2D2 HA~2

Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Với a và b là hai số thực dương tùy ý,

log ( ab 2 )

bằng

A. 2 log a + log b .

B. log a + 2log b .

C.

2 ( log a + log b )

.

D.

1
log a + log b
2
.
Lời giải
Ta có

log ( ab 2 ) = log a + log b 2 = log a + 2 log b = log a + 2 log b
=

Câu 2: (Tham khảo THPTQG 2019) Đặt

3a

A. 4 .

3
B. 4a .

a = log 3 2 , khi đó log16 27 bằng
4
C. 3a .
D.

4a
3 .
Lời giải
3
3 1
3
log16 27 = log 2 3 = .
=
4
4 log 3 2 4a .
Ta có:
Câu 3:

(Tham khảo THPTQG 2019) Tập nghiệm của bất phương trình
2

−2 x

< 27 là
( −∞; −1) .

A.
3x

B.

( 3; +∞ ) .

C.

( −1;3) .

D.

( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) .
Lời giải
x
Bất phương trình tương đương với 3
⇔ x 2 − 2 x − 3 < 0 ⇔ −1 < x < 3 .

2

−2 x

< 33 ⇔ x 2 − 2 x < 3

Câu 4: (Tham khảo THPTQG 2019) Hàm số
hàm
A.
C.

f ′( x) =
f ′( x) =

f ′( x) =

ln 2
2
x − 2x .

B.

( 2 x − 2 ) ln 2
x2 − 2x

f ( x ) = log 2 ( x 2 − 2 x )

f ′( x) =

.D.

2x − 2
( x − 2 x ) ln 2
2

Lời giải

.

có đạo

1
( x − 2 x ) ln 2
2

.


u′ ( x )
( log u ( x ) ) ′ = u x .ln a

( )

a

Áp dụng công thức

f ′( x) =
Vậy

(x

(x

2

2

− 2x ) ′

− 2 x ) ln 2

=

2x − 2
( x − 2 x ) ln 2

.

2

.

Câu 5: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Với a là số thực dương tùy ý,

ln ( 5a ) − ln ( 3a )

A.

ln ( 5a )
ln ( 3a )

bằng:
B.

ln ( 2a )

C.

ln

5
3

D.

ln 5
ln 3
Lời giải

5
ln ( 5a ) − ln ( 3a ) = ln 3

.

= 32 có nghiệm là
3
x=
2
C.
D.

Câu 6: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Phương trình 2

x=

A.
x=3

5
2

B. x = 2

2 x+1

Lời giải
2 x+1
= 32 ⇔ 22 x+1 = 25 ⇔ 2 x + 1 = 5 ⇔ x = 2 .
Ta có 2

Câu 7: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Với

ln ( 7 a ) − ln ( 3a )

A.

ln ( 7 a )
ln ( 3a )

a

là số thực dương tùy ý,

bằng
ln 7
B. ln 3

D.

C.

ln

7
3

ln ( 4a )
Lời giải

 7a 
= ln  ÷ = ln 7
ln ( 7 a ) − ln ( 3a )
 3a 
3.
Câu 8: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Tập nghiệm của phương trình

log 3 ( x 2 − 7) = 2
A. {− 15; 15}

{ −4}

là
B. {−4;4}

C.

{ 4}

D.

Lời giải
x = 4
⇔
log3 ( x − 7) = 2 ⇔ x 2 − 7 = 9
 x = −4
2

3
log 3  ÷
a
Câu 9: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Với a là số thực dương tùy ý,
bằng:
1
A. 1 − log 3 a
B. 3 − log3 a
C. log 3 a
D.

1 + log 3 a

Lời giải
3
log 3  ÷ = log 3 3 − log 3 a
= 1 − log 3 a .
a
Ta có
2 x+1
= 125 có nghiệm là
Câu 10: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Phương trình 5

x=

A.
x=3

3
2

B.

x=

5
2

C. x = 1

D.

Lời giải
2 x+1
= 125 ⇔ 52 x+1 = 53 ⇔ 2 x + 1 = 3 ⇔ x = 1 .
Ta có: 5

Câu 11: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Tập nghiệm của phương trình

log 2 ( x 2 − 1) = 3

{ −3;3} .

A.
− 10; 10

{

}.

là
B.

{ −3} .

C.

{ 3} .

D.

Lời giải

log 2 ( x − 1) = 3 ⇔ x 2 − 1 = 8 ⇔ x 2 = 9 ⇔ x = ±3
.
2

Câu 12: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Với a là số thực dương tùy ý,

log 3 ( 3a )

bằng:
3log

a
3
A.
.
1 − log 3 a .

B.

3 + log 3 a .

C.

1 + log 3 a .

D.

Lời giải
1 + log 3 a
Câu 13: (Tham khảo 2018) Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây

đúng?


A.

log ( 3a ) = 3log a

1
log a 3 = log a
3

B.

3
C. log a = 3log a

D.

1
log ( 3a ) = log a
3
Lời giải
Câu 14: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho a là số thực dương tùy ý khác 1 .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
log 2 a = log a 2.
A.
log 2 a = − log a 2.

B.

log 2 a =

1
.
log 2 a

C.

log 2 a =

1
.
log a 2

D.

Lời giải

Áp dụng công thức đổi cơ số.
Câu 15:

(THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm tập xác định D của hàm số

y = ( x2 − x − 2)

−3

.

D = ( 0; + ∞ )
A. D = R
B.
D = ( −∞; − 1) ∪ ( 2; + ∞ )
C.
Lời giải

D.

D = R \ { −1; 2}

2
−
Vì −3 ∈ ¢ nên hàm số xác định khi x − x − 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ −1; x ≠ 2 . Vậy

D = R \ { −1; 2}

.

Câu 16: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm tất cả các giá trị thực của m để
x
phương trình 3 = m có nghiệm thực.
A. m ≥ 1
B. m ≥ 0
m≠0
Lời giải

C. m > 0

D.

x
Để phương trình 3 = m có nghiệm thực thì m > 0 .

Câu 17:

(THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm tập nghiệm S của phương trình
log3 ( 2x + 1) − log3 ( x − 1) = 1
.

A.

S = { 1}

B.

S = { −2}

C.

S = { 3}

D.

S = { 4}

Lời giải

−1
2x + 1 > 0  x >
⇔
2 ⇔ x > 1.

x − 1> 0
 x > 1
ĐK:

Ta có

log3 ( 2x + 1) − log3 ( x − 1) = 1

⇔ log3

2x + 1
2x + 1
= 1⇔
= 3⇔ x = 4
x− 1
x− 1
(thỏa)
5

3 3
Câu 18: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Rút gọn biểu thức Q = b : b với b > 0 .
−

4

4

5

3
B. Q = b

3
A. Q = b
Q = b2

9

C. Q = b

D.

Lời giải
5

5

1

4

Q = b3 : 3 b = b3 : b3 = b3
Câu 19: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào

y
dưới đây đúng với mọi số dương x , .
x loga x
loga =
y loga y
A.
x
loga = loga x + loga y
y
C.

B.
D.

loga

x
= loga ( x − y)
y

loga

x
= loga x − loga y
y

Lời giải
Theo tính chất của logarit.
Câu 20: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Tìm nghiệm của phương trình

A. x = −3 .
x = 5.

B. x = −4 .

C. x = 3.

Lời giải
Ta có

log2 ( 1− x) = 2 ⇔ 1− x = 4 ⇔ x = −3

.

log2 ( 1− x) = 2

D.

.


Câu 21:

(THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho loga b = 2 và loga c = 3. Tính
P = loga b2c3
.
P
=
108
A.
B. P = 13
C. P = 31
D.
P = 30
Lời giải

(

Ta có:

)

(

)

loga b2c3 = 2loga b+ 3loga c = 2.2 + 3.3 = 13

Câu 22: Tập xác định D của hàm số

A.

D = ( −∞;1)

y = ( x − 1)

B.

.

1
3

là:.
D = ( 1; +∞ )

C. D = ¡

D.

D = ¡ \ { 1}

Lời giải
D = ( 1; +∞ )

Hàm số xác định khi x − 1 > 0 ⇔ x > 1. Vậy
.

a,

b là các số thực dương tùy ý và
Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 23: Với

A.

P = 9loga b

B.

a khác 1, đặt

P = 27loga b

C.

P = loga b3 + loga2 b6

P = 15loga b

D.

P = 6loga b
Lời giải

P = loga b3 + loga2 b6 = 3loga b+

6
loga b = 6loga b
2
.

log2 x − 5log2 x + 4 ≥ 0
Câu 24: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
.
S
=
[2;16]
 
S
=
(0;2]
 
∪
[16 ; +∞ )
A.
B.
2

C. (−∞  ;2] ∪ [16 ; +∞)

D. S = (−∞  ;1] ∪ [4 ; +∞)
Lời giải

Điều kiện x > 0

 log2 x ≥ 4
 x ≥ 16
⇔
⇔
x ≤ 2
 log2 x ≤ 1
Bpt
Kết hợp điều kiện ta có

S = ( 0;2 ∪ 16; +∞ )

.

Câu 25: (Đề minh họa lần 1 2017) Giải bất phương trình

log 2 ( 3 x − 1) > 3

.

.


1
< x<3
B. 3

A. x > 3
x>

C. x < 3

D.

10
3

Lời giải

Đkxđ:

3x − 1 > 0 ⇔ x >

1
3

3
Bất phương trình ⇔ 3x − 1 > 2 ⇔ 3 x > 9 ⇔ x > 3 (t/m đk).
Vậy bpt có nghiệm x > 3 .

Câu 26:

(Đề minh họa lần 1 2017) Tìm tập xác định D của hàm số
y = log 2 ( x 2 − 2 x − 3)
A.

D = ( −∞; −1] ∪ [ 3; +∞ )

B.

D = [ −1;3]

C.

D = ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ )

D.

D = ( −1;3)

Lời giải
y = log 2 ( x 2 − 2 x − 3)

x>3
Vậy tập xác định:

2
. Hàm số xác định khi x − 2 x − 3 > 0 ⇔ x < −1 hoặc

D = ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ )

Câu 27: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho các số thực dương a, b với a ≠ 1 . Khẳng định

nào sau đây là khẳng định đúng ?
1
log a2 ( ab ) = log a b
2
A.

B.

1
log a2 ( ab ) = log a b
4
C.

D.

log a 2 ( ab ) =

log a 2 ( ab ) = 2 + 2 log a b

1 1
+ log a b
2 2
Lời giải

1
1
1 1
log a2 ( ab ) = log a2 a + log a 2 b = .log a a + .log a b = + .log a b
2
2
2 2
Ta có:
Câu 28: (Đề tham khảo lần 2 2017) Tìm đạo hàm của hàm số y = log x .

A.
C.

y′ =

1
x

y′ =

1
x ln10

B.
D.

y′ =

ln10
x

y′ =

1
10 ln x
Lời giải


Áp dụng công thức

( log a x ) ′ =

1
1

y′ =
xln10 .
x ln a , ta được

log 3 a a 3
Câu 29: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho a là số thực dương a ≠ 1 và
. Mệnh
đề nào sau đây đúng?
A. P = 3

P=

C. P = 9

B. P = 1

D.

1
3
Lời giải

log 3 a a 3 = log 1 a 3 = 9
a3

.

Câu 30: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh

đề nào dưới đây đúng.

A.
ln

ln ( ab ) = ln a + ln b.

B.

ln ( ab ) = ln a.ln b.

C.

ln

a ln a
=
.
b ln b

D.

a
= ln b − ln a.
b

Lời giải

Theo tính chất của lơgarit:

∀a > 0, b > 0 : ln ( ab ) = ln a + ln b

x−1
Câu 31: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm nghiệm của phương trình 3 = 27

A. x = 9
x = 10

B. x = 3

C. x = 4

D.

Lời giải

3x−1 = 33 ⇔ x − 1 = 3 ⇔ x = 4 .

Câu 32:

(Tham khảo THPTQG 2019) Tập nghiệm của phương trình

log 2 ( x 2 − x + 2 ) = 1

A.

{ 0} .

{ 1} .

là
B.

{ 0;1} .

C.

{ −1; 0} .

D.


Lời giải
x = 0
⇔
log 2 ( x − x + 2 ) = 1 ⇔ x 2 − x + 2 = 2
x =1 .
Ta có:
2

Câu 33: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Một người gửi tiết kiệm vào một ngân

hàng với lãi suất 7,5% / năm. Biết rằng nếu khơng rút tiền ra khỏi ngân
hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho
năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền
gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời
gian này lãi suất không thay đổi và người đó khơng rút tiền ra?
A. 11 năm
B. 9 năm
C. 10 năm
D.

12 năm
Lời giải
Gọi A là số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng và n là số năm ít nhất để có
được số tiền gấp đơi số tiền ban đầu

Tn = A ( 1 + r )

Khi đó:
Vậy n = 10 năm .

n

⇔ 2 A = A ( 1 + r ) ⇔ n = log ( 1+ r ) 2 ≈ 9,58
n

.

Câu 34: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên
x
x +1
2
của tham số m sao cho phương trình 16 − m.4 + 5m − 45 = 0 có hai
nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
A. 13
B. 3
C. 6
D.

4
Lời giải

Đặt

t = 4x , ( t > 0)

. Phương trình trở thành:
t 2 − 4mt + 5m 2 − 45 = 0 (1).
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
(1) có hai nghiệm phân biệt t > 0 .
−m 2 + 45 > 0
 −3 5 < m < 3 5
∆ ' > 0
 2


⇔  P > 0 ⇔ 5m − 45 > 0 ⇔ m < −3 ∨ m > 3
 4m > 0
m > 0
S > 0

⇔ 3< m <3 5 .



m ∈ { 4;5; 6}
Vì m nguyên nên
. Vậy S có 3 phần tử.

Câu 35: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Một người gửi tiết kiệm vào một ngân
hàng với lãi suất 6, 6% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân

hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho
năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền


gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời
gian này lãi xuất không thay đổi và người đố không rút tiền ra?
A. 11 năm
B. 10 năm
C. 13 năm
D.

12 năm
Lời giải
Gọi số tiền gửi ban đầu là a , lãi suất là d % / năm.
n
T = a ( 1+ d )
Số tiền có được sau n năm là: n
T = 2a ⇔ ( 1 + d ) n = 2
Theo giả thiết: n
n
1 + 0, 066 ) = 2 ⇒ n = log1,066 2 ⇒ n ≈ 10,85
(
Thay số ta được:
Vậy sau ít nhất 11 năm.
Nhận xét: Đây là bài toán với đáp án khơng chính xác. Ta khơng thể làm

n = log

2

1,066
trịn
thành 11 vì khi thay vào phương trình
khơng đúng. Lỗi là ở đề bài.

( 1+ d )

n

=2

sẽ

Câu 36: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là tất cả các giá trị nguyên của
x
x +1
2
tham số m sao cho phương trình 4 − m.2 + 2m − 5 = 0 có hai nghiệm

phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử.
A. 3
B. 5

C. 2

D.

1
Lời giải
x

x +1
2
x
x
2
Ta có: 4 − m.2 + 2m − 5 = 0 ⇔ 4 − 2m.2 + 2 m − 5 = 0 (1)

Đặt

t = 2x , t > 0 .

2
2
Phương trình (1) thành: t − 2m.t + 2m − 5 = 0 (2)

Yêu cầu bài tốn ⇔ (2) có 2 nghiệm dương phânbiệt

2
2
− 5 < m < 5
 m − 2m + 5 > 0
∆ ' > 0

10



⇔  S > 0 ⇔  2m > 0
⇔ m > 0
⇔

< m < 5.
2
P > 0
 2


2m − 5 > 0
m < − 5 hoac m > 5

2
2

Do m nguyên nên m = 2 . Vậy S chỉ có một phần tử
Câu 37: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Một người gửi tiết kiệm vào một ngân

hàng với lãi suất 6,1% / năm. Biết rằng nếu khơng rút tiền ra khỏi ngân
hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho
năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền
gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời
gian này lãi suất không thay đổi và người đó khơng rút tiền ra?
13
A.
năm
B. 10 năm
C. 11 năm
D.
12 năm
Lời giải

Gọi x số tiền gửi ban đầu.
N
N
6,1 
6,1 


2 x = x 1 +
÷ ⇔ 2 = 1 +
÷
100


 100 
Theo giả thiết
N

6,1 

⇔ 2 = 1 +
÷ ⇔ N = log ( 1,061) 2 ≈ 11, 7
 100 
Vậy sau ít nhất 12 năm người đó thu được số tiền thỏa yêu cầu.
Câu 38: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

A. 8
5

x
x +1

2
nguyên của tham số m sao cho phương trình 9 − m.3 + 3m − 75 = 0 có
hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
B. 4
C. 19
D.

Lời giải
x
x
2
9 x − m.3x +1 + 3m2 − 75 = 0 ( 1) ⇔ ( 3 ) − 3m.3 + 3m − 75 = 0
2

Đặt

t = 3x , ( t > 0 )

t 2 − 3mt + 3m 2 − 75 = 0 ( 2 )
Phương trình trở thành:
( 1) có hai ngiệm phân biệt khi và chỉ khi ( 2 ) có hai nghiệm dương phân biệt


2
∆ = 300 − 3m > 0
−10 < m < 10


⇔ 3m > 0
⇔ m > 0

⇔ 5 < m < 10
3m 2 − 75 > 0
 m < −5


  m > 5
m = { 6; 7;8;9}
Do m nguyên nên
Câu 39: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Một người gửi tiết kiệm vào một

ngân hàng với lãi suất 7, 2 % /năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi
ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi
cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số
tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng
thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó khơng rút tiền ra?
A. 11 năm.
B. 12 năm.
C. 9 năm.
D.

10 năm.
Lời giải
Gọi T , A, r , n lần lượt là tổng tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì, vốn ban đầu, lãi
suất và số kì.
⇒ T = A. ( 1 + r )

n

Số tiền người đó thu được gấp đôi số tiền gửi ban đầu:

2 A = A( 1+ r )

n

⇔ 2 = ( 1 + 7, 2% )

n

⇔ n ≈ 9,97

Vậy sau ít nhất 10 năm thì số tiền nhận được sẽ gấp đôi số tiền ban đầu.
2x

x+6

Câu 40: (Tham khảo 2018) Tập nghiệm của bất phương trình 2 < 2

A.

( 0;6)

B.

(-

¥ ;6)

C.

là:

( 0;64)

D.

( 6;+¥ )
Lời giải:
x
Đặt t = 2 , t > 0
2
x
Bất phương trình trở thành: t - 64t < 0 Û 0 < t < 64 Û 0 < 2 < 64 Û x < 6.

Câu 41: (Tham khảo 2018) Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất

0, 4% / tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ sau
mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng tiếp
theo. Hỏi sau 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền ( cả vốn ban đầu và lãi)
gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời gian này người đó
khơng rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi?
A. 102.424.000 đồng
B. 102.423.000 đồng C. 102.16.000 đồng
D.
102.017.000 đồng

Lời giải

Ta có
.

Câu 42:

An = A0 ( 1 + r )

n

6

 0, 4 
= 100.000.000 1 +
÷ = 102.424.128
 100 

(Tham khảo 2018) Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình
2
log 3 x.log 9 x.log 27 x.log 81 x =
3 bằng
82
80
A. 9
B. 9
C. 9
D.
0
Lời giải
Điều kiện x > 0 .
Phương trình đã cho tương đương với


x = 9

log 3 x = 2
1
1
1
2
4
log 3 . .log 3 x. log 3 x. log 3 x = ⇔ (log 3 x) = 16 ⇔ 
⇔
x = 1
log
x
=
−
2
2
3
4
3
 3
9

Câu 43: (Tham khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để
x
x
x
phương trình 16 − 2.12 + ( m − 2).9 = 0 có nghiệm dương?
A. 1
B. 2
C. 4
3

Lời giải

D.

x
x
x
∀x ∈ ( 0; +∞ )
Phương trình 16 − 2.12 + ( m − 2).9 = 0 có nghiệm
2x

x

4
4
 ÷ − 2.  ÷ + ( m − 2) = 0
3
Phương trình tương đương  3 
có nghiệm

∀x ∈ ( 0; +∞ )
x

4
t =  ÷ , t ∈ ( 1; +∞ )
3
Đặt

⇒ t 2 − 2.t + (m − 2) = 0, ∀t ∈ ( 1; +∞ )
⇔ t 2 − 2.t = 2 − m, ∀t ∈ ( 1; +∞ )

2
Xét y = t − 2.t

Phương trình có nghiệm
Câu 44:

khi 2 − m > −1 ⇔ m < 3

(THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm nghiệm của phương trình
log 2 ( x − 5 ) = 4
.
x
=
21
A.
B. x = 3
C. x = 11
D.
x = 13
Lời giải
ĐK:

Câu 45:

∀t ∈ ( 1; +∞ )

x − 5 > 0 ⇔ x > 5 ⇒ log 2 ( x − 5 ) = 4 ⇔ x − 5 = 16 ⇔ x = 21

(THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm tập xác định D của hàm số

y = log 3 ( x 2 − 4 x + 3)
A.

(

) (

D = 2 − 2;1 ∪ 3; 2 + 2

).

B.

D = ( 1;3)

.


C.

D = ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ )

(

) (

.

D = −∞; 2 − 2 ∪ 2 + 2; +∞

D.

).
Lời giải

x <1
x2 − 4 x + 3 > 0 ⇔ 
x > 3 .
Điều kiện
Câu 46: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Với mọi a , b , x là các số thực dương

thoả mãn log 2 x = 5log 2 a + 3log 2 b . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
5
3
A. x = 3a + 5b
B. x = 5a + 3b
C. x = a + b

D.

x=a b

5 3

Lời giải

5
3
5 3
5 3

Có log 2 x = 5log 2 a + 3log 2 b = log 2 a + log 2 b = log 2 a b ⇔ x = a b .

Câu 47: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
2
để hàm số y = ln( x − 2 x + m + 1) có tập xác định là ¡ .
A. m = 0
B. 0 < m < 3
C. m < −1 hoặc m > 0 D.
m>0
Lời giải

Để hàm số có tâp xác định ¡ khi và chỉ khi

a = 1 > 0(ld )
x 2 − 2 x + m + 1 > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
∆′ = 1 − ( 1 + m ) < 0 ⇔ m > 0 .

Câu 48:

(THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho log3 a = 2 và
I = 2log3  log3 ( 3a)  + log 1 b2
4
.
3
I=
2
A. I = 0
B. I = 4
C.
5

I=
4
Lời giải

log2 b =

1
2 . Tính

D.


I = 2log3 log3 ( 3a)  + log1 b2 = 2log3 ( log3 3+ log3 a) + 2log2−2 b
4

= 2−

1 3
=
2 2.

Câu 49: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho a là số thực dương khác 2 . Tính

 a2 
I = log a  ÷
4
2
.

I=

A.
I = −2

1
2

B. I = 2

C.

I =−

1
2

D.

Lời giải

2

 a2 
 a
I = log a  ÷ = log a  ÷ = 2
4
2
2
2
Câu 50: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

(

)

y = log x2 − 2x − m+ 1

hàm số
A. m> 2
m≤ 2

có tập xác định là ¡ .
B. m≥ 0
C. m< 0

D.

Lời giải

x2 − 2x − m+ 1 > 0, ∀x∈ ¡ .
Để hàm số có tâp xác định ¡ khi và chỉ khi

⇔ ∆′ < 0 ⇔ ( −1) − 1.( − m+ 1) < 0 ⇔ m< 0.
2

y = ax , y = bx
Cho
hàm
số
với a, b là hai số

Câu 51: (THPT QG 2017 Mã đề 105)
(C ) (C )
thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là 1 và 2 như hình bên. Mệnh
đề nào dưới đây đúng ?

( C2 )

( C1 )

O
A. 0 < b < a < 1

B. 0 < a < 1< b

0 < a< b< 1
Lời giải

C. 0 < b < 1 < a

D.


Theo hình ta thấy hàm

y = ax

y = bx
là hàm đồng biến nên a > 1, còn hàm
là

hàm nghịch biến nên 0 < b < 1. Suy ra 0 < b < 1< a.
Câu 52:

(THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm nghiệm của phương trình
1
log25 ( x + 1) =
2.
23
x=
2
A. x = 6
B. x = 4
C.
D.

x = −6
Lời giải
Điều kiện: x > −1

Xét phương trình

log25 ( x + 1) =

1
⇔ log5 ( x + 1) = 1
⇔ x + 1= 5 ⇔ x = 4 .
2

Câu 53: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Tính đạo hàm của hàm số

2
2x + 1
A.
1
y′ =
( 2x + 1) ln 2
y′ =

B.

y′ =

1
2x + 1

y = log2 ( 2x + 1)

.

2
( 2x + 1) ln 2

D.

y′ =

C.

Lời giải

Ta có
Câu 54:

( 2x + 1) ′ =
) ( 2x + 1) ln2 ( 2x +21) ln2
.

′
y′ = log2 ( 2x + 1) =

(

(THPT QG 2017 Mã đề 110) Tìm tập nghiệm S của phương trình
log 2 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) = 1.
2

 3+ 13 
S= 

2 


A.

{

}

B.

S = { 3}

C.

S = 2+ 5

Lời giải

x − 1> 0
⇔ x>1

x + 1> 0

Điều kiện
.
Phương trình tương đương

{

}

S = 2 − 5;2 + 5

D.


log

2

( x − 1) − 21 log ( x + 1) = 1

⇔ 2log

2

⇔ log

2

( x − 1)

2

= log 2 2( x + 1)

2

( x − 1) = log ( x + 1) + log
2

2

⇔ x2 − 2x + 1 = 2x + 2

 x = 2− 5( L )
⇔ x2 − 4x − 1 = 0⇔ 
 x = 2+ 5
x
x+ 1

x
Câu 55: Cho phương trình 4 + 2 − 3 = 0. Khi đặt t = 2 ta được phương trình nào

sau đây
A. 4t − 3 = 0

2
B. t + t − 3 = 0

2
C. t + 2t − 3 = 0

D.

C. I = −2.

D.

2t − 3t = 0
2

Lời giải
x
x
Phương trình ⇔ 4 + 2.2 − 3 = 0

Câu 56: Cho

A.

a là số thực dương khác 1. Tính I = log a a.
I=

1
2

B. I = 0

I =2
Lời giải
Với a là số thực dương khác 1 ta được:
Câu 57: Tìm tập xác định D của hàm số
A. D = ¡ \ {−2}

y = log5

I = log a a = log 1 a = 2loga a = 2
a2

x− 3
.
x+ 2

B. D = (−2;3)

C. D = (−∞ ; −2) ∪ [3; +∞)

D. D = (−∞; −2) ∪ (3; +∞)
Lời giải

Tập xác định của là tập các số

x để

x > 3
x− 3
> 0 ⇔ ( x − 3) ( x + 2) > 0 ⇔ 
x+ 2
 x < −2

Suy ra
Câu 58: Cho

A.

D = ( −∞; −2) ∪ ( 3; +∞ )

loga x = 3,logb x = 4
P=

P=

7
12

.

P = logab x.
với a, b là các số thực lớn hơn 1. Tính
B.

P=

1
12

12
7

Lời giải

C. P = 12

D.

2


P = logab x =

1
1
1
12
=
=
=
logx ab logx a+ logx b 1 1 7
+
3 4

Câu 59: Tìm giá trị thực của

nghiệm thực
A. m= −4
m= 4

2
m để phương trình log3 x − mlog3 x + 2m− 7 = 0 có hai

x x = 81.

x1 , x2

thỏa mãn 1 2
B. m= 44

C. m= 81

D.

Lời giải
Đặt

t = log3 x

có hai nghiệm

2
ta được t − mt + 2m− 7 = 0 , tìm điều kiện để phương trình

t1 ,t2

t1 + t2 = log3 x1 + log3 x2 = log3 ( x1x2 ) = log3 81 = 4

Theo vi-et suy ra
phương trình có hai
nghiệm thực

x1 , x2

t1 + t2 = m⇒ m= 4

thỏa mãn

x1x2 = 81

(Thay lại m= 4 và đề bài ta thấy

)

Câu 60: Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/ năm. Biết

rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ mỗi năm số tiền lãi sẽ
được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu
năm người đó sẽ nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc
và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất khơng đổi và người đó
khơng rút tiền ra.
A. 14 năm
B. 12 năm

C. 11 năm
D.
13 năm
Lời giải
50.( 1+ 0,06) ≥ 100 ⇔ n ≥ log1,06 2 ⇒ n = 12
n

Ta có

Câu 61: (Đề minh họa lần 1 2017) Giải phương trình

A. x = 63
x = 82

B. x = 65

.

log 4 ( x − 1) = 3.
C. x = 80

Lời giải
ĐK: ⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1
log 4 ( x − 1) = 3 ⇔ x − 1 = 43 ⇔ x = 65
Phương trình

D.


Câu 62: (Đề minh họa lần 1 2017) Tính đạo hàm của hàm số

A.

y' =
y' =

1 − 2 ( x + 1) ln 2
22 x

B.

1 − 2 ( x + 1) ln 2
2x

C.

2

D.

y=

y' =
y' =

x +1
4x
1 + 2 ( x + 1) ln 2

22 x

1 + 2 ( x + 1) ln 2
2x

2

Lời giải

y' =

( x + 1) ′ .4 x − ( x + 1) . ( 4 x ) ′

(4 )

x 2

Ta có:

=

4 x. ( 1 − x.ln 4 − ln 4 )

(4 )
x

2

=

=

4 x − ( x + 1) .4 x.ln 4

(4 )

x 2

1 − x.2 ln 2 − 2 ln 2 1 − 2 ( x + 1) ln 2
=
4x
22 x

Câu 63: (Đề minh họa lần 1 2017) Đặt

a = log 2 3, b = log5 3. Hãy biểu diễn log 6 45

theo a và b .
a + 2ab
log 6 45 =
ab
A.
C.

log 6 45 =

2a 2 − 2ab
log 6 45 =
ab
B.

a + 2ab

ab + b

D.

log 6 45 =

2a 2 − 2ab
ab + b

Lời giải
log 2 ( 3 .5 )
2

log 6 45 =

log 2 ( 2.3)

=

2 log 2 3 + log 2 5 2a + log 2 3.log 3 5
=
=
1 + log 2 3
1+ a

log 2 3
a
2a +
log 5 3
b = a + 2ab

=
1+ a
1+ a
ab + b

2a +

CASIO: Sto\Gán A = log 2 3, B = log 5 3 bằng cách: Nhập log 2 3 \shift\Sto\
A tương tự B
A + 2 AB
− log 6 45 ≈ 1,34
AB
Thử từng đáp án A:
( Loại)
A + 2 AB
− log 6 45 = 0
AB
Thử đáp án C:
( chọn )
Câu 64:

(Đề tham khảo lần 2 2017) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
1
5 x+1 − > 0
5
.
A.
C.

S = ( 1;+ ∞ )

.

S = ( −2;+ ∞ )

B.
.

D.

S = ( −1;+ ∞ )

S = ( −∞;− 2 )

.

.
Lời giải


x +1
−1
Bất phương trình tương đương 5 > 5 ⇔ x + 1 > −1 ⇔ x > −2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

S = ( −2;+ ∞ )

.

(Đề tham khảo lần 2 2017) Tính giá trị của biểu thức

Câu 65:

(

P = 7+4 3

) (4
2017

3−7

)

2016

B. P = 7 − 4 3

A. P = 1
C. P = 7 + 4 3

D.

(

P = 7+4 3

)

2016

Lời giải

(

P= 7+4 3

(

)

) (4
2017

= 7 + 4 3 ( −1)
Câu 66:

2016

3−7

)

2016

(

) (

)(

)

= 7 + 4 3 . 7 + 4 3 4 3 − 7 



2016

= 7 + 4 3.

(Đề tham khảo lần 2 2017) Tìm tập nghiệm S của phương trình
log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 1) = 3
.
S = { 4}
S = { −3;3}
A.
B.
C.

S = { 3}

D.

{

S = − 10; 10

}

Lời giải

(

)

log2 x2 − 1 = 3
⇔ x2 − 1 = 8
Điều kiện x > 1. Phương trình đã cho trở thành
⇔ x = ±3

Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm duy nhất của phương trình là
x = 3 ⇒ S = { 3}
Câu 67: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a ≠ 1 ,

P = log

a ≠ b và log a b = 3 . Tính
A. P = −5 + 3 3
B. P = −1 + 3
C. P = −1 − 3

b
a

b
a

D. P = −5 − 3 3

Lời giải

.


Cách 1: Phương pháp tự luận.

P=

log a
log a

(

)

b 1
1
log a b − 1)
3 −1
(
3 −1
a =2
= 2
=
1
b
log a b − 1
3−2
log a b − 1

2
= −1 − 3 .
a

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm.
3
Chọn a = 2 , b = 2 . Bấm máy tính ta được P = −1 − 3 .

Câu 68: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho hàm số

y=

ln x
x , mệnh đề nào dưới đây

đúng?

1
x2 .
A.
1
y′ + xy′′ = − 2
x .
C.

1
x2 .
B.
1
2 y′ + xy′′ = 2

x .
D.
Lời giải

2 y′ + xy′′ = −

y′ + xy ′′ =

1
.x − ln x
′
′
ln
x
.
x
−
x
.ln
x
( )
1 − ln x
x
y′ =
=
=
2
2
x
x

x2
Cách 1.

y′′ =

=

( 1 − ln x ) ′ .x 2 − ( x2 ) ′ ( 1 − ln x )
x4

1
− .x 2 − 2 x ( 1 − ln x )
= x
x4

− x − 2 x ( 1 − ln x )
1 + 2 ( 1 − ln x )
3 − 2 ln x
=−
=−
4
3
x
x
x3

Suy ra:

2 y′ + xy′′ = 2.

1 − ln x
3 − 2 ln x 2 − 2 ln x − 3 + 2ln x
1
−x
=
=− 2
2
3
2
x
x
x
x .

Cách 2. Ta có xy = ln x , lấy đạo hàm hai vế, ta được

y + xy ′ =

Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế của biểu thức trên, ta được
hay

2 y′ + xy′′ = −

1
x2 .

1
x

y′ + y′ + xy′′ = −

1
x2 ,


Câu 69: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của

tham số

để hàm số

m

( −∞; +∞ )
( −∞; −1]
A.

B.

y = ln ( x 2 + 1) − mx + 1

đồng biến trên khoảng

( −∞; −1)

[ −1;1]

C.

D.

[ 1; +∞ )
Lời giải

Ta có:

2x
−m
x +1
.

y′ =

Hàm số

2

y = ln ( x 2 + 1) − mx + 1

y′ ≥ 0, ∀x ∈ ( −∞; +∞ )

⇔

g ( x) =

g ′( x) =

đồng biến trên khoảng

.

2x
≥ m, ∀x ∈ ( −∞; +∞ )
x +1
.
2

−2 x 2 + 2

( x2 + 1)

2

( −∞; +∞ ) ⇔

Ta

có

= 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:
m ≤ −1

g ( x) =

2x
≥ m, ∀x ∈ ( −∞; +∞ )

x +1
2

⇔

Câu 70: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Số lượng của loại vi khuẩn A trong một

phòng thí nghiệm được tính theo cơng thức

s( t)

s ( t ) = s ( 0 ) .2t ,

trong đó

s ( 0)

là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu,
là số lượng vi khuẩn A có sau t
3
phút. Biết sau phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau
bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?
A. 48 phút.
B. 19 phút.
C. 7 phút.
D.

12 phút.
Lời giải

s ( 3)
⇒
s
0
=
= 78125.
(
)
s ( 3) = s ( 0 ) .2
23
Sau 3 phút ta có:
3

Tại thời điểm t số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con nên ta có:

s ( t ) = s ( 0 ) .2

t

s( t)

⇔ 2t =

s ( 0)

⇔ 2t =

10.000.000
78125 Û 2t = 128 Û t = 7

.
4

Câu 71: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho biểu thức

x > 0 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

P=x

P=x

1
2

B.

P=x

13
24

C.

P = x. 3 x 2 . x3 , với

P=x

1

4

D.

2
3

Lời giải

Ta
P=

có,
4

x. 3 x 2 . x3 =

4

3

x > 0:

với
3

x. x 2 .x 2 =

4

3

7

x. x 2 =

4

7

x.x 6 =

4

13

13

x 6 = x 24 .

Câu 72: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh

đề nào dưới đây đúng?
 2a 3 
log 2 
÷ = 1 + 3log 2 a − log 2 b
 b 
A.
.

B.

 2a 3 
1
log 2 
÷ = 1 + log 2 a − log 2 b
3
 b 
.
 2a 3 
log 2 
÷ = 1 + 3log 2 a + log 2 b
b 

C.
.

D.

 2a 3 
1
log 2 
÷ = 1 + log 2 a + log 2 b
3
 b 
.

Lời giải
Ta

có:

 2a 3 
3
3
log 2 
÷ = log 2 ( 2a ) − log 2 ( b ) = log 2 2 + log 2 a − log 2 b = 1 + 3log 2 a − log b
 b 

.


Câu 73: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

log 1 ( x + 1) < log 1 ( 2 x − 1)
2

A.

2

S = ( 2; +∞ )

S = ( −1; 2 )

.

B.

S = ( −∞;2 )

1 
S =  ;2÷
 2 .
C.

.

D.

.
Lời giải

 x > −1
x +1 > 0
1

⇔

1 ⇒x>
2
x>
2 x − 1 > 0

2

Điều kiện:
(*)

log 1 ( x + 1) < log 1 ( 2 x − 1) ⇔ x + 1 > 2 x − 1 ⇔ x − 2 < 0 ⇔ x < 2

2

2

1 
S =  ;2÷
 2 .
Kết hợp (*) ⇒
Câu 74:

(Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tính đạo hàm của hàm số

(

).

y′ =

1

y = ln 1+ x +1

A.

(

2 x +1 1+ x +1

y′ =
C.

(

1

x +1 1+ x +1

)

B.

y′ =

1
1+ x +1

y′ =

)

D.

(

2

x +1 1+ x +1

)

Lời giải

Ta có:

( (

y′ = ln 1 + x + 1

))

′

(1+
=

x +1

)′ =

1+ x +1

(

1

2 x +1 1 + x +1

).

Câu 75: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 . Đồ

thị các hàm số

y = a x , y = b x , y = c x được cho trong hình vẽ bên


Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a < b < c
B. a < c < b
c
C. b < c < a

D.

Lời giải

Đường thẳng x = 1 đồ thị các hàm số

y = a x , y = b x , y = c x tại các điểm có

tung độ lần lượt là y = a, y = b, y = c như hình vẽ:

Từ đồ thị kết luận a < c < b

Câu 76: (Tham khảo THPTQG 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương
log 3 ( 7 − 3x ) = 2 − x
trình
bằng
A. 2 .

B. 1 .
3.

C. 7 .

D.

Lời giải
x
x
Điều kiện xác định của phương trình là 7 − 3 > 0 ⇔ 3 < 7 ⇔ x < log 3 7 .
9
log 3 7 − 3x = 2 − x ⇔ 7 − 3x = 32− x ⇔ 7 − 3x = x
3

(

)