Tài liệu Đề thi học sinh giỏi lớp 9(Có đáp án)

Đề thi học sinh giỏi huyện môn toán lớp 9
năm học: 2006-2007
Câu 1 (1điểm)
Rút gọn biểu thức: (
y1
yy1


+
y
)(
y1
y1


)
2
Câu 2 (3điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: y
2
- 5 =
2
x17

Câu 3: (5điểm)
Cho đa thức P(x) = x
5
+ ax
4
+ bx

3
+ cx
2
+ dx + e
biết P(1) =1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) =16; P(5) =25
a/ Tìm P(6) ?
b/ Tìm các hệ số a,b.c,d,e của đa thức P(x) ?
Câu 4:(5điểm)
a/ Chứng minh : P(x,y) = (3x+3y)(
y2x
1
+
+
yx2
1
+
)

4 .
Trong đó x

0 , y

0
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất Q =
22
2
)( bab
a
++

+
22
2
)( baa
b
++
Câu 5(6điểm)
Cho tam giác vuông ABC (
A

= 90
0
). Đờng cao AH, có cạnh AB = 2cm,
đoạn HC =3cm. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ tam
giác đều ABD.
a/ Tính diện tích tam giác ABC
b/ Chứng minh: CD
2
= AC
2
+BC
2
./.


Bài giải

Câu 1/ Điều kiện xác định của bài toán: x

0, y

1
P =
y1
yyyy1

+
[
)1)(1(
1
yy
y
+

]
2
=
y
yyy

+
1
)1(1
.
2
)1(
1
y
+
=

y
yy

+
1
)1)(1(
.
2
)1(
1
y
+
=
2
2
)1)(1(
)1)(1(
yy
yy
+
+
=1
Câu2 y
2
- 5 =
2
x17

; Do 5

2
x17

nên 5

y
2


10 vì y nguyên

y
2
= 9

4 =
2
x17



x =

1

y=

3
Vậynghiệm của phơng trình là: (1; 3); (1;-3);(-1, 3);(-1,-3)
Câu 3 Xét hiệu: g(x) = p(x) x

2
ta có g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0

1,2,3,4,5 là nghiệm của g(x) vì hệ số
của x
2
bằng 1 nên g(x) có dạng:
g(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

p(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + x
2

a/ p(6) = 5.4.3.2.1 +36 =156
b/ p(x) = (x
2
-3x+2)(x
2
-7x+12)(x-5)+x
2

= (x
4
-7x
3
+12x
2
-3x
3
+21x
2

-36x+2x
2
-14x+24)(x-5) +x
2

= (x
4
-10x
3
+35x
2
-50x+24)(x-5) +x
2

= x
5
-10x
4
+35x
3
-50x
2
+24x-5x
4
+50x
3
-175x
2
+250x-120+x
2

= x
5
-15x
4
+85x
3
-224x
2
+274x-120


a=-15; b =85; c = -224; d =274; e = -120
Câu4
a) Chứng minh : p(x,y)=(3x+3y)(
)y2x
1
+
+
yx2
1
+
)

4.trong đó x

0 y

0
Ta có : [(x+2y) + (2x+ y)](

y2x
1
+
+
yx2
1
+
)

2
)2)(2( yxyx
++
.2.
)yx2)(y2x(
1
++
= 4


p

4 dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y (Đpcm )
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q =
22
2
)ba(b
a
++
+
22

2
)ba(a
b
++
trong đó a và b là các số thực khác không .
Gải : Ta có (a+b)
2


2(a
2
+b
2
) nên:
Q


)(2
222
2
bab
a
++
+
)ba(2a
b
222
2
++
=

22
2
b3a2
a
+
+
22
2
b2a3
b
+
Q + 2


22
222
b3a2
b3a2a
+
++
+
22
222
b2a3
b2a3b
+
++

= 3(a
2

+b
2
) (
22
b3a2
1
+
+
22
b2a3
1
+
)=
5
3
[(2a
2
+3b
2
)+(3a
2
+2b
2
)](
22
b3a2
1
+
+
22

b2a3
1
+
)


5
3
.2.
)23)(32(
2222
baba
++
.2.
)b2a3)(b3a2(
1
2222
++
=
5
12

Q


5
12
- 2 =
5
2

Vậy Q


5
2
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = b.
Câu 5: a) Đặt BH= a

0 , AH = h

0
Trong

ABC ,Ta có h
2
= 3.a
Trong

ABH Ta có h
2
= 4- a
2

a
2
+3a -4 = 0

(a-1) (a+4) = 0

a =1 hoặc a = - 4 ( loại )

h
2
= 3

h =
3

Hay BH = 1(cm) ; AH =
3
(cm)

BC =3 + 1 = 4 (cm)


ACB = 30
0
(1)
S
ABC
=
2
1
AH .BC =
2
34
= 2
3
(cm
2

)
b)Vẽ tam giác đều BCE ngoài tam giác ABC.


DBC =

ABE (c-g- c)

DC = AE


ACE =

ACB +

BCE = 30
0
+ 60
0
= 90
0



AE
2
= AC
2
+CE
2

DC
2
= AC
2
+ BC
2
(đpcm ) ./.

C
A
E
B
D
H