218 BÀI TOÁN HÀM ẨN HAY NHẤT NHẤT

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số - Giải tích 12

CHỦ ĐỀ

CÁC DẠNG TỐN VỀ HÀM ẨN

f  x  VÀ f �
 x
MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ I: BIẾT ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ..................................................................................2
DẠNG I.1: ĐƠN ĐIỆU...................................................................................................................................................................2
DẠNG I.2: CỰC TRỊ....................................................................................................................................................................22
DẠNG I.3: CỰC TRỊ VÀ ĐỒNG BIẾN.......................................................................................................................................40
DẠNG I.4: GTLN – GTNN..........................................................................................................................................................45
DẠNG I.5: ĐỒ THỊ.......................................................................................................................................................................53
DẠNG I.6: THAM SỐ M..............................................................................................................................................................62

CHỦ ĐỀ II: BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ f(x) HOẶC BIẾT HÀM SỐ f(x) HOẶC BIẾT BẢNG BIẾN
THIÊN..................................................................................................................................................................66
DẠNG II.1: TIỆM CẬN................................................................................................................................................................66
DẠNG II.2: CỰC TRỊ...................................................................................................................................................................68
DẠNG II.3: BẢNG BIẾN THIÊN................................................................................................................................................75
DẠNG II.4: TƯƠNG GIAO (CHỨA THAM SỐ M).........................................................................................................................81
DẠNG II.5: ĐỒ THỊ VÀ THAM SỐ M.......................................................................................................................................84
DẠNG II.6: TÌM M ĐỂ CĨ N ĐIỂM CỰC TRỊ............................................................................................................................93

CHỦ ĐỀ III: BIẾT HÀM SỐ CỦA ĐẠO HÀM..........................................................................................102
DẠNG III.1: ĐƠN ĐIỆU............................................................................................................................................................102
DẠNG III.2: CỰC TRỊ................................................................................................................................................................104

DẠNG III.3: THAM SỐ M..........................................................................................................................................................106

HẾT.....................................................................................................................................................................110

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số - Giải tích 12

CHỦ ĐỀ I: BIẾT ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
DẠNG I.1: ĐƠN ĐIỆU
Mức 1: đơn điệu
Câu 1.

f  x
f ' x
f ' x
Cho hàm số
có đạo hàm
xác định, liên tục trên � và
có
đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

 1; � .
 �; 1 và  3; � .
B. Hàm số đồng biến trên

 �; 1 .
C. Hàm số nghịch biến trên
 �; 1 � 3; � .
D. Hàm số đồng biến trên
A. Hàm số đồng biến trên

Chọn B Trên khoảng
Câu 2.

 �; 1

và

 3; �

Lời giải
đồ thị hàm số

f ' x

nằm phía trên trục hồnh.

f  x
f�
 x  xác định, liên tục trên � và f '  x 
Cho hàm số
có đạo hàm
có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số
B. Hàm số

C. Hàm số
D. Hàm số

f  x

 �;1 .
f  x
 �;1 và  1; � .
đồng biến trên
f  x
 1; � .
đồng biến trên
f  x
đồng biến trên �.

y

đồng biến trên

x
O

1

Lời giải

 1; � đồ thị hàm số f '  x  nằm phía trên trục hồnh.
y  f  x
f  x
Cho hàm số

liên tục và xác định trên �. Biết
có đạo hàm
f ' x
y  f ' x
và hàm số
có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào sau đây
Chọn C Trên khoảng

Câu 3.

đúng?
A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

f  x
f  x
f  x

đồng biến trên �.
nghịch biến trên �.

 0;1 .
f  x
 0; � .
đồng biến trên khoảng
chỉ nghịch biến trên khoảng
Lời giải

 0;1 đồ thị hàm số y  f '  x  nằm phía dưới trục hồnh nên hàm số f  x 
 0;1 .
nghịch biến trên khoảng
f  x
f ' x
Cho hàm số
xác định trên � và có đồ thị hàm số
là đường cong trong hình bên. Mệnh đề
Chọn C Trong khoảng

Câu 4.

nào dưới đây đúng?

A. Hàm số

f  x

nghịch biến trên khoảng

 1;1 .

B. Hàm số

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
f  x

đồng biến trên khoảng

 1; 2  .
Trang 2


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

C. Hàm số

f  x

đồng biến trên khoảng

 2;1 .

Hàm số - Giải tích 12

D. Hàm số
Lời giải

nghịch biến trên khoảng

y  f ' x

Chọn D Cách 1: sử dụng bảng biến thiên. Từ đồ thị của hàm số

Cách 2:

f  x

 0; 2  .

ta có bảng biến thiên như sau:

y  f ' x

Quan sát đồ thị hàm số

f ' x
f  x
Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số
nằm trên trục hồnh (có thể tiếp xúc) thì
đồng biến trên K .

f ' x
f  x
Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số
nằm dưới trục hồnh (có thể tiếp xúc) thì
nghịch biến trên K .
Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số
hồnh thì loại phương án đó.
Trên khoảng
Câu 5.

Cho hàm số

f ' x

vừa có phần nằm dưới trục hồnh vừa có phần nằm trên trục

 0; 2  ta thấy đồ thị hàm số y  f '  x  nằm bên dưới trục hoành.

f  x
f�
 x  như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?
xác định trên � và có đồ thị của hàm số

A. Hàm số

y  f  x

đồng biến trên khoảng

 �; 2  ;  0; � .

B. Hàm số

y  f  x

nghịch biến trên khoảng

C. Hàm số

y  f  x

đồng biến trên khoảng

 3; � .

D. Hàm số

y  f  x

nghịch biến trên khoảng

 2; 0  .
 �; 0 

Chọn C Trên khoảng
Câu 6.

 3; �

ta thấy đồ thị hàm số

f�
 x

nằm trên trục hoành.

f  x
f�
 x  như hình vẽ.
Cho hàm số
xác định trên � và có đồ thị của hàm số
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

y  f  x

 4; 2  .
y  f  x
 �; 1 .
đồng biến trên khoảng
y  f  x
 0; 2  .
đồng biến trên khoảng
y  f  x
 �; 4 
nghịch biến trên khoảng

Chọn B Trong khoảng

 �; 1 .

Câu 7.

Lời giải

Cho hàm số

đồng biến trên khoảng

 �; 1

và

 2; � .

Lời giải

đồ thị hàm số

f�
 x

f ( x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ( a�0)

nằm trên trục hoành nên hàm số đồng biến

. Biết rằng hàm số

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
f ( x)

có đạo hàm là

f '( x)

và hàm

Trang 3


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

số

y = f '( x)

Hàm số - Giải tích 12

có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?
y
4

x
-2

-1 O

- 2;1)
f x
A. Trên (
thì hàm số ( ) luôn tăng.
f x
1;+�)
C. Hàm ( ) đồng biến trên khoảng (
.

1

B. Hàm

f ( x)

- 1;1]
giảm trên đoạn [

.

f x
- �;- 2)
D. Hàm ( ) nghịch biến trên khoảng (
Lời giải

- 1;1]
f' x
Chọn C Trên khoảng [
đồ thị hàm số ( ) nằm phía trên trục hồnh.

Câu 8.

Cho hàm số

f ' x

y  f  x

và hàm số

đúng?
A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số

f  x

f  x
f  x

f  x
liên tục và xác định trên �. Biết
có đạo hàm

y  f ' x

có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào sau đây

đồng biến trên �.
nghịch biến trên �.

 �; 0  .
f  x
 0; � .
nghịch biến trên khoảng
chỉ nghịch biến trên khoảng

 0; � đồ thị hàm số
 0; � .
nghịch biến trên khoảng
Chọn D Trong khoảng

Câu 9.

Lời giải

y  f ' x

nằm phía dưới trục hồnh nên hàm số

f  x

y = f ( x)
f ( x)
liên tục và xác định trên �. Biết
có
f '( x )
y = f '( x )

Cho hàm số
đạo hàm
trên

( - π; π )

A. Hàm số
B. Hàm số

và hàm số

có đồ thị như hình vẽ. Xét

, khẳng định nào sau đây đúng?

f ( x)

( - π; π ) .

f ( x)
( - π; π ) .
nghịch biến trên khoảng
đồng biến trên khoảng

� - π�
�
π �
�
�
�
- π;
; π�
�
�
�
�
�
�
�
�
f ( x)
�
�
�
�
2
2
C. Hàm số
nghịch biến trên khoảng

và
.
f ( x)
( 0;π )
D. Hàm số

đồng biến trên khoảng

( 0;π )
( 0;π ) .
biến trên khoảng
Chọn D Trong khoảng

Câu 10.

Cho hàm số

y = f ( x) .

.

Lời giải

đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số

y = f '( x )

y= f �

( x)

nằm phía trên trục hồnh nên hàm số

f ( x)

như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4

đồng


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A. Hàm số
C. Hàm số
( - �;- 2) .

f ( x)

f ( x)

đồng biến trên

( - 2;1) .

Hàm số - Giải tích 12

B. Hàm số

nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 .

f ( x)

D. Hàm số

( 1;+�) .
đồng biến trên
f ( x)
nghịch biến trên

Lời giải
Chọn C Dựa vào đồ thị của hàm số

y = f '( x)

ta thấy:

�
- 2 < x <1
�
��
�
�
f '( x) > 0
f ( x)
( - 2;1) , ( 1;+�) . Suy ra A đúng, B

x >1
●
khi �
đồng biến trên các khoảng

đúng.
f '( x) < 0
� f ( x) nghịch biến trên khoảng ( - �;- 2) . Suy ra D đúng.
●
khi x <- 2 ��
Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C
Mức 2: đơn điệu
Câu 11.

y  f  x  . Hàm số y  f '( x) có đồ thị như hình bên. Hàm
y  g  x   f (2  x) đồng biến trên khoảng
số
1;3
2; �
A.  
B. 
Cho hàm số

C.

 2;1

D.

 �; 2 

Lời giải
Chọn C Ta có:

g�
 x    2  x  �. f �
 2  x   f �
 2  x

2  x  1
x3
�
�
g�
��
 x  0 � f �
 2  x  0 � �
1 2  x  4 �
2  x  1 .
�
Hàm số đồng biến khi
Câu 12.

Cho hàm số

Hàm số
( 0;2) .
A.

y = f ( x) .

Đồ thị hàm số

g( x) = f ( 3- 2x)

y= f �
( x)

như hình bên dưới

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
( 1;3) .
( - �;- 1) .
( - 1;+�) .
B.
C.
D.
Lời giải

�
- 2< x < 2
f�
.
( x) > 0 � �
�
g�
( x) =- 2 f �
( 3- 2x) .
x>5
�

Chọn C Dựa vào đồ thị, suy ra
Ta có

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số - Giải tích 12

�
1
5
�
- 2 < 3- 2x < 2 �< x <
g�
��
.
( x) < 0 � f �
( 3- 2x) > 0 � �
2
2
�
�
3- 2x > 5
�
x
<1

�
�
Xét

Vậy

g( x)

�
1 5�
�
; �
�
�
� ( - �;- 1) .
�
�
2
2�
nghịch biến trên các khoảng
và
�
3�
g�
3( x) = 0 � f �
( 3- 2x) = 0������ �
�
�
3�
theo do thi f '( x)

Cách 2. Ta có

� 5
�=
x
�
2x = - 2 � 2
� 1
2x = 2 � �
x= .
� 2
�
2x = 5
x =- 1
�
�
�
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
� 1�
�
x
=
0
�
- 1; �
,
�

�
�
�
g�
( x) được xác định như sau: Ví dụ ta chọn
� 2�
Chú ý: Dấu của
suy ra 3- 2x = 3
theo do thi f '( x)
g�
������ f �
( 0) =- f �
( 3) > 0.
( 3- 2x) = f �
( 3) < 0.

Khi đó

g�
( x)

Câu 13.

Nhận thấy các nghiệm của
là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
y = f ( x) .
y= f �
( x) như hình bên dưới
Cho hàm số
Đồ thị hàm số

g( x) = f ( 1- 2x)
Hàm số
đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
- 1;0) .
(
( 0;1) .
( - �;0) .
A.
B.
C.
Lời giải

D.

( 1;+�) .

�
x <- 1
f�
.
( x) < 0 � �
�
g�
( x) =- 2 f �
( 1- 2x) .
1< x < 2
�
Chọn D Dựa vào đồ thị, suy ra
Ta có

�
x >1
�
1- 2x <- 1
�
g�
� �1
.
( x) > 0 � f �
( 1- 2x) < 0 � �
�
1< 1- 2x < 2 �
- < x<0
�
�
�2
Xét

Vậy

g( x)

�1 �
�
- ;0�
�
�
� ( 1;+�) .
�
�

đồng biến trên các khoảng 2 �và
Chọn D
�
1�
�
1theo do thi f '( x)
�
g�
( x) = 0 � - 2 f �
( 1- 2x) = 0������
�
1�
�
1�

Cách 2. Ta có
Bảng biến thiên

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
�
x =1
�
�
x=0
�
�
1
��
x =- .

�
2
�
�
2x = 4( nghiem kep)
3
�
x =�
2
�
2x = - 1
2x = 1
2x = 2

Trang 6


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số - Giải tích 12

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D
g�
( x) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 2 �( 1;+�) , suy ra 1- 2x = - 3
Chú ý: Dấu của
theo do thi f '( x)
������ f �
( 2) =- 2 f �
( - 3) > 0.
( 1- 2x) = f �

( - 3) < 0. Khi đó g�
Nhận thấy các nghiệm
nghiệm
Câu 14.

x =-

x =-

1
;x = 0
g�
( x) là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu;
2
và x = 1của

3
2 là nghiệm kép nên qua nghiệm khơng đổi dấu.

ĐỀ CHÍNH THỨC 2018 - 103 Cho hai hàm số

y  g�
 x

y  f  x

,

y  g  x

. Hai hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

y f�
 x
y  g�
 x

y f�
 x

y

.

10
8
5
4
O

3

x

8 1011

y  g�
 x

3�
�
h  x  f  x  4  g �
2x  �
2 �đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
�
Hàm số
� 31 �
�9 �
�31
�
� 25 �
5; �
6; �
�
� ; 3�
� ;  ��
�
�.
A. � 5 �
.
B. �4 �
.
C. �5
D. � 4 �
.
Lời giải

3

 x  f �
 X   2 g�
Y .
2 . Ta có h�
Chọn B Cách 1: Đặt X  x  4 ,
3�
�
h  x  f  x  4  g �
2x  �
 x  �0
2 �đồng biến thì h�
�
Để hàm số
3 �x  4 �8
�
�
��
3
3 �2 x  �8
f�
 X  2g �
 Y  với X , Y � 3;8 �
�
2
.
1 �x �4
1 �x �4
�
�
�

�
� �9
�9 � �9 19 �
9
19
19 � �9
19
�
2
x
�
�
x
�
�
ۣ

x
� ; 3 ��� ; �
�
�
�2
2
�4
4
4
4 .Vì �4 � �4 4 �nên chọn B
y f�
 x  A  a;10  a � 8;10 
y  10

Y  2x 

Cách 2: Kẻ đường thẳng

cắt đồ thị hàm số

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
tại

,

.

Trang 7

và


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số - Giải tích 12

�f  x  4   10, khi 3  x  4  a
�f  x  4   10, khi  1  x  4
�
�
��� 3�
�� 3�
3

3
25
2 x  ��5, khi 0 �2 x   11 �g �
2 x  ��5, khi �x �
�g �
2�
2
4
4 .
�� 2�
Khi đó ta có � �
3�
�
3
h�
2 x  � 0
 x  f �
 x  4  2g �
�x  4
�
2 � khi 4
�
Do đó
.
� 3�
h�
2x  �
 x  f �
 x  4  2 g �
�

2 �.
�
Cách 3: Kiểu đánh giá khác: Ta có
�9 �
25
x �� ;3 �
 x  4  7 f  x  4   f  3  10
�4 �
Dựa vào đồ thị,
, ta có 4
,
;
3�
�
3 9
g�
2 x  � f  8   5
3  2x  
2 2 , do đó � 2 �
.
3�
�
�9 �
�9 �
h�
2 x  � 0, x �� ;3 �
 x  f �
 x  4  2 g �
�
� ;3 �

2�
�
�4 �. Do đó hàm số đồng biến trên �4 �.
Suy ra
Mức 3: đơn điệu
Câu 15.

Cho hàm số
khoảng

y  f  x

. Hàm số

y f�
 x

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số

y  f  x2 

đồng biến trong

y
y = f '(x)
O
- 1

�1 1 �
� ; �

A. �2 2 �.

B.

 0; 2  .

g  x   f  u  , u  x �0

4 x

�1 �
� ;0 �
C. �2 �
.

D.

 2;  1 .

Lời giải

2

Chọn C Đặt

1

thì

g�

 x   2 x. f �
 u

nên

x0
�
x0
�
g�
 x  0 � ��
��
x  �1; x  �2
�f  u   0 � u  �1; u  4
�
g�
 x

Lập bảng xét dấu của hàm số

Lưu ý: cách xét dấu

g�
 x

�
�
1 x2  4
�x  2
1 u  4

�
f�
� �2
�1 x  2 � �
 u  0 � �
u  1
x  1  loai 
f�
 u  : ta có
�
�
�x  1
B1: Xét dấu

2  x  2
�
��
 u  0 .
�x  1 �x  1 � x � 2; 1 � 1; 2  và ngược lại tức là những khoảng còn lại f �
B2 : xét dấu x (trong trái ngoài cùng).
f�
 u x
Câu 16.

B3 : lập bảng xét dấu rồi nhân dấu của
và
ta được như bảng trên
y = f ( x) .
y= f �
( x) như hình bên. Hỏi hàm số g( x) = f ( x2 ) đồng biến trên

Cho hàm số
Đồ thị hàm số
khoảng nào trong các khoảng sau?

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 8


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A.

( - �;- 1) .

Chọn C Ta có

B.

( - 1;0) .
C.
Lời giải

( - 1;+�) .

g�
( x) = 2xf �
( x2 ) .

�

�x > 0
�
�
�
�
�f ( x2 ) > 0
�
�
�>>
�����
g�
( x) 0 �
�
x<0
�
�
�
�
�
�
f x2 < 0
�
g( x)
�
� ( )
�
Hàm số
đồng biến

�

x=0
g�
>=0 �
( x) ������
�
f�
( x2 ) = 0
�
�

Hàm số - Giải tích 12

theo do thi f '( x)

Cách 2. Ta có
Bảng biến thiên

theo do thi f '( x)

�
x=0
�
�
x2 = - 1
�
�2
x =0
�
�2
�

x =1
�

D.

( 0;1) .

�
�x > 0
�
�
�
�
�
- 1< x2 < 0 � x2 > 1
�
�
�
�
�x < 0
�
�
x >1
�
�2
2
��
.
�
�

x
<1
�
0
<
x
<
1
�
�
�
- 1< x < 0
�

�
x=0
�
.
�
x = �1
�

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
g�
( x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 1;+�)
Chú ý: Dấu của
x �( 1;+�) � x > 0. ( 1)
>
theo do thi f '( x)
x2 > 1�����

�f�
x �( 1;+�) � x2 > 1
( x2 ) > 0. ( 2)
>
. Với
( x) = 2xf ( x2 ) > 0
( x) mang dấu + .
( 1) và ( 2) , suy ra g�
( 1;+�) nên g�
Từ
trên khoảng
g�
( x) là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.
Nhận thấy các nghiệm của
Câu 17.

Cho hàm số

Hàm số
A.

y  f  x

. Hàm số

y f�
 x

có đồ thị như hình vẽ.

  có bao nhiêu khoảng nghịch biến.

y  f x2

5.

Chọn B Ta có

B. 3 .

C. 4 .
Lời giải

D. 2 .

�
2
2
�
y�
�
�f  x  � 2 x. f  x 

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 9


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số nghịch biến
Vậy hàm số

Hàm số - Giải tích 12

�
�
�x  0
�
�x  0
�
� 2
�
f
x

0
�
�2


2
�
�
�x  1 �1  x  4
�
theo dt f '( x )
� y�
0� �
�����

��
�
�
�x  0
�x  0
1 x  2
�
�
� 2
�
�
�
2
2
�
�
�
1  x  1 �x  4 �x  2 �1  x  0
�f  x   0
�
�
�

 

y  f x2

có 3 khoảng nghịch biến.

�

x=0
g�
>=0 �
( x) ������=�
�
f �x2 = 0
�
�( )

theo do thi f '( x)

Cách 2. Ta có
Bảng biến thiên

�
x=0
�
�
x2 =- 1
�
�2
x =1
�
�2
�
x =4
�

�
x=0

�
�
x
1.
�
�
x
=
�
2
�

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B
g�
( x) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2;+�)
Chú ý: Dấu của
x �( 2;+�) � x > 0.
( 1)
>
theo do thi f '( x)
x2 > 4 �����
� f�
x �( 2;+�) � x2 > 4
( x2 ) > 0. ( 2)
>
. Với
( x) = 2xf ( x2 ) > 0
( 1) và ( 2) , suy ra g�
( 2;+�) nên g�
( x) mang dấu + .

Từ
trên khoảng
g�
( x) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Nhận thấy các nghiệm của
Câu 18.

Cho hàm số

y  f  x   ax 4  bx3  cx 2  dx  e

g  x   f  x  2

, đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số

y f�
 x

. Xét

2

hàm số

 �; 2  .
g  x
 1; 0  .
C. Hàm số
nghịch biến trên khoảng
A. Hàm số

g  x

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

nghịch biến trên khoảng

 2; � .
g  x
 0; 2  .
D. Hàm số
nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số

g  x

đồng biến trên khoảng

Lời giải

Chọn C

x0
�
x0
�
x0
�
�2
�

g ' x  0 � � 2
� x  2  1 � �
x  �1
f '  x  2   0 �2
�
2
�
�
x  �2
g '( x)  2 x. f '  x  2 
x 2  2
�
�
Ta có:
;

( x 2  2)  0 � x 2  2  2 � x � �; 2  � 2; �
( x ) suy ra f �
Từ đồ thị của y  f �
và ngược lại.

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 10


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 19.

Cho hàm số

Hỏi hàm số
A. 2.

y = f ( x) .

Đồ thị hàm số

y= f �
( x)

như hình bên dưới

g( x) = f ( x2 - 5)

có bao nhiêu khoảng nghịch biến?
B. 3.
C. 4.
Lời giải

g�
( x) = 2xf �
( x2 - 5) ;

�
x=0
g�
>=0 �
( x) ������

�
f �x2 - 5) = 0
�
�(

Chọn C Ta có
Bảng biến thiên

Câu 20.

Hàm số - Giải tích 12

D. 5.

theo do thi f '( x)

�
x=0
�
�
x2 - 5 = - 4
�
�2
x - 5= - 1
�
�2
�
x - 5= 2
�

�
x=0
�
�
x = �1
�
.
�
x = �2
�
�
x=� 7
�
�

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
y = f ( x) .
y= f �
( x) như hình bên. Hỏi hàm số g( x) = f ( 1- x2 ) nghịch biến
Cho hàm số
Đồ thị hàm số
trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.

( 1;2) .

B.

( 0;+�) .

( - 2;- 1) .
C.
Lời giải

D.

( - 1;1) .

�
�
- 2x > 0
�
�
�
�
�
f 1- x2 ) < 0
�
�
� (
�
� g�
x
<
0
�
.
( )
�

�
2
x
<
0
�
�
�
�
2
�
f 1- x2 ) > 0
�
g�
1
x
.
( x) = - 2xf �
g
x
(
)
(
)
�
� (
�
Chọn B Ta có
Hàm số
nghịch biến

- 2x > 0
�
�
x<0
�
��
.
�
�
2
��
f
1
x
<
0
1< 1- x2 < 2: vo nghiem
)
�
�
� (

> Trường hợp 1:

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 11


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số - Giải tích 12

�
- 2x < 0
x>0
�
�
��
� x > 0.
�
� 2
2
��
f ( 1- x ) > 0 �
1- x < 1�1- x2 > 2
�
> Trường hợp 2:
Chọn B
�
x=0
�
�
x=0
theo do thi f '( x)
�
g�
>=0 �
1 x2 1 x 0.
( x) �����-=�=

2
�
�
�
f
1
x
=
0
(
)
�
� 2
�
1- x = 2
�
Cách 2. Ta có
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B
g�
( x) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 1�( 0;+�) .
Chú ý: Dấu của
�- 2x < 0. ( 1)
> x = 1��
theo do thi f '( x)
x = 1� 1- x2 = 0 ��
� f�
� �
( 0) = 2 > 0. ( 2)

( 1- x2 ) = f�( 0) �����
>
( 1) < 0 trên khoảng ( 0;+�) .
( 1) và ( 2) , suy ra g�
Từ
g�
( x) = 0 là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Nhận thấy nghiệm của
Câu 21.

Cho hàm số

Hàm số
A.

y  f  x .

y  f  3  x2 

 0;1 .

Biết rằng hàm số

y f�
 x

đồng biến trên khoảng
B.

 1;0  .

có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

 2;3 .

C.
Lời giải

D.

 2;  1 .

x0
�
�
2
�f  3  x 2  �
�

0
�
f
3

x
.

2
x


0
�


�


�
�
 3  x2   0 .
�f �
Chọn B Cách 1: Ta có:
�
3  x 2  6
x  �3
�
� 2
�
2
f�
 3  x   0 � �3  x  1 � �x  �2
�
�
x  �1
3  x2  2
�
�
Từ đồ thị hàm số suy ra
.
Bảng biến thiên

Lập bảng xét dấu của hàm số

y  f  3  x2 

ta được hàm số đồng biến trên

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
 1;0  .

Trang 12


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số - Giải tích 12

�
�x > 0
�
�
�
�
�
f ( 3- x2 ) < 0
�
�
�
� g�

( x) > 0 � �
�
�
�
�x < 0
�
�
�
f ( 3- x2 ) > 0
�
g�
3- x2 ) .
( x) =- 2xf �
g( x)
(
�
�
�
Cách 2: Lời giải. Ta có
Hàm số
đồng biến
�
�
x
>
0
x
>
0
�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
�
�
�
�
3
x
<6
x2 > 9
��
�
�
�
�
x>3
�
�
�
�
�
�

�
�
�
2
�
2
�
�
�
��
4> x >1
2> x >1
��1< 3- x < 2
�
�
theo do thi f '( x)
������ � �
��
��
.
�
�
�
- 3 < x <- 2
x<0
x<0
�
�
�
�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
- 1< x < 0
�
- 6 < 3- x2 <- 1
4 < x2 < 9 �
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��

�
3- x2 > 2
x2 < 1
�
��
�
�
�

Câu 22.

Cho hàmsố y  f ( x) có đạo hàm trên �. Đường cong trong hình vẽ dưới là đồ thị của hàm số
2
y  f '( x) . Xét hàm số g ( x)  f (3  x ) .

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số g ( x) đồng biến trên ( �;1) .

B. Hàm số g ( x) đồng biến trên (0;3) .
C. Hàm số g ( x) nghịch biến trên (1; �) .
D. Hàm số g ( x) nghịch biến trên ( �; 2) và (0; 2) .
Lời giải

�
3  x 2  1
x  �2
�
f
'
3


x

0
�
�


�
�
g '  x   2 xf '  3  x 2 
x  0 (nghiem kep)
3  x 2  3 (nghiem kep) �
�
Chọn D Ta có
;
2

Ta có bảng xét dấu:

Câu 23.

Hàm số g ( x) nghịch biến trên ( �; 2) và (0;2) .
y = f ( x) .
y= f �
( x) như hình bên dưới
Cho hàm số
Đồ thị hàm số

g( x) = f ( x3 )

Hàm số
( - �;- 1) .
A.

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
( - 1;1) .
( 1;+�) .
B.
C.
Lời giải

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.

( 0;1) .

Trang 13


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

g�
( x) = 3x2 f �
( x3 ) ;

Hàm số - Giải tích 12

�

x2 = 0
g�
>=0 �
( x) ������
�� 3
f x =0
�
�( )

theo do thi f '( x)

Chọn C Ta có
Bảng biến thiên

�
x2 = 0
�
�
x3 = 0
�
�3
x =- 1
�
�3
�
x =1
�

�
x=0

�
.
�
x = �1
�

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C
Câu 24.

Cho hàm số y  f ( x). Hàm số y  f '( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f ( x  x ) nghịch biến trên
khoảng?
2

A.

�1
�
� ; ��
�2
�.

�3
�
� ; ��
�.
B. � 2

� 3�
�; �
�

2 �.
�
C.

�1
�
� ; ��
�
D. �2
.

Lời giải
�
�
1- 2x < 0
�
�
�
�
�
f x - x2 ) > 0
�
�
� (
�
� g�
x
<
0
�

.
( )
�
�
1
2
x
>
0
�
�
�
�
2
�
f x - x2 ) < 0
�
g'( x) = ( 1- 2x) f �
x
x
.
g
x
(
)
(
)
�
� (
�

Ta
có
;
Hàm
số
nghịch
biến
Chọn D
� 1
�
1- 2x < 0
�x >
1
�
�
�� 2
� x> .
�
2
��
f x- x ) > 0 �
2
2
2
� (
�x - x < 1 � x - x > 2
�
> Trường hợp 1:
� 1
�

1- 2x > 0
�x <
�
��
.
�
� 2
2
��
2
�f ( x - x ) < 0 �
�
�
1
<
x
x
<
2:
vo
nghiem
�
> Trường hợp 2:
1
x> .
2 Chọn D
Kết hợp hai trường hợp ta được

�
1- 2x = 0

g�
������-=�=
0 �
( x) >=
�
f �x - x2 ) = 0
�
�(

Cách 2. Ta có

theo do thi f '( x)

� 1
�=
x
� 2
� 2
�
x x 1: vo nghiem
�
�
x - x2 = 2: vo nghiem
�
�
�

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
x

1
.
2

Bảng biến thiên

Trang 14


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số - Giải tích 12

2

� 1�
� 1 1 theo do thi f '( x)
x - x2 = - �
x- �
+ � ������ f �
( x- x2 ) > 0.
�
�
�
�
�
2
4
4

Cách 3. Vì

Suy

ra

dấu

của

g'( x)

phụ

thuộc

vào

dấu

của

1- 2x.

u

cầu

bài

tốn

cần

1
g'( x) < 0 ��
�1- 2x < 0 � x > .
2

Câu 25.

( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f (1  2 x  x ) đồng biến
Cho hàm số y  f ( x). Hàm số y  f �
trên khoảng dưới đây?
2

A.

 �;1 .

B.

 1; � .

C.

 0;1 .

D.

 1; 2  .

Lời giải
Chọn D

x 1
�
x 1
�
�
y' 0 � �
1  2x  x2  1 � �
x0
�
�
�
x2
y '   2  2x  f �
(1  2 x  x 2 )
1  2 x  x2  2
�
�
Ta có:
. Nhận xét:
Bảng biến thiên

Câu 26.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) .
( x ) trên � và đồ thị của hàm số f �

( x ) như hình vẽ. Hàm số
Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f �

g  x   f ( x 2  2 x  1)

A.

 �;1 .

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

B.

 1; � .

C.

 0; 2  .

D.

 1;0  .

Lời giải
Chọn D

g '  x   (2 x  2) f '( x 2  2 x  1)

Ta có:
Ta có bảng biến thiên:

. Nhận xét:

x 1
�
x0
�
�2
�
g ' x  0 � �
x  2 x  1  1 � x  �1
�
2
�
�
x

2
x

1

2
x  2; x  3
�
�

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 15

Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số - Giải tích 12

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng
Mức 4: đơn điệu
Câu 27.

y  f  x

Cho hàm số

f�
 x

có đạo hàm là hàm số

thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số

f  x

 1;0  .

y f�
 x  2   2 có đồ
trên �. Biết rằng hàm số

nghịch biến trên khoảng nào?

y

2

-2

x

2

O

3

1

-1

A.

 �; 2 

.

B.

 1;1

Chọn B Cách 1: Dựa vào đồ thị

 C

�3 5 �
�; �
C. �2 2 �
.

.
ta có:

f�
 x  2   2  2, x � 1;3 � f �
 x  2   0, x � 1;3

Đặt x*  x  2 thì
Vậy: Hàm số

nghịch biến trên khoảng

Phân tích: Cho biết đồ thị của hàm số
hàm số

f  x

 2; � .

Lời giải

f�
 x *  0, x* � 1;1

f  x

D.

f�
 x

.

.

 1;1 .
sau khi đã tịnh tiến và dựa vào đó để xét sự đồng biến của

.

f '( x- 2) + 2
Cách khác. Từ đồ thị hàm số
tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số
f '( x- 2)
(tham khảo hình vẽ bên dưới).
y

-2

x

2

O

1

3

-3

Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số
vẽ bên dưới).

f '( x- 2)

f '( x)
sang trái 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số
(tham khảo hình

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 16


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số - Giải tích 12

y

-1

1

O

x
3

-3

Từ đồ thị hàm số
Câu 28.

Cho hàm số

f '( x)

y  f  x

, ta thấy

f '( x) < 0

có đạo hàm là hàm số

thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số

A.

 3; 1 ,  1;3 .

Chọn B Dựa vào đồ thị

khi

B.

 C

f  x

x �( 1;1) .

f�
 x

y f�
 x  2   2 có đồ
trên �. Biết rằng hàm số

nghịch biến trên khoảng nào?

 1;1 ,  3;5 .

C.

 �; 2  ,  0; 2  .

D.

 5; 3 ,  1;1 .

Lời giải
ta có:

f�
 x  2   2  2, x � 3; 1 U  1;3 � f �
 x  2   0, x � 3; 1 U  1;3
f�
 x *  0, x* � 1;1 U  3;5

Câu 29.

.

f  x
 1;1 ,  3;5 .
Đặt x*  x  2 suy ra:
.Vậy: hàm số
đồng biến trên khoảng
y = f ( x)
y= f �
( x) như hình bên dưới
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên �. Đồ thị hàm số

g( x) = f ( x) - x,
Đặt
khẳng định nào sau đây là đúng?
g( 2) < g( - 1) < g( 1) .
g( - 1) < g( 1) < g( 2) .

g( - 1) > g( 1) > g( 2) .
g( 1) < g( - 1) < g( 2) .
A.
B.
C.
D.
Lời giải
g�
� g�
( x) = f �
( x) - 1��
( x) = 0 � f �
( x) = 1.
Chọn C Ta có
g�
( x) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f �
( x) và đường thẳng
Số nghiệm của phương trình
d : y = 1 (như hình vẽ bên dưới).

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 17


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số - Giải tích 12

�

x =- 1
�
g�
x =1 .
( x) = 0 � �
�
�
x=2
�
Dựa vào đồ thị, suy ra

Bảng biến thiên

Câu 30.

��
� g( 2) < g( - 1) < g( 1) .
Dựa vào bảng biến thiên
Chọn C
g�
x
( ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2;+�) , ta thấy đồ thị hàm số nằm
Chú ý: Dấu của
g�
( x) = f �
( x) - 1 mang dấu +.
phía trên đường thẳng y = 1 nên
( x) được cho như
Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên �. Bảng biến thiên của hàm số y  f �

� x�
y f�
1  � x
2 � nghịch biến trên khoảng
�
hình vẽ dưới đây. Hàm số

A. (2; 4).

C. (2;0).
Lời giải

B. (0; 2).

D. (4; 2).

� 1
� � x� �
� x�
� x�
y�
 �f �
1  � x �  f �
1  � 1
y f �
1  � x
�
2
2
2� .

2
�
�
�
�
�
�
�
Chọn D Hàm số
có
1 � x�
� x�
 f�
1  � 1  0 � f �
1  � 2
�
�
�
2
2
2� .
y

0
�
�
�
�
Để hàm số nghịch biến thì

2  1

Câu 31.

x
 3 � 4  x  2.
2

Khi đó, dựa vào bảng biến thiên ta có
y = f ( x)
y= f �
( x) như hình bên dưới
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên �. Đồ thị hàm số

Hàm số

g( x) = 2 f ( x) - x2

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 18


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A.

( - �;- 2) .

Chọn B Ta có

Hàm số - Giải tích 12

( 2;4) .
C.
Lời giải
�
�
�
g ( x) = 2 f ( x) - 2x ��
� g ( x) = 0 � f �
( x) = x.
B.

( - 2;2) .

D.

( 2;+�) .

g�
( x) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
Số nghiệm của phương trình
y= f �
( x) và đường thẳng d : y = x (như hình vẽ bên dưới).
�
x =- 2

�
g�
x=2 .
( x) = 0 � �
�
�
x=4
�
Dựa vào đồ thị, suy ra

Câu 32.

x �( - 2;2)
f�
( x) nằm
Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với
thì đồ thị hàm số
g�
( x) > 0 ) ��
� hàm số g( x) đồng biến trên ( - 2;2) . Chọn B
phía trên đường thẳng y = x nên
y = f ( x)
y= f �
( x) như hình bên. Hỏi hàm số
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên �. Đồ thị hàm số
g( x) = 2 f ( x) +( x +1)

A.

( - 3;1) .

2

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

( - �;3) .
C.
Lời giải
�
�
�
g ( x) = 2 f ( x) + 2( x +1) ��
� g ( x) = 0 � f �
( x) =- x - 1.
B.

Chọn B Ta có

( 1;3) .

D.

( 3;+�) .

g�
( x) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm
Số nghiệm của phương trình
y= f �
( x) và đường thẳng d : y =- x - 1 (như hình vẽ bên dưới).

số
�
x =- 3
�
g�
x =1 .
( x) = 0 � �
�
�
x=3
�
Dựa vào đồ thị, suy ra
�
x <- 3
� g�
( x) > 0 � �
�
1< x < 3
�

Yêu cầu bài tốn

(vì phần đồ thị của

f '( x)

nằm phía

trên đường thẳng y = - x - 1 ). Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn. Chọn B
Câu 33.

Cho hàm số

y  f  x

f ' x
có đạo hàm trên � và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm
. Hàm số

g  x   2 f  2  x   x 2

nghịch biến trên khoảng

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 19


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A.

 3; 2  .

B.

 2; 1 .

Hàm số - Giải tích 12

 1;0  .

C.
Lời giải

 0; 2  .

g�
 x  2 f �
 2  x   2x � g�
 x  0 � f �
 2  x  x � f �
 2  x   2  x  2

Chọn C Ta có :
(thêm bớt)
Từ đồ thị hàm số

f ' x

ta có :

f ' x

f ' x  x  2 � 2  x  3

(vì phần đồ

thị
nằm phía dưới đường thẳng y  x  2 , chỉ xét khoảng

còn các khoảng khác không xét dựa vào đáp án).
Hàm

D.

g  x

số

nghịch

 2;3

biến

� g�
 x  0 � f �
 2  x    2  x   2 � 2  2  x  3 � 1  x  0

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

 1;0  .

f�
 x  tại 2 điểm có hoành độ nguyên
Lưu ý : Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y  x  2 cắt đồt thị

1  x1  2
�
�

x2  3
�

liên tiếp là

f�
 2  x   2  x  2

Câu 34.

Cho hàm số

Hàm số

y  f  x

f�
 x  x  2

trên miền 2  x  3 nên

trên miền 2  2  x  3 � 1  x  0 .

có đồ thị hàm số

y  f 1 x 

� 3�
1; �
�

A. � 2 �
.

và cũng từ đồ thị ta thấy

y f�
 x

như hình vẽ

x2
x
2
nghịch biến trên khoảng
B.

 2;0 .

 3;1 .

C.
Lời giải

D.

 1;3 .

g�
( x) =- f �
( 1- x) + x - 1.

Chọn D Ta có
g�
( x) < 0 � f �
( 1- x) > x- 1. Đặt t = 1- x , bất phương trình trở thành f �
( t) >- t.
Để
f '( x)
Kẻ đường thẳng y = - x cắt đồ thị hàm số
lần lượt tại ba điểm x =- 3; x =- 1; x = 3.

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 20


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số - Giải tích 12

Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình
�
�
�
t <- 3
1- x <- 3
x> 4
f�
��
��
.

( t) >- t � �
�
�
�
1< t < 3 �
1< 1- x < 3 �
- 2< x < 0
�

Đối chiếu đáp án ta chọn B
Cách khác: - Từ đồ thị hàm số

y f�
 x

, có

f�
 x  x  0 �

3  x  1
�
��
f�
 x    x �2  x
-

Xét

hàm

số

y  f  1 x 

x2
x
2
,

có

y�
f�
 1  x  x  1

 1  x   1  x �
f�
 1 x   1 x   �
�f �
�.

3  1  x  1
0 x4
�
�
��
�
f�
 1  x    1  x   0 � �2  1  x

x  1
�
Như vậy
3  1  x  1
0 x4
�
�
��
�
 �f �
 1  x   1  x �
2  1 x
x  1 .
� 0 � �
�
Hay �
x2
x
 �; 1 và  0;4  .
2
Suy ra hàm số
nghịch biến trên các khoảng
x2
y  f  1  x 
x
 1;3 � 0;4  .
2
Suy ra hàm số
cũng sẽ nghịch biến trên khoảng
y  f  x

f  2   f  2   0
y  f ' x
Cho hàm số
có đạo hàm trên � thoả
và đồ thị của hàm số
có
y  f  1  x 

Câu 35.

dạng như hình bên. Hàm số

� 3�
1; �
.
�
2
�
�
A.
Chọn D Ta có

y   f  x 

B.

2

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

 1;1 .

 2; 1 .

C.
Lời giải

f '  x   0 � x  1; x  �2 f  2   f  2   0
;

D.

 1; 2  .

. Ta có bảng biến thiên :

� f  x   0; x ��2.
y   f  x 

Xét
Bảng xét dấu :

2

�f  x   0
x  �2
�
y'  0 � �
��
x  1; x  �2

� y '  2 f  x . f ' x
�
�f '  x   0
;

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 21


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm số - Giải tích 12

�f �
( x) > 0 �
x <- 2
g�
��
.
( x) < 0 � f �
( x) . f ( x) < 0 � �
�
�
�
�
�
1< x < 2
g ( x) = 2 f ( x) . f ( x) .
�f ( x) < 0

�
Hoặc Ta có
Xét

Câu 36.

g( x)
( - �;- 2) , ( 1;2) .
Suy ra hàm số
nghịch biến trên các khoảng
y = f ( x) .
y= f �
( x) như hình bên dưới và f( - 2) = ( 2) = 0.
Cho hàm số
Đồ thị hàm số

2

g( x) = �
f ( 3- x) �
�
�nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Hàm số

A.

( - 2;- 1) .

B.

( 1;2) .

Chọn C Dựa vào đồ thị hàm số

y= f �
( x) ,

( 2;5) .
C.
Lời giải
suy ra bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên suy ra
Ta có

D.

( 5;+�) .

f ( x)

như sau

f ( x) �0, " x ��.

g�
( x) =- 2 f �
( 3- x) . f ( 3- x) .

�f �

( 3- x) < 0 �
- 2 < 3- x < 1 �
2< x < 5
�
g�
��
��
.
( x) < 0 � f �
( 3- x) . f ( 3- x) > 0 � �
�
�
�
�
3
x
>
2
x <1
f ( 3- x) < 0
�
�
�
Xét

Câu 37.

g( x)
( - �;1) , ( 2;5) .
Suy ra hàm số

nghịch biến trên các khoảng
y = f ( x) .
y= f �
( x) như hình bên dưới
Cho hàm số
Đồ thị hàm số

g( x) = f ( 3- x )

Hàm số
( - �;- 1) .
A.

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
( - 1;2) .
( 2;3) .
B.
C.
Lời giải

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
D.

( 4;7) .

Trang 22


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

�
- 1< x < 1
f�
( x) > 0 � �
�
x>4
�

Chọn B Dựa vào đồ thị, suy ra

và

Hàm số - Giải tích 12
�
x <- 1
f�
.
( x) < 0 � �
�
1< x < 4
�

�
- 1< x - 3< 1 �
2< x < 4
g( x) = f ( x - 3) ��
� g�
��
( x) = f �
( x - 3) > 0 � �

�
�
x - 3> 4
x>7
�
�
> Với x > 3 khi đó
��
� hàm số g( x) đồng biến trên các khoảng ( 3;4) , ( 7;+�) .

Câu 38.

g( x) = f ( 3- x) ��
� g�
( x) =- f �
( 3- x) > 0 � f �
( 3- x) < 0
> Với x < 3 khi đó
�
�
x > 4 ( loa�
i)
3- x <- 1
��
��
�
�
1< 3- x < 4 �
- 1< x < 2 ��
�

� hàm số g( x) đồng biến trên khoảng ( - 1;2) .
y = f ( x) .
y= f �
( x) như hình bên dưới
Cho hàm số
Đồ thị hàm số

Hàm số
A.

g( x) = f

( - �;- 1-

(

)

x2 + 2x + 2

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
( 1;2 2 - 1) .
( 2 2 - 1;+�) .
( - �;1) .
B.
C.
D.
Lời giải

)

2 2.

�
x =- 1
�
f�
x =1 .
( x) = 0 � �
�
g�
( x) =
�
x=3
�
Chọn A Dựa vào đồ thị, suy ra
Ta có
�
x +1= 0
�
�
x +1= 0
�
� 2
theo do thi f '( x)
g�
�����++=�=-0 �
( x) >=
�x 2x 2 1
2

�
f
x + 2x + 2 = 0
�
�
�
�x2 + 2x + 2 = 3
�

(

)

x +1
2

x + 2x + 2

(

)

f � x2 + 2x + 2 ;

�
x =- 1 ( nghiem boi ba)
�
�
x
1 2 2

.
�
�
�
x =- 1+ 2 2
�

Lập bảng biến thiên và ta chọn A
g�
( x) như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( - 1;- 1+ 2 2) ta chọn x = 0. Khi đó
Chú ý: Cách xét dấu
g�
( 0) =

Câu 39.

1
2

( )

f � 2 <0

vì dựa vào đồ thị

phương trình

g�
( x) = 0

Cho hàm số

y = f ( x) .

Hàm số

g( x) = f

(

f�
( x)

ta thấy tại

x = 2 �( 1;3)

thì

( )

f � 2 < 0.

Các nghiệm của

là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.
y= f �
( x) như hình bên dưới
Đồ thị hàm số

x2 + 2x + 3 -

)

x2 + 2x + 2

đồng biến trên khoảng nào sau đây?

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 23


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
� 1�
�
�
- �; �
.
�
�
�
�
�
2
B.

( - �;- 1) .
A.

Hàm số - Giải tích 12

�
�
1
�
;+��
.
�
�
�
�
�
�
2
C.

D.

( - 1;+�) .

Lời giải
Chọn A Ta có
1

>

2

x + 2x + 3

�
1
�
g�
( x) = ( x +1) �
�
2
�
� x + 2x + 3

-

1
2

x + 2x + 2

0 < u = x2 + 2x + 3 -

<0

x2 + 2x + 2 =

>

�
�
�
f � x2 + 2x + 3�

�
2
�
x + 2x + 2 �
1

(

)

x2 + 2x + 2 .

( 1)
với mọi x ��.
1
2

2

( x +1) + 2 + ( x +1) +1

�

1
2 +1

<1

theo do thi f '( x)
������ f �

( u) > 0, " x ��. ( 2)

( x) phụ thuộc vào dấu của nhị thức x+1 (ngược dấu)
( 1) và ( 2) , suy ra dấu của g�
Từ
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A
DẠNG I.2: CỰC TRỊ
Mức 1: Cực trị
Câu 40.

y = f ( x)
y= f�
( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.
Cho hàm số
có đạo hàm liên tục trên � và hàm số
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số
C. Hàm số

y  f  x

y  f  x

đạt cực đại tại điểm x  1.

B. Hàm số

đạt cực tiểu tại điểm x   2.

D. Hàm số
y
4

y  f  x

y  f  x

đạt cực tiểu tại điểm x  1.
đạt cực đại tại điểm x   2 .

f '> x>

2
x
-2

-1 O

-1

-2

Chọn C Giá trị của hàm số
Câu 41.

y f�
 x

Lời giải
đổi dấu từ âm sang dương khi qua x  2 .

y  f  x
y  f ' x
Cho hàm số
xác định trên � và có đồ thị hàm số
là đường cong trong hình bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số

y  f  x

đạt cực đại tại x  2 .

B. Hàm số

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
y  f  x

đạt cực tiểu tại x  0 .

Trang 24


Sưu tầm: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

y  f  x

C. Hàm số

có 3 cực trị.

Chọn A Giá trị của hàm số
Câu 42.

y  f ' x

f  x

Hàm số - Giải tích 12

D. Hàm số
Lời giải

B.
C.

f  x

f  x
f  x

đạt cực đại tại x  2 .

đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 2 .

Cho hàm số

xác định trên � và có đồ thị của hàm số
như hình vẽ bên. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.

y  f  x

f�
 x

đạt cực tiểu tại x  0.
đạt cực tiểu tại x  2.
đạt cực đại tại x  2.

D. Giá trị cực tiểu của

f  x

nhỏ hơn giá trị cực đại của
Lời giải

f  x

.

y  f ' x
Chọn B Giá trị hàm số
đổi dấu từ dương sang âm khi qua x  2 .
Nói thêm: theo bảng biến thiên sau suy ra phương án D là Đúng.

Câu 43.

Hàm số

y  f  x

y  f ' x

liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số

y  f  x
trên K như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số

trên K .
A. 1.
C. 3.

B. 2.
D. 4.
Lời giải

Chọn B Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị
kể các điểm mà đồ thị
Câu 44.

Hàm số

f  x

của hàm số
cực trị?

y  f ' x

có đạo hàm

f ' x

f ' x

y  f ' x

cắt trục Ox tại mấy điểm mà thôi, khơng

tiếp xúc với trục Ox (vì đạo hàm ko đổi dấu).
trên khoảng K . Hình vẽ bên là đồ thị

f  x
trên khoảng K . Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Chọn B Đồ thị hàm số
Câu 45.

f�
 x

Lời giải
cắt trục hoành tại điểm x = - 1 .

y  f  x
y  f ' x
Cho hàm số
xác định trên � và có đồ thị hàm số
là đường cong trong hình bên.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?

ĐT: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 25