Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh giải toán trên máy tính casio môn sinh học lớp 12 năm học 2011 2012 – sở giáo dục và đào tạo kiên giang (đề chính thức)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KIÊN GIANG
-------------

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
NĂM HỌC 2011-2012
-----------------------------MƠN THI: GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO Lớp 12
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 01/11/2011
Chú ý: - Đề thi này gồm 6 trang, 10 bài, mỗi bài 5 điểm
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐIỂM CỦA TOÀN BÀI THI
Bằng số

Bằng chữ

CÁC GIÁM KHẢO

SỐ PHÁCH

(Họ, tên và chữ ký)

(Do CTHĐ chấm thi ghi)

1.
2.

Quy định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, cơng thức áp dụng, kết quả tính tốn vào ơ trống liền kề
bài tốn. Các kết quả tính gần đúng.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PHÁCH ĐÍNH KÈM ĐỀ THI GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO Lớp 12
Số báo danh: …………… Họ và tên thí sinh: ………………………………………. Nam/nữ: ………..
Ngày sinh: ……………… Đơn vị: ………………………………………………………………………...
CÁC GIÁM THỊ
(Họ, tên và chữ ký)

SỐ PHÁCH
(Do CTHĐ chấm thi ghi)

1.
2.
Chú ý: - Thí sinh phải ghi đủ các mục ở phần trên theo sự hướng dẫn của giám thị;
- Thí sinh làm trực tiếp vào bản đề thi có phách đính kèm này;
- Bài thi phải được viết bằng một loại bút, một thứ mực; khơng viết bằng mực đỏ, bút chì; khơng
được đánh dấu hay làm ký hiệu riêng; phần viết hỏng phải dùng thước gạch chéo; khơng được tẩy, xóa
bằng bất kỳ cách gì (kể cả bút xóa).

Trang 1


⎧log( x + y ) − ln( x − y ) = 1
Câu 1. Giải hệ phương trình : ⎨
⎩ln( x + y ) − log( x − y ) = 11
Cách giải

Kết quả

Câu 2. Tìm phương trình hàm số : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( đồ thị (C)) biết hàm số có 1 cực trị trùng

vào đỉnh của ( P) : y = 2 x 2 − 4 x + 1 ; (C) đi qua M( -2 , 1 ) và có hoành độ tâm đối xứng : x = − 3 .
Cách giải

Kết quả

Trang 2


Câu3. Cho phương trình : (49 + 20 6)ln x + 3(5 − 2 6)ln x = m (1).
1/ Giải hệ (1) khi m=4.
2/ Với giá trị nào của m thì (1) có đúng 2 nghiệm thuộc [1; e] .
Cách giải

Kết quả

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vng cạnh bằng t , SA=t 3 , SA vng góc
với (ABCD) ; gọi I thuộc SB sao cho SI =x ; mặt phẳng (ADI) cắt SC tại J . Xác định x để diện tích
3
ADIJ là nhỏ nhất . Tính diện tích ADIJ khi t = 5

π

Cách giải

Kết quả

Trang 3


Câu 5. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình : 2sin x + 4 cos x + cos 2 x = 5 .

Cách giải

Câu 6. Tìm toạ độ gần đúng của giao điểm giữa elip (E) :

Kết quả

x2 y2
+
= 1 với đường thẳng ( d) đi qua 2
9
4

điểm A( 2;1); B(−1; 2) .
Cách giải

Kết quả

Trang 4


m
, g ( x) = (m + 1) cos 2 x .
x +1
Tìm những giá trị m thuộc (0;3) thỏa : f ( f (1)) = g ( f (0)) .

Câu 7. Cho 2 hàm số : f ( x) =

Cách giải

Kết quả

Câu 8.
1/ Tính u2011 biết un = cos(111 − cos(111 − cos(111...))) ( lấy 4 chữ số thập phân)
2/ Một người dự định xây căn nhà 900.000.000đ , hiện nay chỉ có 600.000.000đ gởi vào ngân hàng
theo thể thức lãi kép kỳ hạn 1 năm với lãi suất 14% / năm . Hỏi trong bao lâu người đó sẽ thực hiện
được dự định của mình ? ( lấy 1 chữ số thập phân)
Cách giải
Kết quả

Trang 5


Câu 9. Trong mp(Oxy) cho điểm M (0, 2 3) và đường thẳng (d ) : x − 3 y + 3 = 0 . Tìm 2 điểm P, Q
thuộc (d) sao cho tam giác MPQ vuông tại P và 3MP = PQ .
Cách giải

Kết quả

Câu10. Một khu quy hoạch dân cư hình tứ giác ABCD biết AD=a; AB=b ; BC =c
n =α ; n
; BAD
ABC = β α + β < 1800 ;.Tính diện tích khu vườn theo a,b,c, α , β .
Vận dụng : Tính diện tích khu dân cư khi a=6,7km;b=5,6km;c=4,5km; α = 56o , β = 78o
Cách giải

Kết quả

--------------------HẾT-------------------Ghi chú:
• Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu.
• Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm.

Trang 6


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KIÊN GIANG
------------Đáp án
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
NĂM HỌC 2011-2012
-----------------------------MƠN THI: GIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH CASIO Lớp 12
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 01/11/2011
Chú ý: - Đáp án này gồm 5 trang, 10 câu, mỗi câu 5đ

⎧log( x + y ) − ln( x − y ) = 1
Câu 1. Giải hệ phương trình : ⎨
⎩ln( x + y ) − log( x − y ) = 11
Cách giải
⎧log( x + y ) − ln10.log( x − y ) = 1
Hệ ⇔ ⎨
(1)
⎩ln10.log( x + y ) − log( x − y ) = 11
Đặt u = log( x + y ); v = log( x − y )

⎧u − ln10.v = 1
(1) ⇔ ⎨
⎩ln10.u − v = 11

Điểm

1đ

1đ

⎧u ≈ 5, 65527946
⎧log( x + y ) ≈ 5, 65527946
⇒⎨
⇒⎨
⎩v ≈ 2, 021762181 ⎩log( x − y ) ≈ 2, 021762181
⎧ x + y ≈ 452146, 7984 ⎧ x ≈ 226125,9685
⇒⎨
⇒⎨
⎩ x − y ≈ 105,1385979
⎩ y ≈ 226020,8299

1đ

2đ

Câu 2. Tìm phương trình hàm số : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( đồ thị C ) biết hàm số có 1 cực trị trùng
vào đỉnh của ( P) : y = 2 x 2 − 4 x + 1 ; (C) đi qua M( -2 , 1 ) và có hồnh độ tâm đối xứng : x = − 3 .
Cách giải

(P) có đỉnh I ( 2;1 − 2 2)

y ' = 3ax 2 + 2bx + c; y '' = 6ax + 2b
y '( 2) = 0 ⇔ 6a + 2 3b + c = 0(1)

Điểm

1đ
1đ

(C )quaI : 2 2a + 2b + 2c + d = 1 − 2 2(2)
( C) qua M(-2,1) : −8a + 4b − 2c + d = 1(3)
Hoành độ tâm đối xứng : x = − 3 : 3 3a − b = 0(4)
a ≈ 0, 0402751238
b ≈ 0, 2092758821
Giải hệ (1) , (2) , (3) , (4) ta có
c ≈ −0,8335717586
d ≈ −1,182045255

1đ
1đ

1đ

Câu3. Cho phương trình : (49 + 20 6)ln x + 3(5 − 2 6)ln x = m (1).
Trang 1


1/ Giải hệ (1) khi m=4.
2/ Với giá trị nào của m thì (1) có đúng 2 nghiệm thuộc [1; e] .
Cách giải

Điểm

1/m = 4 (1)Ù (49 + 20 6)ln x + 3(5 − 2 6)ln x = 4(2)
Đặt t = (5 + 2 6)ln x > 0 => (5 − 2 6)ln x =

1
t

1đ

⎡t = 1
(2) Ù t − 4t + 3 = 0 ⇔ ⎢⎢t ≈ −2,302775638(l )
⎢⎣t ≈ 1,302775638

1đ

3

⎡x = 1
⎢ x ≈ 1,122298033
⎣

1đ

2/ t = (5 + 2 6)ln x > 0 => (5 − 2 6)ln x =

1
t

Vì x ∈ [1, e] => t ∈ [1,5 + 2 6]

3

Bài tốn trở thành :” Tìm m để đt y=m cắt ( C) : y = t + đúng 2 điểm
t
phân biệt trên [1,5 + 2 6] ”

1đ

2

Tìm được : m ∈ (3,931112091.; 4]

1đ

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vng cạnh bằng t , SA=t 3 , SA vng góc
với (ABCD) ; gọi I thuộc SB sao cho SI =x ; mặt phẳng (ADI) cắt SC tại J . Xác định x để diện tích
3
ADIJ là nhỏ nhất .Tính diện tích ADIJ khi t =

π

Cách giải

ADIJ là hình thang vng ở A , I
IJ
SI
IJ x
x
=
⇔
= ⇒ IJ =
2t

2
BC SB
t
Định lý cosin cho tam giác ABI :

Điểm

1đ

AI 2 = AB 2 + BI 2 − 2 AB.BI .cos SBA
= x 2 − 3tx + 3t
1
1
x
S ADIJ = ( AD + IJ ) AI = (t + ) x 2 − 3tx + 3t
2
2
2
1
Xét hàm số :f(x) = = (2t + x) x 2 − 3tx + 3t với 0 ≤ x ≤ 2t
4
⎡x = 0
4 x 2 − 5tx
f '( x) =
; f '( x) = 0 ⇔ ⎢
2
⎢ x = 5t
8 x − 3tx + 3t
4
⎣

’
Xét dấu f (x) trên [0,2t] ta được fmin khi x=5t/4
3
thì diện tícch đạt giá trị nhỏ nhất bằng :0,6678482903
Khi t=

π

1đ
1đ

1đ

1đ

Trang 2


Câu 5. . Tìm nghiệm gần đúng của phương trình : 2sin x + 4 cos x + cos 2 x = 5 .(1)
Cách giải

sin x =
Dùng :

2t
1− t
;cos x =
;
2
1+ t

1+ t2

2t 2
cos 2 x = 1 − 2sin x = 1 − 2(
)
1+ t2
Phương trình (1)

với t=tan(x/2)

2

⇔2

Điểm

2

2t
1− t2
2t 2
+
4
+ 1 − 2(
) =5
2
2
1+ t
1+ t
1+ t2

2đ

⇔ 8t 4 − 4t 3 + 16t 2 − 4t = 0

1đ

⎡t = 0
⇔⎢
⎣t ≈ 0, 2580558725

1đ

⎡ x = k .360o
⇔⎢
o
o
⎣ x ≈ 28 56 '+ k 360

1đ

x2 y2
Câu 6. Tìm toạ độ gần đúng của giao điểm giữa elip (E) : +
= 1 với đường thẳng ( d) đi qua 2
9
4
điểm A( 2;1); B(−1; 2)
Cách giải

Đường thẳng ( d) qua A( 2;1); B(−1; 2) : y = (1 − 2) x + 3 − 2

Điểm

1đ

Nhớ 1 − 2 − > A;3 − 2 − > B
Giao điểm (d) và (E) là nghiệm của hệ :
⎧ x2 y2
=1
⎪ +
4
⎨9
⎪ y = (1 − 2) x + 3 − 2
⎩

1đ

Phương trình hồnh độ :… (9 A2 + 4) x 2 + 18 ABx + 9 B 2 − 36 = 0

1đ

⎡ y ≈ 0,3641347971
⎡ x ≈ 2,949327959
⇒⎢
⇔⎢
⎣ x ≈ −0,8173433521 ⎣ y ≈ 1,924341139
Có 2 giao điểm: M(2,949327959 ; 0,3641347971 )
N(-0,8173433521 ; 1,924341139 )

1đ

1đ

m
, g ( x) = (m + 1) cos 2 x .
x +1
Tìm những giá trị m thuộc (0;3) thỏa : f ( f (1)) = g ( f (0)) .

Câu 7. Cho 2 hàm số : f ( x) =

Trang 3


Cách giải
m
2m
; f ( f (1)) =
2
m+2
f (0) = m; g ( f (0)) = (m + 1) cos 2m

f (1) =

f ( f (1)) = g ( f (0)) Ù

2m
= (m + 1) cos 2m
m+2

Dùng solve:
⎡ m ≈ 0, 6357183134

Ta có : ⎢
⎣ m ≈ 2,517404667

Điểm

1đ
1đ
1đ

2đ

Câu 8.
1/ Tính u2011 biết un = cos(111 − cos(111 − cos(111...))) ( lấy 4 chữ số thập phân )
2/ Một người dự định xây căn nhà 900.000.000đ , hiện nay chỉ có 600.000.000đ gởi vào ngân hàng
theo thể thức lãi kép kỳ hạn 1 năm với lãi suất 14% / năm . Hỏi trong bao lâu người đó sẽ thực hiện
được dự định của mình ? ( lấy 1 chữ số thập phân )
Cách giải
Kết quả
1/ Nhập cos111 =
Dùng phép lặp : cos(111-Ans) = = =….
u251= -0,2617
2đ
1đ
Vậy u2011= -0,2617

2/ dùng công thức lãi kép: C = A(1 + r ) N
C=900.000.000đ
A=500.000.000đ
r =14%=0,14
Giải : (1,14)N=1,8 => N ≈ 4,5

Kết quả : sau 4 năm 5

1đ

1đ

Câu 9. Trong mp(Oxy) cho điểm M (0, 2 3) và đường thẳng (d ) : x − 3 y + 3 = 0 . Tìm 2 điểm P, Q
thuộc (d) sao cho tam giác MPQ vuông tại P và 3MP = PQ .

Trang 4


Cách giải

Điểm

1đ

P là hình chiếu của M trên (d);
(d’) qua M và vng góc (d) có dạng : 3x + y − 2 3 = 0
P(0,739234845; 1,24641062)
Q thuộc (d) => Q(3yo – 3 ; yo)
Với : 3MP = PQ

1đ

⇔ ( xP − 0) 2 + ( yP − 2 3) 2 ≈ 7, 012958973 = (3 y0 − 3 − xP ) 2 + ( y0 − yP ) 2
1đ
⎡ y0 ≈ 3, 464103865
⎡ x0 ≈ 7,392311595

⎢ y ≈ −0,9712808336 ⇒ ⎢ x ≈ −5,913842501
⎣ 0
⎣ 0
2đ
Có 2 điểm Q : Q(7,392311595;3,464103865);
Q(-5,913842501,-0,9712808336)
Câu10. Một khu quy hoạch dân cư hình tứ giác ABCD biết AD=a; AB=b ; BC =c
n =α ; n
; BAD
ABC = β α + β < 1800 ;.Tính diện tích khu vườn theo a,b,c, α , β .
Vận dụng : Tính diện tích khu dân cư khi a=6,7km;b=5,6km;c=4,5km; α = 56o , β = 78o
Cách giải

Kết quả

5đ
Dựng E là giao điểm BC và AD
Góc E = 1800 − (α + β )
Định lý sin trong tam giác :
b
c+x a+ y
=
=
sin(α + β ) sin α sin β
=> c + x =

y=

b sin α
b sin α − c sin(α + β )

=> x =
sin(α + β )
sin(α + β )

b sin β − a sin(α + β )
sin(α + β )

S ABCD = S ABD + S BCD = S ABD + S BED − SCED
1
1
1
ab sin α + (c + x) y sin(α + β ) − xy sin(α + β )
2
2
2
Với x=CE ; y=DE
=

--------------------HẾT--------------------

Trang 5