TỔ-18-ĐỢT-2-HSG-LỚP-10-THPT-YÊN-PHONG-2-BẮC-NINH-NĂM-2018-2019

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HSG LỚP 10 THPT YÊN PHONG 2- BẮC
NINH NĂM 2018-2019
MÔN TOÁN

Câu 1.

(4 điểm). Cho hàm số

y = x 2 − ( 2m − 3) x − 2m + 2 ( 1)

1) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Xác định
cho

Câu 2.

∆ OAB

để đồ thị hàm số
vuông tại

khi

m= 0 .

( 1) cắt đường thẳng y = 3x − 1 tại hai điểm A, B phân biệt sao

O (với O là gốc tọa độ ).

(2 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số
trên khoảng

Câu 3.

m

( 1)

m

để hàm số

y = x− m+1+

2x
− x + 2m xác định

( − 1;3) .

(5 điểm). Giải phương trình:

1)

x 2 − 3x − 1 + 7 = 2 x

2)

3x + 1 + 4 x − 3 = 5x + 4

3)

3x + 3 − 5 − 2 x − x3 + 3x 2 + 10 x − 26 = 0

Câu 4:

ìï x 2 + x 3 y - xy 2 + xy - y = 1
ïí
4
2
(2 điểm). Giải hệ phương trình: ïïỵ x + y - xy ( 2 x - 1) = 1

Câu 5.

(3 điểm). Cho tam giác

Câu 6.

· = 60° . Các điểm M , N được xác
AB = 1 , AC = x và BAC
uuuur
uuur uuur
uuur
định bởi MC = − 2MB và NB = − 2 NA . Tìm x để AM và CN vng góc với nhau.
(2 điểm). Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng với G là trọng tâm tam giác ABC , ta có

Câu 7.

uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1
GAGB

. + GB.GC + GC.GA = − ( AB 2 + BC 2 + CA2 )
6
(2 điểm) . Cho x, y, z ∈ [ 2018;2019] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
f( x, y, z) =

ABC

2018.2019 − xy
(x+ y)z

+

có

2018.2019 − yz
(y+ z)x

+

2018.2019 − zx
(z+ x)y

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 1


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

Cho hàm số

y = x 2 − ( 2m − 3) x − 2m + 2 ( 1)

1) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Xác định
cho

( 1)

khi

m= 0 .

m để đồ thị hàm số ( 1) cắt đường thẳng y = 3x − 1 tại hai điểm A, B phân biệt sao

∆ OAB

vuông tại

O (với O là gốc tọa độ ).
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hiền ; Fb: Nguyễn Hiền

2
m = 0 ta được hàm số y = x + 3x + 2
*) Tập xác định: D = ¡

1) Khi

 −3 −1
I ; ÷
*) Tọa độ đỉnh:  2 4 
*) Sự biến thiên: Vì

a = 1> 0

 −3

;+ ∞ ÷

nên hàm số đồng biến trên khoảng  2
 , nghịch biến

−3 

−∞ ; ÷

trên khoảng 
2 .
*) Bảng biến thiên

*) Điểm đặc biệt

 −3 −1 
I ; ÷
*) Đồ thị : Đồ thị là 1 đường parabol có đỉnh  2 4  , hướng bề lõm lên trên và nhận

đường thẳng

x=

−3
2 làm trục đối xứng.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 2


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

2)

Phương trình hồnh độ giao điểm của ĐTHS

( 1)

và đường thẳng

y = 3x − 1 là:

x 2 − ( 2 m − 3 ) x − 2m + 2 = 3 x − 1

⇔ x 2 − 2mx − 2m + 3 = 0 ( *)
Để ĐTHS

( 1)

cắt đường thẳng

nghiệm phân biệt ⇔

∆′ > 0

y = 3x − 1 tại 2 điểm phân biệt A, B ⇔

phương trình

( *) có 2

 m < −3
⇔
 m >1

 x1 + x2 = 2m

Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình ( *) ,ta có  x1.x2 = − 2m + 3

(

) , B ( x2 ;3x2 − 1)

Đặt A x1 ;3 x1 − 1

∆ OAB

vuông tại

uuur uuur

O ⇔ OAOB

. = 0 ⇔ 10 x1x2 − 3( x1 + x2 ) + 1 = 0
⇔ − 26m + 31 = 0
⇔ m=

Vậy
Câu 2.

m=

31
26 .

Tìm tất cả các giá trị của tham số
khoảng

31
26 ( thỏa mãn)

m

để hàm số

y = x− m+1+

2x
− x + 2m xác định trên

( − 1;3) .
Lời giải
Tác giả:Trần Thị Kim Xuyến ; Fb: Xuyen Tran

x − m +1≥ 0
⇔

Hàm số xác định khi  − x + 2m > 0

x ≥ m−1

 x < 2m

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 3


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

Với điều kiện

Vậy hàm số

m − 1 < 2m ⇔ m > − 1 thì hàm số có tập xác định là D = [ m − 1;2m )
( −1;3) ⊂ [ m − 1; 2m )
2x

y = x− m+1+

− x + 2m

m ≤ 0

3


⇔ m ≥
 m − 1 ≤ − 1 < 3 ≤ 2m
2

⇔
 m > − 1
m > −1
Vậy khơng có giá trị nào của
Câu 3.

xác định trên khoảng ( − 1;3)

⇔
 m > −1

Hệ vơ nghiệm.

m thỏa mãn bài tốn đã cho.

Giải phương trình
1)

x 2 − 3x − 1 + 7 = 2 x
Lời giải
Tác giả:Anh Tuấn ; Fb: Anh Tuan.

Ta có

x 2 − 3x − 1 + 7 = 2 x

 2x − 7 ≥ 0
⇔ 2
2
 x − 3x − 1 = (2 x − 7)
 2x − 7 ≥ 0
⇔ 2
 3x − 25 x + 50 = 0

7

x
≥

2

⇔  x = 5
  10
 x =
3


⇔ x= 5
Kết luận:Tập nghiệm của phương trình là
2)

S = { 5}

.

3x + 1 + 4 x − 3 = 5x + 4

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 4


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

Lời giải
Tác giả:Anh Tuấn ; Fb: Anh Tuan.
Ta có

3x + 1 + 4 x − 3 = 5 x + 4

 3x + 1 ≥ 0

⇔  4x − 3 ≥ 0

 3x + 1 + 4 x − 3 + 2 (3x + 1)(4 x − 3) = 5 x + 4

 3
x ≥
⇔ 4
 (3 x + 1)(4 x − 3) = 3 − x

3
 ≤ x≤3
⇔ 4
11x 2 + x − 12 = 0

3


x
≥

4

⇔  x = 1

12
 x = −
11


⇔ x=1
Kết luận:Tập nghiệm của phương trình là
3) Giải phương trình:

S = { 1} .

3x + 3 − 5 − 2 x − x3 + 3x 2 + 10 x − 26 = 0
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hằng; Fb: Hang Nguyen

3x + 3 ≥ 0
5
⇔ −1 ≤ x ≤

2
ĐKXĐ: 5 − 2 x ≥ 0
Với ĐKXĐ ở trên ta có:

3x + 3 − 5 − 2 x − x3 + 3x2 + 10 x − 26 = 0 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 5


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

⇔
⇔

(

) (

3x + 3 − 3 −
3( x − 2)
3x + 3 + 3

+

)

5 − 2 x − 1 − ( x − 2 ) ( x 2 − x − 12 ) = 0

2 ( x − 2)
5 − 2x + 1

− ( x − 2 ) ( x 2 − x − 12 ) = 0

3
2


⇔ ( x − 2) 
+
+ ( − x 2 + x + 12 ) ÷ = 0
5 − 2x +1
 3x + 3 + 3

x = 2
⇔
3
2

+
+ ( − x 2 + x + 12 ) = 0 ( *)
 3 x + 3 + 3
5 − 2x +1

 5
− x 2 + x + 12 > 0, ∀x ∈  −1; 
⇔ x = 2 , do
 2  nên phương trình ( *) vơ nghiệm.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là

Câu 4:

S = { 2}

.

ìï x 2 + x 3 y - xy 2 + xy - y = 1
ïí
4
2
Giải hệ phương trình: ïïỵ x + y - xy ( 2 x - 1) = 1
Lời giải

ìï ( x 2 - y) + xy ( x 2 - y) + xy = 1
ïï
ìï x 2 + x 3 y - xy 2 + xy - y = 1 (1)
Û
ïí
*
( ) íï 2 2
4
2
ï
ïï ( x - y) + xy = 1
x
+
y
xy
2
x
1
=
1
(2)

(
)
+ Ta có: ïỵ
ỵ

ìï a = x 2 - y
ìïï a + ab + b = 1
ïí
( **)
í 2
+ Đặt ïïỵ b = xy
. Hệ trở thành ïïỵ a + b = 1
ìï a 3 + a 2 - 2a = 0
(**) Û ïí
Û
2
ï
b
=
1
a
ï
+ Hệ
ïỵ
Từ đó ta tìm ra

ìï a ( a 2 + a - 2) = 0
ï
í
ïï b = 1- a 2

ợ

( a; b) ẻ {( 0; 1) ;( 1; 0) ;( - 2; - 3)}

ìï x 2 - y = 0
ïí
Û x = y =1
 Với ( a; b) = ( 0; 1) ta có hệ ïïỵ xy = 1
ìï x 2 - y =1
ïí
Û ( x; y ) = ( 0; - 1) ; ( 1; 0) ; ( - 1; 0)
 Với ( a; b) = ( 1; 0) ta có hệ ïïỵ xy = 0

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 6


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

 Với

( a; b) = ( - 2;- 3)

ta có hệ

ìï
ïìï
3
ïï 2
ï y =x
y

=2
ïí
ï
Û í
Û
x
ïï xy =- 3
ïï 3
ïï
ïïỵ x + 2 x + 3 = 0
ỵ
Vậy hệ có 5 nghiệm
Câu 5.

3
ïìï
ïï y =- x
Û x =- 1; y = 3
í
ïï
2
ïïỵ ( x +1) ( x - x + 3) = 0
.

( x; y) Ỵ {( 1; 1) ;( 0; - 1) ;( 1; 0) : ( - 1; 0) ; ( - 1; 3)} .

· = 60° . Các điểm M , N
AB = 1 , AC = x và BAC
uuuur
uuur uuur

uuur
định bởi MC = − 2MB và NB = − 2 NA . Tìm x để AM và CN vng góc với nhau.
(3 điểm). Cho tam giác

ABC

có

được xác

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Huỳnh ; Fb: Nguyễn Văn Huỳnh
Điều kiện:

x> 0

Ta có:

uur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
uuuur uuur uuur
uuuur
uuur ⇔ uMA
+
AC
=
−
2
MA

+
AB
⇔ − 3MA = AC + 2 AB ⇔ 3 AM = AC + 2 AB
+) MC = − 2MB
uur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur
uuur
uuur ⇔ uNC
+
CB
=
−
2
NC
+
CA
⇔
3
NC
+
CA
+
AB
=
−
2
CA
+) NB = − 2 NA

(

uuur uuur uuur
⇔ 3NC = 3 AC − AB

)

(

)

(

)

uur uuur uuur uuur
uuuur uuur ⇔ uAC
+ 2 AB 3 AC − AB = 0
Vậy: AM ⊥ CN ⇔ AM ×NC = 0
uuur uuur
uuur uuur
uu
u
r
uuu
r
2
2
⇔ 3 AC 2 − 2 AB 2 + 5 AB × AC = 0 ⇔ 3 AC − 2 AB + 5 AB × AC ×cos AB , AC = 0

(

)(

)

(

)

 1
 x = 2 (Tháam·n)
2
⇔ 6 x + 5x − 4 = 0 ⇔ 
5
2
 x = − 4 (Lo¹i )
⇔ 3x − 2 + x = 0

.
3
2
Vậy
Câu 6.

x=

1
2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cho tam giác

ABC . Chứng minh rằng với G

là trọng tâm tam giác

ABC , ta có

uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1
GAGB
. + GB.GC + GC.GA = − ( AB 2 + BC 2 + CA2 )
6
Lời giải
Tác giả: Bối Bối ; Fb: Bối Bối
Do

G

là trọng tâm tam giác

ABC

nên ta có:

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 7


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

uuur uuur
uuur uuur
GAGB
. = GAGB
. .cos(GA, GB)
= GAGB
. .cos ¼
AGB
GA2 + GB 2 − AB 2
= GA.GB.
2GA.GB
GA2 + GB2 − AB 2
=
2
4ma2 4mb2
+
− AB 2
9
= 9
2
4  AC 2 + AB 2 BC 2  4  BC 2 + BA2 AC 2 
2
−
−

÷+ 
÷− AB
9
2
4  9

2
4 
= 
2

4  AC 2 BC 2
+
+ AB 2 ÷− AB 2

9 4
4

= 
2

(1)

Tương tự ta có:


4  BA2 CA2
+
+ BC 2 ÷− BC 2

uuur uuur 9 4
4

GB.GC = 
2


4  CB 2 AB 2
+
+ AC 2 ÷− AC 2

uuur uuur 9 4
4

GC.GA = 
2

(2)

(3)

Từ (1), (2) và (3), ta có:


4  AC 2 BC 2
4  BA2 CA2
2
2
+
+ AB ÷ − AB
+
+ BC 2 ÷− BC 2


uuur uuur uuur uuur uuur uuur 9 4
4
9 4

4


GA.GB + GB.GC + GC.GA = 
+ 
2
2
2
2

4  CB AB
+
+ AC 2 ÷ − AC 2

9 4
4

+ 
2

4  3 AB 2 3BC 2 3 AC 2 
2
2
2
+
+

÷− ( AB + BC + CA )
9 2
2

2 
= 
2

2
(3 AB 2 + BA2 + CA2 ) − ( AB 2 + BA2 + CA2 )
=
2
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 8


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

1
(3 AB2 + BC 2 + CA2 )
=
2
−

−1
AB 2 + BC 2 + CA2 )
(
6
Câu 7. (2 điểm) . Cho x, y, z ∈ [ 2018;2019] . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
=

f( x, y, z) =

2018.2019 − xy
(x+ y)z

+

2018.2019 − yz
(y+ z)x

+

2018.2019 − zx
(z+ x)y

Lời giải
Tác giả: Trần Quang Tiềm ; Fb:Tiem Tran
Cách 1:

[ ]

Ta đi chứng minh với: ∀ x, y, z ∈ a;b ,(a > 0) ta ln có
ab − xy b − a
≤
x+ y
2
⇔ 4(ab− xy)2 ≤ (x+ y)2(b− a)2

⇔ [ 2ab − 2xy − (x+ y)(b− a)] [ 2ab − 2xy + (x+ y)(b− a)] ≤ 0

⇔ [ b(2a− x− y) + x(a− y) + y(a− x)] .[ a(2b − x− y) + x(b− y) + y(b− x)] ≤ 0 (đúng)
ab − xy b − a b − a
≤
≤

2z
2a
Vậy ta có ( x + y)z
Dấu bằng xảy ra khi

Áp dụng ta có:

f( x, y, z) ≤

Dấu bằng xảy ra khi

Thay

x = y = a, z = a hay x = y = z = a
b − a b − a b − a 3(b − a)
+
+
=
2a
2a
2a
2a

x = y = z = a.

a = 2018,b = 2019 , ta được

max f (x,y,z) =

3

khi x = y = z = 2018
4036

Cách 2:

2018.2019 − xy
Ta có

(x+ y)

≤

2018.2019 − xy
2 xy

(Theo BDT AM-GM).

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 9


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề HSG LỚP 10 Năm 2018-2019

[

]

Đặt t = xy,(2018 ≤ t ≤ 2019), do gt x, y ∈ 2018;2019

2018.2019 − t2 2018.2019
g(t) =

=
−t
Xét hàm
, liên tục trên [ 2018;2019] và nghịch biến trên
t
t

( 2018;2019)

 Maxg(t) = g(2018) = 1
 [ 2018;2019]
⇒ Max g(t) = g(2019) = g(2018) = 1

 Ming(t) = g(2019) = − 1 [ 2018;2019]
do đó  [ 2018;2019]

2018.2019 − xy
nên

(x+ y)z

≤

2018.2019 − xy
2 xy.z

≤

1
1

≤
2z 4036 , dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 2018 .

Đánh giá tương tư cho 2 biểu thức còn lại.

Tóm lại

max f (x,y,z) =

3
khi x = y = z = 2018
.
4036

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10