ
xđ+Ơ
x đ-Ơ
xđ-Ơ
x - 2ứ
x - 2ứ
ố
ố

0.25

4 ử
4 ử
ổ
ổ
lim y= lim+ ỗ 3+
y= lim- ỗ 3+
ữ = +Ơ xlim
ữ = -Ơ
xđ 2 ố
đ
2
x
đ
2
x - 2 ø 
x - 2 ø 
è
Đồ thị có TCĐ:  x = 2 ; TCN:  y = 3 . 
x ® 2+

Sự biến thiên:  y ' = -

4
< 0 "xạ 2,suyrahmsnghchbintrờncỏckhong
( x -2)2

0.25

( -Ơ2) & (2 +Ơ)
BBT
x
y

2

-Ơ

+Ơ

-

-

3

0.25

+Ơ

y
-Ơ

3

th:
GiaoviOyti: (0 1) ,giaovi
ổ 2 ử
Oxti: ỗ 0ữ
ố 3 ø 
Đồ  thị  nhận  giao  điểm  của  hai 
tiệm cận làm tâm đối xứng. 

0.25 

b  1,0 điểm 
Do  cos a =

1 
17

Þ tan a  = ±4 . 

0.5


Vì  y '( x ) < 0, "x ¹ 2 suy ra hệ số góc của d bằng  - 4 . 
Giả 

tiếp 

xúc 

với 

(C) 

tại 

điểm 

M ( x0 ; y0 ), x0  ¹ 2. 

é x 0  = 1 
ê x  = 3.  Với  x0 = 1 Þ y0  = - 1 ; với  x0 = 3 Þ y0  = 7 
ë  0 

0.25 

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến d thỏa mãn là:  y = -4 x + 3  và  y = -4 x + 19 . 

0.25 

y '( x 0 ) = -

2 

d 

sử 

4 
= -4 Û
( x0  - 2) 2 

1,0 điểm 
sin 2 x + cos 2 x + 5sin x - cos x - 3 
2 cos x -  3 

= 0 (1)  Đk:  cos x ¹

3 
p
Û x ¹ ± + k 2p , k ẻ Â.
2
6

0.25

(1) sin 2 x + cos 2 x + 5sin x - cos x - 3 = 0 

0.25 

Û cos x(2 sin x - 1) - (2 sin 2  x - 5sin x + 2) = 0 

p
é
x = + k 2 p
ê
1 

6 
Û (2sin x - 1)(cos x - sin x + 2) = 0  Û sin x = Û ê
2  ê
5 p
x=
+ k 2 p 
êë
6 
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm  x =
3 

5 p
+ k 2p ( k ẻ Â).
6

0.25

0.25

1,0im
ỡù( x + y )2 + ( x + y)( xy - x + 5) = -8 
( I ) Û í
2 
ïỵ ( x + y ) - ( xy - x) = 3 

0.25 

2 
ì x + y = a 
ïì a + a (b + 5) = -8 

Đặt  í
Þ hệ (I) có dạng:  í 2 
Þ a 2 + a (a 2  + 2) = - 8 
xy
x
=
b
a
b
=
3 
ïỵ 
ỵ 

0.25 

Û a 3 + a 2  + 2 a + 8 = 0 Û ( a + 2)( a 2  - a + 4) = 0 Û a = -2 Þ b = 1 
éì
-3 +
ê ï x =
2 
ê ïí
êï
-1 y 
=
ê
ïỵ
ì a = -2
ì x + y = -2  ì x + y = -2 
2 

Với  í
Ûí
Û í 2 
Ûê
ỵb = 1
ỵ xy - x = 1 
ỵ x + 3 x + 1 = 0  ê ì
-3 ê ï x =
2 
êï
êí
-1 +
êï y =
ï
êỵ
2 
ë 

5 
5 
0.25 
5 
5 

ỉ -3 + 5 -1 - 5 ư ỉ -3 - 5 -1 + 5ử
Vyhphngtrỡnhcúnghim ỗỗ


ữữ ỗỗ
ữữ .

2
2
2
2
ố
ứ ố
ứ
4

0.25

1,0im
k: x ³ 3 
Pt tương đương m ( x  -  1) = x - 3 + 1 Û m =
Đặt  f ( x ) =

x - 3 + 1
x - 1 

x - 3 + 1 
với  x ³ 3 
x - 1 

5 - x - 2 x - 3 
5 - x - 2 x - 3 
Khi đó:  f '( x ) =
= 0  Û
= 0 Û x  = 7 - 2 3 
2 
2 x - 3( x - 1) 

2 x - 3( x - 1) 2 

0.25 

0.25


BBT 
x 

3 

f’(x)

0

+ 

f(x) 

+¥ 

7-2 3
- 

0.25 

1 +  3 
4

1 
2 

0 
Từ  bảng  biến  thiên  suy  ra,  để  phương  trình  có  hai  nghiệm  thực  phân  biệt  thì 
1
1 + 3 
£ m < 
. 
2
4 

(Có thể đặt  t =
5 

0.25 

x - 3, t ³ 0 ) 

1,0 điểm 
S

K
A

I

B

H

E

O

D

C

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD, I là trung điểm của AB. 
0.25 

· = 60o ;  DH = 2 DI =  a  5 
SH ^ ( ABCD ) Þ SDH
3
3 
1
1 a 15 2  a 3  15 
· =  a  15  ;  V
Þ SH = DH .tan SDH
=
SH
.
S
=
.
. a = 
(đvtt). 
S . ABCD
ABCD 

3 
3
3 3
9 
Từ  H  kẻ đường  thẳng  vng  góc  với  BC  và  cắt  BC  tại  E. Trong  tam  giác  SHE  kẻ 
đường cao HK. Do  SH ^ ( ABCD) Þ SH ^ BC Þ BC ^ (SHE ) 

0.25 

0.25 

Þ HK ^ ( SBC ) Þ d ( H ; ( SBC )) = HK
Ta có  HE =

2
2 a 
1
1
1
3
9 
2a  5 
AB = 
Þ
=
+
= 2 +  2  Þ HK = 
2
2
2

3
3 
HK
SH
HE
5a
4 a
57 

AC 3
3
3a  5 
Do 
= Þ d ( A;( SBC )) = d ( H ; ( SBC )) = 
HC 2
2 
57 
6 

0.25 

1,0 điểm 
Bất đẳng thức tương đương với
2 

2 

( tan x - cot x ) - ( 8 cos 2 x ) ³ m - 2 
Û ( tan x - cot x + 8 cos 2 x )( tan x - cot
4

4 

4

4

4

4

) 

x - 8 cos 2 x ³ m - 2 

Xét  các  hàm  số f ( x ) = tan x - cot x + 8cos 2 x và g ( x ) = tan 4 x - cot 4 x -8cos 2x
ổ pử
trờn ỗ 0 ữ . 
è 2 ø 

4 

4 

0.25


* Tacú
1
1 ử

ổ
f / ( x ) = 4 ỗ tan 3 x
+ cot 3  x 2  ÷ - 16 sin 2 x 
2
cos x
sin  x ø
è

(

)

(

)

= 4 éë tan 3 x 1 + tan 2 x + cot 3 x 1 + cot 2  x ùû - 16 sin 2 x 

(

) (

)

= 4 tan 3 x + cot 3 x + 4 tan 5 x + cot 5  x - 16sin 2 x 
ỉ pư
tan 3 x cot 3 x + tan 5 x cot 5  x - 16sin 2 x = 16 (1 - sin 2 x ) 0, "x ẻ ỗ 0 ữ .
ố 2ứ
ổ pử
Suyra f ( x)ngbintrờn ỗ 0 ữ .Licú

ố 2 ứ
1
1 ử
ổ
ổ pử
g / ( x )= 4 ỗ tan 3 x
+ cot 3  x 2  ÷ + 16 sin 2 x> 0 vi "x ẻ ỗ 0 ữ nên g ( x ) đồng 
2
cos x
sin  x ø 
è
è 2  ø 
ỉ pư
biến trên  ỗ 0 ữ
ố 2 ứ
ổ pự
ổp ử
ổp ử
*Vi "x ẻ ç 0;  ú ta có f ( x ) £ f ç ÷ = 0, g ( x ) £ g ỗ ữ = 0 ị f ( x ) .g ( x ) ³ 0 
è 4 û 
è4ø
è 4 ø 
ép p ư
ỉp ư
ỉp ư
Với  "x ẻ ờ ữ tacú f ( x ) f ỗ ữ = 0, g ( x ) g ỗ ữ = 0 ị f ( x ) .g ( x ) ³ 0 
ë 4 2 ø 
è4ø
è 4  ø 
³ 4.2

7.a

(

)

p
ổ pử
Vy "x ẻ ỗ 0 ữ taucú f ( x ) .g ( x ) ³ 0 , dấu bằng  xảy ra  khi  x =  nờnbt
ố 2 ứ
4
ổ pử
phngtrỡnh ỳng "x ẻ ỗ 0 ữ thì  m - 2 £ 0 Û m £ 2 . 
è 2  ø 
1,0 điểm 

0.25 

0.25 

0.25 

A 

M

H 

I 

B 

Phương trình đường thẳng MI:  x = 2 Þ  phương trình AB:  y = m
Hồnh độ của A, B là nghiệm của phương trình  x 2 - 4 x + m2  + 6 m - 12 = 0

0.25 
(1) 

2 

D ' = -m - 6 m + 16 > 0 Û -8 < m < 2 
Þ  A( x1 ; m); B( x2 ; m)  với  x1 ,  x 2  là hai nghiệm của phương trình (1). 

0.25 

Gọi H là trung điểm của AB  Þ H (2; m) ; 
0.25 

AB 2 = 64 - 4m 2  - 24 m ;  MH 2 = m 2  - 8m 3 + 48 
Để tam giác MAB đều thì: 
é m = 0 
3  2
2
2 
MH = AB Û 4(m - 8m 3 + 48) + 3(4m + 24m - 64) = 0  Û ê
ê m = 4 3 - 9 
4 
êë 
2 

2

Vậy có hai đường thẳng d  thỏa mãn ycbt là:  y = 0  và  y = 

4 3 - 9 
. 
2 

0.25 


8.a 

1,0 điểm 
10 

10 - k 

k 
Ta có: (1 + x + 4 x 2 )10 = å C10 
( 4 x2 )

k 

. (1 + x ) 

0.25 

k = 0 
10 

k 

k
= å å C10 
Ck i 4 10 - k x 20 -2 k +i 

0.25 

k = 0 i = 0 

Cho  20 - 2k + i = 4 Û 2k - i = 16 (0 £ i £ k £ 10) 
K 
i 

8 
0 

9 
2 

0.25 

10 
4 

4 
Vậy hệ số của  x 4  trong khai triển trên là:  4 2.C108 .C80 + 4.C109 .C92 + C1010 .C10
=2370.

9.a

0.25

1,0im
x 2+2x

Chiahaivcho

( 2)

ổ3+ 7 ử
tac ỗ
ữ
2 ứ
ố

x2 + 2 x

x 2+ 2x

ổ 3 - 7ử
+ỗ
ữ
2 ứ
ố

= 24

0.25

x 2+ 2x

ổ 3 + 7 ử
t t = ỗ
ữ
2 ứ
ố

, t > 0 ta được  t 2  - 16t + 1 = 0 

2 
é
æ 3 + 7ử
ờt= 8 + 63= ỗ
ữ
2 ứ
ờ
ố
Giira ờ
-2
ổ 3 + 7ử
ờ
ữ
ờt = 8 - 63= ỗ
2 ứ
ờ
ố
ở

ộ x 2 + 2 x = 2 Û x = -1 ± 3. 

Suy ra  ê

2 
êë x + 2 x = -2 (vo nghiem) 

7.b 

0.25 

0.25 

0.25 

1,0 điểm 

Xét  phép  đối  xứng  tâm  I (1; 1) :  ĐI  biến  điểm  O  thành  điểm  K (2; 2) ,  biến  elíp  (E) 
thành elíp có phương trình  ( E ') :

(2 - x ) 2 (2 - y ) 2 
+
= 1  và biến điểm M thành điểm 
9
4 

N, N thành M. 
Do vậy M, N là giao điểm của hai elíp (E) và (E’) suy ra tọa độ hai điểm M, N thỏa 

0.5 

0.25


ì x 2 y 2 
= 1 
ïï +
9
4 
mãn hệ phương trình  í
2
2 
ï (2 - x ) + (2 - y )  = 1 
ïỵ  9
4 

Trừ  vế  cho  vế  ta  được  4 x + 9 y - 13 = 0.  Vậy  phương  trình  đường  thẳng  MN  là 
4 x + 9 y - 13 = 0. 
Cách khác: Xét đường thẳng  x = 1  qua I cắt (E) tại hai điểm phân biệt, không thỏa 
mãn  ycbt.  Gọi D là  đường  thẳng  qua  I  có  hệ  số  góc  k.  Suy  ra  phương  trình  của 
D : y = k ( x - 1) + 1 . M, N là giao điểm của D  và (E), từ điều kiện I là trung điểm 

0.25 

4 
9 

MN suy ra  k = -  , vậy phương trình D  :  4 x + 9 y - 13 = 0. 
8.b 

1,0 điểm 
Đặt  f ( x ) = 3  2 x - 1 - 3 x - 2 Þ f (1) = 0 
2

f '=
3

(

3 

2 

) 

-

2 x - 1 

Ta có:  f  '(1) = lim 
x ®1 

3
2 3 x - 2 

Þ f  '(1) =

2 3
5 
- =3 2

6 

3 
f ( x) - f (1) 
2 x - 1 - 3 x - 2
5 
= lim 
=x ®1 
x - 1 
x - 1
6 

0.5 

0.25 

3 

2 x - 1 - 3 x - 2
5 
= - . 
x - 1
6 
Cách khác: Có thể thêm, bớt 1 vào tử số, tách thành hai giới hạn rồi nhân với biểu 
thức liên hợp của tử số. 
1,0 điểm 

Vậy  lim

x ®1 

9.b 

0.25 

Giả sử số viết được là  abcde  với a, b, c, d , e Ỵ {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 }  và  a ¹ 0. 
Trước hết ta đếm các số dạng  abcde  có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt tính 
cả trường hợp a = 0. 
Khi đó ta chọn ra 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt rồi hốn vị các chữ số đó, ta 
có  C53 .C 5 2 .5!  số. 

0.25 

0.25 

Tiếp theo ta xét các số có dạng  0bcde  với 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt. 
Khi đó ta chọn ra 2 chữ số chẵn (khác 0) và 2 chữ số lẻ rồi hốn vị vào các vị trí b, c, 
d, e. Ta có  C42 .C 5 2 .4! 

0.25 

Từ đó ta có số các số cần tìm là:  C53 .C52 .5!- C42 .C5 2 .4! = 10560  số. 

0.25 

­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­