Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 9 năm 2020-2021 - Trường THCS Mỗ Lao

TRƯỜNG THCS MỖ LAO – NĂM HỌC: 2020 - 2021
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HK II
A. ĐẠI SỐ :
PHẦN I: TỐN RÚT GỌN
x 1

Bài 1 : Cho 2 biểu thức P =

x 1

x 1



x 1

2



1

và Q =

xx

x 1

với x > 0 ; x  1

1) Tìm giá trị của x để Q < 0

2) Rút gọn P rồi tìm giá trị của x để P = 3
3) Tìm các giá trị x nguyên để biểu thức

P

nhận giá trị nguyên

Q

Bài 2: Cho biểu thức:
A=

2√x+3
3+ √x

và B = (

15− √x
x - 25

+

2

)∶

√x+5

√x+3
√x−5

với x ≥ 0 và x ≠ 25

a) Tính giá trị của biểu thức A với x = 9
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm giá trị của x để A + B nhận giá trị nguyên.
Bài 3: Cho biểu thức: P = (

x + 3√x + 2

(√x+2)(√x−1)

−

x + √x

1

x−1

√x+1

)∶ (

+

1
√x−1

)

(x ≥ 0; x ≠ 1)

a) Rút gọn P
1

√x +1

P

8

b) Tìm x để −

≥1

Bài 4: Cho biểu thức:
A=

2 – 5√x
√x+1

và B = (

√x
√x + 3

+

2√x

√x −3

–

3x + 9
x–9

)∙ (

√x −2
3

(x ≥ 9 ; x ≠ 0 )

+ 1)

a) Tính A tại x = 16
b) Rút gọn biểu thức B
c) Gọi M = A . B. So sánh M với 1
Bài 5: Cho biểu thức: A =

x+3
√x −2

và B =

√x −1
√x+2

−

5√x −2
4–x

với x ≥ 0; x ≠ 4

a) Tính giá trị của A tại x = 16
b) Rút gọn B
c) Đặt P = A : B. Tìm giá trị của x thỏa mãn: P . √x + x − 1 = 2√3x + 2√x − 2
Bài 6: Cho biểu thức: A =

√x
√x +2

a) Tính giá trị của A tại x =

và B =

√x
√x – 1

−

5
√x + 2

1
4

b) Rút gọn B

c) Đặt P = A : B. Chứng minh P > √P với mọi x >1

+

√x – 4
x + √x −2

với x ≥ 0 ; x≠ 1


Bài 7: Cho biểu thức: A 

x2
x x 1



x
x

1



x 1 1

( với x  0; x  1)
x

a) Rút gọn A.

b) Cho biểu thức

B

3) Tìm giá trị của m để

x 1
2

1
P

.

Hãy tìm P 

m

Bài 8: Cho biểu thức: A =

√x+1
√x−1

A
B

.

x nghiệm đúng với mọi x >1.

+

√x−1
√x+1

−

3√x+1
x -1

( x ≥ 0; x ≠ 1)

a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A trong mỗi trường hợp sau: x = 9; x = 7 - 4√3
c) Tìm các giá trị của x để A =

1
3

d) Tìm các giá trị của x để A < 1
e) Tìm các giá trị của x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
f) Tìm các giá trị của x để A =

x - √x+1
√x+1

g) So sánh A với 2
1

x+3

4

2√x−1

h) Với x ≠ . Tìm giá trị nhỏ nhất của M =

∙A

PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT, HPT
TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Bài 1:Một người đi xe đạp xuất phát từ A. Sau 4 giờ, một người đi xe máy cũng đi từ A và đuổi theo
trên cùng một con đường và gặp người đi xe đạp cách A là 60 km. Tính vận tốc của mỗi người biết
vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 20km/h.
Bài 2: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc đã định và thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h
thì ơ tơ đến B sớm hơn so với dự định là 1 giờ. Nếu vận tốc giảm đi 10km/h thì ơ tơ đến B chậm hơn
1 giờ. Tính qng đường AB.
Bài 3: Một ơ tơ khách đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 200km. Sau đó 30 phút một ơ tơ con khởi
hành từ tỉnh B đến tỉnh A trên cùng con đường ấy, đi được 2 giờ thì gặp ơ tơ khách. Tính vận tốc của
mỗi ô tô, biết rằng vận tốc ô tô con lớn hơn vận tốc của ô tô khách là 10km/h.
Bài 4: Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước. Sau khi đi được
1
3

quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10km mỗi giờ trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc

dự định, biết người đó đến B sớm hơn 24 phút.
Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 60km với vận tốc và thời gian dự định. Nhưng khi
đi được nửa quãng đường, xe bị hỏng phải dừng lại mất 30 phút để sửa. Do đó để đến B đúng hạn,
người đó phải tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định và thời gian

xe lăn bánh trên đường.


Bài 7: Hai ô tô dự định đi từ A đến B dài 120km. Lúc 5 giờ 30 phút ô tơ thứ nhất bắt đầu xuất phát,
sau đó 15 phút ô tô thứ hai xuất phát và đi với tốc lớn hơn vận tốc ô tô thứ nhất 10km/h. Trên đường
đi ơ tơ thứ hai nghỉ 45 phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô và hai ô tô đến B lúc mấy giờ, biết chúng đến
B cùng một lúc.
Bµi 8 : Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 170 km và đi ng-ợc chiều nhau. Sau 3
giờ 20 phút thì hai ca nô gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn
hơn vận tốc của ca nô đi ng-ợc dòng là 9 km/h và vận tốc dòng n-ớc là 3km/h.
Bi 10: Mt ca nô chạy trên một khúc sông trong 8 giờ, xuôi dòng 8km và ngược dòng 105km. Một
lần khác cũng trên dịng sơng đó, ca nơ này chạy trong 4 giờ, xi dịng 54 km và ngược dịng 42 km.
Hãy tính vận tốc khi xi dịng và vận tốc khi ngược dịng của ca nơ, biết rằng vận tốc của dịng nước
và vận tốc riêng của ca nơ khơng đổi.
TỐN NĂNG SUẤT
Bài 1: Một cơn g nhân được giao khốn 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Sau khi làm được
một nửa số lượng được giao, nhờ hợp lí hóa một số thao tác nên mỗi giờ người đó làm thêm được 3
sản phẩm nữa. Nhờ đó, mức khốn được giao đã được người cơng nhân hồn thành sớm hơn 1 giờ.
Tính năng suất và thời gian dự định của người cơng nhân đó.
Bài 2: Một nhóm thợ đặt kế hoạch làm 400 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề
ra. Những ngày còn lại họ làm vượt mức mỗi ngày 40 sản phẩm nên đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn
2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm thợ phải làm bao nhiêu sản phẩm?
Bài 3: Một cơng nhân dự kiến sẽ hồn thành 60 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Lúc đầu người
đó làm theo năng suất dự kiến. Sau khi làm được một nửa số lượng được giao, nhờ hợp lí hóa một số
thao tác nên mỗi giờ người đó làm them được 3 sản phẩm nữa, do đó đã hồn thành kế hoạch trước
thời hạn 30 phút. Tính năng suất dự kiến.
Bài 4: Một tổ có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng suất dự kiến. Nếu tăng năng suất thêm 10
sản phẩm mỗi ngày thì tổ hoàn thành sớm hơn 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày.
Tính năng suất dự kiến.
Bài 5: Một công nhân dự định làm 60 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng sau khi làm

1

được số sản phẩm dự định, người đó nghỉ 40 phút. Do đó, để hồn thành số sản phẩm cịn lại đúng
3

thời hạn người cơng nhân đó phải tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi giờ. Tính năng suất dự định.
TỐN CHUNG RIÊNG
Bài 1: Hai vịi nước cùng chảy vào bể chứa khơng có nước thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy. Nếu chảy
riêng thì vịi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi mỗi vịi chảy một mình đầy bể
trong bao lâu?
Bài 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa khơng có nước sau 6 giờ thì đầy bể. Nếu mở riêng vòi
3

thứ nhất trong 2 giờ và vòi thứ hai trong 3 giờ thì được bể. Hỏi mỗi vịi chảy một mình sau bao lâu
5

sẽ đầy bể?


Bài 3: Hai người cùng làm chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4 ngày. Nếu người thứ nhất làm
một nửa cơng việc, sau đó người thứ hai làm nốt cơng việc cịn lại thì sẽ hồn thành tồn bộ công việc
trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sẽ hồn thành cơng việc trong bao lâu?
Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. nếu lúc đầu chỉ mở vòi
thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vịi thứ hai thì sau 1 giờ 12 phút nữa bể mới đầy. Hỏi nếu mở riêng
từng vòi thì thời gian để mỗi vịi chảy đầy bể là bao nhiêu?
Bài 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất
trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì chỉ được

2
15

bể. Hỏi mỗi vịi chảy riêng thì sau bao lâu

sẽ đầy bể?
Bài 6: Hai vịi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất
1

trong 15 phút và vòi thứ hai trong 20 phút thì chỉ được bể. Hỏi mỗi vịi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ
5

đầy bể?
TỐN VỀ SỰ THAY ĐỔI THỪA SỐ CỦA MỘT TÍCH
Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có kích thước xác định. Nếu tăng chiều dài thêm 8m và giảm
chiều rộng 3m thì diện tích hình chữ nhật giảm 54m2. Nếu giảm chiều dài 4m và tăng chiều rộng thêm
2m thì diện tích hình chữ nhật tăng 32m2. Tính các kích thước của mảnh vườn.
Bài 2: Một mảnh đất hình chữ nhật, nếu tăng chiều dài 2m và chiều rộng thêm 5m thì diện tích tăng
thêm 120m2. Nếu giảm chiều dài 3m và chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 60m2. Tính diện tích
mảnh đất đó.
Bài 3: Một hình chữ nhật có chu vi bằng 40m. Nếu chiều rộng của hình chữ nhật giảm đi 2m và chiều
dài của hình chữ nhật tăng thêm 4m thì diện tích của hình chữ nhật khơng thay đổi. Tính diện tích của
hình chữ nhật.
TỐN PHÂN CHIA NĂNG SUẤT ĐỀU
Bài 1: Theo kế hoạch một tổ công nhân phải sản xuất 270 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3
công nhân đi làm việc khác, nên mỗi cơng nhân cịn lại phải làm nhiều hơn dự định 3 sản phẩm. Hỏi
lúc đầu trong tổ có bao nhiêu cơng nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là như nhau.
Bài 2: Một đội xe theo kế hoạch phải chở 30 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành, đội được điều động thêm 5
xe nữa nên mỗi xe chở giảm đi 0,2 tấn so với quy định. Hỏi theo kế hoạch, đội đó định dung bao nhiêu
xe để chở và mỗi xe phải chở bao nhiêu tấn, biết tất cả các xe đều cùng một loại và chở số lượng bằng
nhau.
TOÁN PHẦN TRĂM

Bài 1: Hai đội cơng nhân theo kế hoạch phải hồn thành 300 sản phẩm. Nhưng khi làm đội I hoàn
thành 110% kế hoạch đội II hoàn thành 120% kế hoạch của mình, do đó tổng cộng cả hai đội đã làm
được 340 sản phẩm. Tính số sản phẩm mà mỗi đội phải làm theo kế hoạch.


Bài 2: Hai tổ sản xuất trong tháng thứ nhất làm được 1000 sản phẩm. Sang tháng thứ hai, do cải tiến
kĩ thuật nên tổ I vượt mức 20% tổ II vượt mức 15% so với tháng thứ nhất. Vì vậy tháng thứ hai cả hai
tổ sản xuất được 1170 sản phẩm. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Bài 3: Hai trường A và B có 500 em học sinh dự thi vào lớp 10. Trường A tỉ lệ đỗ 84%, trường B tỉ lệ
đỗ 80%, vì vậy cả hai trường có 412 học sinh đỗ vào lớp 10. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường?
Bài 4:Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được 600 sản phẩm trong thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật
mới nên tổ I vượt mức 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành
vượt mức 120 sản phảm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch là bao nhiêu?
Bài 5: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được 500 sản phẩm. Sang tháng thứ hai, tổ I làm vượt mức 6%,
tổ II làm hụt 8% so với tháng đầu, vì vậy cả hai tổ làm được 488 sản phẩm. Tính số sản phẩm của mỗi
tổ làm được ở mỗi tháng?
PHẦN III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
a) {

2 ( 𝑥 − 𝑦 ) + √𝑥 + 1 = 4
(𝑥 − 𝑦) − 3√𝑥 + 1 = −5
4𝑥

b) {

𝑥−1
2𝑥

+

𝑥−1

−

1
𝑦+1
3
𝑦+1

=9
=1

2 ( 𝑥 + 𝑦 ) + √𝑥 − 1 = 9
c) {
3 ( 𝑥 + 𝑦 ) − 2 √𝑥 − 1 = 3
2𝑥

d) {

𝑥+1
𝑥
𝑥+1
2

+ √𝑦 − 2 = 7
1
𝑦
2
𝑦

h) {

2√𝑥 + 1 − 3√𝑦 − 2 = 5
4√𝑥 + 1 + √𝑦 − 2 = 17
1

𝑥
{10
𝑥

+
−

1
𝑦
1
𝑦

=

1
4

=1

2
 3x
 x 1  y  2  4
k) 

 2x  1  5
 x  1 y  2

=2
=1

Bài 2: Cho hệ phương trình: {

|𝑥 − 1| + 2√𝑦 + 1 = 4

2|𝑥 − 1| − √𝑦 + 1 = 3
(𝑥 + 2)(𝑦 − 1) = 𝑥𝑦 + 3
g) {
(𝑥 − 2)(𝑦 − 3) = 𝑥𝑦 + 5

i)

− 2√𝑦 − 2 = −4

+
|𝑥−2|
e) { 6
−
|𝑥−2|

f) {

( m - 1)x - my = 3m -1
2x - y = m + 5

a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn S = x2 + y2 min
x + my = 1
Bài 3: Cho hệ phương trình : {
mx + 4y = 2
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất mà x = y + 2
PHẦN IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m – 2)x - 2m – 5 (m là tham số)


a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m sao cho x12 + x22 = 18
Bài 2: Cho phương trình: x2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0 ( m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình.
Tìm giá trị của m để (2 + x1 – x2)(2 – x1 + x2) = 0
Bài 3: Cho phương trình: x2 – mx + 2m – 4 = 0 ( m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm m để phương trinh có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x12 + x22 nhỏ nhất.
Bài 4: Cho phương trình: x2 – 4x – m2 + 4 = 0 ( m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm.
b) Tìm m để phương trinh có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x2 = x13 + 4x12 nhỏ nhất.
Bài 5: Cho phương trình: x2 – mx – m – 1 = 0 ( m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình:
a) Có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm cịn lại.
b) Có hai nghiệm phân biệt.
c) Có hai nghiệm trái dấu trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.
d) Có hai nghiệm cùng dấu.
e) Có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : x13 + x23 = -1
f) Có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: |x1 − x2 | ≥ 3

g) Có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 2x1 – 5x2 = -2
PHẦN V: MỐI QUAN HỆ GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Cho hàm số y = -x2 (P) và y = mx – 1 (d)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) ln cắt parabol (P) tại hai điểm phân
biệt.
b) Gọi x1; x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m
để: x12x2 + x22x1 – x1x2 = 3
Bài 2: Cho hàm số: y = x2 (P) và y = x – m + 1 (d)
a) Vẽ đồ thị hàm số (P) và (d) khi m = 2
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở bên phải trục tung.
1

1

2

2

Bài 3: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – m2 + m + 1
a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A; B của (d) và (P)
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 sao cho |x1 − x2 | = 2
Bài 4: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + m + 1
a) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A; B
b) Gọi x1; x2 là hoành độ của điểm A và B. Tìm m để |x1 − x2 | = 2


c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ở bên trái trục tung.
Bài 5: Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = mx + m
a) Tìm m để (d) đi qua M(-1; -2)
b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A;B.

c) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía trục tung.
d) Gọi A(x1; y1); B(x2; y2). Tìm các giá trị của m để Q = x1 + y1 + x2 + y2 lớn nhất.
B. HÌNH HỌC:
PHẦN I: HÌNH HỌC PHẲNG
Bài 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) (AB < CD); gọi I là điểm chính giữa cung nhỏ AB. Hai dây
DI và CI lần lượt cắt AB tại M và N. Các tia DA và CI cắt nhau tại E, tia CB và tia DI cắt nhau tại F.
a)
b)
c)
d)

CMR: tứ giác CDEF nội tiếp.
CMR: EF// AB
CMR: AI2 = IM. ID và IA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆AMD.
A; B cố định; C và D di động. Gọi R1 và R2 là bán kính đường trịn ngoại tiếp các tam giác AMD
và tam giác BMD. CMR: R1 + R2 không đổi.
Bài 2: Cho (O;R) có hai đường kính AB và CD cố định vng góc với nhau. M là một điểm bất kì
thuộc AB (M khác A, B, O); tia CM cắt (O) tại N khác C, kẻ đường thẳng d đi qua M và vng góc
với AB, qua N kẻ tiếp tuyến với (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng d tại P.
a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp.
b) Chứng minh CM . CN không đổi.
c) Tứ giác CMPO là hình gì? Vì sao?
d) Chứng minh khi M di chuyển trên AB thì P di chuyển trên một đường thẳng cố định.
Bài 3: Cho (O;R) và dây BC cố định ( BC không đi qua tâm ). Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ BC
và H là hình chiếu của M lên BC. Điểm E thuộc cung lớn BC. Nối ME cắt BC tại D. Từ C kẻ CI vng
góc với đường thẳng ME tại I.
Chứng minh : M ; I; H; C cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh: MD . ME = MB2.
Chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BED.
Gọi A là giao điểm của đường thẳng CI và BE. Xác định vị trí của E trên cung lớn BC để diện tích

tam giác MAC lớn nhất.
Bài 4: Cho (O;R) kẻ đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A, C là một điểm bất kì trên d(C
khác A). Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CM với (O) (M là tiếp điểm). MH vng góc với AB tại H. Gọi E
là giao điểm của CO và MA, K là giao điểm của CB và MH.
a)
b)
c)
d)

a)
b)
c)
d)

Chứng minh: Tứ giác OACM nội tiếp.
Chứng minh: EA . MH = EO . HA
Kéo dài BM cắt d tại N. Chứng minh C là trung điểm của AN và KE // AB.
Qua O vẽ đường thẳng vng góc với OC, đường thẳng này cắt các tia CA và CM theo thứ tự tại
P và Q. Xác định vị trí của C trên đường thẳng d để diện tích tam giác CPQ nhỏ nhất.


Bài 5: Cho (O;R), kẻ đường kính AB. Điểm M bất kì thuộc (O) sao cho MA < MB ( M khác A và B).
Kẻ MH vng góc với AB tại H. Vẽ đường trịn tâm I đường kính MH cắt MA; MB theo thứ tự tại E
và F.
a) Chứng minh: MH2 = MF . MB và ba điểm E; F; I thẳng hang.
b) Kẻ đường kính MD của (O). MD cắt (I) tại điểm thứ hai là N (N khác M). Chứng minh: Tứ giác
BONF nội tiếp.
̂ = MDH
̂
c) MD cắt EF tại K. Chứng minh MK vng góc với EF và MHK

d) Đường tròn (I) cắt (O) tại điểm thứ hai là P (P khác M). Chứng minh ba đường thẳng MP; EF; BA
đồng quy tại một điểm.
Bài 6: Cho (O) và dây BC cố định không qua O. Trên tia đối của tia BC lấy A bất kì. Kẻ các tiếp tuyến
AM; AN tới (O) (M;N là các tiếp điểm). Đường thẳng MN cắt các đường thẳng AO; BC thứ tự tại H
và K. Gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh: AH . AO = AB . AC = AM2
Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp.
Giả sử NI cắt (O) tại P. Chứng minh : MP // BC
Khi A di động trên tia đối của tia BC , chứng minh rằng trọng tâm của tam giác MBC chạy trên
một đường tròn cố định
Bài 7: Cho (O) và một điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA; MB với (O) (A;B là tiếp
điểm). Qua M kẻ một đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm N và P ( N nằm giữa M và P). Gọi K
là trung điểm của NP.
a)
b)
c)
d)

a) Chứng minh5 điểm : M; A; K; O; B cùng thuộc một đường tròn.
̂
b) Chứng minh KM là tia phân giác AKB
c) Gọi Q là giao điểm thứ hai của BK với (O). Chứng minh : AQ // NP.
d) Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh : MA2 = MH . MO = MN . MP
e) Chứng minh 4 điểm: N; H; P; O cùng thuộc một đường tròn.
f) Gọi E là giao điểm của AB và OK, F là giao điểm của AB và NP.
Chứng minh : AB2 = 4HE . HF
g) Chứng minh tứ giác KEMH nội tiếp từ đó suy ra tích OK . OE không đổi
h) Đoạn OM cắt (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
i) Chứng minh AE . BF = AF . BE
j) Chứng minh rằng khi d thay đổi thì trọng tâm G của tam giác NAP luôn chạy trên một đường trịn

cố định.
k) Giả sử MA = R√3. Tính diện tích hình quạt trịn giới hạn bởi hai bán kính OA; OB và cung nhỏ
AB.
PHẦN II: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Bài 1. Một cốc thủy tinh hình trụ đang chứa một lượng nước. Bán kính đáy của cột nước hình trụ
bằng 2cm. Người ta thả một viên bi hình cầu (khơng thấm nước) vào cốc, viên bi chìm xuống dưới
đáy cốc làm cho cột nước dâng cao thêm 3cm và nước chưa tràn ra ngồi. Tính thể tích viên bi.


Bài 2. Khi uống nước giải khát, người ta hay sử dụng ống hút bằng nhựa hình trụ có đường kính đáy
là 0,4cm, độ dài trục là 16cm. Hỏi khi thải ra mơi trường, diện tích nhựa gây ơ nhiểm môi trường do
100 ống hút này gây ra là bao nhiêu?
Bài 3. Một hộp sữa hình trụ có đường kính đáy là 12 cm, chiều cao là 10 cm. Tính diện tích vật liệu
dùng để tạo nên một vỏ hộp như vậy. (Khơng tính phần mép nối).
Bài 4. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đường sinh bằng 10cm, đường kính đáy bằng 8cm.
Bài 5. Chiếc nón do làng Chuông (Thanh Oai – Hà Nội) sản xuất là hình nón có đường sinh là 30cm,
đường kính đáy bằng 40cm. Người ta dùng hai lớp lá để phủ lên bề mặt xung quanh của nón. Tính
diện tích lá cần dùng để làm một chiếc nón (làm trịn đến cm2).
Bài 6 Một quả bóng hình cầu có bán kính là 12cm. Tính diện tích da phải dùng để khâu thành quả
bóng nếu tỉ lệ hao hụt là 2%.
Bài 7. Có 5 viên bi thủy tinh hình cầu, đường kính mỗi viên là 2cm. Một cốc thủy tinh hình trụ có
đường kính đáy là 6cm, đang đựng nước (đường kính cột nước là 6cm).
a/ Tính thể tích mỗi viên bi
b/ Thả 5 viên bi ngập vào trong cốc nước và nước khơng tràn ra ngồi. Tính chiều cao cột nước dâng
lên.
C. MỘT SỐ BÀI NÂNG CAO THAM KHẢO
Bài 1: Cho x; y; z > 0 và

1
x+y

+

1
y+z

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

+

1
z+x

=6

1
3x + 3y + 2x

+

1
3y + 3z + 2x

+

1
3z + 3x +2y

Bài 2: Cho x; y; z > 0 và x + y + z = 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = √x + y + √y + z + √z + x

Bài 3: Cho x ≥ 1; y ≥ 2; z ≥ 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M =

zy√y - 1 + zx√y - 2 + xy√z - 3
xyz

Bài 4: Cho x > 1; y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =
Bài 5: Với các số x; y; z > 0 thỏa mãn

1
xy

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q =

+

1
yz

+

1
zx

x
√yz(1 +x 2 )

x2
y-1

+

y2
x-1

= 1.

+

y
√zx(1 +y 2 )

+

z
√xy(1 +z 2 )