Cuc tri Hinh Khong gian bai 1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (64.21 KB, 3 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ

TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ

(Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmơn Tốn )

---Bài tốn 1.

Bài tập:Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(- 1; 3;-2) ; B( -9; 4; 9), mặt phẳng
(P):2x-y+z+1 = 0 .Tìm điểm M trên (P) sao cho:

1/ Tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất. 2/ MA MB lớn nhất. 3/ MA MB

nhỏ nhất

Lời giải tham khảo
1/ M thuộc (P) sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất:

Ta có CV(ABC) = AB + MA+ MB , do AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ nhất khi và chỉ khi
(MA+MB) nhỏ nhất.

P(A)=2(-1)-3-2+1= -6< 0 và P(B)= -12< 0 nên A và B nằm một bên mặt phẳng (P); do
đó điểm M cần tìm là giao điểm của đường thẳng (A’B) và mặt phẳng (P) ; với A’ là điểm đối xứng
của A qua (P).

Thật vậy , ta có :MA+MB = MA’+ MB = A’B ; với điểm N bất kỳ trên (P) thì

NA+NB= NA’+NB  A’B ( Xét tam giác A’NB) , dấu đẳng thức xãy ra khi NM (đpcm).

Giải:

Phương trình của đương thẳng AA’:

























t

2 z

t

3 y

t2

1 x

Hình chiếu vuông góc H của M trên (P) là giao điểm của AA’ và (P) : H(1; 2; -1)
H là trung điểm của AA’ nên: A’(3;1;0)

Phương trình đường thẳng A’B:





















t3

z

t

1 y

t

4

3 x

Điểm M là giao điểm của đường thẳng A’B và (P) : M(-1; 2; 3)

Kết quả :M(-1; 2; 3)
Ghi Chú: Bài tốn vơ nghiệm nếu A và B nằm hai bên mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng AB

vng góc với mặt phẳng (P)

2/ Tìm M thuộc (P) sao cho MA MB có giá trị lớn nhất.

Ta có A và B nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P) và AB không song song với (P) nên điểm
M

cần tìm chính là giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).

Thật vậy vì MA MB AB (cố định) nên max MA MB = AB đạt được khi và chỉ khi ba

điiểm

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Phương trình tham số của AB:

























t

11

2 z

t

3 y

t

8

1 x

Tọa độ giao điểm M của AB và (P) ứng với giá trị t thỏa:2(-1-8t)-(3+t)+(-2+11t)+1=0

 t= -1 . Vaäy M( 7;2;-13)

Trang1

Ghi chú:1/ Nếu đường thẳng A B song song với mặt phẳng (P) thì khơng tồn tại điểm M .

2/ Nếu hai điểm A và B năm ở hai phía của mặt phẳng (P) thì điểm M cần tìm được thực hiện
như sau: Lấy điểm A’ đối xứng với A qua (P) . Khi ấy MA MB MA'MB A'B(cố định)

( A’

và B lại nằm cùng phía với (P) ) .Do đó maxMA MB A'Bđạt được khi ba điểm M,A’, B

thaúng

hàng, nghĩa là điểm M cần tìm trong trường hợp nầy là giao điểm của đường thẳng A’B và (P).
3/ Tìm M thuộc (P) sao cho  

MB

MA có giá trị nhỏ nhất.

Cách 1: Phương pháp giải tích

Đặt M0(x0;y0;z0)



(P)  2x0-y0+z0+1=0. MA =(-1-x0 ; 3-y0 ; -2-z0) ; MB =(-9-x0 ;4-y0 ; 9-z0)

Do đó:    
MB

MA (-10 –x0 ; 7-2y0 ; 9-z0 )

       
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2

0 7 2y 7 2z 4x 5 4 y 72 4 z 72

x
2
10
MB
MA 






























= 2  

2
0
2
0
2

0 5 y 27 z 27

x 


















Ta biến đổi : 1 0

2
7
2
7
z
2
7
2
7
y
10
10
x
2
0
1
z
y
x

2 0 0 0   0   0   0   

) 9
2

7
z
(
)
y
2
7
(
)
5
x
(

2 0   0  0 


Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki:





 



































2
0
2
0
2
0
2

2
2
0
0

0 5) 1.(72 y ) 1.(z 27) 2 1 1 x 5 72 y z 27
x

.(
2
9

Ta được: 9 6.MAMB  MAMB  96 326







Vaäy : maxMAMB 326




đạt được khi :











































5 z

2 y

2 x

1

2

7 z

1 y

2

7

2

5 x

01 z

y

x2

0

Đáp số : M(-2 ; 2 ; 5 )
Cách 2: Phương pháp hình học:

Gọi I là trung điểm của AB thì với điểm M bất kỳ trên (P) ta có :   

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Do đó :   



MB 2.MI

MA .Vậy MA MB nhỏ nhất  MI nhỏ nhất  IM(P)

IM P




 cùng phươngn

Ta có : 


















2
7
z
;
2
7
y
;
5
x
IM
)
2
7
;
2
7
;
5
(

I 0 0 0 . Ta lại có n (2; 1;1)