Tài liệu Hướng dẫn tự học Hình học 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.64 MB, 59 trang )

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

MỘT SỐ KÍ HIỆU THƠNG DỤNG
Kí hiệu

Tên gọi

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Diễn giải

1

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN
----- oOo -----



CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:

I- MỘT SỐ CƠNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG SỬ DỤNG:

Trọng tâm G của tam giác là
giao điểm ba đường trung

Trực tâm H của tam giác
ABC là giao điểm ba Tâm O đường tròn ngoại
tiếp tam giác là giao điểm

đường cao.
ba đường trung trực.

2
tuyến, và AG = AM .
3
1. Tam giác vuông ABC vng tại A:
• Hệ thức lượng:

AC
AB
cos =
BC
BC
AC
AB
tan =
cot =
AB
AC
• Định lí Pitago: BC2 = AB2 + AC2
1
• Diện tích: S = AB.AC
2
2. Các cơng thức đặc biệt:
sin =

• Nghịch đảo đường cao bình phương:
• Độ dài đường trung tuyến AM =
• Cơng thức khác:

AB.AC = AH.BC

Tâm I của đường tròn nội
tiếp tam giác là giao điểm ba
đường phân giác trong.

1
1
1
=
+
2
2
AH
AB
AC 2

1
BC
2

BA2 = BH.BC

CA2 = CH.CB

3
3
• Chiều cao tam giác u: h = cnh ì
4
2

ã di ng chộo hỡnh vng: l = cạnh × 2
3. Hệ thức lượng trong tam giác:
• Định lí Cơsin: a2 = b2 + c2 - 2bccosA
b2 = a2 + c2 - 2accosB
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
a
b
c
=
=
= 2R
• Định lí sin:
sin A sin B sin C
4. Các cơng thức tính diện tích tam giác ABC:
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh tương ứng là a, b, c; chiều cao tương ứng với các góc A, B, C là h a,
hb, hc; r, R lần lượt là bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp ∆ABC; Gọi S là diện tích ∆ABC:
1
1
1
1
1
1
• S = aha = bhb = chc
• S = bc sin A = ac sin B = ab sin C
2
2
2
2
2
2

abc
a+b+c
•S=
• S = pr
• S = p ( p − a)( p − b)( p − c) (với p =
)
4R
2
5. Diện tích các hình đặc biệt khác:
1
• Hình vng: S = cnh ì cnh
ã Hỡnh thoi: S = (chộp di ì chộo ngn)
2
1
ã Hỡnh ch nht: S = di ì rng
ã Hình thang: S = (đáy lớn + đáy bé) × chiều cao
2
• Hình trịn: S = πR2
• Hình bình hành: S = đáy × chiều cao
6. Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet:
• Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2 ×

2

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

• ∆ABC ∽∆MNP nếu chúng có hai góc tương ứng bằng nhau.

AB MN
=
• Nếu ∆ABC ∽∆MNP thì
AC MP

AM AN MN
=
=
AB AC BC

II- MỘT SỐ HÌNH HÌNH HỌC KHƠNG GIAN THƯỜNG SỬ DỤNG:
Hình chóp tứ giác đều

Hình chóp có mp(SAB) ⊥ (ABC)

Hình chóp tam giác đều

Hình chóp S.ABC có cạnh bên
vng góc mặt đáy.

Hình chóp S.ABC có ba cạnh bên tạo
với đáy một góc .

Lăng trụ thường

Lăng trụ đứng
Hình hộp thường

Hình hộp chữ nhật

* Chú ý: Hình lập phương là hình
hộp có 6 mặt là hình vng.

* Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng
trụ đứng có đáy là đa giác đều.

III- MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Một số phương pháp chứng minh trong hình học không gian:
• Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

3

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

Phương pháp:
Trình bày bài giải:
Để chứng minh đường thẳng ∆ vuông góc
mp(P) ta chứng minh ∆ vuông góc với hai đường
∆ ⊥ a ⊂ (P )
Ta
có:

thẳng a, b cắt nhau nằm trong mp(P).
∆ ⊥ b ⊂ (P )
⇒ ∆ ⊥ (P)

• Chứng minh hai đường thẳng vng góc:
Phương pháp:

Trình bày bài giải:
Để chứng minh đường thẳng ∆ vng góc với đường thẳng d ta
Ta có: ∆  (P) ⊃ d
chứng minh ∆ vng góc với mp(P) chứa d.
⇒∆  d

• Chứng minh hai mặt phẳng vng góc:
Phương pháp:
Trình bày bài giải:
Để chứng minh mp(Q)  mp(P) ta chứng minh mp(Q) chứa một
đường thẳng ∆ vng góc mp(P).
 ∆ ⊥ ( P)
Ta có: 
∆ ⊂ (Q)
⇒ (Q)  (P)

2. Hai định lí về quan hệ vng góc:
• Định lí 1: Nếu mp(P) và mp(Q) cùng vng góc • Định lí 2: Cho mp(P) vng góc mp(Q). Một
với mp() thì giao tuyến (nếu có) của chúng vng đường thẳng d nằm trong mp(P) vng góc với
góc mp().
giao tuyến ∆ của (P) và (Q) thì d vng góc
mp(Q).

3. Góc:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Góc giữa hai mặt phẳng:
Góc giữa đường thẳng ∆ và mp() là góc
Góc giữa hai mặt phẳng () và (β) là góc giữa hai
giữa ∆ và hình chiếu ∆' của nó trên mp().
đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (),

4

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

(β) và cùng vng góc với giao tuyến.

 Trình bày bài giải:
• Ta có ∆' là hình chiếu của ∆ trên mp()
• Suy ra: (∆,()) = (∆,∆') = ϕ

 Trình bày bài giải:
( P ) ∩ (Q) = ∆

• Ta có  ( P ) ⊃ d ⊥ ∆
 (Q) ⊃ d ' ⊥ ∆


• Suy ra: ((P),(Q)) = (d,d') = ϕ

4. Khoảng cách:
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
phẳng song song:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau là
Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và độ dài đoạn vuông góc chung của ∆ và ∆' và bằng với
mp() song song với nó là khoảng cách khoảng cách giữa ∆ và mp() chứa ∆' và song song với ∆.
từ một điểm M trên ∆ đến mp().

 Trình bày bài giải:
 Trình bày bài giải:
d(∆,()) = d(M,()) = MH
d(∆,∆') = d(∆,()) = d(A,()) = AH
5. Định lí ba đường vng góc, cơng thức diện tích hình chiếu:

Gọi d' là hình chiếu của d trên (). Ta có:
∆ ⊥ d'  ∆  d
 Ghi chú:

S' = Scos

..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

5

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

§1. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
I - KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP:
• Khối lăng trụ (chóp) là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (chóp) kể cả hình lăng trụ
(chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.
• Điểm khơng thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngồi của khối lăng trụ (khối
chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng khơng thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối
chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt)ï.
... hai điểm M, N khơng

phải là điểm trong của
khối chóp.
... hình là phần vỏ
bọc bên ngoài. Khối
gồm phần vỏ bên
ngoài và phần ruột
đặc bên trong.

II- KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN:
1. Khái niệm về hình đa diện:
• Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính
chất:
a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc khơng có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ
có một cạnh chung.
b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.
• Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là
các đỉnh, cạnh của hình đa diện.
Đỉnh

Cạnh
Mặt
2. Khái niệm về khối đa diện:
• Khối đa diện là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
• Những điểm khơng thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngồi của khối đa diện. Những điểm thuộc
khối đa diện nhưng khơng thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm
trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngồi của khối đa diện.
• Mỗi hình đa diện chia các điểm cịn lại của khơng gian thành hai miền không giao nhau là miền trong
và miền ngồi của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.

6

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

III- HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU:
1. Phép dời hình trong khơng gian:
Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M' xác định duy nhất được gọi là một
phép biến hình trong khơng gian.
Phép biến hình trong khơng gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
tùy ý.
* Một số phép dời hình trong khơng
gian:

a) Phép tịnh tiến theo vectơ v :
Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M' sao cho

MM ' = v .

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P):
Là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành
chính nó, biến mỗi điểm M khơng thuộc (P) thành
điểm M' sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM'.
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H)
thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng
của (H)

c) Phép đối xứng qua tâm O:
Là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi

điểm M khác O thành điểm M' sao cho O là trung điểm
MM'.
Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó
thì O được gọi là tâm đối xứng của (H)
d) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (phép đối xứng trục ∆):
Là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng
∆ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆
thành điểm M' sao cho ∆ là đường trung trực của
MM'.
Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H) thành chính
nó thì ∆ được gọi là trục đối xứng của (H)
* Nhận xét:
• Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

7

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

• Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H'), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh,
mặt tương ứng của (H').
2. Hai hình bằng nhau:
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành
hình kia.

Ví dụ: Thực hiện liên tiếp hai phép dời hình: phép tịnh tiến theo vectơ v và phép đối xứng tâm O hình
(H) biến thành hình (H''). Ta có: hình (H) bằng hình (H'').

IV- PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN:

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện
(H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) khơng có chung điểm
trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H)
thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp
ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được
khối đa diện (H).
Ví dụ: Ta có thể chia khối hộp chữ nhật thành hai
khối lăng trục đứng.

 Ghi chú:
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Phân chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác.
Bài 2: Phân chia khối lập phương thành năm khối tứ diện.
Bài 3: Phân chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện bằng nhau.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

8

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

§2. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
I- KHỐI ĐA DIỆN LỒI:
Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) ln thuộc (H). Khi
đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.
* Chú ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó ln nằm về một phía đối với
mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó.

II- KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU:
Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:
a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.
b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q}.
Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là:
Loại
Tên gọi
Số đỉnh Số cạnh Số mặt
{3; 3} Tứ diện đều
4
6
4
{4; 3} Lập phương
8
12
6
{3; 4} Bát diện đều
6
12
8
{5; 3} Mười hai mặt đều

20
30
12
{3; 5} Hai mươi mặt đều
12
30
20

 Ghi chú:
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

9

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.
Bài 2: Cho hình bát diện đều ABCDEF. Chứng minh rằng:
a) Các đoạn thẳng AF, BD và CE đơi một vng góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) ABFD, AEFC và BCDE là những hình vng.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................

10

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

§3. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
I- KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN:
Có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn tính chất sau:
a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1.
b) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V( H1 ) = V( H 2 ) .
c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì V( H ) = V( H1 ) + V( H 2 ) .
Số dương V (H) nói trên được gọi là thể tích khối đa diện (H) hay thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa
diện (H).
Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.
II- THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT VÀ LĂNG TRỤ:
1. Thể tích khối hộp chữ nhật:
Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba
kích thước của nó.
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a,
b, c thì thể tích của nó là:
V = abc
2. Thể tích khối lăng trụ:
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đa giác
đáy Sđ và chiều cao h là:
V = Sđ x h

III- THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:

Thể tích khối chóp có diện tích đáy S đ và
chiều cao h là:
V=

1

Sđ x h
3

 Trình bày bài giải bài tốn tính thể tích:
• Vẽ hình, xác định các giả thiết;
• Xác định, chứng minh đường cao và tính chiều cao tương ứng;
• Xác định và tính diện tích mặt đáy;
• Áp dụng cơng thức thể tích, tính thể tích khối đa diện tương ứng.
Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có mặt đáy là hình vng cạnh a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60 0.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

11

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

Giải:
.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng
SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác
với S. Ta có tỉ số thể tích:
VS.A'B'C' SA' SB' SC '
=
.
.
VS.ABC
SA SB SC
* Đặc biệt: Nếu A' ≡ A ta có:

VS.A'B'C' SB' SC '
=
.
VS.ABC
SB SC

Ví dụ: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc
giữa cạnh bên và mặt đáy là 600. Đường thẳng qua trọng tâm G tam giác
ABC và song song cạnh BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Tính tỉ số thể
tích của hai khối tứ diện SAMN và SABC; từ đó suy ra thể tích khối chóp
S.MNCB.
Giải:
.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12
.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

 Ghi chuù:

..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

14

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 2: Cho khối hộp MNPQ.M'N'P'Q' có thể tích V. Tính thể tích của khối tứ diện P'MNP theo V.
1
Bài 3: Trên cạnh PQ của tứ diện MNPQ lấy điểm I sao cho PI = PQ . Cho biết tỉ số thể tích của hai khối tứ
3
diện MNIQ và MNIP.
Bài 4: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Bài 5: Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

15

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

* ÔN TẬP CHƯƠNG I *
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................

c) Tam giác SAB đều cạnh 3a, tam giác ABC cân tại C và góc giữa cạnh SC với mặt đáy là 450.
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ∆ABC vng cân tại A, mặt bên BB'C'C là hình vng có diện tích
bằng 2a2. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu vng
góc với A' lên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vng cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0.
Đỉnh A' cách đều các đỉnh ABCD. Tính thể tích khối hộp.
Bài 9: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu vng góc
của A' lên (ABC) trùng với trung điểm AG với G là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 10: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính tỉ số thể tích giữa các khối tứ diện AMND và ABCD, từ đó suy ra
thể tích hai khối đa diện AMND, DMNCB trong các trường hợp sau:
a) M, N lần lượt là trung điểm BC, BD.
b) M là trung điểm AB, N nằm giữa A và C sao cho NA = 2NC.
Bài 11: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC và H là trung điểm cạnh AB.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC và thể tích khối tứ diện SAGB.
b) Tính khoảng cách từ C và G đến mp(SAB).
c) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện SAHC và SHCB.
Bài 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với
đáy một góc 600. Tính thể tích của khối chóp đó.
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vng góc với đáy và AB = a, AD = b, SA =
c. Lấy các điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB' vng góc với SB, AD' vng góc với SD. Mặt
phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.
Bài 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0. Gọi M
là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối
chóp S.AEMF.
Bài 15: Cho hình lăng trụ tam giác đứng ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C.
b) Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình
chóp C.A'B'FE.

Bài 16: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB' và DD'. Mặt
phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó.
Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M là trung điểm của A'B', N là trung điểm của BC.
a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN.
b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh
A, (H') là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số giữa V(H) và V(H').
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

17

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................................................................................................

tích hình nón:
hình cầu:

Hình nón có bán kính đường
Hình trụ có bán kính đường
Mặt cầu bán kính r có diện tích
trịn đáy r và chiều cao h có diện tròn đáy r, độ dài đường sinh l và và thể tích hình cầu tương ứng
tích và thể tích được tính theo chiều cao h có diện tích và thể được tính theo cơng thức:
tích được tính theo cơng thức:
công thức:
S = 4πr2
S
=
πrl
xq
Sxq = 2πrh
4 3
1 2
V
=
πr
V = πr2h
V = πr h
3
3
6. Diện tích tồn phần:
• Diện tích tồn phần của một hình đa diện là tổng diện tích của tất cả các mặt đa diện đó.
• Diện tích tồn phần của hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.
• Diện tích tồn phần của hình nón là tổng diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy.
 Ghi chú:

1. Định nghĩa:
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và ∆ cắt
nhau và tạo thành một góc β với 00 < β < 900. Khi quay
mặt phẳng (P) xung quanh ∆ thì đường thẳng d sinh ra
một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón trịn xoay đỉnh
O, gọi tắt là mặt nón.
• Đường thẳng ∆ gọi là trục.
• Đường thẳng d gọi là đường sinh.
• Góc 2β gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.

2. Hình nón trịn xoay và khối nón trịn xoay:
a) Cho tam giác OIM vng tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vng OI thì đường gấp
khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón trịn xoay, gọi tắt là hình nón.
• Hình trịn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy
của hình nón.
• Điểm O gọi là đỉnh của hình nón.
• Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón (OI = khoảng cách từ O đến mặt đáy).
• Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón.
• Phần mặt trịn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh trục OI gọi là mặt xung
quanh của hình nón đó.

20

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

b) Khối nón trịn xoay hay khối nón là phần khơng gian được giới hạn bởi
một hình nón trịn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm khơng thuộc khối

nón gọi là những điểm ngồi của khối nón. Những điểm thuộc khối nón
nhưng khơng thuộc hình nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối
nón. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy,
đường sinh của khối nón tương ứng.
c) Diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón: Gọi S đ, Sxq, V
lần lượt là diện tích hình trịn đáy, diện tích xung quanh và thể tích của hình
nón có:
• Chiều cao: h
• Bán kính hình trịn đáy: r
• Độ dài đường sinh: l

Sxq = πrl
1 2
1
V = Sđ x h = πr h
3
3

Ví dụ: Trong khơng gian cho tam giác vng OIM vng tại I, góc IOM bằng 30 0 và cạnh IM = a. Khi quay
tam giác OIM quanh cạnh góc vng OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình nón trịn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay đó.
b) Tính thể tích khối nón trịn xoay được tạo bởi hình nón trịn xoay nói trên.
Giải:
.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

• Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng
nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình
trụ.
• Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
• Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay
xung quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
• Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là
chiều cao của hình trụ.
b) Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không
gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả
hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc
khối trụ gọi là những điểm ngoài của khối trụ.
Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình
trụ tương ứng gọi là những điểm trong của khối
trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của
một hình trụ cũng là mặt đáy, chiều cao, đường
sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.
c) Diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích
của khối trụ: Gọi Sđ, Sxq, V lần lượt là diện tích hình
tròn đáy, diện tích xung quanh và thể tích của hình
trụ có:
• Chiều cao: h
Sxq = 2πrl
• Bán kính: r
V = Sđ x h = πr2h
• Độ dài đường sinh: l
Ví dụ: Trong không gian, cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là

trung điểm của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH
ta được một hình trụ tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay đó.
b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói
trên.
Giải:
.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

.....................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................

22

----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình trịn xoay hoặc khối trịn xoay sinh ra bởi:
a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư.
b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quanh quanh trục đối xứng của nó.
c) Một tam giác vng kể cả các điểm trong của tam giác vng đó khi quay quanh đường thẳng chứa một
cạnh góc vng.
d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.
Bài 2: Cho một hình nón có đường cao bằng 12cm, bán kính đáy bằng 16cm. Tính diện tích xung quanh của hình

nón đó.
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAB bằng 60 0. Tính diện tích xung quanh và
thể tích của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.
Bài 4: Một mặt phẳng đi qua trục của một khối trụ cắt khối trụ đó theo một hình vng cạnh a. Tính theo a diện
tích xung quanh và thể tích của khối trụ đó.
Bài 5: Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a.
Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
Bài 6: Một khối trụ có chiều cao bằng 12 và bán kính đáy bằng 5. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục
một khoảng là 3 cắt khối trụ theo thiết diện là hình gì? Cho biết diện tích của thiết diện đó.
Bài 7: Cho khối nón có chiều cao là 12, bán kính đáy là 5. Một mặt phẳng đi qua đỉnh của khối nón và hai đường
sinh cắt đáy theo dây cung có độ dài là 13 2 . Cho biết độ dài các cạnh và diện tích thiết diện tạo thành.
Bài 8: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.
b) Cắt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo
nên.
Bài 9: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3 .
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của
hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.
Bài 10: Cho hình nón trịn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là
12cm. Tính diện tích của thiết diện đó.
Bài 11: Một hình trụ có hai đáy là hai hình trịn (O; r) và (O'; r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO' = r 3 . Một
hình nón đỉnh là O' và có đáy là hình trịn (O; r).
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

23

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12

a) Gọi S 1 là diện tích xung quanh của hình trụ và S 2 là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số giữa
S1 và S2.
b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bài 12: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vng cân có cạnh huyền bằng a 2
.
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.
b) Cho dây cung BC của đường trịn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy một
góc 600. Tính diện tích tam giác SBC.
Bài 13: Một hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Một hình vng ABCD có hai cạnh AB và CD
lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD khơng phải là đường sinh của hình trụ. Tính
diện tích của hình vng đó và cơsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vng và mặt phẳng đáy.
Bài 14: Cho một mặt phẳng (P) và đường thẳng d đi qua một điểm cố định và tạo với (P) một góc α không đổi
(với 00 < α < 900). Chứng minh rằng d ln thuộc mặt nón cố định.
Bài 15: Cho mặt phẳng (P) và một đường tròn tâm O trên đó. Điểm M di động trên (O). Đường thẳng d đi qua M
và vng góc với mp(P). Chứng minh rằng đường thẳng d luôn thuộc một mặt trụ cố định.
Bài 16: Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi
luôn luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d ln ln nằm trên một mặt
nón, hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó.
Bài 17: Cho đường trịn tâm O bán kính r nằm trên mp(P). Từ những điểm M thuộc đường tròn này ta kẻ những
đường thẳng vng góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ trịn xoay.
Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.
CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI
.............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................................................

• Nếu OA < r thì ta nói điểm A nằm trong mặt cầu S(O; r)
• Nếu OA > r thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; r)
Tập hợp các điểm thuộc mặt cầu S(O; r) cùng với các điểm nằm
trong mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc hình cầu tâm O bán kính
r.
3. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu:
Ta có thể xem mặt cầu là một mặt tròn xoay tạo nên
bởi nửa đường tròn quay quanh trục chứa đường kính
của nửa đường trịn đó.
• Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ
là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.
• Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt
phẳng vng góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt
cầu.
• Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai
cực của mặt cầu

II – GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG:
----- Tài liệu lưu hành nội bộ -----

25

Tài liệu Hướng dẫn tự học Hình học 12

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về