Luận văn tốt nghiệp tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phương pháp thống kê momen

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THU

TÌM HIỂU VỀ PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ
MOMEN VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG

PHÁP THỐNG KÊ MOMEN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHĨA LUẬN TƠT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH

HÀ NỘI – 2017


LỜI CẢM ƠN
Đề tài: “Tìm hiểu về phương pháp thống kê momen và một vài ứng
dụng của phương pháp thống kê momen” đã đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực
của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của thầy cơ, bạn bè.
Qua đây em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành và sâu sắc tới cô giáo
hƣớng dẫn – TS. Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo em trong
q trình hồn thành đề tài.
Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lý lý
thuyết, khoa Vật lý trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hồn
thành đề tài này.
Trong q trình nghiên cứu vì thời gian có hạn và bƣớc đầu làm quen
với phƣơng pháp nghiên cƣú khoa học nên đề tài không tránh khỏi những
thiếu sót và hạn chế. Vì vậy em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp của các

thầy cơ và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày …. tháng …. năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu


LỜI CAM ĐOAN
Đây là đề tài nghiên cứu khoa học do em thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn
của cô Phạm Thị Minh Hạnh.
Em xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này
là trung thực và khơng trùng lặp với các khóa luận khác. Em cũng xin cam
đoan rằng sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã đƣợc cảm ơn và các
thơng tin trích dẫn trong khóa luận này đã đƣợc ghi rõ nguồn gốc. Nếu sai em
xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, ngày …. tháng …. năm 2017
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2
CHƢƠNG 1. PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN .................................. 3

1.1. Momen và hàm tƣơng quan ....................................................................... 3
1.1.1. Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình của tọa độ suy rộng và năng
lƣợng tự do ........................................................................................................ 4
1.1.2. Hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng bất kỳ và tọa độ suy rộng Q ................ 7
1.2. Công thức tổng quát về momen ............................................................... 14
1.2.1. Công thức tổng quát về momen ............................................................ 14
1.2.2. Các ví dụ về momen tƣơng quan bậc cao ............................................. 15
1.3. Cơng thức tổng qt tính năng lƣợng tự do ............................................. 18
Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 20
CHƢƠNG 2. MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ
MOMEN.......................................................................................................... 21
2.1. Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của
tinh thể ............................................................................................................. 21
2.1.1. Trƣờng hợp mạch thẳng ........................................................................ 21
2.1.2. Trƣờng hợp lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng tâm khối .................. 29


2.2. Phƣơng pháp thống kê momen trong nghiên cứu tính chất đàn hồi của
tinh thể. ............................................................................................................ 37
2.2.1. Các khái niệm cơ bản ............................................................................ 37
2.2.2. Các yếu tố cơ bản của lí thuyết biến dạng đàn hồi ............................... 40
Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 46
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 48


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta đã biết rằng khi sử dụng phƣơng pháp thống kê lƣợng tử để
nghiên cứu dao động điều hòa của mạng tinh thể, nhiệt dung riêng đẳng tích

của vật rắn theo mơ hình Einstein và Debye vẫn có sự sai khác so với thực
nghiệm ở vùng nhiệt độ cao do khơng tính đến đóng góp phi điều hịa của
dao động mạng.
Trong 20 năm trở lại đây, có một phƣơng pháp thống kê mới gọi là
phƣơng pháp thống kê momen đƣợc xây dựng từ phƣơng pháp thống kê
lƣợng tử. Đây là một phƣơng pháp thống kê mới đã và đang đƣợc áp dụng để
nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của các tinh thể. Việc nghiên
cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể theo phƣơng pháp thống
kê momen là một trong những vấn đề hấp dẫn, lý thú, thu hút đƣợc sự quan
tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm.
Với mong muốn tìm hiểu về phƣơng pháp thống kê momen cũng nhƣ
mở rộng hiểu biết về những ứng dụng của phƣơng pháp này. Đồng thời, bƣớc
đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, tôi đã chọn đề tài :“ Tìm
hiểu về phƣơng pháp thống kê momen và một vài ứng dụng của phƣơng
pháp thống kê momen“ làm đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đ ch nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của khóa luận là: Tìm hiểu hƣơng pháp thống kê
momen và ứng dụng của phƣơng pháp thống kê momen.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung tìm hiểu phƣơng pháp thống kê momen và một vài
ứng dụng của phƣơng pháp thống kê momen.

1


4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt đƣợc mục đích nghiên cứu cần thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Nghiên cứu và tìm hiểu phƣơng pháp thống kê momen.
- Áp dụng các kết quả thu đƣợc từ phƣơng pháp thống kê momen để ứng
dụng trong nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Thu thập tài liệu.
- Đọc và tra cứu tài liệu.

2


CHƢƠNG 1
PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MOMEN

1.1. Momen và hàm tƣơng quan
Giả sử có một tập các biến số ngẫu nhiên q1, q2, …, qn tuân theo quy luật
thống kê, đƣợc mô tả bởi hàm phân bố ω(q1, q2, …, qn). Hàm này thỏa mãn
điều kiện chuẩn. Trong lí thuyết xác suất momen cấp m đƣợc định nghĩa nhƣ
sau:

 ...

q1m 

 q1 ,q2 ,...,qn 

q1m q1,q 2 ,...,q n  dq1...dq n

(1.1)

Momen này cịn gọi là momen gốc. Ngồi ra cịn có định nghĩa momen
trung tâm cấp m:

 q1 

q1



m

 q1 

 ...



 q1 ,q2 ,...,q n 

q1



m

 q1,q 2 ,...,q n  dq1...dq n (1.2)

Nhƣ vậy đại lƣợng trung bình thống kê <q> chính là momen cấp một và
phƣơng sai

 q1 

q1



2

chính là momen trung tâm cấp hai. Từ các định

nghĩa trên ta thấy rằng, về nguyên tắc nếu biết hàm phân bố ω(q1, q2, …, qn)
hồn tồn có thể xác định đƣợc các momen.
Trong vật lí thống kê cũng có định nghĩa tƣơng tự. Riêng đối với hệ lƣợng
tử đƣợc mơ tả bởi tốn tử thống kê ˆ , các momen xác định nhƣ sau:

 

qˆ m  Tr qˆ mˆ

 qˆ  qˆ 

m



 Tr  qˆ  qˆ



m



ˆ

Tốn tử ˆ tn theo phƣơng trình Liouville lƣợng tử.

i

ˆ
ˆ ˆ 
  H,

t 

trong đó […, …] là dấu ngoặc poisson lƣợng tử.

3

(1.3)


Nhƣ vậy, nếu biết tốn tử thống kê ˆ thì có thể tìm đƣợc momen. Tuy
nhiên việc tính các momen khơng phải là bài tốn đơn giản. Ngay đối với hệ
cân bằng nhiệt động, dạng của ˆ thƣờng đã biết (phân bố chính tắc, chính tắc
lớn, …) nhƣng việc tìm các momen cũng rất phức tạp.
Giữa các momen có mối quan hệ với nhau. Momen cấp cao có thể biểu
diễn qua momen cấp thấp hơn. Các hệ thức liên hệ giữa các momen đóng vai
trị quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động của tinh thể phi
tuyến. Việc chứng minh tổng quát đối với hệ lƣợng tử để tìm hệ thức liên hệ
giữa các momen sẽ đƣợc xây dựng trong phần này.
Xét một hệ lƣợng tử chịu tác động của các lực không đổi ai theo hƣớng tọa
độ suy rộng Qi. Nhƣ vậy Hamiltonian của hệ có dạng:
ˆ

ˆ H
ˆ  a Q
H
0
i i

(1.4)

i

ˆ là Hamiltonian của hệ khi khơng có ngoại lực tác dụng.
với H
0
Dƣới tác dụng của ngoại lực không đổi, hệ chuyển sang trạng thái cân bằng
nhiệt động mới, đƣợc mơ tả phân bố chính tắc:
ˆ
  H
ˆ  exp 
;




  k BT

(1.5)

trong đó ψ là năng lƣợng tự do của hệ, kB là hằng số Boltzmann.
1.1.1. Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình của tọa độ suy rộng và năng
lượng tự do

Thực hiện đạo hàm theo ngoại lực aK đối với điều kiện chuẩn của toán tử
thống kê.

Trˆ  1
Sử dụng các cơng thức tốn tử:

4

(1.6)


 n 1
ˆ

A

ˆ

ˆ cˆ  b,b
ˆ ˆ  ... 
 bˆ  
[cˆ  bˆ cˆ  b...
A   

 

 
n

1

!



n 1


   n 1


ˆ
A



ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ




ˆ
ˆ
ˆ
 A     b  
[c  b c  b... c  b,b  ... 




n 1  n  1!





(1.7)

trong đó:





ˆ     exp   cˆ  bˆ  ; c,b
ˆ ˆ là các toán tử tùy ý, λ và τ là các thông số.
A




Đạo hàm theo aK biểu thức (1.6), ta đƣợc:

ˆ
Trˆ  0  Tr
a K
a K


 Tr
e
a K

ˆ
 H



 Tr
e
a K

ˆ
ˆ a Q
 H
0
K K


ˆ 
H

ˆ
 H

   
e  


 Tr 
e .e  e


a

a
K
K




ˆ
ˆ  a Q
H

0
K K 
ˆ
 H

K
 1 



 Tr 
.e   e 
e


a K
  a K




(1.8)

1 ˆ
ˆ . Áp dụng công thức đạo hàm theo
ˆ    a K và bˆ  Q
Đặt   , H
K
0  c,

K

thơng số của tốn tử (1.7) cho số hạng thứ 2 trong (1.8) ta đƣợc:

5


n 1


1
ˆ

 H


  
1ˆ
 1 
 [H

ˆ
ˆ  a Q
ˆ
0  Tr 
.e
 e  Q


K
0
K K [  H0 



a

n

1
!


n 1
K

K





ˆ [...[  H
ˆ ,Q
ˆ ]...] e
ˆ  a Q
  a KQ
K
0
K K
K


K
K

ˆ 
H
 




ˆ ˆ
ˆ ˆ   Q
Chú ý rằng:  H,Q

K   K ,H  , do đó ta có:
n 1


 
1


 

 
1
 1 


0  Tr 
ˆ   Qˆ k     ... Qˆ k , Hˆ  ...Hˆ   ˆ 



 
n 1  n  1
 ak

 


 

(1.9)

n

 1

1 
i  1 1

ˆ

Tr ˆ  Tr  Qk ˆ    
Qˆ k( n ) ˆ 
 ak
n 1     ( n  1)!



ˆ n 
trong đó: Q
K

Vì:

1

i



n

ˆ [Q
ˆ ...[Q
ˆ ,H]...]H]
ˆ
ˆ
[Q
K
K
K
n

1 ˆ ˆ  1 ˆ
Tr  Q
QK
K 

 



(1.10)



ˆ  n ˆ  Q
ˆ n
Tr Q
K
K

a

a

và Trˆ  1 nên (1.9) đƣợc viết lại dƣới dạng:

1  1 
 ˆ
 Q
K
 a K  




a

1 i 

 
n 1  n  1!   

n

ˆ n
Q
K




 0
a


(1.11)

ˆ 
ˆ  a Q
  H
0
K K


K
trong đó <…>a biểu thị trung bình theo ˆ  exp 
.






6


ˆ ˆ   0 và do đó Q
ˆ n  0 .
Đối với hệ cân bằng nhiệt động ta có  H,
K


Nhƣ vậy ta thu đƣợc hệ thức:
ˆ
Q
K

a




a K

(1.12)

Cơng thức (1.12) cho phép tính năng lƣợng tự do của hệ lƣợng tử khi có
ngoại lực tác dụng.
1.1.2. Hàm tương quan giữa đại lượng bất kỳ và tọa độ suy rộng Q
Để xác định hàm tƣơng quan giữa một đại lƣợng tùy ý F và tọa độ suy
rộng Q, trƣớc hết ta lấy đạo hàm biểu thức giá trị trung bình của F theo ngoại
lực aK:
 ˆ
F
a K

a





TrFˆ ˆ
a K





 Fˆ 
 ˆ 
 Tr 
ˆ   Tr Fˆ

 a K 
 a K 
ˆ 
ˆ  a Q

  H
0
K K
Fˆ




K

 Tr Fˆ
exp 


a K a

a

K


 


(1.13)

Đạo hàm toán tử ˆ theo aK bằng:
n

ˆ 1 
1ˆ
1  i  ˆ n 

ˆ  QKˆ  
  QK ˆ 
a K  a K
 
n

1
!




n 1


nên ta có:




ˆ 1 
1
ˆ ˆ  1  1  i  Tr Q
ˆ  n ˆ
Tr

Trˆ  Tr Q
 
K
K
a K  a K

 n 1  n  1!   



n



Thế (1.14) vào (1.13) ta đƣợc:

7



(1.14)


 ˆ
F
a K

a

Fˆ
a K



1
   
ˆ ˆ ˆ 
 Tr  Fˆ
ˆ   Tr FQ
K

  a K 



a







n

1 i 
ˆ ˆ n

  Tr FQ K ˆ
n 1  n  1!   
ˆ
Mặt khác, từ (1.12) ta có: Q
K

 Fˆ
a K

a



Fˆ
a K


a



a



1 ˆ
F











nên
a K

ˆ
Q
K

a

a



1 ˆˆ
FQ K




1
1 i 

 
 n 1  n  1!   

n

a



(1.15)

ˆ ˆ n
FQ
K

a

Kết quả này cho phép xác định hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng F và tọa độ

suy rộng Q dƣới dạng:

ˆˆ
FQ
K

a

 Fˆ

ˆ
Q
K

a

a

  Fˆ
Fˆ
a
  

 a K
a K



1 i 
 

n 1  n  1!   



n


 

a 
ˆ ˆ n
FQ
K

(1.16)

a

ˆ , thay vào (1.16) ta đƣợc:
Xét trƣờng hợp Fˆ  Q
1
ˆ Q
ˆ
Q
1 K

a

ˆ
 Q

1

a

ˆ
Q
K

ˆ
 Q
1
 
 a K


a



a

ˆ
Q
1

a K

1 i 
 
n 1  n  1!   



Cho k = 1, từ phƣơng trình (1.16) ta có:

8

n




a

ˆ Q
ˆ n
Q
1 K

a

(1.17)


ˆˆ
FQ
1

a

 Fˆ

a

ˆ
Q
1

a

  Fˆ
Fˆ
a
 

a1
 a1





a



1 i 
 
n 1  n  1!   



n

(1.18)

ˆ ˆ n
FQ
1

a

ˆ thu đƣợc:
Trong phƣơng trình (1.18), thay Fˆ  Q
K
ˆ Q
ˆ
Q
K 1

a

ˆ
 Q
K

ˆ
Q
1

a

a

ˆ
 Q
K


 a1


a

ˆ
Q
K

a1



1 i 
 
n 1  n  1!   



n




a

ˆ Q
ˆ n
Q
K 1

(1.19)

a

Cộng vế với vế các phƣơng trình (1.17) và (1.19) ta đƣợc:

ˆ Q
ˆ
Q
1 K
ˆ
Q
1

a K

a

ˆ Q
ˆ

 Q
K 1

a

ˆ
Q
K

a1

Chú ý rằng:

a

ˆ
2 Q
K

a

ˆ
Q
1

a

ˆ
 Q
1



 a K




a



n
 
1 i 
ˆ ˆ n
 
  Q1QK
a
 n 1  n  1!   

ˆ
Q
K
a1

ˆ
Q
1
a K


a

a

ˆ
 0 và Q
K

ˆ
 Q
K
a1



ˆ Q
ˆ n
 Q
K 1

a

a

a



a




a K

suy ra:

  2
 2 
ˆ


2 Q
1
 a K a1 a1a K 

a

ˆ
Q
K

a



ˆ Q
ˆ
 Q

 1 K

1 i 

 
n 1  n  1!   
Từ đó ta có:

9

n

 Qˆ Qˆ

n
1 K

a

ˆ Q
ˆ 
 Q
K 1 a 


a

ˆ Q
ˆ n
 Q

K 1

a




1 
1 i 

 
2 n 1  n  1!   

n



ˆ Q
ˆ n
Q
1 K

ˆ Q
ˆ n
 Q
K 1

a

a



ˆ
 Q
1

a

ˆ
Q
K

a



 2
a K a1

(1.20)
(1.20) chính là kết quả thu đƣợc bởi Cramononvich bằng phƣơng pháp
thông số trật tự của Feymann.
Trong cơng thức (1.18) tốn tử Fˆ là tùy ý, do đó có thể thay thế Fˆ bởi tốn
dFˆ
tử Fˆ  :
dt

ˆˆ
FQ

K

 Fˆ
a

a

ˆ
Q
K

  Fˆ

Fˆ
a
  


a
a K
K




a



1 i 


 
n 1  n  1!   

Ta có đối với hệ cân bằng nhiệt động Fˆ  n 

n



 
a 


ˆ ˆ n
FQ
K

(1.21)

a

 0 , trong đó:
a

n
Fˆ   

1

i 

n

ˆ ˆ ˆ
ˆ
[F...[F,H]...]H]
n

(1.22)

1 ˆ ˆ
1
0
Thực vậy, với n = 1, ta có: Fˆ  Fˆ     F,H

i
suy ra Fˆ

 0 . Vậy ta có:
a

ˆˆ
FQ
K

a

Fˆ
 

a K



a

1 i 

 
n 1  n  1!   

n

ˆ ˆ n
FQ
K

a

(1.23)
Áp dụng tính chất khơng phụ thuộc thời gian của trung bình đạo hàm theo
thời gian, ta đƣợc:

10


d ˆ ˆ n
FQK
dt
ˆ ˆ n

FQ
K

suy ra:

a

a

ˆ ˆ n
 FQ
K

a

ˆ ˆ  n 1
  FQ
K

ˆ ˆ  n 1
 FQ
K

0
a

(1.24)
a

Đặt n = 0 vào (1.24) ta có:

ˆˆ
FQ
K

ˆ ˆ 1
  FQ
K

a

a

ˆˆ
  FQ
K

(1.25)
a

Kết hợp (1.23), (1.24) và (1.25) ta đƣợc:
ˆˆ
 FQ
K

a

ˆˆ
  FQ
K

a

Fˆ

a K



a

1 i 

 
n 1  n  1!   

n

ˆ ˆ  n 1
FQ
K

a

Tƣơng tự ta có:
2 ˆ
Fˆ  Q
K

a

ˆˆ
  FQ
K

a

ˆ ˆ  2
 FQ
K

(1.26)
a

Thực vậy, vì:

d ˆˆ
FQK
dt

a

2 ˆ
 Fˆ  Q
K

ˆˆ
Áp dụng (1.24), suy ra: FQ
K

a

a

ˆˆ
 FQ
K

ˆ ˆ  2
  FQ
K

0
a

a

2 ˆ
  Fˆ  Q
K

a

2
Thay Fˆ bởi Fˆ  Fˆ   vào (1.23) ta đƣợc:
2 ˆ
Fˆ  Q
K

Fˆ  

 
a K



2

a

a

1 i 

 
n 1  n  1!   

n

2 ˆ n
Fˆ  Q
K

(1.27)
a

Kết hợp (1.24), (1.26) và (1.27) ta đƣợc:
ˆ ˆ2
FQ
K

a

2 ˆ
 Fˆ  Q
K

Fˆ  
 
a K



2

a

a

1 i 

 
n 1  n  1!   

n

ˆ ˆ  n  2
FQ
K

a

Tƣơng tự trên, trƣờng hợp tổng quát ta có hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng
ˆ n :
Fˆ và Q
K

11


ˆ ˆ n
FQ
K

a

  1

n 1

Fˆ  

a K



n

a

1 i 


 
n  1  n  1!   

n

ˆ ˆ  n  n
FQ
K

a

(1.28)
Nhờ phƣơng trình (1.28) ta viết lại phƣơng trình (1.16) nhƣ sau:
  Fˆ
n
   1 n
n
Fˆ


Fˆ  
i 
a








  
a
a
a
 a K
a K a   n 1  n  1!   
a K


n  n
 n  n ˆ  n  n
 
1

F
i 
 
 

a K
n 1n  1  n  1! n  1!   

ˆˆ
FQ
K

ˆ
Q
K

 Fˆ

a

a

 n  n  n  
1

i 
 
 
n 1n  1n  1  n  1! n  1! n   1!   




n  n   n 



Fˆ 

n  n   n  

a K

 ... (1.29)
a

Nếu cộng các số hạng cùng bậc của (1.29) ta đƣợc:

ˆˆ
FQ
K

a

 Fˆ

ˆ
Q
K

a





 1m B

m 1

 Fˆ

a

  Fˆ

Fˆ
a
  

 a K
a K


a

m!

ˆ
Q
K

a

i 

m




Fˆ  
a K

m

 Fˆ
a K


 

a 

m

a



a

    1

m

m 1

Bm  i 
 
m!   

Fˆ  
a K

m

m

1.30 
a

Tƣơng tự ta có:
ˆ Fˆ
Q
K

a

ˆ
 Q
K

a

Fˆ

a



 Fˆ
a K

a





m 1

 1m B
m!

 i 

m
  

m

Fˆ  
a K
m

Cộng các phƣơng trình (1.30) và (1.31) vế với vế ta đƣợc:

12

1.31
a


1 ˆ ˆ
 F,QK 


2 

 Fˆ
a

ˆ
Q
K

a



a

 Fˆ
a K

a



B
i 
   2m  
m  0  2m !   

2m

Fˆ  
a K
2m

1.32 
a

trong đó B2m là hệ số Becnulli.
Hệ thức này cho phép xác định sự tƣơng quan giữa đại lƣợng F và tọa độ
QK. Muốn vậy cần phải biết các đại lƣợng Fˆ

a

2m
Fˆ  
a K

và

Fˆ có thể xác định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn
a

. Đại lƣợng
a

2m
Fˆ  
a K

đƣợc xác

a

định từ các phƣơng trình động lực.

ˆ ta có biểu thức xác định chính xác đối với
Trƣờng hợp đặc biệt Fˆ  Q
K
phƣơng sai:



ˆ  Q
ˆ
Q
K
K

a



2



ˆ
 Q
K
a K

a



B i 
   2m  
m  0  2m !   

ˆ  2m 
Q
K
a K

2m

(1.33)
a

Chú ý rằng QK không phụ thuộc rõ ràng vào aK, nên đối với hệ cổ điển
công thức (1.33) trở nên đơn giản:



ˆ  Q
ˆ
Q
K
K

a



2



ˆ
 Q
K
a K

a

(1.34)
ˆ ta thu đƣợc hệ thức cho phép xác định thăng
Trƣờng hợp đặc biệt Fˆ  Q
K

giáng của xung lƣợng:
ˆ2
Q
K



a

B
i 

   2m  
m  0  2m !   

2m

ˆ 
Q
K
a K

2m 1

(1.34a)
a

ˆ đối với
Ngoài ra, từ (1.32) có thể xác định hàm tƣơng quan giữa Fˆ và Q
K

ˆ :
hệ có Hamiltonian H
0

13


  Fˆ 
1 ˆ ˆ
a
ˆ  

 F,QK   Fˆ Q
K



2
 a K 

 a 0




B2m  i 
 2m
!   
m 0 

2m

 Fˆ  2m 

 a K




a 0

(1.35)

Trong đó <…> biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltonan

ˆ .
H
0
1.2. Công thức tổng quát về momen
1.2.1. Công thức tổng quát về momen
(1.32) đƣợc sử dụng để viết công thức truy chứng đối với momen tƣơng
quan cấp cao. Muốn vậy, ta đƣa vào định nghĩa toán tử tƣơng quan cấp n:
ˆ ,Q
ˆ ] Q
ˆ
ˆ
ˆ  1 [...[Q
K
n
1
2  3 ] ...Q n ]
n 1
2

(1.36)

n 1

ˆ . Tốn tử
Ví dụ tốn tử tƣơng quan cấp 1 chính là tọa độ suy rộng Fˆ1  Q
1
tƣơng quan cấp 2 có dạng:



1 ˆ ˆ
1 ˆ ˆ
ˆ Q
ˆ

Fˆ2  Q
,Q

Q1Q2  Q
1
2
2 1

2
2



(1.37)

Tƣơng tự ta có:
1 ˆ ˆ
ˆ   1 Q
ˆ Q
ˆ
ˆ ˆ ˆ 
Fˆ2   Q

,Q2  Q
1
1 2  Q 2Q1,Q3  
 3 
4
4
1 ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ 
 Q
1Q 2Q3  Q 2Q1Q3  Q3Q1Q 2  Q3Q 2Q1 
4

ˆ trong (1.32) ta thu đƣợc:
Thay Fˆ  K
n

14

(1.38)


1 ˆ ˆ
 K n ,QK 

2 

Lƣu ý rằng

a

ˆ
 K
n

ˆ
Q
K

a

a

1 ˆ ˆ
 K n ,QK 

2 




a

ˆ
 K
n

a

a K



B i 
   2m  
m  0  2m !   

1 ˆ ˆ
ˆ K
ˆ
K n QK  Q
K n
2

a

ˆ  2m 
K
n
a K

2m

ˆ
 K
n 1

a

1.39 
a

và thay k =

n + 1 vào phƣơng trình (1.39) ta đƣợc công thức truy chứng:
ˆ
K
n 1

a

ˆ
 K
n

a

ˆ
Q
n 1

a



ˆ
 K
n
a n 1

a



B i 
   2m  
m  0  2m !   

2m

ˆ  2m 
K
n
a n 1

(1.40)
a

Công thức này là công thức tổng quát của momen cho phép xác định các
momen cấp tùy ý. Đó là công thức xác định momen cấp cao qua momen cấp
thấp hơn, thậm chí có thể biểu diễn qua momen cấp 1. Nhƣng biểu thức thu
đƣợc khá phức tạp. Đối với các hệ cụ thể, nó có thể có dạng đơn giản hơn.
1.2.2. Các ví dụ về momen tương quan bậc cao
Thay n = 1 vào (1.40) ta thu đƣợc biểu thức momen tƣơng quan bậc 2:

ˆ
K
2

a

ˆ
 K
1

a

ˆ
Q
2



a

1 ˆ ˆ
ˆ
Q1,Q2   Q
1



2

a

ˆ
 K
1

ˆ
Q
2

a 2

a

a





B i 
   2m  
m  0  2m !   
ˆ
 Q
1
a 2

a

2m

ˆ  2m 
K
1

a 2



B i 
   2m  
m  0  2m !   

2m

a

ˆ  2m 
Q
1
a 2

a

hay:



1 ˆ ˆ
Q1Q2
2

a

ˆ Q

ˆ
 Q
2 1

a



ˆ
 Q
1

a

ˆ
Q
2

a



ˆ
 Q
1
a 2


a



B i 
   2m  
m  0  2m !   

2m

ˆ  2m 
Q
1
a 2

Thay n = 2 vào (1.40) ta đƣợc biểu thức momen tƣơng quan bậc 3:

15

1.41
a


1  ˆ ˆ
ˆ 
Q1,Q 2  Q
 3 
4 




2

ˆ
2 Q
1

a

a 2a 3
2



ˆ
 Q
1

a

a


B
i 
   2m  
m  0  2m !   



   1



ˆ
Q
3

a

ˆ
 Pˆ123 Q
1

a

2m 

 ˆ
 Q3


B2m B2n  i 
 2m ! 2n !   

m,n  0  0

ˆ  2m 
Q
1
a 2

a

a 3

a

a

a



ˆ  2m 
 Q
1

a 3
a 2

 2m  2n  

ˆ  
   Q
 1 



 a 3  a 2 




a


 2 m  2n  


a



1.42 


a
là toán tử hốn vị vịng chỉ số. Biểu thức (1.42) có thể viết dƣới

ˆ  2m   
  Q

 2


a 3 
a1


trong đó Pˆ123

ˆ
Q
2

ˆ
 Q
2

 2m  

dạng gọn hơn:
1  ˆ ˆ
ˆ 
Q1,Q2  Q
 3 
4 

ˆ
 Pˆ123 Q
1

ˆ
 Q
1

a

a

ˆ
 Q
2

 2

a

a 3

a

ˆ
Q
2

ˆ
Q
3

a

ˆ
2 Q
1

a

a 2a 3

a

 các số hạng có
(1.43)

Tƣơng tự, thay n = 3 vào (1.40) ta thu đƣợc biểu thức momen tƣơng quan
bậc 4:

1  ˆ ˆ
ˆ  Q
ˆ 
Q1,Q 2  Q
3



  4  

8 

 ˆ
 Pˆ1234  Q
2



ˆ
 Q
1
a 2

a

a

ˆ
Q
3

ˆ
 Q
3
a 4

ˆ
 Q
1
a

a

a 4

ˆ
 Q
1
a
a

ˆ

 Q
1


 2 ˆ
   Q1



a

ˆ
Q
2

a

ˆ
Q
2

ˆ
2 Q
2
a

a 3a 4

+ các số hạng có chứa

ˆ
Q
3

a

a

a

ˆ
 Q
3
a 4

a



3

ˆ
Q
4
a

a

ˆ
 Q

2

ˆ
3 Q
1

ˆ
2 Q
1
a

a

a 3a 4



a

a 2a 3a 4

(1.44)

16


Biểu thức cho momen bậc cao hơn có dạng phức tạp hơn. Từ kết quả nhận
đƣợc ta thấy rằng hoàn tồn có thể xác định các momen của hệ nếu biết

ˆ

Q
K

ˆ 
Q
K
,
a
a i

m

n

a

ˆ n 
  Q
,
 K 
a i  a i 

ˆ
,... Các đại lƣợng Q
K

a

có thể tìm

a

ˆ 
Q
K
a i
n

đƣợc từ điều kiện cân bằng của hệ, còn

đƣợc tìm từ phƣơng trình
a

động lực học.
Trƣờng hợp cổ điển các cơng thức trên nhận đƣợc dạng khép kín. Thực
vậy, đối với hệ cổ điển hệ thức xác định momen tƣơng quan cấp cao có dạng:

ˆ
K
n 1

a

ˆ
 K
n

a

ˆ

Q
n 1

a



ˆ
 K
n
a n 1

a

(1.45)

ˆ
Điều đó có nghĩa là từ điều kiện cân bằng tìm đƣợc đại lƣợng Q
K và do
a

đó có thể tìm đƣợc tất cả các momen tƣơng quan.
Ta có thể viết (1.45) dƣới dạng:

ˆ 1 Q
ˆ 2 ...Q
ˆ n
Q
n
1

2
ˆ
trong đó tốn tử Lˆ i  Q
i

a



a

 Lˆ 11 Lˆ 22 ...Lˆ nn .1

(1.46)


thỏa mãn hệ thức giao hoán sau:
a i

Lˆ i ,Lˆ k   0,i,k  1,2,...,n


Trƣờng hợp thông thƣờng biểu thức (1.46) có dạng:

ˆn
Q

a

 ˆ

 Lˆ n .1   Q


a

 


a i 

n 1

ˆ
Q

(1.47)

a

Đối với hệ cổ điển, nếu đƣa vào định nghĩa momen trung tâm bậc n:

ˆ

ˆ  ... Q
ˆ  Q
ˆ
ˆ
K
1...n  Q1  Q1
n

n
a 
a


17

(1.48)
a


thì ta nhận đƣợc cơng thức khép kín:
ˆ
K
1...n

ˆ
 Q
1

 Pˆ1... n 1 
a n



a


ˆ
K

1... n 1

ˆ
K 2... n 1   
a n



(1.49)

trong đó Pˆ1... n 1 là tốn tử hốn vị vịng chỉ số. Cơng thức (1.49) có thể dễ
dàng đƣợc chứng minh bằng cách lấy đạo hàm theo an biểu thức đối với

ˆ
K
1... n 1 .
Biểu thức của momen trung tâm có dạng:
ˆ 
K
12

ˆ
 Q
1

ˆ
K
123  

a 2

2

a

ˆ
2 Q
1

a

(1.50)

a 2a 3

3
ˆ
K
1234  

ˆ
2 Q
1

a

a 2a 3a 4

 2 Pˆ123

ˆ

 Q
1
a 2

a

ˆ
 Q
3
a 4

a

Từ (1.49) dễ nhận thấy đối với hệ cổ điển tuyến tính, các momen trung tâm
bậc lẻ bằng khơng, cịn các momen bậc chẵn khác khơng.
nˆ
ˆ
ˆ
ˆ
K
1...2n   P23...2n P45...2n P2n  2,2n 1,...2n

ˆ
 Q
1
a 2

a

...

ˆ
 Q
2n 1
a 2n

a

(1.51)

Cũng có thể viết cơng thức này dƣới dạng:

ˆ
ˆ
ˆ
K
1...2n   K12 ...K 2n 1,2n

(1.52)

P, 

trong đó P, π dƣới dấu  có nghĩa rằng tổng đƣợc lấy theo tất cả các sự
phân hoạch có thể có của các chỉ số 1, 2,…,2n thành cặp.
1.3. Công thức tổng quát t nh năng lƣợng tự do
Trong vật lí thống kê năng lƣợng tự do liên hệ với tổng trạng thái theo biểu
thức:

18

   ln Z
 H 
Z  Tr  e  





(1.53)

Tuy nhiên việc tìm ψ khơng đơn giản. Đối với các hệ lí tƣởng chỉ có thể
tìm dƣới dạng gần đúng biểu thức chính xác của năng lƣợng tự do. Có một số
phƣơng pháp khác nhau trong việc xác định năng lƣợng tự do nhƣ phƣơng
pháp lí thuyết nhiễu loạn, phƣơng pháp biến phân Bogoliubov, phƣơng pháp
momen. Ở đây ta sẽ tìm cơng thức tính tổng qt tính năng lƣợng tự do theo
phƣơng pháp momen và áp dụng cơng thức này vào việc giải bài tốn dao tử
điều hòa và phi điều hòa lƣợng tử:
Giả sử Hamiltonian của hệ lƣợng tử có dạng:

ˆ H
ˆ  V
ˆ
H
0
ˆ là tốn tử tùy ý.
với α là thông số và V
Tƣơng tự nhƣ (1.12) ta dễ dàng thu đƣợc biểu thức:
V

a



   


(1.54)

Biểu thức này tƣơng đƣơng với công thức:


      0   V d

(1.55)

0

ˆ và coi nhƣ đã
trong đó ψ0 là năng lƣợng tự do của hệ với Hamiltonian H
0
biết.
Bằng cách nào đó tìm đƣợc V a (có thể sử dụng các cơng thức momen) thì
từ (1.55) có thể thu đƣợc biểu thức đối với năng lƣợng tự do     .
Nếu Hamiltonian H có dạng phức tạp thì ta tách:
ˆ H
ˆ   V
ˆ
H
0

i i
i

19


ˆ  V
ˆ
sao cho H
0
1 1

ˆ ,...
2V
2

ˆ của hệ, khi đó
Giả sử biết năng lƣợng tự do ψ0 ứng với Hamiltonian H
0
ˆ H
ˆ  V
ˆ
tìm năng lƣợng tự do ψ1 ứng H
1
0
1 1 . Tiếp theo tìm năng lƣợng tự do
ˆ H
ˆ  V
ˆ
ψ2 ứng H

2
1
2 2 , v.v…Cuối cùng chúng ta thu đƣợc biểu thức đối với
năng lƣợng tự do ψ của hệ.
Kết luận chƣơng 1
Trong chƣơng 1, em đã trình bày về:
- Momen và hàm tƣơng quan.
- Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình giữa đại lƣợng bất kì và năng
lƣợng tự do.
- Hàm tƣơng quan giữa đại lƣợng bất kì và tọa độ suy rộng Q.
- Cơng thức tổng qt về momen.
- Các ví dụ về momen tƣơng quan bậc cao.
- Công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do.

20