Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Chuyên đề 7:
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY
TÌM TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM
Vấn đề 1:
TÌM PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM
I. TỌA ĐỘ VECTƠ
y
a (a1;a2 ) a a1 i a2 j
B
Với i = (1; 0) véctơ đơn vị của trục Ox
a
j = (0; 1) véctơ đơn vị của trục Oy
A
j
II. TỌA ĐỘ MỘT ĐIỂM
OM (xM ; yM ) M(xM ; yM )
O
x
j
Cho A(xA; yA), B(xB; yB) ta có kết quả sau.
i) AB (x B x A ;y B y A )
ii) AB AB (x B x A )2 (y B y A )2
iii) M chia đoạn AB theo tỉ số k: MA kMB; k 1
x A kx B
x M 1 k
Khi đó tọa độ điểm M là:
y y A ky B
M
1 k
xA xB
x M
2
iv) M trung điểm AB tọa độ điểm M
y
y A y B
M
2
III. TÍNH CHẤT VECTƠ
Cho a (a1; a2 ), b (b1; b2 )
196
1. a b (a1 b1; a2 b2 )
2. ka k(a1;a2 ) (ka1;ka2 )
3. a.b a1b1 a2 b2
4. a a12 a22
a1 b1
5. a b
a2 b2
6. cos(a,b)
a.b
a.b
a1b1 a2 b2
a12 a22 b12 b22
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
7. a cùng phương b a kb hay b ka a1b2 a2 b1 0
8. a b a.b 0 a1b1 a2 b2 0
B. ĐƯỜNG THẲNG
a 0 : a gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
khi giá của a cùng phương với đường thẳng
a
Nếu a là vectơ chỉ phương của thì
k a cũng là vectơ chỉ phương của (k 0)
n
a
n 0 : n gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng khi n
Nếu n là vectơ pháp tuyến của thì kn cũng là vectơ pháp tuyến của
(k 0)
Cách đổi giữa vectơ chỉ phương u và vectơ pháp tuyến n của đường thẳng
Có: n = (A; B) u = (B; A) hay u ( B; A)
Coù u (a1; a2 ) n (a2 ; a1 ) hay n ( a2 ; a1 )
I. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
: Ax By C 0; A2 B2 0
n (A ; B) ,
C
neân // Ox (C = 0 thì Ox)
B
C
Nếu B = 0 : x neân // Oy (C = 0 thì Oy)
A
Nếu A = 0 : y
Ox: y = 0, Oy: x = 0 .
II. CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0)
và có vectơ pháp tuyến n (A; B); (A2 + B2 > 0)
Phương trình tổng quát d: A(x x0) + B(y y0) = 0
2. Phương trình đường thẳng d đi qua M(x0; y0)
và có vectơ chỉ phương u (a1; a2 ) (a12 + a22 0)
x x0 a1t
Phương trình tham số d:
y y0 a2 t
t
197
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Phương trình chính tắc d:
x x0 y y0
a1
a2
Phương trình tổng quát d: a2(x x0) a1y (y y0) = 0
3. Phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(xA; yA), B(xB; yB)
x xA
y yA
Phương trình chính tắc d:
xB xA yB yA
4. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn. Đường thẳng d cắt Ox, Oy lần lượt
x y
tại A(a; 0), B(0, b) có daïng d: 1 (a 0, b 0)
a b
Lưu ý: Cho d: Ax + By + C = 0
d' // d d': Ax + By + C' = 0 (C' C)
d' d d': Bx Ay + C' = 0 hay Bx + Ay + C' = 0
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho d1: A1x + B1y + C1 = 0
d2: A2x + B2y + C2 = 0
A1 B1
C1 B1
A1 C1
, Dx
, Dy
Laäp D
A2 B2
C2 B2
A2 C2
i/ d1 caét d2 D 0
D 0
D 0
hoaë c
ii/ d1 // d2
Dx 0
Dy 0
iii/ d1 d2 D = Dx = Dy = 0
IV. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THAÚNG
Cho d1: A1x + B1y + C1 = 0 n1 (A1;B1 )
d2: A2x + B2y + C2 = 0 n2 (A2 ;B2 )
cos
n1.n2
n1 . n2
A1A2 B1B2
A12 B12 A22 B22
Neáu d1, d2 là các đường thẳng không đứng.
d1 : y = k1x + b1; d2 : y = k2x + b2
tan(d1, d2)
k 2 k1
1 k1.k 2
V. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách giữa hai điểm A, B là: AB (xB xA )2 (yB yA )2
198
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
2. Khoảng cách từ M(x0; y0) đến đường thẳng d: Ax + By + C = 0
d(M, d)
Ax0 Bx 0 C
A2 B2
Lưu ý: d(M, Ox) = yM
d(M, Oy) = xM
VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TẠO BỞI HAI
ĐƯỜNG THẲNG
d1
Cho d1: A1x + B1y + C1 = 0, d2: A2x + B2y + C2 = 0
Khi đó phương trình hai đường phân giác là:
A x B1y C1
A x B2 y C2
t1 t 2 1
2
2
2
A1 B1
A22 B22
1
d2
2
Tìm phân giác góc nhọn hay góc tù.
Dấu n1.n2
Phân giác góc tù
Phân giác góc nhọn
n1.n2 0
t1 = t2
t1 = t2
n1.n2 0
t1 = t2
t1 = t2
B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng : x – y – 4 = 0 vaø
d: 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng
ON cắt đường thẳng tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
Giải
M M(m; m – 4) vaø N d N(n; 2n – 2).
OM m; m 4 , ON n; 2n 2 .
O, M, N thẳng hàng OM cùng phương ON
M
d
N
O
4n
m(2n – 2) – n(m – 4) = 0 mn – 2m + 4n = 0 m
2n
2
2
OM.ON = 8 m2 m 4 n2 2n 2 64
2
4n 2 4n
2
4 n2 2n 2 64
2 n 2 n
2
n 2
n
2
2
16
16
1
n 2n 2 64
2 n
2 n
199
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
n 2 2n 2 2 2
2
n 2n 2 4
2 n 2 n
2
2
2
n2 2n 2 n2 2n 2 4 2 n
2
2
5n2 8n 4 4 2n
5n2 8n 4 4 2n 5n2 8n 4 4 2n 0
6
5n2 6n 5n2 10n 8 0 n = 0 hoaëc n .
5
6 2
Vậy N(0; –2) hoặc N ; .
5 5
Cách 2: Nhận thấy rằng O, M, N thẳng hàng, do đó ta có thể chuyển điều kiện
OM.ON = 8 sang hệ thức vectơ bằng cách: Vẽ hai đường thẳng d và trong mặt
phẳng (Oxy), ta có hai vectơ OM và ON cùng hướng, nên:
OM.ON = 8 OM . ON = 8 mn + (m – 4)(2n – 2) = 8
3mn – 2m – 8n = 0. Khi đó ta có hệ phương trình:
3 2m 4n 2m 8n 0
3mn 2m 8n 0
mn 2m 4n 0
mn 2m 4n 0
6
m 5n
n = 0 hoaëc n .
5
5n n 2 5n 4n 0
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(–4; 1), trọng tâm
G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x – y – 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
Giải
Gọi d là đường phân giác trong của goùc A d: x – y – 1 = 0,
và gọi B' đối xứng với B qua d B' AC.
B
BB' đi qua B(–4; 1) và vuông góc với d.
suy ra: BB': (x + 4) + (y – 1) = 0 x + y + 3 = 0.
d
Gọi I là giao điểm của BB' và d,
I
suy ra tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
G
x y 3 0
x 1
C
A
I(–1; –2).
M B’
x y 1 0
y 2
x 2xI x B 2
I là trung điểm cuûa BB' B'
B'(2; –5).
yB' 2yI y B 5
200
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Gọi M là trung điểm của AC BG 2GM
3x x B 7
x G
xG x B 2 x M xG
M
2
2 M 7 ; 1 .
2
y 3yG y B 1
yG y B 2 y M yG
M
2
x2 y5
4x – y – 13 = 0.
7
1
5
2
2
A là giao điểm của d và AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
AC đi qua hai điểm B' và M AC:
4x y 13 0
x 4
A(4; 3).
x y 1 0
y 3
xC 2xM xA 3
M là trung điểm của AC nên:
C(3; –1).
yC 2yM yA 1
Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y + 3 = 0.
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; –4) và tạo với đường thẳng d
một góc bằng 45o.
Giải
Gọi : a( x - 2 ) + b( y + 4 ) = 0 với a2 + b2 0
ab
1
Ta có: cos 450
a b a2 b2
2
2
2
2. a b
a2 b2 2ab a2 b2 ab 0 a 0 b 0
Vậy 1: y + 4 = 0 và 2: x – 2 = 0
Caùch 2: d: x + y + 3 = 0 góc giữa Ox và d là 450
hợp với d một góc 450 cùng phương với Ox hoặc Oy
Mà qua A (2; –4) phương trình là x = 2 hoặc y = –4.
Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các
cạnh là AB: x + 3y – 7 = 0, BC: 4x + 5y – 7 = 0, CA: 3x + 2y – 7 = 0. Viết phương
trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
Giải
x 1
x 3y 7
Toạ độ A là nghiệm hệ phương trình:
y 2
3x 2y 7
Đường cao AH qua A và có 1 vectơ pháp là n = (5; –4) AH: 5x 4y 3 0 .
201
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường
thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y 4 = 0. Tìm
tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; 3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của
tam giác đã cho
Giải
Phương trình đường cao AH: 1(x – 6) – 1(y – 6) = 0 x – y = 0
Gọi K là giao điểm của IJ và AH (với IJ: x + y – 4 = 0)
suy ra K là nghiệm của hệ x y 0 K (2; 2)
xy4
K laø trung điểm của AH x
y
H
H
2xK xA 4 6 2 H (–2; –2)
2yK yA 4 6 2
Phương trình BC: 1(x + 2) + 1(y + 2) = 0 x + y + 4 = 0
Goïi B (b; –b – 4) BC
Do H là trung điểm của BC C (–4 – b; b); E (1; –3)
Ta coù: CE (5 b; b 3) vuông góc với BA (6 b;b 10)
Neân (5 + b)(6 – b) + (b – 3)(b + 10) = 0
2b2 + 12b = 0 b = 0 hay b = –6
Vaäy B(0; –4); C(–4; 0) hay B(–6; 2); C(2; –6) .
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(4; 1),
phân giác trong góc A có phương trình x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường
thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Giải
Ta có phân giác trong góc A là (d): x + y – 5 = 0
y
song song với đường phân giác d’ của góc phần tư
thứ II, nên góc M1 bằng góc A1 bằng 450.
Suy ra AC // Ox phương trình AC:
y=1
Ta có A = AC d nên A(4; 1)
1
C
AC = 8
Mà diện tích ABC = 24
O
–4
1
nên AC.AB = 24 AB = 6
2
Mặt khác, AB vuông góc với trục hoành nên B (4; 7).
Vậy phương trình của BC laø: 3x – 4y + 16 = 0
202
B
1
A
x
1 M
d
d’
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và là đường thẳng đi qua O.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên . Viết phương trình đường thẳng ,
biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
Giải
Cách 1: Gọi H(x0 ; y0) là hình chiếu của A trên
Ta có: AH (x0 ; y0 2), OH (x0 ; y0 )
Từ giả thiết ta có
x20 y0 (y0 2) 0
x20 y20 2y0 0
AH.OH 0
2
2
2
AH d(H,Ox)
x0 4y 0 4 0
x0 (y0 2) y0
y 0
x20
y20 2y 0 4 0
y 0 1 5
2
2
y 0
x 0 4y 0 4
x 0 4y 0 4 0
x20
1 5
8 4 5
1 5
8 4 5 0 (loaï i)
x 4 5 8
0
H 4 5 8; 1 5 .
y
1
5
0
Phương trình : ( 5 1)x
4 5 8 y 0
Caùch 2:
Oy H A: không thỏa AH = d(H, Ox)
Ox H O: không thỏa AH = d(H, Ox)
Phương trình : y = kx (k 0)
AH
1
y x 2 là phương trình đường AH
AH
qua
A
k
Tọa độ H = AH thỏa hệ
2k
y kx
x 2
2k
k 1
2k 2
H
;
1
2
k 2 1 k 2 1
y k x 2
y 2k
k2 1
2
2
2
2k 2
2k 2k
AH d(H;Ox) 2
2 2
k4 k2 1 0
2
k 1 k 1
k 1
203
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
2 1 5
k
22 5
22 5
2
. Vaäy : y
x.
k
2
2 1 5
2
0 (loạ i)
k
2
Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6; 2) là
giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và
trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng : x + y – 5 = 0. Viết phương trình
đường thẳng AB.
Giải
Gọi N đối xứng với M qua I, suy ra N(11; 1)
và N thuộc đường thẳng CD
A
M
E E (x; 5 – x); IE = (x – 6; 3 – x)
Vaø NE = (x – 11; 6 – x)
D
B
I
C
EN
E là trung điểm CD IE EN hay IE.EN 0
(x – 6)(x – 11) + (3 – x)(6 – x) = 0 x = 6 hoaëc x = 7
x = 6 IE = (0; 3); phương trình AB: y – 5 = 0.
x = 7 IE = (1; 4); phương trình AB: x – 4y + 19 = 0.
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh
A
(1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – 4 = 0. Xác định tọa độ các
điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Giải
Gọi H là hình chiếu của A trên , suy ra H là trung điểm BC
2S
9
AH d A,BC
; BC ABC 4 2
AH
2
2
BC
97
AB AC AH2
4
2
97
2
2
x 1 y 4
Tọa độ B và C là nghiệm của hệ:
2
x y 4 0
5
11 3
3
Giải hệ ta được: x; y ; ; x; y ;
2
2 2
2
5
5 11 3
11 3 3
3
Vaäy B ; , C ; hoaë c B ; , C ;
2 2 2 2
2 2 2 2
204
A
B
H
C
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm
của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình
là 7x – 2y – 3 = 0 vaø 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC
Giải
7x
2y
3
0
Tọa độ A thỏa mãn hệ:
A 1; 2
6x y 4 0
B đối xứng với A qua M, suy ra B = (3; 2)
Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng: 6x – y – 4 = 0
Phương trình BC: x + 6y + 9 = 0
Tọa độ trung điểm N của đoạn thẳng BC thỏa mãn hệ:
7x 2y 3 0
3
N 0; AC 2MN 4; 3 ;
x
6y
9
0
2
Phương trình đường thẳng AC: 3x – 4y + 5 = 0
Bài 11: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(1; 2), đường
trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x + y – 9 = 0
và x + 3y – 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh A và B .
Giải
Giả sử AM: 5x + y – 9 = 0, BH: x + 3y – 5 = 0
AC: 3(x + 1) – 1(y + 2) = 0 3x – y + 1 = 0
A = AC AM A(1; 4)
B BH B (5 – 3m; m)
4 3m m 2
;
M là trung điểm BC M
2
2
M AM 5.
4 3m m 2
9 0 m = 0. Vaäy B(5; 0)
2
2
Bài 12: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng 1: x – 2y – 3 = 0
và 2: x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng
1
cách từ điểm M đến đường thẳng 2 bằng
.
2
Giải
M 1 M(2m + 3; m)
2m 3 m 1
1
1
5
d M, 2
3m 4 1 m = 1 hay m =
3
2
2
2
205
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
1 5
Vaäy M(1; 1) hay M ;
3 3
Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác
ABC, biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm
H(–1; –1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x – y + 2 = 0 và
đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0.
Giải
Kí hiệu: d1: x – y + 2 = 0; d2: 4x + 3y – 1 = 0
Gọi H'(a; b) đối xứng H(1; 1) qua d1. Khi đó H' AC.
a1 = (1; 1) là VTCP của d1, HH = (a + 1; b + 1) vuoâng góc với a1 và trung
a 1 b 1
;
điểm I
của HH' thuộc d1.
2
2
1(a 1) 1(b 1) 0
Do đó tọa độ H' là nghiệm của hệ a 1 b 1
H'(3; 1)
20
2
2
Đường thẳng AC qua H' vuông góc d2 nên có vectơ pháp tuyến là
n (3; 4) và pt AC: 3(x + 3) – 4(y – 1) = 0 3x – 4y + 13 = 0
3x 4y 13 0
Tọa độ A là nghiệm của hệ:
A(5; 7)
x y 2 0
Đường thẳng CH đi qua H(1; 1) có VTPT
1
HA (3; 4) nên có pt:
2
3(x + 1) + 4(y + 1) = 0 3x + 4y + 7 = 0
3x 4y 7 0
10 3
Toïa độ của C là nghiệm của hệ:
C ;
3 4
3x 4y 13 0
Baøi 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 2) và các đường thẳng:
d1 : x + y – 2 = 0 ,
d2 : x + y – 8 = 0
Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC
vuông cân tại A.
Giải
Vì B d1, C d2 neân B(b; 2 b), C(c; 8 c). Từ giả thiết ta có heä:
bc 4b c 2 0
(b 1)(c 4) 2
AB.AC 0
2
2
2
2
AB AC
b 2b c 8c 18
(b 1) (c 4) 3
206
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
xy 2
Đặt x = b 1, y = c 4 ta có hệ 2
2
x y 3
Giải hệ trên ta được x = 2, y = 1 hoặc x = 2, y = 1
Suy ra: B(1; 3), C(3; 5) hoặc B(3; 1), C(5; 3).
Bài 15: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng:
d1: x + y + 3 = 0;
d2: x y 4 = 0; d3: x 2y = 0.
Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến
đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
Giải
Vì M d3 nên M(2y; y)
2y y 3 3y 3
2y y 4
y4
Ta coù: d(M,d1 )
; d(M,d 2 )
2
2
12 12
12 (1)2
d(M; d1 ) 2d(M,d 2 )
3y 3
2
Với y = 11 được điểm M1(22; 11).
Với y = 1 được điểm M2(2; 1).
2
y4
2
y = 11 ; y = 1.
Bài 16: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2005
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
d1: x y = 0 vaø d2: 2x + y 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d 1, đỉnh C thuộc
d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Giải
Vì A d1 A(t; t).
Lại do A và C đối xứng nhau qua BD và B, D Ox nên C(t; t).
Mà C d2 neân 2t t 1 = 0 t = 1. Vaäy A(1; 1), C(1; 1).
IB IA 1
Trung điểm của AC là I(1; 0). Vì I là tâm của hình vuông nên:
ID IA 1
b 1 1 b 0, b 2
B Ox
B(b; 0)
D Ox
D(d; 0)
d 1 1 d 0, d 2
Suy ra, B(0; 0) và D(2; 0) hoặc B(2; 0) và D(0; 0).
Vậy bốn đỉnh của hình vuông là A(1; 1), B(0; 0), C(1; 1), D(2; 0), hoaëc A(1; 1),
B(2; 0), C(1; 1), D(0; 0).
207
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Bài 17:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; 3). Tìm điểm
C thuộc đường thẳng x 2y – 1 = 0 sao cho khoaûng cách từ C đến đường thẳng
AB bằng 6.
Giải
x 1 y 1
A(1; 1); B(4; 3) pt AB:
4x + 3y 7 0
3
4
C AB C(2t + 1; t)
8t 4 3t 7
6
5
t = 3
11t 3 30
11t 3 30
t = 27
11t 3 30
11
Ta coù d(C, AB) = 6
43 27
Vaäy C(7; 3) hay C ;
11 11
Bài 18:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A(1; 0),
B(4; 0), C(0; m) với m 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m.
Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
m
m
G 1; ; GA 2;
;
3
3
Giaûi
m
GB 3;
3
Tam giác GAB vuông tại G GA.GB 0 6
m2
0 m= 3 6.
9
Bài 19:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxy. Cho tam giác ABC
2
có AB = AC, ABC = 900. Biết M(1; 1) là trung điểm cạnh BC và G ; 0 là
3
trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Giải
G là trọng taâm ABC AG 3GM
2
2 2
x A 0
xA 2 1
3
A(0; 2)
3 3
y A 2
y 2 1 0 2
A
Phương trình BC qua M(1; 1) AM = (1; 3) laø: x 3y 4 = 0
208
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Phương trình đường tròn (C) tâm M, bán kính R = AM = 10 là
x 12 y 12
= 10
Tọa độ B, C thỏa
x 3y 4 0
2
2
x 1 y 1 10
x 3y 4
x = 4
x = 2
V
2
2
y = 0
y = 2
3y 3 y 1 10
Vaäy B(4; 0); C(2; 2) hay B(2; 2); C(4; 0)
Bài 20:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy. Xét tam giác ABC
vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là
3x y 3 0 , các đỉnh A và B
thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC.
Giải
Gọi A(a; 0), BC: y =
3x
B (1; 0), xC = xA = a, yC =
AB = a 1, AC =
2
3
3 (a 1)
3 a 1
BC = (a 1) + 3(a 1)2 = 4(a 1)2, BC = 2 a 1
S = pr
2
3 (a 1)2 = 2 (3 +
a 1 = 0 (loaïi) hoaëc
3 ) a 1
3 a 1 = 2 (3 +
3)
a 32 3
a 1 = 2 ( 3 + 1)
a 1 2 3
A(3 + 2 3 ; 0); B(1; 0); C(3 + 2 3 ; 6 + 2 3 )
hay A(1 2 3 ; 0); B(1; 0); C (1 2 3 ; 6 2 3 )
74 3 6 + 2 3
1 4 3 6 2 3
;
;
G
hay G
.
3
3
3
3
Bài 21:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy cho hình chữ nhật
1
ABCD có tâm I ; 0 , phương trình đường thẳng AB là x 2y + 2 = 0 và
2
AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
Giải
A AB: x 2y + 2 = 0 A(2a 2; a) với a < 1
I là trung điểm AC C(3 2a; a)
209
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
BC qua C vaø BC AB pt BC: 2x + y + 5a 6 = 0
AB BC = B B(2 2a; 2 a)
a 0
Ta coù AB = 2AD (1 a)2 = 1
a 2 (loạ i)
Vậy A(2; 0); B(2; 2); C(3; 0); D(1; 2).
Bài 22: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B
thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d:
x – 2y + 3 = 0.
Giải
Gọi A(a; 0) Ox, B(0; b) Oy
a b
Ta có: AB a; b và trung điểm AB là I ;
2 2
A
I
Từ d: x – 2y + 3 = 0 a 2;1
AB a
A, B đối xứng qua d:
I d
2a b 0
a 2
.
a
b
b 4
2 2 2 3 0
Vaäy A(2; 0), B(0; 4)
Vấn đề 2:
ĐƯỜNG TRÒN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R.
1. Phương trình chính tắc: (C): (x a)2 + (y b)2 = R2
2. Phương trình tổng quaùt: (C): x2 + y2 2ax 2by + c = 0
Trong đó c = a2 + b2 R2 R a2 b2 c
Cho đường cong (C): x2 + y2 2ax 2by + c = 0
Điều kiện để (C) là đường tròn là: a2 + b2 c > 0
II. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Cho (C): x2 + y2 2ax 2by + c = 0, có tâm I(a; b), bán kính R
d: Ax + By + C = 0
Xét vị trí tương đối giữa (C) và d.
210
Phương phaùp 1:
B
d
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
i) d(I, d) > R d không cắt (C)
ii) d(I, d) = R d tiếp xúc (C)
iii) d(I, d) < R d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
Phương pháp 2:
x2 y2 2ax 2by c 0
Xeùt hệ phương trình tạo bởi d và (C):
Ax By C 0
(I) vô nghiệm d không cắt (C)
(I) có nghiệm kép d tiếp xúc (C)
(I) có hai nghiệm phân biệt d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
III. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN.
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d: Ax + By + C = 0
là tiếp tuyến của đường tròn d(I, d) = R
1. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(x0; y0) có dạng:
x x0
y y0
: x.x0 y.y0 2a
2b
C0
2
2
hay : (x a)(x0 a) (y b)(y0 b) R2
R
I
d
2. Phương trình tiếp tuyến của (C) qua M(x0; y0)
Gọi d là đường thẳng qua M(x0; y0) có hệ số góc k
d: y = k(x x0) + y0 : kx y + y0 kx0 = 0
d tiếp xúc (C) d(I, d) = R
Giải (*) tìm được 2 nghiệm k bài toán đã xong, nếu chỉ có 1 nghiệm K ta xét
thêm đường thẳng: d1:x = xM (kiểm tra điều kiện tiếp xúc)
3. Phương trình tiếp tuyến của (C) song song (hoặc vuông góc) với đường thẳng
: Ax + By + C = 0
d //
Goï i d
d
d: Ax + By + C=0 (C C)
d: Bx Ay + C=0 (hay Bx Ay C 0)
d tiếp xúc (C) d(I, d) = R
4. Phương trình tiếp của (C) biết trước hệ số góc k .
Tiếp tuyến có hệ số góc k có dạng
: y = kx + b : kx y + b = 0
tiếp xúc (C) d(I, ) = R
IV. PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM M(x0; y0) ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN (C)
PM /(C) x20 y20 2ax0 2by0 c
211
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
i) PM /(C) 0 : M nằm ngoài đường tròn
ii) PM /(C) 0 : M nằm trong đường tròn
iii) PM /(C) 0 : M nằm trên đường tròn.
V. TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
Cho (C1): x2 + y2 2a1x 2b1y +c1 = 0, (C2): x2 + y2 2a2x 2b2y +c2 = 0
Phương trình trục đẳng phương: : 2(a1 a2)x + 2(b1 b2)y (c1 c2) = 0
B. ĐỀ THI
Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : x + y + 2 = 0 và đường troøn
(C): x2 + y2 – 4x – 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc . Qua M kẻ các
tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M,
biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10.
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) và bán kính: R =
4 1 0 5 = IA .
Hai tam giác IAM và IBM bằng nhau neân
1
1
SIAM = SMAIB = 5 IA.MA = 5
2
2
1
5 MA = 5 MA = 2 5 .
2
I
B
A
M M( m; –m – 2 )
M
MI2 = IA2 + MA2 = 5 + 20 = 25 (m – 2)2 + (–m – 3)2 = 25
m2 + m – 6 = 0 m = 2 hoặc m = –3
Vậy: M (2; –4) hoặc M (–3; 1) .
Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011
1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B ; 1 . Đường tròn
2
nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm
D, E, F. Cho D(3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm tọa độ
đỉnh A, biết A có tung độ dương.
Giải
Vì yB = yD = 1 nên BD có phương trình y – 1 = 0.
Ta lại có phương trình EF là y – 3 = 0 nên BD // EF.
Suy ra: Tam giác ABC cân tại A.
212
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Vì tam giác ABC cân tại A nên AD EF,
mặt khác AD đi qua D(3; 1) nên AD có phương trình x – 3 = 0.
F EF: y – 3 = 0 nên F(x; 3)
Ta có: BF = BD
2
A
2
F
2
1
3
2 1 1
B
2
x – x – 2 = 0 x = –1 hoaëc x = 2.
D
+) Với x = –1 thì F(–1; 3), suy ra BF có phương trình 4x + 3y – 5 = 0.
1
x 3 1
2
E
2
C
7
A là giao điểm của AD và BF nên A 3; loại vì yA < 0.
3
+) Với x = 2 thì F(2; 3), suy ra BF có phương trình 4x –3y + 1 = 0.
13
A là giao điểm của AD và BF nên A 3; nhận vì yA > 0.
3
13
Vaäy A 3; .
3
Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm A(1; 0) và đường tròn (C):
2
x + y2 – 2x + 4y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng cắt (C) tại điểm M và
N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; –2) và bán kính R =
10 .
Tam giác AMN vuông cân tại A nên AI
Suy ra: có véctơ pháp tuyến là AI = (0; –2).
A
Do đó phương trình có dạng: y = m.
I
Ta có: +) MN = 2.d(A, ) = 2 m .
M
+) d(I, ) = m 2 .
+) IM = R =
(C
)
N
10 .
2
MN
+) IM d I,
10 = (m + 2)2 + m2
2
2
2
2m2 + 4m – 6 = 0 m = 1 hoặc m = –3.
Vậy phương trình là : y = 1 hoaëc y = –3.
213
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Cách 2:
Phương trình có dạng: y = m, do đó hoành độ điểm M và N là nghiệm của
phương trình: x2 + m2 – 2x + 4m – 5 = 0 x2– 2x + m2 + 4m – 5 = 0 (*).
Phương trình (*) có 2 nghiệm x1, x2 ' = –m2 – 4m + 6 > 0.
(1)
Khi đó: M(x1; m) và N(x2; m) AM x1 1; m vaø AN x2 1; m .
Ta coù: AM AN AM.AN 0 x1 1 . x2 1 m2 0
x1.x2 – (x1 + x2) + m2 + 1 = 0 (**).
Mặt khác x1, x2 là nghiệm của (*) nên x1.x2 = m2 + 4m – 5 và x1 + x2 = 2
Do đó: (**) (m2 + 4m – 5) – 2 + m2 + 1 = 0 2m2 + 4m – 6 = 0
m = 1 hoặc m = –3. (Thỏa (1))
Vậy, phương trình là: y = 1 hoặc y = –3.
Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:
d2 :
3x y 0 vaø
3x y 0 . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B
và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác
ABC có diện tích bằng
3
và điểm A có hoành độ dương.
2
Giải
A d1 nên A (a; a 3 ) (a > 0)
Đường thẳng AC qua A và vuông góc với d1 có phương trình là:
1 x a 3 y a 3 0 x 3y 4a 0
Neân AC d2 = C(2a; 2a 3 )
Đường thẳng AB qua A và vuông góc
với d2 có phương trình là:
1 x a 3 y a 3 0 x 3y 2a 0
a a 3
AB d2 = B ;
2
2
3
SABC
BA.BC 3
2
2
a
a 3
a a 3
2
2
214
2
2
2
a
a 3
2a
= 3
2a 3
2
2
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
a 3 .3a = 3 a
1
1
2
A
; 1 ; C
; 2
3
3
3
3
1
Tâ m I
; là trung điểm AC và bán kính R = IA = 1
2
2 3
2
2
1
3
Suy ra phương trình đường tròn (T): x
y 1
2
2 3
Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 7), trực tâm là
H(3; 1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(2; 0). Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có
hoành độ dương.
Giải
Cách 1: Nối dài AH cắt đường tròn (C) tâm I tại điểm H'
A
BC đi qua trung điểm HH'.
Phương trình AH: x = 3
Đường tròn (C) có phương trình:
H
(x 2)2 y2 74
H' là giao điểm của AH và đường tròn (C)
H' (3; 7)
B
I
M
Đường thẳng BC có phương trình : y = 3 cắt
đường tròn (C) tại điểm C có hoành độ là nghiệm
C
H'
phương trình: ( x 2) 3 74
2
2
x 65 2 (laáy hoành độ dương); y = 3.
Vậy C ( 65 2 ; 3)
Cách 2: Gọi (C) là đường tròn tâm I(2; 0),
A
bán kính R = IA 74
Phương trình đường tròn (C): (x 2)2 y2 74
Gọi AA1 là đường kính
BHCA1 là hình bình hành
HA1 qua M trung điểm BC
Ta có IM là đường trung bình của A1AH
x 2
1
Nên : IM AH M
M(2; 3)
2
y M 3
I
H
B
C
M
H'
A1
Phương trình BC qua M và vuông góc AH: y 3 = 0
215
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
(x 2)2 y2 74
x 2 65
Toaï độ C thoả hệ phương trình: y 3 0
.
y 3
x 0
Vaäy C ( 65 2 ; 3)
Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0
và đường thẳng : x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của
đường tròn (C). Tìm m để cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích
tam giác IAB lớn nhất.
Giải
(C) có tâm I (2; 2), bán kính R =
2
1
1
IA.IB.sin AIB R2 1
2
2
S lớn nhất khi và chỉ khi IA IB
2 2m 2m 3
R
1
Khi đó, khoảng cách từ I đến : d(I, ) =
1
2
1 m2
8
(1 – 4m)2 = 1 + m2 m = 0 hoặc m =
15
Diện tích tam giác IAB: S =
Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
4
và
5
hai đường thẳng 1: x – y = 0, 2 = x – 7y = 0. Xác định tọa độ tâm K và tính bán
kính của đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng 1, 2
và tâm K thuộc đường tròn (C).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 2)2 + y2 =
Giải
4
Gọi K(a; b); K (C) (a – 2)2 + b2 =
5
a b a 7b
(C1) tiếp xúc 1, 2
2
5 2
(1);
(2).
2
2
5 a 2 5b 4
(1) vaø (2), cho ta:
5 a b a 7b
2
2
5 a 2 5b 4
I hoaëc
5
a
b
a
7b
216
2
2
5 a 2 5b 4
II
5
a
b
7b
a
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
25a2 20a 16 0
vô nghiệm;
b 2a
I
a 2b
8 4
(II)
a; b ;
2
5 5
25b 40b 16 0
Bán kính (C1): R
ab
2
2 2
2 2
8 4
. Vậy: K ; và R
5
5
5
5
Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + y2 = 1. Gọi
I là tâm của (C). Xác định tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho IMO 30o
Giải
Gọi điểm M(a; b). Do M(a; b) thuộc (C) nên (a – 1)2 + b2 = 1;
O (C) IO = IM = 1 Tam giác IMO có OIM 120o
Nên OM2 = IO2 + IM2 – 2IO.IM.cos1200 a2 + b2 = 3
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
3
a 12 b2 1 a 2
. Vaäy M =
2
2
b 3
a b 3
2
3
3
;
2
2
Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(–2; –2)
và C(4; –2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N
Giải
Ta có M(1; 0), N(1; 2), AC (4; 4). Giả sử H (x, y). Ta có:
4(x 2) 4(y 2) 0
x 1
BH AC
H(1; 1)
H AC
4x 4(y 2) 0
y 1
Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
(1)
Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có hệ điều kiện:
1
a
2a
c
1
2
2a
4b
c
5
1
b
2a 2b c 2
2
c
2
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 x + y 2 = 0
217
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x– 1)2 + (y + 2)2 = 9 và
đường thẳng d: 3x – 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ
đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho
tam giác PAB đều .
Giải
(C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 3.
Ta có: PAB đều nên IP = 2IA = 2R = 6 P thuộc đường tròn (C') tâm I, bán
kính R' = 6. Trên d có duy nhất một điểm P thoả mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi
d tiếp xúc với (C') tại P d(I; d) = 6 m = 19 hay m = 41.
Bài 11: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
(C) : x2 + y2 2x 6y + 6 = 0 và điểm M(3; 1).
Gọi T1 và T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C).
Viết phương trình đường thẳng T1T2.
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và bán kính R = 2. MI = 2 5 > R nên M nằm ngoài
(C). Nếu T(xo; yo) là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì:
T (C)
T (C)
MT IT
MT.IT 0
MT (xo 3; yo 1),IT (xo 1; yo 3). Do đó ta có:
x2o yo2 2xo 6yo 6 0
(xo 3)(xo 1) (yo 1)(yo 3) 0
2
2
xo yo 2xo 6yo 6 0
2xo yo 3 0
2
2
xo yo 2xo 4yo 0
(1)
Vậy, tọa độ các tiếp điểm T1 và T2 của các tiếp tuyến kẻ từ điểm M đến (C) đều
thỏa mãn đẳng thức (1). Do đó phương trình đường thẳng T1T2 là:
2x + y 3 = 0.
Bài 12: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn:
(C): x2 + y2 2x 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x y + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm
M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn
(C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
218
TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; 1), bán kính R = 1. Vì M d nên M(x; x + 3).
Yêu cầu của bài toán tương đương với:
MI R 2R (x 1)2 (x 2)2 9 x 1, x 2
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là: M1(1; 4), M2(2; 1)
Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2; 0) và B(6; 4).
Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng
cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
Giải
Gọi tâm của (C) là I(a; b) và bán kính của (C) là R.
(C) tiếp xúc với Ox tại A a = 2 và |b| = R
IB = 5 (6 2)2 + (4 b)2 = 25 b2 8b + 7 = 0 b = 1, b = 7
Với a = 2, b = 1 ta có đường tròn: (C1): (x 2)2 + (y 1)2 = 1
Với a = 2, b = 7 ta có đường tròn: (C2): (x 2)2 + (y 7)2 = 49.
Baøi 14:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy cho 2 điểm A(0; 2) và
B( 3 ; 1). Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của OAB
Giải
Gọi H(x, y) là trực tâm AOB
AH OB AH coù VTPT OB 3, 1
Phương trình AH:
3 x 0 y 2 0 hay 3x y 2 0
BH.OA BH coù vtpt OA 0; 2
Phương trình BH: 0 x 3 2 y 1 0 hay y + 1 = 0 H
3; 1
Gọi I (x0; y0) là tâm đường tròn ngoại tiếp AOB, ta coù: IA2 IO2 IB2
x2 y2 x2 y 2 2
0
0
0
0
y 0 1
I 3;1
2
2
x20 y20 x0 3 y0 1
x0 3
Baøi 15:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đêcác vuông góc Oxy. Cho đường tròn
(C): (x 1)2 + (y 2)2 = 4 và đường thẳng d: x y 1 = 0.
Viết phương trình đường tròn (C') đối xứng với đường tròn (C) qua đường
thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C').
219
Hướng dẫn giải CDBT từ các ĐTQG Toán học –
Giải
(C1) có tâm I(1; 2), R = 2
Gọi I' là điểm đối xứng của I qua (d)
Gọi () là đường thẳng qua I vaø d : x + y 3 = 0
() (d) = H(2; 1)
x 1
2
2 x = 3 với I' (x; y) I' (3; 0)
Vì H là trung điểm của II' nên:
1 y 2 y = 0
2
Vậy đường tròn (C) có tâm I'(3; 0) R = R' = 2
Vậy (C'): (x 3)2 + y2 = 4
* Tìm tọa độ giao điểm của (C), (C').
x 12 y 2 2 4
Giải hệ
2
2
x 3 y 4
2
x 3 y2 4
x y 1 0
x = 1
x = 3
x y 1
2
2y 4y 0
y = 0
y = 2
Vậy giao điểm của (C), (C') là A(1; 0) B(3; 2).
Bài 16:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy, cho hai đường tròn
(C1): x2 + y2 10x = 0, C2: x2 + y2 + 4x 2y 20 = 0.
1/ Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và có tâm
nằm trên đường thẳng x + 6y 6 = 0.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1) và (C2).
Giải
1/ Đường tròn (C) qua giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2) (C), (C1), (C2)
thuộc chùm đường tròn.
(C): m(x2 + y2 – 10x) + n(x2 + y2 – 2y – 20) = 0; (Với m2 + n2 0).
(m + n)x2 + (m + n)y2 + (4n – 10m)x – 2ny – 20n = 0
4n 10m
2n
20n
x2 + y2 +
x
y
0
mn
mn
mn
n
2n 5m
;
Tâm I
m
n
m
n
Vì I d: x + 6y – 6 = 0
5m 2n
6n
6 0 m 2n
mn
mn
Ta chọn n = 1 m = 2. Vậy (C): x2 + y2 – 24x + 2y + 20 = 0.
220