HH_C3_Khoang cach

Chương 33
CHUYÊN ĐỀ 2
KHOẢNG CÁCH
và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 với a 2 + b2 > 0 . Khi đó

Câu 1: Cho điểm M ( x0 ; y0 )

khoảng cách d( M ;∆ ) là
A. d( M ;∆ ) =
C. d( M ;∆ ) =

ax0 + by0 + c
a +b +c
ax0 + by0 + c
2

2

a +b
2

2

2

B. d( M ;∆ ) =

.

.D. d( M ;∆ ) =

ax0 + by0 + c
a2 + b2
Lời giải

ax0 + by0 + c
a 2 + b2 + c 2

.

.

Chọn D.
Xem lại công thức ở sách giáo khoa.
 x = 2 + 3t
Câu 2: Khoảng cách từ điểm M ( 15;1) đến đường thẳng ∆ : 
là
y = t
1
16
A. 5 .
B.
.
C. 10 .
D.
.
10
5
Lời giải
Chọn C.
Đường thẳng có phương trình tổng qt là: x − 3 y − 2 = 0 .

15 − 3 − 2
10
=
= 10 .
Vậy d ( M , ∆ ) =
1+ 9
10
Câu 3: Khoảng cách từ điểm M ( 5; −1) đến đường thẳng ∆ : 3 x + 2 y + 13 = 0 là
A.

13
.
2

B. 2 .

C.

28
.
13

D. 2 13 .

Lời giải
Chọn D.
15 − 2 + 13

26
= 2 13 .

4+9
13
Câu 4: Khoảng cách từ điểm M ( 0;1) đến đường thẳng ∆ : 5 x − 12 y − 1 = 0 là
Ta có: d ( M , ∆ ) =

A.

11
.
13

B.

=

13
.
17

C. 1 .

D.

13 .

Lời giải
Chọn C.
Ta có: d ( M , ∆ ) =

−12 − 1

=1.
25 + 144
Câu 5: Cho ba điểm A ( 0;1) , B ( 12;5 ) , C ( −3;5 ) . Đường thẳng nào sau đây cách đều ba
điểm A , B , C ?
A. 5 x − y + 1 = 0 .

B. 2 x − 6 y + 21 = 0 . C. x + y = 0 .
Lời giải

D. x − 3 y + 4 = 0 .

Chọn B.
Ta có d( A;∆ ) = d ( B ; ∆ ) = d ( C ;∆ ) = 2 , với ∆ : 2 x − 6 y + 21 = 0 .

Trang
1/12


Câu 6: Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox và cách đều 2 đường thẳng:
∆1 : 3 x − 2 y − 6 = 0 và ∆ 2 : 3 x − 2 y + 3 = 0

(

)

A. 0; 2 .

1 
B.  ; 0 ÷.

2 

C. ( 1; 0 ) .

D.

(

)

2; 0 .

Lời giải
Chọn B.
Giả sử M ( m; 0 ) .
Ta có: d ( M , ∆1 ) = d ( M , ∆ 2 ) ⇔

3m − 6
4+9

=

3m + 3
4+9

⇔m=

1
.
2

1 
Vậy M  ;0 ÷.
2 

 x = 1 + 3t
Câu 7: Khoảng cách từ điểm M ( 2; 0 ) đến đường thẳng ∆ : 
là
 y = 2 + 4t
10
5
A. 2 .
B..
C.
.
D.
.
5
2
Lời giải
Chọn A.
Đường thẳng có phương trình tổng qt là: 4 x − 3 y + 2 = 0 .
8+ 2
= 2.
Vậy d ( M , ∆ ) =
16 + 9
Câu 8: Khoảng cách từ điểm M ( 1; −1) đến đường thẳng ∆ : 3 x − 4 y − 17 = 0 là
A.

2

.
5

10
.
5

B.

C. 2 .

D. −

18
.
5

Lời giải
Chọn C.
Ta có: d ( M , ∆ ) =

3 + 4 − 17

= 2.
16 + 9
Câu 9: Khoảng cách từ điểm M ( 1;0 ) đến đường thẳng ∆ : 3x + 4 y − 1 = 0 là
A.

2
.

5

B.

10
.
5

C. 2 .

D.

2
.
25

Lời giải
Chọn A.
Ta có: d ( M , ∆ ) =
Câu 10:

3 −1
16 + 9

=

2
.
5

Khoảng cách từ điểm M ( −1;1) đến

đường thẳng ∆ : 3x − 4 y − 3 = 0 là
2
4
A. .
B. 2 .
C. .
5
5
Lời giải
Chọn B.
−3 − 4 − 3
= 2.
Ta có: d ( M , ∆ ) =
16 + 9

D.

4
.
25

Trang
2/12


Khoảng cách từ điểm O ( 0;0 ) đến

Câu 11:

x y
đường thẳng ∆ : + = 1 là
6 8
1
A. 4,8 .
B.
.
10

C.

48
.
14

D.

1
.
14

Lời giải
Chọn A.
x y
∆ : + = 1 ⇔ 8 x + 6 y − 48 = 0
6 8
−48
= 4,8 .
Ta có: d ( O, ∆ ) =
64 + 36

Câu 12:
đường thẳng ∆ : 3x + y + 4 = 0 là
A. 2 10 .

B.

Khoảng cách từ điểm M ( 1; −1) đến

3 10
.
5

C.

5
.
2

D. 1 .

Lời giải
Chọn B.
Ta có: d ( M , ∆ ) =

3 −1 + 4
1+ 9

=

3 10

.
5

Câu 13:

điểm O ( 0;0 ) đến đường thẳng ∆ : 4 x − 3 y − 5 = 0 là
B. −5 .

A. 0 .

C. 1 .

Khoảng cách từ

D.

1
.
5

Lời giải
Chọn C.
Ta có: d ( O, ∆ ) =
Câu 14:

−5

= 1.
16 + 9
Cho hai điểm A ( 1; −2 ) , B ( −1; 2 ) . Đường trung trực của

đoạn thẳng AB có phương trình là
A. 2 x + y = 0 .
B. x + 2 y = 0 .
C. x − 2 y = 0 .
Lời giải
Chọn C.
Gọi là M trung điểm của đoạn AB ⇒ M ( 0; 0 ) .

D. x − 2 y + 1 = 0 .

uuu
r
Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm M và có vtpt AB ( −2; 4 )
nên có phương trình là: x − 2 y = 0
Khoảng cách từ điểm M ( 0;3) đến

Câu 15:

đường thẳng ∆ : x cos α + y sin α + 3 ( 2 − sin α ) = 0 là
A.

6.

C. 3sin α .

B. 6 .

D.

3
.
sin α + cos α

Lời giải
Chọn B.
Ta có: d ( M , ∆ ) =

3sin α + 3 ( 2 − sin α )
1

=6.

Trang
3/12


Cho đường thẳng ∆ : 7 x + 10 y − 15 = 0 .

Câu 16:

Trong các điểm M ( 1; −3) , N ( 0; 4 ) , P ( 8; 0 ) , Q ( 1;5 ) điểm nào cách xa đường
thẳng ∆ nhất?
A. N .
B. M .
C. P .
D. Q .
Lời giải
Chọn D.
7 − 30 − 15

38
=
Ta có: d ( M , ∆ ) =
.
2
2
149
7 + 10

d ( N, ∆) =
d ( Q, ∆ ) =
d ( P, ∆ ) =
Câu 17:

40 − 15
7 2 + 102
7 + 50 − 15
7 2 + 102
56 − 15
7 + 10
2

2

=

=

=

25
149
42
149
41
149
Tính diện tích tam giác ABC biết

A ( 2; −1) , B ( 1; 2 ) , C ( 2; −4 )

A.

3.

B.

3
.
37

C. 3 .

D.

3
.
2

Lời giải
Chọn D.

uuu
r
uuur
uuur
Ta có: AB = ( −1;3) ⇒ AB = 10 , AC = ( 0; −3) ⇒ AC = 3 , BC = ( 1; −6 ) ⇒ BC = 37
⇒ p=

3 + 10 + 37
2

3 + 10 + 37 10 + 37 − 3 3 + 10 − 37 3 − 10 + 37 3
×
×
×
=
2
2
2
2
2
Câu 18:
Tính diện tích tam giác ABC biết
A ( 3; 2 ) , B ( 0;1) , C ( 1;5 )
⇒S=

A.

11
.
17

B.

17 .

C. 11 .

D.

11
.
2

Lời giải
Chọn D.
uuur
Ta có: BC = ( 1; 4 ) ⇒ BC = 17
Phương trình đường thẳng BC : 4 x − y + 1 = 0
1
1
11 11
⇒ S = BC ×d ( A, BC ) =
17 ×
=
2
2
17 2
Câu 19:
Tính diện tích tam giác ABC biết
A ( 3; −4 ) , C ( 3;1) , B ( 1;5 )

A. 10 .

B. 5 .

C.

26 .

D. 2 5 .

Lời giải
Chọn A.
uuur
Ta có: BC = ( 2; −4 ) ⇒ BC = 20
Phương trình đường thẳng BC : x − 2 y − 1 = 0

Trang
4/12


⇒S=

Câu 20:

1
1
10
BC ×d ( A, BC ) =
20 × = 10
2

2
5

Tính chiều cao tương ứng với cạnh
BC của tam giác ABC biết A ( 1; 2 ) , C ( 4;0 ) , B ( 0;3)

A. 3 .

B.

1
.
5

1
.
25

C.

D.

3
.
5

Lời giải
Chọn B.
uuur
Ta có: BC = ( 4; −3)

Phương trình đường thẳng BC : 3 x + 4 y − 12 = 0
3 + 8 − 12 1
⇔ d ( A, BC ) =
=
5
5
Câu 21:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1 : 7 x + y − 3 = 0 và

∆ 2 : 7 x + y + 12 = 0 là
9
A.
.
50

B. 9 .

3 2
.
2

C.

D. 15 .

Lời giải
Chọn C.
Lấy M ( 0;3) ∈ ∆1
3 + 12

3 2
.
2
1 + 49
Câu 22:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
∆1 : 3 x − 4 y = 0 và ∆ 2 : 6 x − 8 y − 101 = 0 là
Ta có: ∆1 //∆ 2 ⇒ d ( ∆1 , ∆ 2 ) = d ( M , ∆ 2 ) =

A. 1, 01 .

B.

=

C. 10,1 .

101 .

D. 101 .

Lời giải
Chọn C.
Lấy M ( 0; 0 ) ∈ ∆1
101

101
= 10,1 .
36 + 64 10
Câu 23:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng
∆1 : 5 x − 7 y + 4 = 0 và ∆ 2 : 5 x − 7 y + 6 = 0 là
4
6
2
10
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
74
74
74
74
Lời giải
Chọn C.
Ta có: ∆1 //∆ 2 ⇒ d ( ∆1 , ∆ 2 ) = d ( M , ∆ 2 ) =

=

Lấy M ( 2; 2 ) ∈ ∆1
Ta có: ∆1 //∆ 2 ⇒ d ( ∆1 , ∆ 2 ) = d ( M , ∆ 2 ) =
Câu 24:

10 − 14 + 6

2
.
25 + 49
74
Cho đường thẳng đi qua hai điểm
=

A ( 3; −1) , B ( 0;3) . Tìm tọa độ điểm M thuộc Ox sao cho khoảng cách từ M
đến đường thẳng AB bằng 1
7 
A. M  ;0 ÷ và M ( 1;0 ) .
B. M 13;0 .
2 

(

)

Trang
5/12


C. M ( 4; 0 ) .

D. M ( 2; 0 ) .
Lời giải

Chọn C.
uuu
r

Ta có: AB = ( −3; 4 )
Phương trình đường thẳng AB : 4 x + 3 y − 9 = 0 .
m = 1
4m − 9
7 
⇒ M  ;0 ÷ và M ( 1;0 )
Gọi M ( m;0 ) ⇒ d ( M , AB ) =
=1 ⇔ 
7
m =
5
2 

2
Câu 25:
Cho hai điểm A ( 2;3 ) , B ( 1; 4 ) . Đường
thẳng nào sau đây cách đều A và B ?
A. x + y − 1 = 0 .
B. x + 2 y = 0 .
C. 2 x − 2 y + 10 = 0 .
D. x − y + 100 = 0 .
Lời giải
Chọn A.
4
Vì d ( B, ∆ ) = d ( A, ∆ ) =
2
Câu 26:
Cho đường thẳng đi qua hai điểm
A ( 3; 0 ) , B ( 0; −4 ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho diện tích tam giác
MAB bằng 6

A. M ( 0;1) .

B. M ( 0; 0 ) và M ( 0; −8) .

C. M ( 1;0 ) .

D. M ( 0;8 ) .
Lời giải

Chọn B.
uuu
r
Ta có: AB = ( −3; −4 )
Phương trình đường thẳng AB : 4 x − 3 y − 12 = 0 .
m = 0
1
1 3m + 12
Gọi M ( 0; m ) ⇒ S ∆MAB = d ( M , AB ) ×AB = 6 ⇔ ×
;
×5 = 6 ⇔ 
2
2
5
 m = −8
Vậy M ( 0; 0 ) và M ( 0; −8)
Câu 27:

Cho đường thẳng đi qua hai điểm
A ( 1; 2 ) , B ( 4;6 ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho diện tích tam giác

MAB bằng 1
 4
A. M ( 0;1) .
B. M ( 0; 0 ) và M  0; ÷
 3
C. M ( 0; 2 ) .

D. M ( 1;0 ) .

Lời giải
Chọn B.
uuu
r
Ta có: AB = ( 3; 4 )
Phương trình đường thẳng AB : 4 x − 3 y + 2 = 0 .
m = 0
1
1 m−3
× 32 = 1 ⇔ 
Gọi M ( 0; m ) ⇒ S ∆MAB = d ( M , AB ) ×AB = 1 ⇔ ×
m = 4
2
2
2
3

 4
Vậy M ( 0; 0 ) và M  0; ÷
 3
Trang

6/12


Cho M ( 1; −1) và đường thẳng

Câu 28:

∆ : 3 x + 4 y + m = 0 . Tìm m > 0 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆
bằng 1
A. m = 9 .
B. m = ±9 .
C. m = 6 .
D. m = −4 hoặc m = −16 .
Lời giải
Chọn C.
m = 6
3−4 + m
Ta có d ( M , ∆ ) = 1 ⇔
=1 ⇔ 
5
 m = −4(loai )
Vậy m = 6 .
Câu 29:
Cho M ( 2;5 ) và đường thẳng
∆ : 3 x + 4 y − m = 0 . Tìm m sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆ bằng
1
A. m = 31 hoặc m = 11 .
B. m = 21 hoặc m = 31 .
C. m = 11 hoặc m = 21 .
D. m = ±11 .

Lời giải
Chọn B.
 m = 21
6 + 20 − m
Ta có d ( M , ∆ ) = 1 ⇔
=1 ⇔ 
5
 m = 31
Câu 30:
Cho hai điểm A ( 1;1) , B ( 3; 6 ) . Tìm

phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng 2 là:
A. x − 1 = 0 và 21x − 20 y − 1 = 0 .
B. x + y − 2 = 0 và 21x − 20 y − 1 = 0
C. 2 x − y − 1 = 0 và 21x − 20 y − 1 = 0
D. − x + y = 0 .và 21x − 20 y − 1 = 0
Lời giải
Chọn A.
Phương trình đường thẳng ∆ cần tìm đi qua điểm A có dạng:
a ( x − 1) + b ( y − 1) = 0 ( a 2 + b 2 ≠ 0 ) .
b = 0
= 2 ⇔ 21b + 20ab = 0 ⇔ 
Ta có ⇒ d ( B, ∆ ) = 2 ⇔
2
2
b = − 20 a
a +b

21
21

x
−
20 y − 1 = 0
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : x − 1 = 0 ,
Câu 31:
Cho hai điểm A ( 3; 2 ) , B ( −2; 2 ) . Tìm
phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng 3 là:
A. 3 x + 4 y − 17 = 0 và 3 x + 7 y − 23 = 0 .
B. x + 2 y − 7 = 0 và 3 x − 7 y + 5 = 0
C. 3 x − 4 y − 1 = 0 và 3 x − 7 y + 5 = 0
D. 3 x + 4 y − 17 = 0 .và 3 x − 4 y − 1 = 0
2a + 5b

2

Lời giải
Chọn D.
Phương trình đường thẳng ∆ cần tìm đi qua điểm A có dạng:
a ( x − 3) + b ( y − 2 ) = 0 ( a 2 + b 2 ≠ 0 ) .
3

a = 4 b
= 3 ⇔ 16a 2 = 9b 2 ⇔ 
Ta có ⇒ d ( B, ∆ ) = 3 ⇔
2
2
a +b
a = − 3 b

4

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : 3 x + 4 y − 17 = 0 , 3 x − 4 y − 1 = 0
−5a

Trang
7/12


Điểm A ( a; b ) thuộc đường thẳng

Câu 32:

x = 3 + t
d :
và cách đường thẳng ∆ : 2 x − y − 3 = 0 một khoảng là 2 5 và a > 0 .
y = 2+t
Khi đó ta có a + b bằng
A. 23 .
B. 21 .
C. 22 .
D. 20 .
Lời giải
Chọn A.
uuu
r
Ta có: AB = ( −3; 4 )
Phương trình đường thẳng AB : 4 x + 3 y − 9 = 0 .
t +1
t = 9
⇒ A ( 12;11) .
=2 5 ⇔

Gọi A ( 3 + t ; 2 + t ) ⇒ d ( A, ∆ ) =
5
t = −11(loai )
⇒ a + b = 23
Câu 33: Cho hai điểm A ( 3; 2 ) , B ( −4;1) , C ( 0;3 ) . Tìm phương trình đường thẳng đi qua
A và cách đều B và C .
A. x + y − 5 = 0 và 3 x + 7 y − 23 = 0 .
B. x + y − 5 = 0 và 3 x − 7 y + 5 = 0
C. x + 2 y − 7 = 0 và 3 x − 7 y + 5 = 0
D. y − 2 = 0 , x − 2 y + 1 = 0
Lời giải
Chọn D.
Phương trình đường thẳng ∆ cần tìm đi qua điểm A có dạng:
a ( x − 3) + b ( y − 2 ) = 0 ( a 2 + b 2 ≠ 0 ) .
7a + b

−3a + b

 7 a + b = −3a + b
a = 0
⇔
⇔

b = −2a
a 2 + b2
a 2 + b2
 7 a + b = 3a − b

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : y − 2 = 0 , x − 2 y + 1 = 0
Câu 34:

Bán kính của đường trịn tâm I (0; −2)
và tiếp xúc với đường thẳng ∆ :3 x − 4 y − 23 = 0 là:
3
A. 15 .
B. .
C. 5 .
D. 3 .
5
Lời giải
Chọn D.
Ta có R = d ( I , ∆ ) = 3
Câu 35:
Với những giá trị nào của m thì đường thẳng ∆ : 4 x + 3 y + m = 0 tiếp xúc với
Ta có d ( B, ∆ ) = d ( C , ∆ ) ⇔

=

đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 9 = 0 .
A. m = −3 .
C. m = −3 .

B. m = 3 và m = −3
D. m = −15 và m = 15
Lời giải

Chọn D.
Đường trịn ( C ) có tâm I ( 0;0 ) , bán kính R = 3 .
m
= 3 ⇔ m = ±15 .
5

Câu 36:
Bán kính của đường tròn tâm I (2; 2)
và tiếp xúc với đường thẳng ∆ :3 x + 4 y + 1 = 0 là:
3
A. 15 .
B. .
C. 5 .
D. 3 .
5
Lời giải

Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn ( C ) ⇔ R = d ( I , ∆ ) ⇔

Trang
8/12


Chọn D.
Ta có R = d ( I , ∆ ) = 3
Câu 37:

Đường thẳng nào sau đây song song
x −1 y +1
=
một khoảng bằng 10 ?
3
1
 x = 2 + 3t
B. x + 3 y + 6 = 0 .
C. 

.
D. x − 3 y + 6 = 0 .
 y = 1+ t

và cách đường thẳng
A. 3 x + y + 6 = 0 .

Lời giải
Chọn D.
x −1 y + 1
∆:
=
⇔ x − 3 y − 4 = 0 . Lấy M ( 7;1) ∈ ∆
3
1
Phương trình đường thẳng d cần tìm có dạng : x − 3 y + C = 0 ( C ≠ −4 )
C = 6
= 10 ⇔ 
10
C = −14
Phương trình đường thẳng d cần tìm là : x − 3 y − 14 = 0 , x − 3 y + 6 = 0
Câu 38:
Đường thẳng ∆ :5 x + 3 y = 15 tạo với các
trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?
A. 7,5 .
B. 5 .
C. 15 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn A.

∆ ∩ Ox = A ( 3; 0 ) , ∆ ∩ Oy = B ( 0;5 ) .
Theo bài ra ta có: d ( M , d ) = 10 ⇔

4+C

1
15
Vậy S ∆OAB = OA ×OB = = 7,5 .
2
2
Câu 39:

Cho đường thẳng ∆ : x − y + 2 = 0 và các

điểm O ( 0;0 ) , A ( 2; 0 ) . Ttìm điểm O′ đối xứng với O qua ∆ .
A. O′ ( −2; 2 ) .

B. O′ ( −1;1) .

C. O′ ( 2; −2 ) .

D. O′ ( 2; 0 ) .

Lời giải
Chọn A.

r
∆ : x − y + 2 = 0 có vtcp u = ( 1;1) .

r

Phương trình đường thẳng OO′ đi qua điểm O và có vtpt u là: x + y = 0 .
Có OO′ ∩ ∆ = I ( −1;1) . Vì I là trung điểm của OO′ nên suy ra O′ ( −2; 2 ) .
Câu 40:

Tìm tập hợp các điểm có tỉ số các
5
khoảng cách đến hai đường thẳng sau bằng
: d : 5 x − 12 y + 4 = 0 và
13
∆ : 4 x − 3 y − 10 = 0 .
A. x − 9 y − 14 = 0 và 3 x − 5 y − 6 = 0 .
B. 9 x − 5 y − 6 = 0 và 9 x − y + 14 = 0
C. x + 9 y − 14 = 0 và 9 x + 9 y − 6 = 0
D. x − 9 y + 14 = 0 , 9 x − 15 y − 6 = 0
Lời giải
Chọn D.
Gọi M ( x; y ) .
d ( M,d ) =

Câu 41:

 x − 9 y + 14 = 0
5
5 x − 12 y + 4
5 4 x − 3 y − 10
⇔
d ( M , ∆) ⇔
=
13
13

13
5
9 x − 15 y − 6 = 0
Cho 3 đường thẳng ∆1 : x + y + 3 = 0 ,

∆ 2 : x − y − 4 = 0 , ∆ 3 : x − 2 y = 0 Biết điểm M nằm trên đường thẳng ∆ 3 sao cho
Trang
9/12


khoảng cách từ M đến ∆1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến ∆ 2 . Khi đó tọa
độ điểm M là:
A. M ( −2; −1) và M ( 22;11) .
B. M ( −22; −11) .
C. M ( −2; −1) .

D. M ( 2;1) và M ( −22; −11) .
Lời giải

Chọn D.
Lấy M ( 2t ; t ) ∈ ∆ 3
t = 1
⇔
⇒ M ( 2;1) ; M ( −22; −11)
t
=
−
11
2
2


Câu 42:
Cho đường thẳng đi qua hai điểm
A ( 2; 2 ) , B ( 5;1) . Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng ∆ : x − 2 y + 8 = 0 sao cho
diện tích tam giác ABC bằng 17 .
 76 18 
A. C ( 12;10 ) và C  − ; − ÷ .
B. C ( −12;10 ) .
5
 5
d ( M , ∆1 ) = 2d ( M , ∆ 2 ) ⇔

3t + 3

=2

t−4

 1 41 
D. C  ; ÷ .
 5 10 

C. C ( −4; 2 ) .
Lời giải
Chọn A.
uuu
r
Ta có: AB = ( 3; −1)

Phương trình đường thẳng AB : x + 3 y − 8 = 0 .

c = 10
1
1 5c − 16
× 10 = 17 ⇔ 
Gọi C ( 2c − 8; c ) ⇒ S ∆CAB = d ( C , AB ) ×AB = 17 ⇔ ×
c = − 18
2
2
10
5

 76 18 
Vậy C ( 12;10 ) và C  − ; − ÷
5
 5
Câu 43:
Cho đường thẳng ∆ : x − y + 2 = 0 và các
điểm O ( 0;0 ) , A ( 2; 0 ) . Trên ∆ , tìm điểm M sao cho độ dài đường gấp khúc
OMA ngắn nhất.
 4 10 
 4 10 
 2 4
A. M  ; ÷.
B. M ( −1;1) .
C. M  − ; ÷.
D. M  − ; ÷.
3 3 
 3 3
 3 3
Lời giải

Chọn D.
Nhận xét O và A nằm về cùng một phía so với đường thẳng ∆ .
Gọi điểm O′ là điểm đối xứng với O qua đường thẳng ∆ .
Ta có OM + MA = O′M + MA ≥ O′A . Vậy độ dài đường gấp khúc ngắn nhất khi
M = O′A ∩ ∆ .
Phương trình đường thẳng OO′ : x + y = 0 .
Có OO′ ∩ ∆ = I ( −1;1) . Vì I là trung điểm của OO′ nên suy ra O′ ( −2; 2 ) .
Phương trình đường thẳng AO′ : x + 2 y − 2 = 0 .
 2 4
⇒ M  − ; ÷.
 3 3
Câu 44:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa đợ
Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là: 2 x − 3 y + 5 = 0 ,
3 x + 2 y − 7 = 0 và đỉnh A ( 2; −3) . Tính diện tích hình chữ nhật đó.
Trang
10/12


A.

126
.
13

B.

126
.
26

C. 2 .

D. 12 .

Lời giải
Chọn A.
Gọi d : 2 x − 3 y + 5 = 0 ; ∆ : 3 x + 2 y − 7 = 0 .
Nhận xét d ⊥ ∆ , A ( 2; −3) ∉ d ; ∆ .

4 + 9 + 5 6 − 6 + 7 126
×
=
13
13
13
Câu 45:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa đợ
Oxy , tính diện tích hình vng có 4 đỉnh nằm trên hai đường thẳng song
song: d1 : 3x − 4 y + 6 = 0 và d 2 : 6 x − 8 y − 13 = 0 .
Diện tích hình chữ nhật là : S = d ( A, d ) ×d ( A, ∆ ) =

A.

1
.
10

B.

25
.
4

C. 10 .

D. 25 .

Lời giải
Chọn B.
Lấy M ( −2;0 ) ∈ d1
Nhận xét cạnh hình vng có độ dài là: a = d ( d1 , d 2 ) = d ( M , d 2 ) =

−12 − 13

=

5
.
2

10
25
2
Diện tích hình vng là : S = a =
.
4
Câu 46:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy , cho ∆ABC có A ( 1; −1) , B ( −2;1) , C ( 3;5 ) . Tính diện tích ∆ABK với K là trung

điểm của AC .
11
A. S ∆ABK = 11đ( vdt ) . B. S∆ABK = ( đvdt ) . C. S∆ABK = 10đ( vdt ) . D. S∆ABK = 5đ( vdt ) .
2
Lời giải
Chọn B.
Ta có K ( 2; 2 )
uuur
AB = ( −3; 2 ) ⇒ Phương trình cạnh AB : 2 x + 3 y + 1 = 0 .
1
1 4 + 6 +1
11
d ( K , AB ) ×AB = ×
× 13 =
2
2
2
13
Câu 47:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy , cho hai đường thẳng x + y − 1 = 0 và 3 x − y + 5 = 0 . Hãy tìm diện tích hình
bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng đã cho, một đỉnh là giao
điểm của hai đường thẳng đó và giao điểm của hai đường chéo là I ( 3;3) .

Ta có: ⇒ S∆KAB =

A. S ABCD = 74đ( vdt ) .

B. S ABCD = 55đ( vdt ) . C. S ABCD = 54đ( vdt ) . D. S ∆ABCD = 65đ( vdt ) .
Lời giải

Chọn B.
Gọi hình bình hành là ABCD và d : x + y − 1 = 0 ; ∆ : 3 x − y + 5 = 0 .
Không làm mất tính tổng quát giả sử d ∩ ∆ = A ( −1; 2 ) , B ∈ ∆ , D ∈ d .
Ta có d ∩ ∆ = A ( −1; 2 ) . Vì I ( 3;3) là tâm hình bình hành nên C ( 7; 4 )
uuur
AC = ( 8; 2 ) ⇒ Đường thẳng AC có pt là: x − 4 y + 9 = 0 .

Trang
11/12


r
Do BC //∆ ⇒ Đường thẳng BC đi qua điểm C ( 7; 4 ) và có vtpt n = ( 3; −1) có pt là:
3 x − y − 17 = 0 .
9 7
Khi đó d ∩ BC = B  ; − ÷
2 2
9
+ 14 + 9
2
Ta có:
S ∆ABCD = d ( B, AC ) ×AC =
×2 17 = 55
17
Câu 48:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
3
Oxy ∆ABC có đỉnh A ( 2; −3) , B ( 3; −2 ) và diện tích ∆ABC bằng . Biết trọng tâm
2

G của ∆ABC thuộc đường thẳng d : 3x − y − 8 = 0 . Tìm tọa độ điểm C .
A. C ( 1; −1) và C ( 4;8 ) .
B. C ( 1; −1) và C ( −2;10 ) .

C. C ( −1;1) và C ( −2;10 ) .

D. C ( −1;1) và C ( 2; −10 ) .

Lời giải
Chọn B.
uuu
r
AB = ( 1;1) ⇒ Đường thẳng AB có pt là: x − y − 5 = 0 .
Gọi G ( a;3a − 8 ) ⇒ C ( 3a − 5;9a − 19 ) .

a = 2
1
1 −6a + 9
3
d ( C , AB ) ×AB = ×
× 2= ⇔
2
2
2
2
a = 1
Vậy C ( 1; −1) và C ( −2;10 )
Ta có: S ∆CAB =

Câu 49:

Cho đường thẳng ∆ : 21x − 11 y − 10 = 0 .

Trong các điểm M ( 20; −3) , N ( 0; 4 ) , P ( −19;5 ) , Q ( 1;5 ) điểm nào cách xa đường
thẳng ∆ nhất?
A. N .
B. M .
C. P .
D. Q .
Lời giải
Chọn C.
21.20 + 33 − 10
443
=
Ta có: d ( M , ∆ ) =
.
562
212 + 112
−44 − 10
44
=
Ta có: d ( N , ∆ ) =
.
562
212 + 112
−399 − 55 − 10
464
=
Ta có: d ( P, ∆ ) =
.

562
212 + 112
21 − 55 − 10
44
=
Ta có: d ( Q, ∆ ) =
.
562
212 + 112
Câu 50:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy , cho hai đường thẳng ∆1 : x − y + 1 = 0, ∆ 2 : 2 x + y − 1 = 0 và điểm P ( 2;1) .Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm P và cắt hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 lần
lượt tại hai điểm A , B sao cho P là trung điểm AB .
A. 4 x − y − 7 = 0 .
B. x − y − 5 = 0 .
C. 4 x + y − 9 = 0 .
D. x − 9 y + 14 = 0 .
Lời giải
Chọn A.
Ta có ∆1 ∩ ∆ 2 = I ( 0;1) .
Trang
12/12


Vì A ∈ ∆1 ⇒ A ( a; a + 1) . Vì P ( 2;1) là trung điểm của đoạn AB ⇒ B ( 4 − a;1 − a ) .
Mặt khác B ∈ ∆ 2 ⇒ a =

8
 8 11 

⇒ A ; ÷
3
3 3 

uuu
r  2 8
AP =  ; ÷ ⇒ Đường thẳng AP : 2 x + y − 5 = 0 có pt là: 4 x − y − 7 = 0 .
 3 3

Trang
13/12