TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT
Chuyên đề 18
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM
Dạng 1. Tính tốn liên quan đến logarit dùng đẳng thức
Định nghĩa logarit:
Cho hai số thực dương a , b với a 1, α log a b a α b :
Các tính chất logarit: Cho ba số thực dương a, b, c với 0 a, b, c 1
log a b
log c b
log a b
; log a b log a c log a bc; log a b log a c
;
log a a
log a c
log a b.log b c log a c.
0 a 1; b 0 .
Phương trình mũ cơ bản nhất a x b x log a b
Cách giải phương trình mũ có dạng α1a 2 x α2 ab α3b 2 x 0 trong đó αi i 1, 2,3 là hệ số,
x
cơ số 0 a , b 1
2x
x
a
a
B1: Biến đổi phương trình về dạng: 2α1 α2 α3 0 * .
b
b
x
a
B2: Đặt ẩn phụ t , t 0 , phương trình * trở thành α1t 2 α2t α3 0 .
b
B3: Giải tìm t thỏa mãn t 0 .
x
a
B4: Giải phương trình mũ cơ bản t . Tìm được x .
b
Câu 1.
(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn
log 9 x log 6 y log 4 2 x y . Giá trị của
A. 2 .
B.
1
.
2
x
bằng
y
3
C. log 2 .
2
Lời giải
D. log 3 2 .
2
Chọn B
x 9t
Đặt t log 9 x log 6 y log 4 2 x y . Khi đó y 6t
2.9t 6t 4t
2 x y 4t
3 t
1
t
t
t
2
9 3
3 1
.
2. 1 0
3 t 1
4 2
2 2
2 2
t
Do đó:
t
x 9 3 1
.
y 6 2 2
Facebook Nguyễn Vương 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 2.
(Chuyên Lào Cai - 2020) các số thực a , b , c thỏa mãn (a 2)2 (b 2)2 (c 2)2 8 và
2 a 3b 6 c . Khi đó a b c bằng
A. 2 .
B. 4 .
D. 8 .
C. 2 2 .
Lời giải
Chọn A
Ta có a c log 2 6 và b c log3 6 . Suy ra
1 1
1
1 1 1
. Hay 0 .
a b
c
a b c
Hay ab bc ca 0 .Suy ra a 2 b2 c2 (a b c)2 nên (a b c)2 4(a b c) 4 0. Vậy
a b c 2 .
Câu 3.
(Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho 4 x 4 x 7 . Khi đó biểu thức P
a
là phân số tối giản và a, b . Tích a.b có giá trị bằng
b
A. 10 .
B. 8 .
C. 8 .
Lời giải
Chọn A
2
2
5 2 x 2 x
a
với
x
x
b
8 4.2 4.2
D. 10 .
2
Ta có 4 x 4 x 7 2 x 2.2 x .2 x 2 x 2 7 2 x 2 x 9 2 x 2 x 3 .
5 2 x 2 x
5 2 x 2 x
53
2
1
.
Do đó P
x
x
x
x
8 4.2 4.2
8 4. 2 2 8 4.3 20 10
Suy ra a 1, b 10 .
Vậy a.b 10 .
Câu 4.
(Sở Ninh Bình 2019) Cho a , b , c là các số thực khác 0 thỏa mãn 4a 9b 6c . Khi đó
bằng
1
A. .
2
B.
1
.
6
6.
C.
c c
a b
D. 2 .
Lời giải
Chọn D
a log4 t
Đặt t 4 9 6 b log9 t .
c log t
6
c c log6 t log6 t
log6 t.logt 4 log6 t.logt 9 log6 t logt 4 logt 9
Khi đó
a b log 4 t log9 t
a
b
c
log6 t.logt 36 log6 36 log6 62 2 .
Câu 5.
Biết a log 30 10 , b log 30 150 và log 2000 15000
nguyên, tính S
A. S
1
.
2
x1a y1b z1
với x1 ; y1 ; z1 ; x2 ; y 2 ; z 2 là các số
x2 a y2b z2
x1
.
x2
B. S 2 .
C. S
2
.
3
D. S 1 .
Lời giải
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
Chọn A
Ta có log 2000 15000
log 30 15000 log 30 150 2 log 30 10
1
log30 2000
log 30 2 3log 30 10
Ta có a log 30 10 log 30 5 log 30 2 log 30 2 a log 30 5 2
b log 30 150 1 log 30 5 log 30 5 b 1 thay vào 2 ta được log 30 2 a b 1
b 2a
2a b
a b 1 3a 4a b 1
x
2 1
Suy ra S 1 .
x2 4 2
Ta có log 2000 1500
log x y log y x
Cho các số thực dương x, y khác 1 và thỏa mãn
.
log x x y log y x y
2
2
Giá trị của x xy y bằng
Câu 6.
A. 0.
B. 3.
C. 1.
Lời giải
D. 2.
Chọn D
ĐK: x y .
1
y
1
log x y log y x
x
log x y log y
Ta có
x
x y
log x x y log y x y
log x x y log y x y
log x x y log x1 x y
1
1
y
xy 1
y x
x
2
x 2 xy y 2 2 .
2
2
2
x y 1
log x x y log x x y 0 log x x y 0
Câu 7.
Cho các số thực dương a , b thỏa mãn
log a log b log a log b 100 và
log a ,
log b , log a , log b đều là các số nguyên dương. Tính P ab .
A. 10164.
B. 10100.
C. 10 200.
Lời giải
D. 10144.
Chọn A
Ta có: log a log b log a log b 100
log a log b 2 log a 2 log b 200 log a 1 log b 1 202 81 121 *
2
2
Mà log a , log b , log a , log b đều là các số nguyên dương nên
*
a 1064
log a 64
b 10100
log b 1 11
log
b
100
100
log a 1 11 log a 100 a 10
64
log b 64
log b 1 9
b 10
log a 1 9
Facebook Nguyễn Vương 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Vậy: P ab 1064.10100 10164.
Câu 8.
mb nac
.Tính A m 2n 3 p 4q
pc q
C. 23
D. 29
Lời giải
Cho log 9 5 a; log 4 7 b; log 2 3 c .Biết log 24 175
A. 27
B. 25
Chọn B
Ta có log 24 175 log 24 7.52 log 24 7 2 log 24 5
1
2
3
log 7 3 log 7 2
log5 3 log 5 23
1
1
3
log 2 7.log3 2 log 2 7
1
2
log 7 24 log 5 24
1
1
3
log3 7 log 2 7
2
2
1
3
log3 5 log 2 5
1
3
1 2b
2b.
c
1
2
2b
4ac
2b 4ac
.
c
3
c
3
c
3
c
3
c
3
2b 2b 2ac 2ac
A m 2n 3 p 4 q 2 8 3 12 25.
Câu 9.
1
3
log3 5 log 2 3.log3 5
1
2
1
3
2a c.2a
Cho x , y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn x 2 6 y 2 xy . Tính M
1
.
4
A. M
B. M 1 .
C. M
1
.
2
1 log12 x log12 y
.
2 log12 x 3 y
1
D. M .
3
Lời giải
Chọn B
Ta có x 2 6 y 2 xy x 2 xy 6 y 2 0 * .
Do x , y là các số thực dương lớn hơn 1 nên ta chia cả 2 vế của * cho y 2 ta
x
được
y
2
x
3
x 3 y n
y
x
6 0
x
y
x
2
y
l
2
y
Vậy x 3 y (1).
Mặt khác M
1 log12 x log12 y
log12 12 xy
(2).
2
2 log12 x 3 y
log12 x 3 y
Thay (1) vào (2) ta có M
log12 36 y 2
1.
log12 36 y 2
Câu 10. Cho f x a ln x x 2 1 b sin x 6 với a , b . Biết f log log e 2 . Tính
f log ln10 .
A. 4 .
B. 10 .
C. 8 .
D. 2 .
Lời giải
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Chọn B
Đặt x0 log log e
Có: f x0 a ln x0 x02 1 b sin x0 6 2
1
f log log e f x0
Ta có f log ln10 f log
log e
f x0 a ln
x02 1 x0 b sin x0 6 a ln x0 x02 1 b sin x0 6
a ln x0 x02 1 b sin x0 6 12 f x0 12 10 .
Câu 11. Cho 9 x + 9-x = 14 và
A. P 10.
a
6+3(3x +3-x ) a
= với là phân số tối giản. Tính P a.b.
x+1 1-x
b
2-3 -3
b
B. P 45.
C. P 10.
D. P 45.
Lời giải
Chọn B
Ta có
9 x 9 x 14 32 x 2.32 x.32 x 32 x 16
3x 3 x 16 3x 3 x 4.
2
6 3(3x 3 x ) 6 3(3x 3 x )
6 3(3x 3 x )
2 3x1 31x
2 3.3x 3.3 x 2 3.3x 3 x
6 3.4
18
a
9
ab 45.
2 3.4
10
b
5
a
Câu 12. Cho hai số thực dương a, b thỏa log 4 a log 6 b log9 a b . Tính .
b
A.
1
.
2
B.
1 5
.
2
1 5
.
2
Lờigiải
C.
D.
1 5
.
2
Chọn D
Đặt t log 4 a log6 b log9 a b .
2 t 1 5
a 4t
2t
t
2
3
2
2
t
t
t
t
b 6
4 6 9 1 0
.
t
3
3
2
1
5
a b 9t
( L)
2
3
t
a 4 t 2 1 5
.
b 6t 3
2
Câu 13. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log 6 x log 9 y log 4 2 x 2 y . Tính tỉ số
x
?
y
Facebook Nguyễn Vương 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A.
x 2
.
y 3
B.
x
2
.
y
3 1
C.
x
y
2
.
3 1
D.
x 3
.
y 2
Lờigiải
Chọn B
x 6t
Giả sử log 6 x log 9 y log 4 2 x 2 y t . Ta có: y 9t
2 x 2 y 4t
(1)
(2) .
(3)
t
x 6t 2
0 .
y 9t 3
Lấy (1), (2) thay vào (3) ta có
Khi đó
2 t
2
(thỏa)
1 3
2t
t
3 1
3
2
2
t
t
t
.
2.6 2.9 4 2. 2 0
2 t
3
3
1 3
(loaïi)
3
Câu 14. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn log 25
b là các số nguyên dương, tính a b .
A. a b 14 .
B. a b 3 .
x
x y
x a b
log15 y log9
và
, với a ,
y
2
2
4
C. a b 21 .
Lờigiải
D. a b 34 .
Chọn D
x
log 25
2
y
15
x
x y
x
Ta có log 25 log15 y log 9
log 25
2
4
log x 15 2 log x
25
9
4
2
2t
Đặt t log 25
t
x
5
5
x 2.25t , ta được 2.25t 15t 4.9t 2 4
2
3
3
t
t log 5
3
1 33
x 2.25t
5 1 33
.
2.
t
4
y
15
2
3
Do đó a 1 , b 33 nên a b 34 .
Câu 15. Cho dãy số un thỏa mãn log3 2u5 63 2log 4 un 8n 8 , n * . Đặt
S n u1 u2 ... un . Tìm số nguyên dương lớn nhất n thỏa mãn
A. 18 .
B. 17 .
C. 16 .
Lờigiải
un .S2 n 148
.
u2n .Sn 75
D. 19 .
Chọn A
Ta có n * , log3 2u5 63 2log 4 un 8n 8 log 3 2u5 63 log 2 un 8n 8 .
2u 63 3t
2u5 63 3t
Đặt t log 3 2u5 63 5
( với n 5 )
t
t
un 8n 8 2
u5 32 2
1 3t 2.2t t 2 un 8n 4 . Khi đó u5 36
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Với un 8n 4 và u5 36 , ta có:
log 3 2u5 63 2 log 4 un 8n 8 log 3 2.36 63 2 log 4 8n 4 8n 8
log 3 9 2 log 4 4 2 2 đúng n * .
Ta có: un 1 un 8 n 1 4 8n 4 8 . Vậy un là cấp số cộng có số hạng đầu u1 4 , cơng
sai d 8 .
S n u1 u2 ... u n
u1 un .n 4n 2 .
2
2
Do đó
un .S 2 n 8n 4 .16n 148
n 19 .
u2 n .S n 16n 4 .4n 2 75
Dạng 2. Bài tốn tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất mũ – loagrit (sử dụng phương pháp
bất đẳng thức – biến đổi)
Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)
a, b 0, thì a b 2 ab . Dấu " " xảy ra khi: a b.
a, b, c 0, thì a b c 3. 3 abc . Dấu " " xảy ra khi a b c.
2
3
ab
abc
Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.b
và a.b.c
3
2
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki)
a b
a, b, x, y, thì: (a.x b. y ) 2 (a 2 b 2 )( x 2 y 2 ) . Dấu " " khi
x y
a, b, c, x, y, z thì: (a.x b. y c.z ) 2 (a 2 b 2 c 2 )( x 2 y 2 z 2 ) .
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi:
a b c
x y z
Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x b. y (a 2 b 2 )(x 2 y 2 ).
Hệ quả. Nếu a, b, c là các số thực và x, y, z là các số dương thì:
a 2 b 2 (a b) 2
a 2 b2 c 2 (a b c) 2
và
: bất đẳng thức cộng mẫu số.
x
y
x y
x
y z
x y z
Câu 1.
(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét các số thực dương a, b, x, y thoả mãn a 1, b 1 và
a x b y ab . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 y thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. 1;2 .
5
B. 2; .
2
C. 3; 4 .
5
D. ;3 .
2
Lời giải
Chọn D
Đặt t log a b . Vì a, b 1 nên t 0 .
1
1
1 log a b 1 t .
2
2
1
1 1
b y ab y logb ab 1 log b a 1 .
2
2 t
1
1 3 t 1 3
Vậy P x 2 y 1 t 1 2 .
2
t 2 2 t 2
Ta có: a x ab x log a ab
Facebook Nguyễn Vương 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
t 1
b a 2 .
2 t
3
5
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2 y bằng 2 thuộc nửa khoảng ;3 .
2
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Câu 2.
(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn
log 3 ( x y ) log 4 x 2 y 2 ?
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
Lời giải
D. Vô số.
Chọn B
Cách 1:
x y 3t
Đặt t log 3 ( x y ) log 4 x 2 y 2 2
1 .
2
t
x y 4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
2
9t x y 2 x 2 y 2 4t
9t
2 t log 9 2
4t
2
Như vậy,
x 2 y 2 4 t x 2 4t 4
log 9 2
1,89 x 1; 0;1
4
t
t 0
y 3
Trường hợp 1: x 0 2
.
t
y 1
y 4
t
t 0
y 3 1
Trường hợp 2: x 1 2
.
t
y 4 1 y 0
t
t 0
y 3 1
Trường hợp 3: x 1 2
x 2 y 2 5 mâu thuẫn với
t
t
y
3
1
2
y 1 4 1
x2 y 2 4
log 3 2
suy ra loại x 1 .
2
Vậy có hai giá trị x 0;1
Cách 2:
x y 3t
Đặt t log 3 ( x y ) log 4 x 2 y 2 2
1 .
2
t
x y 4
Suy ra x, y là tọa độ của điểm M với M thuộc đường thẳng d : x y 3t và đường tròn
C : x2 y 2 4t .
Để tồn tại y tức tồn tại M nên d , C có điểm chung, suy ra d O, d R trong đó
t
O 0;0 , R 2 nên
3t
2
2t t log 3 2 .
2
0 x y 3
Khi đó 1
log
x 2 y 2 4 32
log 3 2
2
2
.
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
Minh họa quỹ tích điểm M như hình vẽ sau
Ta thấy có 3 giá trị x có thể thỏa mãn là x 1; x 0; x 1 .
Thử lại:
y 3t
t 0
Trường hợp 1: x 0 2
.
t
y 4
y 1
t
t 0
y 3 1
Trường hợp 2: x 1 2
.
t
y 4 1 y 0
t
t 0
y 3 1
Trường hợp 3: x 1 2
x 2 y 2 5 mâu thuẫn với
t
t
y
3
1
2
y
1
4
1
x2 y 2 4
Câu 3.
log 3 2
2
suy ra loại x 1 .
(Mã 103 2018) Cho a 0, b 0 thỏa mãn log 4 a 5b1 16a 2 b 2 1 log8ab 1 4a 5b 1 2 . Giá
trị của a 2b bằng
A. 6
B.
27
4
20
3
Lời giải
C.
D. 9
Chọn B
Từ giả thiết suy ra log 4 a 5b 1 16a 2 b 2 1 0 và log 8ab 1 4a 5b 1 0 .
Áp dụng BĐT Cơsi ta có
log 4 a 5b 1 16a 2 b 2 1 log8ab 1 4a 5b 1 2 log 4 a 5b1 16a 2 b 2 1 .log8ab1 4a 5b 1
2log 8ab1 16a 2 b2 1 .
2
Mặt khác 16a 2 b 2 1 4a b 8ab 1 8ab 1 a, b 0 ,
suy ra 2 log 8 ab1 16a 2 b 2 1 2 .
Khi đó log 4 a 5b 1 16a 2 b 2 1 log8ab 1 4a 5b 1 2
log
8ab 1 log8ab1 4a 5b 1
4 a 5b 1
b 4a
3
log 24 a 1 32a 2 1 1
32a 2 24a
a
4 .
b 4a
b 4a
b 3
Facebook Nguyễn Vương 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Vậy a 2b
Câu 4.
3
27
6
.
4
4
(Mã 101 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn 2 x y.4 x y 1 3 . Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P x 2 y 2 4 x 6 y bằng
A.
33
.
4
B.
65
.
8
49
.
8
Lời giải
C.
D.
57
.
8
Chọn
B.
Cách 1:
Nhận xét: Giá trị của x, y thỏa mãn phương trình 2 x y 4 x y 1 3 1 sẽ làm cho biểu thức P
nhỏ nhất. Đặt a x y , từ 1 ta được phương trình
2
3
4a 1 .a 2 0 .
y
y
2
3
Nhận thấy y 4a 1 .a 2 là hàm số đồng biến theo biến a , nên phương trình trên có
y
y
nghiệm duy nhất a
3
3
x y .
2
2
65
1 1 65
2
Ta viết lại biểu thức P x y 4 x y 2 y . Vậy Pmin .
4 8 8
8
Cách 2:
Với mọi x, y khơng âm ta có
2 x y.4 x y 1 3 x y.4
x y
3
2
x y 3
3
3
x y y. 4 2 1 0 (1)
2
2
x y 3
3
3
0 thì x y y. 4 2 1 0 y. 40 1 0 (vơ lí)
2
2
3
Vậy x y .
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta được
Nếu x y
2
2
P x2 y 2 4 x 6 y x 3 y 2 13
2
1
13
65
2
x y 5 13 5 13
2
22
8
5
3
y
x y
4
Đẳng thức xảy ra khi
.
2
x 3 y 2
x 1
4
65
Vậy min P
.
8
Câu 5.
Xét các số thực x, y thỏa mãn 2 x
2
y 2 1
x 2 y 2 2 x 2 4 x . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4y
gần nhất với số nào dưới đây?
2x y 1
A. 2 .
B. 3 .
C. 5 .
Lời giải
P
D. 4 .
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021
Chọn B
Ta có 2 x
2
2
y 2 1
2
x 1 y 2
x2 y2 2 x 2 4x 2x
2
y 2 1 2 x
x2 y2 2x 2
2
2
x 1 y 2 1 . Đặt t x 1 y 2 t 0 , ta được BPT: 2t t 1 .
Đồ thị hàm số y 2t và đồ thị hàm số y t 1 như sau:
Từ đồ thị suy ra 2 t 1 0 t 1 x 1 y 1 . Do đó tập hợp các cặp số x; y thỏa
2
t
2
mãn thuộc hình trịn C tâm I 1;0 , R 1 .
Ta có P
4y
2 Px P 4 y P 0 là phương trình của đường thẳng d .
2x y 1
Do d và C có điểm chung d I , d R
3P
2
4P P 4
2
1 4 P 2 8 P 16 0
1 5 P 1 5 , suy ra giá trị nhỏ nhất của P gần nhất với 3 .
Câu 6.
Cho các số thực x , y thỏa mãn bất đẳng thức log 4 x2 9 y2 2 x 3 y 1 . Giá trị lớn nhất của biểu
thức P x 3 y là
A.
3
.
2
B.
2 10
.
4
5 10
.
4
Lời giải
C.
D.
3 10
.
4
Điều kiện 4 x 2 9 y 2 1 .
Trường hợp 1: 4 x 2 9 y 2 1 .
1
3
2 x 1
2
2
x 3 y 1 P . 1
Ta có 2 x 3 y 1
2
2
3 y 1
Trường hợp 2: 4 x 2 9 y 2 1.
2
2
1
1 1
Khi đó log 4 x2 9 y2 2 x 3 y 1 2 x 3 y 4 x 2 9 y 2 2 x 3 y .
2
2 2
1
1
1 3
P x 3 y 2 x 3 y .
2
2
2 4
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta được:
Facebook Nguyễn Vương 11
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
2
2
2
1
1
1 1
1
1 5
2 2 x 2 3 y 2 4 1 2 x 2 3 y 2 8 .
1
1
1 3 3 10
Suy ra P 2 x 3 y
. 2
2
2
2 4
4
1
1
5 10
x
2 2 x 2 3 y 2
8
x
6
y
1
20
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi
. Từ
4 x 12 y 3 10
3 10
y 5 2 10
x 3 y
30
4
1 và 2 suy ra giá trị lớn nhất của P là
Câu 7.
3 10
.
4
1
(Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho các số thực a, b thay đổi, thỏa mãn a , b 1. Khi
3
biểu thức P log 3a b log b a 4 9a 2 81 đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng a b bằng
A. 3 9 2
B. 9 2 3
C. 2 9 2
Lời giải
D. 3 3 2
Chọn A
2
1
Do a 4 9a 2 81 9a 2 a 2 9 0 đúng a ; Dấu bằng xảy ra khi a 3
3
2
Suy ra P log3a b log b 3a log3a b 2 logb 3a 2 2
a 3
a 3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
2
b 9
log 3a b 2 logb 3a
Vậy, khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì a b 3 9 2.
Câu 8.
(Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho các số thực
a, b, c thỏa mãn
1
3
0 a 1; b 1; c 1 . Gọi M là giá trị nhỏ nhất của
8
8
3
b 1 1
c 3 1
P log a logb log c a . Khẳng định nào sau đây đúng?
16
2 16 4
2 16 3
A.
3 M 2 .
B. M 2 .
C.
2 M 3 .
D. M 2 .
Lời giải
2
b 1 8b 1 1 8b 1 2b
b2 .
.
Ta có:
2 16
16
4 4
2
4
c 3 8c 3 1 1 1 8c 3 4c
c 4 .
. . .
2 16
16
2 2 2 2
4
3
b 1 1
c 3 1
Suy ra P log a log b log c a
16
2 16 4
2 16 3
3
1
1
2 3
log a b 2 log b c 4 log a c 3. 3
.
16
4
3
16 2
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
biểu
thức
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Vậy Pmin
Câu 9.
1
b 4
8b 1 1
3
1
8c 3 1
c
.
2
2
3
1
log a b log b c log c a
2
3
8
a
4
Cho các số thực a, b, m, n sao cho 2m n 0 và thoả mãn điều kiện:
log 2 a 2 b 2 9 1 log 2 3a 2b
4
2
9 m.3 n.3 2 m n ln 2m n 2 1 81
2
a m b n
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
B. 2 .
A. 2 5 2 .
2
C. 5 2 .
Lời giải
D. 2 5
log 2 a 2 b 2 9 1 log 2 3a 2b a 2 b2 9 6a 4b a 2 b2 6a 4b 9 0 1
Gọi A a; b . Từ 1 ta suy ra điểm A thuộc điểm đường trịn C có tâm I 3; 2 , bán kính
R 2 .
4
2 m n
2
2
9 m.3 n.32 m n ln 2m n 2 1 81 ln 2m n 2 1 81 3
4
2 m n
4
2 m n
4
4
2 m n
81 .
2 2m n .
4 3
2m n
2m n
4
2m n 2 )
(Đẳng thức xảy ra khi: 2m n
2m n
Theo bất đẳng thức Cô-si: 2m n
2
2
2
Từ ln 2m n 2 1 0 2m n 2 1 1 2m n 2 0
2m n 2 0 2 .
Gọi B m; n . Từ 2 ta suy ra điểm B thuộc đường thẳng : 2 x y 2 0
Ta có: P
2
a m b n
2
AB
min P min AB d I ; R
3.2 2 2
22 12
2 2 5 2.
Facebook Nguyễn Vương 13
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
1
3
Câu 10. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0 a 1; b 1; c 1 . Gọi M là giá trị nhỏ nhất của
8
8
3
b 1 1
c 3 1
biểu thức P log a logb log c a . Khẳng định nào sau đây đúng?
16
2 16 4
2 16 3
A.
3 M 2 .
B. M 2 .
C.
2 M 3 .
D. M 2 .
Lời giải
Chọn C
2
b 1 8b 1 1 8b 1 2b
b2 .
.
Ta có:
2 16
16
4 4
2
4
c 3 8c 3 1 1 1 8c 3 4c
c 4 .
. . .
2 16
16
2 2 2 2
4
3
b 1 1
c 3 1
Suy ra P log a logb log c a
16
2 16 4
2 16 3
3
1
1
2 3
log a b 2 log b c 4 log a c 3. 3
.
16
4
3
16 2
Vậy Pmin
Câu 11.
1
b 4
8b 1 1
3
1
c
.
8c 3 1
2
2
3
1
log a b log b c log c a
2
3
8
a
4
(Chuyên Lam Sơn - 2020) Xét các số thực dương a , b, c lớn hơn 1 ( với a b ) thỏa mãn
4 log a c logb c 25log ab c . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức log b a log a c log c b bằng
A. 5 .
B. 8 .
17
.
4
Lời giải
C.
D. 3 .
Chọn A
Đặt log c a x, log c b y .
Vì a, b, c 1 và a b nên suy ra log c a log c b hay x y 0 .
1
1
1
4 4
25
Từ giả thiết suy ra: 4
25.
log c ab
x y x y
log c a log c b
x
2
y 4
x y
25
x y 17
x 4 y ( vì x y ).
y x 4
xy
4
x 1
y 4
Ta có: log b a log a c log c b
x 1
log c a
1
log c b y
log c b log c a
y x
x 1
1
y 42
. y 5 .
y 4y
4y
1
và x 2 , tức là a c 2 ; c b 2
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho bằng 5 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi y
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Cách khác
Từ giả thiết suy ra: 4 log a b.log b c log b c 25.log ab b.log b c
log b c 0
log b c
.
4 log b c log a b 1 25
25
4 log a b 1
log b ab
log b a 1
Do a, b, c 1 nên log b c 0 ; suy ra 4 1 log a b 1 log b a 25 log a b
1
.
4
Khi đó: log b a log a c log c b 4 2 log a c.log c b 4 2 log a b 5 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 5 đạt được khi và chỉ khi a b 4 , a c 2 , c b 2 .
Câu 12. (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Xét các số thực dương a , b , x , y thỏa mãn
a 1 , b 1 và a 2 x b 3y a 6 b 6 . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4 xy 2 x y có dạng
m n 165 (với m, n là các số tự nhiên), tính S m n .
A. 58 .
B. 54 .
C. 56 .
Lời giải
D. 60
Chọn C
Theo bài ra ta có: a
2x
b
3y
2x log a a 6 b 6
a 2x a 6 b 6
2x 6 6log a b
a b 3y
6 6
6 6
b a b
3y 6 6log b a
3y log b a b
6
6
x 3 1 log a b
y 2 1 log b a
Vì a , b 1 nên log a b log a 1 0 .
Do đó:
P 4 xy 2 x y 24(1 log a b)(1 log b a ) 6 6 log a b 2 2 log b a
52 30 log a b 22 log b a 52 2 30 log a b.22 log b a 52 4 165
11
ba
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là m n 165 khi 30 log a b 22 logb a log a b
15
m 52
m n 56 .
Ta có:
n 4
Câu 13.
11
15
(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x, y thỏa mãn
log 2 x 1 log 2 y 1 1 . Khi biểu thức P 2 x 3 y đạt giá trị nhỏ nhất thì 3x 2 y a b 3
với a, b . Tính T ab ?
A. T 9 .
B. T
7
.
3
C. T
5
.
3
D. T 7 .
Lời giải
Chọn C
x 1 0
x 1
Điều kiện:
y 1 0
y 1
Khi đó: log 2 x 1 log 2 y 1 1 x 1 y 1 2 y 1
2
2
y
1
x 1
x 1
Facebook Nguyễn Vương 15
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
6
6
3 2 x 1
5
x 1
x 1
Cách 1: Dùng bất đẳng thức
Suy ra: P 2 x 3 y 2 x
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: 2 x 1
2 x 1
6
4 3 P 4 3 5
x 1
Dấu “=” xảy ra 2 x 1
y
6
6
2 2 x 1 .
x 1
x 1
x 1 3 N
6
2
x 1 3 x 1 3
x 1
x 1 3 L
2
2 3 3
.
1
3
3
2 3 3
5
5
5
3 a 1; b T ab .
Do đó: 3x 2 y 3 1 3 2
1
3
3
3
3
Cách 2: Dùng bảng biến thiên
6
6
3 P' 2
Ta có: P 2 x
2
x 1
x 1
x 1 3 N
P' 0
x 1 3 L
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Pmin 4 3 5 x 1 3 y
2 3 3
.
3
2 3 3
5
5
5
3 a 1; b T ab .
Do đó: 3x 2 y 3 1 3 2
1
3
3
3
3
Câu 14.
(Chuyên
Phan
Bội
Châu
-
Nghệ
An
-
2020)
Cho
a 0, b 0 thỏa mãn
log 4 a 5b 1 16a b 1 log8ab 1 4a 5b 1 2 . Giá trị của a 2b bằng
2
A.
2
27
.
4
B. 6 .
20
.
3
Lời giải
C.
D. 9 .
Chọn
A.
Ta có: a 0, b 0
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
2
2
4a 5b 1 1 log 4a 5b1 16a b 1 0
Nên
8ab 1 1
log8ab1 4a 5b 1 0
P log 4 a 5b 1 16a 2 b 2 1 log 8 ab 1 4a 5b 1 2 log 4 a 5b 1 16a 2 b 2 1 .log 8 ab 1 4a 5b 1
P 2 log 8 ab 1 16a 2 b 2 1
Mặt khác:
16a 2 b 2 1 2 16a 2b 2 1 8ab 1 P 2 log 8 ab 1 8ab 1 2
3
16a 2 b 2
4a b
a
4
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
8ab 1 4a 5b 1 2b 1 6b 1 b 3
Do đó a 2b
Câu 15.
27
.
4
(Chuyên Sơn La - 2020) Cho a, b, c là các số thực lớn hơn 1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
4040
1010
8080
bằng
log bc a log ac b 3log ab 3 c
A. 2020 .
B. 16160 .
C. 20200 .
Lời giải
D. 13130 .
Chọn C
4040
1010
8080
4040
1010
8080
3
1
1
log bc a log ac b 3log ab c 2 log bc a
log ac b 3. log ab c
2
3
2020 log a bc 2020 log b ac 8080 log c ab
Ta có P
2020 log a b log a c 2020 log b a log b c 8080 log c a log c b
2020 log a b 2020 log b a 2020 log a c 8080 log c a 2020 log b c 8080 log c b
Vì a, b, c 1 nên các số log a b, log b a, log a c, log c a, log b c, log c b 0
Khi đó ta có
2020 log a b 2020 log b a 2 20202 log a b log b a 4040
2020 log a c 8080 log c a 2 40402 log a c log c a 8080
2020 log b c 8080 log c b 2 4040 2 log b c log c b 8080
Suy ra P 4040 8080 8080 20200
Câu 16.
(Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho a, b, c là các số thực dương khác 1 thỏa mãn
c
c
2 log b 3 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
b
b
P log a b log b c . Giá trị của biểu thức S 3m M bằng
log 2a b log b2 c log a
A. 16 .
B. 4 .
C. 6 .
Lời giải
D. 6 .
Chọn C
Biến đổi đẳng thức đề bài ta được
c
c
log 2a b log b2 c log a 2 logb 3 log 2a b logb2 c log a c log a b 2 logb c 1
b
b
2
2
log a b logb c log a b.logb c log a b 2 logb c 1
Facebook Nguyễn Vương 17
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Đặt u log a b; v log b c ta có phương trình
u 2 v 2 uv u 2v 1
u 2 2uv v 2 u 2 2u 1 v 2 4v 4 3
(u v)2 (u 1)2 (v 2)2 3 (*)
Ta có bất đẳng thức quen thuộc x 2 y 2
1
( x y ) 2 dấu bằng xảy ra khi x y , áp dụng bất
2
đẳng thức này ta có
1
1
(u 1) 2 (v 2) 2 (u 1 v 2)2 (u 1) 2 (v 2)2 (u v 1)2 (**)
2
2
1
Từ (*) và (**) ta có 3 (u v )2 (u v 1) 2 hay
2
1
5
3 P 2 ( P 1)2 3P 2 2 P 5 0 1 P
2
3
5
Vậy m 1, M suy ra S m 3M 6 .
3
Câu 17.
(Sở Hưng Yên - 2020) Cho các số thực x, y 1 và thỏa mãn điều kiện xy 4 . Biểu thức
P log 4 x 8 x log 2 y 2
sau đây đúng
A. T 131 .
y2
4
4
đạt giá trị nhỏ nhất tại x x0 , y y0 . Đặt T x0 y0 mệnh đề nào
2
B. T 132 .
C. T 129 .
Lời giải
D. T 130 .
Chọn D
Ta có P log 4 x 8 x log 2 y 2
y2
y 2 log 2 8 x log 2 2
3 log 2 x 2log 2 y 1
.
2
2 log 2 x 2log 2 y 1
2 log 2 4 x log 2 2 y
3 a 2b 1
1
2
.
2 a 2b 1 2 a 2b 1
Vì xy 4 suy ra log 2 x log 2 y 2 a b 2 0 a 2 b
Đặt log 2 x a , log 2 y b ( a, b 0 ), ta được P
1
2
1
2
.
2 a 2b 1 4 b 2b 1
1
2
Xét hàm f (b)
trên 0; 2 ,ta có:
4 b 2b 1
1
4
f (b)
2
2
4 b 2b 1
Suy ra P
2
f b 0 2b 1 4(4 b) 2 0 b
Ta có: f 0
7
.
4
9
9
7 8
, f 2 , f .
4
10 4 9
1
1
1
log 2 x
4
4
x
2
x
2
8
0
4
Suy ra trên đoạn 0; 2 ta có: min P
7
7
7
9
y 24
y 24
log y
0
2
4
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
1
4
4
7
4
4
Vậy T x04 y04 2 2 130 .
Câu 18.
(Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn abc 10 . Biết giá trị lớn nhất của
biểu thức F 5 log a.log b 2 log b.log c log c.log a bằng
giản. Tổng m n bằng
A. 13.
B. 16.
m
m
với m , n nguyên dương và tối
n
n
C. 7.
Lời giải
D. 10.
Chọn C
x
log a x a 10
Đặt log b y b 10 y , mà abc 10 10 x.10 y.10 z 10 x y z 1 * .
log c z
z
c 10
Ta có F 5log a.log b 2 log b.log c log c.log a 5 xy 2 yz zx .
Từ * y 1 x z , thay vào biểu thức F , ta được:
F 5 x 1 x z 2 1 x z z xz 2 z 2 5 x 2 6 xz 2 z 5 x
9 2 1
1
5
x 6 xz 2 z 3x x 2 2 x 2
2
2
2
2
9
1
3 1
5
2 z 2 x 2 3xz z x x 2 4 x 4
4
4
2 2
2
2 z 2
2
3
1 1
5 5
2
2 z x x 2 .
2
2 2
2 2
3
x y z 1
y 2
3
1
5
Vậy max F khi và chỉ khi z x 0 x 2 .
2
2
2
5
x 2 0
z
2
Vậy m 5, n 2 m n 5 2 7.
Câu 19.
(Lê
Lai
-
Thanh
Hóa
-
2020)
Cho
a 0, b 0
thỏa
mãn
log10 a 3b 1 25a 2 b 2 1 log10 ab 1 10a 3b 1 2 . Giá trị biểu thức a 2b bằng?
A. 6.
B.
11
.
2
5
.
2
Lời giải
C.
D. 22.
Chọn B
Với a 0, b 0 ta có 25a 2 b 2 1 10ab 1 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b 5a .
Suy ra log10 a 3b 1 25a 2 b 2 1 log10 a 3b 1 10ab 1 , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi b 5a .
Mặt khác, ta lại có với a 0, b 0 thì log10 a 3b1 10ab 1 0,log10 ab1 10a 3b 1 0 .
Do đó:
log10 a 3b 1 25a 2 b 2 1 log10 ab 1 10a 3b 1 log10 a 3b 1 10ab 1 log10 ab 1 10a 3b 1
2 log10 a 3b1 10ab 1 .log10 ab1 10a 3b 1 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Facebook Nguyễn Vương 19
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
5
b
b 5a
b
5
a
2
log10 a 3b 1 10ab 1 log10 ab 1 10a 3b 1
10a 3b 1 10ab 1
a 1
2
11
a 2b
2
Câu 20.
(Liên trường Nghệ An - 2020) Cho các số thực dương a; b; c khác 1 thỏa mãn
c
c
log a 3 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
b
ab
P log a ab log b bc . Tính giá trị biểu thức S 2m2 9M 2 .
log 2a b log b2 c 2 log b
A. S 28 .
B. S 25 .
C. S 26 .
Lời giải
D. S 27 .
Chọn D
Đặt x loga b; y logb c, x; y 0 loga c xy P loga ab logb bc x y x P y
log 2a b logb2 c 2logb
c
c
log a 3 x 2 y 2 2 y 2 xy 3 x
b
ab
2
Khi đó ta có P y y 2 2 y 2 P y y 3 P y
.
y 2 P 3 y P 2 P 1 0
Phương trình có nghiệm khi 0 3P 2 2 P 5 0 1 P
5
5
m 1; M S 27
3
3
1
1
1
log 2 x
4
4
x
2
x
2
8
0
4
Nên giá trị nhỏ nhất của P là
T x0 4 y0 4 130
7
7
9
log y 7
y 24
4
y 2
0
2
4
Câu 21.
(Lý
Nhân
Tông
-
Bắc
Ninh
-
2020)
Cho
a 0, b 0
thỏa
mãn
log 4 a5b1 (16a2 b2 1) log8ab1 (4a 5b 1) 2 . Giá trị của a 2b bằng
A. 9 .
B. 6 .
27
.
4
Lời giải
C.
D.
20
.
3
Chọn C
Theo bất đẳng thức Côsi với a 0, b 0 ta có:
16a2 b2 1 2 16a2 b2 1 8ab 1 16a2 b2 1 8ab 1 (*)
Do 4a 5b 1 1 nên từ (*) có:
log 4 a5 b1 (16a2 b2 1) log8 ab1 (4a 5b 1) log 4 a5b1 (8ab 1) log8 ab1 (4a 5b 1)
log 4 a5b1 (16a2 b2 1) log8ab1 (4a 5b 1) log4 a5b1 (8ab 1)
Mặt khác 4a 5b 1 1 và 8ab 1 1 nên: log 4 a5b1 (8ab 1)
1
log 4 a5 b1 (8ab 1)
1
2 .
log4 a5 b1 (8ab 1)
Suy ra log 4 a5b1 (16a2 b2 1) log8ab1 (4a 5b 1) 2 .
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
16a2 b2
b 4a
a 3
2
Đẳng thức xảy ra khi 4a 5b 1 8ab 1 2b 6b 0
4 .
a, b 0
a, b 0
b 3
Vậy a 2b
Câu 22.
27
.
4
(Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Xét các số thực a , b, x, y thỏa mãn a 1, b 1 và
ax by
a
. Giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2 y thuộc tập nào dưới đây?
b
1
A. 0; .
2
1
B. 1; .
2
3
C. 1; .
2
Lời giải
3 5
D. ; .
2 2
Chọn A
1
x
a
a
a
x log a
x 2 1 log a b
b
b
Từ giả thiết ta có:
b y a
y log a
y 1 1 1
b
2 log a b
b
b
Đặt t log a b . Vì a 1, b 1 , nên t 0 .
Khi đó: P
1
1
3 t 1 3
t 1
3
t 1 32 2
1 t 1 2.
2
t
2
2
t
2
2
t
2
2
t
2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Câu 23.
3 2 2
t 1
1
0, 086 0; .
t 2 t 0 . Pmax
2
2 t
2
(Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho biểu thức P 3 y 2 x 3 (1 4 2 x y 1 ) 2 2 x y 1 và biểu thức
Q log y 3 2 x 3 y . Giá trị nhỏ nhất của y để tồn tại x đồng thời thỏa mãn P 1 và Q 1 là số y0 .
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. 4 y0 1 là số hữu tỷ. B. y0 là số vô tỷ.
C. y0 là số nguyên dương.
D. 3 y0 1 là số tự nhiên chẵn.
Lời giải
Chọn A
y 2x 3 0
Điều kiện
.
y 0
P 3 y 2 x 1.(1 42 x y 1 ) 22 x y 1 3 y 2 x 1.(1
Đặt t y 2 x 1 ta có P 3t (1
Cho P 1 3t (1
1
4
2 x y 1
)
1
2
y 2 x 1
.
1
1
) t .
t
4
2
1
1
) t 1 12t 3t 4t 2t (1).
t
4
2
* Với t 0 thỏa mãn (1).
* Với t 0 ta có
12t 4t
t
t
t
t
12 3 4 2 (1) thỏa mãn.
t
t
3 2
Facebook Nguyễn Vương 21
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
12t 4t
t
t
t
t
* Với t 0 ta có
12 3 4 2 (1) không thỏa mãn.
t
t
3 2
Vậy (1) t 0 hay y 2 x 1 0 (a).
Vì
y 2x 1 0
y 2x 3 2 1
nên
Q log y 2 x 1 3 y 1 3 y y 2 x 3 2 x 2 y 3 (b).
y 2x 1 0
Từ (a), (b) và điều kiện ta có 2 x 2 y 3 .
y 0
Cặp số ( x; y) thỏa mãn hệ được biểu diễn ở miền khơng bị gạch ở hình bên. Điểm A thuộc miền
2
khơng bị gạch và có ymin .
3
2
11
Vậy y0 . Do đó 4 y0 1 .
3
3
Câu 24.
(Trường VINSCHOOL - 2020) Cho dãy số un có số hạng đầu u1 1 thỏa mãn
log 22 5u1 log 22 7u1 log 22 5 log 22 7 và un 1 7un với mọi n 1. Giá trị nhỏ nhất của n để
un 1111111 bằng:
A. 11 .
B. 8 .
C. 9 .
Lời giải
D. 10 .
Chọn D
Ta có un 1 7un , n 1 un là một cấp số nhân với số hạng đầu là u1 , công bội q 7 .
2
2
log 22 5u1 log 22 7u1 log 2 5 log 2 u1 log 2 7 log 2 u1
log 22 5 2.log 2 5.log 2 u1 log 22 u1 log 22 7 2.log 2 7.log 2 u1 log 22 u1
2log 22 u1 2. log 2 5 log 2 7 .log 2 u1 log 22 5 log 22 7
2 log 22 u1 2.log 2 35.log 2 u1 log 22 5 log 22 7 log 22 5 log 22 7
2log 22 u1 2.log 2 35.log 2 u1 0 2log 2 u1. log 2 u1 log 2 35 0
u1 1 loai
log 2 u1 0
1
u1
nhan .
35
log 2 u1 log 2 35 0
log 2 u1 log 2 35
Số hạng tổng quát của dãy số là un u1.q n 1
1 n 1
1 n 1 1 n 2
.7
.7 .7 .
35
5.7
5
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
1
un 1111111 .7 n 2 1111111 7 n 2 5555555 n 2 log 7 5555555
5
n log 7 5555555 2 . Vì n nên giá trị nhỏ nhất của n bằng 10 .
Câu 25.
(Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x, y thỏa mãn
log 2 x 1 log 2 y 1 1 . Khi biểu thức P 2 x 3 y đạt giá trị nhỏ nhất thì 3x 2 y a b 3
với a, b . Tính T ab .
B. T
A. T 9 .
7
.
3
C. T
5
.
3
D. T 7 .
Lời giải
Chọn C
x, y 1
x 1
Ta có log 2 x 1 log 2 y 1 1
2
2 .
y
1
y
1
x 1
x 1
6
2
1 2 x 1
5 2 12 5 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ
Khi đó P 2 x 3 y 2 x 3
x 1
x 1
khi
x 1
x 1 3
6
2
5 3
1
.
2 x 1
2 3x 2 y 3 1 3 2 1
x 1
3
3
y 1
3
2
y
1
x 1
5
5
Vậy a 1, b nên T .
3
3
Câu 26. Xét các số thực a , b , c 0 thỏa mãn 3a 5b 15 c . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P a 2 b2 c2 4(a b c) thuộc tập hợp nào dưới đây?
A. 1; 2 .
C. 2; 4 .
B. 5; 1 .
D. 4;6 .
Lời giải
Chọn B
a
b
Đặt 3 5 15
c
a log 3 t
t 0 b log 5 t . Khi đó
c log t
15
2
P log32 t log52 t log15
t 4(log3 t log5 t log15 t )
2
log 32 t 1 log 52 3 log15
3 4 log 3 t 1 log5 3 log15 3
2
X 2 1 log 52 3 log15
3 4 X 1 log 5 3 log15 3 , (với X log3 t )
2 1 log5 3 log15 3
Pmin P
4 ,
2
2
1 log5 3 log15 3
khi log3 t
2 1 log5 3 log15 3
2
1 log52 3 log15
3
t
21log5 3log15 3
2 3
1log52 3log15
3
Suy ra
Facebook Nguyễn Vương 23
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
a
2 1 log5 3 log15 3
2
1 log52 3 log15
3
b log5
21log5 3log15 3
2 3
1log52 3log15
3
c log15
21log5 3log15 3
2 3
1log52 3log15
3
.
Câu 27. Xét các số thực dương a , b , c , x , y , z thỏa mãn a 1 , b 1 , c 1 và a x b y c z abc .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y z
A. 10;13 .
B. 7;10 .
1
thuộc tập hợp nào dưới đây?
2
C. 3;5 .
D. 5;7 .
Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết ta có
1
1
1
x 1 log a b loga c , y 1 log b a log b c , z 1 logc b logc a . Khi đó ta có
2
2
2
2 P 4 log a b log b a log a c log c a log b c log c b .
Vì a 1 , b 1 , c 1 nên log a b 0 , log b c 0 , log c a 0 , log b a 0 , log c b 0 , log a c 0 .
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta được
loga b logb a 2 loga b.logb a hay log a b log b a 2 .
Tương tự log a c logc a 2 và log b c logc b 2 .
Do đó 2P 10 hay P 5 . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c .
Vậy giá trị nhỏ nhất Pmin 5 .
2
2
Câu 28. Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a 1, b 1 và a x b y a.b . Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P x. y là
A. P
9
.
4
B. P
6
.
2
C. P
3
.
2
D. P
4
.
9
Lời giải
Chọn B
1
2 1
x log a b
2
2
a x b y a.b
1
y 2 log a 1
b
2
2
2
2
1 1
1 1 1
1
2
1
+) xy log a b log b a log a b log b a
2 2
2 4 2
4
2
3
( a, b 1 log a b 0,logb a 0 ).
2
Vì x 0, y 0 xy
6
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b .
2
Câu 29. Xét các số thực dương a , b, x, y thỏa mãn a 1, b 1 và a
x2
y
y2
b x ab . Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P x. y là
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương />
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
A. P 2 .
B. P 4 .
C. P 3 .
Lời giải
D. P 1 .
Chọn B
x
2
y2
a y b x
x2
y 1 log a b
.
ab
2
y
1 log a
b
x
Ta có xy
x2 y 2
. 1 log a b 1 log a b
y x
1 1 log a b log b a
4 ( a, b 1 log a b 0, logb a 0 ).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b .
Câu 30. Xét các số thực dương a , b, c , x, y , z thỏa mãn a 1, b 1, c 1, y 2 và a x 1 b y 2 c z 1 abc .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y z là
A. P 13 .
B. P 3 .
C. P 9 .
Lời giải
D. P 1 .
Chọn C
a
x 1
b
y 2
c
z 1
x 1 1 log a b log a c
abc y 2 1 log b a log b c .
z 1 1 log c b log c a
Ta có: x 1 y 2 z 1 3 log a b log a c logb c logb a log c b log c a
x y z 3 6
P 9 ( a, b, c 1 log a b 0,log a c 0,logb a 0,logb c 0,logc a 0,logc b 0 ).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c .
Dạng 3. Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đặc trưng) giải các bài toán logarit
1. Định lý: Nếu hàm số y f x đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên a; b thì
* u; v a; b : f u f v u v .
* Phương trình f x k k const có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng a; b .
2. Định lý: Nếu hàm số y f x đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên a; b , đồng thời
lim f x . lim f ( x) 0 thì phương trình f x k k const có duy nhất nghiệm trên a; b .
xa
x b
3. Tính chất của logarit:
1.1. So sánh hai logarit cũng cơ số:
Cho số dương a 1 và các số dương b, c .
1.2. Hệ quả:
Cho số dương a 1 và các số dương b, c .
Khi a 1 thì log a b loga c b c .
Khi a 1 thì log a b 0 b 1 .
Khi 0 a 1 thì log a b loga c b c .
Khi 0 a 1 thì log a b 0 b 1 .
log a b loga c b c .
Facebook Nguyễn Vương 25