Dang 1. Tìm cực trị của hàm số cho bởi công thức(van dung thap)

Câu 1.

[2D1-2.1-3] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Gọi

A, B,C

là các điểm cực trị của đồ thị hàm số

y = x 4 − 2 x2 + 4 . Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC
A.

2 + 1.

B.

2.

bằng

2 − 1.

C.
Lời giải

D. 1 .

Tác giả: Nguyễn Mạnh Quyền ; Fb:Nguyễn Mạnh Quyền
Chọn C
Cách 1:

x = 0

y′ = 0 ⇔ 
Ta có y ' = 4 x − 4 x . Khi đó
 x = ±1 .
3

Suy ra đồ thị hàm số

y = x4 − 2 x2 + 4

có ba điểm cực trị là

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Mà

AB = AC = 2

và

BC = 2

Phương trình đường thẳng

BC

A ( 0;4 ) , B ( 1;3)

uur

uur

và

C ( − 1;3) .

uur r

ABC , ta có BC.IA + AC.IB + AB.IC = 0 .

 4+ 3 2 
I  0;
÷÷
nên suy ra  1 + 2  .
là

y = 3.

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

là

r = d ( I , BC ) = 2 − 1 .

Cách 2:
Áp dụng công thức tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác

r=

ABC

ta có:

ABC

ta có:

S ABC
( p − a )( p − b)( p − c)
=
= 2 −1
p
p

trong đó

a = BC = 2; b = c = AB = AC = 2 ; p =

a+ b+ c
2

Cách 3:
Áp dụng cơng thức tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác

( − 2)3 + 8.1
A
µ = 900
cosA =
= 0⇒ A

r = ( p − a ) tan = 2 − 1
3
với
.
( − 2) − 8 − 1
2
Câu 2.

[2D1-2.1-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho hàm số

y = x 4 − 2 x 2 + 1 có đồ thị ( C ) .
một tam giác, gọi là
A.

S = 2.

Biết rằng đồ thị

( C)

có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của

∆ ABC. Tính diện tích ∆ ABC.
B.

S = 1.

C.

S=

1
2.

D.

S = 4.


Lời giải
Tác giả: Lê Văn Hùng; Fb: Lê Văn Hùng
Chọn B

x = 0
y′ = 4 x3 − 4 x; y′ = 0 ⇔ 
Ta có
 x = ±1
Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A ( 0;1) , B ( − 1;0 ) , C ( 1;0 )

uuur uuur
 AB. AC = 0
uuur
uuur
⇒
.
AB = ( − 1; − 1) ; AC = ( 1; − 1)
AB
=

AC
=
2

Suy ra
Câu 3.

∆ ABC

[2D1-2.1-3]

1
S = AB. AC = 1.
vuông cân tại A do đó
2
(THPT-n-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho

y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( 7 m − 3) x . Gọi S
hàm số khơng có cực trị. Số phần tử của
A. 2.
B. 4.

hàm

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số

S

m

số
để

là
C. 0.

D. Vô số.

Lời giải
Tác giả: Phạm Minh Thùy; Fb: Phạm Minh Thùy
Chọn B
Xét hàm số

y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( 7m − 3) x

(1)

⇒ y′ = 3x 2 − 6 ( m + 1) x + 3 ( 7m − 3) .
Ta có:

y′ = 0 ⇔ x 2 − 2 ( m + 1) x + 7m − 3 = 0

(2)

Hàm số đã cho khơng có cực trị

⇔

Phương trình

y′ = 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép

⇔ ∆ ′( 2) ≤ 0 ⇔ ( m + 1) − 1. ( 7m − 3) ≤ 0 ⇔ m2 − 5m + 4 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 4 .
2

Do
Câu 4.

m là số nguyên nên m ∈ { 1; 2 ; 3 ; 4 } . Vậy tập S

[2D1-2.1-3] (Ba Đình Lần2) Cho hàm số
đạo hàm liên tục trên
A. 6.

¡

. Khi đó hàm số
B. 4.

y = f ( x)

có 4 phần tử.

có đúng ba điểm cực trị là

y = f ( x 2 − 2 x)
C. 5.
Lời giải

− 2; − 1; 0

và có

có bao nhiêu điểm cực trị?
D. 3.

Tác giả: Phạm Văn Bạn; Fb: Phạm Văn Bạn
Chọn D


Do hàm số

y = f ( x)

f ′ ( x) = 0 có ba nghiệm ( đơn hoặc bội lẻ) là
Đặt

− 2; − 1; 0 và có đạo hàm liên tục trên ¡
x = − 2; x = − 1; x = 0 .

có đúng ba điểm cực trị là

g ( x ) = f ( x 2 − 2 x) ⇒ g ′ ( x ) = ( 2 x − 2 ) . f ′ ( x 2 − 2 x) . Vì f ′ (x)

cũng liên tục trên

2x − 2 = 0
 2
 x − 2x = −2 ⇔
 x2 − 2x = −1


 x 2 − 2 x = 0

¡

. Do đó những điểm

x = 1
x = 0

 x = 2

¡

liên tục trên

nên

nên

g ′ ( x)

g ′ ( x) có thể đổi dấu thuộc tập các điểm thỏa mãn

. Ba nghiệm trên đều là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên hàm số

g (x)

có ba

điểm cực trị.
Câu 5.

[2D1-2.1-3] (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số

f ( x) = x 2 ( x − 1)e3x

F ( x) . Số điểm cực trị của hàm số F ( x) là
B. 2 .
C. 3 .
D. 0 .

có một nguyên hàm là hàm số
A. 1 .

Lời giải

Tác giả: Đồng Anh Tú; Fb: AnhTu
Chọn A
Hàm số

f ( x)

có TXĐ là

¡

, có một nguyên hàm là hàm số

F ( x ) ⇒ F '( x) = f ( x) , ∀ x ∈ ¡

x = 0
⇔
2
3x
x = 1
nên F ′ ( x) = 0 ⇔ f ( x) = 0 ⇔ x ( x − 1)e = 0
.

Ta có bảng xét dấu

F ′ ( x)

như sau

Dựa vào bảng trên, ta thấy hàm số

Câu 6.

F ( x) có một điểm cực trị.

[2D1-2.1-3] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Số điểm cực trị của hàm số

x ∈ ( − π ;π )
A.

2.

y = sin x −

x
4,

là
B.

4.

3.

C.

D.

5.

Lời giải
Tác giả: Đào Văn Tiến; Fb: Đào Văn Tiến
Chọn D


Xét hàm số

y = f ( x ) = sin x −

x
4 với x ∈ ( − π ; π ) .


 π 

 x = x1 ∈  − 2 ;0 ÷
1


f ′ ( x ) = 0 ⇔ cos x = ⇔ 
4 
 π
1
f ′ ( x ) = cos x −
 x = x2 ∈  0; ÷
Ta có
 2 .

4.

f ( x1 ) = sin x1 −

x1
15 x1
15 π
=−
− <−
+ <0
.
4
4 4
4 8

f ( x2 ) = sin x2 −

x2
15 x2
15 π
=
− >
− >0
.
4
4
4
4 8

BBT

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại

ba điểm phân biệt khác

x1 , x2 . Suy ra hàm số

y = sin x −

x
4 , với x ∈ ( − π ; π ) có

5 điểm cực trị.


Câu 7.

[2D1-2.1-3] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Biết phương trình
đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số
A.

4.

B.

ax3 + bx 2 + cx + d = 0 ( a ≠ 0 )

có

y = ax3 + bx 2 + cx + d có bao nhiêu điểm cực trị?

5.

C.

2.

D.

3.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Tâm; Fb: Nguyễn Ngọc Tâm
Chọn D

ax3 + bx 2 + cx + d = 0 , a ≠ 0 là sự tương giao của đồ thị hàm số
ax3 + bx 2 + cx + d = 0 , a ≠ 0 và trục hồnh.

Phương trình

Do phương trình

ax3 + bx 2 + cx + d = 0 , a ≠ 0 có đúng hai nghiệm thực nên phương trình

ax + bx + cx + d =
3

2

0 có thể viết dưới dạng

a ( x − x1 ) ( x − x2 ) = 0 với x1 , x2 là hai nghiệm
2


thực của phương trình (giả sử

x1 < x2 ). Khi đó đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0 )

xúc trục hồnh tại điểm có hồnh độ

Câu 8.

x1 và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ x2 .

Đồ thị hàm số

y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

Đồ thị hàm số

y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) tương ứng là

Vậy đồ thị hàm số

ứng với từng trường hợp

a > 0 và a < 0 :

y = ax3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có tất cả 3 điểm cực trị.

[2D1-2.1-3] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Số điểm cực trị của hàm số
A.

tiếp

0.

B. 1 .

C.

2.

D.

f ( x) =

x2

2tdt
∫ 1 + t 2 là
2x

3.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tình; Fb: Gia Sư Toàn Tâm
Chọn D

Gọi

F ( t)

là nguyên hàm của hàm số

2t
1+ t2 .

f ( x ) = F ( t ) 2 x = F ( x 2 ) − F ( 2 x ) ⇒ f ′ ( x ) = 2 x.F ′ ( x 2 ) − 2 F ′ ( 2 x )
x2

Khi đó:

y=

5
3
8
x
+
4
x
− 8x
2x
4x ⇔ f ′ ( x ) =
= 2 x.
− 2.
( 1 + x4 ) ( 1 + 4 x2 ) .
1 + x4
1 + 4x2

2

f ′ ( x ) = 0 ⇔ 8 x5 + 4 x3 − 8 x = 0 ⇔ 4 x ( 2 x 4 + x 2 − 2 ) = 0


x = 0
x = 0



−1 + 17
−1 + 17
⇔  x 2 =
⇔  x = x1 =

4
2


 x 2 = −1 − 17 < 0 
−1 + 17
 x = x2 = −

4
.

2
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số có

3 điểm cực trị.


Câu 9.

[2D1-2.1-3] (THPT Nghèn Lần1) Trên khoảng
tại
A.

x=

π
6.

B.

x=

π
3.

( 0;π ) , hàm số f ( x ) = x + 2cos x đạt cực tiểu
C.

x=

5π
6 .

D.

x=

2π
3 .

Lời giải
Tác giả: Đinh Thanh ; Fb: An Nhiên
Chọn C
Ta có:

f ' ( x ) = 1 − 2sin x ; f " ( x ) = − 2cos x .

 π

 x = 6 + k 2π
⇔
( k ∈ ¢)
1  5π
f ' ( x ) = 0 ⇔ 1 − 2sin x = 0 ⇔ sin x = 2  x = 6 + k 2π
.

 π 5π 
π 
 5π 
x ∈ ( 0; π ) ⇒ x ∈  ; 
f " ÷ = − 3 < 0 f " ÷ = 3 > 0
Vì
;
 6 6  mà  6 
 6 
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại

x=

5π
6 .


Câu 10. [2D1-2.1-3] (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số
hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số

y = f (− 2 x 2 + 4 x )

3.

A.

f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d

B.

có đồ thị như

là.

4.

C.

2.

D.

5.

Lời giải
Tác giả:Phạm Hồng Hải ; Fb: phamhoang.hai.900
Chọn D
Quan sát đồ thị

f ( x) , ta thấy hàm số có hai điểm cực trị x = − 2; x = 0 vì vậy

f '( x) = 3ax 2 + 2bx + c

có hai nghiệm

x = − 2; x = 0 nên f '( x) = 3a( x + 2) x .

Ta có :

y ' =  f (− 2 x 2 + 4 x)  ' = (− 4 x + 4) f '( − 2 x 2 + 2 x) = (− 4 x + 4)( − 2 x 2 + 4 x)
= 3a (− 4 x + 4)(− 2 x 2 + 4 x)(− 2 x 2 + 4 x + 2)

.

⇔ y ' = − 48ax( x − 2)( x − 1)( x 2 − 2 x − 1) .
x = 0

x = 1
y' = 0 ⇔ x = 2

 x = 1+ 2

 x = 1 − 2 và dấu của

điểm cực trị.

y ' đổi khi x qua mỗi nghiệm trên. Vậy hàm số đã cho có 5

1
1
y = x2 − 3x −
Câu 11. [2D1-2.1-3] (Đặng Thành Nam Đề 15) Biết rằng đồ thị hàm số
2

x có ba điểm
cực trị thuộc một đường trịn
A. 12,4 .

B.

( C ) . Bán kính của ( C )

6,4 .

C.

gần đúng với giá trị nào dưới đây?

4,4 .

D.

27 .

Lời giải
Tác giả: Trần Thế Mạnh ; Fb: thế mạnh
Chọn B
TXĐ:

D = ( −∞ ;0 ) ∪ ( 0; + ∞ )

1 x3 − 3x 2 + 1
y′ = x − 3 + 2 =
x

x2
 x1 ≈ 2,8794

y′ = 0 ⇔ x3 − 3 x 2 + 1 = 0 ⇔  x2 ≈ 0,6527
 x ≈ − 0,5321 .
 3

⇒

Tọa độ các điểm cực trị:

A ≈ ( 2,879; − 4,84 ) , B ≈ ( 0,653; − 3,277 ) , C ≈ ( − 0,532;3,617 ) .


Gọi

( C ) : x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 ( 1)

Thay tọa độ ba điểm

A, B, C

vào

( 1)

là đường tròn đi qua ba điểm cực trị .

ta được hệ phương trình 3 ẩn sau:

 5,758 a − 9,68 b − c ≈ 31, 71
a ≈ 5,374


1,306 a − 6,554 b − c ≈ 11,17 ⇔ b ≈ 1,0833
 − 1,064 a + 7, 234 b − c ≈ 13,37
c ≈ −11, 25



⇒ R ≈ a 2 + b 2 − c ≈ 41,3 ≈ 6,4 ⇒
Câu 12. [2D1-2.1-3]

(THPT

Nghèn

Chọn B
Lần1)

Cho

số y =

hàm

f ( x ) có

đạo

hàm

f ′ ( x ) = ( 3 − x ) ( x 2 − 1) + 2 x, ∀ x ∈ ¡ . Hỏi hàm số y = f ′ ( x ) − x 2 − 1 có bao nhiêu điểm cực

tiểu.
A.

2.

B. 3.

C. 4. D. 1.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Sen; Fb: Nguyễn Thị Sen
Chọn D
Ta có

f ′ ( x ) = − x 3 + 3 x 2 + 3 x − 3 ⇒ y ′ = f ′ ( x ) − 2 x = −3 x 2 + 4 x + 3 .

y′ = 0 ⇔ x =

2 ± 13
3 ;

 2 + 13 
 2 − 13 
y′′ 
÷ = − 2 13 < 0 y′′ 
÷ = 2 13 > 0

3
′y = − 6 x + 4 ;  3 
; 

Suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.

Câu 13. [2D1-2.1-3] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho hàm số
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Hàm số

y=

ax + b
cx + d có đồ thị như hình vẽ.

y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị trái dấu.

B. Đồ thị hàm số

y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.

C. Đồ thị hàm số

y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung.

D. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số

y = ax3 + bx2 + cx + d nằm bên trái trục tung.
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thành Trung ; Fb:Nguyễn Thành Trung

Chọn A


a
a
c < 0
c < 0


− d < 0
d > 0
 c
c
b
b


>
0
⇔

 >0
d

d
 b
b
−
>

0
 a
a< 0


. − bc
. < 0  ad
. − bc
. <0
ad
Từ đồ thị ta có: 

A.

Hàm số

( 1)
( 2)
( 3)
( 4)
( 5)

y = ax3 + bx2 + cx + d có hai điểm cực trị trái dấu

⇔ y' = 3ax2 + 2bx + c có hai nghiệm trái dấu ⇔ 3ac
. < 0 ⇔ ac
. < 0. Đúng với ( 1)
B.

Đồ thị hàm số

Sai Suy ra

y=

d>

y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.
d

0 Chưa đủ để kết luận c

>0

vì ở đây

c> 0 hoặc c< 0 ví dụ như hàm số

− x− 2
x+ 2
−2 2
;y =
= >0
− 3x − 5
3x + 5 rõ ràng − 5 5 .

C.
điểm cực trị nằm bên phải trục tung.
Sai vì

Đồ thị hàm số

y = ax3 + bx2 + cx + d có

hai



 ∆ 'y' > 0
 ∆ 'y' > 0


 2b
b
⇔ − > 0 ⇔  < 0
 3a
a
c
c
 3a > 0
 a > 0 Trái với 1

()

D.
Sai vì

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Hoành độ tâm đối xứng là nghiệm của

y = ax3 + bx2 + cx + d nằm bên trái trục tung.

y'' = 0 ⇔ x = −

b
3a

b
b
< 0⇔ > 0
Yêu cầu của đề hoành độ tâm đối xứng âm nên 3a
Trái với ( 3)
a
−

Câu 14. [2D1-2.1-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Điểm cực tiểu của hàm số

y = − x4 + 5x 2 + 4
A.

y= 4.

là:
B.

x=

5
2 .

C.

x = 0.

D.

x= − 5.


Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Lan ; Fb: Lan Nguyen Thi
Chọn C
Ta có

y ' = −4 x3 + 10 x


10
x =
2


10
y' = 0 ⇔ x = −
2

x = 0



Ta có bảng biến thiên:

Điểm cực tiểu của hàm số là
Câu 15. [2D1-2.1-3]

x = 0.

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019)

Bắc-Ninh-2019) Điểm cực tiểu của hàm số
A.

y= 4.

B.

x=

5
2 .

y = − x4 + 5 x2 + 4
C.

x = 0.

(Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3là:
D.

x= − 5.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Lan ; Fb: Lan Nguyen Thi
Chọn C
Ta có

y ' = −4 x3 + 10 x


10
x =
2


10
y' = 0 ⇔ x = −
2

x = 0



Ta có bảng biến thiên:


Điểm cực tiểu của hàm số là

x = 0.