BO DE THI HSG TOAN 8 VA 9 CO DAP AN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (248.76 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

BỘ ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
ĐẾ 1

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008
MƠN TỐN HỌC 8

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1 (4đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 4x

2

– 49 – 12xy + 9y

2

b) x

2

+ 7x + 10

Bài 2 (4đ) Cho

2
2

1

2

4

2

7

10

5 x

A

x













a) Rút gọn A.

b) Tìm x nguyên để A nguyên.

Bài 3 (4đ). Giải phương trình

) 2

1 3

2 a

x

 

x



b) x

– 2 = (2x + 3)(x + 5) + 23

Bài 4 (6đ). Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp

nhau tại H. Đường thẳng vng góc với AB tại B và đường thẳng vng góc với

AC tại C cắt nhau tại G.

a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC.

b) ∆ABC ~ ∆AEF

c)

BDˆF CDˆE

d) H cách đều các cạnh của tam giác



DEF

Bài 5 (1đ). Cho ba số thực x, y và z sao cho x + y + z = 1. Chứng minh rằng

Bài 6 (1đ). Giải bất phương trình

20072008
 x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007 – 2008
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN HỌC 9

Gợi ý đáp án

Điểm

Bài 1a)

4x

-49-12xy+9y

=(4x

-12xy+9y

)-49

=(2x-3y)

-7

=(2x-3y+7)(2x-37-7)

(1 đ)
(1đ)

Bài 1b)

x

+7x+10 =x

+5x+2x+10

=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)

(1đ)
(1đ)

Bài 2a) x

-7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là

x ≠5và x ≠2

2 2

2
2

1

2

4

1

2

4

2

7

10

5 2 (

5)(

2)

5 2 (2

4)(

2)

(

5)(

2)

8

15 (

5)(

3)

3 (

5)(

2)

(

5)(

2)

2 x

A

x









































(0,5đ)

(2đ)

2b)

(

2) 1

1

2 x

A

x







 



, với x nguyên, A nguyên khi và chỉ khi

1

2 x



nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1 nghĩa là x=3, hoặc x=1.

(1,5đ)

Bài 3a) Ta xét các trường hợp sau

TH1:

1

2 1 0

2 1 3

2

3 x





  

 





 







Ta thấy x=3 thuộc khoảng đang xét vậy nó là nghiệm của phương trình.

TH2:

1

2 1 0

2 1 3

2

5

1 0,2

x

 



  

 



 









 



Ta thấy x=0,2 không thuộc khoảng đang xét vậy nó khơng là nghiệm của

phương trình.

Kết luận phương trình có nghiệm x=3.

(1đ)

Bài 3b) x

-2=(2x+3)(x+5)+23



x

-25=(2x+3)(x+5)



(x-5)(x+5)=(2x+3)(x+5)



(x-5)(x+5)-(2x+3)(x+5)=0

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Gợi ý đáp án

Điểm

hoặc x=-8

Bài 4a) Ta có BG



AB, CH



AB, nên

BG //CH,

tương tự: BH



AC, CG



AC, nên

BH//CG.tứ giác BGCH có các cặp cạnh đối

sơng song nên nó là hình bình hành. Do đó hai

đường chéo GH và BC cắt nhau tại trung điểm

của mỗi đường. Vậy GH đi qua trung điểm M

của BC.

(2đ)

4b) Do BE và CF là các đường cao của tam giác ABC nên các tam giác

ABE và ACF vuông. Hai tam giác vuông ABE và ACF có chung góc A nên

chúng đồng dạng. Từ đây suy ra

AB

AE

AB

AF

(1)

AC



AF



AE



AC

Hai tam giác ABC và AEF có góc A chung (2). Từ (1) và (2) ta suy ra

∆ABC ~ ∆AEF.

(1,5đ)

4c) Chứng minh tương tự ta được ∆BDF~∆BAC, ∆EDC~∆BAC, suy ra

∆BDF~∆DEC



BDF CDE







.

(1,5đ)

4d) Ta có



0 0

90 BDF CDE

BDF

CDE

AHB BDF

AHC CDE

ADF

ADE























Suy ra DH là tia phân giác góc EDF. Chứng minh tương tự ta có FH là tia

phân giác góc EFD. Từ đây suy ra H là giao điểm ba đường phân giác tam

giác DEF. Vậy H các đều ba cạnh của tam giác DEF.

(1đ)

Bài 5) Ta có

x

+ y

+ z

– 3xyz = (x + y)

+ z

– 3xyz – 3xy(x + y)

= (x + y + z)[(x + y)

– (x + y)z + z

] – 3xy(x + y + z)

= (x + y + z)[(x + y)

– (x + y)z + z

– 3xy] = x

+ y

+ z

2 – xy – yz – zx

= 1



2 2 2



( 2 2 2) ( 2 2 2)

2 x  xy y  y  yz z  x  xz z 

= 1













2 x y  y z  x x  dpcm

1đ

Bài 6) Điều kiện

x0

, bất phương trình

20072008
 x

2007 2008
0

x
x


 

(2008 2007) 0
0

2007
2008

x x

x
x

  






  


Hoặc biểu diễn trên trục số :

1đ
2007

2008



G
H

D C

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Trong từng phần, từng câu, nếu thí sinh làm cách khác nhưng vẫn cho kết quả đúng, hợp logic
thì vẫn cho điểm tối đa của phần, câu tương ứng.

ĐỀ 2

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Mơn: Tốn.

Thời gian: 150 phút.

Bài 1: a) Giải phương trình:

x

-

x

+ -

x

11 x

+ =

10

0

.
b) Tìm x, y thoả mãn:

x

-

2 x

- =- +

1 y

4 y

-

4

Bài 2. Rút gọn

3 3

2

3 2 2

2

3 2 2

A

=

-

+

-

+

-

Bài 3. Tìm GTNN (nếu có) của các biểu thức sau:

2 2

4

12

9

4

20

25 P

=

x

+

x

+ +

x

-

x

+

2

2008

Q

=

x

+

y

+

xy

-

x

+

Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường kính AB lấy hai điểm I và J đối
xứng nhau qua O. M là một điểm (khác A và B) trên (O); các đường thẳng MO, MI, MJ thứ
tự cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C. Đường thẳng đi qua F song song AB cắt MO, MJ lần
lượt tại D và K. Gọi H là trung điểm của FG.

a) Chứng minh tứ giác DHEF nội tiếp được.

b) Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

...
ĐÁP ÁN

Bài 1: a)

x

-

x

+ -

x

11 x

+ =

10

0 Û

(

x

-

1)(

x

-

2)(

x

+

2 x

+ =

5)

0 Û

(

x

-

1)(

x

-

2)

=

0

(vì

x

+

2 x

+ = + + > " Ỵ ¡

5 (

x

1) 4 0,

x

1

2 x

é =

ê

Û

ê =

ë

x

-

2 x

- =- +

1 y

4 y

-

4

2 2

(

x

1 1)

(

y

4 2)

0 Û

- -

+

-

=

1 1

4

2 x

y

ìï

- =

ïï

Û í

ï

-

=

ïïỵ

2

8 x

y

ì =

ïï

Û í

ï =

ïỵ

Bài 2.

3 3

2

3 2 2

2

3 2 2

A

=

-

+

-

+

-

2( 3 3)

4 2 3

4 4 2 3

4 -

+

=

+

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

-K
D

H
C

G
E

I J

B
O

2( 3 3)

3 1 4

-

+

=

+

- +

+

2 2

2( 3 3)

3 9

-

+

=

24 2

4 2

6 =

-Bài 3.

P

=

4

x

+

12

x

+ +

9

4

x

-

20

x

+

25

=

2 x

+ + -

3 5 2

x

³

2 x

+ + -

3 5 2

x

=

8

Vậy, Pmin=8 khi

3

5 (2

3)(5 2 ) 0

2 x

+

-

x

³

Û -

£ £

x

Q

=

x

+

2 y

+

2 xy

-

2 x

+

2008

2 2

(

)

2(

) 1

2 1 2006

(

1)

(

1)

2006

2006;

,

x

y

x

y

x

y

x y

= +

-

+ + +

+

+ +

= + -

+ +

+

³

"

Vậy, Qmin=2006 khi

1 0

2 1 0

1 x

y

x

y

ì

+ - =

ì

=

ï

Û

ï

í

ï

+ =

ï

=-ï

ï

ỵ

Bài 4.

a) Ta có:

OI

=

OJ

Þ

DF

=

DK

//

DH GK

Þ

Þ

HDE

· =

GME

·

mà

GME

· =

GFE

· Þ

· HDE

=

GFE

· DHEF

Þ

nội tiếp được.
b) Từ câu a suy ra

DEH

· =

DFH

·

mà

· DFH

=

OCH

· Þ

OHEC

nội tiếp được

Þ

OEC

· =

OHC

· =

90

0. Vậy CE là tiếp tuyến của (O).

ĐỀ 3

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2007-2008

MƠN: TỐN LỚP 9

Thời gian làm bài: 90 phút(không kể thời gian phát đề)
B. Phần Tự luận(7,0 điểm)

1. Cho



2 3



2 3








 x y y

x . Tính giá trị biểu thức A = x + y

(1,0 điểm)

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

3
3
3

6
6
6

1
1

2
1
1

x
x
x
x

x
x
x
x
B


































3. Giải phương trình: x22 x1 x2 2 x12

4. Trong (Oxy) cho đường thẳng (d1): y = 3 - m(x -2) ; (d2): y + 3 - m(x + 2) = 0
(2,0 điểm)

a. Tìm điểm cố định A của (d1), B của (d2). Viết phương trình đường thẳng
AB (1,0 điểm)

b. Tìm quỹ tích giao điểm M của (d1) và (d2)
c. Xác định m để điểm M trùng điểm A

5. Cho đường thẳng (d), trên đường thẳng vng góc với (d) tại H(H nằm trên
(d)), lấy điểm A, trên (d) lấy điểm T( T khác H)

(2,0 điểm)

a. Dựng tâm O của đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc (d) tại T

b. Đường thẳng qua T vng góc với AT cắt AH tại B, cắt (O) tại C, Cho AH
=h, HT = x. Tính bán kính đường trịn (O) theo h và x

c. Tiếp tuyến đường tròn (O) tại A cắt (d) tai E, AC cắt (d) tại D. Xác định x
để T là trung điểm ED

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH
GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008

MƠN: TỐN LỚP 9
B. Phần Tự luận(7,0 điểm)

1. Cho



2 3



2 3








 x y y

x (1). Tính giá trị biểu thức A = x + y

Nhân hai vế của (1) cho



2 3





 x

x ta có





3 2





 y y



x x2 3



(2)

Nhân hai vế của (1) cho



2 3




 y

y ta có





3 2





 x x



y y2 3



(3)

Cộng (2) và (3) ta có: 3



2 3 2 3










 y y x x



x x23y y23



<=> 6(x + y) = 0 <=> x + y = 0
Kết luận: A = 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

3
3
3
6
6
6
1
1
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
B


























 =>
3
3
3
2
3
3
6
1
1
1
1
x
x
x

x
x
x
x
x
B

























 =>
3
3
3
2
3
3
2
3
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
B



































=> 1 ( 3 13)

x
x
x
x

B   








 => 








x
x

B 3 1 => B6

Vậy : min B = 6 <=> x = 1

3. Giải phương trình: x22 x1 x2 2 x12(1)
Điều kiện: x1(*)

(1) =>



x11



2 



x1 1



2 2
=> x11 x1 12(2)

* Nếu x110 x11 x0

(2) => x11 x112 x11 x0(**)

* Nếu x110 x11 x0

(2) => x111 x12 x0(***)

Từ (*), (**), (***) phương trình có nghiệm:  1x0

Trong (Oxy) cho đường thẳng (d1): y = 3 - m(x -2) ; (d2): y + 3 - m(x + 2) = 0
a. Tìm điểm cố định A của (d1), B của (d2). Viết phương trình đường thẳng AB

(1,0 điểm)

Ta có: Giả sử A(x; y) là điểm cố định của (d1) <=> y = 3 - m(x -2) m
<=>














3
2
0
3
0
2
y
x
y
x

Vậy A(2; 3)

Ta có: Giả sử B(x; y) là điểm cố định của (d2) <=> y + 3 - m(x + 2) = 0 m

<=>



3
0
2
0
3








 
x
y
x
y
Vậy B(- 2; - 3)

Phương trình đường thẳng AB: y x

2
3


b. Tìm quỹ tích giao điểm M của (d1) và (d2)

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>























)
2
(
3

0
,
3
0

)
2
(

)
2
(
3

x
m
y

m
m
x
x

m
y

x
m
y

Khử tham số ta có quỹ tích các điểm M có phương trình y 6x ,x 0

Xác định m để điểm M trùng điểm A

Để M trùng A <=> m3 2  m 32

Thay x = 2, m 32 ta có y = 3

Vậy m 32thoả mãn bài toán.
4.

a. Dựng tâm O của đường tròn (O) đi qua A và tiếp xúc (d) tại T
Dựng đường thẳng (a) đi qua O vuông góc với (d)

Dựng đường trung trực (b) của đoạn AT

Giao điểm của (a) và (b) là tâm O của đường trịn (O) cần dựng

Đường thẳng qua T vng góc với AT cắt AH tại B, cắt (O) tại C, Cho AH =h, HT
= x. Tính bán kính đường trịn (O) theo h và x

Ta có (a) // AB và O trung điểm AC => T trung điểm BC => tam giác ABC cân tại
A

=> AB = AC = 2R

Xét tam giác vuông HAT: AT2 = AH2 + HT2 = h2 + x2
Xét tam giác vuông TAB: AT2 = AH.AB = h.2R

=> 2hR = h2 + x2 =>

2 2

h x

R

h



b. Tiếp tuyến đường tròn (O) cắt (D) tai E, AC cắt (d) tại D. Xác định x để T là
trung điểm ED

Để T trung điểm của ED => AT  ED AET

2
1

đều

=> 3 , 2

AH  ET ET  x

=> 2 3 3

2 3

h x x h

Vậy 3
3

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

(a)

(b)

C
O

D
E

T
A

ĐỀ 4

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2007-2008

MƠN: TỐN LỚP 8

Thời gian:90 phút(khơng kể thời gian phát đề)
Phần Tự luận(7,0 điểm)

2. Phân tích đa thức thành nhân tử

(a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 (1,0 điểm)
3. Tìm a, b, c để tam thức f(x) = ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2, còn khi chia cho

x2 - 1 thì dư là x + 5 (1,0 điểm)

4. Chứng minh đẳng thức

























x y z

xy
zx
yz
y

x
z
x
z
y
z
y
x

y
x
z
x

z
y
z
y
x




















3
3

2
2
3
2
2
3
2
2
3

(1,0 điểm)

5. Cho biểu thức :

1
)
1
(
3

2
3








x
x
x

x

A . Tìm x để A lớn nhất (1,0 điểm)
6. Giải phương trình:

9
8
7

6
5

4
3

2
1



















 x x x x x x x x

x

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

7. Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC. Từ trung điểm I của CD, kẻ đường thẳng
d // AB, AH d,BEd. Chứng minh SABEH = SABCD (1,5 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2007-2008
MÔN: TỐN LỚP 8

Phần Tự luận(7,0 điểm)

1. Phân tích đa thức thành nhân tử (1,0 điểm)

(a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3
Đặt x = a + b - c; y = b + c –a; z = c + a – b

=> x + y + z = a + b + c; x + y = 2b; y + z = 2c; z + x = 2a
Ta có:(a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3

= (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3

= [(x + y + z)3 – x3 ] – (y3 + z3) (0,25 điểm)
= (x + y + z - x)[(x + y + z)2 + x(x + y + z) + x2 ] - (y + z)(y2 - yz + z2)

= (y + z)[(x + y + z)2 + x(x + y + z) + x2 - y2 + yz - z2 ] (0,25 điểm)
= (y + z)(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx+x2+xy+xz+x2- y2 + yz - z2 )

= (y + z)(3x2 + 3xy + 3yz + 3zx)

= 3(y + z)[x(x + y) + z(x + y)] (0,25 điểm)

= 3(y + z)(x + y)(x + z)

= 3. 2c.2b.2a = 24abc (0,25 điểm)

Vậy (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 = 24abc

2. Tìm a, b, c để tam thức f(x) = ax3 + bx2 + c chia hết cho x + 2, cịn khi chia cho x2 - 1

thì dư là x + 5 (1,0 điểm)

Ta có:

( 2) 0
(1) 6
( 1) 4

f
f
f

 







  



8 4 0

6
4

a a c

a b c
a b c

   




    

    


1
1
4

a
b
c




  

 


(0,75 điểm)

Vậy f(x) = x3 + x2 + 4 (0,25 điểm)

3. Chứng minh đẳng thức

























x y z

xy

zx
yz
y

x
z
x
z
y
z
y
x

y
x
z
x
z
y
z
y
x




















3
3

2
2
3
2
2
3
2
2
3

(1,0 điểm)
Xét tử thức vế trái:x y3



2  z2



y z3



2 x2



z x3



2  y2



= x3(y2 – z2) + y3 [(z2 – y2) + (y2 – x2)] + z3(x2 – y2)
= x3(y2 – z2) + y3(z2 – y2) + y3(y2 – x2) + z3(x2 – y2)

= (y2 – z2)(x3 – y3) + (x2 – y2)(z3 – y3) (0,25 điểm)
= (y – z)(x – y)[(y + z)(x2 + xy + y2) – (x + y)(y2 + yz + z2)]

= (y – z)(x – y)(x2y+xy2+y3+x2z+xyz+y2z-xy2-xz2-xyz-y3-yz2-y2z)
= (y – z)(x – y)(x2y – yz2 + x2z – xz2)

= (y – z)(x – y)[y(x2 – z2) + xz(x – z)]
= (y – z)(x – y)(x – z)[y(x + z) + xz]

= (y – z)(x – y)(x – z)(xy + yz + zx) (0,25 điểm)
Xét mẫu thức vế trái: x3(y – z) + y3(z – x) + z3(x – y)

= x3(y – z) + y3 [(z – y) + (y – x)] + z3(x – y)
= x3(y – z) + y3(z – y) + y3(y – x) + z3(x – y)

= (y – z)(x3 – y3) + (x – y)(z3 – y3) (0,25 điểm)
= (y – z)(x – y)(x2 + xy + y2 - y2 - yz - z2)

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

( )( )( )( )

y z x y x z xy yz zx xy yz zx
VT

y z x y x z x y z x y z

      

 

      

Vậy đẳng thức đã được chứng minh (0,25 điểm)

4. Cho biểu thức :

1
)
1
(
3
2
3





x
x
x
x

A . Tìm x để A lớn nhất (1,0 điểm)

Ta có:

1
)
1
(
3
2
3





x
x
x
x
A 2
3( 1)
( 1) ( 1)

x

x x x




   2

3( 1)

( 1)( 1)

x

x x




  2

3
1

x


 (0,5 điểm)

Mà 2

2
3

1 1 3

x

   

 (0,25 điểm)

A đạt giá trị lớn nhất là 3 khi x = 0 (0,25 điểm)
5. Giải phương trình:

9
2008
8
2007
7
2006
6
2005
5
2004
4
2003
3
2002
2
2001
1
2000 

















 x x x x x x x x

x

(1)(1,5 điểm)
Ta có: (1)

0
)
1
2008
8
(
)
1
2007
7

(
)
1
2006
6
(
)
1
2005
5
(
)
1
2004
4
(
)
1
2003
3
(
)
1
2002
2
(
)
1
2001
1

(
)
1
2000
(




























x
x
x
x
x
x
x
x
x
(0,5 đ)
0
2008
2000
2007
2000
2006
2000
2005
2000
2004
2000
2003
2000
2002
2000
2001
2000
2000

2000



















 x x x x x x x x x

0
)
2008
1
2007
1
2006
1

2005
1
2004
1
2003
1
2002
1
2001
1
2000
1
)(
2000
(          

 x (0,5 điểm)

2000
0

2000  


 x x

Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2000 (0,5 điểm)
6. Cho hình thang ABCD đáy nhỏ BC. Từ trung điểm I của CD, kẻ đường thẳng

d // AB, AH d,BE d. Chứng minh SABEH = SABCD (1,5 điểm)

Gọi J, K lần lượt là giao điểm của đường thẳng d với BC, AD

ABJK
ABCD

IKD S S S

S
c
g
c
IJC

IKD    

 ( . . )  IJC (1) (0,5 điểm)

Và EBJ HAK  SEBJ SHAK (0,5 điểm)

Mà ABEH ABEK HAK ABEH ABJK
ABJK ABEK EBJ

S S S

S S

S S S

 



 



 

 (2) (0,25 điểm)

Từ (1) và (2) ta có: SABEH = SABCD (0,25 điểm)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

ĐỀ 5

ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2007 -2008

MƠN THI : TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(1,5 điểm). So sánh các số thực sau ( Khơng dùng máy tính gần đúng).

3 2

và

2 3

Câu 2:(3 điểm). Giải phương trình sau:

x

1 x

1 0



 

Câu 3:(1,5điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của

x

1 A

x

1 





Câu 4: (2 điểm). Giải hệ phương trình:

2x2 + 3y = 1
3x2 - 2y = 2

Câu 5: (4 điểm). Lớp 9A có 56 bạn, trong đó có 32 bạn nam. Cơ giáo chủ nhiệm dự kiến chia
lớp thành các tổ học tập:

- Mỗi tổ gồm có các bạn nam, các bạn nữ.

- Số các bạn bạn nam, các bạn nữ được chia đều vào các tổ.

- Số người trong mỗi tổ không q 15 người nhưng cũng khơng ít hơn chín người.
Em hãy tính xem cơ giáo có thể sắp xếp như thế nào và có tất cả mấy tổ ?

Câu 6: (5điểm). Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và CD vng góc với nhau.
Trong đoạn AB lấy điểm M khác 0. Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N.
Đường thẳng vng góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường tròn (O) tại N ở điểm P.
Chứng minh rằng:

a) Các điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường trịn.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.

c) CM.CN = 2R2

d) Khi M di chuyển trên đoạn AB thì P di chuyển ở đâu ?

Câu 7: ( 3điểm). Cho đường tròn (O, R), đường kính AB. C là điểm trên đường trịn (O, R).
Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Khi C chuyển động trên đường tròn (O,
R) thì D chuyển động trên đường nào?

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN - LỚP 9, NĂM HỌC 2007 -2008

Câu Nội dung – yêu cầu Điểm

1

(1,5đ) Giả sử

3 2

2 3



 



2 2

3 2

2 3







 



3 2 2 3

3 2

2 3

18 12













(BĐT đúng)

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2
(3đ)







 





 



2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

x

1 x

1 0

x

1 x

1 0

x

1 x

1

0 x

1 hay x 1

x

1 hay x 1

x

1 x

1

0 x

1 0hay x

2 0

x

1 hay x 1

x 1 hay x

1 hay x

2 hay x

2 

  































































































 













0,5

1,0

0,5

3
(1,5đ)

Ta có

2 2

2 2 2

2 2

x

1 x

1 2

2 A

1 x

1

2 Do x

1 1

1

2 x

1 x

1 Suy ra A

1 A 1

x 0



 



 





  

 







 



Vậy GTNN của A bằng 1 khi x = 0

0,5
0,5
0,5

4
(2đ)

. Đặt u = x2



0, ta có:

2u + 3y = 1

8

13 u



3u - 2y = 2

1

13 y



Do đó: 2

8

13 x



1

13 y



Hệ PT có 2 nghiệm là:

2 26

1 2 26

1 ( , )

(

,

); (

,

)

13 x y





0,25
0,75

0,25

0,5

0,25

5

(4đ) * Gọi số bạn nam được chia vào tổ là x,
số bạn nam được chia vào tổ là y,
x, y nguyên dương.

32

24 

0,5



2 2

2 26

13 x



1

13

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

9  x + y  15 (2)

Từ (1) ta có: 3x – 4y = 0 =>

4

3 x



y

Đặt y = 3t, t > 0 và t  z, ta có: x = 4t

Từ (2), ta có: 9  3t + 4t  15 hay 9  7t  15

9

7

< t 

15

7

2

1

2

7 

t



7

Vì t  z nên giá trị t cần tìm là t = 2, ta tính ra x= 8; y = 6

Như vậy, mỗi tổ có 8 bạn nam, 6 bạn nữ.

Số tổ được chia là:

56

4 6 8





tổ

0,5
0,25

0,5
0,5

0,5

6
(5đ)

C
a)

A B

E P D F

* Tam giác OMP vuông tại M nên O, M, P thuộc đường trịn đường kính
OP.

* Tam giác ONP vng tại N nên O, N, P thuộc đường trịn đường kính OP.
* Vậy O, M, N, P cùng thuộc đường trịn đường kính OP.

b) MP//OC (vì cùng vng góc với AB)

 

NMP NCD (hai góc đồng vị)

 

ONC OCN (hai góc đáy của tam giác cân ONC)

NMP NOP  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NP)

Suy ra MNO NOP  ; do đó, OP//MC.

Vậy tứ giác MCOP là hình bình hành.
c) CNDCOM g g( . )

Nên OC CM

CN CD hay CM.CN = OC.CD = 2R

d) Vì MP = OC = R không đổi.

Vậy P chạy trên đường thẳng kẻ từ D //AB. Do M chỉ chạy trên đoạn AB
nên P chỉ chạy trên EF thuộc đường thẳng song nói trên.

0,5

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
0,5
7

(3đ) 0,5

M O

A B

D
C

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

*ACB 90o

 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

=> AC vng góc với BD
CD = CB (gt)

 Tam giác ABC cân tại A
 AD = AB = 2R (không đổi)

AD = AB = 2R (khơng đổi) và A cố định. Do đó D chuyển động trên
đường tròn (A; 2R).

</div>

BO DE THI HSG TOAN 8 VA 9 CO DAP AN

<b>Bài 1 (4đ). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : </b>

a) 4x

<sub>– 49 – 12xy + 9y</sub>

b) x

<sub> + 7x + 10 </sub>

<b>Bài 2 (4đ) Cho </b>

1

2

2

4

2

7

10

5

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>A</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>





















a) Rút gọn A.

b) Tìm x nguyên để A nguyên.

<b>Bài 3 (4đ). Giải phương trình</b>

) 2

1 3

2

<i>a</i>

<i>x</i>

 

<i>x</i>



b) x

<sub>– 2 = (2x + 3)(x + 5) + 23</sub>

<b>Bài 4 (6đ). Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp</b>

nhau tại H. Đường thẳng vng góc với AB tại B và đường thẳng vng góc với

AC tại C cắt nhau tại G.

a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm M của BC.

b) ∆ABC ~ ∆AEF

c)

d) H cách đều các cạnh của tam giác



DEF

<b>Bài 5 (1đ). Cho ba số thực x, y và z sao cho x + y + z = 1. Chứng minh rằng</b>

<b>Bài 6 (1đ). Giải bất phương trình </b>

Gợi ý đáp án

<b>Bài 1a)</b>

4x

<sub>-49-12xy+9y</sub>

<sub>=(4x</sub>

<sub>-12xy+9y</sub>

<sub>)-49</sub>

=(2x-3y)

<sub>-7</sub>

<sub>=(2x-3y+7)(2x-37-7)</sub>

<b>Bài 1b)</b>

x

<sub>+7x+10 =x</sub>

<sub>+5x+2x+10</sub>

=x(x+5) +2(x+5) =(x+5)(x+2)

<b>Bài 2a) x</b>

<sub>-7x+10=(x-5)(x-2). Điều kiện để A có nghĩa là </sub>

x ≠5và x ≠2

1

2

2

4

1