VDC-Tổ-hợp-xác-suất

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

TỔ HỢP XÁC SUẤT
Câu 1.

Nhằm chào mừng ngày thành lập Đồn TNCS Hồ Chí Minh, Đồn trường THPT Chun
Lương Thế Vinh tổ chức giải bóng đá nam. Có 16 đội đăng kí tham dự trong đó có 3 đội Tốn
10, Tốn 11 và Tốn 12. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia đều 16 đội vào 4 bảng để
đá vịng loại. Tính xác suất để 3 đội của 3 lớp Toán nằm ở 3 bảng khác nhau.
53
19
16
3
A. 56 .
B. 28 .
C. 35 .
D. 56 .

Câu 2.

Trong hệ tọa độ Oxy , lấy ngẫu nhiên một điểm có tọa độ ngun trên hình trịn tâm O , bán
kính bằng 5 . Tính xác suất để lấy được điểm mà khoảng cách từ O đến điểm đó khơng lớn hơn
3.

18
A. 121 .
Câu 3.

Câu 4.

29
B. 121 .

6
C. 25 .

Một cuộc họp có sự tham gia của 5 nhà Tốn học trong đó có 3 nam và 2 nữ, 6 nhà Vật lý
trong đó có 3 nam và 3 nữ và 7 nhà Hóa học trong đó có 4 nam và 3 nữ. Người ta muốn lập
một ban thư kí gồm 4 nhà khoa học với yêu cầu phải có đủ cả 3 lĩnh vực ( Tốn , Lý, Hóa ) và
có cả nam lẫn nữ . Nếu mọi người đều bình đẳng như nhau thì số cách lập một ban thư kí như
thế là?
A. 1575 .
B. 1440
C. 1404 .
D. 171 .
Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng

a1a2 a3a4 a5 mà a1 �a2  1 �a3  3  a4 �a5  2 bằng
1001
77
7
A. 45000 .
B. 1500 .
C. 5000 .
Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

29
D. 81 .

287
D. 22500 .

Tung một con xúc sắc không đồng chất thì xác suất xuất hiện mặt hai chấm và ba chấm lần lượt
gấp hai và gấp ba lần xác suất xuất hiện các mặt còn lại, xác suất xuất hiện các mặt còn lại như
nhau. Xác suất để sau 7 lần tung có đúng 3 lần xuất hiện số mặt chẵn và 4 lần xuất hiện số
mặt lẻ gần bằng số nào sau đây?
A. 0, 234 .
B. 0, 292 .
C. 0, 2342 .
D. 0, 2927 .
Một nhóm học sinh gồm 7 bạn nam và 4 bạn nữ đứng ngẫu nhiên thành một hàng. Xác suất để
có đúng 2 trong 4 bạn nữ đứng cạnh nhau là:
27
2
6
28
A. 11 .
B. 55 .
C. 55 .
D. 11 .
Có 8 người ngồi xung quanh một bàn tròn, mỗi người cầm một đồng xu như nhau. Tất cả 8
người cùng tung một đồng xu của họ, người có đồng xu ngửa thì đứng, cịn người có đồng xu
sấp thì ngồi. Hỏi xác suất mà khơng có hai người liền kề cùng đứng là bao nhiêu?
47
3

25
49
A. 256 .
B. 16 .
C. 128 .
D. 256 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Câu 8. Có 4 cặp vợ chồng được xếp ngồi trên một chiếc ghế dài có 8 chỗ. Biết rằng mỗi người chồng
chỉ ngồi cạnh vợ của mình hoặc ngồi cạnh một người đàn ơng khác. Số cách sắp xếp chỗ ngồi
thỏa mãn yêu cầu trên bằng
A. 8! .
B. 816.
C. 18.
D. 604.
Câu 9. Lập một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số đó có chữ số đứng trước khơng nhỏ hơn chữ
số đứng sau.

14
A. 25 .

143

B. 1800 .

119
C. 1500 .

11
D. 200 .

Câu 10. Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ (được đánh số từ 1 đến 6 ), 5 quả bóng vàng (được đánh số từ 1
đến 5 ), 4 quả bóng xanh (được đánh số từ 1 đến 4 ). Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng. Xác suất để 4
quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà khơng có hai quả bóng nào có số thứ tự trùng nhau bằng

381
B. 455 .

43
A. 91 .

74
C. 455 .

48
D. 91 .

Câu 11. Gieo đồng thời ba con súc sắc. Bạn là người thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất hai mặt 6 chấm.
Xác suất để trong 6 lần chơi thắng ít nhất 4 lần gần nhất với giá trị nào dưới đây?
5

10 .
A. 1, 24 �

104 .
B. 3,87 �

104 .
C. 4 �

7

10 .
D. 1, 65 �

S   1; 2;3; 4;.....;17
Câu 12: Cho tập hợp
gồm 17 số đầu tiên. Chọn ngẫu nhiên một tập
con có ba
S
phần tử của tập . Tính xác suất để tập hợp được chọn có tổng các phần tử chia hết cho 3.

27
A. 34 .

23
B. 68 .

Câu 13. Cho tập hợp

S   1; 2;3; 4;5;6;7;8;9

9

C. 34 .

9
D. 12 .

. Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập S . Tính xác suất p của

biến cố trong ba số được chọn ra không chứa hai số nguyên liên tiếp nào.
A.
Câu 14.

p

5
21 .

B.

p

5
16 .

C.

p

3
16 .

D.

p

5
12 .

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ
số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 . Xác định số phần tử của S . Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên từ S , tính
xác suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11 .
1
1
1
1
A. 21 .
B. 42 .
C. 84 .
D. 63 .

Câu 16. Một thanh sắt có độ dài 6m được bẻ thành 3 đoạn một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để 3
đoạn đó tạo thành một tam giác.
1
A. 3 .

1
B. 4 .

1
C. 5 .

1
D. 6 .

Câu 17. Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3
quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp thành một dãy sao
cho 3 quyển sách thuộc cùng một môn không được xếp liền nhau?
A. 31104 .

B. 60936 .

C. 308664 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D. 478970496 .

Trang 2 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Câu 18. Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển quân vua được chuyển
sang một ô chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng ( xem hình minh họa). Bạn An di
chuyển quân vua ngẫu nhiên ba bước. Xác suất để sau ba bước đi quân vua trở về ô xuất phát là

3
C83
A83

8! . C. 8! .D. 512 .
Hùng và 4 học sinh nữ
sinh trên thành 3 nhóm,
phải có học sinh nữ.
ở cùng một nhóm.
5
9
6
16 . C. . 34 D. 17 .

3
A. 64 .
B.
Câu 19. Có 8 học sinh nam trong đó có
trong đó có Hoa. Chia 12 học
mỗi nhóm có 4 học sinh và
Tính xác suất để Hùng và Hoa
7
A. 32 .
B.

Câu 20. Có 4 cặp vợ chồng được xếp
ngồi trên một chiếc ghế
dài có 8 chỗ. Biết rằng mỗi người vợ chỉ ngồi cạnh chồng của mình hoặc ngồi cạnh một người
phụ nữ khác. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho thỏa mãn.
A. 816 .
B. 18 .
C. 8! .
D. 604 .
A   1; 2;...;100

. Gọi S là tập hợp tất cả các tập con của A sao cho S có hai phần tử
là hai số có tổng bẳng 100. Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc S . Tính xác suất để chọn được

Câu 21. Cho tập

phần tử có tích hai số là một số chính phương.
6
4
A. 49 .
B. 99 .

4
2
C. 49 .
D. 33 .
Câu 22. Có 3 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý và 5 quyển sách Hoá khác nhau được sắp xếp ngẫu
nhiên lên một giá sách gồm có 3 ngăn, các quyển sách được xếp dựng đứng thành một hàng dọc
vào một trong ba ngăn (mỗi ngăn đủ rộng để chứa tất cả các quyển sách). Tính xác suất để
khơng có bất kỳ hai quyển sách Toán nào đứng cạnh nhau.
54
55
36
37
A. 91 .
B. 91 .
C. 91 .
D. 91 .

Câu 23. Tung một đồng xu cân đối đồng chất 10 lần. Xác suất sao cho khơng có hai lần tung liên tiếp

nào đều xuất hiện mặt sấp bằng:
9
A. 64

16
B. 64 .

3
C. 128 .

7
D. 256 .

Câu 24. Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 lập được các số có bốn chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một
số. Tính xác suất để số đó có chữ số 4 .
3
A. 4 .

Câu 25.

1
B. 4 .

1
C. 3 .

2
D. 3 .

A   1; 2;...;100

Từ tập
chọn ra 3 số ngẫu nhiên. Tính xác suất để 3 số được chọn là 3
cạnh của một tam giác.

1
25
65
65
A. 2 .
B. 264 .
C. 132 .
D. 132 .
Câu 26. Cho ngẫu nhiên một số tự nhiên có 2018 chữ số. Tính xác suất để số được chọn là một số tự
nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số trong đó có ít nhất hai chữ số 9 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

16217
2015
�
 0,9 
A. 900
.
16217
2016
�

 0,9 
C. 900
.

Đề Trường A Lần X Năm 2019

1 16217
2015

�
 0,9 
B. 9 900
.
1 16217
2015

�
 0,9 
90
D. 9
.

Câu 27. Cho A là tập các số tự nhiên có 2019 chữ số. Lấy một số bất kỳ của tập hợp A . Tính xác suất
để lấy được số lẻ và chia hết cho 9 .
1
1
625
1
A. 18 .
B. 9 .

C. 20 .
D. 1701 .
Câu 28. Xếp ngẫu nhiên 15 quyển sách khác nhau gồm 5 sách Toán và 10 sách Văn lên một giá sách
ngang có 3 ngăn (các sách được xếp dựng đứng, 1 hoặc 2 ngăn bất kì có thể trống). Tính xác
suất sao cho mỗi ngăn khơng có sách Tốn xếp cạnh nhau.
36
37
99
55
A. 476 .
B. 91 .
C. 476 .
D. 91 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
1.C
11.C
22.D

Câu 1.

2.D
12.B
23.A

3.C
13.D
24.D

BẢNG ĐÁP ÁN
5
6.C
7.A
16.B
17.C
18.A
26.B
27.A
28.C

4.D
14.D
25.D

8.B
19.B

9.C
20.A

10.C

21.C

[1D2-5.2-3] Nhằm chào mừng ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, Đồn trường THPT
Chun Lương Thế Vinh tổ chức giải bóng đá nam. Có 16 đội đăng kí tham dự trong đó có 3
đội Tốn 10, Tốn 11 và Toán 12. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia đều 16 đội vào
4 bảng để đá vịng loại. Tính xác suất để 3 đội của 3 lớp Toán nằm ở 3 bảng khác nhau.
53
19
16
3
A. 56 .
B. 28 .
C. 35 .
D. 56 .
Lời giải
Chọn C
4 bảng phân biệt lần lượt là A, B, C, D.
n     C164 .C124 .C84 .C44

.

Gọi A là biến cố để 3 đội của lớp Toán nằm ở 3 bảng khác nhau.

A3
Chọn 3 đội toán vào 3 bảng khác nhau là: 4 .
Chọn 4 đội cho bảng chưa có đội Toán nào:

C134

.

C 3 .C 3 .C 3
Chọn 3 đội vào các bảng đã có 1 đội Tốn: 9 6 3 .
� n  A   A43 .C134 .C93 .C63 .C33

Vậy

P  A 

n  A  16

n    35

.

.

Ngày 08/ 4/ 2019
Câu 2.

[1D2-4.3-3] Trong hệ tọa độ Oxy , lấy ngẫu nhiên một điểm có tọa độ ngun trên hình trịn
tâm O , bán kính bằng 5 . Tính xác suất để lấy được điểm mà khoảng cách từ O đến điểm đó
khơng lớn hơn 3 .

18
A. 121 .

29
B. 121 .

6
C. 25 .

29
D. 81 .

Lời giải
Chọn D
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

2
2
Phương trình hình trịn tâm O , bán kính bằng 5 : x  y �25

Gọi điểm

M   x; y 

thuộc hình trịn tâm O , bán kính bằng 5 (với x, y ��)

TH1: Nếu x  0 � y  0; �1; �2; �3; �4; �5 � 11 điểm thuộc hình trịn tâm O , bán kính
bằng 5
TH2: Nếu x  �1 � y  0; �1; �2; �3; �4 � 18 điểm thuộc hình trịn tâm O , bán kính bằng

5
TH3: Nếu x  �2 � y  0; �1; �2; �3; �4 � 18 điểm thuộc hình trịn tâm O , bán kính bằng
5
TH4: Nếu x  �3 � y  0; �1; �2; �3; �4 � 18 điểm thuộc hình trịn tâm O , bán kính bằng
5
TH5: Nếu x  �4 � y  0; �1; �2; �3 � 14 điểm thuộc hình trịn tâm O , bán kính bằng 5
TH6: Nếu x  �5 � y  0 � 2 điểm thuộc hình trịn tâm O , bán kính bằng 5
Như vậy số điểm

M   x; y 

có tọa độ ngun thuộc hình trịn tâm O , bán kính bằng 5 là:

n     11  3.18  14  2  81
M   x; y 

thuộc hình trịn tâm O bán kính bằng 5 , và có khoảng cách đến O
2
2
2
9 � x  y �9
không lớn hơn 3  OM 3  OM
Do điểm

TH1: Nếu x  0 � y  0; �1; �2; �3 � 7 điểm thuộc hình trịn tâm O bán kính bằng 5 và
hình trịn tâm O , bán kính bằng 3
TH2: Nếu x  �1 � y  0; �1; �2 � 10 điểm thuộc hình trịn tâm O bán kính bằng 5 và
hình trịn tâm O , bán kính bằng 3
TH3: Nếu x  �2 � y  0; �1; �2 � 10 điểm thuộc hình trịn tâm O bán kính bằng 5 và hình
trịn tâm O bán kính bằng 3

TH4: Nếu x  �3 � y  0 � 2 điểm thuộc hình trịn tâm O bán kính bằng 5 và hình trịn
tâm O bán kính bằng 3

M   x; y 
Như vậy số điểm
có tọa độ ngun thuộc hình trịn tâm O bán kính bằng 5 , và có
khoảng cách đến O khơng lớn hơn 3 là:
n  A   7  2.10  2  29
Vậy xác suất để lấy được điểm mà khoảng cách từ O đến điểm đó khơng lớn hơn 3 là:
P  A 

Câu 3.

n  A

n  



29
�0,36
81

.
[1D2-2.2-3] Một cuộc họp có sự tham gia của 5 nhà Tốn học trong đó có 3 nam và 2 nữ, 6
nhà Vật lý trong đó có 3 nam và 3 nữ và 7 nhà Hóa học trong đó có 4 nam và 3 nữ. Người ta
muốn lập một ban thư kí gồm 4 nhà khoa học với yêu cầu phải có đủ cả 3 lĩnh vực ( Tốn , Lý,
Hóa ) và có cả nam lẫn nữ . Nếu mọi người đều bình đẳng như nhau thì số cách lập một ban thư
kí như thế là?
A. 1575 .

B. 1440
C. 1404 .
D. 171 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Lời giải
Chọn C
+) Đặt A là biến cố chọn ra được 4 nhà khoa học có đầy đủ cả 3 lĩnh vực ( Tốn, Lý, Hóa).
Khi đó :
C52 .C61.C71  420
Số cách chọn 2 nhà Toán học , 1 nhà Vật lý , 1 nhà Hóa học là:
.
1
2
1
C .C .C  525
Số cách chọn 1 nhà Toán học , 2 nhà Vật lý , 1 nhà Hóa học là: 5 6 7
.
1
1
2
C .C .C  630

Số cách chọn 1 nhà Toán học , 1 nhà Vật lý , 2 nhà Hóa học là: 5 6 7
.

� n  A   420  525  630  1575
+) Đặt B là biến cố chọn ra 4 nhà khoa học đủ cả 3 lĩnh vực ( Tốn , Lý , Hóa) mà trong đó
chỉ có nam hoặc chỉ có nữ.
Khi đó :
2
1
1
1
2
1
1
1
2
Số cách chọn chỉ có nam: C3 .C3 .C4  C3 .C3 .C4  C3 .C3 .C4  126 .
2
1
1
1
2
1
1
1
2
Số cách chọn chỉ có nữ : C2 .C3 .C3  C2 .C3 .C3  C2 .C3 .C3  45 .
� n  B   126  45  171
.
+) Vậy số cách chọn ra được 4 nhà khoa học có đày đủ cả 3 lĩnh vực ( Tốn, Lý, Hóa), trong

Câu 4.

đó có cả nam lẫ nữ là: 1575  171  1404 (cách).
[1D2-2.2-3] Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác suất để chọn được số tự nhiên có

aa aa a
dạng 1 2 3 4 5 mà a1 �a2  1 �a3  3  a4 �a5  2 bằng
1001
77
7
A. 45000 .
B. 1500 .
C. 5000 .

287
D. 22500 .

Lời giải
Chọn D
Gọi A là biến cố“Chọn được số tự nhiên có dạng

a1a2 a3a4 a5 mà a1 �a2  1 �a3  3  a4 �a5  2 ”

Đặt a3  3  k với 1 �k �6

Ta có:

1 �a1 �a2  1 �k
1�

a1 ‫ ף‬a2 2 k 1
�
�
��
�
k  a4 �a5  2 �11 �
k  1 �a4  a5  3 �12
�

2
Suy ra số cách chọn bộ số a1 , a2 là Ck 1 cách.
2
Số cách chọn bộ số a4 , a5 là C12 k cách.

Với mỗi cách chọn bộ 2 số cho a1 , a2 sẽ có 3 cách chọn bộ 2 số cho a4 , a5 không thỏa mãn là
 a4 , a5  3    10;11 ;  10;12  ;  11;12   .
Suy ra:

Vậy

6

6

k 1

k 1

n  A   �Ck21.C122  k  3�Ck21  1148

P  A 

n  A  1148
287


4
n    9.10
22500

.

.

Ngày 30/3/2019
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 7 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 5.

Đề Trường A Lần X Năm 2019

[1D2-5.4-3] Tung một con xúc sắc khơng đồng chất thì xác suất xuất hiện mặt hai chấm và ba
chấm lần lượt gấp hai và gấp ba lần xác suất xuất hiện các mặt còn lại, xác suất xuất hiện các
mặt còn lại như nhau. Xác suất để sau 7 lần tung có đúng 3 lần xuất hiện số mặt chẵn và 4 lần
xuất hiện số mặt lẻ gần bằng số nào sau đây?

A. 0, 234 .

B. 0, 292 .

C. 0, 2342 .

D. 0, 2927 .

Lời giải
Chọn D
Gọi p là xác suất xuất hiện của các mặt 1; 4;5;6 chấm. Ta có xác suất xuất hiện của mặt 2
chấm, 3 chấm là 2 p và 3 p .
Ta có

4 p  2p  3p 1� p 

1
9.

 2; 4; 6 
Xác suất xuất hiện mặt chẵn chấm
3

4
5
1;3;5


khi gieo là 9 , mặt lẻ
là 9 .

4

�4 ��5 �
C � �� ��0, 2927
�9 ��9 �
Do đó, xác suất cần tính là
.
3
7

Câu 6.

Ngày 29 / 3 / 2019
[1D2-5.5-3] Một nhóm học sinh gồm 7 bạn nam và 4 bạn nữ đứng ngẫu nhiên thành một hàng.
Xác suất để có đúng 2 trong 4 bạn nữ đứng cạnh nhau là:
27
2
6
28
A. 11 .
B. 55 .
C. 55 .
D. 11 .
Lời giải
Chọn C
Không gian mẫu

n     11!

Gọi A là biến cố: “Xếp 7 nam và 4 nữ đứng thành một hàng mà có đúng 2 trong 4 nữ đứng
cạnh nhau”.
+) Xếp 7 nam vào 7 vị trí: có 7! cách. Khi đó 7 nam tạo thành 8 khoảng trống.
2
+) Chọn 2 trong 4 nữ đứng cạnh nhau và hoán vị 2 nữ này: có A4 cách.

+) Coi 2 nữ còn lại và cặp nữ đứng cạnh nhau là 3 nữ, ta xếp vào 8 khoảng trống do 7 nam tạo
3
thành: có A8 cách.

Câu 7.

28
2
3 � P  A 
n
A

7!.A
.
A


4
8
�
55 .
[1D2-5.2-4] Có 8 người ngồi xung quanh một bàn trịn, mỗi người cầm một đồng xu như nhau.
Tất cả 8 người cùng tung một đồng xu của họ, người có đồng xu ngửa thì đứng, cịn người có
đồng xu sấp thì ngồi. Hỏi xác suất mà khơng có hai người liền kề cùng đứng là bao nhiêu?

47
3
25
49
A. 256 .
B. 16 .
C. 128 .
D. 256 .

Lời giải
Chọn A
+)

n     28

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

TH1: 4 bạn tung được mặt ngửa. Khi đó 4 bạn ngồi xen kẽ � Có 2 cách.
TH2: 3 bạn tung được mặt ngửa:

Ta chọn A là một bạn tung được mặt ngửa. Gọi b , c là số thứ tự của hai bạn tung được mặt

b ; c  1 �
b ; c
C2
C2
ngửa còn lại � 2 �b  c  1 �5 � Có 4 cách chọn 
Có 4 cách chọn 
.
Tương tự ta chọn bạn B và C tung được mặt ngửa.
8.C42
 16
� Có 3
cách.

C 2  8  20
TH3: 2 bạn tung được mặt ngửa � Có 8
cách.
TH4: 1 bạn tung được mặt ngửa � Có 8 cách.
TH5: Khơng có bạn nào tung được mặt ngửa � Có 1 cách.

� n  A   2  16  20  8  1  47 .
Vậy

P  A 

47
256 .

Câu 8. [1D2-2.2-3] Có 4 cặp vợ chồng được xếp ngồi trên một chiếc ghế dài có 8 chỗ. Biết rằng mỗi
người chồng chỉ ngồi cạnh vợ của mình hoặc ngồi cạnh một người đàn ông khác. Số cách sắp
xếp chỗ ngồi thỏa mãn yêu cầu trên bằng

A. 8! .

B. 816.

C. 18.

D. 604.

Lời giải
Chọn B
Xếp 4 bà có 4! cách: B B B B.
- Xếp 4 ông vào khe đầu – cuối hoặc 3 khe cịn lại có 2.3! 3.2!  18 cách.
- Xếp 1 ông vào khe đầu (hoặc cuối) và 3 ơng vào các khe khơng liền kề cịn lại có

2.  2  2!  8

cách.

- Xếp 2 cặp 2 ông vào 2 khe đầu – cuối hoặc 2 khe khơng liền kề bất kỳ cịn lại có
2! C52  5  7

cách.

- Xếp 1 – 1 ông vào 2 khe đầu – cuối, 2 ông vào khe khơng liền kề cịn lại có 1 cách.
Vậy tổng cộng có 4!.34  816 cách.
Câu 9. [1D2-2.2-3] Lập một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số đó có chữ số đứng trước khơng
nhỏ hơn chữ số đứng sau.

14
A. 25 .

143
B. 1800 .

119
C. 1500 .

11
D. 200 .

Lời giải
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Chọn C
Gọi số cần tìm là abcd , d �c �b �a.

�����
d c b a
9 �
0 d
Ta có 0 �

c 1 b 2 a 3 12

4
� có C13 cách chọn bộ d , c  1, b  2, a  3
4
4
� có C13 cách chọn bộ d , c, b, a trong số C13 cách chọn đó, bỏ bộ 0,1,2,3.

C134  1 119
P ( A) 

9.103 1500 .
Xác suất
Ngày 26/ 3/ 2019
Câu 10. [1D2-4.5-3] Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ (được đánh số từ 1 đến 6 ), 5 quả bóng vàng (được
đánh số từ 1 đến 5 ), 4 quả bóng xanh (được đánh số từ 1 đến 4 ). Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng.
Xác suất để 4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà khơng có hai quả bóng nào có số thứ tự trùng
nhau bằng
43
A. 91 .

381
B. 455 .

74
C. 455 .

48
D. 91 .

Lời giải

Chọn C
4
Số phần tử của không gian mẫu là C15  1365 .

Các trường hợp thuận lợi cho biến cố là:
Trường hợp 1: Chọn 2 quả bóng xanh, 1 quả bóng vàng và 1 quả bóng đỏ:
2
Chọn 2 quả bóng xanh từ 4 quả bóng xanh: có C4 cách.

Chọn 1 quả bóng vàng từ 3 quả bóng vàng (đã loại đi 2 quả có số thứ tự trùng với bóng xanh
1
đã chọn): có C3 cách.

Chọn 1 quả bóng đỏ từ 3 quả bóng đỏ (đã loại đi 3 quả có số thứ tự trùng với bóng xanh và
1
vàng đã chọn): có C3 cách.
2
1
1
� trường hợp này có C4 .C3 .C3  54 cách chọn.

Trường hợp 2: Chọn 1 quả bóng xanh, 2 quả bóng vàng và 1 quả bóng đỏ:
1
2
1
Tương tự trường hợp 1, có C4 .C4 .C3  72 .

Trường hợp 3: Chọn 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng vàng và 2 quả bóng đỏ:
1
1

2
Tương tự trường hợp 1, có C4 .C4 .C4  96 .

Suy ra số phần tử của biến cố là 54  72  96  222 .
Vậy, xác suất cần tìm là

P

222
74

1365 455 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 10 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Câu 11. [1D2-4.6-4] Gieo đồng thời ba con súc sắc. Bạn là người thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất hai
mặt 6 chấm. Xác suất để trong 6 lần chơi thắng ít nhất 4 lần gần nhất với giá trị nào dưới
đây?
5

104 .
B. 3,87 �

10 .
A. 1, 24 �

7

10 .
D. 1, 65 �

104 .
C. 4 �

Lời giải
Chọn C
C32 �
C51  C33 16
2


3
6
216 27 .
Xác suất xuất hiện ít nhất hai mặt 6 chấm là
Gọi A là biến cố “Trong 6 lần chơi thắng ít nhất 4 lần”. Xảy ra ba trường hợp:


Thắng 4 lần và thua 2 lần.



Thắng 5 lần và thua 1 lần.



Thắng 6 lần.

Theo quy tắc cộng và nhân xác suất, ta có
4

2

5

6

�2 � �25 � 5 �2 � 25
6 �2 �
P  A   C � ��
104
� � C6 � ��  C6 � ��4 �
�27 � �27 �
�27 � 27
�27 �
.
4
6

Ngày 19/03/2019

S   1; 2;3; 4;.....;17
Câu 12 : [1D2-5.2-3] Cho tập hợp

gồm 17 số đầu tiên. Chọn ngẫu nhiên một tập
S
con có ba phần tử của tập . Tính xác suất để tập hợp được chọn có tổng các phần tử chia hết cho
3.

27
A. 34 .

23
B. 68 .

9
C. 34 .

9
D. 12 .

Lời giải
Chọn B

 3;6;9;12;15 .
Tập hợp các số từ tập S chia hết cho 3 là

 1; 4;7;10;13;16 .
Tập hợp các số từ tập S chia cho 3 dư 1 là
 2;5;8;11;14;17 .
Tập hợp các số từ tập S chia cho 3 dư 2 là
3
*) TH1: Ba số lấy từ tập S đều chia hết cho 3 : Có C5 cách chọn.
3

*) TH2: Ba số lấy từ tập S đều chia 3 dư 1: Có C6 cách chọn.
3
*) TH3: Ba số lấy từ tập S đều chia 3 dư 2: Có C6 cách chọn.
1
1
1
*) TH4: Một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1, một số chia 3 dư 2: Có C5 .C6 .C6 cách chọn.

Vậy số phần tử của biến cố A : “ Chọn được ba số có tổng chia hết cho 3” là :

n  A   C53  C63  C63  C51.C61 .C61  230

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 11 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Số phần tử không gian mẫu là
Xác suất của biến cố A là
Ngày 18/ 03/ 2019

n     C173

P  A 

Đề Trường A Lần X Năm 2019

.

230 23

C173
68 .

S   1; 2;3; 4;5;6;7;8;9
Câu 13. [1D2-5.2-3] Cho tập hợp
. Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập S . Tính xác
suất p của biến cố trong ba số được chọn ra không chứa hai số nguyên liên tiếp nào.
A.

p

5
21 .

B.

p

5
16 .

C.

p

3
16 .

D.

p

5
12 .

Lời giải
Chọn D
Số phần tử của không gian mẫu là:

n     C93

.

Gọi A là biến cố: “Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập S và ba số được chọn ra không chứa hai số
nguyên liên tiếp nào”.
Cách 1.
Xếp 9 số lên đường tròn một cách liên tiếp (hình minh họa).

Trường hợp 1:
Lấy 3 số trên đường trịn sao cho khơng số nào đứng cạnh nhau.
Chọn 1 trong 9 số để làm mốc có 9 cách.
2
Chọn 2 trong 6 số không kề với mốc để liên kết có C6  15 cách.

Trừ đi 5 cặp số đứng cạnh nhau ta còn 15  5  10 liên kết.

Trong mỗi bộ ba số liên kết nhau vừa chọn thì mỗi số được chọn làm mốc 1 lần, do đó tổng số
bộ ba thu được phải giảm đi 3 lần.
9.10
 30
Vậy TH1 có: 3
cách chọn.

Trường hợp 2:
Chọn hai số 1,9 và một số bất kỳ khác 2 và 8 có 5 cách.
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 12 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

n  A   30  5  35

Tổng cộng 2 TH ta có:

Vậy xác suất cần tìm là

p  A 

Đề Trường A Lần X Năm 2019

.

n  A  35 5



n    C93 12

.

Cách 2. (phương pháp đánh số thứ tự)
Gọi a, b, c là ba số được lấy ra sao cho khơng có hai số nào liên tiếp.
Khi đó ta phải có 1 �a  b  1  c  2 �7 (do 1 �a, b, c �9 ).
Số cách chọn bộ ba số

 a, b  1, c  2

Vậy xác suất cần tìm là
Câu 14.

p  A 

3
n  A   35
từ 7 số: C7  35 cách. Vậy
.

n  A  35 5


n    C93 12

.

[1D2-2.2-4] Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được

chọn từ các chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 . Xác định số phần tử của S . Lấy ngẫu nhiên một số tự
nhiên từ S , tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng
chia hết cho 11 .
1
A. 21 .

1
B. 42 .

1
C. 84 .

1
D. 63 .

Lời giải
Chọn D

A4
Số phần tử của S là: 9 .
Ký hiệu số có bốn chữ số thỏa mãn yêu cầu là:





abcd  100ab  cd  11 9ab  a  c   b  d  a  c 

.

�
 b  d  a  c  M11 �
 b  d  M11
�
�
�
�
�
a b c  dM
11 �

 a  c  M11 .
�
Theo giả thiết ta có:
Và do 3 �b  d �17,3 �a  c �17 nên b  d  a  c  11 .
Các cặp số có tổng là 11 :

 2,9  ,  3,8 ,  4, 7  ,  5, 6  .

Số lượng các số thỏa mãn yêu cầu là

A42 .2!.2!

.

A42 .2!.2! 1

4
A
63 .

9
Do đó xác suất bằng
aa a a a a a
Câu 15. [1D2-5.5-4] Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau có dạng 1 2 3 4 5 6 7 .
Tính xác suất để số được chọn ln có mặt chữ số 2 và thỏa a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7 .
1
A. 243 .

1
B. 486 .

1
C. 1215 .

1
D. 972 .

Lời giải
Chọn B
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 13 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

6
6

aaaaaa
Ta có a1 có 9 cách chọn và 2 3 4 5 6 7 có A9 cách. Vậy có tất cả 9.A9 số tự nhiên có 7 chữ
n     9. A96
số khác nhau. Suy ra không gian mẫu
.

Gọi A là biến cố thoả mãn yêu cầu đề bài.
5
TH1: Nếu 0 được lấy ra. Vì có mặt chữ số 0 và chữ số 2 nên có C8 cách chọn 5 chữ số cịn
lại trong 8 chữ số (trừ số 0 và số 2 ). Với mỗi cách chọn đó, ta có:

a7  0 có 1 cách chọn.
a4 có 1 cách chọn.

 a5 ; a6 

2
có C5 cách.

 a1 ; a2 ; a3 

có 1 cách.

5
2
Vậy có C8 .1.C5  560 (số).
6
TH2: Nếu 0 khơng được lấy ra. Vì ln có mặt chữ số 2 nên có C8 cách chọn ra 1 bộ số gồm
6 trong 8 chữ số (trừ đi số 0 và số 2 ). Với mỗi bộ đó, ta có:

a4 có 1 cách chọn.

 a5 ; a6 ; a7 
 a1 ; a2 ; a3 

3
có C6 cách chọn.

có 1 cách chọn.

6
3
Vậy có C8 .C6  560 (số).

Vậy

n  A  560  560  1120

Vậy xác suất cần tính là

.

P  A 

n  A
1

n    486

.

Ngày 17/03/2019
Câu 16. [1D2-5.2-4] Một thanh sắt có độ dài 6m được bẻ thành 3 đoạn một cách ngẫu nhiên. Tìm xác
suất để 3 đoạn đó tạo thành một tam giác.
1
A. 3 .

1
B. 4 .

1
C. 5 .

1
D. 6 .

Lời giải
Chọn B

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 14 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Xét một tam giác đều ABC có độ dài chiều cao bằng 6. Lấy điểm M nằm bên trong tam giác
ABC . Gọi d1 , d 2 , d3 là khoảng cách từ M đến các cạch của tam giác Ta ln có

d1  d 2  d 3  6 .
Mỗi điểm M trong tam giác ABC đặc trưng cho một cách chia một đoạn thẳng dài 6m thành
3 đoạn thẳng bất kì.

�   S ABC .
Để 3 đoạn thẳng d1, d 2, d 3 lập thành một tam giác � d1, d 2, d 3  3 � M nằm trong tam giác
DEF � A  S DEF .

� Xác suất cần tìm là

P

S DEF 1

S ABC 4 .

Câu 17. [1D2-2.4-4] Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Tốn giống nhau, 3 quyển Lý
giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 3 quyển Sinh giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp
thành một dãy sao cho 3 quyển sách thuộc cùng một môn không được xếp liền nhau?
A. 31104 .

B. 60936 .

C. 308664 .

D. 478970496 .

Lời giải
Chọn C
Gọi A1 , A2 , A3 , A4 lần lượt là các biến cố “Xếp 3 quyển sách Toán liền nhau”, “Xếp 3 quyển

sách Lý liền nhau”, “Xếp 3 quyển sách Hóa liền nhau” và “Xếp 3 quyển sách Sinh liền nhau”,
X
gọi
là số phần tử của tập X .
Số cách xếp để có ba quyển sách cùng một môn đứng cạnh nhau là
4
�
��
A1 �A2 �A3 �A4  �Ai  ��Ai �Aj � � �Ai �Aj �Ak
�
��
i 1
1�i  j �4
1�i  j  k �4
�
��

�
 A �A2 �A3 �A4
�
� 1
�
.

Trong đó:

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 15 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC

•

A1  10.C93 .C63

Đề Trường A Lần X Năm 2019

( coi ba quyển sách Tốn xếp cạnh nhau là một, có 10 vị trí để xếp)

4

� �Ai  4.10.C93 .C63
i 1

 1 .

A �A2  8.7C63
• 1
( coi ba quyển sách Toán xếp cạnh nhau là một, ba quyển sách Lý xếp cạnh
nhau là một)
�

�A �A
i

j

 C42 .8.7C63

1�i  j �4

 2 .

A �A2 �A3  6.5.4
• 1
( coi ba quyển sách Toán xếp cạnh nhau là một, ba quyển sách Lý xếp
cạnh nhau là một, ba quyển sách Hóa xếp cạnh nhau là một)
� �Ai �A j �Ak  C43 .6.5.4
1�i  j  k �4

•

A1 �A2 �A3 �A4  4!

 3 .

 4 .

 1 ,  2  ,.  3 và  4  suy ra
Từ
A1 �A2 �A3 �A4  4.10.C93 .C63  C42 .8.7C63  C43 .6.5.4  4!  60936

.

3
3
3
Mặt khác, số cách xếp 12 quyển sách là C12C9 .C6  369600 .

Vậy, số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 369600  60936  308664 (cách).
Câu 18. [1D2-5.5-4] Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển quân vua
được chuyển sang một ô chung cạnh hoặc chung đỉnh với ơ đang đứng ( xem hình minh họa).
Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên ba bước. Xác suất để sau ba bước đi quân vua trở về ô
xuất phát là

3
A. 64 .

C83
B. 8! .

A83
C. 8! .

3
D. 512 .

Lời giải
Chọn A
3
Số phần tử không gian mẫu: n     8 .

Gọi biến cố A : ‘‘ Sau ba lần di chuyển quân vua về lại vị trí ban đầu ’’
TH1: Nước đầu tiên đi chéo.

Bước 1: có 4 cách.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 16 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Bước 2: có 2 cách.
Bước 3: có 1 cách.
Vậy có:

4.2.1  8 (cách)

TH2: Nước đầu tiên đi ngang, dọc.

Bước 1: có 4 cách.
Bước 2: có 4 cách.
Bước 3: có 1 cách .

Vậy có 4.4.1  16
� n  A   8  16  24
Vậy xác suất

P A 

n  A  24 3


n    83 64 .

Ngày 5 / 3 / 2019
Câu 19. [1D2-5.2-3] Có 8 học sinh nam trong đó có Hùng và 4 học sinh nữ trong đó có Hoa. Chia 12
học sinh trên thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 4 học sinh và phải có học sinh nữ. Tính xác suất để
Hùng và Hoa ở cùng một nhóm.
7
5
9
6
A. 32 .
B. 16 .
C. . 34
D. 17 .
Lời giải
Chọn B
+) Xác suất khơng thay đổi khi đặt tên ba nhóm là A, B, C .
+) Số phần tử của không gian mẫu là:

n     3.C42 .2!.C82 .C63 .C33  20160

.

+) Gọi D là biến cố “Hùng và Hoa ở cùng một nhóm”.
Trường hợp 1. Hùng và Hoa ở nhóm A .
1
1
3
3
- Nếu nhóm A có hai nữ thì có: C3 .C7 .2!.C6 .C3  840 cách.

- Nếu nhóm A có một nữ thì có nhóm B hoặc C có 2 nữ.
2
2
2
3
Số cách chia là: 2.C3 .C7 .1.C5 .C3  1260 cách.

� Số cách chia thỏa mãn trường hợp 1 là: 840  1260  2100 cách.
Làm tương tự cho hai trường hợp sau:
Trường hợp 2. Hùng và Hoa ở nhóm B: Có 2100 cách.
Trường hợp 3. Hùng và Hoa ở nhóm C: Có 2100 cách.
P  D 

n  D
6300
5


n    20160 16

n  D   6300 2100.3 �
+) Vậy
=
.
Câu 20. [1D2-2.2-4] Có 4 cặp vợ chồng được xếp ngồi trên một chiếc ghế dài có 8 chỗ. Biết rằng mỗi
người vợ chỉ ngồi cạnh chồng của mình hoặc ngồi cạnh một người phụ nữ khác. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho thỏa mãn.
A. 816 .
B. 18 .
C. 8! .

D. 604 .
Lời giải
Chọn A
Cách 1: Ta thực hiện xếp các ông chồng xong, chia các trường hợp xếp các bà vợ.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 17 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Xếp 4 ơng chồng có 4! cách: C C C C.
Tiếp đến xếp các bà vợ thỏa u cầu bài tốn có bốn trường hợp sau (xếp các bà vợ vào các khe
đầu cuối hoặc khe giữa các ông chồng đã xếp)
Trường hợp 1: Không có ơng chồng nào cạnh nhau, thì khơng có cách xếp nào thỏa mãn đề
bài.
Trường hợp 2: Có hai ơng chồng ngồi cạnh nhau
Trong trường hợp này có hai tình huống nhỏ
+) Chỉ có đúng một cặp hai ơng chồng ngồi cạnh nhau: ta xếp hai cặp 2 bà vào 2
2
khe đầu – cuối hoặc 2 khe không liền kề bất kỳ cịn lại có 2! C5  5  7 cách.
+) Có 2 cặp 2 ơng chồng cạnh nhau: ta xếp 1-1 bà vào khe đầu-cuối, 2 bà vào khe
khơng liền kề cịn lại có 1 cách.
Trường hợp 3: Có đúng 3 ơng chồng cạnh nhau (3 bà vợ cùng 1 khe, riêng 1 bà 1 khe, bà này
chỉ có thể ở khe 1 hoặc khe 5 vì khơng được phép ngồi gần chồng người khác. Xếp bà ở một
mình khe đầu (tương tự cho cuối), sau xếp 3 bà kia chỉ có thể ở khe 3, 4, 5 trong đó ở khe 3, 4
chỉ có 1 cách xếp, tổng là 2, khe 5 có 2! cách xếp (xếp vợ của ơng đứng cuối, hốn vị hai bà cịn
lại.

2 2  2!  8
Xếp 1 bà vào khe đầu (hoặc cuối) và 3 bà vào các khe không liền kề cịn lại có 
3
cách (hay 2.C4 )
Trường hợp 4: Cả 4 ông được ngồi cạnh nhau (lưu ý trường hợp này xếp khe đầu, khe cuối
khác với 3 khe ở giữa)
Xếp 4 bà vào khe đầu-cuối hoặc 3 khe cịn lại có 2.3! 3.2!  18 cách.

Vậy tất cả có 4!.34  816 cách.
Cách 2:
TH1: Chỉ có một cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau, khi đó buộc các bà vợ phải ngồi cùng một bên,
các ông chồng ngồi cùng một bên so với cặp vợ chồng đó.
1
� có  2.3!.3! . A4  288 (cách xếp).
2
TH2: Có đúng hai cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau � có 2. A4 .2.6  288 (cách xếp).
3
TH3: Có đúng ba cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau � có 2. A4 .2.2  192 (cách xếp).
4
TH4: Tất cả 4 cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau � có 2. A4  48 (cách xếp).

Vậy có tất cả là 288  288  192  48  816 (cách xếp) thỏa yêu cầu đề bài.
Cách 3:
TH1: 4 phụ nữ ngồi cạnh nhau :
4!3!2 + 4!2!2 + 4!2 = 432.
TH2: 3 phụ nữ ngồi cạnh nhau :
4!2!2 + 4!2!2 = 192.
TH3: 2 phụ nữ ngồi cạnh nhau :
4!2 + 4!2!2 + 4!2 = 192.
Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu là : 432 + 2.192 = 816 cách.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 18 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

A   1; 2;...;100

. Gọi S là tập hợp tất cả các tập con của A sao cho S
có hai phần tử là hai số có tổng bẳng 100. Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc S . Tính xác suất

Câu 21. [1D2-5.2-3] Cho tập

để chọn được phần tử có tích hai số là một số chính phương.
6
4
4
A. 49 .
B. 99 .
C. 49 .

2
D. 33 .

Lời giải
Chọn C
S    1;99 ; 2;98 ;...;  49;51 

n S  49
Ta có
nên  
.
Lấy ra hai trong 100 số từ A mà có tổng bằng 100 và tích là một số chính phương chỉ có các
2;98   10;90   20;80   36; 64 
cặp 
,
,
,
. Vậy xác suất cần tìm là

P

4
49 .

Câu 22. [1D2-5.2-3] Có 3 quyển sách Tốn, 4 quyển sách Lý và 5 quyển sách Hoá khác nhau được sắp
xếp ngẫu nhiên lên một giá sách gồm có 3 ngăn, các quyển sách được xếp dựng đứng thành một
hàng dọc vào một trong ba ngăn (mỗi ngăn đủ rộng để chứa tất cả các quyển sách). Tính xác
suất để khơng có bất kỳ hai quyển sách Tốn nào đứng cạnh nhau.
54
55
36
37
A. 91 .
B. 91 .
C. 91 .
D. 91 .
Lời giải

Chọn D
Gọi A là biến cố: Sắp xếp 12 quyển sách trên giá sách thành 1 hàng dọc mà không có bất kỳ
hai quyển sách Tốn nào đứng cạnh nhau.
Ta xem 2 vách ngăn của giá sách là 2 quyển sách giống nhau, số phần tử của không gian mẫu
là:

n   

14!
2! .

11!
Sắp xếp 9 quyển sách (gồm 4 quyển Lý và 5 quyển Hố) trên giá sách có 2! cách. Sau khi sắp
9 quyển cùng 2 vách ngăn của giá sách sẽ có 12 vị trí có thể chọn và xếp sách tốn.
A123
Chọn 3 trong 12 vị trí đó và xếp 3 quyển sách Tốn có
cách.

`

11! 3
. A12
55
2!
P  A 

14!
11! 3
91
� n  A 

. A12
2!
2!
. Vậy xác suất của biến cố A là
.

Câu 23. [1D2-5.2-3] Tung một đồng xu cân đối đồng chất 10 lần. Xác suất sao cho khơng có hai lần
tung liên tiếp nào đều xuất hiện mặt sấp bằng:
9
A. 64

16
B. 64 .

3
C. 128 .

7
D. 256 .

Lời giải
Chọn A
10
Số phần tử của không gian mẫu N ()  2 .

Gọi A là biến cố khơng có hai lần tung liên tiếp nào đều xuất hiện mặt sấp.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 19 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Gọi số lần xuất hiện mặt sấp trong 10 lần tung đồng xu là k . Do khơng có hai lần tung liên tiếp
nào đều xuất hiện mặt sấp nên 0 �k �5, k ��. Số lần xuất hiện mặt ngửa là 10  k . Để sắp
xếp cho các lần xuất hiện mặt sấp khơng liền nhau ta có 10  k  1 vị trí cho mặt sấp tức là có
C11k  k
cách.
5

N (A)  �C11k  k

Vậy số phần tử của A là
5

N (A)
P( A) 

N()

�C

k
11 k

k 0

10

2

k 0



.

9
64 .

Cách 2 – Phùng Huyền
TH1: Xuất hiện 0 sấp + 10 ngửa: 1 cách
TH2: Xuất hiện 1 sấp + 9 ngửa
Vì khơng xuất hiện 2 mặt sấp liên tiếp nên sẽ có 10 vị trí để xuất hiện mặt sấp như dưới.
1
Vậy có C10 cách

N

N

N

N

N

N

N

N

N

TH3: Xuất hiện 2 sấp + 8 ngửa
Vì khơng xuất hiện 2 mặt sấp liên tiếp nên sẽ có 10 vị trí để xuất hiện mặt sấp như dưới.
2
Vậy có C9 cách
N

N

N

N

N

N

N

N

TH4: Xuất hiện 3 sấp + 7 ngửa
Vì không xuất hiện 2 mặt sấp liên tiếp nên sẽ có 10 vị trí để xuất hiện mặt sấp như dưới.

3
Vậy có C8 cách
N

N

N

N

N

N

N

TH5: Xuất hiện 4 sấp + 6 ngửa
Vì khơng xuất hiện 2 mặt sấp liên tiếp nên sẽ có 10 vị trí để xuất hiện mặt sấp như dưới.
4
Vậy có C7 cách
N

N

N

N

N

N

TH5: Xuất hiện 5 sấp + 5 ngửa
Vì khơng xuất hiện 2 mặt sấp liên tiếp nên sẽ có 10 vị trí để xuất hiện mặt sấp như dưới.
5
Vậy có C6 cách

N
P( A) 

N

N

N

N

1  C101  C92  C83  C74  C65 9

210
64 .

Câu 24. [1D2-4.2-2] Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6 lập được các số có bốn chữ số khác nhau. Lấy
ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số đó có chữ số 4 .
3
A. 4 .

1
B. 4 .

1
C. 3 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

2
D. 3 .
Trang 20 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Lời giải
Chọn D
Ta có:

n     A64

.

Số các chữ số có 4 chữ số khác nhau và có chữ số 4 hình thành từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6
4
là: A5 .
Số các chữ số có 4 chữ số khác nhau và khơng có chữ số 4 hình thành từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 5
4
4
, 6 là: A6  A5 .

A64  A54 2

4
A
3 .
6
Vậy xác suất để lấy được số có chữ số 4 là:
Câu 25.

A   1; 2;...;100
[1D2-5.5-4] Từ tập
chọn ra 3 số ngẫu nhiên. Tính xác suất để 3 số được
chọn là 3 cạnh của một tam giác.

1
A. 2 .

25
C. 132 .

65
B. 264 .

65
D. 132 .

Lời giải
Chọn D
Gọi a, b, c là 3 số chọn được thỏa mãn yêu cầu bài toán. Giả sử a  b  c �2.
Suy ra b  c  1  x

a  b 1  y  c 1  x 1 y  c  2  x  y .


2 x y 100
Ta có c �

c y
Suy ra 98 �

0

x 98 c
y

98 c

b c 1
Vì a �b  c  1 nên b -1�-y

- �c c 2
Từ đó 98 

y

y

c 2

c 50

Số các bộ 3 số tạo thành 3 cạnh của một tam giác bằng số bộ

 c; x; y

và bằng

98 c  y
98  c 98 c  y
�c 2 �
� 98 �
� 50 �c 2
� 98 �c 2
�
�
�
�
1

1

99

c

y


 99  c  y  �
�
�

�
�
�
� ��
��
�
�� � � ��� � ��
c 2 �
y  0 �x  0
�
� c 51 �y 0 �x 0 �
� c 2 �y 0
� c 51 �y 0
�
50

50
� c  1  200  3c  � 98 � c  99   99  c  99  c  98  c  �
 ��
� ��
�
2
2
c 2 �
� c 51 �
�
50
� c  1  200  3c  � 98 � c  99   c  100  �
 ��
� ��

�
2
2
c 2 �
� c 51 �
�
100
1 �50
�
2
3c  203c  200   � c 2  199c  9900  �

�
�
c 51
�
= 2 �c  2

= 60025  19600  79625 .
nA  79625
n  161700
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 21 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

P  A 

Đề Trường A Lần X Năm 2019

65
132 .

Câu 26. [1D2-2.2-3] Cho ngẫu nhiên một số tự nhiên có 2018 chữ số. Tính xác suất để số được chọn là
một số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số trong đó có ít nhất hai chữ số 9 .

16217
2015
�
 0,9 
A. 900
.
16217
2016
�
 0,9 
C. 900
.

1 16217
2015

�
 0,9 
B. 9 900
.
1 16217
2015


�
 0,9 
90
D. 9
.
Lời giải

Chọn B
Xét các biến cố
A : ”số được chọn chia hết cho 9 mà mỗi số trong đó có ít nhất hai chữ số 9 ”.
B : ”số được chọn chia hết cho 9 ”.
C : ”số được chọn chia hết cho 9 mà mỗi số trong đó có ít hơn hai chữ số 9 ”.
n   9.102017
• Số phần tử của khơng gian mẫu  
.
a �0; ai � 0;1; 2;...;9 i 1; 2018
Giả sử số cần lập có dạng a1a 2 ...a 2017 a 2018 với 1
.
• Vì số cần lập chia hết cho
a 2 ...a 2018

có 10

2017

9
9 nên  a1 + a 2 +...+ a 2018  M
.

cách chọn

a1 �0 có 1 cách chọn để  a1 + a 2 +...+ a 2018  M9 .
Do đó

n  B   102017

• Để xác định
TH

n C

.
ta xét 3 trường hợp:

1 : Số đó chia hết cho 9 và khơng có chữ số 9 .
a1 �0 có 8 cách chọn.
a 2 ...a 2017

2016
có 9
cách chọn.

a2018 �9 có 1 cách chọn để  a1 + a 2 +...+ a 2018  M9 .
2016
Do đó có 8.9
số thỏa mãn.

TH 2 : Số đó chia hết cho 9 và có duy nhất một chữ số 9 ở vị trí a1 .
a 2 ...a 2017

2016
có 9
cách chọn.

a2018 có 1 cách chọn.
2016
Do đó có 9
số thỏa mãn.

TH 3 : Số đó chia hết cho 9 và có duy nhất một chữ số 9 nhưng khơng ở vị trí a1 .
Có 2017 cách chọn vị trí cho chữ số 9 .
2015
Với 2017 chữ số còn lại, tương tự TH 1 ta được 8.9
cách chọn.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 22 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

2015
Do đó có 2017.8.9
số thỏa mãn.

Vậy nên

n  C   8.92016  92015  2017.8.92015 16217.92015

.

n A  n  B   n  C   102017  16217.92015
• Vì B  A �C ; A �C  � nên  
.

Vậy

p  A 

n  A  102017  16217.92015 1 16217
2015

 
�
 0,9 
2017
n  
9.10
9 900

.

Câu 27. [1D2-2.2-3] Cho A là tập các số tự nhiên có 2019 chữ số. Lấy một số bất kỳ của tập hợp A .
Tính xác suất để lấy được số lẻ và chia hết cho 9 .
1
1

625
1
A. 18 .
B. 9 .
C. 20 .
D. 1701 .
Lời giải
Chọn A
Cách 1 :
• Các phần tử thuộc tập A có dạng a1a2 a3 ...a2019 .
a1 có 9 cách chọn  a1 �0  .
a2 có 10 cách chọn.
......................
a2019 có 10 cách chọn.
2018
Vậy tập A có 9.10
phần tử.

• Chia tập A ra thành các tập con không giao nhau mà mỗi tập con có 18 phần tử là các số tự
nhiên liên tiếp, bắt đầu từ số 100...000 với 2018 chữ số 0 . Khi đó, trong mỗi tập con sẽ có
duy nhất một số lẻ chia hết cho 9 .
9.102018
 5.102017
18
Số các tập con như vậy là
.
Vậy xác suất để chọn ra một số tự nhiên từ tập A sao cho số đó là số lẻ và chia hết cho 9 là
5.102017 1

9.10 2018 18 .

Cách 2 :
• Các phần tử thuộc tập A có dạng a1a2 a3 ...a2019 .
a1 có 9 cách chọn  a1 �0  .
a2 có 10 cách chọn.
......................
a2019 có 10 cách chọn.
2018
Vậy tập A có 9.10
phần tử.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 23 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

• Xét các phần tử thuộc tập A là số lẻ và chia hết cho 9 .
a2019 có 5 cách chọn từ tập  1;3;5; 7;9 .
a2 ;...; a2018 mỗi chữ số có 10 cách chọn từ tập  0;1; 2;...;9 .
Với mỗi cách chọn a2 ; a3 ;...;a 2019 ta có duy nhất một cách chọn a1 �0 để số tìm được là số chia
hết cho 9 .
Vậy có 1.10

2017

.5 số lẻ chia hết cho 9 trong tập A .

1.102017.5 1

2018
18 .
Vậy xác suất cần tìm là 9.10
Ngày 11/ 02/ 2019
Câu 28. [1D2-2.2-3] Xếp ngẫu nhiên 15 quyển sách khác nhau gồm 5 sách Tốn và 10 sách Văn lên
một giá sách ngang có 3 ngăn (các sách được xếp dựng đứng, 1 hoặc 2 ngăn bất kì có thể
trống). Tính xác suất sao cho mỗi ngăn khơng có sách Tốn xếp cạnh nhau.
36
37
99
55
A. 476 .
B. 91 .
C. 476 .
D. 91 .
Lời giải
Chọn C
Cách 1 : Dùng kết quả bài toán chia kẹo Euler.
Gọi A là biến cố :” mỗi ngăn khơng có sách Tốn xếp cạnh nhau”.
• Tính

n  

.

Số cách phân phối số lượng 15 quyển sách vào 3 ngăn là số nghiệm ngun khơng âm của
phương trình
x  y  z  15 �  x  1   y  1   z  1 18

.

2
Có C17 cách phân phối số lượng thỏa mãn.

Với mỗi cách phân bố về số lượng sẽ có 15! cách sắp xếp vị trí.
Vậy

n     C172 .15!

* Tính

n  A

.

.

C2 .10!
+ Xếp 10 sách Văn vào 3 ngăn: Tương tự như trên có 12
cách.
+ Xếp 5 sách Tốn: 10 sách Văn và 2 vách ngăn giữa của giá sách tạo thành 12 “vách ngăn”.
A5
Nên xếp 5 sách Toán vào 5 trong 13 khoảng trống tạo bởi 12 “vách ngăn’ này sẽ có 13 cách.
Nên

n  A   C122 .10!. A135

.

Vậy xác suất của biến cố A là

p  A 

C122 .10!. A135
99

2
C17 .15!
476 .

Cách 2 :

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 24 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Yêu cầu của bài toán tương đương với q trình xếp sách Tốn, Văn và hai vách ngăn thành
một hàng ngang (hai vách ngăn có vai trị như nhau) sao cho khơng có 2 sách Tốn nào đứng
cạnh nhau.
Số phần tử của khơng gian mẫu là

n   

17!
2! .

Gọi A là biến cố: ”không có hai cuốn Tốn nào đứng cạnh nhau”.

12!
Số cách xếp 10 sách Văn và 2 vách ngăn thành một hàng ngang là 2! cách.
Khi đó để khơng có 2 sách Toán nào đứng cạnh nhau, cần xếp 5 sách Toán vào 13 khoảng
trống (bao gồm 11 khe tạo bởi sách Văn, vách ngăn và 2 đầu hàng) trong đó, mỗi sách Tốn
A5
chỉ vào đúng 1 vị trí. Có 13 cách xếp như vậy.
Nên số phần tử của biến cố A là

n  A 

12! 5
. A13
2!
.

12! 5
�
A13
99
p  A  2!

17!
476
2!
Xác suất cần tìm và xác suất của biến cố A bằng nhau và cùng bằng

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 25 Mã đề X