Bài soạn Đề + đáp án biểu điểm kì thi HSG huyên Mai Sơn 2011

UBND HUYN MAI SN
PHềNG GD&T
CNG HO X HI CH NGHA VIT NAM
c lp - T do - Hnh phỳc
chớnh thc
THI CHN HSG LP 9 - CP THCS NM HC 2010 2011
Mụn: Toỏn Vũng 1
Ngy thi: 24/01/2011
(Thi gian: 150 phỳt, khụng k thi gian giao )
Câu 1: (6 điểm) Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
a)
2 3 2 5 2 2 5 2 2x x x x+ + + =
b)
2 2
2 2
2 3 0
2 0
xy y x
y x y x

+ =


+ + =


Câu2: (4 điểm)
a) Cho biết
2
2
1 3

x
x x
=
+ +
. Hãy tính giá trị của biểu thức
2
4 2
1
x
x x+ +
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
4 2
1
x
x x+ +
Câu 3: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, có
à
A =
. H là trực tâm tam giác. Tính tỉ số
AH
BC
theo

.
Câu 4: (3 điểm)
Có 37 cây hồng có số quả bằng nhau, 17 quả hỏng, còn lại chia đều cho 79
ngời. Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy quả?
Câu 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm O, đờng kính
AH, đờng tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E và F.
a) Chứng minh ba điểm E, O, F thẳng hàng.
b) Các tiếp tuyến của đờng tròn tâm O kẻ từ E và F cắt cạnh BC tơng ứng ở
M và N. Chứng minh tam giác MON là tam giác vuông.
c) Biết AB = 8 cm, AC = 14 cm. Tính diện tích tứ giác MEFN?
------------- Ht -------------
(Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm)
UBND HUYN MAI SN CNG HO X HI CH NGHA VIT NAM
PHềNG GD&T c lp - T do - Hnh phỳc
P N THI CHN HSG LP 9 - CP THCS NM HC 2010 2011
Mụn: Toỏn Vũng 1 - Ngy thi: 24/01/2011
Câu 1: (6 điểm) Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
a)
2 3 2 5 2 2 5 2 2x x x x+ + + =
(1) Điều kiện: x
5
2


Nhân hai vế với
2
ta có (1)

(2 5) 6 2 5 9 2 5 2 2 5 1 4x x x x + + + + =

2 2
( 2 5 3) ( 2 5 1) 4x x + + =

2 5 3 2 5 1 4x x + + =

(2)
*) Với x

3 thì (2) có dạng:
2 5 3 2 5 1 4x x + + =
2 5 1x =
2 5 1 3x x = =
(Thoả mãn x

3 )
*) Với
5
3
2
x <
thì (2) có dạng:
2 5 3 1 2 5 4x x + + =
luôn thoả mãn.
Vậy nghiệm của (1) là:
5
3
2
x
(3 điểm)
b)
2 2
2 2
2 3 0
2 0
xy y x

y x y x

+ =


+ + =



2 2
2 2
2 3 (1)
2 (2)
xy y x
x y x y

=



+ =



*) Ta thấy x = 0 ; y = 0 là một nghiệm của hệ.
*) Với
0; 0x y
. Chia (1) cho y
2
, chia (2) cho x

2
ta đợc:
2
2
2
2
2
3 (3)
2
(4)
x
x
y y
y
y
x x

=




+ =


Nhân hai phơng trình với nhau ta đợc hệ (3), (4) tơng đơng với:
2
2 2
2
2

3
2 3 (1)
4
3(5)
2 2
3
x
x
xy y x
y y
xy
x y
xy
y x

=

=




=



+ =

ữ
ữ

(5) tơng đơng với (xy)
2
3xy 4 = 0
1
4
xy


=


Thay xy = -1 hay y = -
1
x
vào (1) ta đợc:
2 3
1 2
3 1 1 1x x x y
x x
+ = = = =
Thay xy = 4 hay y =
4
x
vào (1) ta đợc:
2 3
3

3
16 8 8 2
3 2 3
3
3
x x x y
x x
= = = =
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm là x = y = 0; x = -1, y = 1 và
3
3
2
2 3
3
x y= =
(3 điểm)
Câu2: (4 điểm)
a) Từ
2
2
1 3
x
x x
=
+ +
2
1 3
2
x x
x

+ +
=
Hay
1 3 1 5
1
2 2
x x
x x
+ + = + =
2
4 2
2
2 2
1 1 1 25 21
1 1 1
4 4
+ +

= + + = + = =
ữ

x x
x x
x x x

2
4 2
4
1 21
x

x x
=
+ +
(2 điểm)
b) P(x) =
2
4 2
1
x
x x+ +
P(x) > 0 với mọi x

0, P(0) = 0
Với x

0 ta có
2
2
1 1
1 3
( )
x
P x x
= + +
( vì
2
2
1
x
x

+

2)
Dấu = đạt đợc khi và chỉ khi x
2
= 1
1
1 ( )
3
x P x =
Hay P(x) đạt giá trị
lớn nhất bằng
1
3
khi và chỉ khi
1x
=
(2 điểm)
Câu 3: (3 điểm)
Vẽ đờng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC.
Vẽ đờng kính CE ta có:

ã ã
BEC BAC

= =
.
EB

BC

EB // AH
EA

AC

EA // BH

EBHA là hình bình hành. Vậy EB = AH.
BC = EB. tan

= AH.tan

cot
.tan
AH AH
BC AH


= =


Câu 4: (3 điểm)
Gọi a là số quả của mỗi cây hồng, và b là số quả của mỗi ngời đợc chia.
Ta có phơng trình: 37.a 17 = 79.b với a,b

N*
a =
79. 17 5. 17
2.

37 37
b b
b
+ +
= +
Do a,b

N* nên
5. 17
37
b +
= c

N*
2( 1)
7. 3
5
c
b c

= +
Do b, c

N* nên 2(c 1) chia hết cho 5.
5 1( )c d d N = +
Do đó ta có: a = 79.d +9
b = 37.d + 4
a,b

N*;

d N 9a
a đạt giá trị nhỏ nhất là 9 khi d = 0.
A
C
E
B
H
O
.
à
à
.
Vậy mỗi cây hồng có ít nhất 9 quả.
Câu 5: (4 điểm)
a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật vì :
à
à
à
0
90A E F= = =
Mà O là trung điểm của AH
nên E, O, H thẳng hàng.
(1 điểm)
b) ME = MH, OE = OH

OM là trung
trực của EH.
OM

EH, AE

EH

AE//OM Tơng tự:
ON//AF
ã
ã
0
90MON BAC = =
Vậy tam giác OMN vuông.
(1,5 điểm)
c) Tam giác AHB có OM là đờng trung
bình
1
2
OM
AB
=
MEO MHO
NFO NHO
MEO MHO S S
NFO NHO S S
= =
= =
V V
V V
Vậy: S
MEFN
= 2S
MON

mà
1
4
OMN
ABC
S
S
=
nên
1 1
4 2
OMN ABC MEFN ABC
S S S S= =


2
1 8.14
. 28( )
2 2
cm= =
(1,5 điểm)
Giỏo viờn ra : Trn Th Thu Hin
Trnh Th Thanh H
A
O
B
C
H
E
N

M
F