2.4 HDG CÁC KHỐI CHÓP KHÁC

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

CHỦ ĐỀ 2: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP
DẠNG 4: CÁC KHỐI CHĨP KHÁC
o

Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60 . Tính thể tích hình
chóp.

h3 3
A. 6 .

h3 3
B. 8 .

h3 2
C. 6 .

h3
D. 4 .

Hướng dẫn giải
Chọn C

.

S . ABC là hình chóp tam giác đều, SH là đường cao ⇒ SH = a và H là trọng tâm tam giác
ABC .
∆SAB đều. Đặt AB = a , gọi M là trung điểm AB .

a 3
1
a 3
SM =
MH = CM =
2 (Đường cao tam giác đều),
3
6 .
Ta có
h 6
⇒a=
2
2
2
2 .
Xét tam giác vng SMH , ta có: SM = SH + HM
2

 h 6  3 h 2 .3 3
S∆ABC = 
=
÷.
8
 2  4
.
3
1
h. 3
VS . ABC = .SH .S∆ABC =
3

8 .
Vậy
2
Câu 2. Khối chóp có diện tích đáy bằng 6 m , chiều cao bằng 7 m thì có thể tích là:
3
3
3
3
A. 14 m
B. 7 m
C. 8 m
D. 16 m
Hướng dẫn giải
Chọn A
1
V = .6.7 = 14 m 3
3
.
Câu 3. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2cm. Gọi M , N , P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác
ABC , ABD, ACD. Tính thể tích V của khối chóp AMNP.

A.

V=

2 2 3
cm
81
.

B.

V=

4 2 3
cm
81
.

C.

V=

2
cm3
144
.

D.

V=

2
cm3
162
.

Trang 1/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Hướng dẫn giải
Chọn B

Tam giác BCD đều

⇒ DE = 3 ⇒ DH =

2 3
3

2 6
3
1
1 1
1
3
S ∆EFK = .d( E , FK ) .FK = . d( D,BC ) . BC =
2
2 2
2
4
1

1 2 6 3
2
⇒ VSKFE = AH .S∆EFK = .
.
=
3
3 3
4
6 .
AM AN AP 2
=
=
=
Mà AE AK AF 3
AH =

AD 2 − DH 2 =

VAMNP AM AN AP 8
8
4 2
=
.
.
=
⇒ VAMNP = VAEKF =
AE AK AF 27
27
81 .
Lại có: VAEKF

Câu 4. Tính thể tích V của khối chóp S . ABC có độ dài các cạnh SA = BC = 5, SB = AC = 6, SC = AB = 7 .
35
35 2
V=
V=
2 .
2 .
A. V = 2 95 .
B.
C.
D. V = 2 105 .
Hướng dẫn giải
Chọn A

.
′
′
A
,
B
,
C
B
C
,
A′C ′, A′B′ .
′
′
′
A

B
C
Dựng tam giác
sao cho
lần lượt là trung điểm của
Ta có

SA = BC =

1
B′C ′
2
nên tam giác SB′C ′ vuông tại S .

Trang 2/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Tương tự các tam giác SA′B′, SA′C ′ là các tam giác vuông tại S .
Hay S . A′B′C ′ là tứ diện có ba cạnh đơi một vng góc.
1
1
1

1
VS . A′B′C ′ = SA′.S SB 'C ' = SA′. SB′.SC ′ = SA′.SB′.SC ′
3
3
2
6
.

 SA′ = 2 30
 SA′2 + SB′2 = A′B′2 = (2 AB) 2 = 196
 SA′2 = 120

 2

2
2
2
2
 SB′ + SC ′ = B′C ′ = (2 BC ) = 100 ⇔  SB′ = 76 ⇔  SB′ = 2 19
 SA′2 + SC ′2 = A′C ′2 = (2 AC ) 2 = 144
 SC ′2 = 24



 SC ′ = 2 6 .
1
1
1
1
1

VS . A′B′C′ = SA′.S SB′C ′ = SA′. SB′.SC ′ = SA′.SB′.SC ′ = .2 30.2 19.2 6 = 8 95
3
3
2
6
6
.
1
1
VSABC = VSA′B′C ′ = .8 95 = 2 95
4
4
.
Câu 5. Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a 2 , AC = a 5 . Hình chiếu
( ABC ) trùng với trung điểm của đoạn thẳng BC . Biết rằng góc giữa
của điểm S trên mặt phẳng
( SAB ) và mặt phẳng ( ASC ) bằng 60° . Thể tích của khối chóp S .ABC là
mặt phẳng
a 3 210
a 3 30
5a 3 6
5a3 10
24 .
A.
B. 12 .
C. 12 .
D. 12 .
Hướng dẫn giải
Chọn B

SH = x, ( x > 0 )
Gọi H là trung điểm của BC , đặt
.
a 2 Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ với
a 2 a 5 
a 2 a 5 
H 
;
;0 ÷
S 
;
; x÷
÷
÷
5
2
 2
,  2
 như hình vẽ
Ta có:
r
i = ( 1;0; 0 )
VTCP của đường thẳng AB là r
,
j = ( 0;1;0 )
VTCP của đường thẳng AC là
.
uuu
r a 2 a 5 
AS = 

;
;x÷
÷
2
 2


A ( 0;0; 0 )

,

(

B a 2;0;0

) , C ( 0; a

5;0

Trang 3/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3

),


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

S

I

E

G
C

B
H
M

P
A

uuu
rr 
a 5  ur
 AS , i  =  0; x; −
÷ = n1

 
2 ÷
mp ( SAB )


VTPT của

là
uuu
r r
r

a 2  uu
 AS , j  =  − x; 0;
=
n
÷
2

 
2 ÷
mp ( ASC )


VTPT của
là
.
2
ur uu
r
a 10
n1.n2
1
4
cos 60° = ur uu
=
r =

2
2
2
n1 . n2
5a
2a
x2 +
. x2 +
4
4
Có
a 3
2 do x > 0 .
1 a 3 1
a 3 30
= .
. .a 2.a 5 =
3 2 2
12 .

⇔ 16 x 4 + 28 x 2 a 2 − 30a 4 = 0 ⇒ x =
1
VS . ABC = SH .S ABS
3
Cách 2:

Trang 4/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />

Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

( SAB) ∩ ( SAC ) = SA

, kẻ BE ⊥ SA và GH P BE , suy ra
·
= 60°
( ( SAC ) , ( SAB ) ) = ( GH , ( SAC ) ) = HGI
.
2
7a
5a 2
2
2
SA = h +
SP = h +
4 và
4 . Vậy
Đặt SH = h , ta tính được
BE =

2 S SAB
=
SA

5a 2
a 2
.h
SH
.
HM
BE
4 ⇒ HG =
2
HI =
=
SM
2
a2
7a 2
2
2
h +
h +
2
4
,

a 2. h 2 +

Tam giác GIH vuông tại I có
a 2
5a 2
a 2
. h2 +

h.
2
4
IH
3 2
4 =
2 ⇒ h 4 + 7 a h 2 − 15a = 0 ⇒ h = 2a 3
sin 60° =
⇒
.
HG
2
4
8
4
7a 2
a2
2
2
h +
h +
4
2
1
a 3 30
AB. AC.SH =
6
12 .
Vậy
Câu 6. Cho khối hộp ABCD. A′B′C ′D′ có thể tích bằng 12 ( đơn vị thể tích). Gọi M , N , P lần lượt là trung

điểm của các cạnh AD, DC , AA′ . Tính thể tích khối chóp P.BMN .
VSABC =

A. V = 3 .

B. V = 2 .

V=

C.
Hướng dẫn giải

3
2.

D.

V=

3
4.

Chọn D

.
Trang 5/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 7.

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Vì P là trung điểm AA ' nên chiều cao khối chóp P.BMN bằng một nữa chiều cao khối
ABCD. A ' B ' C ' D ' .
3
S BMN = S ABCD
8
. Tính bằng cách cho cạnh độ dài rồi tính bằng cách trừ phần dư.
1 1 3
3
VP. BMN = . . .VABCDA ' B 'C ' D ' =
3 2 8
4.
Vậy
Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D ; biết AB = AD = 2a ,

CD = a . Gọi I là trung điểm của AD , biết hai mặt phẳng ( SBI ) và ( SCI ) cùng vng góc
( ABCD )
( SBC )
a

với mặt phẳng
S . ABCD là

. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng

3 15a 3
5 .
A.

3 15a 3
8 .
B.

bằng

9a 3
C. 2 .

; thể tích khối chóp

3a 3
D. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn D

Ta có

SI ⊥ ( ABCD )

.

1

1
1
1
+ 2 =
= 2
2
2
SI
IK
a
 d ( I , ( SBC ) ) 
Kẻ IK ⊥ BC tại
.
2
1
1
1
1
3a
IK .BC = 2a. ( 2a + a ) − a.2a − a.a =
2
2
2
2 .
Lại có 2
3a
2
BC = 4a 2 + ( 2a − a ) = a 5 ⇒ IK =
5
Cạnh

K⇒

3a
1 3a 1
3a 3
⇒ SI =
⇒ V = . . .2a. ( 2a + a ) =
2
3 2 2
2 .

·
·
·
= BSC
= 45° , CSA
= 60° . Các điểm M , N ,
Câu 8. Cho hình chóp SABC , SA = 4 , SB = 5 , SCuu=ur6 , ASB
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r

uuu
r
uuuu
r
P thỏa mãn các đẳng thức: AB = 4 AM , BC = 4 BN , CA = 4CP . Tính thể tích chóp S .MNP .
245
35
128 2
35 2
3 .
A. 32 .
B. 8 .
C.
D. 8 .
Hướng dẫn giải
Chọn B

Trang 6/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

.

1
VS . ABC = .abc 1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 ϕ + 2 cos α cos β cos ϕ
6

.
4.5.6
1 1 1
1 1
VS . ABC =
1 − − − + 2. . = 10
6
2 2 4
2 2
.
 3 3 3 7
S ∆MNP = S − S ∆AMP − S ∆MBN − S ∆NCP = S − S .  + + ÷ = S
 16 16 16  16 , S = S∆ABC .
VS .MNP S ∆MNP
7
35
=
=
⇒ VS .MNP =
8 .
Mà VS . ABC S ∆ABC 16

(
(

)

1
·
. AM . AP.sin MAP
S∆AMP 2
1 3 3
=
= . =
1
S ∆ABC
4 4 16
·
AB. AC.sin BAC
2
Chú ý :
.
S
.
ABC
AB
=
3
a
AC
=
4
a
BC
=
5a , SA = SB = SC = 6a . Tính thể tích khối

Câu 9. Cho hình chóp
có
,
,
chóp S . ABC .
3
A. 4a 119 .

)

a 3 119
3
B.
.

4a 3 119
3
C.
.
Hướng dẫn giải

3
D. a 119 .

Chọn D

Vì AB = 3a , AC = 4a , BC = 5a nên tam giác ABC vuông tại A .

Trang 7/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

ABC )
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (
. Vì SA = SB = SC nên H là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC và chính là trung điểm của BC .
25
119a
SH = SB 2 − HB 2 = 36a 2 − a 2 =
4
2 .
2
Diện tích tam giác ABC là S∆ABC = 6a .

1
113
VS . ABC = .6a 2 .
a = a 3 119
3
2
Vậy thể tích khối chóp S . ABC là
.

[2H1-2.-2]

(THPT PHAN ĐÌNH TÙNG ) Cho hình chóp S . ABC có đáy là ABC tam giác

ABC )
vng cân đỉnh A, AB = AC = a . Hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng (
là trung
SAB )
điểm H của BC . Mặt phẳng (
hợp với mặt phẳng đáy một góc bằng 60° . Tính thể tích
khối chóp S . ABC .
a3 2
V=
.
12
A.

B.
C.
D.

V=

a3 3
.
4

V=

a3 3

.
6

V=

a3 3
.
12

Hướng dẫn giải
Chọn D

( SAB )

·
·
và mặt phẳng đáy là góc SKH ⇒ SKH = 60° .
a 3
SH = KH .tan 600 =
∆SKH có
2 .
1
a3 3
V = .SH .S ABC = ... =
.
3
12
Do đó
Góc giữa mặt phẳng

Câu 10. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành có AB = a, SA = SB = SC = SD
khảo hình vẽ). Giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp S . ABCD bằng

=

a 5
2 (tham

Trang 8/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2a 3 3
3 .
A.

a3 6
B. 3

Khối Đa Diện - Hình Học 12
a3 3
C. 6 .

a3
D. 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D

( ABCD ) .
Gọi O là hình chiếu của S lên mặt phẳng
Ta có: ∆SAO = ∆SBO = ∆SCO = ∆SDO (tam giác vuông, SO là cạnh chung, SA = SB = SC
= SD ).
Nên OA = OB = OC = OD suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
Suy ra ABCD là hình chữ nhật có O là tâm.
1
1 2
⇒ AO = AC =
a + x2
2
2
Đặt AD = x
2
2
Nên SO = SA − AO

=

5a 2 a 2 + x 2
x2
−
= a2 −
4
4
4

2
2
1
x2 1
x
x 2 ≤ 1 a  x +  a 2 − x  ÷ 1 3
1
2
2

÷
= a.2. . a −
VS . ABCD = ABCD.SO = a.x. a −
4  = 3 a
3
4
3
2
4 3  4 
3
.
S
.
ABCD
N
Câu 11. Cho hình chóp
có đáy là hình bình hành. Gọi M ,
và P lần lượt là trung điểm của
( MNP ) chia khối chóp thành hai phần có thể tích lần lượt
các đoạn BC , CD và SA . Mặt phẳng

V1
.
V1
V2
V1 ≤ V2
V
2
là và . Biết rằng
, tính tỉ số

5
A. 6 .

2
B. 3 .

C. 1 .
Hướng dẫn giải

1
D. 2 .

Chọn C

Trang 9/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 9

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

1
AH
3
Ta có
suy ra B là trọng tâm của tam giác SAT .
BQ BH 1
BQ 1
DR 1
=
= ⇒
=
=
AB 2
BS 4 . Tương tự ta có, SD 4 .
Do đó, BU
VS .PRN SP SR 1 3 3
V
3
=
.
= . = ⇒ S .PRN =
VS . ADN SA SD 2 4 8
VS . ABCD 32 .
BH =

VS .PQM

=

3
32 .

Tương tự, ta có VS . ABCD
VS .PMN SP 1
V
3
=
= ⇒ S . PMN =
VS . ABCD 16 .
Lại có VS . AMN SA 2
VS .MNC
1
=
VS . ABCD 8 .
3
3 1
1
 3
V1 =  +
+ + ÷VSABCD = VSABCD
2
 32 32 16 8 
Suy ra thể tích khối đa diện chứa đỉnh S là
.
V1

=1
V
Vậy 2
.

·
·
·
Câu 12. Cho khối chóp S . ABC có góc ASB = BSC = CSA = 60° và SA = 2 , SB = 3 , SC = 4 . Thể tích khối
chóp S . ABC .
A. 4 3 .
B. 3 2 .
C. 2 2 .
D. 2 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn C

Trang 10/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

2
1

SB
SC ′ = SC
3
2
Gọi B′ trên SB sao cho
và C ′ trên SC sao cho
.
′
′
′
′
SA
=
SB
=
SC
=
2
⇒
S
.
AB
C
Khi đó
là khối tứ diện đều.
2 3
2
2 3
AM =
= 3 ⇒ AO = AM =

2
3
3
Ta có:
SB′ =

2 6
3 và S AB′C ′ = 3 .
Nên
1
2 2
VS . AB′C ′ = S AB′C ′ .SO =
3
3 .
Khi đó
VS . ABC SA SB SC
=
.
.
= 3 ⇒ VS . ABC = 3VS. AB′C′ = 2 2
′ SC ′
V
SA
SB
′
′
S.
AB
C
Mà ta lại có:

.
Cách khác:
SA.SB.SC
·
·
·
·
VS . ABC =
. 1 − cos 2 ·ASB − cos 2 BSC
− cos 2 CSB
+ 2cos ·ASB.cos.BSC
.cosCSB
=2 2
6
·
·
= 45° , CSA
= 60° . Các điểm M , N ,
= 6 , ·ASB = BSC
Câu 13. Cho hình chóp SABC , SA = 4 , SB = 5 , SCuuu
r
uuur uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuuu
r
P thỏa mãn các đẳng thức: AB = 4 AM , BC = 4 BN , CA = 4CP . Tính thể tích chóp S .MNP .

SO = SA2 − AO 2 =

35
A. 8 .

245
B. 32 .

35 2
C. 8 .
Hướng dẫn giải

128 2
3 .
D.

Chọn A

Trang 11/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

1

VS . ABC = .abc 1 − cos 2 α − cos2 β − cos 2 ϕ + 2 cos α cos β cos ϕ
6

4.5.6
1 1 1
1 1
VS . ABC =
1 − − − + 2. . = 10
6
2 2 4
2 2
.
 3 3 3 7
S ∆MNP = S − S ∆AMP − S ∆MBN − S ∆NCP = S − S .  + + ÷ = S
 16 16 16  16 , S = S∆ABC
VS .MNP S ∆MNP 7
35
=
= ⇒ VS .MNP =
8 .
Mà VS . ABC S ∆ABC 16

(
(

)

1
·
. AM . AP.sin MAP

S∆AMP 2
1 3 3
=
= . =
1
S ∆ABC
4 4 16
·
AB. AC.sin BAC
2
Chú ý:
Câu 14. Cho khối chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng 4 , chiều cao của khối chóp bằng chiều cao
của tam giác đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SA . Thể tích của khối chóp M . ABC bằng?
8
A. 4 .
B. 3 .
C. 16 .
D. 8 .
Hướng dẫn giải
Chọn A

)

Trang 12/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 12

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

SH ⊥ ( ABC ) ⇒ H
Kẻ
là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
Gọi K = AH ∩ BC ⇒ AK ⊥ BC .
AB 3
AK =
= 2 3 ⇒ SH = AK = 2 3
2
Cạnh
1
1 1
AB 2 3
⇒ VM . ABC = d ( M , ( ABC ) ) .S ABC = . SH .
=4
3
3 2
4
.
S
.
ABCD
Câu 15. Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật có chiều rộng 2a , chiều dài 3a , chiều cao khối
chóp bằng 4a . Thể tích khối chóp theo a là:
3
A. V = 40a .

3
B. V = 8a .

C. V = 24a .
Hướng dẫn giải
3

3
D. V = 9a .

Chọn B
1
V = .4a.2a.3a = 8a 3
3
Ta có :
.
3
Câu 16.Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A′B′C ′ có thể tích là 36cm . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của AA′ , BB′ . Tính thể tích V của khối tứ diện AC ′MN .
3
3
3
3
A. 4 cm .
B. V = 12 cm .
C. V = 9 cm .
D. V = 6 cm .
Hướng dẫn giải
ChọnD

Ta có:

S ∆AMN

.
1
1
1
1 2
1
= S ∆AMNB = S AA′B′B ⇒ VC ′. AMN = VC ′. AA′B′B = . VABC . A ' B ' C ' = 36 cm3 = 6cm 3
2
4
4
4 3
6
.

Trang 13/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Câu 17. Cho hình chóp S . ABC có AB = 5 cm , BC = 6 cm , CA = 7 cm . Hình chiếu vng góc của S
( ABC ) nằm bên trong tam giác ABC . Các mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , ( SCA)
xuống mặt phẳng
đều tạo với đáy một góc 60° . Gọi AD , BE , CF là các đường phân giác của tam giác ABC với
D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB . Thể tích S .DEF gần với số nào sau đây?
3
3
3
3
A. 3,7 cm
B. 3,4 cm
C. 2,9 cm
D. 4,1 cm
Hướng dẫn giải
Chọn B

( SAB ) , ( SBC ) , ( SCA) đều tạo với đáy một góc 60° và hình chiếu vng góc
( ABC ) nằm bên trong tam giác ABC nên ta có hình chiếu của S chính
xuống mặt phẳng

Vì các mặt phẳng

của S
là tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
AB + BC + CA
p=
=9
2
Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì
.

Ta có :

S ABC = p ( p − AB ) ( p − BC ) ( p − AC ) = 6 6

và
Suy ra chiều cao của hình chóp là : h = r.tan 60° = 2 2

r=

S 2 6
=
p
3 .

EA BA
=
Vì BE là phân giác của góc B nên ta có : EC BC .
FA CA DB AB
=
=
Tương tự : FB CB , DC AC .
S AEF AE AF
AB
AC
=
.
=
.
S
AC

AB
AB + BC AC + BC .
Khi đó : ABC
Trang 14/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

SCED
S BFD
CA
CB
BC
BA
=
.
=
.
Tương tự : S ABC CA + AB CB + AB , S ABC BC + CA BA + CA .
Do đó,


ab
bc

ac
S DEF = S ABC 1 −
−
−
÷
÷
 ( a + c ) ( b + c ) ( b + a ) ( c + a ) ( a + b ) ( c + b )  , với BC = a , AC = b , AB = c
2abc
=
.S ABC = 210 6
( a + b) ( b + c) ( c + a )
143 .
1 210 6
280 3
VS . DEF = .
.2 2 =
cm 3 ) ≈ 3, 4 ( cm 3 )
(
3 143
143
Suy ra

a, SD =

a 13
2 . Hình chiếu của S lên ( ABCD )

Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD đáy là hình vng cạnh
là trung điểm H của AB . Thể tích khối chóp S . ABCD là
2a 3

a3 2
×
×
3
A. 3
B. 3
C. a 12 .
Hướng dẫn giải
Chọn B

2

a3
×
D. 3

2

2

a
13a 5a
a 5
= a +
=
−
=
2
2
2

2
4
4
4 =a 2
2 . SH = SD − HD
Ta có HD = AH + AD
1
1
a3 2
= .SH .S ABCD = .a 2.a 2 =
3
3 .
Vậy VS . ABCD 3
2

Câu 19. Cho khối chóp S . ABC có SA = a , SB = a 2 , SC = a 3 . Thể tích lớn nhất của khối chóp là:
a3 6
a3 6
a3 6
3
A. 3 .
B. 2 .
C. a 6 .
D. 6 .
Hướng dẫn giải
Chọn D

Trang 15/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

( SBC ) .
Gọi H là hình chiếu vng góc của điểm A trên
1
VSABC = . AH .S ∆SBC
3
.
AH ≤ SA . Đẳng thức xảy ra ⇔ SA ⊥ ( SBC ) .

1
1
a2 6
·
S ∆SBC = SB.SC .sin BSC ≤ a 2.a 3 =
·
·
2
2
2 . Đẳng thức xảy ra sin BSC = 1 ⇔ BSC = 90° .
1
1
6 a3 6
2

VSABC = . AH .S ∆SBC ≤ .a.a
=
3
3
2
6 .
Đẳng thức xảy ra khi SA , SB , SC đơi một vng góc.
Câu 20. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi một vng góc với nhau và OA = a , OB = 2a , OC = 3a .

Thể tích của khối tứ diện OABC bằng
a3
V
=
3
3 .
A. V = a .
B.

C. V = 2a .
Hướng dẫn giải
3

D.

V=

2a 3
3 .

Chọn A

1
1
1
VO. ABC = OA.SOBC = OA. OB.OC
= a3 .
3
3
2
Ta có:
a 3
·
= 60° . Gọi M , N lần
2 , BAD
Câu 21. Cho hình hộp đứng ABCD. A′B′C ′D′ có AB = AD = a ,
lượt là trung điểm A′D′ , A′B′ . Tính thể tích của khối đa diện ABDMN .
9a 3
3a 3
3 3a 3
3a 3
A. 8 .
B. 16
C. 8 .
D. 16 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
AA ' =

Trang 16/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Gọi S = BN ∩ AA′ . Suy ra: S , M , D thẳng hàng.
S∆SMN SM SN 1
=
.
= ⇒ S MNBD = 3 S∆SBD
S ∆SBD
SD SB 4
4
.

·
Tam giác ABD có AB = AD = a , BAD = 60° nên tam giác ABD là tam giác đều.
1
1
3
3
VA. BDMN = d  A, ( BDMN )  .S BDMN = d  A, ( SBD )  . S ∆SBD = VS . ABD
3
3
4
4

2
3
31
1
a 3 3a
=
SA.S∆ABD = a 3.
=
43
4
4
16 .
Câu 22. Một hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C ′D′ có ba kích thước là 2 cm , 3cm và 6 cm . Thể tích của khối tứ
diện ACB′D′ bằng
3
A. 4 cm .

Chọn D

3
B. 8cm .

3

C. 6 cm .
Hướng dẫn giải

3

D. 12 cm .

V = 2.3.6 = 36 ( cm3 )
′
′
′
′
ABCD
.
A
B
C
D
Thể tích khối hộp chữ nhật
là
.
1
VA. A′B′D′ = VC .C ′B′D′ = VD′. DAC = VB′.BAC = V
6 .
Ta có
4
1
1
VACB′D′ = V − ( VA. A′B′D′ + VC .C ′B′D′ + VD′.DAC + VB ′.BAC ) = V − V = V = .36 = 12 ( cm 3 )
6
3
3
Nên:
.

Trang 17/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Câu 23. Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ , đáy là tam giác vuông cân tại A , E là trung điểm của B′C ′ ,
CB′ cắt BE tại M . Tính thể tích V của khối tứ diện ABCM biết AB = 3a , AA′ = 6a .
3
3
3
V = 6a 3
B. V = 6 2a .
C. V = 7a .
D. V = 8a .
A.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A

.
MH
⊥
BC
ABCM
MH

Dựng
, ta có tứ diện
có đường cao
, đáy là ABC .
MH CM 2
2
=
= ⇒ MH = BB ' = 4a
3
Ta có BB ' CB 3
.
2
1
1
9a
S ∆ABC = AB. AC = 3a.3a =
2
2
2 .
1
1
9a 2
MH .S ∆ABC = 4a.
= 6a 3
3
3
2
Vậy
.
3

Câu 24. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có thể tích bằng 48cm . Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm các
cạnh CC ′, BC và B′C ′ , khi đó thể tích V của khối chóp A′.MNP là
VMABC =

3

A. 8cm .

3

B. 24cm .

3

C. 12cm .
Hướng dẫn giải

16 3
cm
D. 3
.

Chọn A

Trang 18/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

Ta có:
1
1
2
VA′. ABC = S∆ABC .d ( A′, ( ABC ) ) = VABC . A′B ′C ′ ⇒ VA′.BCC ′B ′ = VABC . A′B ′C ′
3
3
3
+
1
1 1
1
VA′.MNP = S∆MNP .d ( A′, ( MNP ) ) = . S BB ′C ′C .d ( A′, ( BB′C′C ) ) = VA′.BB ′C ′C
3
3 4
4
+
1
1
S ∆MNP = SCC ′PN = S BB ′C ′C
d A′, ( MNP ) ) = d ( A′, ( BB′C ′C ) )
2
4
(Vì:
và (

)
1
VA′.MNP = VABC . A′B ′C ′ = 8cm 3 .
6
Suy ra:
Câu 25. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng, hình chiếu vng góc của đỉnh S lên mặt đáy
( SDG ) bằng
trùng với trọng tâm G của tam giác ABD . Biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng
5 và SG = 1 . Thể tích khối chóp đã cho là
12
25
4
A. 25 .
B. 12 .
C. 3 .
D. 4.
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A

Ta có:

CG = 2 AG ⇒ d ( C , ( SDG ) ) = 2d ( A, ( SDG ) )

Trang 19/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 19

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Suy ra

d ( A, ( SDG ) ) =

Mặt khác
Đặt
Vậy

5
2 . Dựng AH ⊥ DG

AH ⊥ SG ⇒ AH ⊥ ( SDG ) ⇒ AH =

AB = x ⇒ AH =

VS . ABCD

Khối Đa Diện - Hình Học 12

AD. AM

AD 2 + AM 2
1
25
= SG.S ABCD =
3
12

=

5
2 .

x
5
5
=
⇒x=
2
2
5

( SAB ) , ( SBC ) , ( SAC ) vng góc với nhau từng đơi một.
Câu 26. Cho hình chóp S . ABC với các mặt
2
2
Tính thể tích khối chóp S . ABC . Biết diện tích các tam giác SAB , SBC , SAC lần lượt là 4a , a ,
9a 2 .
A. 2 .

3
B. 2 .

1
C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 1 .

Chọn B

1
1
1
SA.SB = 9a 2 SVSAC = SA.SC = a 2 SVSBC = SB.SC = 4a 2
2
2
2
,
,
S .S
1
⇒ VSAB VSAC = SA2 = 36a 2 ⇒ SA = 6 2a
SVSBC
2
SVSAB =

⇒

SVSAB .SVSBC 1 2 4 2
2 2
= SB = a ⇒ SB =
a
SVSAC
2
9
3

SVSBC .SVSAC 1 2 9 2
3 2
= SC = a ⇒ SC =
a
SVSAB
2
4
2
1
VS . ABC = SA.SB.SC = 2 2a 3
6
.
ABCD
. A′B′C ′D′ có ba kích thước là 2cm , 3cm và 6cm . Thể tích của
Câu 27. Một hình hộp chữ nhật
khối tứ diện A.CB′D′ bằng
⇒

3
A. 4 cm .

3
B. 8 cm .

3

C. 12 cm .
Hướng dẫn giải

3

D. 6 cm .

Chọn C

Ta có :

Trang 20/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

VABCD. A′B′C ′D′ = VB. AB′C + VD. ACD′ + VA′. B′AD′ + VC . B′C ′D′ + VA.CB′D′
⇒ VABCD . A′B ′C ′D ′ = 4VB. AB ′C + VA.CB ′D′
⇒ VA.CB′D ′ = VABCD. A′B′C ′D′ − 4VB. AB′C
1
⇒ VA.CB′D ′ = VABCD. A′B′C ′D′ − 4. VABCD. A′B′C ′D′
6
1
1
⇒ VA.CB′D ′ = VABCD. A′B′C ′D′ = .2.3.6 = 12 cm3
3
3
Câu 28. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD = BC = 3 ; AC = BD = 4 ; AB = CD = 2 3 . Thể tích tứ diện
ABCD bằng:

A.

2470
12 .

B.

2474
12 .

C.
Hướng dẫn giải

2740
12 .

D.

2047
12 .

Chọn A

A

G

B
D
E

C

F

Từ các đỉnh của tam giác BCD ta kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện chúng tạo
thành tam giác EFG có diện tích gấp 4 lần diện tích tam giác BCD .
Các tam giác AEF , AFG , AGE là các tam giác vng tại A nên ta có:
AE 2 + AF 2 = EF 2 = 64 ( 1) AF 2 + AG 2 = FG 2 = 36 ( 2 )
AE 2 + AG 2 = EG 2 = 48 ( 3)
;
và
.
2
2
2
( 1) , ( 2 ) , ( 3) ta có: 2 ( AE + AF + AG ) = 148 ⇒ AE 2 + AF 2 + AG 2 = 74 ( 4 ) .
Từ
( 1) , ( 4 ) ta có: AG 2 = 10 ⇒ AG = 10 .
Từ
( 2 ) , ( 4 ) ta có: AE 2 = 38 ⇒ AE = 38 .
Từ
( 3) , ( 4 ) ta có: AF 2 = 26 ⇒ AF = 38 .
Từ
Trang 21/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

1
1
1
AE. AF . AG =
9880 =
2470
6
6
3
Thể tích khối chóp A.EFG là:
.
1
2470
V = V′ =
4
12 .
Do đó thể tích tứ diện ABCD là:
Câu 29. Cho hình chóp S . ABC có AB = 3a , AC = 4a , BC = 5a , SA = SB = SC = 6a . Tính thể tích khối
chóp S . ABC .
V′ =

A. a

3

119 .

a 3 119
3
B.
.

4a 3 119
3
C.
.
Hướng dẫn giải

3
D. 4a 119 .

Chọn A

S

H

B

C

A

.
AB

=
3
a
AC
=
4
a
BC
=
5
a
ABC
Vì
,
,
nên tam giác
vng tại A .
( ABC ) . Vì SA = SB = SC nên H là tâm đường trịn
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng
ngoại tiếp tam giác ABC và chính là trung điểm của BC .
25
119a
SH = SB 2 − HB 2 = 36a 2 − a 2 =
4
2 .
2
Diện tích tam giác ABC là S∆ABC = 6a .

1
113

VS . ABC = .6a 2 .
a = a 3 119
S
.
ABC
3
2
Vậy thể tích khối chóp
là
.
′
′
′
Câu 30. Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A B C có thể tích bằng 1 . Tính thể tích V của khối chóp
A′. AB′C ′ .
1
1
1
V=
V=
V=
3.
2.
4.
A.
B.
C. V = 3 .
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A

1
1
1
VA′. AB′C′ = VA. A′B′C ′ = d ( A; ( A′B′C ′ ) ) .S ∆A′B′C ′ = .VABC . A′B′C ′ =
3
3
3.
Ta có:

SA ⊥ ( ABCD ) ABCD
Câu 31. Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có
,
là hình thang vng tại A và B biết
AB = 2a , AD = 3BC = 3a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a , biết khoảng cách từ A đến
3 6
a
(
SCD
)
mặt phẳng
bằng 4 .
Trang 22/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
3

A. 2 6a .

3
B. 2 3a .

Khối Đa Diện - Hình Học 12

3
C. 6 3a .
Hướng dẫn giải

3
D. 6 6a .

Chọn A

Dựng AM ⊥ CD tại M .
Dựng AH ⊥ SM tại H .
3 6
AH =
a
4 .
Ta có:
AD + BC
S ABCD =
. AB = 4 a 2
2

CD =

( AD − BC )

2

+ AB 2 = 2a 2

1
AB.BC = a 2
2
= S ABCD − S ABC = 3a 2

S ABC =
S ACD

2S
1
3 2
AM .CD ⇒ AM = ACD =
a
2
CD
2
1
1
1
AH . AM
3 6
=
+
⇒ AS =

=
a
2
2
2
2
2
AM
AS
2
AM − AH
Ta có: AH
1
VS . ABCD = SA.S ABCD = 2 6a 3
3
0
Câu 32. Cho khối chóp tam giác đều S . ABC có AB = a , góc giữa SA và đáy bằng 60 . Thể tích của khối
chóp là.
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A. 12 .
B. 6 .
C. 4 .
D. 36 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
SO ^ ( ABC )

Vì S . ABC là hình chóp tam giác đều nên
.
S ACD =

Trang 23/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

(

.
·
·
SA, ( ABC ) = SAO
= 60°

( ABC ) nên
Ta có OA là hình chiếu vng góc của SA lên
a2 3
a 3
SDABC =
AM =
4 và

2 .
Tam giác ABC đều, cạnh a nên
SO
SO
3SO
·
tan SAO
=
=
=
AO 2 AM 2 AM
3
Xét tam giác vng SAO , ta có
.
·
2 AM tan SAO
Þ SO =
=a
3
.
S
.
ABC
Thể tích
là.

)

.

1 a 2 3 a3 3
V = .a.
=
3
4
12 .
Câu 33. Hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 4a , AD = 3a ; các cạnh bên đều có
độ dài bằng 5a. Thể tích hình chóp S . ABCD bằng:
10a 3
9a 3 3

A. 10a

3

3.

3
B. 9a 3 .

C. 3 .
Hướng dẫn giải

D.

2

.

Chọn A

.
Phương pháp: +Dựng được hình vẽ, xác định chiều dài đường cao SO .
Cách giải: +Gọi O là tâm hình chữ nhật.
AC = BD = 5a ; AO = 2,5a .
Xét tam giác SOA vuông tại O ta có:

SO = SA2 − AO 2 =

5 3
a
2
.

Trang 24/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 24


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Khối Đa Diện - Hình Học 12

1
1 5 3
V = SO.S ABCD = .
.a.3a.4a = 10a 3 3
3

3 2
.
0
Câu 34. Hình chóp tam giác đều S . ABC có AB = a , góc giữa SA và đáy bằng 30 . Thể tích khối chóp là.
a3 2
a3 3
a3 3
a3 3
A. 12 .
B. 72 .
C. 12 .
D. 36 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
SO ^ ( ABC )
Vì S . ABC là hình chóp tam giác đều nên
.

(

.
·
·
SA, ( ABC ) = SAO
= 300

)

( ABC ) nên

Ta có OA là hình chiếu vng góc của SA lên
.
2
a 3
a 3
SDABC =
AM =
4 và
2 .
Tam giác ABC đều, cạnh a nên
SO
SO
3SO
·
tan SAO
=
=
=
AO 2 AM 2 AM
3
Xét tam giác vng SAO , ta có
.
·
2 AM tan SAO
a
Þ SO =
=
3
3.
Thể tích S . ABC là.

1 a a2 3 a3 3
V= . .
=
3 3 4
36 .
Câu 35. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , gọi M , N lần lượt là trung điểm của

AD , DC . Hai mặt phẳng ( SMC ) và ( SNB ) cùng vng góc với đáy. Cạnh bên SB hợp với
đáy góc 60° . Thể tích của khối chóp S . ABCD là:
16 15 3
16 15 3
15 3
a
a
a
3
5
A.
.
B. 15
.
C. 15a .
D. 3
.
Hướng dẫn giải
Chọn A

Trang 25/70 - Mã đề thi 100

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:

Facebook: />
Trang 25