Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Tương giao hàm số bậc 3 (Phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

04. TUƠNG GIAO HÀM BẬC BA – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Xét các hàm số y = f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d có đồ thị là (C) và đường thẳng d : y = mx + n
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm : ax 3 + bx 2 + cx + d = mx + n ⇔ Ax3 + Bx 2 + Cx + D = 0 ⇔ h( x) = 0
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho.
DẠNG 1. BÀI TỐN TÌM SỐ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ
TH1 : Phương trình hồnh độ giao điểm nhẩm được nghiệm x = x0
Số giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng (d) chính là số nghiệm của phương trình h(x) = 0.
Thơng thường trong bài thi Đại học thì thường sẽ nhẩm được nghiệm của phương trình. Các nghiệm thường gặp là ±1;
±2; ±3; ±m; ±2m… Kĩ thuật nhẩm nghiệm ở đây là cô lập tham số m, cho hệ số chứa m bằng 0. Nếu ta nhẩm được một
 x = xo
nghiệm x = xo thì ta có h( x) = 0 ⇔ ( x − xo ) Ax 2 + Bx + C = 0 ⇔ 


 g ( x) = 0

(

)

g ( x)

Thí dụ: Với phương trình h( x) = x + ( m − 2 ) x + m − 1 = 0 ⇔ x3 − 2 x − 1 + m ( x + 1) = 0.
3

(

)

Cho x = –1 ta thấy thỏa mãn phương trình, chia theo lược đồ Hoorne ta được h( x) = ( x + 1) x 2 − x + m − 1 = 0.

Ta xét một số trường hợp thường gặp:
TH1: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ h(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
∆ g > 0
Phương trình h(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi 
 g ( xo ) ≠ 0
TH2: (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ h(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Phương trình h(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khi phương trình g(x) = 0 có nghiệm kép khác xo hoặc phương trình
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng xo
 ∆ g = 0

 g ( xo ) ≠ 0
Ta có điều kiện: 
 ∆ g > 0
  g ( x ) = 0
 o
TH3: (d) cắt (C) tại 1 điểm phân biệt ⇔ h(x) = 0 có 1 nghiệm phân biệt.
Phương trình h(x) = 0 có 1 nghiệm phân biệt khi phương trình g(x) = 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép chính là xo. Điều
∆ g < 0

đó tương đương với  ∆ g = 0

  − B = xo
  2 A

Chú ý:
Trong trường hợp mà ta không thể nhẩm được nghiệm của h(x) = 0 thì ta phải cơ lập tham số để đưa về bài toán biện
luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị hoặc dựa vào bảng biến thiên. Để cơ lập được m thì hàm số y = h(x) phải
là hàm bậc nhất của m, còn trong trường hợp h(x) chứa lũy thừa của m bậc cao hơn (ví dụ m2, m3) thì dùng yCĐ.yCT

cực trị.
 x = −1
h( x ) = x3 + ( m − 2 ) x + m − 1 = 0 ⇔ ( x + 1) x 2 − x + m − 1 = 0 ⇔ 
2
 g( x ) = x − x + m − 1 = 0
Thí dụ:
− x3 − 1
h( x ) = x3 + ( m + 2 ) x + m + 1 = 0 ⇔ m ( 2 x + 1) = − x3 − 1 ⇔ m =
= g( x )
2x + 1
Trên đây là hai ví dụ cho thể loại nhẩm được nghiệm và không nhẩm được nghiệm phải sử dụng cô lập tham số.

(

)

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 6 , có đồ thị là (C)
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Tìm m để đường thẳng d : y = mx − 2m − 4 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
3
2
PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): x − 6 x + 9 x − 6 = mx − 2m − 4 ⇔ ( x − 2)( x 2 − 4 x + 1 − m) = 0
x = 2

⇔
2
 g ( x) = x − 4 x + 1 − m = 0

∆ > 0
(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ 
⇔ m > −3.
 g ( 2 ) ≠ 0

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – (m + 1)x2 + (m – 1)x + 1, (1).
CMR khi m ≠ 0 đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và trục Ox là x3 – (m +1)x2 + (m – 1)x + 1 = 0, (*)
// Giờ chúng ta thử đi nhẩm xem (*) có nghiệm nào nhé
Để x = α là một nghiệm của (*) thì các biểu thức có nhân thử chung là tham số m phải triệt triêu nhau, ở đây ta tách ra
được một nhân tử có chứa m là m(–x2 + x). Cho –x2 + x = 0 ta được x = 0 hoặc x = 1
Thay vào phương trình chỉ có x = 1 là nghiệm. Vậy (*) có 1 nghiệm là x = 1 //
x −1 = 0
(*) ⇔ ( x − 1)( x 2 − mx − 1) = 0 ⇔ 
2
 g ( x) = x − mx − 1 = 0
Do g(x) = x2 – mx – 1 = 0 có ∆ = m2 + 4 > 0 ∀m và g(1) = m ≠ 0 (theo giả thiêt), khi đó g(x) = 0 ln có hai nghiệm
phân biệt và khác 1.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – 3x + 2, có đồ thị là (C)
Gọi d là đường thẳng đi qua A(3; 20) và có hệ góc là k. Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
d là đường thẳng qua A(3 ; 20) và có hệ số góc là k nên d có phương trình d : y = k(x – 3) + 20
Phương trình hồnh độ giao điểm: x3 – 3x + 2 = k(x – 3) + 20 ⇔ x3 – (k + 3)x + 3k – 18 = 0, (*)
//Để nhẩm nghiệm của (*) ta cho triệt tiêu đi hệ số chứa k : k(x – 3) = 0 ⇒ x = 3, thay x = 3 vào thấy thỏa mãn (*).
Vậy (*) có 1 nghiệm là x = 3 //

x − 3 = 0

( *) ⇔ ( x − 3 ) ( x 2 + 3 x − k + 6 ) = 0 ⇔ 

2
 g ( x) = x − 3x − k + 6 = 0
Để (*) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình g(x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 3

15

∆ g > 0
9 − 4 ( 6 − k ) > 0 k >
Điều đó xảy ra khi 
⇔
⇔
4
 g (3) ≠ 0
6 − k ≠ 0
k ≠ 6
15

k >
Vậy với 
4 thì đường thẳng d cắt đồ thị đã cho tại 3 điểm phân biệt.
k ≠ 6
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 1, có đồ thị là (C)
Tìm m để đường thẳng d : y = ( 2m − 1) x − 4m − 1 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị: x – 3 x 2 – (2m – 1) x + 4m + 2 = 0 ⇔ ( x − 2)( x 2 – x – 2m – 1) = 0

3

x = 2
⇔
2
 g ( x) = x − x − 2m − 1 = 0, (1)
Đề (d) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt khi phương trình (1) có nghiệm kép khác x = 2 hoặc có hai nghiệm phân biệt
trong đó có một nghiệm là x = 2.
 ∆ = 0
 8m + 5 = 0
5

  b
  1
m=−

−
≠
2
≠
2


8
Ta có các điều kiện tương ứng   2a
⇔   2
⇔
1
m =
 ∆>0

 8m + 5 > 0
2

 g (2) = 0
 −2m + 1 = 0



{

{

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

5
1
Vậy m = − ; m = là các giá trị cần tìm.
8
2

Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (m − 1) x 2 + 2mx + 1 và đường thẳng d : y = 5 x − 1.
Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C)

a) tại ba điểm phân biệt
b) tại hai điểm phân biệt

c) tại một điểm
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x3 + x 2 + 3 x − 2 . Gọi d là đường thẳng đi qua A(2 ; 0) và có hệ số góc k.
Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.

TH2: Phương trình hồnh độ giao điểm khơng nhẩm được nghiệm
Nếu h(x) = 0 khơng nhẩm được nghiệm thì ta sử dụng phương pháp cơ lập tham số, phân tích h(x) = 0 thành dạng
h ( x, m ) = 0 ⇔ g ( x ) = k ( m ) , trong đó đó g(x) là hàm số chỉ chứa x, còn k(m) là hàm chỉ chứa m (hay còn gọi là hàm
hằng với x).
 y = g ( x)
Khi đó, số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị 
 y = k (m) // Ox
Ta lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x).
Khi đó, (1) có 3 nghiệm phân biệt khi gCT < k(m) < gCĐ
Khi đó, (1) có 1 nghiệm khi k(m) < gCT hoặc k(m) > gCĐ

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + m. Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục Ox : x3 – 3x2 – 9x + m = 0, (1)
Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị. Để đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì (1) phải có 3 nghiệm
phân biệt.
(1) ⇔ x3 – 3x2 – 9x = –m, (2).
 y = g ( x) = x 3 − 3 x 2 − 9 x
Số nghiệm của (2) lại chính là số giao điểm của hai đồ thị 
 y = −m
 x = −1
Ta có g ′( x) = 3 x 2 − 6 x − 9 = 0 ⇔ 
x = 3
Bảng biến thiên:
x
−∞

−1
3
+∞

g’

+

0

−

0

+

5

+∞

g
−∞

−27

Từ bảng biến thiên ta thấy, (2) có 3 nghiệm phân biệt khi –27 < –m < 5 ⇔ –5 < m < 27.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 2m, (Cm) Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại đúng 2 điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải:
Để đồ thị cắt trục hồnh tại đúng hai điểm phân biệt thì (Cm) phải có 2 điểm cực trị.

⇒ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 3x 2 − 3m2 = 0 ⇔ x 2 = m2 ⇒ m ≠ 0
Vậy hàm số có hai điểm cực trị khi m ≠ 0.
Khi đó y ' = 0 ⇔ x = ± m .
(Cm) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt ⇔ yCĐ = 0 hoặc yCT = 0

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 y ( − m ) = 0 ⇔ 2m 3 + 2m = 0 ⇔ m = 0
Ta có 
3
 y (m) = 0 ⇔ −2m + 2m = 0 ⇔ m = 0; m = ±1
Đối chiếu với điều kiện ta được m = ± 1 là giá trị cần tim.

Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 − 9 x + 3m − 1
Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − mx 2 + 2m
Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại duy nhất một điểm.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9mx. Tìm m để đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số đã cho tại
a) 1 điểm.
b) 3 điểm phân biệt.
Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – 3x + 2, có đồ thị là (C).
Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(3; 20) và có hệ góc là k. Tìm k để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm
phân biệt.

Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 – 3x – 2, có đồ thị là (C).
Gọi A là điểm thuộc đồ thị và có hồnh độ xA = 0, (d) là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k. Xác định k
để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = –x3 + 3x2 + 1, có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y = m(x – 1) + 3. Tìm m để
(C) và (d) cắt nhau tại
a) 3 điểm phân biệt.
b) 1 điểm.
Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + mx2 – x – m
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 – 1, có đồ thị là (C).
Gọi (dk) là đường thẳng đi qua M(0; –1) và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) tại
a) 3 điểm phân biệt.
b) 3 điểm phân biệt, trong đó hai điểm có hồnh độ dương.
Bài 7: [ĐVH]. (Trích đề thi ĐH khối A – 2010)
Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m
Tìm m để đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 < 4.
Bài 8: [ĐVH]. Tìm m để các đồ thị hàm số sau cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt?
a) y = x3 – 3x2 – m2 + 5m
b) y =

1 3
x −x+m
3

c) y = x3 + 3x2 – 9x + m
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!


Khóa học LTĐH mơn Tốn 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + mx + 2 có đồ thị (Cm)
Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Đ/s: m > −3
Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx − 2 có đồ thị (Cm)
Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

Đ/s: 1 − 3 < m < 1 + 3
Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3m 2 x + 2m có đồ thị (Cm).
Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.

Đ/s: m = ±1
Bài 12: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 1 .
Tìm m để đường thẳng (∆): y = (2m − 1) x − 4m − 1 cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.

1
5
Đ/s: m = ; m = −
2
8

Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!