Bài giảng Một số PP timg GTLN - GTNN

Th ngy thỏng nm 2010
báo cáo chuyên đề tháng 4
Ng ời báo cáo : Phan Thị Hài Hoa
Chuyên đề:
Một phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
I. Đặt vấn đề:
Trong bài viết này, tôi đề cập đến một dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị
nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nhiều ẩn, trong đó các ẩn là nghiệm của những phơng
trình hoặc bất phơng trình cho trớc.
Đối với dạng toán này, ta cần xác định và giải một bất phơng trình một ẩn mà ẩn đó là
biểu thức cần tìm GTLN, GTNN.
II. Nội dung:
Bài toán 1: Tìm GTLN và GTNN của xy biết x và y là nghiệm của phơng trình
x
4
+ y
4
- 3 = xy (1 - 2xy)
Lời giải:
Ta có: x
4
+ y
4
- 3 = xy (1 - 2xy) <=> xy + 3 = x
4
+ y
4
+ 2x
2
y
2

<=> xy + 3 = (x
2
+ y
2
)
2
(1)
Do ( x
2
- y
2
)
2


0 với mọi x, y, dễ dàng suy ra (x
2
+ y
2
)
2

4(xy)
2
với mọi x, y (2)
Từ (1) và (2) ta có: xy + 3

4(xy)
2
<=> 4t

2
- t - 3

0 (với t = xy)
<=> (t - 1)(4t + 3)

0 <=>
3
4



t

1
Vậy: t = xy đạt giá trị lớn nhất bằng 1 <=> x
2
= y
2
<=> x = y =

1
xy = 1
t = xy đạt GTNN bằng -
3
4
<=> x
2
= y
2

<=> x = - y =

3
2

xy =
3
4


Bài toán 2: Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn xyz

x + y + z + 2.
Tìm GTNN của x + y + z
Lời giải:
áp dụng BĐT Cô-si cho ba số dơng x, y, z ta có:
x + y + z

3
3
xyz
<=> ( x + y + z)
3


(3.
3
xyz
)
3

= 27xyz
=> ( x + y + z)
3


27 (x + y + z + 2) <=> t
3
- 27t - 54

0 ( với t = x + y + z > 0)
<=> (t - 6) (t + 3)
2


0 <=> t

6
Vậy t = x + y + z đạt GTNN bằng 6 <=> x = y = z = 2.
Bài toán 3: Cho các số thực x, y, z thoả mãn x
2
+ 2y
2
+ 2x
2
z
2
+ y
2
z
2

+ 3x
2
y
2
z
2
= 9. Tìm GTLN
và GTNN của A = xyz.
Lời giải:
x
2
+ 2y
2
+ 2x
2
z
2
+ y
2
z
2
+ 3x
2
y
2
z
2
= 9 <=> (x
2
+ y

2
z
2
) + 2(y
2
+ x
2
z
2
) + 3x
2
y
2
z
2
= 9 (1)
áp dụng BĐT m
2
+ n
2


2 | mn | với mọi m, n ta có:
x
2
+ y
2
z
2

2 | xyz | ; y
2
+ x
2
z
2


2 | xyz | (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2| xyz | + 4 | xyz | + 3 (xyz)
2


9
<=> 3A
2
+ 6 | A | - 9

0 <=> A
2
+ 2 | A | - 3

0
<=> ( | A | - 1) ( | A | + 3 )

0 <=> | A |

1 <=> - 1

A

1
Vậy: A đạt GTLN bằng 1 x =

yz (x; y; z ) = ( 1; 1 ; 1)
<=> y =

xz <=>
xyz = -1 (x; y; z ) = ( 1; -1; -1)
Vậy: A đạt GTLN bằng -1 x =

yz (x; y; z ) = ( -1; 1 ; 1)
<=> y =

xz <=>
xyz = -1 (x; y; z ) = ( -1; -1; -1)
Bài toán 4: Cho các số thực x, y, z thoả mãn x
4
+ y
4
+ x
2
- 3 = 2y
2
(1 - x
2
). Tìm GTLN và
GTNN của x
2

+ y
2
.
Lời giải:
Ta có: x
4
+ y
4
+ x
2
- 3 = 2y
2
(1 - x
2
) <=> (x
2
+ y
2
)
2
- 2(x
2
+ y
2
) - 3 = -3x
2


0
=> t

2
- 2t - 3

0 ( với t = x
2
+ y
2


0 ).
=> (t + 1) (t - 3)

0 => t

3
Vậy t = x
2
+ y
2
đạt GTLN bằng 3 <=> x = 0 ; y =
3
Ta lại có: x
4
+ y
4
+ x
2
- 3 = 2y
2
(1 - x

2
) <=> (x
2
+ y
2
)
2
+ x
2
+ y
2
- 3 = 3y
2


0
= > t
2
+ t - 3

0 ( Với t = x
2
+ y
2


0) <=> (t +
1 13
2
+

) (t +
1 13
2

)

0
<=> t


13 1
2

Vậy t = x
2
+ y
2
Đạt GTNN bằng
13 1
2

<=> y = 0 ; x =
13 1
2


III. K t lun :
Trờn õy l mt s bi toỏn cng nh phng phỏp m bn thõn tụi tớch ly c
qua quỏ trỡnh ging dy, rt mong c s gúp ý ca cỏc bn ng nghip tụi
hon thin hn.Xin chõn thnh cm n.