VDC-WORD BÀI TRÊN NHÓM-Số-Phức-P1

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

SỐ PHỨC
Câu 1:

Cho z1 , z2 là hai trong các số phức

z

. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
có phương trình
A.

( x − 10) + ( y − 6)
2

2

2

w = z1 + z2

= 36 .

B.

z

Cho số phức

Câu 3:

2.

Cho số phức
A.

Câu 4.

Gọi

53

z

B.

z

thỏa mãn

.

Câu 6.

Cho số phức

w=

không phải là số thực và

2 2.

C.

thỏa mãn

D. 8 .

≈ 7,8

.

C.

2 265 .
P=

D.

2z + i
z , với

M
=2
C. m
.

z + z + z − z = 4 . Gọi M , m

A.

A ∈  4;3 3

B.

A∈

(

34 ;6

).

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số

z + z + z − z = z2

và

C.

m

≈ 8,8 .

z

là số phức khác

0

M 5
=
D. m 3 .

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

P = z − 2 − 2i . Đặt A = M + m . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

điều kiện

.

z
2 + z 2 là số thực. Giá trị lớn nhất

của

).

= 16
2

2.

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

z

2

là

M
và thỏa mãn z ≥ 2 . Tính tỷ số m .
M
M 4
=3
=
A. m
.
B. m 3 .
Câu 5.

2

z + 1 − i + z − 3 + i = 6 . Tìm giá trị lớn nhất của P = z − 4 + 4i .

B.

M và m

( x − 10 ) + ( y − 6 )

là đường trịn

 5  3 9
x− ÷ + y− ÷ = .

D. 
2  2 4

M = z + 1− i

của biểu thức
A.

thỏa mãn

Oxy

trong mặt phẳng tọa độ

2

2

 5  3
x− ÷ + y− ÷ = 9.
C. 
2  2
Câu 2:

z − 5 − 3i = 5 , đồng thời z1 − z2 = 8

thỏa mãn điều kiện

(

A∈ 2 7 ; 33

).

để có đúng 4 số phức

D.

z

(

A∈ 6; 42

).

thỏa mãn đồng thời các

z = m.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 1 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

A.
Câu 7.

Cho số phức
A.

Câu 8.

{ 2;2 2} .

 2;2 2  .



B.

z

z=

có

1
2 và số phức

3.

Đề Trường A Lần X Năm 2019

C.

a b
z=− − i

Biết số phức
c c (với a , b ,

D.

w

c

iz − (1 + 3i ) z
2
= z
tối giản) thỏa mãn
. Khi đó giá trị của
1+ i
A.
Câu 9.

26 .

Cho số phức

z thoả mãn

A. 10 .
Câu 10.

số phức

Câu 11.

z, w

5.

thỏa mãn

A. 4.

45 .
bằng

2 10 .

.

C.

H.

S = 4π

.

D.

S = 16π

.

a , biết rằng phương trình z 4 + az 2 + 1 = 0 có bốn nghiệm

2
1

2
2

2
3

C. 1.

D. 3.

A. 4.

z

C. 1.

(

2

thỏa mãn
B. 2.

z1 + 3z2
B.

)

D. 3.

z − 1 + z − z i + z + z i 2019 = 1 ?

Câu 14. Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn
giá trị nhỏ nhất của

nhất của

M + m là:
B. 4 .

Câu 13. Có bao nhiêu số phức

z1 , z2 ,

2
4

z thỏa mãn z ≥ 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

z+i
z thì tổng

5 − 21 .

D.

( z + 4) ( z + 4) ( z + 4) ( z + 4) = 441 ?

A. 2 .

A.

10 .

của hình

B. 2.

Câu 12. Cho số phức

T=

S = 12π

B.

Có bao nhiêu số số thực

D.

z = 3 , z − w = 1 . Biết tập hợp điểm biểu diễn của

thay đổi thỏa mãn

.

90 .

C.

w là hình phẳng H . Tính diện tích S

S = 20π

z3 , z4

C.

a là:

z − 1 − i + z − 3 − 2i = 5 . Giá trị lớn nhất của z + 2i
B.

Cho hai số phức

A.

9.

B.

( 2;2 2 ) .

1 1
1

+ =
thỏa mãn z w z + w . Tính mơ đun của số phức w .
1
1
C. 2 .
D. 3 .
a b
,
là những số tự nhiên khác 0 và c c là các phân số

2.

B.

{ 2} .

C. 1.

D. 3.

( z − 6 ) ( 8 + zi ) là số thực. Biết rằng

z1 − z2 = 4 ,

bằng

20 − 4 21 .

C.

20 − 4 22 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D.

5 − 22 .

Trang 2 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 15. Cho hai số phức

z1 , z2

thỏa mãn

Đề Trường A Lần X Năm 2019

z1 − z2 − 9 − 12i = 3

và

S

A.

lần

Khi đó giá trị

B. 223.
D. 225.

là tập hợp các số thực

m để phương trình z 2 + 3z + m2 − 2m = 0 có một nghiệm phức z0

z0 = 2. Tổng tất cả các phần tử trong S

với

M ,m

bằng

A. 220.
C. 224.
Câu 16. Gọi

. Gọi

P = z1 + 2 z2 + 12 − 15i .

lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

M 2 − m2

z1 − 3 − 20i = 7 − z2

2.

B.

Câu 17. Trong mặt phẳng

là

3.

C.

Oxy , gọi ( H )

4.

D.

6.

là phần hình phẳng chứa điểm biểu diễn số phức

z

thỏa mãn:

z
16

16 và z đều có phần thực và phần ảo thuộc đoạn [ 0; 1] . Biết diện tích của ( H ) là S = a − bπ

( a, b ∈ ¡ ) . Tính P = a + b .
A.

P = 224 .
A, B, C

Câu 18. Gọi

phức

z

để

B.

∆ ABC

a

2

z1 , z2 , z3

.

Câu 20. Cho số phức

C.

P = 256 .

z, z 2 , z 3 ( z ∈ £ ) . Có bao nhiêu số

2.

D.

4.

z1 = z2 = z3 = a .

đôi một khác nhau thỏa mãn

B.

.

C.

3 z − z1 = 3 z − z2 = z1 − z2

b− a = 5 3.

Câu 21. Cho số phức

B.

b− a = 2 3 .

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

z + 1 − 3i + z − 1 + i

9a

2

B.

z

)

. Tính
C.

9 2
a
D. 4 .

.

(trong đó

a, b ∈ ¡ , b > 1 )

b− a.

b− a = 4 3.

và thỏa mãn

là

b− a = 3 3.

D.

z − 4 − 3i = 5 .

Tính

P = a+ b

đạt giá trị lớn nhất.

P = 10 .

Câu 22. Cho số phức

4a

2

z = 1 + i . Biết rằng tồn tại các số phức z1 = a + 5i, z2 = b

thỏa mãn bằng

A.

D.

S = z1 - z2 z2 - z3 + z2 - z3 z3 - z1 + z3 - z1 z1 - z2 . Giá trị nhỏ nhất của S

Đặt

A.

P = 320 .

vuông.
B.Vô số.

Cho ba số phức

A.

C.

lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức

A. 1 .
Câu 19.

P = 160 .

thỏa mãn

P = 4.

C.

P= 6.

D.

P = 8.

z = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z − 4 + 2 z − 3 + 2i .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 3 Mã đề X

khi


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

A.

P= 4 2.

B.

z

Câu 23. Cho số phức

P= 2.

thỏa mãn

Đề Trường A Lần X Năm 2019

C.

P = 2 5.

4 z + 3i = 4 z − 4 + 5i .

P= 3.

D.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = z + i + z − 3i .
A.

min P = 2 2 .

Câu 24. Cho số phức

B.

z = a + bi ( a, b∈ ¡ )

S = a+ b.
A. S = − 3 .

B.

Câu 25. Xét số phức z =
giá trị lớn nhất.
A.

P= 4.

B.

z1

và

z2

Câu 27. Cho số phức

C.

và

min P = 5 .

D.

z− 6

S = 5.

lớn nhất. Tính

S = 11 .

D.

z = 1 . Tính P = 2a + 4b 2

P = 2.

z3 − z + 2

khi

số phức

z

thỏa mãn

z1 − z2

z1 , z2 ,

Câu 30. Cho ba số phức

thỏa mãn

5
D. 4 .

z 3 = 18 + 26i . Tính T = ( z − 2 ) + ( 4 − z )
2

C.

0.

B.

z = 2.

z

thỏa mãn

B.

C.

là
D.

z = 1.

z1 − 4 − 5i = z2 − 1 = 1 và z + 4i = z − 8 + 4i

P = z − z1 + z − z2

41 .

z =2 2.

2

D. 1 .

z.  ( 3 + 4i ) z − 4 + 3i  − 5 2 = 0 . Giá trị của z

khi biểu thức

2 5.

2
C. 4 .

2.

B.

z = 2.

Tính

.

đạt giá trị nhỏ nhất.
C. 8 .

D.

6.

z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 0 . Tính giá trị biểu thức

K = z12 + z22 + z32 .
A.

K = 2.

đạt

P = 2+ 2 .

D.

z1 = 3, z2 = 4, z1 − z2 = 41 . Xét

thoả mãn

z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ )

Câu 29. Cho các số phức

A.

thỏa mãn

P = 2− 2 .

min P = 5 2 .

z − 4 + z + 4 = 10
C.

3 3
B. 8 .

4.

Câu 28. Cho số phức
A.

S = − 5.

C.

z1
= a + bi, ( a, b ∈ ¡ )
z1
. Khi đó b bằng:

3
A. 8 .

A.

thoả mãn:

a + bi,( a, b ∈ ¡ , b > 0)

Câu 26. Cho hai số phức

z=

min P = 2 5 .

B.

K = − 1.

C.

K = 0.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D.

K = 1.

Trang 4 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

[2D4-3.1-3] Cho

z1 , z2

z

là hai trong các số phức

thỏa mãn điều kiện

thời

z1 − z2 = 8 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w = z1 + z2

Oxy

là đường trịn có phương trình

A.

( x − 10) + ( y − 6 )
2

2

2

= 36 .

B.

2

( x − 10) + ( y − 6 )
2

2

 5  3
x− ÷ + y− ÷ = 9.
C. 
2  2

z − 5 − 3i = 5 , đồng

trong mặt phẳng tọa độ

2

= 16

.

2

 5  3 9
x− ÷ + y− ÷ = .
D. 
2  2 4
Lời giải

Chọn A

z = x + yi, ( x, y ∈ ¡

A, B

Gọi

bán kính

)

z − 5 − 3i = 5 ⇔ ( x − 5) + ( y − 3) = 25 ( C )
2

là các điểm biểu diễn của

2

z1 , z2 . Khi đó A , B

.

thuộc đường tròn

( C)

tâm

I ( 5;3)

tâm

I ( 5;3)

R = 5 và AB = z1 − z2 = 8 .

Gọi

H

kính

R1 = 3

là trung điểm của

AB ⇒ IH = 3 ⇒

tập hợp

H

là đường tròn

( C1 )

.

M

là tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức

⇒

Tập hợp

M

là đường tròn ảnh của

( C1 )

uuuur uuur uuur uuur
w = z1 + z2 ⇒ OM = OA + OB = 2OH

qua phép vị tự tâm

O ( 0;0 )

tỉ số

k=2

.
.

V( O;2) ( C1 ) = C ′ ⇒ R′ = 2R1 = 6 .
V( O;2) I = I ′ ⇒ I ′ ( 10;6 )

⇒

phương trình

.

( x − 10) + ( y − 6 )
2

2

= 36

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5 Mã đề X

bán


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 2:

[2D4-4.1-3] Cho số phức
lớn nhất của biểu thức
A.

z

M = z + 1− i

2.

B.

z

thỏa mãn

Đề Trường A Lần X Năm 2019

w=

không phải là số thực và

z
2 + z 2 là số thực. Giá trị

là

2 2.

D. 8 .

2.

C.
Lời giải

Chọn B
Cách 1

w=

Do

⇒

z
2 + z 2 là số thực ⇒ w = w

(

)

(

) (

2

⇔ z =2

(vì

)

z khơng là số thực nên z − z ≠ 0 ) ⇔ z = 2

Gọi

z′ = z + 1 − i ⇒ z = z ′ − 1 + i = 2

Gọi

M ( x; y ) là điểm biểu diễn của số phức. ⇒ ( x − 1) + ( y + 1) = 2

⇒

)(

2
z
z
2
=
⇔ 2 z + z.z = 2 z + z 2 .z ⇔ 2 z − z = z.z z − z ⇔ z − z z − 2 = 0
2
2
2+ z 2+ z

2

Tập hợp điểm biểu diễn số phức

Vậy

z′

2

là đường tròn tâm

I = ( 1; − 1) , bán kính R = 2

Max z ′ = Max z + 1 − i = OI + R = 2 2 .

Cách 2

w=

Do

z
2 + z 2 là số thực

⇒ w= w
⇒

(

)

(

) (

)(

)

2
z
z
2
=
⇔
2
z
+
z
.
z
= 2 z + z 2 . z ⇔ 2 z − z = z. z z − z ⇔ z − z z − 2 = 0
2
2
2+ z 2+ z

2

⇔ z =2

Ta có

(vì

z không là số thực nên z − z ≠ 0 ) ⇔ z = 2

z′ − 1 + i ≤ z + 1 − i = 2 + 2 = 2 2 ⇔ M ≤ 2 2 .

Cách 3
Gọi

P ( x; y )

Do

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

Do

w=

biểu diễn cho số phức

)

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

không là số thực nên

)

y≠ 0

z
z
1
=
⇔ a.z = z 2 + 2 ( a ∈ ¡
2 là số thực. Gọi
2
2+ z
2+ z a

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

)
Trang 6 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

a.z = z 2 + 2 ⇔ a ( x + yi ) = ( x + yi ) + 2 ⇔ ax + ayi = x 2 − y 2 + 2 xyi + 2
2

 x 2 − y 2 + 2 − ax = 0  x 2 − y 2 + 2 − ax = 0
⇔
⇔
2

xy
−
ay
=
0

a = 2 x

⇒ − x2 − y 2 + 2 = 0 ⇔ x2 + y 2 = 2

⇒

Tập hợp điểm biểu diễn số phức

Gọi

Câu 3:

z

là đường trịn tâm

O , bán kính R = 2 .

N = ( − 1;1) . Ta có z + 1 − i = PN ⇒ Max z + 1 − i = ON + R = 2 2 .

z

[2D4-4.1-4]Cho số phức

thỏa mãn

z + 1− i + z − 3 + i = 6 .

Tìm giá trị lớn nhất của

P = z − 4 + 4i .
A.

53

.

B.

≈ 7,8

.

C.

2 265 .

D.

≈ 8,8 .

Lời giải
Chọn B

Đặt

z=

z0
+ 1.
− 4 − 2i

Khi đó:

z + 1− i + z − 3 + i = 6 ⇔

z0
z0
+ 2− i +
− 2 + i = 6 ⇔ z0 − 10 + z0 + 10 = 12 5
.
− 4 − 2i
− 4 − 2i

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Nên với

M ( x; y )

biểu diễn cho số phúc

Đề Trường A Lần X Năm 2019

z0 . M ∈ ( E ) nhận 2 tiêu điểm A ( − 10;0 ) , B ( 10;0 ) đó

2a = 12 5 ⇒ a = 6 5 , tiêu cự : AB = 2c = 20 ⇒ c = 10 , b = 4 5 .

độ dài trục lớn :

( E) :
Phương trình của

x2

+

y2

( 6 5) ( 4 5)
2

2

=1
.

z0
z + 20 − 10i z0 + 20 − 10i

+ 1 − 4 + 4i = 0
=
− 4 − 2i
− 4 − 2i
2 5

P = z − 4 + 4i =

Gọi

C ( − 20;10 )

là điểm biểu diễn số phức

Vậy

MCmax

MC phải cắt trục lớn của ( E )

thì

− 20 + 10i
và cắt

⇒ P=

( E)

MC

2 5

tại đểm

(

M 6 5;0

)

⇒ MCmax ≈ 34,88 ⇒ Pmax ≈ 7,8

Câu 4.

[2D4-5.2-3] Gọi

M và m

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

M
phức khác 0 và thỏa mãn z ≥ 2 . Tính tỷ số m .
M
M 4
M
=3
=
=2
A. m
.

B. m 3 .
C. m
.
Lời giải

P=

2z + i
z , với

z

M 5
=
D. m 3 .

Chọn D
Ta có:

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8 Mã đề X

là số


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

P=

2z + i 2z + i 2 z + i
1 5
=
≤
= 2+ ≤
z
z
z
z 2 . Dấu bằng xảy ra khi

P=

2z + i 2z + i 2 z − i
1 3
=
≥
= 2− ≥
z
z
z
z 2 . Dấu bằng xảy ra khi

z = 2i . Suy ra
z = − 2i .

M=

Suy ra

5
2.

m=

3
2.

M 5
=
Vậy m 3 .
Câu 5.

[2D4-5.1-4] Cho số phức
và nhỏ nhất của
A.

A ∈  4;3 3

z

thỏa mãn

z + z + z − z = 4 . Gọi M , m

lần lượt là giá trị lớn nhất

P = z − 2 − 2i . Đặt A = M + m . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

).

B.

A∈

(

34 ;6

).

C.

(

A∈ 2 7 ; 33

Lời giải

).

D.

(

A∈ 6; 42

).

Chọn B
Giả sử

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

Ta có

z + z + z − z = 4 ⇔ x + yi + x − yi + x + yi − x + yi = 4 ⇔ x + y = 2 . Suy ra
K

hình vng

là khoảng cách từ

Từ hình vẽ, ta thấy

Câu 6.

thuộc

ABDC .

P = z − 2 − 2i

Vậy

) , có điểm biểu diễn K ( x; y ) .

I ( 2;2 )

đến

K.

min P = IH = 2 , max P = IC = ID = 2 5 .

A= M + m= 2 5+ 2∈

(

34;6

).

[2D4-5.1-3] Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số
đồng thời các điều kiện

z + z + z − z = z2

và

m

để có đúng 4 số phức

z

thỏa mãn

z = m.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 9 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

A.

{ 2;2 2} .

B.

 2;2 2  .



Đề Trường A Lần X Năm 2019

C.

{ 2} .

Lời giải

D.

( 2;2 2 ) .

Chọn A
Gọi

z = x + yi ( x, y∈ ¡ ) .

 2 x + 2 yi = z
 2 2
2
Từ điều kiện đề bài ta có:  x + y = m

2

⇔


m2
x
+
y
=
( 1)

2

 x 2 + y 2 = m2 ( 2 )


m2 2
Phương trình ( 1) là phương trình của hình vng có tâm là gốc tọa độ và độ dài cạnh là 2 ,
Phương trình

( 2)

là phương trình của đường trịn có tâm là gốc tọa độ và bán kính là

m.

Số số phức cần tìm chính là số giao điểm của hình vng và đường trịn.
Để có đúng 4 số phức thỏa mãn thì phải xảy ra hai trường hợp sau:
TH1: Hình vng nội tiếp đường trịn như hình vẽ.

m2
⇔ m=
⇔ m= 2
u cầu bài tốn
(dễ thấy
2

m ≠ 0)

TH2: Hình trịn nội tiếp hình vng.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 10 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Yêu cầu bài toán

Vậy
Câu 7.

{

m ∈ 2;2 2

m2

⇔ m=

2 2 ⇔ m= 2 2.

}.

[2D4-3.3-3] Cho số phức
của số phức
A.

Đề Trường A Lần X Năm 2019

z

có

z=

1
2 và số phức

w

1 1
1
+ =
thỏa mãn z w z + w . Tính mơ đun

w.

3.

B.

2.

Lời giải

1
C. 2 .

1
D. 3 .

Chọn C

1 1
1
+ =
Ta có z w z + w , điều kiện w ≠ 0 .
1 1

1
2
+ =
z
+
w
= z.w
(
)
z w z+ w ⇔

⇔
Câu 8.

z
1
 =− +
2
w
z
1
 =− −
2
w

3
i
2
3
i

2

⇒

2

⇔ z 2 + z.w + w2 = 0 ⇔

 z
1
 =− +
2
w

 z = −1−
w
2


z z
 ÷ + + 1 = 0 (vì
w≠ 0)
 w w

3
i =1
2
3
i =1
2

⇒

w= z=

a b
z=− − i
[2D4-3.3-3] Biết số phức
c c (với a , b ,

c

1
2.

là những số tự nhiên khác

iz − (1 + 3i) z
2
= z
các phân số tối giản) thỏa mãn
. Khi đó giá trị của
1+ i
A.

26 .

B.

9.

C.
Lời giải

90 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

0

a b
,
và c c là

a là:
D.

45 .

Trang 11 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Chọn D

a
b

z = x + yi, x = − < 0, y = − < 0
Đặt
c
c .
Ta có

iz − (1 + 3i) z
2
= z
1+ i

(

⇔ i ( x + yi ) − (1 + 3i ) ( x − yi ) = (1 + i) x 2 + y 2

)

⇔ xi − y − x + yi − 3xi − 3 y = x 2 + y 2 + ( x 2 + y 2 ) i
45

x
=
−

26
2
2
⇔
.


− x − 4y = x + y
 x − 5y = 0
9
⇔
⇔


y=−
2
2
2

26
 − 2x + y = x + y
 − 9 y = 26 y
Suy ra
Câu 9.

a = 45, b = 9, c = 26

thỏa mãn.

[2D4-5.1-3] Cho số phức
bằng

z

A. 10 .

5.

B.

thoả mãn

z − 1 − i + z − 3 − 2i = 5 . Giá trị lớn nhất của z + 2i

10 .

C.

D.

2 10 .

Lời giải

Chọn B

Gọi

z = x + yi , ( x, y ∈ ¡ )

Ta có:

⇔

có điểm

M ( x; y )

biểu diễn

trên mặt phẳng tọa độ.

z − 1 − i + z − 3 − 2i = 5

( x − 1) + ( y − 1)
2

2

+

( x − 3) + ( y − 2 )
2

2

= 5

( 1) .

A ( 1;1) , B ( 3;2 ) thì từ ( 1) ta có: AM + BM = 5
uuur
Mặt khác AB = ( 2;1) ⇒ AB = 5 ( 3 ) .
Đặt

Nên từ

z

( 2)

và

( 3)

Ta lại có: z + 2i =

suy ra

M

thuộc đoạn thẳng

( 2) .

AB .

x 2 + ( y + 2 ) = MC , với C ( 0; − 2 ) .
2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 12 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Nhận xét rằng
Câu 10.

·
CAB

là góc tù (hoặc quan sát hình vẽ) ta có

[2D4-1.2-3] Cho hai số phức
biểu diễn của số phức
A.

S = 20π

.

Đề Trường A Lần X Năm 2019

z, w

thay đổi thỏa mãn

z = 3 , z − w = 1 . Biết tập hợp điểm

w là hình phẳng H . Tính diện tích S
B.

S = 12π

.

C.
Lời giải

S = 4π

z + 2i max = CB = 5 .

của hình

.

H.
D.

S = 16π

.

Chọn B

Gọi

M ,N

Từ giả thiết
Ta có
Do

lần lượt là các điểm biểu diễn

và

w trong mặt phẳng Oxy .

z = 3 , z − w = 1 suy ra OM = 3 và MN = 1 .

OM − MN ≤ ON ≤ OM + MN ⇒ 2 ≤ ON ≤ 4 .

w = ON ⇒ N

⇒H

z

thuộc hình vành khăn

là hình vành khăn giới hạn bởi hai đường trịn bán kính lần lượt là

⇒ S H = π R 2 − π r 2 = π .42 − π .22 = 12π

r = 2, R = 4.

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 13 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Ngày 05/03/2019
Câu 11.

[2D4-4.1-4] Có bao nhiêu số số thực

z1 , z2 , z3 , z4

thỏa mãn

A. 4.

a , biết rằng phương trình z 4 + az 2 + 1 = 0 có bốn nghiệm

( z + 4) ( z + 4) ( z + 4) ( z + 4) = 441 ?
2
1

2
2

2
3

2
4

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Lời giải

Đặt

f ( z ) = z 4 + az 2 + 1 = ( z − z1 ) ( z − z2 ) ( z − z3 ) ( z − z4 ) .
4

2
M = ( z12 + 4 ) ( z22 + 4 ) ( z32 + 4 ) ( z42 + 4 ) = ∏  zi2 − ( 2i ) 


Ta có
i =1

M =  ( z1 − 2i ) ( z2 − 2i ) ( z3 − 2i ) ( z4 − 2i )   ( z1 + 2i ) ( z2 + 2i ) ( z3 + 2i ) ( z4 + 2i ) 

M = f ( 2i ) . f ( − 2i ) .
Mà

f ( 2i ) = ( 2i ) + a ( 2i ) + 1 = 17 − 4a ; f ( − 2i ) = ( − 2i ) + a ( − 2i ) + 1 = 17 − 4a .
4

2

4

2

 a = −1
M = ( 17 − 4a ) = 441 ⇔  19
a = .
Suy ra

2
2

Ngày 04/03/2019
Câu 12. [2D4-5.1-3] Cho số phức
nhất của

T=

z thỏa mãn z ≥ 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

z +i
z thì tổng
B. 4 .

A. 2 .

M + m là:
Lời giải

C. 1.

D. 3.

Chọn A
Cách 1:

Ta có

T = 1+

1 1
i
≤
z
2.
z và

Áp dụng tính chất

z1 − z2 ≤ z1 + z2 ≤ z1 + z2

 z1 = 0

  z1 ≠ 0

Dấu = thứ nhất xảy ra khi và chỉ khi   ∃ k ≤ 0, k ∈ R, z2 = kz1
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 14 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

 z1 = 0

  z1 ≠ 0

Dấu = thứ hai xảy ra khi và chỉ khi   ∃ k ≥ 0, k ∈ R , z2 = kz1

Ta có

1−

i
i
1
1
≤ T ≤ 1 + ⇔ 1− ≤ T ≤ 1+
z
z
z
z .

1 1
1
1 1
3
≤

1
−
≤
T
≤
1
+
⇔
≤
T
≤
Kết hợp với z 2 ta được
2
2 2
2.

Tmax

Tmin

k ≥ 0, k ∈ R

1
i

⇔ k =
 = k .1
2

3

z
=
. Khi đó
2 khi  z = 2

z = 2i .

 k ≤ 0, k ∈ R

1
i

⇔ k = −
 = k .1
2

1
z
=
. Khi đó
2 khi  z = 2

z = − 2i .

3 1
M +m= + = 2
Vậy
2 2 .
Cách 2:

Biến đổi

T=

z+i
i
1 1
= 1+ = i − = − i
z
z
z z .

1

 w ≤ ( 1)
2

1
w=

Đặt
z , khi đó T = w − i ( 2 )

1

(1) Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức

R=
w là hình trịn tâm O ( 0;0 ) , bán kính 2

(trừ tâm

O)
(2): Đặt

A ( 0;1) , khi đó T = MA với M

là điểm biểu diễn cho số phức

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

w.

Trang 15 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Từ hình vẽ dễ thấy

1
1
1
w = i ⇒ z = = − 2i
2 khi
2
w
3

1
1
= AM 2 =
w = − i ⇒ z = = 2i
2 khi
2
w

Tmin = AM 1 =
Tmax

3 1
M +m= + = 2
Vậy
2 2 .
Ngày 3/ 3/ 2019

Câu 13. [2D4-2.3-2] Có bao nhiêu số phức
A. 4.

z

(

2

thỏa mãn

)

z − 1 + z − z i + z + z i 2019 = 1 ?

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Lời giải
Chọn D
Giả sử

z = a + bi , ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi .

Ta có:

z − 1 = a − 1 + bi , z − z = 2bi , z + z = 2a .

i 2019 = ( i 2 )

1009

2

Do đó

i = ( − 1)

1009

(

i = −i .

)

z−1 + z− z i+ z+ z i

2019

=1⇔

(

( a − 1)

2

+b

2

)+
2

( 2b )

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

2

.i + 2a ( − i ) = 1

Trang 16 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

 ( a − 1) 2 + b 2 = 1
⇔
⇔
2
⇔ ( a − 1) + b2 + 2 b i − 2ai = 1  2 b − 2a = 0

 a 2 − 2a + b2 = 0

 a = b

 a = 0

 b = 0
 a = 1
⇔
 b = 0  
 b = 1

 2 b 2 − 2 b = 0 ⇔  b = 1 


⇔
 a = 1

 b = − 1.
 a = b
 a = b
Vậy có 3 số phức

z

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 14. [2D4-5.1-4] Giả sử z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn

z1 − z2 = 4 , giá trị nhỏ nhất của z1 + 3z2
A.

5 − 21 .

B.

20 − 4 21 .

( z − 6 ) ( 8 + zi ) là số thực. Biết rằng

bằng
C.

20 − 4 22 .

D.

5 − 22 .

Lời giải
Chọn C

Giả sử z =

x + yi , x, y ∈ ¡

.Gọi

A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1 , z2 . Suy ra

AB = z1 − z2 = 4 .
* Ta có

( z − 6 ) ( 8 + zi )

Theo giả thiết

A, B

=  ( x − 6 ) + yi  .  ( 8 − y ) − xi  = ( 8 x + 6 y − 48) − ( x 2 + y 2 − 6 x − 8 y ) i .

( z − 6 ) ( 8 + zi ) là số thực nên ta suy ra x2 + y 2 − 6 x − 8 y = 0 . Tức là các điểm

thuộc đường tròn

( C ) tâm I ( 3;4) , bán kính R = 5 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 17 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

* Xét điểm
Gọi

H

là trung điểm

HA = HB =

Ta có

AB .

AB
3
= 2 MA = AB = 3
và
⇒
2
4

HM = MA − HA = 1 .

HI 2 = R 2 − HB 2 = 21 , IM = HI 2 + HM 2 = 22 , suy ra điểm M

Từ đó

( C′ )

M

uuur uuur r uuur uuur uuuur
MA + 3MB = 0 ⇔ OA + 3OB = 4OM .

AB thỏa

thuộc đoạn

Đề Trường A Lần X Năm 2019

I ( 3;4 ) , bán kính r = 22 .
uuur uuur uuuur
z1 + 3z2 = OA + 3OB = 4OM = 4OM , do đó z1 + 3z2

thuộc đường trịn

tâm

* Ta có
Ta có

OM min = OM 0 = OI − r = 5 − 22 .

Vậy

z1 + 3z2 min = 4OM 0 = 20 − 4 22 .

Câu 15. [2D4-5.1-4] Cho hai số phức

M ,m

z1 , z2

thỏa mãn

m2

OM nhỏ nhất.

z1 − z2 − 9 − 12i = 3 và z1 − 3 − 20i = 7 − z2

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

trị M 2 −
A. 220.
C. 224.

nhỏ nhất khi

. Gọi

P = z1 + 2 z2 + 12 − 15i . Khi đó giá

bằng
B. 223.
D. 225.
Lời giải

Chọn D

 w − z2 = 3
⇒
 w + 6 − 8i + z2 = 7.
Đặt w = z1 − 9 − 12i
Gọi

A, B

với điểm

lần lượt là hai điểm biểu diễn của hai số phức

M ( − 6;8 ) .

w

 AB = 3

và z2 . Khi đó ta có  AM + OB = 7

⇒ AB + AM + OB = 10 = OM . Suy ra A , B thuộc đoạn OM .

uuur uuuur
uuur uuuur
OA
=
xOM
=
−
6
x
;8
x
OB
= yOM = ( −6 y;8 y ) với x , y∈ [ 0;1] .
(
)
Suy ra
và
 w = − 6 x + 8 xi

Đặt  z2 = − 6 y + 8 yi với x , y∈ [ 0;1] .
Khi đó
Hay

P = − 6 x + 8 xi − 12 y + 16 yi + 21 − 3i .

P=

( − 6 x − 12 y + 21) + ( 8x + 16 y − 3)
2

2

. Đặt

t = x + 2 y, t ∈ [ 0;3] .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 18 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

P = 100t 2 − 300t + 450 .

Khi đó

f ( t ) = 100t 2 − 300t + 450

Khảo sát hàm số

trên đoạn

[ 0;3]

ta được

 3

max f ( t ) = f ( 0 ) = 450 m[ 0;3in] f ( t ) = f  ÷ = 225
,
.
[ 0;3]
 2
Từ đó suy ra

M = 450 , m = 15 . Vậy M 2 − m 2 = 225 .

S

Câu 16. [2D4-4.2-3] Gọi
nghiệm phức
A.

là tập hợp các số thực

m

để phương trình

z0 với z0 = 2. Tổng tất cả các phần tử trong S

2.

B.

3.

C.

z 2 + 3z + m 2 − 2m = 0

có một

là

4.

D.

6.

Lời giải
Chọn C
Cách 1
TH1:

z0 là số thực

 m 2 − 2m + 10 = 0( VN )
 z0 = 2
⇒
z0 = 2 ⇔ 
z
=
−
2
 m 2 − 2m − 2 = 0 ⇔ m = 1± 3
 0

TH2:

z0 không phải là số thực

Vì phương trình

z 2 + 3z + m2 − 2m = 0 ( *)

cũng là nghiệm của
Theo Viet ta có

⇔ ∆ = 9− 4( m2 − 2m ) < 0 ⇔ m 2 − 2m >
có các hệ số thực và

9
(1)
4

z0 là nghiệm của ( *)

nên

z0

( *) .
2

z0.z0 = m 2 − 2m ⇔ 4 = z0 = m2 − 2m

(thỏa (1))

⇔ m2 − 2m − 4 = 0 ⇔ m = 1± 5
Vậy tổng các phần tử của S bằng 4.
Cách 2
Gọi

z0 = a + bi ( a, b ∈ ¡

).

z0 = 2 ⇔ a 2 + b 2 = 4 (1)

z0 là nghiệm của phương trình z 2 + 3z + m2 − 2m = 0 ⇔ ( a + bi ) + 3( a + bi ) + m 2 − 2m = 0
2

 a 2 − b 2 + 3a + m 2 − 2m = 0 (2)
⇔ a − b + 3a + m − 2m + (2ab + 3b)i = 0 ⇔ 
 2ab + 3b = 0 (3)
b = 0
(3) ⇔ 
a = − 3
Ta có

2
2

2

2

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 19 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Với

Đề Trường A Lần X Năm 2019

2
b = 0 . Từ (1) ⇒ a = 4 ⇔ a = ±2 .

b = 0, a = 2 ⇒ ( 2) ⇔ m2 − 2m + 10 = 0 (vô nghiệm)
b = 0, a = −2 ⇒ ( 2) ⇔ m 2 − 2m − 2 = 0 ⇔ m = 1± 3
3
7
a = − ⇒ ( 1) ⇔ b 2 = ⇒ ( 2) ⇔ m 2 − 2m − 4 = 0 ⇔ m = 1± 5
Với
2
4
Vậy tổng các phần tử của

S

bằng

Câu 17. [2D4-1.2-4] Trong mặt phẳng

z

4.

Oxy , gọi ( H )

là phần hình phẳng chứa điểm biểu diễn số phức

z
16
thỏa mãn: 16 và z đều có phần thực và phần ảo thuộc đoạn [ 0; 1] . Biết diện tích của ( H )

là

S = a − bπ ( a, b∈ ¡ ) . Tính P = a + b .

A.

P = 224 .

B.

P = 160 .

C.

P = 320 .

D.

P = 256 .

Lời giải
Chọn A
Gọi

M ( x; y )

là điểm biểu diễn số phức

z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) .

z x y 16 = 16 z = 16 x + 16 y i
= + i
Khi đó: 16 16 16 , z
z. z x 2 + y 2 x 2 + y 2 .
x y

 0 ≤ 16 , 16 ≤ 1

⇔
 0 ≤ 16 x , 16 y ≤ 1
x2 + y 2 x2 + y 2
Điều kiện: 
Suy ra

( H)

0 ≤ x, y ≤ 16
 0 ≤ x, y ≤ 16


2
2
 2 2
⇔
 x + y − 16 x ≥ 0 ( x − 8 ) + y ≥ 64
 x 2 + y 2 − 16 y ≥ 0  x 2 + ( y − 8 ) 2 ≥ 64
.



là một phần của hình vng giới hạn bởi các đường

các điểm nằm trong các hình trịn tâm
hình)

I ( 8;0 )

và tâm

K ( 0;8)

x = 0, y = 0, x = 16, y = 16

cùng có bán kính bằng

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

trừ

8 ( xem

Trang 20 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

1
1

1

S = 162 −  S( I ) + S( K ) + SOITK ÷ = 162 −  π .82 + 82 ÷ = 192 − 32π
Diện tích của ( H ) là
.
4
4

2

Suy ra

a = 192, b = 32

P = a + b = 224 .

và

Ngày 28/ 2/ 2019
Câu 18. [2D4-1.2-4] Gọi

A, B, C

bao nhiêu số phức

z

để

A. 1 .

lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức

∆ ABC

z, z 2 , z 3 ( z ∈ £ ) . Có

vng.

B.Vơ số.

C.

2.

D.

4.

Lời giải
Chọn B
Ta có:

AB = z 2 − z = z . z − 1 , AC = z 3 − z = z . z − 1 . z + 1

,

2

BC = z 3 − z 2 = z . z − 1
Đặt

a = z , b = z − 1 , c = z + 1 , a, b, c > 0

Giả sử tam giác vng tại

A ta có AB 2 + AC 2 = BC 2 ⇔ a 2b 2 + a 2b 2c 2 = a 4b 2 ⇒ 1 + c 2 = a 2

2
2
1 + z + 1 = z ⇔ 2 + x 2 + 2 x + y 2 = x 2 + y 2 ⇔ x = − 1 (trong đó z = x + yi ( x, y ∈ ¡

))

3
2
3
z = − 1 + yi , z 2 = 1 − y 2 − 2 yi , z = ( − 1 + 3 y ) + ( 3 y − y ) i

uuur
uuur
uuur uuur r
2
AB = ( 2 − y ; − 3 y ) , AC = ( 3 y 2 ;2 y − y 3 ) suy ra AB. AB = 0 .

Thử lại ta có
Khi đó

Vậy đến đây có thể kết luận có vơ số số phức
thỏa mãn. (loại điểm A (

− 1;0 )

do

z

có điểm biểu diễn thuộc đường thẳng

x = −1

c > 0)

Ngày 28/ 2/ 2019
Câu 19.

[2D4-5.1-4] Cho ba số phức

a

đôi một khác nhau thỏa mãn

z1 = z2 = z3 = a .

S = z1 - z2 z2 - z3 + z2 - z3 z3 - z1 + z3 - z1 z1 - z2 . Giá trị nhỏ nhất của S

Đặt

A.

z1 , z2 , z3

2

.

B.

4a

2

.

C.

9a

2

.

là

9 2
a
D. 4 .

Lời giải
Chọn C
Gọi

A, B, C

Có

z1 = z2 = z3 = a

lần lượt là điểm biểu diễn các số phức
nên tam giác

ABC

z1, z2, z3 .

nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

R = a.

Trang 21 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Cách 1:

S = AB.BC + BC .CA +CA.AB = 4R 2 ( sinC sin A + sin A sin B + sin B sinC )

= 2 R ( cos ( C − A) − cos ( C + A ) + cos ( A − B ) − cos ( A + B ) + cos (B − C ) − cos ( B + C ) )

≤ 2 R 2 (3 + cos B + cos C + cos A) .
Lại có:

cos A + cos B + cos C = cos A + 2cos

B+C
B−C
cos
2
2
2

B−C  1 2 B−C
3
 A 1

= − 2  sin − cos
+1≤
÷ + cos
2  2
2
2.
 2 2

 3
⇒ S ≤ 2a 2  3 + ÷ = 9a 2 ; S = 9a 2 ⇔ A = B = C ⇔ z1 − z2 = z2 − z3 = z3 − z1
.
 2
Cách 2:
y

A

C
O

x

B

S = AB.BC + BC .CA + CA.AB £ AB 2 + BC 2 +CA 2 .
Đặt

·AOB = 2α , BOC
· = 2β , COA
· = 2ϕ

, ta có

0 < α , β , ϕ < 1800 , α + β + ϕ = 1800

.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác, ta có:

AB 2 + BC 2 +CA 2 = 6a2 - 2a2 ( cos2a + cos2b + cos2j

).

cos2a + cos2b + cos2j = 2cos2 a - 1- 2cosa cos( b - j

)

2

1
3

 1

= 2  cos α − cos ( β − ϕ )  −  cos 2 ( β − ϕ ) + 1 ≥ −
2
2

 2


Dấu

"= "

cos ( β − ϕ ) = 1

⇔
⇔ α = β = ϕ = 600
1
cos α =
xảy ra

2

Vậy giá trị lớn nhất của

S

3
6 a 2 + 2 a 2 . = 9a 2
là
.
2

Ngày 26/ 02 / 2019
Câu 20. [2D4-5.1-2] [2D4-5.1-3] Cho số phức
(trong đó

z = 1 + i . Biết rằng tồn tại các số phức z1 = a + 5i, z2 = b

a, b ∈ ¡ , b > 1 ) thỏa mãn bằng 3 z − z1 = 3 z − z2 = z1 − z2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

. Tính

b− a.

Trang 22 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

A.

b− a = 5 3.

B.

Đề Trường A Lần X Năm 2019

b− a = 2 3 .

C.

b− a = 4 3.

D.

b− a = 3 3.

Lời giải
Chọn D

M ( 1;1) , N ( a;5) , P ( b;0 ) ( b > 1)

Gọi

lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

3 z − z1 = 3 z − z2 = z1 − z2 ⇔ 3.MN = 3.MP = NP

Theo đề bài ta có:

 ( a − 1) 2 + 42 = ( b − 1) 2 + ( − 1) 2

MN
=
MP

⇔
2
2
2
⇔
b
−
a
+

−
5
=
3
a
−
1
+ 42
(
)
(
)
(
)

NP
=
3
MN



(

x = a − 1, y = b − 1( y > 0 )

Đặt

z, z1 , z2 .

)

hệ phương trình trở thành:

 x 2 + 16 = y 2 + 1
⇔
 2
2
 3 ( x + 16 ) = ( x − y ) + 25

2
2
 x − y = − 15
⇔
 2
2
 2 x + 2.xy − y = − 23

2
2
( 1)
 x − y = − 15
 2
2
 7 x + 30 xy + 8 y = 0 ( 2 )

2

x
=

−
y
( 2 ) ⇔ 
7
2
x
=
−
y
 x = −4 y thay vào ( 1) ta thấy chỉ có
7 là thỏa mãn. Khi đó

y2 =

49
7
2
2
⇒ y=
⇒ x = − y = − ⇒ b − a = ( y + 1) − ( x + 1) = y − x = 3 3
.
3
7
3
3

Ngày 26 / 2 / 2019
Câu 21 .

Cho số phức

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

z + 1 − 3i + z − 1 + i
A.

P = 10 .

)

và thỏa mãn

z − 4 − 3i = 5 .

Tính

P = a+ b

đạt giá trị lớn nhất.
B.

P = 4.

C.

P= 6.

D.

P = 8.

Lời giải
Chọn A

+) Gọi

M ( a; b )

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

+) Có:

z − 4 − 3i = 5 ⇔ ( a − 4 ) + ( b − 3) = 5 ⇒ M ∈ ( C ) : ( x − 4 ) + ( y − 3) = 5 .

là điểm biểu diễn số phức
2

).

2

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

2

2

Trang 23 Mã đề X

khi

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

+) Gọi

A ( − 1;3)

là điểm biểu diễn số phức

z2 = 1 − i . Gọi I ( 0;1)

là trung điểm đoạn

Đề Trường A Lần X Năm 2019

z1 = 4 + 3i

và

B ( 1; − 1) là điểm biểu diễn số phức

AB .

⇒ z + 1 − 3i + z − 1 + i = MA + MB .

AB 2 
2
( MA + MB ) ≤ ( 1 + 1) ( MA + MB ) ≤ 2  2MI + ÷
2 .

+) Có

2

2

⇒ z + 1 − 3i + z − 1 + i ≤ 4MI 2 + AB 2

⇒ z + 1 − 3i + z − 1 + i
+) Gọi

J

đạt GTLN khi

là tâm đường tròn

2

.

MI

( C ) , J ( 4;3) ,

+) Phương trình đường thẳng

lớn nhất

⇔ M ≡ F.

R= 5.

IJ : x − 2 y + 2 = 0 . Tọa độ giao điểm của ( C )

và đường thẳng

IJ

 x − 2 y + 2 = 0
 x = 2, y = 2
⇔

2
2
 x = 6, y = 4 .
là nghiệm hệ pt: ( x − 4 ) + ( y − 3) = 5

E ( 2;2 ) , F ( 6;4 ) , có IE > IF . Vậy M ≡ F ( 6;4 ) ⇒ z = 6 + 4i ⇒ P = 10 .
[2D4-5.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z = 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất
+) Gọi

Câu 22.

của biểu thức

P = z − 4 + 2 z − 3 + 2i .
A.

P= 4 2.

B.

P= 2.

C.

P = 2 5.

D.

P= 3.

Lời giải
Chọn A

Gọi

M ( x; y )

Gọi

A ( 4;0 ) , B ( 3; − 2 ) , khi đó P = z − 4 + 2 z − 3 + 2i = MA + 2MB .

là điểm biểu diễn cho số phức

2
2
z , ta có z = 2 ⇔ x + y = 4 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 24 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Ta có

MA =

( x − 4)

2

Đề Trường A Lần X Năm 2019

+ y 2 = x 2 + y 2 − 8x + 16

= x 2 + y 2 − 8x + 4 + 3 ( x 2 + y 2 ) = 4 x 2 + 4 y 2 − 8 x + 4 = 2 ( x − 1) + y 2 = 2ME
2

Thấy

E

nằm trong và

B

nằm ngồi đường trịn

với

E ( 1;0 ) .

( C ) : x2 + y 2 = 4 .

P = MA + 2MB = 2ME + 2MB ≥ 2EB . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi E , M , B
thẳng hàng. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2 EB = 2 4 + 4 = 4 2 .
Ta được

Câu 23. [2D4-5.1-3] Cho số phức

z

thỏa mãn

4 z + 3i = 4 z − 4 + 5i . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = z + i + z − 3i .
A.

min P = 2 2 .

B.

min P = 2 5 .

C.

min P = 5 2 .

D.

min P = 5 .

Lời giải
Chọn B
Đặt

z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) . Từ giả thiết ta có 4 z + 3i = 4 z − 4 + 5i

⇔ 4 x + 4 yi + 3i = 4 x + 4 yi − 4 + 5i ⇔ 4 x + ( 4 y + 3) i = 4 ( x − 1) + ( 4 y + 5 ) i
⇔ 16 x 2 + ( 4 y + 3) = 16 ( x − 1) + ( 4 y + 5) ⇔ 2 x − y − 2 = 0 .
2

2

2

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn các số phức

z

thỏa mãn

∆ : 2 x − y − 2 = 0 . Gọi M ( x ; y ) ∈ ∆ , A ( 0; − 1) , B ( 0;3)

4 z + 3i = 4 z − 4 + 5i

thì

là đường thẳng

P = MA + MB .

A , B nằm cùng phía so với ∆ nên nếu lấy điểm A ' đối xứng với A
nhỏ nhất khi M là giao điểm của A′ B và ∆ . Khi đó min P = A′ B .
Dễ thấy

Phương trình đường thẳng

qua

∆

thì

AA′ : x + 2 y + 2 = 0 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 25 Mã đề X

P