Bài giảng đề thi HSG Toán 9- 2011

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN CAO LỘC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2010 - 2011

MÔN TOÁN - LỚP 9
Ngày thi: 15/01/2010
Thời gian : 150 phút
( không kể thời gian giao đề )
Câu 1 (5 điểm): Cho biểu thức:
x 2 x 2 x 1 1
P 1:
x x 1 x x 1 x 1
 
+ − −
= − +
 ÷
+ − + +
 

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P biết
x 7 4 3= −
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
d) Tìm x để
P = 2 x - 1
.
Câu 2 (3 điểm): Giải các phương trình sau:
a)

2
x 9 3 x 3 0− − − =

b)
2 2
3x 4x 10 2 14x 7+ + = −
.
Câu 3 (3 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A có
·
0
BAC 108=
. Kẻ tia Cx sao cho CA là
tia phân giác của
·
BCx
, tia Cx cắt đường thẳng AB tại D. Chứng minh:
BC
AC
là số vô tỉ.
Câu 4 (6 điểm): Cho hình vuông ABCO cạnh a. Đường tròn (O, a) cắt OB tại M. D là
điểm đối xứng của O qua C. Đường thẳng Dx vuông góc với CD tại D cắt CM tại E. CA
cắt Dx tại F. Đặt
·
MDCα =
a) Chứng minh CM là phân giác của
·
ACB
. Tính độ dài DM, CE theo a và α.
b) Tính độ dài CM theo a. Suy ra giá trị của sinα.
Câu 5 (3 điểm): Biết rằng a, b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1

Chứng minh :
2 2
a b
2 2
a b
+
≥
−
-----HẾT-----

Họ và tên thí sinh................................................... Số báo danh..................................
Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN CAO LỘC
------------------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi: Toán 9
(Đáp án - thang điểm gồm có 03 trang)
Đáp án Điểm
Câu 1
(5 đ)
a) ĐK: x > 0
( ) ( )
( ) ( )
( )
x 2 x 2 x 1 x x 1
P 1:

x 1 x x 1
x 1 x x 1
P
x x 1
x x 1
P
x
 
+ − − + + − +
 ÷
=
 ÷
+ − +
 
+ − +
=
+
− +
=
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b) Ta có:
( )
2
x 7 4 3 2 3= − = −
thay vào P ta được:
7 4 3 2 3 1 3(2 3)
P P 3

2 3 2 3
− − + + −
= = ⇒ =
− −
0,5 đ
0,5 đ
c) Ta có:
x x 1 1
P x 1
x x
− +
= = + −
Vì x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

1 1 1
x 2 x. x 1 1
x x x
+ ≥ ⇔ + − ≥
⇔ P ≥ 1
Dấu "=" xảy ra ⇔
1
x x 1
x
= ⇔ =
Vậy Min P = 1 ⇔ x = 1
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
d)
P 2 x 1= −

x x 1
2 x 1
x
− +
⇔ = −
⇔ x = 1
0,5 đ
Câu 2
(3 đ)
a) ĐKXĐ: x ≥ 3

( ) ( )
x 3 x 3 3 x 3 0− + − − =
( )
x 3. x 3 3 0⇔ − + − =
x 3
x 3 0 x 3
x 6
x 3 3
x 3 3 0

=

− = =

⇔ ⇔ ⇔



=

+ =
+ − =




(TMĐKXĐ)
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3; x = 6.
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b) ĐKXĐ:
2
x
2
≥
2 2 2
x 4x 4 2x 1 2 2x 1. 7 7+ + + − − − +
= 0
0,5 đ
2
( 2) ( 2 1 7) 0x x⇔ + + − − =
2
2
2 0
2
2
2 1 7 0
2
= −


+ =

 
⇔ ⇔ ⇔ = −
=

 
− − =




= −


x
x
x
x
x
x
(TMĐKXĐ)
0,5 đ
0,5 đ
Câu 3
(3 đ)
Ta có
·
·

0
DCA ACB 36= =
CAD
⇒ ∆
cân tại C,
BCD
∆
cân tại B
AB AC DC
⇒ = =
. Theo tính
chất đường phân giác trong ∆BCD ta có
CB AB BC CA
;BC BD
CD AD CA BD CA
= ⇒ = =
−
BC CA
CA BC CA
⇒ =
−

2
BC(BC CA) CA⇔ − =
2 2
BC BC.CA CA 0⇔ − − =
2 2
BC BC BC 1 5
1 0
CA CA CA 2 4

     
⇔ − − = ⇔ − =
 ÷  ÷  ÷
     
⇒
BC 1 5
CA 2
+
=
( Vì
BC
0)
CA
>
.Vậy
BC
AC
là số vô tỉ
Câu 4
(6 đ)
Vẽ hình đúng
a) Vì M thuộc đường tròn tâm O đuờng kính CD nên
·
0
CMD 90=
Mà
CA OB
⊥
⇒
·

·
MCA OMD=
;
·
·
MCB MDO=
(góc
có cạnh vuông góc)
·
·
MCA MCB⇒ =
Do đó MC là tia phân giác của
·
ACB
∆DMCvuông tại M có
·
MDC = α
và CD=2a nên
DM
cos DM 2a.cos
DC
α = ⇒ = α
∆DEC vuông tại D có DM là đường cao nên
CE.CM=CD
2
(1)
Mà
CM CDsin CM 2a sin= α ⇒ = α
Từ (1) ta có
2

CD 2a
CE
CM sin
= =
α
b) Gọi I là tâm hình vuông OABC ta có
2
IM OM OI IM a 1
2
 
= − ⇒ = −
 ÷
 ÷
 
∆MIC vuông tại I
( )
2 2
2 2 2 2
a 2a
CM IM IC CM 2 2
4 4
⇒ = + ⇒ = − +

( )
2
a 2 2 CM a 2 2= − ⇒ = −
CM 2 2
sin
CD 2
−

α = =
0,5 đ
1,5 đ
0,5 đ
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
1 đ
0,5 đ
Câu 5
(3 đ)
* Vì a.b = 1 nên
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
a b ab a b
a b
a b
a b a b a b a b
− + − +
+
= = = − +
− − − −

* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương
Ta có :
( ) ( )

2 2
2a b a b
a b a b
− + ≥ − ×
− −
1 đ
1 đ
x
D
A
C
B
I
F
E
D
M
B
A
O
C
Vậy
2 2
2 2
a b
a b
+
≥
−

1 đ
Chú ý:
1. Trong từng câu:
+ Học sinh giải cách khác hợp lý, kết quả đúng cho điểm tương ứng.
+ Các bước tính, hoặc chứng minh độc lập cho điểm độc lập, các bước liên quan
với nhau đúng đến đâu cho điểm đến đó, từ chỗ sai trở đi không chấm tiếp.
2. Điểm toàn bài là tổng điểm các phần đạt được không làm tròn.