Dang 3. Phương pháp đặt ẩn phụ(VDT

Câu 1.

[2D2-5.3-3] (Đồn Thượng) Phương trình

x1 + x2 = 3
A.

4x − m.2x+ 1 + 2m = 0

có hai nghiệm

x1 ,x2

thỏa mãn

khi

m= 4.

B.

m = 3.

C. m = 2 .
D. m = 1 .
Lời giải
Tác giả: Bùi Anh Dũng. Facebook: Bùi Dũng

Chọn A
Ta có phương trình:

4 x − m.2 x + 1 + 2m = 0

(1)

Đặt: 2 x = t > 0 , phương trình trở thành: t 2 − 2mt + 2m = 0 (2)
Để phương trình (1) có hai nghiệm thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương

∆' > 0
 m 2 − 2m > 0

⇔ S > 0 ⇔ 
⇔ m>2
2
m
>
0

P > 0

Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm t1 ,t2 thỏa mãn:

t1 .t2 = 2m ⇔ 2 x1 + x2 = 2m ⇔ 8 = 2m ⇔ m = 4 (thỏa mãn)

m= 4

Vậy
Câu 2.

thỏa mãn u cầu bài tốn.

[2D2-5.3-3] (Chun Vinh Lần 2) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

)

(

m

để phương trình

9.32 x − m 4 4 x 2 + 2 x + 1 + 3m + 3 .3x + 1 = 0 có đúng

3 nghiệm thực phân biệt.
B. 3.

A. Vô số.

Lời giải

C. 1. D.

2.

Tác giả Lời giải Lê Cảnh Dương ; FB: Cảnh Dương Lê
Chọn C
Ta có
Đặt

)

(

9.32 x − m 4 4 x 2 + 2 x + 1 + 3m + 3 .3x + 1 = 0 ⇔ 3x + 1 +

t = x + 1 , phương trình (1) thành

3t +

(

1
3

x +1

)

−

(

)

m
4 x + 1 + 3m + 3 = 0 ( 1)
3

1 m
− 4 t + 3m + 3 = 0
3t 3

Bài tốn trở thành tìm số giá trị ngun của
phân biệt.

m

để phương trình

( 2) .

( 2 ) có đúng 3 nghiệm thực

Nhận xét: Nếu t0 là một nghiệm của phương trình

( 2)

trình

có đúng 3 nghiệm thực phân biệt là phương

( 2 ) . Do đó điều kiện cần để phương trình ( 2 )
trình ( 2 ) có nghiệm t = 0 .
Với t = 0
Thử lại:
+) Với

m = 1
− m2 − m + 2 = 0 ⇔ 
thay vào phương trình (2) ta có
m = −2 .

m = − 2 phương trình (2) thành

3t +

1
≥2
,
3t

(

3t +

)

(

)

1 2
+ 4 t −3 = 0
3t 3

(

)

2
1 2

4 t − 3 ≥ − 2, ∀ t ∈ ¡
3t + t + 4 t − 3 ≥ 0, ∀ t ∈ ¡ .
và 3
suy ra
3 3

∀t∈ ¡
Dấu bằng xảy ra khi t = 0 , hay phương trình ( 2 )
Ta có

− t0 cũng là một nghiệm của phương

thì

có nghiệm duy nhất

t = 0 nên loại m = − 2 .


+) Với

m = 1 phương trình ( 2 )

( 3)

3t +

thành

(

)

1 1
− 4 t +6 =0
3t 3

( 3)

t = − 1, t = 0, t = 1 .
Ta chứng minh phương trình ( 3) chỉ có 3 nghiệm t = − 1, t = 0, t = 1 . Vì t
Dễ thấy phương trình

là nghiệm phương trình

có 3 nghiệm

( 3)

nên ta chỉ xét phương trình

(
)
1 1
f ( t ) = 3 + − ( 4 t + 6)
Xét hàm
trên [ 0;+∞ ) .
3 3
Trên tập [ 0;+∞ )

(, 3) ⇔ 3t +

1 1
− 4 t+6 =0
.
3t 3

( 3)

trên

là nghiệm thì

[ 0;+∞ ) .

−t

cũng

t

t

f ' ( t ) = 3 ln 3 − 3 .ln 3 −
t

Ta có

2

f '' ( t ) = 3t ln 2 3 + 3− t.ln 2 3 +

3 t,

1

( )

3. t

3

> 0, ∀ t > 0
.

( 0; +∞ ) ⇒ f ' ( t ) = 0 có tối đa 1 nghiệm t > 0 ⇒ f ( t ) = 0 có tối
đa 2 nghiệm t ∈ [ 0; +∞ ) . Suy ra trên [ 0;+∞ ) , phương trình ( 3) có 2 nghiệm t = 0, t = 1 .
Do đó trên tập ¡ , phương trình ( 3) có đúng 3 nghiệm t = − 1, t = 0, t = 1 . Vậy chọn m = 1 .
Suy ra

f '( t )

−t

đồng biến trên

Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm này, sau khi loại được
do đề khơng có phương án nào là không tồn tại m.
Câu 3.

[2D2-5.3-3] (Chuyên Vinh Lần 2) Phương trình
có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
A. T = 36.
B. T = 48.

2 x − 2+

3

m = − 2 ta có thể kết luận đáp án C

m− 3 x

+ ( x3 − 6 x 2 + 9 x + m ) 2 x− 2 = 2 x+ 1 + 1

m ∈ ( a; b ) . Tính giá trị biểu thức T = b 2 − a 2
C. T
Lời giải

= 64.

D.

T = 72.

Tác giả: Văn Bùi Vũ ; Fb: Van Tuan Vu
Chọn B

2 x − 2+

Ta có:

⇔2

3

m− 3x

+ ( x3 − 6 x 2 + 9 x + m ) 2 x − 2 = 2 x + 1 + 1 ⇔ 2

f ( t ) = 2t + t 3

trên

(

3

3

m− 3x

+ ( x − 2 ) + 8 + m − 3 x = 23 + 2 2 − x
3

3

¡.

f ' ( t ) = 2t ln 2 + 3t 2 > 0, ∀ t ∈ ¡ .

Ta có:
Mà

m− 3x

+ m − 3 x = 22 − x + ( 2 − x )

Xét hàm số

f

3

Suy ra hàm số đồng biến trên

)

m − 3x = f ( 2 − x ) ⇔ 3 m − 3 x = 2 − x ⇔ m − 3 x = ( 2 − x )

¡.

3

⇔ m = − x3 + 6 x 2 − 9 x + 8
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm giữa đồ thị hàm số
đường thẳng y = m.
Xét hàm số

g ( x ) = − x3 + 6 x 2 − 9 x + 8

trên

¡.

x = 1
g ' ( x ) = − 3x 2 + 12 x − 9; g ' ( x ) = 0 ⇔ 
Ta có:
x = 3
Bảng biến thiên của hàm số

g ( x) :

y = − x3 + 6 x2 − 9 x + 8

và


x −∞ 1 3 +∞
g '( x) 0 0

+∞ 8
g ( x)

4 −∞
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

4 < m < 8. Suy ra a = 4; b = 8 .

Vậy

Câu 4.

g ( x)

thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi

T = b 2 − a 2 = 48

[2D2-5.3-3] (Chuyên Hà Nội Lần1) Giả sử phương trình
hai nghiệm thực phân biệt
A.

3.

x1 , x2

B.

thỏa mãn

8.

log 22 x − ( m + 2 ) log 2 x + 2m = 0

x1 + x2 = 6 . Giá trị của biểu thức x1 − x2

có

là

C. 2 .
D. 4 .
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Thùy Linh

Chọn C

x > 0.
Đặt t = log 2 x .
Điều kiện :

 t = 2  log 2 x = 2  x = 4
t 2 − ( m + 2 ) t + 2m = 0 ⇔ 
⇔
⇔
m
t
=
m
log
x
=
m
Khi đó phương trình đã cho có dạng :

 2
x = 2 .
Do

x1 + x2 = 6 ⇔ 4 + 2m = 6 ⇔ m = 1 .

Vậy x1 − x2 = 4 − 2 = 2 .

1

Câu 5.

[2D2-5.3-3] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Có bao nhiêu giá trị
nguyên của

( m + 1) 16 x − 2 ( 2m − 3) 4 x + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu?

A. 1 .

B.

2.

C.

3.

D.

0.

Lời giải
Tác giả: Phạm Duy Nguyên; Fb: The Scarpe
Chọn B
Đặt

t = 4 x ( t > 0 ) . Khi đó phương trình trở thành: ( m + 1) t 2 − 2 ( 2m − 3) t + 6m + 5 = 0 .

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu
điều kiện
Suy ra:

0 < t1 < 1 < t2 .

x1 , x2

thì hai nghiệm

t1; t2

tương ứng phải thỏa mãn


m + 1 ≠ 0

2
 ∆ ' = −2 m − 23m + 4 > 0

t1 − 1 < 0
t2 − 1 > 0
.

( t1 − 1) ( t2 − 1) < 0 . Biểu thức này tương đương với:

Ta xét:

( m + 1) f ( 1) < 0 ⇔ ( m + 1) ( m + 1 − 4m + 6 + 6m + 5) < 0 ⇔ ( m + 1) ( m + 4 ) < 0 ⇔ − 4 < m < − 1 .
Từ đây ta được hai giá trị nguyên của

m

là

− 3; − 2 .

m

là

[2D2-5.3-3] (Sở Nam Định) Cho phương trình

(

Thử lại các điều kiện trên, ta nhận hai giá trị nguyên của

Câu 6.

− 3; − 2 .

) (

)

x

2− 3 +

x

2+ 3 = 4

. Gọi

x1 , x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm thực của phương trình. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

x1 + x2 = 0 .

2 x1 − x2 = 1 .

B.

x1 − x2 = 2 .

C.

D.

x1 + 2 x2 = 0 .

Lời giải
Tác giả : Nguyễn Mạnh Dũng; FB: dungmanhnguyen
Chọn A

Xét phương trình :

Đặt

(

)

(

với

)(

)

x

x

2− 3 . 2+ 3 =1

1
t + = 4 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0 ⇔
t

Với

(
3⇒ (

t = 2+ 3 ⇒

t = 2−

2+ 3 = 4

t > 0.

Ta có:
Do đó phương trình trở thành:

Với

)

2− 3 +

x

x

2− 3 = t

(

) (
x

. Do đó

(

2+ 3 =

1
t

t = 2 + 3

 t = 2 − 3 (tmđk)

)
3) = 2−
x

(

2− 3 = 2+ 3 ⇔ 2+ 3
2−

)

x

x

(

)

−x
2

)

x
2

= 2+ 3 ⇔

3 ⇔ 2− 3 = 2− 3 ⇔

−x
= 1 ⇔ x = −2
.
2
x
= 1⇔ x = 2
.
2

 x1 = 2
⇒ x1 + x2 = 0

x
=
−
2
.

2
Vậy

Câu 7.

[2D2-5.3-3] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số

log 22 x + log 2 x + m = 0

có nghiệm

x ∈ ( 0;1) .

m

để phương trình


A.

m ≤ 1.

m>1 .

B.

C.
Lời giải

m≤

1

4.

D.

m≥

1
4.

Tác giả: Lê Nguyễn Trọng Hiếu ; Fb: Lê Nguyễn Trọng Hiếu
Chọn A
Đặt

t = log 2 x . Vì x ∈ ( 0;1)

nên

t ∈ ( −∞ ;0 ) . Phương trình log 22 x + log 2 x + m = 0

trở thành

t 2 + 2t + m = 0 ⇔ m = − t 2 − 2t , t ∈ ( −∞ ;0 ) .
Đặt

g ( t ) = − t 2 − 2t , t ∈ ( −∞ ;0 ) . Khi đó: g ′ ( t ) = − 2t − 2 ⇒ g ′ ( t ) = 0 ⇔ t = − 1 .

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thì

Câu 8.

m ≤ 1.

[2D2-5.3-3] (SGD-Nam-Định-2019) Cho phương trình

(

) (
x

2− 3 +

)

x

2+ 3 = 4

. Gọi

x1 , x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm thực của phương trình. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

x1 + x2 = 0 .

2 x1 − x2 = 1 .

B.

x1 − x2 = 2 .

C.

D.

x1 + 2 x2 = 0 .

Lời giải
Tác giả : Nguyễn Mạnh Dũng; FB: dungmanhnguyen
Chọn A

Xét phương trình :
Đặt

(

)

) (

)(

với

t > 0.

)

x

x

2− 3 . 2+ 3 =1

Ta có:
Do đó phương trình trở thành:

1
t + = 4 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0 ⇔
t

Với

)

x

2+ 3 = 4

x

2− 3 = t

(

(

x

2− 3 +

t = 2+ 3 ⇒

(

)

. Do đó

(

)

x

2+ 3 =

1
t

t = 2 + 3

 t = 2 − 3 (tmđk)
x

(

2− 3 = 2+ 3 ⇔ 2+ 3

)

−x
2

= 2+ 3 ⇔

−x
= 1 ⇔ x = −2
.
2


Với

t = 2− 3 ⇒

(

)

(

x

)

x
2

2− 3 = 2− 3 ⇔ 2− 3 = 2− 3 ⇔

x
= 1⇔ x = 2
.
2

 x1 = 2
⇒ x1 + x2 = 0

x
=
−
2
.
Vậy  2
Câu 9.

[2D2-5.3-3] (Lý Nhân Tông) Với giá trị nào của tham số

m

4 x − m.2x +1 + 2m = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 = 3 ?
A. m = 1 .
B. m = 4 .
C. m = 2 .

D.

thì phương trình

m = 3.

Lời giải
Chọn B
Ta có :
Đặt

4 x − m.2 x+ 1 + 2m = 0 ⇔ 4 x − 2m.2 x + 2m = 0 ( 1)

t = 2x ( t > 0)

Lúc ấy ta có phương trình là:

t 2 − 2mt + 2m = 0 ( 2 )

Để phương trình có hai nghiệm

x1 , x2 thì phương trình ( 2 )

có 2 nghiệm

t1 , t2

dương

1 ≠ 0
a ≠ 0
m > 0
∆ ≥ 0  2


4m − 4.1.2m ≥ 0 
⇔
⇔ m ≥ 2 ⇔ m ≥ 2

S
>
0
2
m
>
0


m ≤ 0

 P > 0 2m > 0

−b

t
+
t
=
S
=
= 2m
1
2


a

 t .t = P = c = 2m
Theo định lý Vi-et ta có:  1 2
a
Ta có :

t1.t2 = 2 x1.2 x2 = 2 x1 + x2 mà x1 + x2 = 3 nên 2m = 23 ⇒ m = 4

Câu 10. [2D2-5.3-3] (KHTN Hà Nội Lần 3) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
trình
A. 1.

4 x − m2 x+ 1 + 5 − m = 0 có hai nghiệm phân biệt?
B. 4.

C. 3.

m

để phương

D. 6.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trọng Nghĩa; Fb: Nghĩa Nguyễn
Chọn C
Đặt

t = 2x ( t > 0) .

Phương trình đã cho trở thành:

t 2 − 2mt + 5 − m = 0 ( 1)

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

⇔

(1) có hai nghiệm dương phân biệt



−1 + 21
m >
2

2
m + m − 5 > 0

−1 − 21
−1 + 21

m <
⇔  2m > 0
⇔ 
⇔
2
2

5 − m > 0

∆ ' > 0



⇔ S > 0
m > 0
P > 0
m < 5


Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số
phân biệt.

m để phương trình 4 x − m2 x+ 1 + 5 − m = 0 có hai nghiệm

Câu 11. [2D2-5.3-3] (KỸ-NĂNG-GIẢI-TỐN-HƯỚNG-ĐẾN-THPT-QG) Có bao nhiêu giá trị

[ 0;2019] của tham số m
4 x − ( m + 2018 ) 2 x + ( 2019 + 3m ) = 0 có hai nghiệm trái dấu?

nguyên

thuộc

đoạn

A. 2016

B. 2019 .

để

C. 2013

phương

trình

D. 2018 .

Lời giải
Tácgiả :(Phạm Thị Ngọc Huệ,,Tên FB: Phạm Ngọc Huệ)
Chọn B
Ta có

4 x + ( m − 1) 2 x + ( 4 + 3m ) = 0 ( 1) .

2
t = 2 x , t > 0 . Phương trình đã cho trở thành: t + ( m − 1) t + 4 + 3m = 0 ( 2 )

Đặt

Phương trình

( 1)

có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi phương trình

( 2)

có 2 nghiệm

t1 , t2

thỏa

0 < t1 < 1 < t2 .
 af (1) < 0
⇔
⇔ − 1 < m < 2013
 af (0) > 0
Vì

m ∈ ¢, m ∈ [ 0;2019]

suy ra

m∈ { 0;1;2;...;2012}

Câu 12. [2D2-5.3-3] (THTT lần5) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

4 x − ( m + 3) .2 x + 1 + m + 9 = 0
A.

3.

B.

m

để phương trình:

có hai nghiệm dương phân biệt.

4.

C. 5 .
Lời giải

D. Vô số.
Tác giả:Trần Thanh Hà; Fb:Hà Trần

Chọn A
Đặt:

t = 2 x ( x > 0 ⇒ t > 1) , phương trình đã cho trở thành: t 2 − 2 ( m + 3) t + m + 9 = 0 .


Bài tốn trở thành: Tìm các giá trị ngun của tham số

m để phương trình:

t 2 − 2 ( m + 3) t + m + 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt t1 , t2

thỏa mãn 1 <

t1 < t2



 ∆ ′ = m 2 + 5m > 0
 ∆ ′ = m 2 + 5m > 0


⇔ ( t1 − 1) ( t2 − 1) > 0 ⇔ t1t2 − ( t1 + t2 ) + 1 > 0 ( *)
S
S
 = m +3 >1
 = m+3 >1
2
2

t 2 − 2 ( m + 3) t + m + 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 nên theo Viet ta có:

PT:

 t1 + t2 = 2 ( m + 3)

 t1. t2 = m + 9
  m < −5

 m + 5m > 0   m > 0


−m + 4 > 0 ⇔ m < 4 ⇔ 0 < m < 4
m + 3 > 1
 m > −2




ta được
2

Thay vào hệ
Vì

( *)

m ∈ ¢, 0 < m < 4 ⇒ m ∈ { 1;2;3}

Vậy có

.

3 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 13. [2D2-5.3-3] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Tìm tập nghiệm của phương trình

4x+ 1 − 3.2x − 1= 0
A.

∅

 1
1; − 
4 .
B. 

.

 1
 − 1; 
C.  4 .

D.

{ 0} .

Lời giải
Tác giả: Đỗ Ngọc Tân ; Fb: Tân Ngọc Đỗ
Chọn D
Cách 1:

t = 1
4t − 3t − 1= 0 ⇔ 
 t = − 1 ( loaïi )
x
Đặt 2 = t t > 0 . Ta có phương trình

4

(

Với

2

)

t = 1⇒ x = 0. Chọn đáp án D.

Cách 2:
Sử dụng máy tính nhập biểu thức
Dùng lệnh CALC 1 ra kết quả

4x+ 1 − 3.2x − 1

9 nên loại đáp án B.


3
Dùng lệnh CALC − 1 ra kết quả 2 nên loại đáp án C.
−

Dùng lệnh CALC

0

ra kết quả

0 nên chọn đáp án D.

Câu 14. [2D2-5.3-3] (Cụm THPT Vũng Tàu) Cho phương trình
số. Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun của

x1 , x2

thỏa mãn 0 ≤

m

4x − 2x+2 + m − 2 = 0

với

m

là tham

để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

x1 < x2 ?

A. 1 .

B.

3.

C.

2.

D.

0.

Lời giải

Tác giả: Đào Hoàng Vũ ; Fb: Hoàng Vũ
GV phản biện: Nguyễn Thắng ; Fb: Nguyễn Thắng
Chọn A
x
x
4 x − 2 x+2 + m − 2 = 0 ⇔ 4 − 4.2 + m − 2 = 0 ( 1)

Đặt

t = 2x ( t > 0)

( 1) ⇔ t 2 − 4t + m − 2 = 0 ( 2 )
Để phương trình

( 1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 0 ≤ x1 < x2

Thì phương trình

( 2)

thỏa:

∆ > 0

⇔  t1 + t2 > 2
⇔
 t −1 t −1 ≥ 0
( 1 ) ( 2 )

⇔ 20 ≤ 2 x1 < 2 x2 ⇔ 1 ≤ t1 < t2

0 ≤ t1 − 1 < t2 − 1

16 − 4 ( m − 2 ) > 0

⇔
4 > 2
t t − t + t + 1 ≥ 0
 1 2 ( 1 2)

m < 6

m ≥ 5

. Vậy

Câu 15. [2D2-5.3-3] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho

m = 5 thỏa yêu cầu.
a, b

là các số thực dương thỏa

a

mãn log 4 a = log 6 b = log 9 ( a + b ) . Giá trị của b

bằng:

3

A. 2 .

5 +1
C. 2 .

2
B. 3 .

5 −1
D. 2 .

Lời giải
Tác giả:Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc
Giáo viên phản biện:Nguyễn Thị Hồng Loan;Fb: Nguyễn Loan
Chọn D
Đặt

t = log 4 a = log 6 b = log9 ( a + b ) .


 2 t −1 + 5
( tm )
 ÷ =
2t
t
 a = 4t
3
2
2
2









t
⇒  b = 6t
⇒ 4t + 6t = 9t ⇔  3 ÷ +  3 ÷ − 1 = 0 ⇔ 
 2  −1 − 5

 a + b = 9t
( l)
 ÷=
2
.
 3 

t

a 4t  2  − 1 + 5
= = ÷ =
Vậy b 6t  3 
2 .
Câu 16. [2D2-5.3-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG
NGÃI) Giả sử phương trình

a, b, c ∈ ¢ +

log 2 2 ( 2 x ) − 3log 2 x − 2 = 0

b < 20 . Tính tổng a + b + c 2 .

và

A. 10.

B. 11.

có một nghiệm dạng

C. 18.
Lời giải

x=2

a+ b
c

với

D. 27.

Tác giả: Lê Thế Nguyện; FB: Lê Thế Nguyện
Chọn A
Điều kiện

x > 0.

Ta có:

log 2 2 ( 2 x ) − 3log 2 x − 2 = 0
⇔ ( 1 + log 2 x ) − 3log 2 x − 2 = 0
2

⇔ log 2 2 x − log 2 x − 1 = 0

1+ 5
 log 2 x =
2
⇔

1− 5
 log 2 x =

2
1+ 5

x = 2 2
⇔
1− 5
x = 2 2 .


Vậy:

a = 1; b = 5; c = 2 .

⇒ a + b + c 2 = 10 .
Câu 17. [2D2-5.3-3] (Chuyên Thái Nguyên) Tìm tất cả các giá trị thực của

log 2 cos x − m log cos 2 x − m2 + 4 = 0
A.

m∈

(

Chọn C

)

2;2 .

B.

(

m

để phương trình

vơ nghiệm.

)

m∈ − 2; 2 .

(

)

(

)

C. m ∈ − 2;2 .
D. m ∈ − 2; 2 .
Lời giải
Tác giả: Phan Thanh Lộc ; Fb: Phan Thanh Lộc


Ta có:

log 2 cos x − m log cos 2 x − m 2 + 4 = 0 ⇔ log 2 cos x − 2m log cos x − m2 + 4 = 0

log cos x = t

Đặt

. Điều kiện:

(*)

t≤ 0

Khi đó phương trình (*) trở thành: t − 2mt − m + 4 = 0, t ≤ 0. (1)
Phương trình (*) vơ nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) vơ nghiệm hoặc có các nghiệm đều

dương. Điều này xảy ra khi và chỉ khi
2

2

 m 2 − 1. ( −m 2 + 4 ) < 0


 m 2 − 1. ( −m 2 + 4 ) ≥ 0
 2m 2 − 4 < 0

∆′ < 0

− 2 < m < 2
⇔   2m

2

>
0


2
m
−
4
≥
0

 1

∆′ ≥ 0
⇔
⇔
 m ≥ 2

 2m > 0
 2
  t1 + t 2 > 0



  −m + 4 > 0

−2 < m < 2

2
 −m + 4 > 0  
  1
  t1.t2 > 0
Câu 18. [2D2-5.3-3] (HSG Bắc Ninh) Cho phương trình

A.

2021 .

B.

log 2 2 x − 2log 2 x − m + log 2 x = m ( *) .

m∈ [ − 2019;2019]

bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

2019 .

C.

⇔ − 2 < m< 2
Có

để phương trình (*) có nghiệm?

4038 .

D.

2020 .

Lời giải
Tác giả:Trần Thanh Hà; Fb: Hà Trần
Chọn A

x > 0

Điều kiện:  m + log 2 x ≥ 0 .

log 2 2 x − 2log 2 x − m + log 2 x = m ⇔ 4log 2 2 x − 8log 2 x − 4 m + log 2 x = 4m

⇔ 4log 2 2 x − 4log 2 x + 1 = 4 m + log 2 x + 4 ( m + log 2 x ) + 1
 2 m + log 2 x + 1 = 2log 2 x − 1

⇔ ( 2log 2 x − 1) = 2 m + log 2 x + 1 ⇔ 
 2 m + log 2 x + 1 = − 2log 2 x + 1
2

(

)

2

 m + log 2 x = log 2 x − 1
⇔
 m + log 2 x = − log 2 x
 log 2 x ≤ 0
⇔
⇔
2
 m + log 2 x = log 2 x
* TH 1 : m + log 2 x = − log 2 x

 0 < x ≤ 1

2
 log 2 x − log 2 x − m = 0 ( 1)

Đặt:

t = log 2 x ( t ≤ 0 ) , phương trình (1) trở thành: t 2 − t − m = 0 ⇔ t 2 − t = m ( 2 )

Đặt:

g (t ) = t 2 − t (t ∈ ( −∞ ;0] .Bài tốn trở thành: Tìm giá trị của tham số m

có ít nhất 1 nghiệm

t≤ 0

để phương trình

( 2)


Ta có:

g (t ) = t 2 − t ⇒ g ′ (t ) = 2t − 1 < 0∀ t ≤ 0

Ta có BBT:

Dựa vào BBT, suy ra: để phương trình

( 2 ) có ít nhất 1 nghiệm t ≤ 0 thì m ≥ 0 (*)

 log 2 x ≥ 1
⇔
2
 m + log 2 x = log 2 x − 2log 2 x + 1
* TH 2 : m + log 2 x = log 2 x − 1

 log 2 x ≥ 1
⇔

2
 log 2 x − 3log 2 x + 1 − m = 0 ( 3)
Đặt:

t = log 2 x ( t ≥ 1) , phương trình (1) trở thành: t 2 − 3t + 1 − m = 0 ⇔ m = t 2 − 3t + 1( 4 )

Đặt:

g (t ) = t 2 − t + 1, t ∈ [ 1; +∞ )

Ta có:

g (t ) = t 2 − 3t + 1 ⇒ g ′ (t ) = 2t − 3

3
g ′(t ) = 0 ⇔ 2t − 3 = 0 ⇔ t = ∈ [ 1; +∞ )
2
Bài toán trở thành: Tìm giá trị của tham số

m

để phương trình

( 4 ) có ít nhất 1 nghiệm t ≥ 1

Ta có BBT:

Dựa vào BBT, suy ra: để phương trình
Kết hợp (*) và (**), m∈

( 4 ) có ít nhất 1 nghiệm t ≥ 1 thì

[ − 2019;2019] ⇒ m ∈ { − 1;0;1;2;...;2019}

m≥ −

5
4 (**)


Vậy có tất cả

2021 giá trị của m thỏa mãn ycbt

Câu 19. [2D2-5.3-3] ( Sở Phú Thọ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m

để phương trình

16 x − 2 ( m + 1) .4 x + 3m − 8 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
A.

6.

B.

7.

C.

0.

D.

3.

Lời giải
Tác giả:Lê thị Ngọc Thúy ; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy
Chọn B
Xét phương trình 16
Đặt

t = 4x ( t > 0)

x

− 2 ( m + 1) .4 x + 3m − 8 = 0 (1).

phương trình (1) trở thành

Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

⇔

t 2 − 2 ( m + 1) .t + 3m − 8 = 0 ( *)
phương trình (1) có hai nghiệm

0 < t1 < 1 < t2 .

( *) ⇔ ( 2t − 3) m = t 2 − 2t − 8 (**).
3
35
3
t= ⇒ 0= −
t≠
Nếu
2
2 vô lý , vậy
2 . Khi đó
t 2 − 2t − 8
⇔ m=
(**)
2t − 3 .

3
t 2 − 2t − 8
t≠
f ( t) =
Xét
2,
2t − 3 ,

t > 0.
2

 3  35
2 t − ÷ +
2
2t − 6t + 22

3
2 2
f ′( t) =
= 
> 0, ∀ t ≠
2
2
2.
( 2t − 3)
( 2t − 3)
Ta có

t1 , t2

thỏa mãn


Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có hai nghiệm

t1 , t2

thỏa mãn

8
< m< 9
mà m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { 3;4;5;6;7;8} . Vậy có 6 giá trị nguyên của
3
Câu 20. [2D2-5.3-3]

(-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019)

log32 x − ( m + 2 ) log3 x + 3m − 1 = 0

x1 + x2

x1 , x2

có hai nghiệm

0 < t1 < 1 < t2 ⇔

m

Biết

thỏa mãn

thỏa mãn bài tốn.

rằng

phương

x1x2 = 27 .

trình

Khi đó tổng

bằng

A. 6.

1
C. 3 .

B. 12.

34
.
D. 3

Lời giải
Tác giả: Võ Hữu Thường Kiệt; Fb: Kiệt Võ
Chọn B
Ta có:
Đặt

log 32 x − ( m + 2 ) log 3 x + 3m − 1 = 0 ( 1)

t = log3 x ⇒ t 2 − ( m + 2 ) t + 3m − 1 = 0 ( 2 )

Để phương trình

( 1)

có hai nghiệm phân biệt

có 2 nghiệm phân biệt

 ∆ ( 2) > 0
⇒
⇔
 t1 + t2 = 3

x1 , x2

thỏa mãn:

x1 x2 = 27

 ( m + 2 ) 2 − 4 ( 3m − 1) > 0

⇔

b m+ 2
t
+
t
=
−
=
=
3
1 2
a
1


 m 2 − 8m + 8 > 0

⇔

m = 1

 t = 1 = log 3 x1
⇒
( 2 ) ⇒ t − 3t + 2 = 0 ⇒  1
Khi đó
 t2 = 2 = log 3 x2

m > 4 + 2 2

  m < 4 − 2 2 ⇒ m = 1

m = 1

 x1 = 3t1 = 3
⇒ x1 + x2 = 12

t
 x2 = 3 2 = 9

Câu 21. [2D2-5.3-3] (Sở Phú Thọ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

16 x − 2 ( m + 1) 4 x + 3m − 8 = 0

6.

( 2)

t1 , t2 thỏa mãn: t1 + t2 = log 3 x1 + log3 x2 = log3 ( x1 x2 ) = log3 27 = 3

2

A.

thì phương trình

B.

m

để phương trình

có hai nghiệm trái dấu?

7.

C. 0 .
Lời giải

D. 3 .

Tác giả: Nguyễn Đình Hải ; Fb:Nguyen Dinh Hai
Chọn A
Đặt

t = 4x

với

t > 0.

Phương trình đã cho trở thành

t 2 − 2 ( m + 1) t + 3m − 8 = 0 ( 1) .


Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu

0 < t1 < 1 <

thỏa mãn

phương trình

( 1)

có hai nghiệm dương t1 ,

 ∆′ > 0
 b
( m + 1) 2 − 3m + 8 > 0
− > 0

 a
⇔
 2 ( m + 1) > 0
⇔
c > 0

⇔
3m − 8 > 0
a
t2 ( t2 − 1) ( t1 − 1) < 0 1 − 2 ( m + 1) + 3m − 8 < 0

t2

 m2 − m + 9 > 0

8

m >
3

 m < 9

8
< m< 9
.
3

⇔

Với m∈
tốn.
Câu 22.

⇔

¢

suy ra

m∈ { 3;4;5;6;7;8}

. Vậy có

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
nghiệm trái dấu.

5

;+ ∞ ÷

A.  2
.

6

giá trị ngun của

m

để phương trình

 5
 0; ÷
B.  2  .

(

)

(

)

9 x − m.3x + 2m − 5 = 0

có hai

5 
 ;4 ÷
D.  2  .

( 0;+ ∞ ) .

C.
x

m thỏa mãn yêu cầu bài

x

Cho phương trình 40 3 + 2 2 + m 3 − 2 2 + m − 80 = 0 ( m là tham số). Có bao nhiêu

Câu 23.

giá trị nguyên của

m để phương trình có hai nghiệm trái dấu?

A. 19 .

C. 1 .

B. vô số.

Câu 24. [2D2-5.3-3] (Quỳnh Lưu Lần 1) Gọi
cho phương trình

S

D.

20 .

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số

16x − m.4x − 1 + 5m2 − 44 = 0 có hai nghiệm đối nhau. Hỏi S
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .

m sao

có bao nhiêu phần tử?
D.

Lời giải

3.

Tác giả: PhongHuynh ; Fb: PhongHuynh
Chọn B

⇔ ( 4x ) −
2

x− 1

16 − m.4 + 5m − 44 = 0
x

2

m x
.4 + 5m 2 − 44 = 0
4

⇔ 4 ( 4 x ) − m.4 x + 20m 2 − 176 = 0 , ( 1) .
2

Đặt

t = 4x

điều kiện

Khi đó phương trình

trình

( ∗)

t > 0 từ ( 1)

( 1)

ta có

4t 2 − m.t + 20m 2 − 176 = 0 , ( ∗) .

có hai nghiệm đối nhau

có hai nghiệm dương

x1; x2

thì

x1 + x2 = 0

khi và chỉ khi phương

t1; t2 thỏa mãn t1.t2 = 1 . Nhưng vì phương trình ( ∗ )

c
176
=−
= −44 < 0

nên khơng có giá trị nào của
a
4

m thỏa mãn u cầu bài tốn.

có


Câu 25. [2D2-5.3-3] (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Gọi
trị thực của tham số
nhiêu giá trị nguyên?

m

A. 1 .

để phương trình
B.

4 x − m.2 x + 2m + 1 = 0

là tập hợp các giá

có nghiệm. Tập

C. 9 .
Lời giải

4.

S

D.

¡ \S

có bao

7.

Tác giả: Cơng Phương; Fb: Nguyễn Công Phương
Chọn C

t = 2 x > 0 , khi đó phương trình trở thành t − mt + 2m + 1 = 0 ⇔ t + 1 = m(t − 2) . Nhận thấy
t = 2 không là nghiệm của phương trình ⇒ t ≠ 2 . Chia cả 2 vế của phương trình cho t − 2 ta
2

Đặt

2

t2 + 1
m=
= f ( t ) ( t > 0)
được
. Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
t−2

y = f (t ) và đường thẳng y = m song song với trục hoành

 t = 2 + 5 ∈ ( 0; +∞ )

t 2 − 4t − 1
⇔
f ′( t ) =
′
f
t
=
0
 t = 2 − 5 ∉ ( 0; +∞ )
Ta có
t −2 , ( )

1

m < − 2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi  m ≥ 4 + 2 5

 1

¡ \ S =  − ;4 + 2 5 ÷
Tập
 2
 . Vậy có 9 giá trị
Câu 26. [2D2-5.3-3]

(GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH)

9 x − 2 ( 2m + 1) 3x + 3 ( 4m − 1) = 0
trị của
A.

m

m thỏa mãn.

có hai nghiệm thực

x1 , x2

thỏa mãn

Cho

phương

trình

( x1 + 2 ) ( x2 + 2 ) = 12 . Giá

thuộc khoảng

( 9;+ ∞ ) .

B.

( 3;9) .

C.

( − 2;0 ) .

D.

( 1;3) .

Lời giải
Tác giả: Đỗ Phúc Thịnh ; Fb: Đỗ Phúc Thịnh
Chọn D
Đặt t =

2
3x , t > 0 . Phương trình đã cho trở thành: t − 2 ( 2m + 1) t + 3 ( 4m − 1) = 0

(1)


Phương trình đã cho có hai nghiệm thực
dương phân biệt

x1 , x2

khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm


m ≠ 1
 ∆ ′ > 0  4 m − 8m + 4 > 0 

m ≠ 1

1



⇔  S > 0 ⇔  2 ( 2m + 1) > 0 ⇔  m > − ⇔ 
1
2
P > 0


 m > 4

3 ( 4m − 1) > 0
1

 m > 4
.
2

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là

3x1 = 4m − 1 ⇔ x1 = log 3 ( 4m − 1) .

Với

t = 4m − 1

Với

x
t = 3 thì 3 = 3 ⇔ x2 = 1 .

thì

t = 4m − 1 và t = 3 .

2

5
⇔
m
=
Ta có ( x1 + 2 ) ( x2 + 2 ) = 12 ⇔ x1 = 2 ⇔ log3 ( 4m − 1) = 2
2 (thỏa điều kiện).
5
m=
Vậy giá trị m cần tìm là
2 nên m thuộc khoảng ( 1;3) .


Câu 27. [2D2-5.3-3] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của
trình 9 x − 8.3x +
A. 17 .

m − 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt?
B. 16 .
C. 15 .

m

để phương

D. 14 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Trang ; Fb: Trang Nguyen
Chọn C
Đặt

t = 3x ( t > 0 )

Ứng mỗi
Xét

phương trình trở thành:

t 2 − 8.t + m − 4 = 0 ( * ) ⇔ −m = t 2 − 8t − 4 .

t > 0 sẽ có 1 giá trị x .

f (t) = t 2 − 8t − 4

trên

Phương trình đã cho có

2

Dựa vào BBT ta có : − 20 <
Vậy có 15 giá trị nguyên.

( 0;+∞ ) . Ta có BBT

nghiệm

x

phân biệt khi và chỉ khi

− m < − 4 ⇔ 4 < m < 20

.

( * ) có 2 nghiệm dương phân biệt.


Câu 28. [2D2-5.3-3] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Cho
phương trình

( m − 5) .3x + ( 2m − 2 ) .2 x.

3x + ( 1 − m ) .4 x = 0 , tập hợp tất cả các giá trị của tham số

m để phương trình có hai nghiệm phân biệt là khoảng ( a ; b ) . Tính S = a + b .
A.

S = 4.

B.

S = 5.

C. S
Lời giải

= 6.

D.

S = 8.

Tác giả: Nguyễn Thị Bích Ngọc; Fb:Nguyễn Thị Bích Ngọc
Chọn D
Ta có

( m − 5) .3x + ( 2m − 2 ) .2 x.

3x + ( 1 − m ) .4 x = 0 ( 1)
x

x
 3
 3
⇔ ( m − 5 ) . ÷ + ( 2m − 2 ) .  ÷÷ + 1 − m = 0
 4
.
 2 
x

 3
t =  ÷÷
Đặt
 2  , điều kiện

t > 0.

Khi đó phương trình trở thành:
Do đó để phương trình

( 1)

( m − 5 ) t 2 + ( 2m − 2 ) t + 1 − m = 0 , ( 2 ) .

có hai nghiệm phân biệt thì phương trình

( 2) có hai nghiệm dương

m ≠ 5
a ≠ 0
∆ > 0  m > 3


⇔
⇔ 
⇔ 3 < m < 5 ⇔ m ∈ ( 3;5 )
P
>
0

m
<
1



phân biệt
.
 S > 0 1 < m < 5
Vậy

a = 3 , b = 5 nên a + b = 8 .

m để phương trình

Câu 29. [2D2-5.3-3] (Nguyễn Khuyến)Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

4 x + 2 x + 4 = 3m (2 x + 1)
A. 1 <

m ≤ log3 4 .

có hai nghiệm phân biệt.
B.

log 4 3 ≤ m < 1 .

C. 1 <
Lời giải

m < log3 4 .

D.

log 4 3 < m < 1 .

Tác giả: Trần Thị Thảo; Fb: Trần Thảo
Chọn C
Cách 1:
Đặt

2
m
m
t = 2 x ( t > 0 ) . Phương trình đã cho trở thành: t + (1 − 3 )t + 4 − 3 = 0 ( 1) .

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
phân

( 1)

có hai nghiệm


 (1 − 3m )2 − 4(4 − 3m ) > 0
 32 m + 2.3m − 15 > 0
∆ > 0
 m
 m


⇔
3
−
1
>
0
⇔

3 > 1
⇔ S > 0
 4 − 3m > 0
 3m < 4
P > 0
biệt dương



  3m > 3

⇔  3m < − 5 ( L )

m
1 < 3 < 4
Vậy 1 <

⇔ 3 < 3m < 4 ⇔ 1 < m < log3 4

.

m < log3 4 .

Cách 2:
Đặt

t = 2 x ( t > 0 ) . Phương trình đã cho trở thành:

t2 + t + 4
4
t 2 + t + 4 = 3m (t + 1) ⇔ 3 = t + 1 = t + t + 1 .
m

4
 t = − 3 (l )
4
f
'(
t
)
=
1
−
⇔
f (t ) = t +
Xét
(1 + t )2 . f '(t ) = 0  t = 1 (t / m)
t + 1 trên (0; + ∞ ) . Suy ra
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy:
Phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

3 < 3m < 4

⇔ 1 < m < log3 4 .

Câu 30. [2D2-5.3-3] (Chuyên Thái Bình Lần3) Tìm số giá trị nguyên của tham số
phương trình (
A.

14 .

)

(

x2

)

10 + 1 + m 10 − 1
B.

15 .

x2

m ∈ ( − 10;10)

để

2

= 2.3x + 1 có đúng hai nghiệm phân biệt?
C. 13 .

D. 16 .

Lời giải
Tác giả: Mai Đức Thu; Fb: Nam Việt
Chọn D


(

)

10 + 1

x2

(

)

+ m 10 − 1

x2

x2

x2

 10 + 1 
 10 − 1 
= 2.3x +1 ⇔ 
÷ + m
÷ =6
 3 
 3 
2

x2

(1)

x2

 10 + 1 
 10 − 1 
1
t=
÷ , t > 0⇒ 
÷ =
t
Đặt
 3 
 3 

1
(1) ⇔ t + m. = 6 ⇔ t 2 − 6t + m = 0

t
Để

(2)

(1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có một nghiệm lớn hơn 1.

(2) ⇔ m = − t 2 + 6t . Xét hàm số f (t ) = − t 2 + 6t

trên khoảng

(1; + ∞ ) , ta có:

f ′ ( t ) = − 2t + 6; f ′ ( t ) = 0 ⇔ t = 3 .
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
Do

m ∈ ( − 10;10)

nên

Suy ra có 15 giá trị

m

m < 5 hoặc m = 9

là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

m = { − 9; − 8; − 7; − 6; − 5; − 4; − 3; − 2; − 1;0;1;2;3;4;9}

.

cần tìm.

Câu 31. [2D2-5.3-3] (Cụm 8 trường chuyên lần1)Giả sử

p, q

p
log16 p = log 20 q = log 25 ( p + q ) . Tìm giá trị của q ?
4
1
8
1+ 5
A. 5 .
B. 2
.
C. 5 .

(

)

là các số thực dương thỏa mãn

(

)

1
−1+ 5
D. 2
.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Bảo Mai; Fb: Bao An
Chọn D
Đặt

t = log16 p = log 20 q = log 25 ( p + q ) ⇒ p = 16t , q = 20t , p + q = 25t . Suy ra :

 4 t −1 + 5
 ÷ =
2t
t
2
5
 4  4
t
t
t
16 + 20 = 25 ⇔  ÷ +  ÷ − 1 = 0 ⇔ 
t
 4
 5 5
  ÷ = − 1 − 5

2 .
  5 


t

t

 4
 4  −1 + 5
>0

÷
 ÷ =
Vì  5 
nên  5 
2 .
t

p 16t  4  − 1 + 5
=
= ÷ =
Từ đó ta được q 20t  5 
2 .

x4
log x = log 3
Câu 32. [2D2-5.3-3] (Ba Đình Lần2) Biết rằng phương trình
3 có hai nghiệm
2

3

a

và

b.

Khi đó  ab bằng
A.

8.

B.

81 .

C. 9 .
Lời giải

D.

64 .

Tác giả: Lê Ngọc Hùng; Fb: Hung Le
Chọn B
Đ/K:

x > 0.

x4
log x = log3
Phương trinh
3
2
3

⇔

2
⇔ log 3 x − 4.log 3 x + 1 = 0 ⇔

log3 x = 2 − 3

log3 x = 2 + 3

 x = 32− 3

 x = 32+ 3 . Khi đó a.b = 32− 3.32+ 3 = 81 .

Câu 33. [2D2-5.3-3] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Phương trình
duy nhất. Số giá trị của tham số
A. Vô số.
B. 1.

m thỏa mãn là

4 x + 1 = 2 x.m.cos ( π x )

C. 2.

có nghiệm

D. 0.

Lời giải
Tác giả: Ngũn Chí Thìn; Fb: Ngũn Chí Thìn
Chọn B
Đặt

2
t = 2 x > 0 , phương trình đã cho trở thành: t − m cos ( π x ) .t + 1 = 0 (*)

(*) là phương trình bậc hai có a = 1 > 0 , b = − m cos ( π x ) , c = 1 > 0 . Ta có ac > 0 nên (*) hoặc

vơ nghiệm hoặc có hai nghiệm cùng dấu.

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình

∆ = 0

⇔ b
⇔
 − 2a > 0
Khi đó

 m2 .cos 2 ( π x ) = 4

 m.cos ( π x ) > 0 ⇔ m.cos ( π x ) = 2

(*) ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0 ⇔ t = 1 ⇔ 2 x = 1 ⇔ x = 0 .

Thay vào

(2*)

ta có

m= 2.

(2*)

(*) có nghiệm kép dương


Vậy

m = 2 là giá trị duy nhất thỏa mãn bài tốn.


Câu 34.

[2D2-5.3-3] (Đặng Thành Nam Đề 14) Phương trình ( 1 + 2 )

2

nghiệm phân biệt

x1 , x2

3

a ∈  −∞ ; − ÷
A.
2 .


thỏa mãn

x

+ ( 1 − 2a )

(

)

x

2 − 1 − 4 = 0 có

x1 − x2 = log1+ 2 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 3
a ∈  0; ÷
C.
 2.

 3 
a ∈  − ;0 ÷
B.

 2 .

3

a ∈  ; +∞ ÷
D.
2
.

Lời giải
Tác giả: Hồ Văn Thảo ; Fb: Thảo Thảo.
Chọn B
Vì

( 1+ 2 ) (
(

)

2 −1 = 1

)

x

⇒
Đặt t = 1 + 2 ( t > 0 )
Phương trình trở thành:

t+

(

)

x

2 −1 =

1
t

1 − 2a
− 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 − 2t = 0 ( 1)
.
t

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình

( 1)

phải có hai nghiệm dương

t1 , t2 .
 ∆ ′ = 2a + 3 > 0

 t1 + t2 = 4 > 0
−3
1
< a<

 t t = 1 − 2a > 0 ⇔
12
2
2.
Và thỏa mãn

 t1 = 3t2

 t1 + t2 = 4 ⇔
 t t = 1 − 2a
12
Vậy với

(

x1 − x2 = log1+ 2 3 ⇔ 1 + 2
 t1 = 3

⇔
 t2 = 1
 t t = 1 − 2a = 1.3
12

)

x1 − x2

=3⇔

t1

=3
⇔ t1 = 3t 2 .
t2

 t1 = 3

 t2 = 1
a = −1


a = − 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 35. [2D2-5.3-3] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Trên đoạn
số nguyên
A.

2010 .

[ 0;2019]

có bao nhiêu

x
x
m để phương trình 9 − 2 ( m + 2 ) .3 + 3m − 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu?

B.

2019 .

C.

5.

D.

4.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tấn Kiệt; Fb: Kiệt Nguyễn
Chọn D


Đặt

2
t = 3x , t > 0 ta có phương trình: t − 2 ( m + 2 ) .t + 3m − 2 = 0 ( 1) .

Yêu cầu bài tốn tương đương với tìm số số ngun
nghiệm phân biệt thỏa

m∈ [ 0;2019]

để phương trình

( 1)

có hai

0 < t1 < 1 < t2 .

 m2 + m + 6 > 0
 ∆ ′ = ( m + 2 ) − 3m + 2 > 0 

 m > − 2
 S = 2 ( m + 2) > 0
⇔
2

m
>

 P = 3m − 2 > 0
3

 t −1 t −1 < 0
t1t2 − ( t1 + t2 ) + 1 < 0
( 1 ) ( 2 )
2

Hay

phương

( 1)

trình

có:

2


2

m>
m >

3
⇔
⇔
3
3m − 2 − 2 ( m + 2 ) + 1 < 0 m < 5 . Vì



m∈ ¢

nên

m∈ { 1;2;3;4} .

Vậy có 4 giá trị của m thỏa đề bài.

Câu 36. [2D2-5.3-3] (Hùng Vương Bình Phước) Tìm tất cả các giá trị của tham số

(

)

m

để phương trình

2

4 log 2 x - log 1 x + m = 0
2

æ 1ù
m ẻ ỗỗ0; ỳ
ỗố 4 ỳ
A.
ỷ.

B.

cú nghim thuc khong

m ẻ ( - Ơ ;0] .

( 0;1) .

ộ1
ử
ờ ; +Ơ ữ
ữ
ữ
ứ.
4
C. ờ
ở

ổ 1ự
m ẻ ỗỗ- Ơ ; ỳ
ỗố
4ỳ
D.
ỷ

Li gii
Tỏc gi: Lờ Th Thu Hường ; Fb: Lê Hường
Chọn D
ĐKXĐ:

x >0 .

Cách 1: Ta có:

(

4 log 2

2

ỉ1
ư
x - log 1 x + m = 0( *) 4 ỗỗ log 2 xữ
ữ
ữ + log 2 x + m = 0
ỗ
ố

ứ
2
2

)

2

log 2 2 x + log 2 x + m = 0 Û m =- log 2 2 x - log 2 x .

log 2 x = t , với x Ỵ ( 0;1)

t < 0 . Phương trình đã cho trở m =- t 2 - t(**) .
Để phương trình ( *) có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) Û phương trình (**) có nghiệm t < 0.
Đặt

2

Xét f (t ) =- t Bảng biến thiên:

t

với

thì

t < 0 . Ta có

1
¢

f
t
=
0
Û
t
=.
(
)
¢
f ( t ) =- 2t - 1 và
2


Vậy để phương trình
Cách 2: Ta có:

(

4 log 2
Đặt

(**) có nghim t < 0

thỡ

mÊ

ổ 1ự
1

m ẻ ỗỗ- Ơ ; ỳ
ỗố
4ỳ
ỷ.
4 hay

2

ỉ1
ư
x - log 1 x + m = 0 ( *) 4 ỗỗ log 2 xữ
ữ
ữ + log 2 x + m = 0 Û log 2 2 x + log 2 x + m = 0
ỗố2
ứ
2

)

2

log 2 x = t ,với x Ỵ ( 0;1)

Để phương trình

( *) có

2

t < 0 . Phương trình đã cho trở t + t+ m = 0 (**) .

nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) Û phương trình (**) có
thì

t < 0 Û D = 1- 4 m ³ 0 Û m £
Vì khi D ³ 0 phương trình
nhất một nghiệm âm.

nghiệm

1
4.

(**) có nghiệm t1; t2 thì theo Định lí Viet t1 + t2 =- 1 nờn luụn cú ớt

ổ 1ự
m ẻ ỗỗ- Ơ ; ỳ
ỗố
4ỳ
Vy
ỷthỡ phng trỡnh ( *) cú nghim thuc khong ( 0;1) .
Câu 37. [2D2-5.3-3] (Kim Liên) Số giá trị nguyên của

4 x − ( m + 3) 2 x + 3m + 1 = 0
A.

2021

B.

m

thuộc đoạn

có đúng một nghiệm lớn hơn

2022

C.

0

[ − 2019;2019]

để phương trình

là

2019

D.

2020

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Lan, FB: Nguyen Thi Lan
Chọn B
Đặt

x
x

2 x = t , t > 0 . Phương trình 4 − ( m + 3) 2 + 3m + 1 = 0 ( 1)

có dạng

t 2 − ( m + 3) t + 3m + 1 = 0 ( 2 ) .
Để phương trình (1) có đúng một nghiệm lớn hơn

t > 1.
Cách 1:
TH1: Xét (2) có nghiệm kép lớn hơn 1 .

0

thì phương trình (2) có đúng một nghiệm


 ∆ = ( m + 3) 2 − 4 ( 3m + 1) = 0
 m 2 − 6m + 5 = 0

⇔
⇔

m+3
m
>
−
1
t
=
t

=
>
1

1 2

2
TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm

 f ( 1) = 0
⇔

 t2 = 3m + 1 > 1

đoạn

(thỏa mãn).

2
t1 = 1 < t2 . Đặt f ( t ) = t − ( m + 3) t + 3m + 1 .

1

1
m =
2 ⇔ m=

2
 m > 0
(loại vì

TH3: Phương trình (2) có hai nghiệm

m = 1

m = 5

m

nguyên).

t1 < 1 < t2 ⇔ 1. f ( 1) < 0 ⇔ m <

[ − 2019;2019] nên có 2020 giá trị của m .

Vậy có tất cả

1
2 . Mà

m

nguyên trong

2022 giá trị của m .

Cách 2:

t 2 − 3t + 1
t − ( m + 3) t + 3m + 1 = 0 ⇔

=m
Ta có:
(vì t = 3 khơng là nghiệm của phương trình).
t−3
2

Xét hàm số

Ta có:

g ( t) =

g′ ( t ) =

t 2 − 3t + 1
, t ∈ ( 1; +∞ ) \ { 3} .
t−3

t 2 − 6t + 8

( t − 3)

2

t = 2
= 0⇔ 
t = 4 .

Bảng biến thiên


m = 1

m = 5

1
m≤

Căn cứ BBT ta thấy: 
2 , do đó có tất cả 2022 giá trị nguyên của
Câu 38. [2D2-5.3-3]

(THPT

LƯƠNG

THẾ

VINH

2019LẦN

m

3)

trong
Cho

log 32 x − 4log 3 x + m − 3 = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

cho có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 thỏa mãn x2 − 81x1 < 0.

[ − 2019;2019] .
phương

trình

để phương trình đã