Dang 1. Định nghĩa, tính chất và tích phân cơ bản(TH)

Câu 1.

[2D3-2.1-2] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho biết
2

2

2

0

0

0

∫ f ( x ) dx = 3 và ∫ g ( x ) dx = − 2 . Tính tích phân I = ∫  2 x + f ( x ) − 2 g ( x ) dx .
A.

I = 11 .

B.

I = 18 .

C.

I = 5.

D.

I = 3.

Lời giải
Tác giả: Trần Đình Thái ; Fb: Đình Tháii
Chọn A

Ta có
Câu 2.

2

2

2

2

0

0

0

0

I = ∫  2 x + f ( x ) − 2 g ( x ) dx = ∫ 2 xdx + ∫ f ( x ) dx − 2 ∫ g ( x ) dx

f ( x)

[2D3-2.1-2] (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số
2

4

4

0

2

0

= 4 + 3 − 2. ( −2 ) = 11 .
liên tục trên

¡

và có

∫ f ( x ) dx = 9; ∫ f ( x ) dx = 4 . Tính I = ∫ f ( x ) dx ?
A.

9
4.

I=

B.

I = 36 .

C.

I = 13 .

D.

I = 5.

Lời giải
Tác giả:ĐẶNG DUY HÙNG ; Fb: Duy Hùng
Chọn C

Ta có
Câu 3.

4

2

4

0

0

2

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 9 + 4 = 13 .

[2D3-2.1-2] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho hai hàm số

[ 1;5]

sao cho

5

5

5

1

1

1

f

và

g

liên tục trên đoạn

∫ f ( x ) dx = 2 và ∫ g ( x ) dx = 3 . Giá trị của ∫ 2 g ( x ) − f ( x )  dx là
B. 6 .

A. 4 .

D. − 2 .

C. 2 .
Lời giải

Tác giả: Trần Quốc Tú; Fb: Tran Tu
Chọn A
Vì hai hàm số

f

và

g

liên tục trên đoạn

5

5

5

1

1

1

[ 1;5]

nên

∫  2 g ( x ) − f ( x )  dx = 2∫ g ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 4 .
a

Câu 4.

∫( x
[2D3-2.1-2] (Kim Liên 2016-2017) Tìm số thực a < 0 thỏa mãn
1

A.

a = −4.

Chọn C

B.

a = − 5.

3

− 6 x ) dx =

875
4 .

C. a = − 6 .

D. a = − 3 .
Lời giải
Tác giả: Đinh Văn Trường ; Fb: Đinh Văn Trường


a

∫(

a

4
 x4
2
3
=
x − 6 x dx  − 3x ÷ = a − 3a 2 + 11
4
1 4
4.

)

Ta có 1
Từ giả thiết ta có phương trình:

 a 2 = 36
a4
875
2 11

⇔ 2
− 3a + =
4
2
4
4
4 ⇔ a − 12a − 864 = 0  a = − 24 .
Do
Câu 5.

a< 0

nên

a = −6.

[2D3-2.1-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Cho
1

5

5

0

1

0

∫ f ( x ) dx = − 2 và ∫ ( 2 f ( x ) ) dx = 6 khi đó ∫ f ( x ) dx bằng:

A. 1 .

2.

B.

C.

4.

D.

3.

Lời giải
Tác giả: Phạm Hoàng Điệp; Fb:Hồng Điệp Phạm
Phản biện: Mai Đình Kế; Fb: Tương Lai
Chọn A
5

5

∫ ( 2 f ( x ) ) dx = 6 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 3
1
5

1

1

5

0

0

1

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − 2 + 3 = 1
2

Câu 6.

[2D3-2.1-2] (Cẩm Giàng) Tính tích phân
A.

I=

ln 3 − 1
2 .

I=

B.

ln 3
2 .

1
dx

2
x
−
1
.
1

I=∫

I=

ln 3
3 .

C.
D. I = ln 3 + 1 .
Lời giải
Tác giả: Trần Lê Cường; Fb: Thầy Trần Lê Cường

Chọn B
2

2

1
1
1
ln 3
I=∫
dx = ln 2 x − 1 = ( ln 3 − ln1) =

2x − 1
2
2
2 .
1
1
0

Câu 7.

∫e
[2D3-2.1-2] ( Sở Phú Thọ) Giá trị của
−1

A. 1 − e .

B.

e − 1.

x+1

dx

bằng
C.

−e.

D. e .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Đăng Thuyết ; Fb: Thuyết Nguyễn Đăng
Chọn B
0

0

x +1
x +1
∫ e dx = e = e − 1

Ta có − 1

−1

.


−1

2

Câu 8.

[2D3-2.1-2]

(Lý

Nhân

Tông)

∫ f ( x ) dx = 3

Cho

−1

∫ g ( x ) dx = 1 .

và

2

Tính

2

I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x )  dx
.
−1

21
A. 2 .

26
B. 2 .

5

D. 2 .

7
C. 2 .
Lời giải

Chọn A
2

2

2

2

−1

−1

−1

−1

I = ∫  x + 2 f ( x ) − 3g ( x )  dx = ∫ xdx + 2 ∫ f ( x ) dx − 3 ∫ g ( x ) dx

Ta có:

x2
=
2

2

−1

2

3
21
+ 2 ∫ f ( x ) dx + 3 ∫ g ( x ) dx = + 2.3 + 3.1 =
2
2.
−1
2
−1
2

Câu 9.

[2D3-2.1-2] (THPT YÊN DŨNG SỐ 2 LẦN 4) Cho

∫ f ( x ) dx = 2

−1

2

và

∫ g ( x ) dx = − 1 . Tính

−1

2

I = ∫  x + 2 f ( x ) + 3g ( x)  dx
.
−1

A.

I=

7
2.

B.

I=

17
2.

C.

I=

5
2.

D.

I=

11
2.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Phu ; Fb: Nguyễn Văn Phu
Chọn C
2

2

2

−1

−1

−1

−1

I = ∫  x + 2 f ( x ) + 3g ( x)  dx = ∫ xdx + 2 ∫ f ( x ) dx + 3 ∫ g ( x)dx

Ta có

x2
=

2

2

2

1
5
+ 2.2 + 3.(− 1) = 2 − + 1 =
2
2.
−1
m

Câu 10.

∫ ( 3x
[2D3-2.1-2] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho
0

thuộc khoảng nào sau đây?
A.

( − 1;2 ) .

B.

( −∞ ;0 ) .

C.

2

− 2 x + 1) dx = 6

( 0;4) .

. Giá trị của tham số m

D.

( − 3;1) .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Phương; Fb: Hộp –Thư.
Chọn C


m

∫ ( 3x
Ta có:

2

0

Vậy

− 2 x + 1) dx = 6 ⇔ x3 − x 2 + x

(

)

m
0

= 6 ⇔ m3 − m 2 + m − 6 = 0 ⇔ m = 2 .

m∈ ( 0;4 ) .
ln 2

Câu 11. [2D3-2.1-2] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Tính tích phân

I=

A

15
+ ln 2
.
4

B.

I=

I = 4 + ln 2 .

I=

∫ (e

4x

0

17
+ ln 2
.
4

C.
Lời giải

D.

+ 1) dx

I=

15
+ ln 2
.
2

Tác giả: Nguyễn Thị Xuyến; Fb: Nguyen Xuyen
Chọn A
ln 2

Ta có:

e

∫

I=

4ln 2

0

0

e
=
−
4
4

ln 2

ln 2

ln 2
ln 2
1 4x
e 4 x ln 2 ln 2
( e + 1) dx = ∫ e dx + ∫ 1.dx = 4 ∫ e d ( 4x ) + ∫ 1.dx = 4 0 + x 0

0
0
0
0
4x

4x

(e )
+ ln 2 − 0 =

ln 2 4

4

1
24 1
15
− + ln 2 = − + ln 2= + ln 2
.
4
4 4
4

Câu 12. [2D3-2.1-2] (THPT Nghèn Lần1) Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ 0;1]

1

và

f ( 1) − f ( 0 ) = 2 . Tính

A. 1 − e .

I = ∫  f ′ ( x ) − e x  dx
0

B. 1 + e .

.

C. 3 − e .
Lời giải

D.

3+ e .

Tác giả: PhongHuynh ; Fb: PhongHuynh
Chọn C
1

1

1

1
I = ∫  f ′ ( x ) − e  dx = ∫ f ′ ( x ) dx − ∫ e x dx
x1
=
f
x
−
e
= f ( 1) − f ( 0 ) − e1 − e0 = 3 − e .
(
)
Ta có
0
0
0
0
0
x

(

)

1

x2 − x + 3
I=∫
dx

x
+
1
Câu 13. [2D3-2.1-2] (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Tính tích phân
.
0

3
I = − ln 2
A.
.
2

B.

I = ln 2 −

3
2.

I = 5ln 2 +

3
2.

I = 5ln 2 −

C.
D.
Lời giải

Tác giả:Phạm Thị Mai Sơn; Fb:Maison Pham

Chọn D
1

1
 x2

x2 − x + 3
5 
3

I=∫
dx = ∫  x − 2 +
÷dx =  − 2 x + 5ln x + 1 ÷ = 5ln 2 −
x+1
x + 1
2.
Ta có:
 2
0
0
0
1

3
2.


Câu 14. [2D3-2.1-2] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Giá trị của tích phân

2

dx

∫ 2x + 5
1

bằng
A. 18.

1 b
ln
là a c , (với a , b ,

b
là các số tự nhiên và c là phân số tối giản). Tổng a + b + c

c

B. 14.

C. 16.

D. 10.

Lời giải
Tác giả: Phạm Bình ; Fb: Phạm An Bình
Chọn A
2
dx

1 d ( 2 x + 5) 1
1 9
=
=
ln
2
x
+
5
=
ln
(
)
∫
∫
1
2
2 7.
Ta có 1 2 x + 5 2 1 2 x + 5
2

Vậy

2

a + b + c = 2 + 9 + 7 = 18 .
1

Câu 15. [2D3-2.1-2] (KonTum 12 HK2)
A.

∫ | x − 2 | dx bằng
0

3
B. 2 .

2.

1
C. 2 .

1
D. 2 .

−

Lời giải

Tác giả: ; Fb:Nguyễn Tiến Phúc
Chọn B
Ta có:

∀ x ∈ ( 0;1)

x− 2< 0


x2  1 3
∫0 | x − 2 | dx = ∫0 ( 2 − x ) dx =  2 x − 2 ÷ 0 = 2 .

1

⇒

thì
1

F ( x)

Câu 16. [2D3-2.1-2] (Liên Trường Nghệ An) Biết

là một nguyên hàm của hàm

f ( x ) = cos3x

π  2
π 
F  ÷=
F ÷
và  2  3 . Tính  9  .
3+ 2
π 
F  ÷=
A.  9 
6 .

3− 2
π 
F  ÷=
B.  9 

6 .

π  3+ 6
F  ÷=
C.  9 
6 .

Lời giải

3−6
π 
F  ÷=
D.  9 
6 .

Tác giả: Nguyễn Trường Giang; Fb: Giang Nguyen
Chọn C
Cách 1:
π
2

Ta có:

∫

π
9

π
2

1
f ( x ) dx = ∫ cos ( 3 x ) dx = sin ( 3 x )
3
π
9

π
2

Mặt khác:

∫

π
9

π
2
π
9

π 
π 
f ( x ) dx = F  ÷− F  ÷
2
9 2
( ).

1   3π 

2+ 3
 3π  
= sin  ÷− sin  ÷ = −
3  2 
6
 9 
( 1) .


3+6
π 
 π  2+ 3 2 2+ 3
F  ÷ = F  ÷+
= +
=
Từ ( 1) và ( 2 ) ta suy ra:  9 
6
3
6
6 .
 2
Cách 2:

1
F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ cos3 xdx = sin 3x + C
.
3
2
π  2 1  π 
F  ÷ = ⇒ sin  3. ÷ + C = ⇔ C = 1

Ta có  2  3
.
3  2
3
6+ 3
π  1  π 
F  ÷ = sin  3. ÷ + 1 =
Khi đó  9  3  9 
6 .

Câu 17. [2D3-2.1-2] (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Cho

2

5

0

0

∫ f ( x)d x = 5 và ∫ f ( x)d x = − 3 , khi đó

5

∫ f ( x)d x bằng
2

A.

8.

C. − 8 .
D. − 15 .
Lời giải
Tác giả:Trần Xuân Trường; Fb:toanthaytruong

B. 15 .

Chọn C

Ta có

5

2

5

5

5

2

0

0

2

2

0

0

∫ f ( x)d x = ∫ f ( x)d x + ∫ f ( x)dx ⇔ ∫ f ( x)d x = ∫ f ( x)d x − ∫ f ( x)d x = − 3 − 5 = − 8 .
5

dx
= a + ln(b+ 1)
∫
Câu 18. [2D3-2.1-2] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Giả sử 1 2 x − 1
, với a, b là các số
ngun khơng âm. Tính T = a + b ?
A. 9.
B. 2.

C. -1.
Lời giải

D. 1.

Tác giả:Trần Thị Phượng Uyên; Fb: UyenTran
Chọn B
5

5
dx
1

1
=
ln
2
x
−
1
=
(ln 9 − ln1) = ln 3 = ln(2 + 1)
∫
1
2
Ta có 1 2 x − 1 2
.

Vậy

a = 0, b = 2 ⇒ a + b = 2 .

Câu 19. [2D3-2.1-2] (Hải Hậu Lần1) Cho
3

f ( x), g ( x)

là hai hàm số liên tục trên

3

3

[ 1;3]

∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10 và ∫  2 f ( x ) − g ( x )  dx = 6 . Tính ∫  f ( x ) + g ( x )  dx .
1

A. 7.

1

B. 9.

C. 6.

1

D. 8.

thỏa mãn


Lời giải
Tác giả: Dương Chiến; Fb: DuongChien.Ls
Chọn C

3
 ∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10
1
⇔
3
  2 f x − g x  dx = 6

∫ ( ) ( )
Ta có  1

3
3
f
x
d
x
+
3
∫ ( )
∫1 g ( x ) dx = 10
1
⇔
 3
3
 2 f x d x − g x dx = 6
∫1 ( )
 ∫ ( )
 1

3

3

3

1

1

1

3
 ∫ f ( x ) dx = 4
1
.
3
 g x dx = 2
∫ ( )
1

∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 4 + 2 = 6 .

Suy ra

Câu 20. [2D3-2.1-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Cho các hàm số

f ( x) , g ( x)

liên tục trên

¡

có

5

5

−1

−1

∫  2 f ( x ) + 3g ( x )  dx = − 5 ; ∫  3 f ( x ) − 5g ( x )  dx = 21 . Tính

5

∫  f ( x ) + g ( x )  dx .

−1

A.

−5.

B. 1 .

C.

5.

D.

− 1.

Lời giải
Tác giả: Lê Hữu Đức; Fb: Le Huu Duc
Chọn D

Đặt

5

5

−1

−1

∫ f ( x ) dx ; J = ∫ g ( x ) dx

I=

5
 2 I + 3J = − 5
I = 2
⇔
⇒ ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = I + J = − 1

Ta có  3I − 5 J = 21
.
 J = − 3 −1
1
2

Câu 21.

2x − 1

dx = a ln 3 + b ln 2 + c
x +1
( a, b, c là các số nguyên).
0

∫
[2D3-2.1-2] (THPT Nghèn Lần1) Biết
Giá trị
A.

a+ b− c

bằng

2.

B.

C. 3 . D.

−4.

− 1.

Lời giải
Tác giả: Tô Thị Lan ; Fb: Lan Tô
Chọn D
1
2

1
2

3 
1
2x − 1

3
=
2
−
d
x
d
x

÷ ( 2 x − 3ln x + 1 ) 2 = 1 − 3ln = − 3ln 3 + 3ln 2 + 1
∫
∫
x + 1 =
Ta có: 0 x + 1
.
0
0
2
Do đó:

a = − 3 , b = 3 , c = 1 . Vậy a + b − c = − 1 .

π
2

Câu 22. [2D3-2.1-2] (KonTum 12 HK2) Cho biết
Giá trị của biểu thức
A.

a+ b

−4.

B.

∫ ( 4 − sin x ) dx = aπ + b , với a, b là các số nguyên.
0

bằng

6.

C. 1 .
D. 1 .
Lời giải
Tác giả:Tuấn Anh Nguyễn; Fb: Tuấn Anh Nguyễn

Chọn C

Ta có

π

2

π
2

π
2

0

0

0

π

π

∫ (4 − sin x)dx = 4 ∫ dx − ∫ sin x dx = 4 x 02 + cos x 02 = 2π − 1

.

a = 2
⇒ a + b = 2−1= 1

Suy ra  b = − 1
.
1

Câu 23. [2D3-2.1-2] (SGD-Nam-Định-2019) Cho

hữu tỉ. Tính giá trị của

−1
A. 2 .

xdx

∫ ( x + 3)

2

= a + b ln 3 + c ln 4

0

với

a, b, c

là các số

a+ b+ c.
−1
B. 4 .

4
C. 5 .

1
D. 5 .

Lời giải
Tác giả: Lê Quang ; Fb: Quang Lê
Chọn B
1

Đặt

I =∫
0

Đổi biến:
Đổi cận:

xdx

( x + 3)

2

x+ 3= t

.
nên

dx = dt .

x = 0 ⇒ t = 3; x = 1 ⇒ t = 4.
4

4

t −3
3

I = ∫ 2 dt =  ln t + ÷
t
t 3

Được:
3
Suy ra:

a=

−1
4 ; b=

3 
3  −1

=  ln 4 + ÷−  ln 3 + ÷ = − ln 3 + ln 4
4 
3 4

.

− 1; c = 1.
6

Câu 24. [2D3-2.1-2] (THTT lần5) Cho
6

∫ f ( u ) du = − 3 .
2

2

Giá trị của

ò[ f (v) - 3] dv bằng
0

f ( x)

là hàm số liên tục trên

¡

và

∫ f ( x ) dx = 4 ,
0


A. 1 .

3.

B.

C.

4.

D.

2.

Lời giải
Tác giả: Lê Xuân Sơn; Fb: Lê Xuân Sơn
Chọn A
6

6

6

ò f ( x) dx = 4 ; ò f ( x) dx = ò f ( u ) du =- 3 .

Ta có:

0

2

2

2

6

6

ị f ( x) dx = ò f ( x) dx - ò f ( x) dx = 4 - (- 3) = 7 .

Do đó

0

0

2

2

2

2

2

ị[ f (v) - 3] dv = ị[ f ( x) - 3] dx = ò f ( x)dx - ò3dx = 7 - 6 =1 .

Suy ra

0

0

0

0

2

Vậy giá trị của

ò[ f (v) - 3] dv bằng 1.
0

Câu 25. [2D3-2.1-2] (Sở Hà Nam) Cho
bằng
A.

− 1.

B.

1

0

1

0

1

0

∫ f ( x ) dx = − 3 và ∫ g ( x ) dx = 2 , khi đó ∫ ( f ( x ) + 2g ( x ) ) dx

5.

C.

−7.

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Lam Viễn; Fb: Lam Vien Nguyen
Chọn C

Ta có

1

1

0

0

0

1

∫ ( f ( x ) + 2 g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx − 2∫ g ( x ) dx = − 3 − 2.2 = − 7 .

π
8

Câu 26. [2D3-2.1-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Cho

I = ∫ cos 2 2 xdx =
0

π b
+
a c , với a , b ,

c

là các số

b
nguyên dương, c tối giản. Tính
A.

P = a+ b+ c .
B. P = 23 .

P = 15 .

C. P =
Lời giải

24 .

D.

P = 25 .
Minh Thuận

Chọn D

π
1 1

1
=  x + sin 4 x ÷ 8 π 1
 1 + cos 4 x 
I = ∫ cos 2 2 xdx = ∫ 
÷dx = ∫ ( 1 + cos 4 x ) dx 2  4
0 = +
2
20

0
0
16 8 .
π
8

π
8

⇒ a = 16 , b = 1 , c = 8 .
Vậy P = a + b + c = 16 + 8 + 1 = 25 .

π
8


Câu 27. [2D3-2.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 9) Hai viên đạn cùng rời khỏi nòng súng tại thời

t= 0

điểm

với những vận tốc khác nhau: viên thứ nhất có vận tốc

(

v = 3t 2 ( m/s ) ; viên thứ 2 có

)

vận tốc v = 2t + 6 m/s . Hỏi bắt đầu từ giây thứ mấy trở đi thì viên đạn thứ nhất xa điểm xuất
phát hơn viên đạn thứ hai?
A. 4.
B. 2.
C. 3.
D. 6.
Lời giải
Tác giả: Đoàn Trần Xuân Toàn; Fb: Đoàn Trần Xuân Toàn
Chọn C

a ( s ) , ( a > 0)

Gọi
hai.

là thời gian bắt đầu để viên đạn thứ nhất xa điểm xuất phát hơn viên đạn thứ

Ta có:
a

a

a

0

0

0

S1 − S 2 > 0 ⇔ ∫ v1 ( t ) dt − ∫ v2 ( t ) dt > 0 ⇔ ∫  v1 ( t ) − v2 ( t )  dt > 0
a

⇔

∫ ( 3t
0

Loại

2

 −2 < a < 0
− 2t − 6 ) dt > 0 ⇔ a 3 − a 2 − 6a > 0 ⇔ 
.
a > 3

−2< a < 0.

Câu 28. [2D3-2.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên đoạn

[ − 1;4]

như hình vẽ

4

bên .Tích phân

5
A. 2 .

∫ f ( x)dx bằng

−1

11

B. 2 .

C.5.

D. 3.

Lờigiải
Tác giả:Nguyễn Thị Thu Hương; Fb: Hương Nguyen
Người phản biện: Nguyễn Thắng
ChọnA
Cách 1: Xác định hàm số

f ( x)

trên từng đoạn, rồi tính tích phân ta có:

4

0

1

2

3

4

−1

−1

0

1

2

3

∫ f ( x)dx = ∫ ( 2 x + 2) dx + ∫ 2dx + ∫ ( − 2 x + 4 ) dx + ∫ ( − x + 2 ) dx + ∫ (− 1)dx


4

∫

f ( x ) dx =

−1

5
2 . Chọn A

Cách 2: Ứng dụng diện tích hình phẳng

Gọi các điểm A(− 1;0), B (0;2), C (1;2), D(2;0), E (3;0), F (3; − 1), G(4;0) . Vậy
4

∫ f ( x)dx = S

OAB

−1

+ SOBCD − S DEFG = 1 .1.2 + (1 + 2)2 − (2 + 1)1 = 5
2
2
2
2 . Chọn A

Câu 29. [2D3-2.1-2] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Tính tích phân
2

∫ max { x, x } d x .
3

0

17
A. 4 .

B.

15
C. 4 .

2.

D.

Lời giải

4.

Tác giả:Lưu Liên; Fb: Lưu Liên
Chọn A
2

1

2

1

2

1

1 17
4 .

∫ max { x, x } d x = ∫ max { x, x } d x + ∫ max { x, x } d x = ∫ x d x + ∫ x d x = 2 + 4 − 4 =
3

3

0

3

0

3

1

0

1

1

Câu 30.

x2 + 2 x

∫
[2D3-2.1-2] (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Cho ( x + 1)

3

dx = a + b ln 2
với

0

là các số hữu tỷ. Giá trị của 16a +
A. 17 .

a, b

b là

B. 10 .

C.

−8.

D.

−5.

Lời giải
Tác giả: Phạm An Bình ; Fb: Phạm An Bình
Chọn D
Ta có
1
1
x + 1) − 1
1
(
( x + 1)
1
−3
d
x
=
d

x
=
d
x
−
x
+
1
d
x
=
ln
x
+
1
−
(
)
∫0 ( x + 1) 3 ∫0 ( x + 1) 3
∫0 x + 1 ∫0
0
−2
1

1

x2 + 2 x

Vậy

a=−

3
8;

2

b = 1 và 16a + b = − 5 .

−2 1

0

3
= − + ln 2
8
.


Câu 31. [2D3-2.1-2] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Cho hàm số
nguyên hàm là
A.

F ( x ) . Biết F ( 1) = 8 , giá trị F ( 9 )

F ( 9) = f ′ ( 9) .
9

C.

1

liên tục trên

¡

và có một

được tính bằng cơng thức

B.

F ( 9 ) = ∫  8 + f ( x )  dx

f ( x)

F ( 9 ) = 8 + f ′ ( 1) .
9

.

D.

F ( 9 ) = 8 + ∫ f ( x ) dx
1

.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Nga; Fb: Con Meo

Chọn D
b

∫

Ta có

a

f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a )
b

9

⇒

∫ f ( x ) dx = F ( x )
1

9
1

( với

a < b ).
9

= F ( 9 ) − F ( 1) = F ( 9 ) − 8 ⇒ F ( 9 ) = 8 + ∫ f ( x ) dx
1

f ( x)

Câu 32. [2D3-2.1-2] (KonTum 12 HK2) Cho hàm số
2

2

1

1

0

0

.

liên tục trên tập

R

và thỏa mãn

∫ f ( x ) dx = 3 , ∫ f ( x ) dx = − 5 . Giá trị của biểu thức ∫ f ( x ) dx bằng
A.

8.

B.

C. − 8 .
D. − 2 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Oanh ; Fb: Nguyễn Oanh

− 11 .

Chọn C

Ta có:

1

2

2

0

0

1

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = − 5 − 3 = − 8 .
3

Câu 33.

∫
[2D3-2.1-2] (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho x

1

Giá trị của
A. -1

a + b + c bằng:

B. 4

2

2x + 1
dx = aln2 + bln3 + c ln5, (a, b,c ∈ ¢ )
.
+ 3x + 2
C. 1

D. 7

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Duy Tình ; Fb: nguyenduytinh
Chọn A
3

3

3

3
3

2x + 1
3
1
dx
=
dx
−
dx
=
3ln
x
+
2
−
ln
x
+
1
= 3ln5− 3ln3− ln2
∫ 2
∫1 x + 2 ∫1 x + 1
1
1
Ta có: 1 x + 3x + 2

Vậy:

a = − 1; b = − 3;c = 3 ⇒ a + b + c = − 1 .

Câu 34. [2D3-2.1-2] (Quỳnh Lưu Lần 1) Với

b

∫ ( 3x
0

2

− 2ax − 1) dx

bằng

a, b

là các tham số thực. Giá trị tích phân


A. b3 − b 2 a − b .

B. b3 + b 2 a + b .

C. b3 − ba 2 − b .
D. 3b 2 − 2ab − 1 .
Lời giải
Tác giả: Trịnh Ba ; Fb:trinh.ba.180

Chọn A
b

∫ ( 3x

2

− 2ax − 1) dx = ( x3 − ax 2 − x ) = b3 − ab 2 − b
b

0

0

.

Câu 35. [2D3-2.1-2] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Cho
các số nguyên dương. Giá trị
A. 3 . B.

4.

C.

a+ b

I=∫

x
dx = a − ln b
0 x+1
với a, b là
1

bằng:

5.

D.

6.

Lời giải
Tác giả: Phan Thị Hồng Cẩm ; Fb: lop toan co cam
Giáo viên phản biện:Nguyễn Thị Hồng Loan;Fb: Nguyễn Loan
Chọn A

Ta có:
Vậy:

I=∫

1
1
x
1 
dx = ∫  1 −
d
x
=
x
−
ln
x
+

1
= 1 − ln 2.
(
)
÷
0 x+1
0
0
 x + 1
1

a = 1, b = 2 ⇒ a + b = 3.
1

∫

Câu 36. [2D3-2.1-2] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Tích phân 0
A.

3 3−

2
3.

B.

2 3−

3
2.

C.

2 x + 1dx

3 3−

có giá trị bằng

3 3 −1
D.
3 .

3
2.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hạnh ; Fb: Hạnh nguyễn
Phản biện: Trương Thị Thúy Lan ; Fb: Lan Trương Thị Thúy
Chọn D
1

∫
0

3

1
3
1 3 3 −1

1
1 (2 x + 1) 2 1 1
2 x + 1dx = ∫ 2 x + 1d (2 x + 1) =
= (2 x + 1) 2 =
3
0 3
0
20
2
3
2

Cách 1:
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

Câu 37. [2D3-2.1-2] (KINH MƠN II LẦN 3 NĂM 2019) (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Cho
hàm số
1

A.

∫
0

y = f ( x)

liên tục trên

¡

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

2

1
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
20
.

B.

1

C.

∫ f ( x ) dx = 0 .

−1

D.

1

1

−1

0

∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx .

1

1

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( 1 − x ) dx .


Lời giải
Tác giả:Trần Đắc Nghĩa; Fb:Đ Nghĩa Trần
Chọn D
1

Xét

I = ∫ f ( 1 − x ) dx

Đặt

t = 1 − x ⇒ dt = − d x .

0

x = 0 ⇒ t = 1 và x = 1 ⇒ t = 0 .

Đổi cận:

Khi đó

.

0

1

1

0

I = ∫ f ( t ) ( − dt ) = ∫ f ( t ) dt

.

1

I = ∫ f ( x ) dx

Hay

0

(Tích phân không phụ thuộc biến).
1

x3
I = ∫ 2 dx
x +2 .

Câu 38. [2D3-2.1-2] (HKII Kim Liên 2017-2018) Tính
−1
A.

I = 1.

B.

I = 0.

C. I
Lời giải

= 3.

D.

I = −3.

Tác giả: ; Fb: Xuan Thuy Delta
Chọn B
Cách 1: Sử dụng Máy tính cầm tay.
Cách 2: Ta có
1
1
1
d ( x2 + 2) x2 1
1
x3
2x 


I = ∫ 2 dx = ∫  x − 2 ÷dx = ∫ xdx − ∫ 2
=
− ln x 2 + 2
−1 = 0 .
x +2
x + 2
2 −1
−1
−1 
−1
−1 x + 2
1

Câu 39. [2D3-2.1-2] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số

y = f ( x ) có đạo hàm liên

4

2 f ′ ( x ) dx
∫
1;4
f
4
=
3,
f
1
=

1
(
)
(
)
[
]
tục trên đoạn
, biết
. Tính
1

A. 10 .

B.

8.

C.

4.

D.

5.

Lời giải
Tác giả: Minh Hạnh ; Fb: fb.com/meocon2809
Chọn C
4

2 f ′ ( x ) dx = 2 f ( x ) 1 = 2  f ( 4 ) − f ( 1)  = 2 ( 3 − 1) = 4
∫
Ta có 1
.
4




Câu 40. [2D3-2.1-2] (PHÂN-TÍCH-BÌNH-LUẬN-THPT-CHUN-HÀ-TĨNH) Cho các hàm số

f ( x) , g ( x)

liên tục trên

¡

3

3

1

1

∫  3 f ( x ) + 2 g ( x )  dx = 1 ; ∫  2 f ( x ) − g ( x )  dx = − 3 . Tính

có

1

∫ f ( 2 x + 1) dx .
0

−5
A. 7 .

10
B. 7 .

11
C. 14 .

−

5
D. 14 .
−

Lời giải
Tác giả: Lê Hữu Đức; Fb: Le Huu Duc
Chọn D
3

Đặt

3

I = ∫ f ( x ) dx J = ∫ g ( x ) dx

;

1

1

5

I
=
−

7
⇔

 3I + 2 J = 1
 J = 11 ⇒

Ta có  2 I − J = − 3

7

1

∫
0

3

1

5
f ( 2 x + 1) dx = ∫ f ( t ) dt = −
21
14 .
2

Câu 41. [2D3-2.1-2]

(

Sở

Phú

Thọ)

∫ f ( x)dx = 3

Cho 0

2

∫ g( x)dx = − 1 .Giá

và 0

trị

của

2

∫ [ f( x) − 5g(x) + x ] dx bằng:
0

A. 1 2 .

B.

0.

C.

8.

D. 10 .

Lời giải
Tác giả:Lê Tuấn Duy;
Chọn D
2

2

2

2

x2 2
∫0 [ f( x) − 5g(x) + x ] dx = ∫0 f( x)dx − 5∫0 g ( x)dx + ∫0 xdx = 3 + 5 + 2 0 = 8 + 2 = 10.

Câu 42. [2D3-2.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 10) Có bao nhiêu số thực

a ∈ ( 0;2π ]

sao cho

1

1 1
2
cos
ax
d
x
=
+
(
)
∫0
2 4a .
A.

2.

B.

4.

C.

3.

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Thái Lê Minh Lý; Fb: Lý Thái Lê Minh
Chọn A


1 + cos ( 2ax )
cos ( 2ax )
1
cos ( ax ) dx = ∫
dx = ∫ dx + ∫
dx
∫
2
2
2
Ta có: 0
0
0
0
1

1

1

1

2

cos ( 2ax )
1
1
1
dx =
dx = sin ( 2ax )
∫
∫
2 và 0
2
4a
Mà 0 2
1

1

1

=

0

1
sin ( 2a )
4a
.

1

1 1
⇒ ∫ cos 2 ( ax ) dx = + sin ( 2a )
2 4a
.
0
1

∫ cos
Theo đề bài ta có:

2

1 1
2 4a .

( ax ) dx = +

0

π
π
⇔
2
a
=
+
k
2π

⇔
a
=
+ kπ, ( k ∈ ¢ )
sin ( 2a ) = 1
2
4
Nên
π
a
∈
0;2
π
⇔
0π
<
2π
+k ≤
(
]
Do
4
Với

k = 0⇒ a=

π
4.

Với

k = 1⇒ a =

5π
4.

Vậy có 2 giá trị

a ∈ ( 0;2π ]

1
7
⇔ − 0;1k ∈. {
4
4

}

thỏa mãn đề bài.
2

2

∫ f ( x ) dx = 3

Câu 43. [2D3-2.1-2] (Sở Phú Thọ) Cho

0

2

∫ g ( x ) dx = − 1.

và

Giá

0

trị

của

∫  f ( x ) − 5g ( x ) + x dx bằng
0

A. 12 .

B.
D. 10 .

0.

C. 8 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tất Thành; Fb: Thanh Nguyen

Chọn D

2

2

0

0

∫  f ( x ) − 5g ( x ) + x dx = ∫

Ta có:
1

Câu 44.

2

2

2

x2
f ( x ) dx − 5∫ g ( x ) dx + ∫ xdx = 3 + 5 +
= 10.
2 0
0
0
1

1

0

0

∫  f ( x ) − 2 g ( x )  dx = 12 và ∫ g ( x ) dx = 5 , khi đó ∫ f ( x ) dx bằng

Cho 0
A. − 2 .

B. 12 .

C.

22 .

D.

2.


2

2

2

∫ f ( x ) dx = 3 và ∫ g ( x ) dx = − 1. Giá trị của ∫ 2 f ( x ) − 5 g ( x ) + e dx bằng
Cho
x

Câu 45.

0

0

A. 1 +

0

e2 .

B.

C. 11 +

e2 .

D. 10 +

e2 .

e2 .

Câu 46. [2D3-2.1-2] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Một ô tơ đang chạy với vận tốc

54 km/h

thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều với gia tốc

(

khoảng thời gian tính bằng giây. Tính qng đường mà ơ tơ đi được sau
A.

540 m .

B. 150 m .

250 m .

C.

)

a ( t ) = 3t − 8 m/s 2 trong đó t là

10s kể từ lúc tăng tốc.
D.

264m .

Lời giải
Tác giả: Dương Hồng Quốc; Fb: Dương Hồng Quốc
Chọn C

Ta có

v ( t ) = ∫ a ( t ) dt =

3

∫ ( 3t − 8) dt = 2 t

2

− 8t + C

.

3 2
⇒
v
t
=
t − 8t + 15
(
)
v ( 0 ) = 54km/h = 15m/s ⇒ C = 15
.
2
Quãng đường ô tô đi được sau 10s kể từ lúc tăng tốc là
10

10

3

s = ∫ v ( t ) dt = ∫  t 2 − 8t + 15 ÷dt = 250 ( m )

2
.

0
0

Câu 47. [2D3-2.1-2] (Sở Vĩnh Phúc) Cho hàm số

f ( x) =

∫ ( 4t
1

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
A. 16

x

3

− 8t ) dt

M,m

lần lượt là giá trị

[ 1;6] . Tính M − m
C. 18

B. 12

. Gọi

D.

9

Lời giải
Tác giả: Trịnh Duy Thanh. Fb: Trịnh Duy Thanh
Chọn A

Ta có

f ( x) =

x

∫ ( 4t
1

3

− 8t ) dt = ( t 4 − 4t 2 )

x
1

= x2 − 4x + 3

⇒ f ′ ( x ) = 2 x − 4 ; f ′ ( x) = 0 ⇔ x = 2. Lại có f (1) = 0 ; f (2) = − 1 ; f (6) = 15

max f ( x ) = 15 = M min f ( x ) = − 1 = m

So sánh các giá trị vừa tính ta có [ 1;6]

Do đó

, [ 1;6]

M - m = 16 . Chọn A

.


Câu 48. [2D3-2.1-2]
3

x+3
dx = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5
+ 3x + 2
, với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của

∫x

2

A.

0.

1

(THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)

B.

2.

3.

C.

Cho

a+ b+ c

bằng

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Oanh; Fb: Tu Nguyen
Chọn B
3

3

3

3

x+3
x+3
2
1
∫1 x 2 + 3x + 2 dx = ∫1 ( x + 1) ( x + 2 ) dx = ∫1 x + 1dx − ∫1 x + 2dx
= ( 2 ln x + 1 − ln x + 2 )

3
1

= 2 ln 2 + ln 3 − ln 5

a = 2 , b = 1 , c = − 1.
Nên a + b + c = 2 + 1 − 1 = 2 .
Suy ra

Câu 49. [2D3-2.1-2] (Lý Nhân Tông) Một ô tô đang chạy đều với vận tốc

a ( m / s ) thì người lái đạp

phanh. Từ thời điểm đó, ơ tơ chuyển động chậm đần đều với vận tốc v
thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi vận tốc ban đầu

40m
C. a = 25 .

biết từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn ô tô đi được
A.

a = 40 .

B.

a = 20 .

a

( t ) = − 5t + a

trong đó

của ơ tơ bằng bao nhiêu ,

.
D.

a = 10 .

Lời giải
Chọn B

v ( t ) = 0 ⇔ − 5t + a = 0 ⇔ t =

Thời gian ô tô bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn:
a
5

a
5 .
a

5


5at 
s ( t ) = ∫ ( − 5t + a ) dt = 40 ⇔  at −
÷ = 40
2
Quãng đường ô tô được kể từ lúc đạp phanh
.

0
0
2

a2 a2
⇔ − = 40 ⇔ a = 20
.
5 10
Câu 50. [2D3-2.1-2] ( Chuyên Lam Sơn Lần 2) Cho

1

1

0

0

∫ f ( x)dx = 3 , ∫ g ( x)dx = − 2 . Tính giá trị của

1

biểu thức
A. 12.

∫ [ 2 f ( x ) − 3 g ( x ) ] dx
0

B. 9.

C. 6.

D.

−6

Lời giải
Tác giả: Quỳnh Thụy Trang; Fb: XuKa
Chọn A


Câu 1:

1

1

1

0

0

0

∫ [ 2 f ( x) − 3g ( x)] dx=2∫ f ( x)dx − 3∫ g ( x)dx = 12 .
a

Câu 51.

a

[2D3-2.1-2] (KonTum 12 HK2) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
?
A.

6.

B.

5.

để

∫ ( 2 x − 3) dx ≤ 4
0

C. 3 .
D. 4 .
Lời giải

Tác giả: Phí Văn Đức Thẩm ; Fb: Đức Thẩm

Chọn D
a

Ta có
Do

2
2
∫ ( 2x − 3) dx ≤ 4 ⇔ ( x − 3x ) 0 ≤ 4 ⇔ a − 3a ≤ 4 ⇔ − 1 ≤ a ≤ 4
a

0

.

a nguyên dương nên a ∈ { 1,2,3,4} . Vậy có 4 giá trị của a .
4

5x − 8
dx = a ln 3 + b ln 2 + c ln 5
∫ 2
Câu 52. [2D3-2.1-2] ( Sở Phú Thọ) Cho 3 x − 3 x + 2
với a, b, c là các số hữu
tỉ. Giá trị của
A. 12.

2a− 3b + c

bằng
B. 6.

C. 1.

D. 64.

Lời giải
Tác giả: Quỳnh Thụy Trang; Fb:Xuka
Chọn D
4

Câu 2:

4
4
5x − 8
3
2
dx
=
(
+
)
dx
=
(3ln
x
−
1

+
2ln
x
−
2
)
= 3ln 3 − ln 2
∫3 x2 − 3x + 2 ∫3 x − 1 x − 2
3
.

Do đó
Vậy

a = 3, b = − 1, c = 0 .

2a − 3b + c = 64 .
1

Câu 53.

x

∫
[2D3-2.1-2] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Cho ( x + 2 )

2

dx = a + b ln 2 + c ln 3

0

với
A.

a, b, c

là các số hữu tỷ. Giá trị của
B. − 2 .

4.

6a + b + c bằng
C. 2 .
Lời giải

D. 1 .
Tác giả: Bùi Xuân Toàn ; Fb: Toan Bui

Chọn B
1
 1
2 
2 
1

d
x
=
−

d
x
=
ln
x
+
2
+
=
−
− ln 2 + ln 3

÷

÷
2
2
∫
∫

÷
x
+
2
x
+
2
3



x
+
2
x
+
2
)
( ) 
Ta có 0 (
0
.
0
1

x

1

1
a = − , b = − 1, c = 1
Suy ra
.
3


Vậy

6a + b + c = − 2 .

F ′ ( x) =

Câu 54. [2D3-2.1-2] (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Nếu

F ( 4)
A.

1
2 x − 1 và F ( 1) = 1 thì giá trị của

bằng

1
1 + ln 7.
B.
2

ln 7.

C. ln3.
D. 1 + ln 7.
Lời giải
Tác giả: Trần Lê Hương Ly; Fb: Trần Lê Hương Ly

Chọn B
4

4

4

1
1
1
′
F
x
d
x
=
d
x
=
ln
|
2
x
−
1|
=
ln 7
(
)
∫
∫1 2 x − 1 2
2
Ta có: 1
.
1

4

∫ F ′ ( x ) dx = F ( x ) 1 = F ( 4) − F ( 1)

Lại có:

4

1

.

1
1
1
F ( 4 ) − F ( 1) = ln 7
F ( 4 ) = F ( 1) + ln 7 = 1 + ln 7
Suy ra
. Do đó
.
2
2
2
Câu 55. [2D3-2.1-2] (Sở Lạng Sơn 2019) Tích phân
A.

2

1

0

2 x+2

I =∫

dx

bằng:

1

I = 1−

2.

I = 2− 2 .

B.

C.

I = 2 2.

D.

I = 2−

1
2

Lời giải
Tác giả: Vĩnh Tín, Fb: Vĩnh Tín
Chọn B

Ta có

2

1

0

2 x+2

I =∫

2

1

0

2 x+2

dx = ∫

2

d ( x + 2) = x + 2 = 2 − 2

0

1

Câu 56.

x −1

.

3

∫ dx = a + b ln 2 , với a , b là các số nguyên. Giá
[2D3-2.1-2] (KonTum 12 HK2) Cho biết x + 2
0

trị của biểu thức
A.

a − 2b

6.

bằng
B.

C. − 5 .
D. 7 .
Lời giải
Tác giả: Bùi Nguyên Sơn; Fb: Bùi Nguyên Sơn

3.

Chọn D
Cách 1:
1

1

x −1
3 

dx = ∫  1 −
÷dx = x − 3ln x + 2
∫
x
+
2


Ta có: 0 x + 2
0

(

a = 1

Suy ra  b = − 3 . Vậy

a − 2b = 7 .

3

) = ( 1 − 3ln 3) − ( 0 − 3ln 2) = 1 − 3ln 2 .
1

0


Cách 2: dùng MTCT

Bước 1: Tính tích phân rồi lưu lại là A (SHIFT → STO → A).
Bước 2: Rút

a = A − b ln

Bước 3: MODE 7 nhập
Được cặp số

f ( x ) = A − x ln

3
2 với Start:

(Lê

Xoay

lần1)

∫

dx
8
2
= a b − a + ( a, b ∈ R* ) .
3
3
x+ 2 + x+1
Tính

A.

a + 2b = 7 .

0

− 9 , End: 9, Step: 1 (vì a, b∈ ¢ ).

x = − 3 , f ( x ) = 1 thỏa mãn. Suy ra a = 1 , b = − 3 .

Câu 57. [2D3-2.1-2]
1

3
2.

B.

(Lê

Xoay

a + 2b ?
C. a + 2b = − 1 .

a + 2b = 5.

D.

Lời giải

lần1)Cho

a + 2b = 8.

Tác giả: Lê Cảnh Dương; FB: Cảnh Dương Lê
Chọn D
1

Ta có

∫
0

1

dx
=
x + 2 + x + 1 ∫0

(

)

1

1
2

1

x + 2 − x + 1 dx = ∫ ( x + 2 ) d ( x + 2) − ∫ ( x + 1) d ( x + 1)
0

0

3
3 1
2
8
2

=  ( x + 2 ) 2 − ( x + 1) 2  = 2 3 − 2 +
3
3
3 . Suy ra a = 2, b = 3. Vậy
0

Câu 58. [2D3-2.1-2] ( Sở Phú Thọ) Cho hàm số

f ( − 3) = 0 . Giá trị của f ( − 1) + f ( 1)

23
A. 6 .

31
B. 6 .

a + 2b = 8.

y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x )

hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của Parabol

Biết

1
2

trên

[ − 3;2]

như

y = ax 2 + bx + c )

bằng?

35
C. 3 .

9
D. 2 .

Lời giải
Tác giả: Lê Tú Anh, Fb: Tú Tam Tạng
Chọn B


Từ đồ thị ta có một phần

( P)

có phương trình:

y = − x 2 − 4 x − 3.

Ta có:
−1

−1

∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( − x

−3

−3

1

−1

2

− 4 x − 3) dx = 4 ⇒ f ( − 1) − f ( − 3) = 4 ⇔ f ( − 1) = 4 .

3

3

3

1
1

2
′
f
x
d
x
=
−
x
−
4
x
−

3
d
x
+
.1.2
+
.1.1
+
1.1
(
)
(
)

÷
∫
∫
2
2

−3
−3
1

4 5
⇔ ∫ f ′ ( x ) dx = + ⇔
3 2
−3

1

f ′ ( x ) dx =

∫

−3

23
23
23
⇒
f
1
−
f
−
3
=
⇔
f
1
=
(
)
(
)
(
)
6
6

6 .

4 23 31
⇒ f ( − 1) + f ( 1) = + = .
3 6 6
−2

Câu 59. [2D3-2.1-2] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho

∫ f ( x ) dx = − 2 . Tính tích phân
1

1

I = ∫  2 f ( x ) − 1 dx
−2

.

A. 1 .

B.

6.

C.

−7.

D.

3.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thủy; Fb: diephoang
Chọn A

Ta có

−2

1

1

−2

∫ f ( x ) dx = − 2 ⇔ ∫ f ( x ) dx = 2 .
1

1

1

1
I = ∫  2 f ( x ) − 1 dx = 2 ∫ f ( x ) dx − ∫ dx
=
2.2
−
x

(
)
= 4 − ( 1 + 2) = 1 .
Suy ra
−2
−2
−2
−2

Câu 60. [2D3-2.1-2] (Sở Bắc Ninh 2019) Hàm số

f ( x)

có

f ( 2 ) = 2, f ( 3) = 5 ; hàm số y = f ' ( x )

liên

3

tục trên
A.

3.

[ 2;3] . Khi đó ∫ f ' ( x ) .dx bằng
2

B.

−3.

C. 10 .

D.

7.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Mến; Fb: Nguyễn Văn Mến.
Giáo viên phản biện: Hạnh Nguyễn
Chọn A
3

Ta có

∫ f ' ( x ) .dx = f ( 3) − f ( 2) = 5 − 2 = 3 .
2


3

Câu 61. [2D3-2.1-2] (Sở Hưng Yên Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Biết

b , c∈ ¢ , c < 9 . Tính tổng S = a + b + c .
A. S = 7 .
B. S = 5 .

I=∫

1

x+ 2
dx = a + b ln c
x
, với a ,

C. S = 8 .
D. S = 6 .
Lời giải
Tác giả: Lưu Thị Thủy; Fb: thuy.luu.33886

Chọn A
3

3

x+ 2

I=∫
dx = ∫  1 +
x
Ta có
1
1

3
2
÷dx = ( x + 2ln x )
x

1 = 2 + 2ln 3 .

I = a + b ln c , với a , b , c∈ ¢ , c < 9 . Suy ra a = 2 , b = 2 , c = 3 .
Vậy S = a + b + c = 7 .
Mà

1

Câu 62. [2D3-2.1-2] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Cho

∫ f ( x ) dx = 2 .
0

1

Tính

∫  f ( x ) − 2 dx .
0

A. 0.

B.

− 4.

C. 4.

D. 2.

Lời giải
Tác giả: Phạm Minh Thùy; Fb: Phạm Minh Thùy
Chọn A
1

Ta có

∫
0

1

1

1

0

0

0

 f ( x ) − 2 dx = ∫ f ( x ) dx − 2. ∫ dx = ∫ f ( x ) dx − 2. x 0 = 2 − 2 = 0.
1

2

1

2

x
+
1
+
÷dx
∫
x  bằng
Câu 63. [2D3-2.1-2] (KonTum 12 HK2) 1 
A.

4 − ln 2 .

B.

4ln 2 .

C. 4 + ln 2 .
D. 4 .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hợp ; Fb: Hợp Nguyễn

Chọn C

 x2
1

∫  2 x + 1 + x ÷dx =  2. 2 + x + ln
Ta có: 1 
2

2
2
x ÷ = ( x 2 + x + ln x )
1=
1

4 + ln 2 .

Câu 64. [2D3-2.1-2] (PHÂN-TÍCH-BL-VÀ-PT-ĐẠI-HỌC-SP-HÀ-NỘI) Trong hình bên,
tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục
điểm

y = f ( x)

A ( − 1; − 1) , B ( 1;1) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

S

là diện

và đường thẳng đi qua hai


A.

B.

C.

D.

0

b

a

0

S = ∫ ( x − f ( x ) ) dx + ∫ ( f ( x ) − x ) dx
0

b

a

0

.

S = ∫ ( − x − f ( x ) ) dx + ∫ ( f ( x ) + x ) dx
0

b

a

0

S = ∫ ( x + f ( x ) ) dx + ∫ ( − f ( x ) − x ) dx

0

b

a

0

.

.

S = ∫ ( − x + f ( x ) ) dx + ∫ ( − f ( x ) + x ) dx

.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Trường Giang; Fb: Giang Nguyen
Chọn A
Đường thẳng qua 2 điểm

A ( − 1; − 1)

và

B ( 1;1)

f ( x)

hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của

là đồ thị của hàm số

và đường thẳng

y= x

b

0

b

a

a

0

y = x . Ta có diện tích của

là:

S = ∫ f ( x ) − x dx = ∫ f ( x ) − x dx + ∫ f ( x ) − x dx
Từ đồ thị ta có:

f ( x ) < x, ∀ x ∈ ( a,0 )

và

f ( x ) > x, ∀ x ∈ ( 0, b )

0

b

a

0

do đó:

S = ∫ ( x − f ( x ) ) dx + ∫ ( f ( x ) − x ) dx
PT 4.1
liên tục
đúng?

Trong hình dưới đây,

y = f ( x)

S

là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

và đồ thị của hàm số

g ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c

. Khẳng định nào sau đây là

0

n

S = ∫ ( x − f ( x ) ) dx + ∫ ( f ( x ) − x 3 ) dx
3

A.

m

0

0

.

n

S = ∫ ( − x − f ( x ) ) dx + ∫ ( f ( x ) + x 3 ) dx
3

B.

m

0

0

.

n

S = ∫ ( 2 x + f ( x ) ) dx + ∫ ( − f ( x ) − 2 x 3 ) dx
3

C.

m

0

0

.

n

S = ∫ ( −2 x + f ( x ) ) dx + ∫ ( − f ( x ) + 2 x 3 ) dx
3

D.

m

.
Lời giải

0

Tác giả: Nguyễn Trường Giang; Fb: Giang Nguyen
Chọn A
Từ đồ thị ta có đồ thị của

g ( x)

qua các điểm

A ( − 1; − 1) , O ( 0;0 )

và

B ( 1;1)

 03 + a.02 + b.0 + c = 0
 3
2
⇔ a=b=c=0
1 + a.1 + b.1 + c = 1

3
2
 ( − 1) + a ( − 1) + b ( − 1) + c = − 1
Vậy

g ( x ) = x3 . Do đó:
n

0

n

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ f ( x ) − x dx + ∫ f ( x ) − x 3 dx
3

m

Từ đồ thị ta có:

f ( x ) < x3 , ∀ x ∈ ( m,0 )

m

và

0

f ( x ) > x 3 , ∀ x ∈ ( 0, n )

do đó:

nên ta có: