Vấn đề 5. Min,max
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.87 MB, 31 trang )
VẤN ĐỀ 5. MIN,MAX
Câu 1.
Email:
Cho D ABC đều cạnh bằng 3, M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp D ABC . Đặt
P = MA2 - MB 2 - MC 2 . Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P . Khi đó,
giá trị biểu thức T = 4a + b là:
A. 3 .
B. 6 .
C. 9 .
D. 12 .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng
Chọn B.
Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính của đường trịn ngoại tiếp D ABC . Ta có:
P = MA2 - MB 2 - MC 2
uuur uur 2 uuur uuu
r 2 uuur uuu
r 2
= MO + OA - MO + OB - MO + OC
uuur uur uuu
r uuu
r
=- MO 2 + 2.MO. OA - OB - OC + OA2 - OB 2 - OC 2
uuur uur uuur
uuur uur
=- 2 R 2 + 2.MO. OA - OA ' =- 2 R 2 + 2MO.2OA
uuur uur
uuur uur
=- 2 R 2 - 4.OM .OA =- 2 R 2 - 4 R 2 .cos OM ; OA
(
) (
) (
(
)
)
(
)
(
)
uuur uur
Pmin =- 6 R 2 khi và chỉ khi cos OM ; OA = 1 � M trùng A
(
)
uuur uur
Pmax = 2 R 2 khi và chỉ khi cos OM ; OA =- 1 � M trùng A ' là điểm đối xứng của A qua O
(
)
� T = 4a + b = 4.2 R 2 +( - 6 R 2 ) = 2 R 2
D ABC đều cạnh bằng 3 � R = 3 � T = 2 R 2 = 6 .
Họ và tên tác giả : Trần Văn Ngờ Tên FB: Tran Van Ngo Tth
Câu 2.
Email:
Cho ABC và 3 số dương x, y, z thay đổi có tổng bình phương: x 2 y 2 z 2 k 2 , k �R . Giá
trị lớn nhất của P xy cos C yz cos A zx cosB là:
A.
k
.
2
B.
k2
.
2
C.
k
.
3
Lời giải
Chọn B.
r r
r u
uuur uuur uuur
Đặt 3 vectơ BX , CY , AZ tương ứng là x , y , z như hình vẽ.
D.
k2
.
3
r u
r r
Ta có: x y z
2
ru
r u
rr r r
�0 � x 2 y 2 z 2 2 x y 2 yz 2 xz �0
� k 2 2 xy cos 1800 C 2 yz cos 1800 A 2 xz cos 1800 B �0
k2
� k 2 2 xy cos C 2 yz cosA 2 zxcosB �0 � xycosC yzcosA zxcosB �
2
k2
Vậy Max P
2
Câu 3.
Cho hai điểm A, B �( I ;6) và M �( I ;3) , thỏa mãn : �
AIB 60o. Khi A , B , M thay đổi tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P MA 2 MB ?
B. 3 2 6 .
A. 9 .
C. 3 13 .
D. 6 3 .
Lời giải
ur
ur
ur ur
ur
ur
ur
| v | ur | u | ur
Bổ đề : Cho hai véc tơ u và v khác véc tơ 0 , ta ln có : | u v | | ur .u ur .v |
|u |
|v |
Chứng minh : Bình phương vơ hướng vế phải ta được :
ur
ur
ur
ur
ur
ur
2
2
2
urur ur ur
� | v | ur | u | ur � �| v | ur � �| u | ur �
| v | ur | u | ur ur 2 ur 2
�| ur .u ur .v | � �ur .u � �ur .v � 2. ur .u . ur .v v u 2.u v u v
| v | � �| u | � �| v | � | u | | v |
�| u |
ur
ur
ur ur
| v | ur | u | ur
Từ đó suy ra : | ur .u ur .v | | u v | (đpcm).
|u |
|v |
2
Áp dụng vào bài tốn cân bằng hệ số : Chúng ta có thể ghi nhớ công thức để áp dụng nhanh
vào các bài tốn cân bằng hệ số đối với đường trịn và mặt cầu như sau :
uu
r uuur
uur uuur
Ta có : P MA 2MB | IA IM | 2| IB IM | và IA IB 6, IM 3
uu
r uuur
r
uuur 1 uu
r
uuur 1 uu
r
IA uuur IM uu
.IM
.IA | | 2 IM IA | 2 | IM IA |
Trong đó : | IA IM | |
IM
IA
2
4
uuur 1 uu
r
uur uuur
uuur 1 uu
r uur uuur
uur 1 uu
r
Suy ra : P 2| IM IA | 2| IB IM | �2 | IM IA IB IM | | 2 IB IA |
4
4
2
Có :
2
r �
uur 1 uu
r
1 2
1 2
1
� uur 1 uu
2
o
2
|
2
IB
IA
|
4
IB
IA
2
IA
.
IB
.cos
60
4.6
.6
2.6.6.
117
�
|
2
IB
IA
| 3 13
�
�
2
4
4
2
2
�
�
Câu 4.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pmin 3 13 � chọn đáp án C.
Cho tứ giác ABCD , M là điểm tùy ý và các điểm I, J, K cố định sao cho đẳng thức thỏa mãn
uuur uuur uuur
uuuu
r
uuuu
r
với mọi điểm M: MA MB MC 3MD k MK . Giá trị của k là
A. k = 3
B. k = 4
C. k = 5
D. k = 6
Lời giải
Chọn D
uuur uuur uuur
uuuu
r
uuuu
r
Vì MA MB MC 3MD k MK thỏa mãn với mọi M.
Do đó, đẳng thức cũng đúng với M �K
uuu
r uuur uuur
uuur
uuur
r
Tức là: KA KB KC 3KD k KK 0
uuu
r uuur uuur
uuur
Gọi G là trọng tâm ABC � KA KB KC 3KG
uuur uuur r
� 3KG 3KD 0 � K là trung điểm GD.
Mặt khác:
Câu 5.
uuur uuur uuur uuuu
r
MAuu
uu
MB
MC
3
MD
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
( MK KA) ( MK KB) ( MK KC ) 3( MK KD)
uuu
r uuur uuur uuur
uuuu
r
( KA KB KC 3KD) 6MK
uuuu
r
6 MK
�k 6
Cho tam giác ABC vng tại A. Gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BD và CK. Giá trị
nhỏ nhất của cos bằng
4
4
5
3
A.
B.
C.
D.
5
3
4
4
Lời giải
Chọn A
r uuur 1 uuu
r uuu
r
1 uuu
( BA BC ). (CA CB)
Ta có:
2
2
cos
BD.CK
BD.CK
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur2
uuu
r uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur uuu
r
BA.CA BA.CB BC.CA BC.CB ) BA.CA BC (CA BA) BC )
4.BD.CK
4.BD.CK
uuur2
uuu
r uuu
r
2 BC
BC 2 (Vì tam giác ABC vng tại A nên BA.CA 0)
4.BD.CK 2.BD.CK
uuur uuur
BD.CK
Mặt khác,
Cauchy
�AB 2 BC 2 AC 2 � �AC 2 BC 2 AB 2 �
2.BD.CK � BD 2 CK 2 �
� �
�
2
4
2
4 �
�
��
BC 2
AB 2 AC 2
BC 2 5BC 2
BC 2
4
4
4
BC 2
4
cos �
2
Suy ra,
5 BC
5
4
Câu 6.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi BD = CK hay ABC vuông cân tại A
Cho hai điểm cố định G và G ' là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác A ' B ' C '. Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P AA ' BB ' CC ' bằng
A. GG '
B. 3GG '
C. 2GG '
Lời giải
Chọn B
D.
1
GG '
3
G ' là trọng
uuuuu
r uuuuu
r uuuuu
r r
G ' A ' G ' B ' G ' C ' 0.
Do
G
và
tâm ABC , A ' B ' C '
nên
uuu
r uuu
r uuur r
GA GB GC 0
và
Ta có:
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuuur
uuur uuuur uuuuur
uuur uuuur uuuuur
AA ' BB ' CC ' ( AG GG ' G ' A ') ( BG GG ' G ' B ') (CG GG ' G ' C ')
uuuu
r uuu
r uuu
r uuur
uuuuu
r uuuuu
r uuuuu
r
3GG ' (GA GB GC ) (G ' A ' G ' B ' G ' C ')
uuuu
r
3GG '
uuur uuur uuuu
r uuur uuur uuuu
r
Mặt khác, P AA ' BB ' CC ' AA ' BB ' CC ' �AA ' BB ' CC '
uuuu
r
3 GG ' 3GG '
uuur uuur uuuu
r
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AA ', BB ', CC ' cùng hướng
Họ và tên: Nguyễn Đức Hoạch – email:
Mail:
Câu 7.
FB: Nguyễn Nga Nvc
�A B = C
�B A = 600 . Với
Cho hình thang A1B1C1D1 có A1B1 / / C1D1, A1B1 = 3a,C1D1 = 2a, D
1 1 1
1 1 1
uuuu
r uuuu
r uuuur
mỗi điểm G1 di động trên cạnh A1B1 ta xác định điểm F1 sao cho G1F1 = G1C1 +G1D1 . Tìm độ
uuuu
r
dài nhỏ nhất của G1F1 .
A. 2a .
B. a 3 .
C.
3a 3
.
2
D.
3a
.
2
Lời giải
Chọn B
Gọi Z = A1B1 �C1D1 , từ giả thiết suy ra tam giác ZA1B1 đều cạnh 3a . Gọi H 1, I 1 lần lượt là
1
a 3
trung điểm của A1B1,C1D1 , suy ra H 1, I 1 cố định và H 1I 1 = ZH 1 =
3
2
Từ giả thiết ta có tứ giác G1D1F1C1 là hình bình hành, nên G1F1 = 2G1I 1 �2H 1I 1 = a 3 .
uuuu
r
Vậy độ dài nhỏ nhất của G1F1 bằng a 3 .
Nguyễn Văn Công- Trường THPT Kinh Môn II
Câu 8.
Gmail:
Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = 2 ; CA = b; AB = c và điểm M di động
Biểu thức F= 8MA 2 b 2 MB2 c 2 MC 2 đạt giá trị lớn nhất bằng
A. 4
B. 12
C. 16
D. 24
Lời giải
uur 2 uur 2 uur r
Xét điểm I thỏa mãn: 8IA b IB c IC 0 (1)
( Dựng đường cao AH, dựng I sao cho A là trung điểm IH ; I thỏa (1))
Bình phương hai vế của (1) chú ý rằng
uur uur
2IA.IB IA 2 IB2 AB2 ;
uur uur
2IB.IC IB2 IC2 BC2
uur uur
2IC.IA IC2 IA 2 AC2
rồi biến đổi ta được kết quả 8.IA 2 b 2 .IB2 c2 .IC 2 3b 2 c 2 .
uuuu
r2
uuur 2
uuur 2
F 8MA 2 b 2 MB2 c 2 MC2 8MA b 2 MB c2 MC
uuu
r uur
uuu
r uur
uuu
r uur
8(MI IA) 2 b 2 (MI IB) 2 c 2 (MI IC) 2
4MI 2 8.IA 2 b 2 IB2 c 2 IC 2 4MI 2 3b 2c 2
2
�b 2 c 2 �
�3b c �3 �
� 12
� 2 �
2 2
Họ và tên tác giả : Vũ Viên Tên FB: Vũ Viên
Câu 9.
Email:
Cho ABC đều có cạnh bằng 2a . Gọi d là đường thẳng qua A và song song BC , điểm M di
uuur uuur uuuu
r
động trên d . Tìm giá trị nhỏ nhất của MA 2MB MC .
A. 2a 3 .
B. a 3 .
C.
a 3
.
4
D.
Lời giải
M
A
I
K
C
B
Chọn B.
uu
r
uur uuur uur r
uur uur uur r
Xét điểm I sao cho: IA 2 IB IC 0 � IA 2 IA AB IC 0
uu
r uuur uuur r
uur uuur uuu
r r
� 2 IA 2 AB AC 0 � 2 IA AB CB 0
a 3
.
2
uuu
r uuur
uu
r BA BC uuur
� IA
BK (với K là trung điểm AC ).
2
� I là điểm thứ 4 của hình bình hành AIBK .
uuur uuur uuuu
r
uuu
r uu
r
uuu
r uur
uuu
r uur
Ta có: MA 2MB MC MI IA 2 MI IB MI IC
uuu
r uu
r uur uur
uuu
r
2 MI IA 2 IB IC 2MI 2MI .
M �d � Min đạt được khi LM d . Khi đó:
� MAB
� IAB
� 60� �
MAI
ABK 60� 30� 30�
2 IM 2��
IA sin
װ30
װ 2.BK sin 30
(2 a) 2
2 sin 30
a2
a 3.
Họ và tên tác giả: Phạm Khắc Thành
Email:
Câu 10. Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ. Đặt a BC , b CA, c AB . Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức T
A. 3 3 .
B.
MA MB MC
.
a
b
c
3.
C.
3
.
3
3
.
2
D.
Lời giải
Chọn B.
Theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có:
4ma2 �
2
c 2
b2 �
a2
2 b2
c2
a2
4ma2 3a 2
4 3ama
ama
b2 c 2 a 2
2 3
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC khi đó:
uuur uuu
r
uuuu
r uuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
MA MA.GA
MA.GA
3 3
3 3
� 2 2
MG
GA
.
GA
MG
.
GA
GA2
2
2
2
2
2
2
2
2 b c a
a
a.GA
b c a
b c a
.
3
2 3
Từ đó suy ra:
uuuu
r uuu
r uuu
r uuur
MA MB MC
3 3
�
�2 2
MG. GA GB GC GA2 GB 2 GC 2 �
2 �
�
a
b
c
b c a
uuu
r uuur uuur r
1 2
2
2
2
2
2
Lại có GA GB GC 0 và GA GB GC a b c
3
MA MB MC
3 3
� 1 2
�
�2 2
0 a b 2 c 2 � 3 . Đẳng thức xảy ra khi tam
2 �
a
b
c
b c a � 3
�
giác ABC đều đồng thời M trùng với trọng tâm của tam giác ABC.
Do đó
Mail:
Chủ đề: Vectơ.
Câu 11. Cho tam giác ABC có trung tuyến AA' CC'
cos B.
4
A. .
5
B.
2
.
5
A' �BC , C' �AB . Tìm
C. 1.
Lời giải:
D.
giá trị nhỏ nhất của
1
2
Chọn.
A.
A
C’
G
C
A’
B
uuur r uuu
r r
Đặt BC a , BA c ta có:
uuur 1 r r
uuur 1 r r
AA' a c và CC' c a
2
2
�1 r r �
�1 r r �
Do AA' CC' nên � a c �
� c a � 0
�2
�
�2
�
rr 2 r 2 r 2
2 r2 r2
4 r r
�
ac a c
a c � a .c
5
5
5
rr
+ Nếu ac 0 thì cosB 1
rr
a.c
4
rr
cos
B
r r � . Dấu đẳng thức xảy ra khi
+ Nếu ac �0 thì
a.c 5
Vậy giá trị nhỏ nhất của cosB là
r r
a c
4
, đạt dược khi tam giác ABC cân tại B.
5
Họ và tên tác giả : Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê
Email:
Câu 12. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để vecto
uuur uuur uuuu
r
aMA bMB cMC có độ dài nhỏ nhất
A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.
B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC.
C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC.
D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Lời giải
Chọn B.
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC
uuur uuur
DB AB c
c
� DB .DC , mà hai vecto DC , DB ngược
DC AC b
b
uuur
uuur uuur r
uur uur
uur uur r
c uuur
hướng nên ta có DB DC � bDB cDC 0 � b IB ID c IC ID 0
b
uur uur
uur r
hay bIB cIC b c ID 0 (*)
Theo tính chất phân giác trong:
Mặt khác
DB c
DB
c
ac
�
� DB
DC b
BC b c
bc
IA BA c b c b c
� aIA b c ID
ID BD
ac
a
uu
r
uur
uu
r uur
Mà IA, ID ngược hướng nên aIA b c ID
uur uur uu
r r
Thay vào (*) ta có bIB cIC aIA 0
uuur uuur uuuu
r
Vậy độ dài của aMA bMB cMC nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng I
Họ và tên: Ngô Gia Khánh
Địa chỉ mail:
Câu 13. Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a , M là điểm di động trên đường thẳng AC .
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = MA + MB + MC + 3 MA - MB + MC là:
A. MinT = 2a 3 .
3
B. MinT = 2a 3.
C. MinT = a 3.
D. MinT = 5a 3 .
2
Lời giải
uuur uuur uuur uuur
+, Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta có: MA + MB + MC = MG .
+, Dựng hình bình hành ABCD , ta được:
uuu
r uuu
r
uuur uuur uuur uuu
r uuur uuu
r uuur uuur
BA = CD � MA - MB + MC = BA + MC = CD + MC = MD
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
+, Khi đó T = MA + MB + MC + 3 MA + MB - MC = 3( MG + MD ) �3GD
( Vì G,D nằm khác phía với đường thẳng AC)
Dấu bằng xảy ra khi M là giao điểm của GD và đường thẳng AC hay M là trung điểm của AC
+ Nhận xét GD = 4 BM = 4 a 3 = 2a 3 .
3
3 2
3
Vậy MinT = 2a 3. .
Email:
Câu 14. Cho ABC và A ' B ' C ' có các trọng tâm G và G ' cố định và GG ' a . Khi đó giá trị nhỏ nhất
của T AA ' BB ' CC ' là:
A. T a .
B. T 2a .
C. T 3a .
D. T 4a .
Lời giải
Chọn C.
Ta có:
uuuur uuur uuuu
r
T AA ' BB ' CC '
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur
AG GG ' G'A ' BG GG ' G'B ' CG GG ' G'C '
uuuur
3GG '
Vậy
T AA ' BB ' CC '
uuuur uuur uuuu
r uuuur uuur uuuu
r
uuuur
AA ' BB ' CC ' �AA ' BB ' CC ' 3 GG ' 3GG ' 3a
uuuur uuur uuuu
r
Giâ trị nhỏ nhất của T là 3a khi AA ', BB ', CC ' cùng phương.
(Họ và tên tác giả : Phạm văn Tài, Tên FB: TaiPhamVan)
Mail:
Câu 15. Cho tam giác ABC với các cạnh AB x, AC y ; x y 0 . Gọi AD là đường phân giác
uuur
uuu
r uuur
trong của góc A . Biết biểu thị vectơ AD m AB n AC . Tính S m n .
A. S 2 .
B. S 0 .
C. S 1 .
D. S 2 .
Lời giải
Chọn C.
Theo tính chất đường phân giác trong của tam giác ta có
uuur
DB AB x
x
DB
x
� uuur � điểm D chia đoạn thẳng BC theo tỉ số k
DC AC y
y
y
DC
uuu
r x uuur
AB
AC
uuur
r
y uuu
x uuur
y
AB
AC � m n
Nên ta có: AD
x
x
y
x
y
1
y
Câu 16. Cho ABC có AB 3 ; AC 4 . Phân giác trong AD của góc
AD a
a
, với a, b �� và
tối giãn. Tính S a 2b .
AI b
b
A. S 10 .
B. S 14 .
C. S 24 .
yx
1.
x y
�
cắt trung tuyến BM tại I
BAC
. Biết
Lời giải:
Chọn C.
D. S 27 .
uuu
r uuuu
r
uur
uur uuur r
IB
AB 3
� 2 IB 3IM 0 � 2 AB 3 AM 5 AI 1 .
IM AM 2
uuu
r uuur
uuur
uuur uuur r
DB AB 3
� 4 DB 3DC 0 � 4 AB 3 AC 7 AD 2 .
DC AC 4
uuu
r uuuu
r
uur
uuu
r uuuu
r
uur
�
�
2 AB 3 AM 5 AI
4 AB 6 AM 10 AI
�
�
r uuur
uuur � �uuu
r uuur
uuur
Từ 1 và 2 ta có hệ � uuu
4 AB 3 AC 7 AD
4 AB 3 AC 7 AD
�
�
Ta có:
uuuu
r uuur
uur uuur
uuur
uur
AD 10
� 6 AM 3 AC 10 AI 7 AD � 7 AD 10 AI � 7 AD 10 AI �
AI
7
� a 10, b 7 � S 10 2.7 24
Họ và tên tác giả : Lê Hồng Phi Tên FB: Lê Hồng Phi
Email:
Câu 17. Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vng góc với AB , AB 8 , AD a , BC b . Gọi
E là một điểm thuộc cạnh CD . Biết �
AEB 90�, giá trị lớn nhất của T ab là
B. 16 .
A. 4 .
C. 8 .
D. 64 .
Lời giải
Chọn B.
Vì E là một điểm thuộc cạnh CD nên tồn tại k � 0;1 sao cho
uuur
uuur r
k EC 1 k ED 0 .
uuur
uuur uuu
r
uuur
uuur uuur
Khi đó, k BC 1 k BD BE và k AC 1 k AD AE .
Suy ra
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
2
BE. AE k 2 BC. AC k 1 k BC. AD k 1 k BD. AC 1 k BD. AD
uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur
2
k 2 BC AB BC k 1 k ab k 1 k BA AD AB BC 1 k BA AD AD
k 2b 2 k 1 k ab k 1 k 82 ab 1 k a 2
2
kb 1 k a 64k 1 k .
2
uuu
r uuur
Do �
AEB 90�� BE. AE 0 � kb 1 k a 8 k 1 k �
k
Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có 8 �
b
1 k
1 k
a
k
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi a b 4 và k 0,5 .
2 ab
k
1 k
b
a 8.
1 k
k
ab 16 .
Vậy max T 16 .
Câu 18. Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vng góc với AB , AB h , AD a , BC b . Cho
uuur
uuur r
k là số thực dương thuộc 0;1 và điểm E thỏa mãn k EC 1 k ED 0 . Tìm hệ thức liên hệ
giữa a , b , h , k để góc �
AEB 90�?
A. 1 k b ka h k 1 k .
B. kb 1 k a hk 1 k .
C. kb 1 k a h k 1 k .
D. 1 k b ka hk 1 k .
Lời giải
Chọn C.
uuur
uuur r
Từ k EC 1 k ED 0 suy ra
uuur
uuur uuu
r
uuur
uuur uuur
k BC 1 k BD BE và k AC 1 k AD AE .
Khi đó,
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
2
BE. AE k 2 BC. AC k 1 k BC. AD k 1 k BD. AC 1 k BD. AD
uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur
2
k 2 BC AB BC k 1 k ab k 1 k BA AD AB BC 1 k BA AD AD
k 2b 2 k 1 k ab k 1 k h 2 ab 1 k a 2
2
kb 1 k a k 1 k h 2 .
uuu
r uuur
Do �
AEB 90�nên BE. AE 0 � kb 1 k a h k 1 k .
2
Vậy hệ thức liên hệ giữa a , b , h , k để góc �
AEB 90�là kb 1 k a h k 1 k .
Câu 19. Cho tam giác có trọng tâm G , qua G dựng đường thẳng d cắt cách cạnh AB , AC lần lượt
AM
AN
x,
y , gọi m , M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
AB
AC
T x y . Tính m M .
10
17
11
5
A.
.
B.
.
C. .
D. .
3
6
6
2
Lời giải
(Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Thanh Nhàn, Tên FB: Hoàng Nhàn)
tại M , N . Đặt
Chọn B
r 1 uuur
uuur uuur 1 uuu
uuuu
r
uuu
r uuur
Ta có AM x AB , AN y AC , AG AB AC .
3
3
uuu
r
uuur
uuuu
r uuur uuuu
r
� MN AN AM x AB y AC .
uuuu
r �1
r 1 uuur
�uuu
MG � x �AB AC .
3
�3
�
�1
�1
�1
1 k
x kx
1 k x
�
�
�
uuuu
r
uuuu
r
�3 x
�3
�3
��
��
Do M , N , G thẳng hàng nên MG k MN � �
1
1
�1 k
� ky
� ky
�3
�3
�3 y
1 1
� 3.
x y
�y
x
.
3x 1
Do M , N lần lượt nằm trên các cạnh AB , AC nên
3
1 1
2
�
xy
x y
xy
4
4
� T x y 3xy �
9
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y
� giá trị nhỏ nhất m
1
�x, y �1 .
2
2
.
3
4
.
3
1 �
�
Ta có x �� ;1�� 2 x 1 x 1 �0 � 2 x 2 3 x 1 �0 2 x 2
2 �
�
2
3x
3
.
3x 1 2
3x 1
2 x2
1
3x 1
� 1
x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi � 2
�
x 1
�
Ta có T x y 3 xy
3x 2
3
�
3x 1 2
� giá trị lớn nhất là M
Vậy m M
3
.
2
4 3 17
.
3 2 6
Họ và tên: Nguyễn Thị Thu
Email:
Facebook: Nguyễn Thị Thu
uuur 1 uuur
Câu 20. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho BH HC .
3
uuuu
r uuur
uuuu
r
uuur
Điểm M di động trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho MA GC đạt giá trị nhỏ nhất.
A.
4
.
5
B.
5
.
4
C.
Lời giải
5
.
6
D.
6
.
5
Chọn B.
uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuur
Dựng hình bình hành AGCE. Ta có MA GC MA AE ME ME �FE .
uuuu
r uuur
Do đó MA GC nhỏ nhất khi M �F .
Gọi P là trung điểm của AC; Q, F lần lượt là hình chiếu vng góc của P, E trên BC.
uuu
r 4 uuur
BQ BP 3
hay BF BQ .
Ta có BPQ và BEF đồng dạng nên
BF BE 4
3
uuur 1 uuur
Có PQ là đường trung bình của AHC nên Q là trung điểm của HC hay HQ HC .
2
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 5 uuur 5 3 uuu
r 5 uuu
r
BQ BH HQ HC HC HC . BC BC .
3
2
6
6 4
8
uuu
r 4 uuur 5 uuu
r
5
Do đó BF BQ BC . Vậy x .
3
6
6
gmail:
Câu 21. Cho tam giác ABC đều cạnh 2 3 , d là đường thẳng qua B và tạo với AB một góc 600
uuur uuur uuuu
r
C � . Tìm giá trị nhỏ nhất của A MA MB 3MC ?
A.
3
5
B.
12
5
C.
4
5
Lời giải
Gọi E là trung điểm AB.
uu
r uur uur r
uur uur r
Gọi I là điểm thỏa mãn: IA IB 3IC 0 � 2 IE 3IC 0
D. 2
3
� I nằm giữa đoạn EC và EI EC
5
uuur uuur uuuu
r
uuu
r uu
r uur uuu
r uur
uuu
r
Ta có: MA MB 3MC 2 MI IA IB 3MI 3IC 5MI
uuu
r
Vậy A 5MI min � M là hình chiếu của I trên đường thẳng d.
Đường thẳng d qua B và tạo với AB 1 góc 600 nên d song song AC và cắt EC tại K.
� KEB CEA g .c.g nên E là trung điêm KC
3
9
3
3
2 3.
3 � EI .3
5
5
2
2
9
24
KI 3
5
5
EB KB
EB.KI 12
� MI
EKB MKI �
MI KI
KB
5
(Tác giả: Hoàng Thị Thúy- Facebook: Cỏ ba lá )
EC a
Câu 22. Cho tam giác ABC đều cạnh 1 nội tiếp đường tròn (O) và điểm M thay đổi trên O . Gọi s , i
uuur uuur uuuu
r
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA MB MC . Tính s i .
A. s i 3 .
B. s i
4 3
.
3
C. s i
5 3
.
3
D. s i 2 3 .
Lời giải
Dựng hình bình hành DBCA . Ta có
uuur uuur uuuu
r uuuu
r uuu
r uuuu
r uuur uuuu
r uuur uuuu
r
MA MB MC MD DA MD DB MD DC MD MD.
Gọi E là giao điểm khác C của DC với (O) . Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có
MD �DO OM DO OE DE và MD �DO OM DO OC DC
Dấu bằng xảy ra lần lượt khi M trùng E và M trùng C .
3
1
4 3
Vậy s i DE DC DC CE DC 2 DC 2OC 2 � 2 �
.
2
3
3
Câu 23. Cho lục giác đều ABCDEF cạnh a . Trên đường chéo AC , CE lấy hai điểm M , N sao cho
AM CN
k 0 k 1 . Độ dài BM 2 BN 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi k bằng bao nhiêu ?
AC CE
1
1
2
3
A. .
B. .
C. .
D. .
2
4
3
4
Lời giải
(Bùi Duy Nam sưu tầm. FB: Bùi Duy Nam )
Chọn B.
uuur uuu
r
uuuu
r
uuur
uuuu
r uuu
r uuuu
r
AM
k � AM k AC k BC BA .
Ta có BM BA AM mà
AC
uuuu
r uuu
r
uuur uuu
r
uuuu
r
uuur
uuu
r
Vậy BM BA k BC BA � BM k BC 1 k BA .
uuur
uuu
r
uuur uuu
r
uuu
r uuur
uuur uuur uuur
CN
k � CN kCE k CF FE k 2BA BC .
Lại có BN BC CN mà
CE
uuur
uuur
uuu
r
Vậy BN k 1 BC 2k BA .
uuur
uuu
r 2
uuur
uuu
r 2
� �
�
k
BC
1
k
BA
k
1
BC
2
k
BA
Khi đó BM 2 BN 2 �
�
� �
�
u
u
u
r
u
u
u
r
uuur uuu
r
2
2
k 2 BC 2 1 k BA2 2k 1 k BC.BA k 1 BC 2 4k 2 BA2 4k k 1 BC.BA .
uuur uuu
r BC 2 BA2 AC 2
a2
Mà BC BA a và BC.BA
.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Vậy BM BN a 6k 3k 2
0 k 1 .
� min BM 2 BN 2 a 2 min 6k 2 3k 2 .
0 k 1
�1 � 13
2
f k f � � .
Xét f k 6k 3k 2 0 k 1 , ta có min
0 k 1
�4 � 8
1
13a 2
khi k .
4
8
Câu 24. Cho hình chữ nhật ABCD có AD a , AB b . O và I lần lượt là trung điểm DB và DO .
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuur
N là điểm thỏa mãn 2 NA 2 NC AB AD 2 AD và NB lớn nhất. Tính NB .
Vậy min BM 2 BN 2
A.
2a 3 a 2 b 2
2
B.
a a2 b2
2
C.
Lời giải
2a 3 a 2 b 2
4
D.
2a a 2 b 2
.
4
uuu
r uuur uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uur
uur
2 NA 2 NC AB AD 4 NO BD 4 NO 4OI 4 NI
Suy ra NI
AD a
2
2
Để NB lớn nhất thì N là giao điểm của đường trịn tâm I bán kính
a
với BD ( N và B khác
2
phía so với I ).
Do đó NB NI IB
a 3 2 2 2a 3 a 2 b 2
a b
2 4
4
Họ tên tác giả : Đoàn Phú Như
Tên fb : Như Đoàn
Email :
Câu 25. Cho tam giác ABC, AB 3(cm), BC 4(cm), CA 5(cm). Điểm M thuộc đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MB 2 MC 2 MA2 là
B. 5
A. 0 .
5 97
.
2
C. 5
5 97
.
2
D. 5
5 97
.
4
Lời giải :
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì O là trung điểm AC..
uuur uuur uuur r
Gọi D đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC thì DB DC DA 0
uuur 2 uuuu
r 2 uuur 2
uuuu
r uuur 2 uuuu
r uuur 2 uuuu
r uuur
Ta có P MB 2 MC 2 MA2 MB MC MA MD DB MD DC MD DA
uuuu
r uuur uuur uuur
P MD 2 DB 2 DC 2 DA2 2MD DB DC DA MD 2 DB 2 DC 2 DA2 MD 2 18
Do đó P nhỏ nhất khi và chỉ khi DM nhỏ nhất.
Vì M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên DM nhỏ nhất khi và chỉ khi O,M,D theo
thứ tự thẳng hàng.
2
uuur uuur uuur 1 uuur uuu
r
r�
uuur uuu
r
1
�1 uuur uuu
2
Ta có OD OC CD AC AB � OD � AC AB � AC 2 AB 2 AC .AB
2
�2
� 4
OD 2
25
3 97
97 5
9 5.3.
� MD OD OM
4
5 4
2
2
2
2
� 97 5 �
5 97
Vậy MinP �
�2 2�
� 18 5 2 .
�
�
Chọn đáp án B
Câu 26. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho
uuur 1 uuur
uuuu
r
uuur
BH HC . Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM xBC . Tìm x sao cho độ dài của
3
uuur uuur
vectơ MA GC đạt giá trị nhỏ nhất.
4
5
6
5
A. . .
B. . .
C. . .
D. .
5
6
5
4
Lời giải
(Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo)
Chọn B.
uuur uuur uuur uuur uuur
Dựng hình bình hành AGCE . Ta có MA GC MA AE ME .
uuur uuur uuur
Kẻ EF BC F �BC . Khi đó MA GC ME ME �EF .
uuur uuur
Do đó MA GC nhỏ nhất khi M �F .
Gọi P là trung điểm AC , Q là hình chiếu vng góc của P lên BC Q �BC .
3
Khi đó P là trung điểm GE nên BP BE .
4
uuur 4 uuur
BQ BP 3
hay BF BQ .
Ta có BPQ và BEF đồng dạng nên
BF BE 4
3
uuur 1 uuur
Mặt khác, BH HC .
3
uuur 1 uuur
PQ là đường trung bình AHC nên Q là trung điểm HC hay HQ HC .
2
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 5 uuur 5 3 uuur 5 uuur
Suy ra BQ BH HQ HC HC HC . BC BC.
3
2
6
6 4
8
uuur 4 uuur 5 uuur
Do đó BF BQ BC .
3
6
uuur
uuur
Câu 27. Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp đơi đáy AB. Lấy một điểm E sao cho 3BC 2 DE và
đồng thời thỏa mãn CA CE . Giá trị nhỏ nhất của góc �
ABC nằm trong khoảng nào dưới đây ?
A. (95o;100o) .
B. (100o;106o) .
C. (106o;115o) .
Lời giải:
D. (115o;120o) .
B
A
D
C
E
uuur uuu
r uuur
Gọi �
ABC . Ta có: AC AB BC � AC 2 AB 2 BC 2 2 AB.BC.cos (1)
uuu
r uuur uuur
uuu
r 3 uuur
9
CE CD DE 2 AB BC � CE 2 AC 2 4 AB 2 BC 2 6 AB.BC.cos
Lại
có:
2
4
(2)
Lấy (2) – (1) vế theo vế ta được :
5
3 AB 5 BC
15
�3 AB 5 BC �
0 3 AB 2 BC 2 8 AB.BC.cos � cos �
.
��2.
4
8 BC 32 AB
8
�8 BC 32 AB �
Suy ra: �118,96o � GTNN của nằm trong khoảng (115o;120o) � chọn đáp án D.
uuu
r uuur
uuur
uuur
Câu 28. Cho hình thang ABCD có 2 AB DC , AC 8, BD 6 , góc tạo bởi hai véc tơ AC và BD
bằng 120o. Khi đó giá trị của ( AD BC ) bằng:
A.
13 2 5
.
2
B.
14 4 7
.
3
C.
15 2 10
.
4
D. 6 4 3 .
Lời giải:
A
D
B
C
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuur
Ta có: AC AB BC và BD BC CD . Suy ra: 2 AC BD (2 AB CD) 3BC 3BC
Bình phương vơ hướng hai vế ta được:
9 BC 2 4 AC 2 BD 2 4 AC .BD.cos120o 4.82 62 4.8.6.cos120o � BC
14
3
Tương tự ta có:
uuur uuur
uuu
r uuur
uuur
uuur
uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuur
Ta có: AC AD DC và BD BA AD . Suy ra: AC 2 BD (2 BA BC ) 3 AD 3 AD
Bình phương vơ hướng hai vế ta được:
9 AD 2 AC 2 4 BD 2 4 AC.BD.cos120o 82 4.62 4.8.6.cos120o � AD
4 7
3
14 4 7
� chọn đáp án B.
3
uuu
r uuur
Câu 29. Cho hình thang ABCD có 2 AB DC , AC 9, BD 6 . Giá trị của biểu thức ( BC 2 AD 2 )
bằng:
80
A. 15 .
B.
.
C. 12 .
D. 14 .
3
Suy ra: ( AD BC )
Lời giải:
A
B
C
D
uuur uuur
uuu
r uuur
uuur
uuur
uuur uuu
r uuur
uuur uuur uuur
Ta có: AC AB BC và BD BC CD . Suy ra: 2 AC BD (2 AB CD) 3BC 3BC
Bình phương vơ hướng hai vế ta được:
uuur uuur
9 BC 2 4 AC 2 BD 2 4 AC .BD (1)
Tương tự ta có:
uuur uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuu
r uuur
Ta có: AC AD DC và BD BA AD . Suy ra: AC 2 BD (2 BA BC ) 3 AD 3 AD
Bình phương vô hướng hai vế ta được:
uuur uuur
9 AD 2 AC 2 4 BD 2 4 AC .BD (2)
AC 2 BD 2 92 62
Lấy (1) trừ đi (2) vế theo vế, ta được : BC AD
15 � Chọn đáp án
3
3
A.
2
2
14 4 7
� chọn đáp án B.
3
� 60o và AB, AC đã biết. Biểu thức P k .MA MB MC đạt giá
Câu 30. Cho tam giác ABC có BAC
trị nhỏ nhất bằng ( AB AC ) với mọi giá trị thực k �k0 . Giá trị của k0 nằm trong khoảng nào
Suy ra: ( AD BC )
dưới đây ?
A. (0;1) .
3
B. ( ; 2) .
2
3
C. (1; ) .
2
D. (2;3) .
Lời giải:
ur
ur ur ur ur
ur ur v
ur ur
ur ur
Ta có: | u | .| v | �u .v �| u |�u . ur và: u .v � | u | .| v | . Áp dụng vào bài này, ta có :
| v|
uuu
r
uuur
uuu
r
uuur
uuur AB uuuu
r AC
uuur uuu
r AB uuur uuur AC
P k .MA MB MC �k .MA MB.
MC.
k.MA ( MA AB).
( MA AC ).
AB
AC
AB
AC
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur
� P �k .MA AB AC MA( AB AC ) �k .MA AB AC MA. | AB AC |
AB AC
AB AC
uuu
r uuur
� AB AC �
k |
| � AB AC .
� P �MA �
AB
AC
�
�
uuu
r uuur
� AB AC �
P �MA �
k |
| � AB AC �AB AC
AB
AC
�
�
uuu
r uuur
uuu
r uuur
� AB AC �
AB AC
k |
| ��0 � k �|
|
Suy ra: �
AB AC
� AB AC �
Giả
thiết
cho
Sử
dụng
bình
phương
vơ
hướng
uuur uuur
uuur 2
uuur 2
uuu
r uuur
AB AC 2 �AB � �AC � AB AC
|
| � � � � 2
.
1 1 2.cos 60o 3
AB AC
�AB � �AC � AB AC
uuu
r uuur
AB AC
Suy ra: k �|
| 3 k0 . Vậy ta chọn đáp án B.
AB AC
để
biết:
tính:
Email:
Câu 31. Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a. Tìm điểm M để vecto
uuur uuur uuuu
r
aMA bMB cMC có độ dài nhỏ nhất
A. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.
B. M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC.
C. M trùng với trực tâm H của tam giác ABC.
D. M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.
Lời giải
Họ và tên tác giả : Vũ Thị Hồng Lê Tên FB: Hồng Lê
Chọn B.
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC
uuur uuur
DB AB c
c
� DB .DC , mà hai vecto DC , DB ngược
DC AC b
b
uuur
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
r
u
ur uur
uur uur r
c
hướng nên ta có DB DC � bDB cDC 0 � b IB ID c IC ID 0
b
uur uur
uur r
hay bIB cIC b c ID 0 (*)
Theo tính chất phân giác trong:
Mặt khác
DB c
DB
c
ac
�
� DB
DC b
BC b c
bc
IA BA c b c b c
� aIA b c ID
ID BD
ac
a
uu
r
uur
uu
r uur
Mà IA, ID ngược hướng nên aIA b c ID
uur uur uu
r r
Thay vào (*) ta có bIB cIC aIA 0
uuur uuur uuuu
r
Vậy độ dài của aMA bMB cMC nhỏ nhất bằng 0 khi M trùng I
Email:
Câu 32. Cho tam giác ABC đều cạnh a và điểm M thay đổi. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 2 MA2 3MB 2 4 MC 2 là:
A. 14a 2
B. 14a 2
C.
26a 2
3
D.
26a 2
3
Lời giải
Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết Lê FB: Nguyen Tuyet Le
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuur
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Ta có: P 2( MG GA)2 3( MG GB )2 4( MG GC )
uuuu
r uuu
r uuu
r uuur
= MG 2 2MG (2GA 3GB 4GC )
uuuu
r uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuur
MG 2 2MG (2GA 2GB 2GC GB 6GC )
uuuu
r uuu
r uuur
MG 2 2 MG (CB 5GC ) GC 2
uuuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuur
MG 2 2MG (CB 5GC ) (CB 5GC ) 2 42GC 2
uuu
r uuur
uuu
r uuur
a2
(Vì (CB 5GC ) 2 CB 2 10CB.GC 25GC 2 43. 43GC 2 )
3
uuuu
r uuu
r uuur 2
p ( MG CB 5GC ) 42GC 2 �42GC 2 14a 2 .
uuuu
r
uuur uuu
r
Dấu “=”xẩy ra � MG 5GC CB .
uuuu
r
uuur uuu
r
Vậy min P 14a 2 khi M là điểm thỏa mãn MG 5GC CB
Họ và tên tác giả : Đặng Văn Tâm Tên FB: Đặng Văn Tâm
Email:
Câu 33. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vng góc với nhau. Tính giá trị
nhỏ nhất của cosA .
1
2
3
4
A. .
B. .
C. .
D. .
2
3
4
5
Lời giải
Chọn D
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC, AB. Ta có:
uuuur uuuur uuur uuur uuuu
r uuur
BM AM AB; CN AN AC.
uuuur uuur
Theo giả thiết BM CN nên ta có BM �
CN 0 hay
uuur uuur uuuu
r uuur
uuur uuur
uuuur uuuu
r uuuur uuur uuuu
r uuur
AM AB �AN AC 0 � AB �
AC AM �
AN AM �
AC AN �
AB.
uuuur
1 uuur
2
uuuu
r 1 uuur
2
Mà AM AC và AN AB nên suy ra
uuur uuur
uuur uuur 2
1 uuur uuur 1
AB �
AC AB �
AC AB2 AC 2 � AB �
AC AB2 AC 2 .
4
2
5
Áp dụng định nghĩa tích vơ hướng, kết hợp Bất đẳng thức Cosi ta có
uuur uuur
uur
u uuur
AB �
AC 2 AB2 AC 2 2 2 AB2.AC 2 4
cos A cos AB; AC
� .
.
AB.AC 5 AB.AC
5
AB.AC
5
4
5
Dấu " " xảy ra khi AB AC hay tam giác ABC cân tại A. Vậy min cos A .
Họ và tên : Cấn Việt Hưng
Email:
FB: Viet Hung
uuur uuur uuur uuur
Câu 34. Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB .
Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ?
a
a 3
A. .
B.
C. a.
D. 2a.
.
2
2
Lời giải:
Chọn A.
uuur uuur uuuu
r
Gọi N là đỉnh thứ 4 của hình bình hành MANB . Khi đó MA MB MN .
uuur uuur uuur uuur
uuuu
r uuu
r
Ta có MA MB MA MB � MN BA hay MN AB .
Suy ra MANB là hình chữ nhật nên �
AMB 90o .
Do đó M nằm trên đường trịn tâm O đường kính AB .
MH lớn nhất khi H trùng với tâm O hay max MH MO
AB a
.
2
2
Họ và tên tác giả : Phương Xuân Trịnh Tên FB: : Phương Xuân Trịnh
Email:
Câu 35. Cho tam giác ABC vng tại A . Gọi là góc giữa hai trung tuyến BD và CK . Giá trị nhỏ
nhất của cos là:.
1
4
2
3
A. .
B. .
C. .
D. .
2
5
3
4
Lời giải
Chọn B.
Ta có:
uuur uuuu
r uuuu
r uuur uuuu
r uuuu
r
uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuur
BD .CK AD AB AK AC AD . AC AK . AB (do AB AC )
1
1
AB 2 AC 2 BC 2 .
2
2
Mặt khác:
2 BD.CK �BD CK
2
2
2 BA
2
2 BC 2 AC 2 2CA2 2CB 2 AB 2
4
AB 2 AC 2 4 BC 2 5 BC 2
.
4
4
Do đó:
cos
cos
uuur uuuu
r
BD .CK
BD.CK
BC 2
4 BC 2 4 .
�
2 BD.CK 5BC 2 5
4
� BD CK � ABC vuông cân tại A .
5
Vậy min cos
4
.
5
uuur 1 uuur
Câu 36. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là chân đường cao kẻ từ A sao cho CH HB . Điểm M di
3
uuuu
r
uuu
r
uuur uuur
động trên BC sao cho CM x.CB . Tìm x sao cho độ dài vecto MA GB đạt giá trị nhỏ nhất.
8
5
6
5
A. .
B. .
C. .
D. .
5
6
5
8
Lời giải
Chọn B.
uuur uuu
r uuur uuur uuur
Dựng hình bình hành AGBE. Ta có MA GB MA AE ME
uuur uuur
uuur uuu
r uuur
� GB
EF
M F.
� MA GB ME ME �EF MA
min
3
Gọi P là trung điểm của AB . Khi đó P cũng là trung điểm của GE và CP CE
4
Gọi Q là hình chiếu vng góc của P trên BC.
uuur 4 uuur
CQ CP 3
� CF CQ .
CF CE 4
3
uuur 1 uuur
uuur 1 uuur
Mặt khác PQ là đường trung bình của AHB nên HQ HB . Theo giả thiết CH HB
2
3
uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 5 uuur
Suy ra CQ CH HQ HB HB HB
3
2
6
uuur 3 uuu
r
uuur 5 uuur 5 3 uuu
r 5 uuu
r uuur 4 uuur 4 5 uuu
r 5 uuu
r
Từ giả thiết HB CB . Do đó CQ HB . CB CB � CF CQ . CB CB
4
6
6 4
8
3
3 8
6
Ta có CPQ và CEF đồng dạng nên
( Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Phu, Tên FB Nguyễn Văn Phu)
Họ và tên tác giả: Trần Tuyết Mai Tên FB: Mai Mai
Email:
uuur uuur uuur uuur
Câu 37. Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB .
Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ?
a
a 3
A. .
B.
C. a.
D. 2a.
.
2
2
Lời giải
Chọn A
uuur uuur
uuuu
r
Gọi O là trung điểm của AB . Khi đó MA MB 2MO .
uuur uuur uuur uuur
uuuu
r uuu
r
1
Ta có MA MB MA MB � 2 MO BA hay MO AB Suy ra MAB vng tại M
2
o
�
nên AMB 90 . Do đó M nằm trên đường trịn tâm O đường kính AB .
AB a
.
MH lớn nhất khi H trùng với tâm O hay max MH MO
2
2
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thảo
Tên FB: Nguyễn Thanh Thảo
Email:
Câu 38. Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết AB 4 , BC 5 và CA 6 .
uuur
Khi đó DE bằng:
r 3 uuu
r
r 5 uuu
r
r 3 uuu
r
r 9 uuu
r
5 uuu
3 uuu
9 uuu
3 uuu
A. CA CB .
B. CA CB .
C. CA CB .
D. CA CB .
9
5
5
9
5
5
5
5
Lời giải
Chọn A.
AD là phân giác trong của tam giác ABC nên
uuur 3 uuu
r
CD 6
� CD CB .
CB 10
5
uuu
r 5 uuu
r
CE 5
� CE CA .
Tương tự:
CA 9
9
uuur uuu
r uuur 5 uuu
r 3 uuu
r
Vậy DE CE CD CA CB .
9
5
CD AC 6
CD
6
�
DB AB 4
CD DB 6 4
�
uuur uuur uuur uuur
Câu 39. : Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho MA MB MA MB
. Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ?
a
a 3
A. .
B.
C. a.
D. 2a.
.
2
2
Lời giải
Chọn A.
