BDT Cosi hay nguyen ly chon diem roi

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (166.55 KB, 28 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bất đẳng Cauchy có một phương pháp khá hay và hấp dẫn đố là
Phương pháp:” Điểm rơi Cauchy”.Mặc dầu khơng ít sách nói về
phương pháp này nhưng nhìn chung thì nhiều bạn cịn chưa hiểu về
cơ bản của phương pháp này.

trước hết tôi xin trinh bày sơ lược về Bất đẳng thức(BĐT) này và
phương pháp điểm rơi:

1.Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số dương, a1,a2,a3,……,an..Ta có:
n

n
n a .a .a ...a

n
a
a
a
a
3
2
1
3
2
1 ...






(Bất đẳng thức CauChy cổ điển).
Hoặc có thể phát biểu dạng khác như sau:







n
i
n
i

i n a

a

1
1

. . Từ đây ta suy ra một dạng hay sử dụng đó là:

(1)

Dấu bằng trong các Bất đẳng
thức trên xẩy ra khi và chỉ khi a1=a2….=an.

Và rõ ràng để sử dụng được BĐT CauChy thì ta phải chú ý đến
“Điều kiện xẩy ra dấu bằng”,và vì thế phương pháp “Điểm rơi

CauChy” đống vai trị hết sức quan trọng,và khi học nó chúng ta sẽ
thấy BĐT CauChy căn bản chỉ xoay quanh “Điểm rơi CauChy”mà

thơi.Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ để thấy rõ điều đó:

V

í dụ 1: Cho a2 tìm Giá trị nhỏ nhất (Min) của P= a+

a

.

Suy nghĩ t ì m lời giải: Rõ ràng PMin=3/2 khi a = 2.Thế nhưng

nếu áp dụng BĐT CauChy trực tiếp thì ta sẽ thấy P2 1a 2

a
Nhưng dễ thấy là dấu “=” không xảy ra vì a2.

Do đó ta phải sử dụng BĐT CauChy một cách khéo léo và tinh tế.
Như ta thấy thì nếu a=2 thì 1/a =1/2, do vậy mà ta tách ;
4
3
4

a
a

a  ư

P=
2
5
1
.
4
2
4
2
*
3
1
4
4
3





a
a
a
a

a (Theo BĐT CauChy và kết hợp a>=2).

Dấu “=” xảy ra khi a=2.Vậy PMin=5/2 khi a=2.

V

í dụ 2: Cho x,y>0, 1 1

y

x ;Tìm Min A=

x
y
y
x

 ;

(Đề thi vào 10 chuyên Phan Bội Châu 
Nghệ An 2007-2008(vòng1))

Suy nghĩ v à t ì m lời giải: Đây là một dang BĐT đối xứng

vì vậy ta dự đốn dấu”=” xảy ra khi x =1/2,y=2;
Email:

Gmail:

n

n a a a

n
a

a

a      ...

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2_tempfile_52822.doc1A1

Khi x=1/2,y=2 thì x/y=1/4 và y/x = 4 vì vậy để dùng được
BĐT CauChy thì ta phải tách:

x
y
x
y
x
y
16
15
16 

 ; Trước hết theo BĐT

CauChy,ta có: 1 1  12  41

y
x
y
x
y

x ;vì thế mà khi tìm Min A

thì ta phải kết hợp điều kiện này.Ta đã tách P=16yx1615xy
y
x

4
17
1
4
16
15
16

2  



y
x
x
y

(Theo CauChy và vì theo đề ra thì 4

x
y

)
Vậy bài tốn được chứng minh.

Ta x é t c á c b à i to á n phức tạp h ơ n;

VD3: Cho các số a,b,c>0,và a + b+ c = 9: tìm giá trị nhỏ
nhất của
P=
b
a
c
c
b
b
c
b
a





2
2
2

Suy nghĩ v à t ì m lời giải Đâ y l à một bất đ ẳng thức đ ỗi

xứng nữa nh ư ng m à ta c ó thể thấy ph ươ ng ph á p giải

kh

ô ng xa lắm:

ta dự đ o á n rằng dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 3,v à 
khi đó th ì Pmin

có thể thấy rằng a = b = c = 3 thì

2
3
3
3
32
2
2
2








 a b

c
c
a
b
c

b
a

Trước hết ta tìm cách rút gọn mẫu. ta sẽ cộng thên các lượng
để khử mẫu;

a
c
b
c
b
a
c
b
c
b
a







 4.( )

)
.(
2
4

2
2

(Theo BĐT CauChy);

Tương tự: a b c

b
a
c
b
c
a
c
a
b








 4 , 4

2
2

Cộng các BĐT trên lại, ta được:

Pabc abc

2 Hay P 2

2 



a b c

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b=c =3.

Nhận x é t: tại sao ta không cộng thêm a+c,b+c,a+b, mà lại

cơng thêm , 4

4
,
4
c
a
c
b
b

a  

là vì ở đây thì ta dự đốn rằng dấu

“=” xảy ra khi a=b=c=3,

Email:

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

và rõ ràng khi đó để a b b c c a
b
a
c
c
a
b
c
b
a













 2
3
3

3
32
2
2
2
thì ta
phải chia cho 4.

Bây giờ ta xét dạng tổng quát của bài này; 
Dạng tổng quát cho 3 số;

VD4: Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn : a + b + c = k
(k>0);

Tìm giá trị nhỏ nhất của

b
a
c
c
a
b
c
b
a
P
n
n
n








( để đơn giản ta chỉ xét n nguyên dương.n>1)

Nhận xét: đây là một bất đẳng thức đối xứng thuần nhất

nên suy đoán rằng dấu “=” xẩy ra khi a=b=c=k/3:
Nên theo hướng đó thì : ) 2.3 .

3
2
(
3 1
1








 n
n
n
n

n
n
n k
k
k
b
a
c
c
a
b
c
b
a

ta cộng thêm các lượng 11

3
.
2 







n
n
k

t
b
a
t
c
a
t
c

b chú ý rằng ở

dưới mẫu chỉ có a+b;b+c;c+a do đố mà ta chỉ cộng thêm 1

lần ; ; ;

t
b
a
t
c
a
t
c

b  

nhưng lại nảy sinh vấn đề là làm thế nào
để sử dụng được tổng a + b+ c =k; Và như thế thì khơng thể
tính được giá trị nhỏ nhất??? Rõ ràng ta đang chứng minh
theo suy đoán a = b = c nên khi đó ta cơng thêm 1 số lượng

1
1
3
.
2 

n
n

k rồi sau đó ta trừ đi khơng ảnh hưởng mà lại có thể

đem về được P>= q.k

Giải:

Ta có:
2
2
2
4
2
1
2
2
4
2
1
2
2
2

1
1
1
1
2
2
2
2
3
.
2
.
2
)
3
.
2
.(
)
3
.
4
(
)
.(
)
.(
2
3
.

2
...
3
.
2
3
.
4
)
.(
3
.
4
)
.(






























n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

n
n
n
n
a
k
n
k
k
a
n
k
k
c
b
k
c
b
k
c
b
a
c
b
a

Tương tự ta cũng có các BĐT như trên

Email:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

4_tempfile_52822.doc1A1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
3
.
2
.
2
3
.
2
...

3
.
2
3
.
4
)
.(
3
.
4
)
.(
;
3
.
2
.
2
3
.
2
...
3
.
2
3
.
4
)

.(
3
.
4
)
.(











































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
k
n
k
k
a
b
k
a
b
k
b
a
c
b
a
c
b

k
n
k
k
c
a
k
c
a
k
c
a
b
c
a
b

Cộng vế theo vế của các BĐT trên
Suy ra:

2P  2

1
2
2
1
1
2
2
3

.
)
(
3
.
4
4
3
.
2
)
4
2
.(
3
)
(
3
.
2
.
2 















 n
n
n
n
n
n
n
n k
c
b
a
k
k
n
c
b
a
k
n
2
1
3
.
2 



 n
n
k
P ;

Dấu “=” xẩy ra khi a = b = c = k/3 > 0;
Bây giờ ta xét dạng tổng quát cho n số:

VD5: Cho n số a1,a2,a3………..an >0 thoả mãn a k

n
i
i 



1
(k>0);

Tìm GTNN của P =

2
1
4
3
2
3
2
1 ...
a

a
a
a
a
a
a
a
a m
n
m
m







Nhận xét :

Dây cũng là một BĐT đối xứng thuần nhất nên
Dự đoán rằng dấu “=” xẩy ra khi ai=k/n với i=1,n;

Ta cũng sẽ dựa vào dự đốn trên để tìm minP ;

Theo dự đốn đó thì ta cộng thêm vào một lượng nữa để sử
dụng được giả thiết n a k

i

i 



1

Nếu dấu “=” xâỷ ra như trên thì ta sẽ xét rằng:

t
a
a
t
a
a
n
k
n
k
n
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
m

m
m
m
n
m
m
2
1
3
2
1
1
2
1
4
3
2
3
2

1 ......

2
)
/
(
2
)
/
(

...       





 


việc tìm t khơng khó vì chỉ cần giải phương trình 
t
n
k/
2
1
1
2 

m
m
n
k
;
Giải :;

Ta xét: P1=

2
2
1

)
2
)(
1
(
2
2
2
)
2
)(
1
(
2
1
1
1
1
1
2
2
3
2
3
2
1
.
2
.
.

2
.
.
2
.
2
...
2
.
4
)
(























 m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
n
k
a
m
n
n
k
k

a
m
n
k
n
k
n
k
a
a
a
a
a

Tương tự ta cũng có:

Email:

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Pn=

2
2
)

2
)(
1
(
2
2

)
2
)(
1
(
2
1

1
1

1
2

2
2
1
2

1 2.

.
.

2
.
.
2

.
2

...
2

.
4

)
(

























 m

m
n
m

m
m
m
m

m
m
m
m
n

m

m
m

n

n
k
a
m
n

n

k
k
a
m
n

k
n

k
a
a
a
a

a

Email:

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

6_tempfile_52822.doc1A1

Cộng vế theo vế của các BĐT trên lại ta được:

P= 1
1
1
2
2
1
2
2

1 2.

).
2

.(
.
2
.
2
.
















m
m
n
i i
m
m
n
i i
m
m
n

i i n

k
m
n
a
n
k
a
n
k
m

P = 12

.
2 

m
m
n
k

Dấu “=” xẩy ra khi ai=k/n với i=1,n;

vậy ta tìm được GTNN của biểu thức trên. thế nhưng bây giờ
ta lại quan tâm đến bài toán này nhưng ở dạng tổng quát hơ
rằng nếu chỉ cho là m là số hữu tỷ lớn hơn 2 thì ta có thể tìm
được khơng???? Câu trả lời là có nhưng nó hơi phức tạp,

nhưng nếu ai quan tâm thì:…

bài tổng quát hơn: Cho ( 0)

1






k
k
a
n
i
i ;

Tìm Min P=

2
1
4
3
2
3
2
1 ...
a
a
a
a

a
a
a
a
a m
n
m
m







Với chú ý rằng: m ở đây không phải chỉ đơn giản là số nguên
dương > 2 mà ta cho m chỉ là số hữu tỷ > 2;

Nhận xét: Vẫn như trên nhưng mà việc thay m bởi một số
hữu tỷ thì có vẻ bài tốn khó hơn nhiều, thế nhưng nếu để ý
rằng “ mọi số hữu tỷ đều biểu diễn được dưới dạng t/q với
(t,q)=1;

Theo hướng đó, ta có.Lời giải:

Ta chọn m = t/q, (t,q)=1; Khi đó: P=

2
1
4

3
2
3
2
1 ...
a
a
a
a
a
a
a
a
a q
t
n
q
t
q
t







việc giải rõ ràng là khó hơn rất nhiều, và trước hết phải làm
sao để mất mẫu số cả ở mũ và mẫu:

Có:
P1 =
3
2
1
a
a
aq
t

+……..+
3
2
1
a
a
aq
t

+
q
q
t
q
q
t
q
q
t
q

q
t
n
a
a
k
n
a
a
k
2
3
2
2
2
3
2
2
.
4
)
.(
...
.
4
)
.(









+
q
q
t
q
q
t
q
q
t
q
q
t
n
k
n
k






.
2

....
.
2

; Theo CauChy (cho t(t-q) số), suy ra:

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Tương tự: Pn
tq
q
t
tq
q
t
n
n
k
a
q
t
t 2
2
.
2
.
).
( 


 ;

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

8_tempfile_52822.doc1A1

Email:

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Email:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

10_tempfile_52822.doc1A1

Email:

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Email:

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

12_tempfile_52822.doc1A1

Email:

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Email:

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

14_tempfile_52822.doc1A1

Email:

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Email:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

16_tempfile_52822.doc1A1

Email:

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Email:

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

18_tempfile_52822.doc1A1

Email:

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Email:

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

20_tempfile_52822.doc1A1

Email:

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Email:

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

22_tempfile_52822.doc1A1

Email:

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Email:

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

24_tempfile_52822.doc1A1

Email:

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Email:

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

26_tempfile_52822.doc1A1

VD5: Cho các số dương a,b,c thoả mãn a2+b2+c2=3;
Tìm GTLN,GTNN của: P= ab+bc+ca + abc

;

Ta có thể tìm giá trị lớn nhất bằng cách sử dụng bảng biến
thiên,dùng đạo hàm! Nhưng trong khuôn khổ bài viết này ta
dang quan tâm đến việc sử dụng BĐT CauChy nên ta quan
tâm đến GTNN; Trước hết ta tìm GTNN;

Giải:
* Ta tìm GTNN của P;

Xét 2P + 3 = 2ab+2ac+2bc +a b c




+ a2+b2+c2
= (a+b+c)2 +

c
b
a
c
b

a    

27
27

27
)
(
27
.
)
(
33
2
2
2






c
b
a
c
b
a
(Theo CauChy)
12


 P ; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1;

………

…………

Ta xét bài toán tổng quát sau:(Tổng quát cho 3số):

Cho a,b,c >0:Thoả mãn a2+b2+c2=n,(n>0); Tìm GTNN của P 
= ab+bc+ac +

c
b
a
n


2
3
3 ;

Cách giải bài này khá đơn giản không khác bài trên là bao
nhiêu: Thế nhưng khơng ít người thấy khó?

Giải:

Xét Q=2P + n = 2(ab+bc+ac) + 2*

c
b
a
n
n



3

3 + a2+b2+c2 = 
(a+b+c)2+

c
b
a
n
n


3
3 +
c
b
a
n
n


3
3

Áp dụng BDT CauChy( cho 3 số dương a,b,c): Ta được:

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Suy ra P4n: Dấu “=” chỉ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=

n

;
Vậy GTNN của P là 4n khi a=b=c= 3n ;

Bây giờ ta xét một số bài toán khá thú vị:

(đây là bài toán do tơi tổng qt và giải nó từ một số bài

BĐT có điều kiện)!

Trước hết ta giải một bài toán cụ thể trước khi đi đến bài toán
tổng quát:

VD1: Cho xy + yz +zx=5;
Cmr: P= 3x2 + 3y2 + z2 10;

Giải!

Đây là bài toấn thuần nhất dùng CauChy tuy nhiên nếu mà
dùng ở dạng trực tiếp thì khơng thể cho ta kết quả. Vì vậy ta
nghĩ tới phương pháp tách:

Ta có P= ) 2 2 2 10

2
2
(
)

2
2
(
)
(

2
2
2

2
2

2y  x z  y z  xy yz zx

x

(Theo CauChy)
(Đpcm):

Nx: Nhìn bài tốn thì có vẻ là nó quá dễ nhưng để mà tách
được như thế thì quả là khơng đơn giản:

Ta xét bài tốn tổng quát sau:

Bài toán: Cho các số dương x,y,z thoả mãn a xy+byz+czx
=A (Với m,n là những tham số dương cịn A là hằng số)

Tìm GTNN của P=mx2 + ny2 +z2 ( Với t,q là những tham số 
dương)

Giải:

Ta lại chọn hai số k.l thoả mãn:
0 < k < a

0 < l < b;
Ta tách P;

P = kx b l y a k x z ly z ] 2 k(b l)xy 2(a k)xz 2lyz

2
[

]
2
)
[(
]
)
(

[ 2 2 2 2 2 2


















ở phương trình mxy + nyz + zx= A

hệ số gắn với zx=1. ta cần tách sao cho PtA; có nghĩa là ta

phải sử dụng đựơc cả hai dữ kiện mà bài toán đã cho; Và
muốn sử dụng được nó thì ta phải chọn như sau:

)
(
2 a k

t   ; và ta cần có:

Email:

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

28_tempfile_52822.doc1A1

l
l

n
k
a
l

m
k
a
l

b
k

2
2

)
(
2
2

).
(
2
)
(
2










từ 3 pt trên ta suy ra: 2k(b-l) = (a-k)m2 (1)
l = (a-k)n2 (2)

hệ (1),(2)

 2k [ b- ( a – k )n2 ]= (a-k)m2;

 2n2k2 + (2b + m2 -2an2)k – am2 =0; (pt ẩn k)

(3)

Rõ ràng tích ac= -2an2m2 < 0 với mọi n,m,a > 0 do đó pt (3) 
ln có hai nghiệm dương

Nhưng ta chỉ quan tâm tới nghiệm dương mà thôi.

Ta lấy 2 2 22 2 2 2 2

8
)
2

2
(
2

n

m
an
m

b
an
m

b
an

k      

 l = (a-k)n2 ;

Như vậy đây bài toán đựoc giải quyết triệt để. việc giải bài
toán từ đây khá đơn giản nhưng việc tách đến đây thì quả
khơng dễ chút nào; mặc dù vậy việc tách này khá phức tạp
hy vọng rằng sẽ có cách nào đó mà khơng vần tách vẫn gigả
được hoặc nếu có tách thì tách một cách đơn giản và đễ nhớ
hơn!!!!!!

( chú thích: nếu ai đó cịn băn khoăn về việc giải tiếp bài
tốn trên thì

Ta có thể nói ngắn gọn thế này: ta thay k, l vừa tìm được vào
biểu thức

P = kx b l y a k x z ly z ] 2 k(b l)xy 2(a k)xz 2lyz

2
[

]
2
)
[(
]
)
(

[ 2 2 2 2 2 2

















