Dap an de thi HSG Huyen Dong Anh nam 20102011

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>UBND Huyện Đông</b>
<b>Anh </b>

<b>Phòng GD-ĐT</b>
<b></b>

<b>---Đáp án chấm thi Học Sinh giỏi lớp</b>
<b>9</b>

<b>Môn: Toán </b>
<b>Năm học: 2010-2011</b>

<b>Bài</b> <b>Nội dung</b> <b>Điểm</b>

<b>Bài 1</b>
<b>2điểm</b>

Gi A l mt im trong 6 điểm. 5 đoạn thẳng nối A với 5
điểm còn lại (B,C,D,E,F) đợc tô bởi 2 mầu nên theo nguyên lí
Đirichlê tồn tại 3 đoạn thẳng cùng mầu. Khơng mất tính tổng
quát giả sử đó là AB, AC, AD

cùng mầu đỏ.

+ XÐt tam gi¸c BCD:

- Nếu tồn tại 1 cạnh của tam giác
BCD tơ mầu đỏ( chẳng hạn BC)
thì tồn tại 1 tam giác có 3 cạnh
cùng mầu đỏ(tam giác ABC).
Vậy bài tốn đợc chứng minh.

- Nếu khơng có cạnh nào của tam giác BCD tơ màu đỏ thì tam
giác BCD có 3 cạnh cùng mầu xanh. Vậy bài tốn đợc chng
minh.

<b>Bài 2</b>

<b>6điểm</b> _{b) (4 đ) Ta có a}2_{+ b}2_+c2_{=14 => (a}2_+b2_{+ c}2₎2₌₁₄2
=> a4_+b4_+c4_{+ 2a}2_b2 _{+ 2a}2_c2_{+ 2 b}2_c2_{= 196}

=>a4_{+ b}4_{+ c}4_{= 196 – 2(a}2_b2_+a2_c2_+b2_c2₎
Ta l¹i cã: a + b + c= 0 => (a+ b + c)2_{= 0}
=> a2_{+ b}2 _{+ c}2_{+ 2ab+ 2ac + 2bc = 0}

=> 14+ 2( ab+ ac + bc) = 0 ( do a2_{+ b}2_{+ c}2_{= 14)}
=> ab + ac + bc = -7

=> (ab + ac + bc)2_{= 49}

=> a2_b2_{+ a}2_c2_{+ b}2_c2_{+ 2 a}2_{bc + 2 ab}2_{c + 2 abc}2₌₄₉
=> a2_b2_{+ a}2_c2_{+ b}2_c2_{+ 2abc( a + b + c) = 49}

=> a2_b2_{+ a}2_c2_{+ b}2_c2_{= 49( do a + b + c = 0)}
VËy M = a4_{+ b}4_+c4_{= 196 – 2.49 =98}

B

A

D

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Bài 3</b>
<b>3điểm</b>

Gi x, y, z l di cỏc cnh của một tam giác
vng

Gi¶ sư 1  <i>x y z</i>=> x+ y 2

Theo định lý Pitago ta có: x2_{+ y}2_{= z}2₍₁₎
Theo đề bài ta có: 1

2xy = x+ y + z => xy
=2( x+ y + z) (2)

Tõ (1) suy ra: z2_{= (x+y)}2_{- 2 xy = (x+y)}2_{- 4(x+ y + z) ( theo}
(2))

=> z2_{= (x+y)}2_{– 4( x + y) – 4z}

=> z2_{+ 4z + 4 = (x+ y)}2_{– 4(x + y) + 4}
=> (z+2)2_{= ( x+ y – 2)}2

=> z+ 2 = x+ y -2( do x+ y 2)
=> z = x+ y – 4

Thay z = x+ y – 4 vào (2) ta đợc: xy = 2( x + y + x + y - 4)
=> xy = 4x + 4y – 8 => xy- 4x – 4y + 16 = 8 => (x- 4)(y –
4) = 8

Mµ 8 = 1.8 = 2.4 nên ta có:
4 1
4 8
<i>x</i>
<i>y</i>

hoặc 4 2
4 4
<i>x</i>
<i>y</i>
 


 


Suy ra 5
12
<i>x</i>
<i>y</i>






hoặc 6
8
<i>x</i>
<i>y</i>





Dựa vào định lý Pitago tính đợc x=5; y=12; z=13
hoặc x= 6 ; y= 8; z= 10

<b>Bài 4</b>
<b>3điểm</b>

Gọi số học sinh của lớp 9B tham gia họp mặt là x(học sinh, x
N*_{, x<50)}

Bạn thứ nhÊt cđa líp 9B quen 11 = 10 + 1 b¹n cđa líp 9A
B¹n thø hai cđa líp 9B quen 12 = 10+2 b¹n cđa líp 9A
B¹n thø ba cđa líp 9B quen 13 = 10+3 b¹n cđa líp 9A

…

B¹n thø x cđa líp 9B quen 10 + x b¹n của lớp 9A.

Mà bạn cuối cùng quen tất cả các bạn lớp 9A tham gia họp
mặt nên số học sinh của lớp 9A tham gia họp mặt là 10 + x
häc sinh.

Theo đề bài tổng số học sinh của cả hai lớp tham gia họp mặt
là 50 học sinh nên ta có pt: x + 10+x = 50

 x = 20( TM)

VËy sè häc sinh cđa líp 9B tham gia họp mặt là 20 học sinh.
=> số học sinh của lớp 9A tham gia họp mặt là 30 học sinh

<b>Bài 5</b>
<b>4điểm</b>

a) (2đ) Ta có 0   0  

1 135 ; 1 135

<i>HOD O</i>  <i>OGB O</i>   <i>HOD OGB</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

=> HOD OGB (gg)
b) (2đ) Từ câu a suy ra <i>HD</i> <i>DO</i>

<i>OB</i> <i>BG</i>

Đặt BM = a thì AD = 2a, OB = OD = a ₂
Ta cã <i>HD BG OB OD a</i>.  .  2.<i>a</i> 2 2 . <i>a a</i><i>AD BM</i>.

=> <i>HD</i> <i>BM</i>
<i>AD</i> <i>BG</i>

=> AHD GMB (cgc)=> <i>_{AHD GBM}</i> .

Do đó <i>_{HAB GMB}</i>  _{=> MG // AH}

<b>Bài 6</b>
<b>2điểm</b>

+ Gi a là đờng
thẳng chứa cạnh AB
của đa giác.

Gọi C là đỉnh của
đa giác cách xa AB nhất.

Qua C kẻ đờng thẳng b song song với AB.

+ Gọi D, E là các đỉnh của đa giác cáchiác xa AC nhất về hai
phía của AC.

Qua D kẻ đờng thẳng c song song với AC, qua E kẻ đờng
thẳng d song song với AC.

+ Gọi MNPQ là hình bình hành tạo bởi 4 đờng thẳng a,b,c,d.
Các đỉnh của đa giác nằm trong hoặc bên trên biên của hình
bình hành.

Ta cã: SACD+ SACE S®a giác
Mà SACD + SACE=1

2SMNPQ
=> 1

2SMNPQSđa giác => SMNPQ 2. Sđa giác

b
c

a
N
Q

M

P
C

D

A B

</div>

<!--links-->