Chuyên đề luyện thi ĐH: Bất đẳng thức - Huỳnh Chí Hào

Chun đề LTĐH

Chuyên đề 5:

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

BẤT ĐẲNG THỨC
TÓM TẮT GIÁO KHOA

I. Số thực dương, số thực âm:
• Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
• Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
• Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu x ≥ 0
• Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu x ≤ 0
Chú ý:
• Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " a ≤ 0 "
• Phủ định của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " a ≥ 0 "
II. Khái niệm bất đẳng thức:
1. Định nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức
là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
Ta có:
a > b ⇔ a−b > 0
• Nếu a>b hoặc a=b, ta viết a ≥ b . Ta có:
a ≥ b ⇔ a-b ≥ 0
2. Định nghóa 2:
Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
" A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A ≥ B
" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A ≤ B
được gọi là một bất đẳng thức

Quy ước :
• Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất
đẳng thức đúng.
• Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng
III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :
a > b
1. Tính chất 1:
⇒a>c

b > c
2. Tính chất 2:
a > b ⇔ a+c > b+c
Hệ quả 1:
a > b ⇔ a−c > b−c
Hệ quả 2:
a+c > b ⇔ a > b−c
a > b
3. Tính chất 3:
⇒ a+c > b+d

c > d
4. Tính chất 4:
Hệ quả 3:

ac > bc neáu c > 0
a>b⇔
ac < bc neáu c < 0
a > b ⇔ − a < −b

28

Chun đề LTĐH
Hệ quả 4:

5. Tính chất 5:
6. Tính chất 6:
7. Tính chất 7:
8. Tính chất 8:

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn
a b
 c > c neáu c > 0
a>b⇔
 a < b neáu c < 0
 c c
a > b > 0
⇒ ac > bd

c > d > 0
1 1
a>b>0⇔0< <
a b
*
n
a > b > 0, n ∈ N ⇒ a > b n
a > b > 0, n ∈ N * ⇒

n

a >nb

Hệ quả 5:

Nếu a và b là hai số dương thì :
a > b ⇔ a2 > b2
Nếu a và b là hai số không âm thì :
a ≥ b ⇔ a 2 ≥ b2
IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối :
 x nếu x ≥ 0
1. Định nghóa: x = 
( x ∈ R)
− x nếu x < 0

2. Tính chất : x ≥ 0 ,

2

x = x 2 , x ≤ x , -x ≤ x

3. Với mọi a, b ∈ R ta có :
•

a+b ≤ a + b

•

a−b ≤ a + b

•

a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0

•

a − b = a + b ⇔ a.b ≤ 0

V. Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :
• a > 0, b > 0, c > 0
• b−c < a < b+c
•

c−a < b
•

a−b < c < a+b

• a >b>c⇔ A> B >C
VI. Các bất đẳng thức cơ bản :
a. Bất đẳng thức Cauchy:
a+b
≥ ab
2

Cho hai số không âm a; b ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Tổng quát :
Cho n số không aâm a1,a2,...an ta coù :

a1 + a2 + ... + an n
≥ a1 .a2 ...an
n

Dấu "=" xãy ra khi và chæ khi a1 = a2 =...= an
29


Chun đề LTĐH
b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

(ax + by )2 ≤ (a2 + b2 )( x 2 + y 2 )
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx

Tổng quát :
Cho hai bộ số (a1 , a2 ,...an ) vaø (b1 , b2 ,..., bn ) ta coù :
(a1b1 + a2 b2 + ... + an bn )2 ≤ (a12 + a2 2 + ... + an 2 )(b12 + b2 2 + ... + bn 2 )

a
a1 a2
=
= ... = n với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng
b1 b2
bn
1
1 1 1

c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có:
≤ ( + )
a+b 4 a b
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi

Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức :
Ta thường sử dụng các phương pháp sau
Phương pháp biến đổi tương đương
1. Phương pháp 1:
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng .
Ví du1ï:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a,b,c
2. a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b
với mọi a,b
Ví dụ 2:
a3 + b3
a+b 3
Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b ≥ 0 , chứng tỏ rằng:
≥(
)
2
2
1 2
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì ( x + 1) 2 ( 2 + + 1) ≥ 16
x
x
2. Phương pháp 2:
Phương pháp tổng hợp

Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng
minh.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca)
5
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y = . Chứng minh rằng:
4
4 1
+
≥5
x 4x
Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng: 3x + 2 y + 4 z ≥ xy + 3 yz + 5 zx
1 1
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có: x 2 + y 2 + + ≥ 2( x + y )
x y
30


Chun đề LTĐH
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh :
ab(a + b − 2c) + bc(b + c − 2a ) + ca (c + a − 2b) ≥ 0

Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn

Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng : x 3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z
Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng : xyx ≥ 3 3
a+b+c a+b+c a+b+c
Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng :
+
+
≥9

a
b
c
Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z ≤ 1 . Chứng minh rằng :
1 1 1
x + y + z + + + ≥ 10
x y z
Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh raèng :
b+c c+a a+b
+
+
≥ a + b + c +3
a
b
c

3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0
x2
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: cos x > 1 −
với mọi x > 0
2
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 4: Với 0 < x <

π
2

π

sin x + tgx > 2 x với mọi x ∈ (0; )
2

, chứng minh 2

2 sin x

+2

tgx

>

3
x +1
22

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh raèng
1 + x3 + y3
1+ y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
≥3 3
xy
yz
zx
Khi đẳng thức xảy ra?

1 1 1
+ + = 4 . Chứng minh rằng :
x y z
1
1
1
+
+
≤1
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z

Baøi 2: Cho x,y,z laø các số dương thỏa mãn

Bài 3: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức ab + bc + ca = abc , chứng minh rằng:
b 2 + 2a 2
c 2 + 2b 2
a 2 + 2c 2
+
+
≥ 3
ab
bc
ca

31