Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 - Trường THPT Phúc Thọ

Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II
MƠN: TỐN – KHỐI 12

A. PHẦN GIẢI TÍCH
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM
Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu
f  x  dx  F  x   C
Kí hiệu: �
. (C là hằng số)
f '  x  dx  f (x)  C
* Tính chất 1: �
kf  x  dx  k �
f  x  dx  k �0 
Tính chất 2: �
*
f  x  �g  x  �
f  x  dx ��
g  x  dx
�
�
�dx  �
Tính chất 3: �
*
Nguyên hàm của những hàm số thường gặp:
dx  x  C
kdx  kx  C
�

�
x α 1
xα  1  �
�
α 1
dx
�x  ln x  C
α

x

e dx  e
�

x



C

ax
C
ln a
sin xdx   cos x  C
�
a x dx 
�

cos xdx  sin x  C
�

dx

 tan x  C
�
cos 2 x
dx

  cot x  C
�
sin 2 x

F�
 x   f  x  ; x �K

.

α 1

1  mx  n 
 Cα �1
 mx  n  dx 
�
mα 1 
dx
1
 ln mx  n  C
�
mx  n m
1
emx  n dx  e mx  n  C

�
m
1 a mx  n
mx  n
a
dx

C
�
m ln a
1
sin  mx  n  dx   cos  mx  n   C
�
m
1
cos  mx  n  dx  sin  mx  n   C
�
m
dx
1
 tan  mx  n   C
�
2
cos  mx  n  m
α

dx

�
sin 2  mx  n 





1
cot  mx  n   C
m

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số:
f  u  du  F  u   C
u  u  x
Định lý: Nếu �
và
là hàm số có đạo hàm liên tục thì:
f�
u  x �
u  x �
 x  dx  F �
�
�
�u �
�
� C .
 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
udv  uv  �
vdu
Định lý: �
II. TÍCH PHÂN


b

Định nghĩa:

b

f  x  dx  �
F x �
�
�
�a  F  b   F  a 

a

Đề cương ôn tập môn Tốn 12 – Học kì 2

1


Trường THPT Phúc Thọ

*Tính chất 1:
*Tính chất 2:
*Tính chất 3:

Năm học 2019-2020

b

b

a

a

kf  x  dx  k �
f  x  dx
�

 k �0  .

b

b

b

a

a

a

f  x  �g  x  �
dx  �
f  x  dx  �
g  x  dx
�
�

�
�
b

c

b

a

a

c

.

f  x  dx  �
f  x  dx  �
f  x  dx
�
β

b

f�
u  x �
f  u  du
 x  dx  �
�
�

�u �

α
a
 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:
Các dạng tích phân tính bằng phương pháp đổi biến số thường gặp tương tự như trong phần
nguyên hàm.
b

b

b

udv   uv   �
vdu
�
a

a
 Tính tích phân bằng phương pháp từng phần: a
III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x); y = g(x); x = a; x = b (a < b) (trong
đó hai đường thẳng x  a; x  b )
b

S�
f  x   g  x  dx
a

2. Thể tích của khối trịn xoay.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = f(x); Ox; x = a; x = b (trong đó hai đường x = a và
x = b có thể thiếu một hoặc cả hai). Quay hình phẳng (H) này, xung quanh trục Ox. Khi
b

đó thể tích của khối trịn xoay được sinh ra là:

Vπ f�
x
�
�
a

2

dx
�
�

b

(

2
π y�
dx)
a

IV. SỐ PHỨC
1. Số phức. Số phức z = a + bi,
trong đó a, b là hai số thực, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i² = –1.

ac
�
�
b  d.
Số phức bằng nhau: a + bi = c + di � �
Modul của số phức:

z  a  bi  a 2  b 2

.
Số phức liên hợp của z = a + bi là z  a  bi  a  bi
2. Cộng, trừ và nhân số phức.
Cộng, trừ: (a  bi) �(c  di)  (a �c)  (b �d)i

Nhân: (a  bi)(c  di)  (ac  bd)  (ad  bc)i
3. Chia số phức
a  bi (a  bi)(c  di)

c  di
c2  d 2
4. Phương trình bậc hai với hệ số thực
�i a
Căn bậc hai của số thực a < 0 là
.
Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 và biệt thức Δ = b² – 4ac
b
x
2a
Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép
Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

2


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020
x1,2 

Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm thực
Nếu Δ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phức

x1,2 

bΔ�
2a
 b �iΔ
2a

Bài tập trắc nghiệm:
I.Nguyên hàm –Tích phân

Câu 1: Phép tính nào không đúng?
A.

e dx  e  C
�
cos xdx  sin x  C
�
x

x

B.
D.

ax
 C  0  a �1
ln a

a x dx 
�

sin xdx  cos x  C
�

C.
Câu 2:Phép tính ngun hàm nào sau đây khơng đúng?
dx
 ln x  C
�
A. x
ax
x
a dx 
 C  0  a �1
�
ln a
C.

B.

x  dx 
�

x 1
 C   �1
 1

dx

 tan x  C
�
cos
x
D.

Câu 3: Trong các khẳng định sau, khăng định nào sai?
f  x  dx  �
f  x  dx
 f  x   f  x   dx  �
�
1

A.

2

1

2

B. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm hàm số f(x) thì F(x) - G(x) = C là hằng
số.

F x  x

là một nguyên hàm của

C.

f  x  2 x

D.  
là một nguyên hàm của  
i
Câu 4: Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
F x x

f x  2x

2

0dx  C C
A. �
( là hằng số)
1
x  dx  x 1  C
�


C.
( C là hằng số)

1

�dx  ln x  C ( C là hằng số)
B. x
D.

dx  x  C C
�
( là hằng số)

Câu 5: Tìm khẳng định sai:
dx

�
A. sin

2

x

dx

�
B. cos

 tan x  C

cos xdx  sin x  C
�

C.
Câu 6: Tìm khẳng định đúng:
dx

�
A. sin
C.

2

x

D.

2

x

sin xdx   cos x  C
�

dx

�
B. cos

 tan x  C

cos xdx  sin x  C
�

D.

 tan x  C

2

x

 cot x  C

sin xdx  cos x  C
�

Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

3


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

Câu 7: Trong các khẳng định sau, khăng định nào sai?
f  x  dx  �
f  x  dx
 f  x   f  x   dx  �

�
1

A.

2

1

2

B. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) - G(x) = C là
hằng số.

f  x  dx.�
f  x  dx
 f  x  .f  x   dx  �
�
D. �
k.f (x)dx  k.�
f (x)dx
(k �0)

C.

1

2

1

2

Câu 8: Tìm cơng thức sai:
A.

e dx  e
�
x

x

C

1

C.

dx  lnx  C
�
x

(khi x �0)

dx
�
Câu 9: 2  3x bằng:
1
C
2

 2  3x 

A.

 2  3x 

A.



B.

Câu 10: �

 2  3x 

8

7

dx

C

 2  3x 

 2  3x 
B.

sin  3x  1 dx

cos(3x  1)
C
3
A.

3
2

C

1
ln 2  3x  C
C. 3

1
 ln 3x  2  C
D. 3

bằng:

8

Câu 11: �

24

 2  3x 

8

C

C.

8

8

C

D.

 2  3x 

24

bằng:

B.  cos(3x  1)  C C. cos(3x  1)  C

cos  1  3x  dx

Câu 12: �

ax
 C  0  a �1
ln a
B.
1 1

x  dx 
x  C ( �1)
�
 1
D.
a x dx 
�

D.



8

C

cos(3x  1)
C
3

bằng:

sin(1  3 x)
sin(1  3 x)
C

C
3
3
A.

B. 3sin(1  3 x)  C C. 3sin(1  3 x)  C
D.
dx
�1  x
Câu 13: Tính
, kết quả là:
C
A. 1  x
B. 2 1  x  C
C. 2 1  x  C
D. 1  x  C
�1
�
� ; ��
�là:
Câu 14: Nguyên hàm của hàm số y  3x  1 trên �3
3 2
2
2
3
3
x xC
3x  1  C
3x  1  C


A. 2
B. 9
C. 3

Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

D.

3 2
x x C
2
4


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

1
(x  2) 2 là:
Câu 15: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số
1
1
1
F(x) 
C
F(x) 
C
F(x) 
C
3
(x

2)

x2
x2
A.
C.
f (x) 

B.

D.

F(x) 

1
C
(x  2)3

5
Câu 16: Họ nguyên hàm của hàm số y  (2x  1) là:

1
(2x  1)6  C
12
A.

1
1
(2x  1)6  C
(2x  1) 6  C
4
6

2
B.
C.
. D. 10(2x  1)  C
dx
I�
x x10  1 khi đặt t  x10  1 ta được :
Câu 17: Cho nguyên hàm
dt
1 tdt
1 dt
1 tdt
I�
I �
I �
I �
2
2
2
t(t  1)
5 t 1
5 t  1 C.
10 t  1 . D.
A.
B.

x
I�
dx
4x


1
Câu 18: Cho nguyên hàm
khi đặt t  4x  1 ta được :
1
dt
1 2
1 2
I  �2
2
I �
(t  1) dt
I �
(t  1) dt
I

8
(t

1)
dt
8 (t  1)
�
8
4
A.
B.
C.
. D.
x2

I�
dx
x 64 x 2
Câu 19: Cho nguyên hàm
khi đặt t  x  2 ta được :
� 4(t  1) �
� 4(t  1) �
t
t2
I  2�
1
dt
I

1
dt
�
�
�
2
2�
�
I

2
dt
I 2
dt
�
�

�
�  t  2 �
� B.
�  t  2 �
� C.
t 2  4t  4 .D. �
t  4t  4
A.
2 x 3
I�
dx
x 2 x 3
Câu 20: Cho nguyên hàm
khi đặt t  x  3 ta được :
�
�
�
�
3  2t
3  2t
I  4�
1
I  4�
1
�
�dt
�
�dt
t


1
t

3
t

1
t

3








�
�
�
�

A.

B.

�
�
t

I  4�
dt
�
�
t  1  t  3 �

�
C.
.

�
�
t2
I  4�
dt
�
�
t  1  t  3 �

�
D.

Câu 21 : Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  cos 3x.tan x được viết là :
A.cos 3 x  B.cos x  C (A,B,C là các số thực). Khi đó tích A.B bằng:
A.-4

B. 4

C. 1 .
D. -1

Câu 22: Họ nguyên hàm của hàm số f (x)  sin x.cos 2x. được viết là:
A.cos 3x  B.cos x  C (A,B,C là các số thực). Khi đó tổng A+B bằng:
A. 3

1
B. 3

5
C. 6 .

1
D. 6

3
5
Câu 23: Nguyên hàm của hàm số: y = sin 2x.cos3x là: A.sin x  B.sin x  C (A,B,C là
các số thực). Khi đó tích A.B bằng:

Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

5


Trường THPT Phúc Thọ
1
A. 15

Năm học 2019-2020
1
B. 15

1
C. 5



D.



1
5

cos3 x
1  sin x sau khi đặt t  sin x ta được :
Câu 24: Họ các nguyên hàm
2
2
t
t
t3 t2
t3 t 2
F(t)  t   C
F(t)  t   C
F(t)    C
F(t)    C
2
2
3 2
3 2

A.
B.
C.
.
D.
Câu 25: Cho hàm số f (x)  x.ln(x  1) có nguyên hàm F(x) sao cho F(1) = 0 khi đó
f (x) 

tính giá trị F(2) –F(0) ta được :
3
F(2)  F(0)  ln 3
2
A.
1 3
F(2)  F(0)   ln 3
2 2
C.
.

1 3
F(2)  F(0)    ln 3
2 2
B.
3
F(2)  F(0)   ln 3
2
D.

Câu 26: Cho hàm số f (x)  x  ln(x  1) có nguyên hàm F(x) sao cho F(0) = 1 khi đó
tính giá trị F(7) –F(3) ta được :

A. F(7)  F(3)  16(1  ln 2)
B. F(7)  F(3)  16  4ln(4)  8ln(8)
C. F(7)  F(3)  16  4ln(4)  8ln(8) .
D. F(7)  F(3)  16(1  ln 2)
Câu 27: Cho hàm số f (x)  (x  1)sinx có nguyên hàm F(x) sao cho F(0) = 1 khi đó
khẳng định nào sau đây đúng :
A. F (x) có hệ số tự do là -π
B. F (x) có hệ số tự do là π
C. F (x) có hệ số tự do là 0.
D. F (x) có hệ số tự do là 1
x.sin x
f (x) 
cos3 x có nguyên hàm F(x) sao cho F(2π) =2π khi đó
Câu 28: Cho hàm số
khẳng định nào sau đây đúng :
A. F (x) có hệ số tự do là -π
B. F (x) có hệ số tự do là 0
C. F (x) có hệ số tự do là 
D. F (x) có hệ số tự do là 1
(x 2  x)e x
�x  e x dx là:
Câu 29: Nguyên hàm của hàm số: y =
xe x  1  ln xe x  1  C

A. F(x) =
C. F(x) =

B. F(x) =

xe x  1  ln xe  x  1  C

Câu 30: Nguyên hàm của hàm số:
A. F(x) =
B. F(x) =
C. F(x) =
D. F(x) =

D. F(x) =

e x  1  ln xe x  1  C
xe x  1  ln xe x  1  C

I�
cos 2x.ln(sin x  cos x)dx

là:

1
1
 1  sin 2x  ln  1  sin 2x   sin 2x  C
2
4
1
1
 1  sin 2x  ln  1  sin 2x   sin 2x  C
4
2
1
1
 1  sin 2x  ln  1  sin 2x   sin 2x  C

4
4
1
1
 1  sin 2x  ln  1  sin 2x   sin 2x  C
4
4
Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

6


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

�
Câu 31: Nguyên hàm
1
1
F(0) 
F(0) 
2
2
A.
B.

I  e x cos xdx  F(x)  C

C. F(0)  1

x
3

�
Câu 32: Nguyên hàm
A. F(3)  0
B. F(3)  e

giá trị của F(0) bằng
D. F(0)  1

I  x.e dx  F(x)  C

Câu 33.Cho hàm số



giá trị của F(3) bằng
F(3)
2
C.
D. F(3)  6e

 . Khi đó:

f ( x)  x x 3  1

�
x 2 �x 4

f ( x)dx 
�  x � C
�
2 �4
�
B.

1
1
f ( x)dx  x 5  x 2  C
�
5
2
A.



f ( x )dx  x 5  x 2  C
C. �

f (x)  e 2x  e x là:
Câu 34 .Nguyên hàm của hàm số
1 2x x
e e C
x
x
2x
x
A. 2
B. 2e  e  C

C. e (e  x)  C
1
dx
�
Câu 35.Tính nguyên hàm 1  2x
ta được kết quả sau:
A.

ln 1  2x  C

Câu 36. Hàm số
A.

B.

2 ln 1  2x  C

1
 ln 1  2x  C
C. 2

1
cos x có nguyên hàm trên:
� p p�
�
�
- ; �
�
�
�

( p;2p) .
B. � 2 2�.
C.

Câu 37. Một nguyên hàm của hàm số

2
C
2
D. (1  2x)

y = f ( x) =

( x - 1)
2x2

�p p�
�
- ; �
�
�
�
D. 2 2�
.

3

là kết quả nào sau đây?

2

x 3x 3
1
F ( x) = + ln x +
4
2 2
2x .
A.
C.

D. Kết quả khác

f ( x) =

( 0;p) .

F ( x) =



f ( x) dx  x 2 x 4  x  C
D. �

B.

F ( x) =

3( x - 1)
4x3

4

.

2

x 3x 1
1
- 24
2 x
2x3 .

D. Một kết quả khác.
5
f ( x) 
?
2
x  1

Câu 38.Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số
4x 1
x4
3x  2
x  6
A. x  1
B. x  1
C. x  1
D. x  1

�e .e

x

Câu 39. Tính
x

x+1

A. e .e
Câu 40.

+C .

F ( x)

x+1

dx

ta được kết quả nào sau đây?
1 2x+1
e +C
2x+1
B. 2
.
C. 2e +C .

D. Một kết quả khác.

F ( x)
là nguyên hàm của hàm số y = sin x cos x .

là hàm số nào sau đây?
4

Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

7


Trường THPT Phúc Thọ

A.

F ( x) =

Năm học 2019-2020

cos5 x
cos4 x
sin4 x
sin5 x
+C
F ( x) =
+C
F ( x) =
+C
F ( x) =
+C
5
4
4

5
.B.
.C.
.D.

F  x
f  x   sin 2 x.cos 4 x
.Câu 41. Họ nguyên hàm
của hàm số
là:
1 6
1 6
1
1
F  x    sin x  C F  x   sin x  C F  x    cos6 x  C F  x   cos 6 x  C
3
3
3
3
A.
B.
C.
D.
f ( x) = x ln x
Câu 42. Một nguyên hàm của
là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này
x
=1
triệt tiêu khi
1

1
1
1
1
F ( x) = x2 ln x + x F ( x) = x2 ln x - ( x2 - 1)
2
4
2
4
4.
A.
.
B.
1
1
F ( x) = x ln x + ( x2 - 1)
2
2
C.
.
D. Một kết quả khác.
3
F (0) 
x
f
(
x
)

e


2
x
F
(
x
)
2.
Câu 43. Cho
là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
F ( x) .
Tìm
3
1
F ( x)  e x  x 2 
F ( x )  2e x  x 2 
2
2
A.
B.
5
1
F ( x)  e x  x 2 
F ( x)  e x  x 2 
2
2
C.
D.
x3

f ( x) dx = + ex +C
�
f x
3
Câu 44. Nếu
thì ( ) bằng:
x4
f ( x) = + ex
f ( x) = 3x2 + ex
f ( x) = x2 + ex
3
A.
.
B.
.
C.
.
.
x sin 3 xdx  ax cos 3 x  b sin 3 x  C
Câu 45. Biết �
, khi đó giá trị a+6b là:
A. -21
B. -7
C. -5
2 x
2
x
x e dx   x  mx  n  e  C
Câu 46. Biết �
, giá trị m.n là:

A. 6
B.-4
C. 0
a
3ex (ex  1)6 dx  (ex  1)k  C
�
b
Câu 47. Biết
giá trị a+b+2k là:
A.24
B. 32
C. 28
2
(2  3ln x)
1
dx  (2 3lnx)b  C
�
x
a
Câu 48. Biết
giá trị a.b là:

1
A. 3

1
B. 2
C.27
a
x x 2  2dx  ( x 2  2) x 2  2  C

�
b
Câu 49. Biết
, khi đó a+b là:
A. 1
B. 3
C.4
1
a
dx  ln1 tan3x  C
�
2
b
cos
3
x
(1

tan
3
x
)
Câu 50. Biết
giá trị 2a+b là:
A. 5

B. 4

C. 7

Đề cương ôn tập môn Tốn 12 – Học kì 2

x4
f ( x) = + ex
12
D.

D. -1
D.4

D. 33

D. 26

D. 5

D. 10
8


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

x2
1
1
2
ln(1  x )  ln  1  x    1  x   C
m

n
k
Câu 51. Biết
, giá trị m-n+k là:
A. 12
B. 4
C. 2
D. 0
1
( x  3)e 2 x dx   e 2 x  2 x  n   C
�
2
2
m
Câu 52. Biết
, giá trị m  n là:
A. 5
B.10
C. 41
D. 65
3
2
F ( x) = mx +( 3m+ 2) x - 4x + 3
Câu 53. Tìm số thực m để hàm số
là một nguyên hàm
2
f ( x) = 3x +10x - 4
của hàm số
.
m

=1
m
=
0
A.
.
B.
.
C. m=1.
D. m= 2 .
F ( x) = ( acos x + bsin x) ex
f ( x) = ex cos x
Câu 54. Để
là một nguyên hàm của
thì giá trị
a
,
b
của
là:
x ln(1  x)dx 
�

A. a = 1, b = 0 .

B. a = 0, b= 1.

C. a = b =1.

 0;5 . Nếu

Câu 55.Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn

D.

5

5

0

2

a = b=

f  x  dx  1, �
f  x  dx  4
�

1
2.

thì

2

�
�
�f  x   2 x

3

0

�
�dx  ?

A. 15

B. 11

2

Câu 56. Cho biết

�
A=�
3 f ( x) + 2g( x) �
dx = 1
�
�
1

C. 13

D. 17

2

và

�
B=�
2 f ( x) - g( x) �
dx =- 3
�
�
1

.

2

Giá trị của

�f ( x) dx
1

Câu 57.Cho hàm số

bằng:

f ( x)

A. 1.

B. 2.

C.

5

�f ( x) dx = 0

B.

2

4

1

1
D. 2 .

5

7

�f ( x) dx - �f ( x) dx = �f ( x) dx
0

7

3

�f ( x) dx =- �f ( x) dx
1

5
7.

liên tục trên �. Mệnh đề nào sau đây sai?

2

A.

C.

-

0

- 1

3

�f ( x) dx = �f ( x) dx + �f ( x ) dx

D. - 1

4

- 2

- 2

7

Câu 58. Nếu

A.-16.

ff( 2) =- 6,

'( x)

B.16.

liên tục trên � và
C.4.

�f '( x) dx = 10
2

. Giá trị của
D.- 4.

f ( 7)

bằng:

3

x
K  �2 dx
x 1
2
Câu 59.Tích phân
bằng:
A. K = ln2

B. K = 2ln2

C.

K  ln

8
3

D.

Đề cương ôn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

K

1 8
ln
2 3

9


Trường THPT Phúc Thọ
1

Năm học 2019-2020

 4x  11 dx

�x

2

Câu 60. Biết 0
3
2 ln
2
A.

 5x  6

bằng:
B.

4 ln

3
2

C. 2 ln 3  ln 2

D.

ln

9
2

1

3e
�

3x

dx

Câu 61.Giá trị của 0
bằng:
A. e3 - 1
B. e3 + 1
C. e3
D. 2e3
Câu 62.Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trịkhác 3 ?
0
1
x
3
ln 3
4
sin
dx
dv
u
�
dt
e
du
3

3
�
�
2
�

A. 0
B. 2
C. 0
D. 1 v
1
3
�x2  e3 x  dx  a  eb
Câu 63.Cho 0
với a, b là các số hữu tỉ. Chọn khẳng định đúng?
2
2
2
B. a  2b  8
C. a.b  6
D. 5a  2a b  3
2
dx
1 1
 
2
�
Câu 64.Biết 1 4x  4x  1 a b thì a và b là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. 3a  b  2

2
A. x  5x  6  0

2
B. x  9  0

2
C. 2x  x  1  0
2
dx

2
D. x  4x  12  0

I =�
3
I = a ln2+ bln
1 x 1+ x
Câu 65. Kết quả của tích phân
có dạng
a, b, c ��. Khi đó giá trị của a bằng:
A.

a=

1
3.

B.

a =-

1
3.

C.

a =-

2
3.

D.

a=

(

)

2- 1 +c

với

2
3.

8

I = �16- x2 dx

Câu 66 .Đổi biến số x = 4sin t của tích phân
p
4

A.

I =- 16�
cos2 tdt
0

0

p
4

.B.

I = 8�
( 1+ cos2t) dt
0

.C.

I = 16�
sin2 tdt
0

1

Câu 67.Bằng cách đổi biến số x  2sin t thì tích phân

6

A.

2�
 1  cos 2t  dt
0

3
A. 2 .

0

B.

-

3
2.

0

2

là:



6

C.

0

Câu 68. Kết quả của tích phân
a, b��. Khi đó a+ b bằng:

.D.

I = 8�
( 1- cos2t) dt

x dx

�4  x

4�
cos 2 tdt
0

p
4

2


6

B.

, ta được:

p
4

�

2�
 1  cos 2t  dt
0


6

D.

sin
�

2

tdt

0

2 �

�

x +1+
dx
�
�
��
�
�
x - 1�
- 1

được viết dưới dạng a+ bln2 với

5
C. 2 .

D.

-

5
2.

3

x ln xdx  a  b ln 3
�
2

Câu 69. Biết

1

. Tính a.b ?

Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

10


Trường THPT Phúc Thọ
A. -26

Năm học 2019-2020

B. -3

C. 6

D. 13

1

I =�
x ln( 2 + x2 ) dx

0
Câu 70. Kết quả của tích phân
được viết ở dạng I = a ln3+ bln2+ c
với a, b, c là các số hữu tỉ. Hỏi tổng a + b+ c bằng bao nhiêu?
3

.
A.0
B. 1
C. 2
D. 2

4

Câu 71. Biết

dx
I  �2
 a  ln b
x  x  1
1

. Chọn đáp án đúng?
1
a  b 1
A. a  b  0
B. 2a  b  4
C. 2
D. ab=4
e
ln x
I =� 2
dx
x
ln
x

+
1
(
)
1
Câu 72. Kết quả của tích phân
có dạng I = aln2+ b với a, b��.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
2
2
A. 2a+ b = 1.
B. a + b = 4 .
C. a- b =1.
D. ab = 2 .
x

Câu 73. Đặt

F ( x) = �1+ t2 dt

. Đạo hàm

F / ( x)

là hàm số nào dưới đây?
1
F / ( x) =
F / ( x) =
/
2

2
/
2
1+ x2 . B. F ( x) = 1+ x . C.
1+ x2 . D. F ( x) = ( x +1) 1+ x .
A.
1

x

x

F ( x) = �
( t2 + t) dt

F ( x)
[- 1;1] là:
1
Câu 74.Cho
. Giá trị nhỏ nhất của
trên đoạn
1
1
5
5
.
- .
- .
.
A. 6

B. 6
C. 6
D. 6
Câu 75. Bạn Nam ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới và vận tốc chuyển động của máy bay là
v( t) = 3t2 + 5( m/ s)
. Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:
A. 36m.
B. 252m.
C. 1134m.
D. 966m.
Câu 76. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ơ tơ
v( t) =- 5t +10
chuyển động chậm dần đều với vận tốc
(m/s), trong đó t là khoảng thời
gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ơ tơ
cịn di chuyển bao nhiêu mét ?
A. 0,2 m.
B. 2 m.
C. 10 m.
D. 20 m.
II.Ứng dụng tích phân trong hình học
2
Câu 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  x , y  2 x  8?

A. 32

B. 24

C. 36

D. 48
Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x - x và đồ thị hàm số
37
9
81
S= .
S= .
S= .
2
y = x- x .
12
4
12
A.
B.
C.
D. S =13.
3

Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

11


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

Câu 3. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường: y = sin2x, y = cosx và hai đường


x  0; x 
2 là:
thẳng
1
( dvdt)
A. 4

1
( dvdt)
B. 6

3
( dvdt)
C. 2

1
( dvdt)
D. 2
3
2
Câu 4.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  3x  5 x  1 , tiếp tuyến với nó
M  1; 2 
tại điểm
và Oy là giá trị nào sau đây:
1
1
A. 4
B. 2
C. 4
D. 2

Câu 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x và x - 2y = 0 bằng với diện
tích hình nào sau đây:
A. Diện tích hình vng có cạnh bằng 2.
B. Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt 5 và 3.
C. Diện tích hình trịn có bán kính bằng 3.
24 3
D. Diện tích tồn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng 3 .
2

Câu 6.Với giá trị m dương nào thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x và
4
y = mx bằng 3 đơn vị diện tích?
A. m = 1
B. m = 2
C. m = 3
D. m = 4
x
=
0
x
=
2 , biết rằng
Câu 7. Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình
và
thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ
x �0;2
[ ] là một phần tư đường trịn bán kính 2x2 , ta được kết quả nào sau đây?
16
V = p.
5

A.V = 32p.
B.V = 64p.
C.
D.V = 8p.
Câu 8. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y  ln x, y  0, x  e quay quanh trục Ox bằng
A.  e

B.

  e  1

C.

  e  2

D.

  e  1

III: SỐ PHỨC
Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1.Số phức liên hợp của số phức: z =- 1 + 2i là số phức:
A. z = 2 - i
B. z =- 2 + i
C. z = 1- 2i
Câu 2. Mô đun của số phức: z = 2 + i
A. 13
Câu 3.Cho số phức
A. z  z  2a

B. 5
z  a  bi  a, b �� .

C. 5

D. z =- 1- 2i .
D. 2.

Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
2
2
2
B. z  z  2bi
C. z. z  a  b
D. z  z. z

Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

12


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

Câu 4.Điểm biểu diễn số phức z = 1- 2i trên mặt phẳng Oxy có tọa độ là:
( 1; - 2)
( - 1; - 2)
( 2; - 1)
( 2;1)

A.
B.
C.
D.
Câu 5.Cho số phức z = 2 - 3i . Số phức liên hợp của z được biểu diễn bởi điểm:

M ( 2; - 3)

M ( - 2;3)

M ( 2;3)

M ( - 2; - 3)

A.
B.
C.
D.
z

5

4
i
z
Câu 6. Cho số phức
. Số phức đối của có tọa độ điểm biểu diễn là
 5; 4  .
 5; 4  .
 5; 4  .

 5; 4  .
A.
B.
C.
D.
Câu 7.Với giá trị nào của x,y để 2 số phức sau bằng nhau: x + 2i = 3 - yi
A. x = 2; y = 3

B. x =- 2; y = 3
C. x = 3; y = 2
( x + y) +( 2x - y) i =- 3 + 6i
Câu 8.Với giá trị nào của x,y thì
A. x = 1; y =- 4
B. x =- 1; y =- 4
C. x = 4; y =- 1
2
( x + 2i) = yi ( x, y ��) . Giá trị của x và y là:
Câu 9. Cho
A. x = 2 và y = 8 hoặc x =- 2 và y =- 8

D. x = 3; y =- 2
D. x = 4; y = 1

B. x = 3 và y = 12 hoặc x =- 3 và y =- 12
C. x = 1 và y = 4 hoặc x =- 1 và y =- 4
D. x = 4 và y = 16 hoặc x = 4 và y = 16

( 2 + 3i ) x +( 4 - i) y =- 10 +13i . Tính giá trị của
Câu 10. Cho các số thực x, y thỏa mãn:
2

2
biểu thức x - 2 y ?
- 23
A.

B. 23

C. - 21

D. 21

2 x  1   1  2 y  i  2  2  i   yi  x
Câu 11. Cho hai số thực x, y thỏa mãn
khi đó giá trị của
2
x  3 xy  y bằng:
A. 1 .

C. 2 .
z1  9 y  4  10 xi 5

B. 1 .

2

D. 3 .
z  8 y  20i11
và 2
là liên hợp
2

Câu 12. Tìm số thực x, y để hai số phức
của nhau?
A. x  2; y  2 .
B. x  2; y  �2 .
C. x  2; y  2 .
D. x  2; y  �2 .
z  1  2i
z  2  3i
Câu 13. Cho hai số phức 1
và 2
. Khẳng định nào là khẳng định sai?
z2
4 7
  i
z .z  65
5 z 1  z2  1  i
z1
5 5
A.
.
B. 1
.
C. z1  z1.z2  9  i . D. 1 2
.
Câu 14.Cho số phức z = a + bi . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
2
2
A. z + z = 2bi
B. z + z = 2a

C. z.z = a - b
2
Câu 15.Cho số phức z = a + bi . Số phức z có phần thực là:
2
2
2
2
A. a - b
B. a - b
C. a + b
2
Câu 16. Cho số phức z = 2a + bi . Số phức z có phần thực là:

A. a + b

B. a - b

(
Câu 17.Cho số phức z =

2 + 3i

)

2
2
C. 4a - b

D.

z2  z

2

D. a + b
2
2
D. a + b

2

. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực bằng - 7 , Phần ảo bằng 6 2i
B. Phần thực bằng 7 , Phần ảo bằng 6 2
C.Phần thực bằng - 7 và Phần ảo bằng 6 2
D. Phần thực bằng 7 và Phần ảo bằng 6 2i
Đề cương ôn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

13


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

3
Câu 18.Cho số phức z = 2 - 3i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z .
A. Phần thực bằng 46 và Phần ảo bằng - 9i B. Phần thực bằng - 46 và Phần ảo bằng - 9i
C. Phần thực bằng 46 và Phần ảo bằng - 9i
D.Phần thực bằng - 46 và Phần ảo bằng - 9

3 - 4i
z=
4 - i bằng:
Câu 19. Số phức
16 13
16 11
9 4
9 13
i
i
- i
i
A. 17 17
B. 15 15
C. 5 5
D. 25 25

Câu 20. Cho số phức
1
3
- +
i
2
A. 2

z =-

1
3
+

i
2
2 . Tìm số phức w = 2 + z + z 2 .
B. 2 -

3i

C. 1
D. 0
z
 2  i.
z  a  bi  a, b ��
Câu 21.Xét số phức
thỏa mãn: 3  4i
Tính P  ab.
A. 20
B. 30
C. 40
D.50
2
z   3  2i   1  i 
Câu 22. Cho số phức
. Môđun của w  iz  z là:
A.2.
B. 2 2 .
C. 1.
D. 2 .
5
z
 3i

1  2i
Câu 23. Phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn
lần lượt là:
1;

2
A. 1;1.
B.
.
C. 1;2.
D. 1; 1 .
Câu 24. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
w  1  2 z  z 2 có giá trị là:
A. 10.

B. 10 .

Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn:
A. -37

B. -

 2  i z 

C. 100.
2
3z  2 z   4  i 

37 .

1 i
 5i
1 i
.

Môđun của số phức

D. 100 .
. Môđun của số phức z là:
D. 73 .

C. 73.
z   2  i   10

Câu 26. Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức
và z.z  25 .
A. z  3  4i; z  5 .B. z  3  4i; z  5 .C. z  3  4i; z  5 .D. z  3  4i; z  5 .
1
( z + z)
Câu 27.Cho số phức z = a + bi . Khi đó số 2
là:
A. Một số ảo
B. 2
C. Một số thực
D. i
Câu 28.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z - iz = 2 + 5i . Số phức z cần tìm là:
A. z = 3 + 4i
B. z = 3 - 4i
C. z = 4 - 3i
D. z = 4 + 3i .

Câu 29.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
A. 13
B. 82

2z + 3( 1- i ) z = 1- 9i

Câu 30.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
z là:
A. -2 và -3
B. 2 và 3

C. 5
z +( 2 + i) z = 3 + 5i

. Môđun của z bằng:
D. 13 .
. Phần thực và phần ảo của

C. -2 và 3

Đề cương ôn tập môn Tốn 12 – Học kì 2

D.2 và -3.

14


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

2 z   3  i  z  1  11i
Câu 31.Cho số phức z thỏa mãn:
. Xác định phần ảo của số phức
2
w  1 z  z ?
A. 1
B. -2
C. 3
D. -4
Câu 32.Điểm biểu diễn hình học của số phức z = a + ai nằm trên đường thẳng:
A. y = x
B. y = 2x
C. y =- x
D. y =- 2x

Câu 33. Điểm biểu diễn của các số phức z = 7 + bi với b ��, nằm trên đường thẳng có
phương trình là:
A. x = 7
B. y = 7
C. y = x
D. y = x + 7
Câu 34. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện
z - i =1
là:
A. Một đường thẳng
B.Một đường trịn
C. Một đoạn thẳng D. Một hình vng
Câu 35. Trong mp tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:

z  i   1 i z

.

A.Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(2; –1), bán kính R= 2 .
B.Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0; 1), bán kính R= 3 .
C.Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R= 3 .
D.Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0; –1), bán kính R= 2 .
Câu 36.Cho số phức z thỏa mãn: (2  3i)z  (4  i)z  (1  3i) .
Xác định phần thực và phần ảo của z.
A.Phần thực – 3; Phần ảo 3
B. Phần thực – 3; Phần ảo 5i.
C.Phần thực – 2; Phần ảo 5
D.Phần thực – 2; Phần ảo 3
Câu 37. Tìm số phức z, biết: (3 - i)z - (2 + 5i)z =- 10 + 3i .
2

A. z = 2 - 3i

B. z = 2 + 3i

Câu 38. Tính mơ đun của số phức
A.

z 3

B.

C. z =- 2 + 3i

D. z =- 2 - 3i

z thoả mãn z.z  3( z  z )  4  3i.
z  2.

z 4

C.
 2 z  1  1  i   z  1  1  i   2  2i





D.

z 1

z
Câu 39. Cho số phức z thỏa mãn
. Giá trị của
là ?
2
3
2
A. 3 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 2 .

 a, b �� thỏa mãn : z   2  3i  z  1  9i . Giá trị của ab  1
Câu 40. Cho số phức z  a  bi
là :
A. 1 .
B. 0.
C. 1.
D. 2 .
2
z  2
Câu 41. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
và z là số thuần ảo ?
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
z
=
4
+
i
(2
+
3i)(1
i)
Câu 42. Số phức
có mơđun là:
A. 2

B. 0

C.1

Câu 43. Cho số thực x. Số phức: z = x(2 - i) có mơ đun bằng
A. x = 0

B. x = 2

D. – 2
5 khi:

C. x = �1

Đề cương ôn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

D.

x =-

1
2

15


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

2
Câu 44. Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z + 2z + 3 = 0 . Tọa độ

điểm M biểu diễn số phức z1 là:

C. M(- 1; - 2)
D. M(- 1; - 2i)
2
Câu 45. Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn z - 3z + 5 = 0 . Tìm mơ đun của số phức:
w= 2z - 3
A. 4
B. 11
C. 24
D. 5
2
z
z
Câu 46. Gọi 1 và 2 lần lượt là nghiệm của phươngtrình: z - 2z + 5 = 0 .
A. M(- 1; 2)

Tính

B. M(- 1; - 2)

F = z1 + z 2

A. 2 5

B. 10
C. 3
D. 6
z(1
+

2i)
=
7
+
4i
Câu 47. Cho số phức z thỏa mãn:
.Tìm mô đun số phức w= z + 2i .
A. 4

B. 17

C.

24

D.5

Câu 48. Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z  2z  10  0 . Tính giá trị của
2

2
2
A

|
z
|

|
z

|
1
2
biểu thức
.

A.15
B.17
C.19
D.20
Câu 49.Tập nghiệm của phương trình i.z + 2017 - i = 0 là:
A. {1 + 2017i}
B. {1- 2017i}
C. {- 2017 + i}
D. {1- 2017i}
z
Câu 50.Cho số phức z  m  (m  3)i, (m �R ) . Tìm m để
đạt giá trị nhỏ nhất?
3
3
m
m
m0
2
2
B. m  3
C.
D.
A.
z  m  1   2m  3  i, ( m �R)

z
Câu 51.Cho số phức
. Tìm m để
đạt giá trị nhỏ nhất?
m2
m


3
m


1
B.
C.
D. m  4
A.
2
Câu 52.Xét số phức z  1  2i là nghiệm của phương trình z  az  b  0. Tính giá trị biểu thức
P  3a  2b ?
A. 4
B. -4
C. 10
D. -10
B. PHẦN HÌNH HỌC
CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I.
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Tọa độ của điểm,vectơ:
r r r

r
r
u

(x;
y;
z)
�
u

xi
 yj  zk
a)
r2 r2 r 2
rr r r r r
i  j  k  1 i.j  j.k  k.i  0
;
r
r
r
i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1)
uuuu
r
r r r
M(x; y; z) � OM  xi  yj  zk
r
r
a   a1 , a 2 , a 3  b   b1, b 2 , b3 
b) Cho
,

Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

16


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

r r
a �b   a1 �b1,a 2 �b 2 , a 3 �b3 

r
k.a  (ka1, ka 2 , ka 3 )

;
r r
r
r
a
a
a
a / /b � a  k.b � 1  2  3
b1 b 2 b3 (với b , b , b ≠ 0)
1
2
3
c) Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)

;

�a1  b1
r r
�
ab��
a 2  b2
�a  b
3
�3

uuur
AB  (x B  x A ; y B  y A ; z B  z A )

AB  (x B  x A ) 2  (y B  y A ) 2  (z B  z A ) 2

+ Tọa độ M là trung điểm đoạn thẳng AB:
x  x B yA  yB z A  z B
M( A
;
;
)
2
2
2
G(

x A  x B  x C y A  y B  yC z A  z B  z C
;
;

)
3
3
3

+ Tọa độ G là trọng tâm tam giác ABC:
r
rr
a
 a12  a 22  a 32
a.b  a1b1  a 2 b 2  a 3b3
d)
;
r r
rr
a  b � a.b  0 � a1b1  a 2b 2  a 3b3  0
rr
r r
a.b
cos(a; b)  r r
a.b
r r
�a
�
� � 2
a;
b
� � b
�2
e)

a2 �
�
b2 �
1 uuur uuur
SABC  �
AB, AC �
�
2�
2. Diện tích tam giác:
r r r
r r r
��
a,
b�
.c  0
a,
b,
c
3. Điều kiện đồng phẳng 3 véctơ:
đồng phẳng � �
uuur uuur uuur
�
AB,
AC�
.AD �0
�
4. Điều kiện 4 điểm A, B, C, D lập thành tứ diện là �
.
u

u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
r
1
VABCD  �
AB, AC �
.AD
�
6�
5. Thể tích tứ diện ABCD:
uuur uuur uuur
�
VABCD.A 'B'C'D'  �
AB,
.AA '
� AD �
6. Thể tích khối hộp:
a3 a3
,
b3 b3

a1 a1

,
b1 b1

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1. Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình:
(S): (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².
2. Dạng thứ hai (S): x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)
2
2
2
với a² + b² + c² – d > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R  a  b  c  d .
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
2
2
2
Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A  B  C  0)
r
2.
Mặt phẳng (α) đi qua điểm Mo(xo; yo; zo) và có véc tơ pháp tuyến n = (A; B; C) có
phương trình là (α): A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0

1.

Đề cương ôn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

17


Trường THPT Phúc Thọ
3.

Năm học 2019-2020

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua các điểm M(a; 0; 0), N(0;

x y z
  1
b; 0) và P(0; 0; c) có phương trình dạng: a b c
với abc ≠ 0
4.
Khoảng cách từ điểm Mo(xo, yo, zo) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là:
Ax 0  By0  Cz0  D
d  M 0 ;(α)  
A 2  B2  C 2
IV.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1.Phương trình tham số của đường thẳng

r
u
Phương trình đường thẳng (d) đi qua Mo(xo, yo, zo) và có véc tơ chỉ phương: = (a; b; c) là:
�x  x 0  at
�
d : �y  yo  bt
�
z  z o  ct �
�
(t R)
x  x o y  yo z  zo



b
c
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng (d): a

3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

r
uur
u
u
Trong Oxyz cho (d) qua M và có VTCP và (d’) qua M’ và có VTCP '

r uu
r
r uuuuur
r
�
� �
� 0
u,
u
'
u,
MM
'
�
d trùng d’ � � � �
r uu
r
r

�
�
u, u '�
�
�
� 0
r
�r uuuuur
�
��0
u,
MM
'
�
�
d // d’ � ��
r uu
r
r
��
��0
u,
u
'
�
� �
r uuuuur
�r uu
�
u,

u
'�
.MM '  0
�
d và d’ cắt nhau � �� �
r uu
r uuuuur
�
u,
u
'�
.MM ' �0
d và d’ chéo nhau � � �

r
u
4. Khoảng cách từ M đến đường thẳng (Δ) đi qua Mo và có véc tơ chỉ phương :
uuuuuuu
r r
�
M
M
,u�
o
�
�
d(M1,Δ) 
r
u

5. Góc giữa hai đường thẳng:

r
r
u
v
Cho (Δ1) có vectơ chỉ phương =(a1; b1; c1) và (2) có véc tơ chỉ phương = (a2; b2;

c2). Gọi φ là góc giữa (Δ1) và (Δ2) ta có:
rr
u.v
a1a 2  b1b 2  c1c2
cosφ  r r 
| u |.| v |
a 2  b 2  c2 a 2  b2  c2
1

1

1

2

2

2

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

18


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

r

Cho đường thẳng (Δ) có véc tơ chỉ phương u = (a; b; c) và mặt phẳng (α) có véc tơ
r
pháp tuyến n = (A; B; C). Nếu φ là góc giữa (Δ) và mặt phẳng (α) thì
rr
n.u
Aa  Bb  Cc
sinφ  r r 
| n |.| u |
A 2  B2  C2 a 2  b2  c2 (0° ≤ φ ≤ 90°)
7. Góc giữa hai mặt phẳng:
uu
r
n1
Cho mp (α1) có véc tơ pháp tuyến
= (A1; B1; C1) và mp (α2) có véc tơ pháp tuyến
uur
n2
= (A2; B2; C2). Nếu  là góc giữa (α1) và (α2) thì
uu
ruur

n1 n 2
A1A 2  B1B2  C1C2
cosβ  uur uur 
n1 . n 2
A12  B12  C12 A 22  B22  C22

Bài tập trắc nghiệm

uu
r
r
m

(1;0;

1);
n
 (0;1;1) . Kết luận nào sai:
Câu 1: Cho Cho
uu
r r
uu
rr
[m,
n]  (1; 1;1)
m.n


1
A.

B.
uur r
uur
r
C. m và n khơng cùng phương
D. Góc của m và n là 600
r
r
r
a   5;7; 2  , b   3; 0; 4  , c   6;1; 1
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho
. Tọa độ của vecto
r
r r r r
n  5a  6b  4c  3i là:
r
r
r
r
n   16;39;30 
n   16; 39; 26 
n   16;39; 26 
n   16;39; 26 
A.
B.
C.
D.
r
r
r

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho ba véctơ a  (2;3; 5), b  (0; 3; 4), c  (1; 2;3) . Tọa độ

r r r r
n  3a  2b  c là:

của véctơ
r
n  (5;5; 10)
A.
r
n  (5; 5; 10)

Câu 4.Cho điểm
A.

( 2;0;0) .

r
n
B.  (5;1; 10)

A ( - 2;3;1)

r
n
C.  (7;1; 4)

D.

. Hình chiếu vng góc của điểm A lên trục Ox có tọa độ là:

B.

( 0;- 3;- 1) .

C.

( - 2;0;0) .

D.

( 0;3;1)

.

Câu 5: Chọn phát biểu đúng: Trong khơng gian
A. Vec tơ tích có hướng của hai vec tơ thì cùng phương với mỗi vectơ đã cho.
B. Tích có hướng của hai vec tơ là một vectơ vng góc với cả hai vectơ đã cho.
C. Tích vơ hướng của hai vectơ là một vectơ.
D. Tích của vectơ có hướng và vơ hướng của hai vectơ tùy ý bằng 0
r
r
r
a

(1;
2;3),
b

(2;1;
m),

c
 (2; m;1) đồng phẳng khi:
Câu 6: Trong không gian Oxyz, ba véctơ
m  9
m  9
m9
m9
�
�
�
�
�
�
�
�
m  1
m 1
m  2
m 1
A. �
B. �
C. �
D. �
Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

19


Trường THPT Phúc Thọ
Câu 7: Cho 3 véctơ

phẳng thì x bằng
A. 1

Năm học 2019-2020

r
r
a   1; 2;1 ; b   1;1; 2 

và

r
c   x;3 x; x  2 

r r r
a,
. Nếu 3 véctơ b, c đồng

B. -1
C. -2
D. 2
M  2; 3;5  N  4;7; 9  P  3; 2;1 Q  1; 8;12 
Câu 8: Cho 4 điểm
,
,
,
. Bộ 3 điểm nào sau đây
là thẳng hàng:
A. N, P, Q
B. M, N, P

C. M, P, Q
D. M, N, Q
Câu 9: Cho ba điểm
thẳng hàng?

A  2; 1;5 , B  5; 5; 7 

và

M  x; y;1

A. x  4; y  7

. Với giá trị nào của x;y thì A, B, M

B. x  4; y  7
C. x  4; y  7
D. x  4; y  7
r
r
r r
r r
r r
a  2 3, b  3, a, b  300
a,
b
a
Câu 10: Cho hai vectơ
thỏa mãn:
.Độ dài của vectơ  2b

 

C. 6 3
D. 2 13
r
r
Câu 11: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho u  (1;1; 2) , v  (1; m; m  1) . Khi đó
r r
�
�
u,
� v � 2 3. thì :
A.

3

B. 2 3

11
m  1; m  
m

3;
m


1
5
A.

B.
C.
D.
Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(1;0;1), B(2;1;2) và giao
m  1; m 

11
5

m  1; m  

11
5

3 3
I ( ;0; )
điểm của hai đường chéo là 2 2 . Diện tích của hình bình hành ABCD là

A. 5
B. 6
C. 3
D. 2
Câu 13:Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD với A(0;0;1); B(0;1;0); C(1;0;0),
D(-2;3;-1). Thể tích của ABCD là:
1
1
1
1
V
V

V
V
3 đvtt
2 đvtt
6 đvtt
4 đvtt
A.
B.
C.
D.
A  1;1; 6  B  0;0; 2  C  5;1; 2 
Câu 14: Trong không gian Oxyz cho các điểm
,
,
và

D '  2;1; 1

. Nếu ABCD.A 'B'C'D' là hình hộp thì thể tích của nó là:
A. 26 (đvtt)
B. 40 (đvtt)
C. 42 (đvtt)
A  2; 0;0  , B  0;3;0  , C  0;0; 4 
Câu 15: Cho
. Tìm mệnh đề sai:
2
uuur
uuur
cos A 
AB   2;3;0 

AC   2;0; 4 
65
A.
B.
C.

D. 38 (đvtt)

D.

sin A 

1
2

Câu 16:Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt cầu?
2
2
2
2
2
2
A. x + y + z - 2x + 4y + 3z + 8 = 0 . B. x + y + z - 2x + 4y + 3z + 7 = 0 .
2
2
C. x + y - 2x + 4y - 1 = 0 .

( S) : x

2

Câu 17:Cho mặt cầu

Mặt phẳng tiếp xúc với

( S)

2
2
D. x + z - 2x + 6z - 2 = 0 .

+ y2 + z2 + 4x - 2y - 4 = 0

và một điểm

A ( 1;1;0)

thuộc

( S)

tại A có phương trình là

Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

20


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

A. x + y + 1 = 0.

B. x + 1 = 0. C. x + y - 2 = 0.

( S ) : ( x - 2)
Câu 18:Cho mặt cầu
A.

(

2

).

I 2;1;- 1

Câu 19:

2

+ y2 + ( z + 1) = 4

B.

(

).

Tâm và bán kính của mặt cầu:

( S ) là
. Tâm I của mặt cầu

(

I 2;0;- 1

D. x - 1 = 0 .

)

(

)

I - 2;0;1
I - 2;1;1
C.
. D.
.
2
2
 S : x  y  2x  y  3z  1  0

9
� 1 3�
I�
1;  ; �

,R 
2
A. � 2 2 �
3
� 1 3�
I�
1;  ; �
,R 
2
C. � 2 2 �

9
� 1 3�
I�
1; ;  �
,R 
2
B. � 2 2 �
3
I  2; 1;3 , R 
2
D.
Câu 20: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB với A(6;2;5) và B(-4;0;7)

A.
C.

 x  5

2

 x  5

2

Câu 21:

  y  1   z  6   3

 x  5

2

B.

  y  1   z  6   3

  y  1   z  1  3

x  1
D. 

2

  y  1   z  6   27

2

2

2

2

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O,

2
2
2
A. x  y  z  x  2y  4z  0

C.

x 2  y2  z2  2x  4y  8z  0

2

2

2

2

A  1;0;0  , B  0; 2;0  , C  0;0; 4 

2
2
2
B. x  y  z  x  2y  4z  0
2

2
2
D. x  y  z  2x  4y  8z  0

Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng

 P  :2x  y  z  3  0

;

 Q  :x  y  z  0 . (S) là mặt cầu có tâm thuộc (P) và tiếp xúc với (Q) tại điểm H  1; 1; 0  .
Phương trình của (S) là :
S : x  2
A.   

 y 2   z  1  1
2

2

  y  2  z2  1

S : x  1
B.   

2

  y  1  z 2  3
2

S : x  2   y 2   z  1  3
D.   
 S : x 2  y2  z 2  2x  4y  6z  m  0 . Tìm m để (S) cắt mặt phẳng
Câu 23: Cho mặt cầu:

C.

 S : x  1

2

2

 P  : 2x  y  2z  1  0
A. m  9
Câu 24: Cho mặt cầu:

2

theo giao tuyến là đường trịn có diện tích bằng 4 .
B. m  10
C. m  3

2

D. m  3

 S : x 2  y2  z 2  2x  4y  6z  m  0 . Tìm m để (S) cắt đường thẳng

x 1 y z  2

 
1
2
2 tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông (Với I là tâm mặt cầu)
4
m
9
A. m  1
B. m  10
C. m  20
D.

  :

Câu 25: Trong không gian Oxyz véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của phương trình
mp(P): 4x - 3y + 1 = 0
A. (4; - 3;0)
B. (4; - 3;1)
C. (4; - 3; - 1)
D. (- 3;4;0)

Đề cương ôn tập môn Tốn 12 – Học kì 2

21


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

Câu 26: Trong không gian Oxyz mặt phẳng (P) đi qua điểm M( - 1;2;0) và có VTPT
r
n  (4;0; 5) có phương trình là:
A. 4x - 5y - 4 = 0
B. 4x - 5z - 4 = 0 C. 4x - 5y + 4 = 0 D. 4x - 5z + 4 = 0
Câu 27: Mặt phẳng ( ) đi qua M (0; 0; - 1) và song song với giá của hai vectơ
r
r
a(1; 2;3) và b(3;0;5) . Phương trình của mặt phẳng () là:
A. 5x – 2y – 3z - 21 = 0
B. - 5x + 2y + 3z + 3 = 0
C. 10x – 4y – 6z + 21 = 0
D. 5x – 2y – 3z + 21 = 0
 Oxy  có phương trình là
Câu 28 . Trong khơng gian Oxyz, mặt phẳng
A. z  0 .
B. x  0 .
C. y  0 .
D. x  y  0 .
Câu 29: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm D(2;0;0) và vng góc với trục Oy
có phương trình là
A. z  0
B. y = 0
C. z = 2
D. y = 2
(5; 4; 2) . Biết M�là hình chiếu vng góc của M
Câu 30: Cho hai điểm M(1; 2; 4) và M�
lên mp() . Khi đó, mp() có phương trình là

A. 2x  y  3z  20  0 B. 2x  y  3z  20  0 C. 2x  y  3z  8  0 D.

2x  y  3z  20  0
Câu 31: Trong không gian Oxyz mp(P) đi qua ba điểm A(4;0;0), B(0; - 1;0), C(0;0; - 2) có
phương trình là:
A. x - 4y - 2z - 4 = 0 B. x - 4y + 2z - 4 = 0
C. x - 4y - 2z - 2 = 0 D. x + 4y - 2z - 4 = 0
A  0;1; 2  , B  2; 2;1 ;C  2;1;0 
Câu 32: Trong khơng gian Oxyz, cho 3 điểm
. Khi đó
phương trình mặt phẳng (ABC) là: ax  y  z  d  0 . Hãy xác định a và d
A. a  1;d  1

a  1; d  6
a  1;d  6
C. a  1;d  6
B.
D.
Câu 33: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A( - 2;0;1), B(4;2;5). phương trình mặt phẳng
trung trực đoạn thẳng AB là:
A. 3x + y + 2z - 10 = 0 B. 3x + y + 2z + 10 = 0 C. 3x + y - 2z - 10 = 0 D.3x - y + 2z - 10 = 0
Câu 34: Trong không gian Oxyz mp(P) đi qua A(1; - 2;3) và vng góc với đường thẳng
x  1 y 1 z 1


1
3 có phương trình là:
(d): 2

A. 2x - y + 3z - 13 = 0 B. 2x - y + 3z + 13 = 0 C. 2x - y - 3z - 13 = 0 D. 2x + y + 3z - 13 = 0
Câu 35: Trong không gian Oxyz cho điểm A(4; - 1;3). Hình chiếu vng góc của A trên các
trục Ox, Oy, Oz lần lượt là K, H, Q. khi đó phương trình mp( KHQ) là:

A. 3x - 12y + 4z - 12 = 0
B. 3x - 12y + 4z + 12 = 0
C. 3x - 12y - 4z - 12 = 0
D. 3x + 12y + 4z - 12 = 0
Câu 36: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(8, - 2, 4). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu
của M trên các trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B và C là:
A. x  4y  2z  8  0 B. x  4y  2z  8  0 C.  x  4y  2z  8  0 D. x  4y  2z  8  0
2
2
2
Câu 37: Cho mặt cầu (S) : x  y  z  8x  2y  2z  3  0 và đường thẳng

Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

22


Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

x 1 y z  2


3
2
1 . Mặt phẳng ( ) vng góc với  và cắt (S) theo giao tuyến là đường
trịn (C) có bán kính lớn nhất. Phương trình () là
:

A. 3x  2y  z  5  0 B. 3x  2y  z  5  0 C. 3x  2y  z  15  0 D. 3x  2y  z  15  0
Câu 38: Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng song song (Q): 2x - y + z - 2 = 0 và
(P): 2x - y + z - 6 = 0. mp(R) song song và cách đều (Q), (P) có phương trình là:
A. 2x - y + z - 4 = 0 B. 2x - y + z + 4 = 0 C. 2x - y + z = 0 D. 2x - y + z + 12 = 0
x  1 y 1 z


1
2 và
Câu 39: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng song song (d): 1
x 1 y  2 z 1


1
2 . Khi đó mp(P) chứa hai đường thẳng trên có phương trình là:
(d’): 1
A. 7x + 3y - 5z + 4 = 0 B. 7x + 3y - 5z - 4 = 0 C. 5x + 3y - 7z + 4 = 0D. 5x + 3y + 7z + 4 = 0
Câu 40: Biết tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C thuộc các trục tọa độ và trọng tâm tam giác là
G(1; 3; 2) . Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là:

A. 2x  3y  z  1  0
C. 6x  2y  3z  18  0

B. x  y  z  5  0
D. 6x  2y  3z  18  0

Câu 41: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm

A  5;4;3 .

Gọi

 

là mặt phẳng đi

qua các hình chiếu của A lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng
A. 12x  15y  20z  10  0

B. 12x  15y  20z  60  0

x y z
  1
5
4 3
C.

x y z
   60  0
5
4 3
D.

Câu 42: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

 

là:

A  2,0, 0  , B  1,1,1

. Mặt phẳng (P)
thay đổi qua A, B cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại C(0; b; 0), D(0; 0; c) (b > 0, c > 0).
Hệ thức nào dưới đây là đúng.
A.

bc  2  b  c 

B.

bc 

1 1

b c

C. b  c  bc

Câu 43: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng
 0;5; 2 
 1; 2; 2 

A.

B.

D. bc  b  c

�x  1  t
�

d : �y  2  3t
�z  3  t
�

C.

và mặt phẳng (Oyz).
 0; 2;3
 0; 1; 4 

D.

Câu44:Trong không gian Oxyz cho mp(Q): 3x + y + z + 1 = 0. Viết PT mặt phẳng (P) song
song với (Q) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A,B,C sao cho thể tích tứ diện OABC
3
bằng 2
A. 3x + y + z + 3 = 0 hoặc 3x + y + z - 3 = 0
3
C. 3x + y + z - 2 = 0

B. 3x + y + z + 5 = 0 hoặc 3x + y + z - 5 = 0
3
D. 3x + y + z + 2 = 0

Câu 45: Trong không gian Oxyz viết PT mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng
Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

23

Trường THPT Phúc Thọ

Năm học 2019-2020

x y 1 z  2


1
2 và cắt các trục Ox, Oy, Oz theo thứ tự A, B, C sao cho: OA. OB = 2OC.
(d): 1
A. x + y + 2z + 1 = 0 hoặc x + y + 2z - 1 = 0
B. x + y + 2z + 1 = 0
C. x + y + 2z - 1 = 0
D. x + y + 2z + 2 = 0 hoặc x + y + 2z - 2 = 0
Câu 46: Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(2;0;-1) có vecto chỉ
r
phương a  (4; 6; 2) là
x  2 y z 1
x  2 y z 1




3
1
6
2
A. 2
B. 4
x  2 y z 1



3
1
C. 2

x4 y6 z2


3
1
D. 2
r
Câu 47: Cho đường thẳng d đi qua M(2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương a(4; 6; 2) . Phương
trình tham số của đường thẳng d là:
�x  2  2t
�x  2  2t
�x  4  2t
�x  2  4t
�
�
�
�
�y  3t
�y  3t
�y  6  3t
�y  6t
�
�
�

�
z  1 t
z  1  t
z  2t
z  1  2t
A. �
B. �
C. �
D. �
Câu 48: Phương trình đường thẳng AB với A(1; 1; 2) và B( 2; -1; 0) là:
x 1 y 1 z  2
x 1 y 1 z  2




2
2 .
2
2 .
A. 3
B. 1
x  2 y 1 z
x y 3 z 4




2
2 .

2
2 .
C. 1
D. 1
Câu 49: Cho đường thẳng d đi qua điểm A(1;2;3) và vng góc với mặt phẳng
( ) : 4 x  3 y  7 z  1  0. Phương trình đường thẳng d là:

�x  1  8t
�
�y  2  6t
�
z  3  14t
�

B.

�x  1  4t
�
�y  2  3t
�
z  3  7t
�

C.

�x  1  3t
�
�y  2  4t
�
z  3  7t

�

A.

D.
.

�x  1  4t
�
�y  2  3t
�
z  3  7t
�

Câu 50: Cho A(0;0;1) , B(1; 2;0) , C(2;1; 1) . Đường thẳng  đi qua trọng tâm G của
tam giác ABC và vng góc với mp(ABC) có phương trình:
� 1
�x  3  5t
�
1
�
�y    4t
3
�
z  3t
�
�
A. �

� 1

� 1
�x  3  5t
�x  3  5t
�
�
1
1
�
�
�y    4t
�y    4t
3
3
�
�
z  3t
z  3t
�
�
�
�
C. �
D. �
�x  1  2t
 d : �
�y  3  t  t ��
�z  4  t
M  2; 3;5 
   đi
�

Câu 51: Cho điểm
và đường thẳng
. Đường thẳng
qua M và song song với

� 1
�x  3  5t
�
1
�
�y    4t
3
�
�z  3t
�
B. �

 d

có phương trình chính tắc là :

Đề cương ơn tập mơn Tốn 12 – Học kì 2

24


Trường THPT Phúc Thọ
x 2 y3



3
A. 1
x  2 y 3


1
C. 2

Năm học 2019-2020

z 5
4

x  2 y3 z 5


3
4
B. 1
x 2 y 3 z 5


1
1
D. 2

z 5
1

x  1 y  3 z 1



2
2 và
Câu 52: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (d): 3
   : x  3y  z  4  0 . Phương trình hình chiếu của (d) trên    là:
x  3 y  1 z 1
x  2 y 1 z 1




1
1
1
1
A. 2
B. 2
x  5 y  1 z 1
x  4 y 1 z  3




1
1
1
1
C. 2
D. 2

x 1 y 1 z  2
d:


2
1
1 . Hình chiếu vng góc của d trên (Oxy) có dạng?
Câu 53: Cho
�x  0
�x  1  2t
�x  1  2t
�x  1  2t
�
�
�
�
�y  1  t
�y  1  t
�y  1  t
�y  1  t
�z  0
�z  0
�z  0
�z  0
A. �
B. �
C. �
D. �
Câu 54: Cho hai mặt phẳng (P): 2x+y-z-3=0 và (Q): x+y+z-1=0. Phương trình chính tắc
đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

x y  2 z 1
x 1 y  2 z 1
x 1 y  2 z 1
x y  2 z 1








3
1
3
1
3
1
3
1
A. 2
B. 2
C. 2
D. 2

Câu 55: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) và hai mặt phẳng
( P) : x  y  z  1  0;(Q) : x  y  z  2  0. Phương trình nào dưới đây là phương trình

đường thẳng qua A, song song với (P) và (Q).

A.

�x  1  2t
�
�y  2 .
�z  3  2t
�

B.

�x  1  t
�
.
�y  2
�y  3  t
�

C.

�x  1
�
�y  2 .
�z  3  2t
�

D.

�x  1  t
�
d : �y  t

�
z  4t
�

 P  : y  2z  0 và hai đường thẳng
Câu 56: Cho mặt phẳng
Đường thẳng  ở trong (P) cắt cả hai đường thẳng d và d’ là?
�x  1  4t
�x  1  4t
�
�
�y  1  2t
�y  2t
x 1 y z


�z   t
�z  t
2 1
A. 7
B. �
C. �

�x  1  t
�
�y  2 .
�z  3  t
�

�x  2  t

�
d ' : �y  4  t
�
z 1
�
và
.

x 1 y z 1
 
2
1
D. 4

x 1 y  3 z 1


3
2
2 và mặt phẳng ( ) : x  3 y  z  4  0.
Câu 57: Cho đường thẳng
Phương trình hình chiếu của đường thẳng (d) trên mặt phẳng ( ) là:
(d) :

Đề cương ôn tập môn Tốn 12 – Học kì 2

25