Tổ-16-Đ2-HSG-toan-10-nam-2018-2019-Sở-Hà-Nam_ban-chuan

TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 HÀ NAM
NĂM HỌC 2018-2019
MƠN TỐN LỚP 10 TIME: 180 PHÚT

Câu 1. (5.0 điểm) .

 P  : y  x 2  mx  3m  2 , đường thẳng  d  : x  y  m  0
1. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol
( m là tham số thực) và hai điểm

A  1;  1 B  2; 2 
 d  cắt parabol  P  tại
,
. Tìm m để đường thẳng

hai điểm phân biệt M , N sao cho A , B , M , N là bốn đỉnh của hình bình hành.
2  x 2  y 2   1  xy
2. Cho các số thực x, y thỏa mãn:
. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị

nhỏ nhất của biểu thức
Câu 2. (5.0 điểm)

P  7  x4  y 4   4x2 y 2

1. Giải phương trình

 x  1

. Tính M  m .

6 x 2  6 x  25  23x  13

.

3
3
2
�
�x  y  3x  6 x  3 y  4  0
�
( x  1) y  1  ( x  6) y  6  x 2  5 x  12 y
2. Giải hệ phương trình �
.

Câu 3. (2.0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại A(1;3) . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho
�1 3 �
M � ; �
�2 2 �là trung điểm HC . Xác
AB  3 AD và H là hình chiếu vng góc của B trên CD . Điểm

định tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình x  y  7  0 .
Câu 4. (6.0 điểm)
1. Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 15 . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh

BC , CA, AB sao cho BM  5, CM  10, AP  4 . Chứng minh rằng AM  PN .

2. Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c và R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại
a 3  b 3  c 3 2r

4
abc
R
tiếp, nội tiếp tam giác ABC thoả mãn
. Chứng mình tam giác ABC là tam giác đều.
3. Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD và nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R  1 . Đặt diện
tích tứ giác ABCD bằng S và AB  a, BC  b, CD  c, DA  d .
 ab  cd   ad  bc 
T
S
Tính giá trị biểu thức
.
Câu 5. (2.0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 1


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

a2
b2
c2
a 2  b2  c2



�
2a  1 2b  1 2c  1
a 2  b2  c2  6 .
-----------------Hết-----------------

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 2


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Thực hiện lời giải và sưu tầm bởi tập thể tổ 16 Strong team Toán VDVDC

 P  : y  x 2  mx  3m  2 , đường thằng  d  : x  y  m  0 (
Câu 1.1. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol
m là tham số thực) và hai điểm A  1;  1 , B  2; 2  . Tìm m để đường thẳng  d  cắt parabol

 P

tại hai điểm phân biệt M , N sao cho A , B , M , N là bốn đỉnh của hình bình hành.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Khoa ; Fb: Khoa Nguyen

Xét phương trình hồnh độ giao điểm của

 P

và

 d :

2
x 2  mx  3m  2  x  m � x   m  1 x  2m  2  1 .

� Đường thẳng  d  cắt parabol  P  tại hai điểm phân biệt �  1 có hai nghiệm phân biệt
m 1
�
� m 2  10m  9  0 � �
�    m  1  4  2m  2   0
m9 .
�
2

Khi đó,

 d

cắt
(giả sử x1  x2 ).

 P

tại hai điểm

M  x1 ; x1  m  N  x2 ; x2  m 

 1
,
với x1 , x2 là nghiệm của

� Bốn điểm A , B , M , N là bốn đỉnh của hình bình hành xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Bốn điểm lập thành hình bình hành ABNM .
uuu
r uuuu
r
� AB  MN � 3  x2  x1 .
2m
�
�x1   2
�x1  x2  1  m
�
4m
�
�
�x1 .x2  2m  2 � �x2 
2
�x  x  3
�
�2 1
�x1 .x2  2m  2
�
�
Kết hợp với định lý Vi-et ta có hệ:

Suy ra

2m 4m
.
 2m  2 � m2  10m  0 �
2
2

m0
�
�
m  10 .
�

M  1;  1 �A
x  1 �
�
x2  x  2  0 � �
��
x2
N  2; 2  �B
 1 trở thành:
�
�
Với m  0 ,
(loại).
M  6; 4 
x  6 �
�
x 2  9 x  18  0 � �
��
x  3 �

N  3;7 
 1 trở thành:
�
Với m  10 ,
thỏa mãn ABNM tạo
thành hình bình hành.
Trường hợp 2: Bốn điểm lập thành hình bình hành ANBM .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

�1 1 �
I�; �
Khi đó, �2 2 �là trung điểm của AB cũng là trung điểm của MN nên

�x1  x2 1

�
� 2
2
�m0
�
�x1  x2  2m  1
�
2

2
(loại)
Vậy m  10 .
2  x 2  y 2   1  xy
Câu 1.2. Cho các số thực x, y thỏa mãn:
. Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

P  7  x4  y 4   4x2 y 2

. Tính M  m .

Lời giải
Tác giả: Lâm Thanh Bình; Fb: Lâm Thanh Bình
2
P  7  x4  y 4   4 x2 y 2  7 �
 4x2 y2
�x2  y 2   2 x 2 y 2 �
�
.
2

2
1  xy �
7 2 2
�
2 2
2 2
 7  x 2  y 2   10 x 2 y 2  7 �

� 10 x y   x y  2 xy  1  10 x y
4
� 2 �
.

P

33 2 2 7
7
x y  xy 
4
2
4.

Đặt t  xy , ta có

1�

xy 2  x 2

y2 

4 xy

2
2�
y  �2
xy �
�۳
1 ۳xy

 x 
�
�

P

M

33 2 7 7
t  t
4
2 4

xy

1
3

2 x y

1
3.

t
2

1 5 xy 0

xy

1
5

t

1
5.

�1 1�
t ��
 ; �
5 3�
�
với

70
7
7
20
t
xy 
x2  y2 
33 xảy ra khi
33 hay
33 . Khi đó
33 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4

TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

�
�
�
�
�
�x 
�
�
�
�
�
�
�
�
�y 
�
�
��
�
�
�
�
�x 
�
�
7

�
�
xy 
�
�
�
�
33
�
�
�
�
20
�x 2  y 2 
�
�y 
�
�
33
Ta có �

m

Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

34
2

33
11

2
34
2

33
11
2
34
2

33
11
2
34
2

33
11
2
.

18
1
1
2
t
xy  
x2  y2 
25 xảy ra khi
5 hay

5 . Khi đó
5.

�
�
5
�
�x 
� 5
�
�
�
�y   5
�
�
5
�
��
�
�
5
1
�
�
x
�
xy


�

�
5
�
�
5
�
�
�
�y  5
�x 2  y 2  2
�
�
�
5 .
�
5
Ta có �
Vậy

M m

2344
825 .

Câu 2.1. Giải phương trình
.

 x  1

6 x 2  6 x  25  23x  13

.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thu Nghĩa; Fb: Thu Nghia
Ta có

 x  1

6 x 2  6 x  25  23x  13

�  x  1 � 6 x 2  6 x  25   2 x  3 � 2 x 2  18 x  16  0  1
�
�

3
�
x�
�
2
��
� 2
6 x 2  6 x  25   2 x  3  0
� 6 x  6 x  25  2 x  3 (PTVN)

TH1:

6 x 2  6 x  25   2 x  3 �0
TH2:

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 5


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

 1 �  x  1

 2x

2

 18 x  16 

6 x  6 x  25   2 x  3
2

Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

 2 x 2  18 x  16  0

�
�
x 1
�  2 x 2  18 x  16  �
 1� 0
2
�
� 6 x  6 x  25   2 x  3 �

�
�
2 x 2  18 x  16  0  1
�
x 1
��
1  0
� 6 x 2  6 x  25   2 x  3
�

 2

�x  1
�
1
x  8.
Giải   ta được �

 2 �
Giải

6 x 2  6 x  25  3 x  4

4
�
� x�
3
��
� x  5  2 7
2

�
3x  30 x  9  0
�

.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là



S  1; 8;  5  2 7

.

Câu 2.2. Giải hệ phương trình
3
3
2
�
�x  y  3x  6 x  3 y  4  0
�
( x  1) y  1  ( x  6) y  6  x 2  5 x  12 y
�
Lời giải
Tác giả:Hoàng Ngọc Huệ ; Fb: Hoàng Ngọc Huệ.

Điều kiện: y �1 .
3
3
2

3
3
Ta có x  y  3 x  6 x  3 y  4  0 � ( x  1)  3( x  1)  y  3 y (1).
3
(t )  3t 2  3  0, t ��. Do đó hàm số f (t ) đồng biến trên �.
Xét hàm số f (t )  t  3t , f �
Mà phương trình (1) có dạng f ( x  1)  f ( y) nên x  1  y . Do y �1 nên x �2 .

( x  1) y  1  ( x  6) y  6  x 2  5 x  12 y ta có
Thế x  1  y vào phương trình

( x  1) x  2  ( x  6) x  7  x 2  7 x  12 � ( x  1)( x  2  2)  ( x  6)( x  7  3)  x 2  2 x  8
x  2 (TM )
�
( x  1)( x  2) ( x  6)( x  2)
�
�

 ( x  2)( x  4) �
� x  1  x  6  x  4 (*)
x2 2
x7 3
�x2 2
x7 3
.
Giải phương trình (*):
x 1
x6
2( x  2)
2

2( x  6)

 x4�
 ( x  2) 

 ( x  6)  0
x22
x7 3
x2 2
x2 2
x7 3

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

� x  2 �
� x  7  1 �
2
� ( x  2) �


(
x


6)
�
�
� x22� x2 2
� x7 3 �
� 0
�
�
�
� (**)

Dễ thấy vế trái của phương trình (**) ln âm với mọi x �2 .
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (2;3) .
Bổ sung: Để đánh giá (*) vơ nghiệm cũng có thể xét riêng
Trường hợp 1:

x �1 � VT 

x 1 x  6
7

 x  x4
2
2
2

Trường hợp 2:
1  x �2 � VP  VT   x  4  

x 1

x6

x22
x7 3

x  6 � � 2x �
x 1
�x  6
�

�
2  �
 0.
�
x 7 3� � 3 � x  2  2
�3

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại A(1;3) . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho
�1 3 �
M � ; �
�2 2 �là trung điểm
AB  3 AD và H là hình chiếu vng góc của B trên CD . Điểm
HC . Xác định tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình x  y  7  0

.
Lời giải
Tác giả: Dương Nguyễn, Hạnh Bích; Fb: Dương Nguyễn, Hạnh Bích

Gọi F là trung điểm của BC .
Gọi E là giao điểm của CD với đường thẳng qua A và song song với BC

� AEBF là hình chữ nhật � AEBF nội tiếp đường trịn (T ) có đường kính là AB và EF .
Ta có MF là đường trung bình của tam giác BHC � MF song song với BH
�  900 � E , M , F
� EMF
nằm trên đường trịn đường kính EF � A, E , B, F , M nằm trên
0
�
đường tròn (T ) � AMB  90 � AM  BM .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7


TỔ 16 - STRONG TEAM TỐN VD VDC

Vì

Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

B � d  : x  y  7  0 � B(b; 7  b)

.
uuuu
r uuuu
r
Vì AM  BM � AM .BM  0 � b  4 � B(4; 3) .
uuu
r

uuur
AB

3
AD
�
AB

3
AD � D (2;1) .
D
AB
Do
nằm trên cạnh
và

� Phương trình đường thẳng CD là: x  y  1  0 � C (c; 1  c ) .
c  7 �
C (7;6)
�
2
2
AB  AC �  c  1   4  c   45 � �
��
c2
C (2; 3) .
�
�
Do
Câu 4.1. Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 15 . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh

BC , CA, AB sao cho BM  5, CM  10, AP  4 . Chứng minh rằng AM  PN .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tuấn ; Fb: Nguyễn Tuấn

rr

r r

225
uuu
r r uuur r
uuur r r
b.c  b . c .cos600 
.
2
Đặt AB  b, AC  c. Khi đó BC  c  b và
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r 1 uuur r 1 r r 1 r 2 r
AM  AB  BM  AB  BC  b  (c  b)  c  b.
3
3
3
3
Ta có
uuur uuur uuur 1 r 4 r
PN  AN  AP  c  b.
3 15

uuuu
r uuur �1 r 2 r ��1 r 4 r � 1 r 2 8 r 2 2 r r �1 8 1 �
AM .PN  � c  b �
. � c  b � c  b  b.c  �   �
.225  0.
3 ��3 15 � 9
45
15
�3
�9 45 15 �
Khi đó

Suy ra AM  PN .
Câu 4.2. Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c và R, r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại
a 3  b 3  c 3 2r

4
abc
R
tiếp, nội tiếp tam giác ABC thoả mãn
. Chứng mình tam giác ABC là tam
giác đều.
Lời giải
Tác giả: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu; Fb: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 8

TỔ 16 - STRONG TEAM TỐN VD VDC

S

Ta có:

�

Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

abc
abc
r
abc
r
 pr � S 2 
. p. � p  p  a   p  b   p  c  
. p.
4R
4
R
4
R

2r  a  b  c   a  b  c   b  c  a 

R
abc
.

a 3  b 3  c 3 2r

4
abc
R
Do đó:

� a3  b3  c3   a  b  c   a  b  c   b  c  a   4abc
2
� a 3  b3  c3  �
a2   b  c  �
 b  c  a   4abc
�
�
2
� a 3  b3  c 3  �
a3  a 2  b  c    b 2  c 2   b  c   a  b  c  � 4abc
�
�

� a 2b  ab 2  b 2c  bc 2  c 2 a  a 2c  6abc (*)
2
2
2
2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Cachy, ta có: a b  ab  b c  bc  c a  a c �6abc 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c .

Ta có: (*) � a  b  c � ABC là tam giác đều (Đpcm)
Câu 4.3 Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD và nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R  1 . Đặt diện
tích tứ giác ABCD bằng S và AB  a, BC  b, CD  c, DA  d .
Tính giá trị biểu thức

T

 ab  cd   ad  bc 
S

.
Lời giải
Tác giả: Khổng Vũ Chiến ; Fb: Vũ Chiến
D

c

d

O
C

A
a

b
B

Ta có :

S ABC 

S .4 R
a.b. AC
� ab  ABC
4R
AC

Tương tự ta cũng có :

cd 

S ADC .4 R
S .4 R
S .4 R
ad  ABD
bc  BCD
AC ,
BD ,
BD

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

T

Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

 ab  cd   ad  bc 
S

�S ABC .4 R S ADC .4 R �
�S ABD .4 R SBCD .4 R �
� AC  AC �
� BD  BD �
�
�
�
�

S
S
S
S
S
S
S
S
�S
�
4 � ABC . ABD  ABC . BCD  ADC . ABD  ADC . BCD �
AC
BD
AC
BD
AC

BD
AC
BD
�
 �
S


4  S ABC .S ABD  S ABC .S BCD  S ADC .S ABD  S ADC .S BCD 
S . AC.BD



4  S ABC .S  S ADC .S  4 S  S ABC  S ADC  4 S .S


2
S . AC.BD
S . AC.BD
S .2S

4�
S ABC  S ABD  S BCD   S ADC  S ABD  S BCD  �
�
 �
S . AC.BD
.
Vậy T  2 .
Câu 5. Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng
a2

b2
c2
a 2  b2  c2


�
2a  1 2b  1 2c  1
a 2  b2  c2  6 .
Lời giải
Cách 1: Tác giả: Trương Văn Tâm; Fb: Văn Tâm Trương
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
a 2  b2  c 2

a2
b2
c2



�0
2
2
2
2a  1 2b  1 2c  1
a

b

c


6
14444444244444443
VT

Trong đó

a2
a2
a2
1 3
1 3
1 a 11
a 2 2a


� 3
  .a. a   .a. a.1.1 � .a.
 
2a  1
a  a 1
3
3
3
3
9
9 .
3 a.a.1

Tương tự ta có
VT �

Suy ra



b2
b 2 2b
c2
c 2 2c
� 

� 
2b  1
9 9 và 2c  1
9 9 .

a2  b2  c2
a 2  b2  c2  6



1 2
2
a  b2  c2  

9
3.

2
�2
a  b  c


2
2
3
�a  b  c �
� t ��
3; 15 �
3
�
�
�
�a 2  b 2  c 2 � a  b  c 2  9
2
2
2


Đặt t  a  b  c  6 . Ta có �
.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 10


TỔ 16 - STRONG TEAM TỐN VD VDC

Lúc đó, với mọi

Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

t ��
3; 15 �
�
�ta có

t  t  6   18�
t2  6 1 2
2 t 2  6 t 2 9t 2  54  t 3  3  t  �
�
��0
VT �
  t  6  
 

t
9
3
t
9
9t
9t
.
Dấu bằng xảy ra khi t  3 , suy ra a  b  c  1.
Cách 2: Tác giả: Thành Đức Trung; Fb: Thành Đức Trung
a
a2
1 a
1
a2

a2
a 1
a2

 .
 . 2
�
  . 2
2a  1 2 2 2 a  a .
Ta có 2 2a  1 2 2a  1 2 2 a  a
b2
b 1 b2
c2
c 1 c2
  . 2
  . 2
Tương tự có 2b  1 2 2 2b  b và 2c  1 2 2 2c  c .

a2
b2
c2
3 1 � a2
b2
c2 �


  �


�

2a  1 2b  1 2c  1 2 2 �2a 2  a 2b 2  b 2c 2  c �
Suy ra
.
Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta có

 a  b  c
a2
b2
c2
9
 2
 2
� 2

2
2
2
2
2
2a  a 2b  b 2c  c 2  a  b  c   3 2  a  b  c 2   3
2

�

a2
b2
c2
3 1
9
3

9


�  .
 
2
2
2
2
2
2a  1 2b  1 2c  1 2 2 2  a  b  c   3 2 4  a  b  c 2   6

Ta cần chứng minh

3
9
a2  b2  c2

�
2 4  a 2  b2  c 2   6
a 2  b2  c 2  6

2
2
2
Đặt t  a  b  c  6 . Ta có

Suy ra

t ��

3; 15 �
�
�. Ta có

Mặt khác, ta có

.

 1

2
�2
a  b  c

2
2
a b c �
3
�
3
�
2
�
a 2  b 2  c 2   a  b  c   2  ab  bc  ca  �9
�

.

3
9

t2  6
t2  6
9
3
 2
�
�

�
2
2 4t  18
t
t
2  2t  9  2

.

 1 �

2 2
2
0 
2t �

9
.9t 9
9

2 t 4  81
.

9
9
2

t4
9

9
2  2t 2  9 

.

81
2t 4

.

6 81 3
t  4 �
t 2t
2.
Ta cần chứng minh
� 81 t t t t t 81 t
81
t 5 7
t  4       4 �  5. 5
  �
�
� 2t
3 6 6 6 6 2t

3
2592 3 2 2
�
6
�
 �2
�
Thật vậy, vì t �3 nên � t
.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 11


TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề thi HSG lớp 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019

6 81 7
3
t  4 � 2 
t 2t
2
2.
Suy ra
Dấu ''  '' xảy ra khi t  3 , suy ra a  b  c  1 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 12