Điều khiển con lắc ngược sử dụng lý thuyết mờ và đại số gia tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN THỊ YẾN

ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC SỬ DỤNG LÝ THUYẾT MỜ VÀ
ĐẠI SỐ GIA TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ

THÁI NGUYÊN. 2020


TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG

NGUYỄN THỊ YẾN

ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC SỬ DỤNG LÝ THUYẾT MỜ VÀ
ĐẠI SỐ GIA TỬ

CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA
MÃ SỐ: 852 02 16

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. VŨ NHƯ LÂN

THÁI NGUYÊN. 2020


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn Điều khiển con lắc ngược sử dụng lý thuyết
mờ và Đại số gia tử là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi được hồn thành
dưới sự chỉ bảo tận tình của thầy hướng dẫn: TS. Vũ Như Lân.
Các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực. Mọi thơng tin trích
dẫn trong luận văn đều chỉ rõ nguồn gốc.
Bắc Ninh, ngày tháng năm 2020
Người thực hiện luận văn

Nguyễn Thị Yến


LỜI CẢM ƠN

Tơi xin trân trọng bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Vũ Như Lân
đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tơi thực hiện và hồn
thành luận văn này.
Tơi xin trân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở Khoa cơng nghệ tự động hóa
trường đại học cơng nghệ thơng tin và truyền thơng Thái Ngun đã đóng góp
nhiều ý kiến và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Đào Tạo, các phòng ban, Khoa sau đại học,
xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường đại học công nghệ thông tin và
truyền thông Thái Nguyên đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất về mọi mặt
để tơi hồn thành khóa học.
Cuối cùng, Tơi cũng xin gửi lời cám ơn đến gia đình người thân đã ln động
viên, ủng hộ và giúp đỡ tơi trong q trình học tập và hoàn thành luận văn
này.
Trân trọng cảm ơn !

Bắc Ninh, ngày tháng năm 2020
Người thực hiện luận văn

Nguyễn Thị Yến


22


33

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
MỤC LỤC......................................................................................................... ii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT............................................ iv
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ..................................................................... v
DANH MỤC CÁC HÌNH................................................................................ vi
MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ.................................................. 4
1.1. Logic mờ và lập luận xấp xỉ ................................................................... 4
1.1.1. Khái niệm về tập mờ và logic mờ .................................................... 4
1.1.2. Các phép toán logic trên tập mờ....................................................... 7
1.1.3. Quan hệ mờ .................................................................................... 10
1.1.4. Biến ngôn ngữ và Suy luận xấp xỉ ................................................. 11
1.2. Lý thuyết Đại số gia tử ......................................................................... 25
1.2.1. Giới thiệu........................................................................................ 25
1.2.2. Định nghĩa đại số gia tử ................................................................. 27
1.2.3. Định lượng đại số gia tử................................................................. 28
1.2.4. Tính mờ của một giá trị ngôn ngữ.................................................. 29
1.2.5. Xây dựng hàm định lượng ngữ nghĩa trên cơ sở độ đo tính mờ của

gia tử......................................................................................................... 30
1.3. Kết luận:................................................................................................ 31
CHƯƠNG 2: MƠ HÌNH ĐIỀU KHIỂN......................................................... 33
2.1. Mơ hình điều khiển dựa trên tập mờ .................................................... 33
2.2. Bộ điều khiển mờ cơ bản ...................................................................... 33
2.2.1. Phương pháp cực đại ...................................................................... 36


2.2.2. Phương pháp trọng tâm .................................................................. 39
2.2.3. Nguyên tắc tổng hợp bộ điều khiển mờ ......................................... 42
2.3. Mơ hình điều khiển dựa trên ngữ nghĩa. .............................................. 45
2.3.1. Giới thiệu........................................................................................ 45
2.3.2. Một số kiến thức quan trọng tối thiểu của Đại số gia tử ................ 46
2.4. Chuyển điều khiển mờ sang điều khiển dùng đại số gia tử.................. 50
2.5. Kết luận Chương 2................................................................................ 51
CHƯƠNG 3: ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC ......................................... 52
3.1. Mơ hình động học đơn giản con lắc ngược. ......................................... 52
3.2. Điều khiển con lắc ngược sử dụng tập mờ (AND = MIN)................... 53
3.3. Điều khiển con lắc ngược sử dụng Đại số gia tử trường hợp phép...... 56
AND = PRODUCT...................................................................................... 56
3.3.1. Mơ hình điều khiển dự trên ĐSGT ................................................ 56
3.4.2. Thuật toán điều khiển dựa trên ĐSGT ........................................... 57
3.3.3. So sánh hai phương pháp điều khiển mờ và đại số gia tử AND =
PRODUCT ............................................................................................... 65
3.4. Điều khiển con lắc ngược sử dụng Đại số gia tử trường hợp phép...... 65
AND = MIN................................................................................................. 65
3.4.1. Tính tốn các giá trị định lượng ngữ nghĩa .................................... 65
3.4.2. Thuật toán điều khiển dựa trên ĐSGT ........................................... 67
3.4.3. So sánh hai phương pháp điều khiển mờ và đại số gia tử AND =
MIN .......................................................................................................... 73

3.5. Kết luận Chương 3................................................................................ 74
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ......................................................................... 76
HƯỚNG PHÁT TRIỂN TRONG TƯƠNG LAI ............................................ 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 79


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
S T T T
T1 vi nĐ Đ
ế
ip ạ
2
ơ
3
4
n
5
pti D
ư
6
ni Â
gL l
7
8
S
9
MeT
iu
1
V uRất

01
ry
V nRất
1
ry l


DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
T Tr
ê an
B 5
ả 4
B 5
ả
9
B 6
ả 4
n
gB 6
ả 9
B 6
ả 9
n
g


DANH MỤC CÁC HÌNH
T T
ê r
H 4

ìn
H 5
ìn
H 5
ìn
H 6
ìn
H 1
ìn 3
H 2
ìn 1
h
H 2
ìn 2
h
H
2
ìn 9
H 3
ìn 4
h
H
3
ìn 4
H 3
ìn 5
H 3
ìn 6
h
H

3
ìn 7
h
2.
H 3
ìn 7
h
2.
H 3
ìn 8
h
2.
H 3
ìn 8


H
ìn
h
2.
9.
a,
G
H
ìn
H
ìn
H
ìn
H

ìn
H
ìn
H
ìn
H
ìn
h
3.
H
ìn
h
3.
H
ìn
H
ìn
H
ìn
H
ìn
H
ìn
H
ìn

4
1

5

4
5
5
5
6
5
6
5
8
6
3
6
3
6
3
6
8
7
1
7
4
7
6
7
7
7
8


1

MỞ ĐẦU
Hiện nay có những q trình phức tạp mà khơng thể mơ tả chính xác bằng các
mơ hình tốn học truyền thống, và có ngày càng tăng nhu cầu tự động điều
khiển địi hỏi độ chính xác cao trong điều khiển, kỹ thuật robot và sự sống
nhân tạo. Cách tiếp cận cổ điển để hiểu và dự đoán hoạt động của các hệ
thống nói trên dựa trên cơng nghệ phân tích có thể trở nên khơng phù hợp. Sự
khó khăn đó đã dẫn đến các thách thức trong việc đưa trí tuệ của con người
vào áp dụng cho máy móc, bởi vì có một khoảng cách rất lớn giữa trí thơng
minh của con người và trí thơng minh của máy móc.
Cho đến nay, ngày càng nhiều nghiên cứu và ứng dụng cho thấy logic mờ có
thể là nhân tố then chốt cho việc xây dựng một hệ thống thông minh. Ví dụ
như trong biểu diễn tri thức, dự báo và phân loại, trong nhận dạng và điều
khiển các hệ phi tuyến, trong xử lý ảnh và xử lý tín hiệu, ,v..v. Đồng thời cũng
có rất nhiều sản phẩm gia dụng như máy giặt, máy điều hòa được sản xuất ra
có tích hợp cơng nghệ tính tốn mềm bên trong
Một hệ thống thơng minh có nghĩa là nó có những khả năng giống như của
con người ví dụ như nhận dạng, dự đốn, quyết định mơ hồ, tính tốn hiệu quả
cao, tự học, tự sửa chữa, chấp nhận lỗi và khả năng hoạt động độc lập cao. Đó
là các giá trị để có thể phân lớp các hệ thống thơng minh thành các cấp khác
nhau.
Hệ mờ và logic mờ là một cách tiếp cận khá hiệu quả cho điều khiển các hệ
thống phi tuyến nhờ khả năng xấp xỉ chung của nó. Việc sử dụng phương
pháp mờ trong các hệ thống điều khiển đã được thực hiện từ rất sớm. Nhưng
vẫn cịn một sơ vấn đề khó giải quyết, ví dụ như: làm sao có thể phân hoạch
hợp lý khơng gian đầu vào cho mỗi biến. Sử dụng phép kéo theo mờ kiểu gì là
đúng. Chiến lược giải mờ như thế nào là tốt. Cần bao nhiêu tập mờ và luật mờ
là thực

2

sự cần thiết cho việc xấp xỉ có hiệu quả đối với một hệ phi tuyến chưa biết
trước...
Nhược điểm quan trọng nhất của lý thuyết điều khiển dựa trên tập mờ là
khơng thể tối ưu hóa cùng đồng thời cả ba giai đoạn: Mờ hóa, suy luận xấp xỉ
và giải mờ . Để giải quyết tồn tại này, cần thống nhất ba giai đoạn nêu trên
trong cách giải quyết trên cơ sở tối ưu đồng thời nhờ bộ tham số nhúng trong
cả ba giai đoạn. Điều đó có nghĩa là phải xây dựng bộ điều khiển dựa trên bộ
tham số cài đặt trong chính biến ngơn ngữ với các giá trị ngơn ngữ vừa định
tính và vừa định lượng. Việc định lượng các giá trị ngôn ngữ dựa trên ngữ
nghĩa vốn tồn tại sẵn có trong từng giá trị ngơn ngữ. Từ đó hình thành nên bộ
điều khiển sử dụng chính ngữ nghĩa được định lượng trong các giá trị ngơn
ngữ của biến ngơn ngữ. Đó là lý do để lý thuyết ĐSGT ra đời cho phép xây
dựng bộ điều khiển dựa trên ngữ nghĩa mà không dùng đến tập mờ. Từ đó tối
ưu hóa đồng thời ba giai đoạn tương ứng có trong hệ mờ. Đó cũng là tính cấp
thiết và ý nghĩa khoa học của đề tài.
Từ đầu những năm 90, Lý thuyết đại số gia tử ( ĐSGT ) đã được đưa ra bởi
GS.TS. Nguyễn Cát Hồ [1, 2]. Lý thuyết này tỏ ra khá hiệu quả trong việc đơn
giản hóa q trình tính tốn dựa trên tập ngôn ngữ tự nhiên, đặc biệt hiệu quả
trong một số bài toán điều khiển [3, 4, 5, 6]. Lý thuyết đại số gia tử đã cố gắng
nhúng tập ngôn ngữ vào một cấu trúc đại số thích hợp và tìm cách xem chúng
như là một đại số để tiên đề hóa sao cho cấu trúc thu được mơ phỏng tốt ngữ
nghĩa ngôn ngữ.
Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu về lý thuyết mờ, lý thuyết đại số gia tử,
trên cơ sở đó ứng dụng lý thuyết đại số gia tử vào một bài toán cụ thể là bài
toán điều khiển con lắc ngược. Lý thuyết đại số gia tử là một phương pháp
tiếp cận còn mới trong các bài toán điều khiển.

3

Bố cục của luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1: Trình bày các vấn đề cơ bản tối thiểu về lý thuyết mờ như: khái
niêm tập mờ, các phép tốn trên tập mờ, biến ngơn ngữ, luật hợp thành mờ và
giải mờ. Luận văn cũng giới thiệu về mô hình mờ, suy luận mờ. Sau đó là tóm
tắt cơ sở phương pháp luận của lý thuyết Đại số gia tử với biểu diễn biến ngôn
ngữ bằng ngữ nghĩa.
Chương 2: Liên quan đến các vấn đề về điều khiển mờ. Phần này sẽ trình bày
phương pháp điều khiển mờ truyền thống, qua đó thấy được sự cần thiết phải
áp dụng logic mờ vào bài toán điều khiển. Đồng thời trong chương này cũng
trình bày phương pháp điều khiển dựa trên công cụ Đại số gia tử.
Chương 3: Giải quyết bài toán điều khiển con lắc ngược theo tiếp cận mờ
truyền thống và tiếp cận Đại số gia tử qua đó so sánh hai tiếp cận nêu trên để
thấy rõ hiệu quả của phương pháp Đại số gia tử.


4

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Logic mờ và lập luận xấp xỉ
1.1.1. Khái niệm về tập mờ và logic mờ
Hàm thuộc A(x) định nghĩa trên tập A, trong khái niệm tập hợp kinh điển chỉ
có hai giá trị logic là 1 nếu xA hoặc là 0 nếu xA. Mơ tả hàm thuộc của hàm
A(x), trong đó tập A được định nghĩa như sau:
A = {xR | 3x8}
Như vậy, trong lý thuyết tập hợp kinh điển, hàm thuộc hoàn toàn tương đương
với định nghĩa một tập hợp. Từ định nghĩa về một tập hợp A bất kỳ ta có thể
xác định được hàm thuộc A(x) cho tập đó và ngược lại từ hàm thuộc A(x)
của

tập hợp A cũng hoàn toàn suy ra được định nghĩa cho tập A.


5

Cách

biểu

diễn

n

hàm phụ thuộc như
vậy sẽ không phù
hợp với những tập
được mô tả “mờ”

R

0

số thực dương nhỏ

C

hơn nhiều so với 8.

=

B={xR |
x<<8} có
tập nền là
R.

{
x

R

c
ũ
n
g

c
ó

t
ậ
p

n
ề

1

.

như tập B gồm các

Hoặc tập C gồm
các số thực gần
bằng 3

A(x)

|

x

3
}

8

x

3

Hình 1.1. Hàm thuộc
A(x) của tập kinh
điển A


6

Lý do là với những định nghĩa “mờ” như vậy chưa đủ để xác định một số
chẳng
hạn như x=3.8 có thuộc B hoặc x=2.2 có thuộc C hay khơng.

7

B(x)

C(x)

1

0

1

2

8

x

Hình 1. 2. Hàm thuộc của tập mờ B

0

3

x

6

Hình 1. 3. Hàm thuộc của tập mờ C

Nếu đã không khẳng định được x=3.8 có thuộc B hay khơng thì cũng không
khẳng định được là số thực x=3.8 không thuộc B. Vì vậy x=3.8 (như một
mệnh đề) thuộc B bao nhiêu phần trăm? Nếu có thể trả lời được câu hỏi này
thì có nghĩa là hàm thuộc B(x) = B(3.8)  [0, 1], tức là:
0  B(x) = B(3.8)  1
Nói cách khác, hàm B(x) khơng cịn là hàm hai giá trị như đối với tập kinh
điển nữa mà là một ánh xạ liên tục (Hình 1. 2. Hàm thuộc của tập mờ B
Hình 1. 3. Hàm thuộc của tập mờ C):
B : X  [0, 1], trong đó X là tập nền của tập
“mờ”.
Như vậy, khác với tập kinh điển A, từ “định nghĩa kinh điển” của tập “mờ” B
hoặc C không suy ra được hàm thuộc B(x) hoặc C(x) của chúng. Hơn thế nữa
hàm thuộc ở đây lại giữ một vai trò quan trọng là “làm rõ định nghĩa” cho một
tập “mờ” như ví dụ trong Hình 1. 2. Hàm thuộc của tập mờ B

Hình 1.

3. Hàm thuộc của tập mờ C. Do đó nó phải được nêu lên như là một điều kiện
trong định nghĩa về tập “mờ”.


Định nghĩa: Tập mờ F xác định trên tập kinh điển X là một tập mà mỗi phần
tử của nó là một cặp các giá trị (x, F(x)), trong đó xX và F là một ánh xạ:
F : X  [0, 1]
1)

(1.

Ánh xạ F được gọi là hàm thuộc (hoặc hàm phụ thuộc - membership
function) của tập mờ F. Tập kinh điển X được gọi là tập nền (hay tập vũ trụ)
của tập mờ F.
Sử dụng các hàm thuộc để tính độ phụ thuộc của một phần tử x nào đó có hai
cách:
 Tính trực tiếp (nếu F(x) cho trước dưới dạng công thức tường minh) hoặc
 Tra bảng (nếu F(x) cho dưới dạng bảng).
Các hàm thuộc F(x) có dạng trơn được gọi là hàm thuộc kiểu S. Đối với hàm
thuộc kiểu S, do các công thức biểu diễn F(x) có độ phức tạp lớn nên thời
gian tính tốn độ phụ thuộc cho một phần tử lâu. Bởi vậy trong kỹ thuật điều
khiển
mờ thông thường các hàm thuộc kiểu S hay được gần đúng bằng một hàm
tuyến
tính từng đoạn.
F(x)
1

0

x

Hình 1. 4. Hàm thuộc F(x) có mức
chuyển đổi tuyến tính

Một hàm thuộc có dạng tuyến tính từng đoạn được gọi là hàm thuộc có mức
chuyển đổi tuyến tính.


1.1.2. Các phép toán logic trên tập mờ
Những phép toán cơ bản trên tập mờ là phép hợp, phép giao và phép bù.

Giống như định nghĩa về tập mờ, các phép tốn trên tập mờ cũng sẽ được
định nghĩa thơng qua các hàm thuộc, được xây dựng tương tự như các hàm
thuộc của các phép giao, hợp, bù giữa hai tập kinh điển. Nói cách khác, khái
niệm xây dựng những phép toán trên tập mờ được hiểu là việc xác định các
hàm thuộc cho
phép hợp (tuyển) AB, giao (hội) AB và bù (phủ định) AC ,… từ những tập
mờ A và B.
Một nguyên tắc cơ bản trong việc xây dựng các phép tốn trên tập mờ là
khơng được mâu thuẫn với những phép tốn đã có trong lý thuyết tập hợp
kinh điển. Mặc dù không giống tập hợp kinh điển, hàm thuộc của các tập mờ
AB, AB,
AC … được định nghĩa cùng với tập mờ, song sẽ không mâu thuẫn với các
phép
toán tương tự của tập hợp kinh điển nếu như chúng thoả mãn những tính chất
tổng quát được phát biểu như “tiên đề” cả lý thuyết tập hợp kinh điển.
Phép hợp hai tập mờ
Do trong định nghĩa về tập mờ, hàm thuộc giữ vai trò như một thành phần cấu
thành tập mờ nên các tính chất của các tập AB khơng cịn là hiển nhiên nữa.
Thay vào đó chúng được sử dụng như những tiên đề để xây dựng phép hợp
trên
tập mờ.
Định nghĩa: Hợp của hai tập mờ A và B có cùng tập nền X là một tập mờ
AB cũng xác định trên tập nền X có hàm thuộc AB(x). Có nhiều cơng thức
khác nhau được dùng để tính hàm thuộc AB(x) cho hợp hai tập mờ. Chẳng
hạn một số cơng thức sau có thể được sử dụng để định nghĩa hàm AB(x) của
phép hợp giữa hai tập mờ.
(1) AB(x) = max{A(x), B(x)} luật lấy max (1. 2)


(2) AB(x) = max{A(x), B(x)} khi min{A(x), B(x)} = 0 (1. 3)

= 1 khi min{A(x), B(x)}  0

(1. 4)

(3) AB(x) = min{1, A(x) + B(x)} phép hợp Lukasiewicz (1. 5)


(4)

μ AB (x) =

μ A (x)+μ B (x)
1+μ A (x)+μ B (x) tổng Einstein

(1. 6)

(5) AB(x) = A(x) + B(x) - A(x)B(x) tổng trực tiếp

(1. 7)

Phép giao hai tập mờ
Như đã đề cập, phép giao AB trên tập mờ phải được định nghĩa sao cho
không mâu thuẫn với phép giao của tập hợp kinh điển và yêu cầu này sẽ được
thoả mãn nếu chúng có được các tính chất tổng quát của tập kinh điển AB.
Giống như với phép hợp hai tập mờ, phép giao hai tập mờ trên tập nền tổng
qt hố những tính chất của tập kinh điển AB cũng thỉ được thực hiện một
cách trực tiếp nêu hai tập mờ đó có cùng tập nền. Trong trường hợp chúng
khơng cùng một tập nền thì phải đưa chúng về một tập nền mới là tập tích của
hai tập nền đã cho.
Định nghĩa: Giao của hai tập mờ A và B có cùng tập nền X là một tập mờ

cũng được xác định trên tập nền X với hàm thuộc AB(x). Tương tự như với
phép
hợp giữa hai tập mờ, có nhiều cơng thức khác nhau để tính hàm thuộc AB(x)
của giao hai tập mờ A và B có cùng tập nền X.
Các cơng thức thường dùng để tính hàm thuộc AB(x) của phép giao gồm:
(1) AB(x) = min{A(x), B(x)} (1. 8)
(2) AB(x) = min{A(x), B(x)}, khi max{A(x), B(x)} = 1(1. 9)


= 0, khi max{A(x), B(x)}  1

(1. 10)

(3) AB(x) = max{0, A(x) + B(x)}, phép giao Lukasiewicz

(1. 11)


(4)

μ AB (x) =

μ A (x)μ B (x)
1-(μ A (x)+μ B (x))-μ A (x)μ B (x)

(5) AB(x) = A(x)B(x), tích đại số

, tích Einstein (1. 12)
(1. 13)

Chú ý: Luật min AB(x) = min{A(x), B(x)}

(1. 8) và tích đại số là hai

luật xác định hàm thuộc giao hai tập mờ được sử dụng nhiều hơn cả trong kỹ
thuật điều khiển mờ.
Việc có nhiều cơng thức xác định hàm thuộc của giao hai tập mờ đưa đến khả
năng một bài toán điều khiển mờ có nhiều lời giải khác nhau. Để tránh những
kết quả mâu thuẫn có thể xảy ra, nhất thiết trong một bài toán điều khiển mờ,
ta chỉ nên thống nhất sử dụng một hàm thuộc cho phép giao.
Phép bù (phủ định) của một tập mờ
Phép bù (còn gọi là phủ định) của một tập mờ được suy ra từ các tính chất của
phép bù trong lý thuyết tập hợp kinh điển như sau:
Định nghĩa: Tập bù của tập mờ A định nghĩa trên tập nền X là một tập mờ AC
cũng xác định trên tập nền X với hàm thuộc
Do hàm thuộc

μ A (x)
C

μ A (x)
C

.

của AC chỉ phụ thuộc vào A(x) nên ta có thể xem

μA

C

(x)
như một hàm A[0, 1]. Từ đó định nghĩa tổng quát về phép bù mờ như sau:
(A): [0, 1]  [0, 1]
thoả mãn:
(1) (1) = 0 và (0) = 1


(2) A  B  (A)  (B), tức là hàm không tăng.
1.1.3. Quan hệ mờ
Khái niệm quan hệ mờ
Định nghĩa: Cho X, Y là hai không gian nền, gọi R là một quan hệ mờ trên
tập nền tích XxY nếu R là một tập mờ trên nền XxY, tức là có một hàm thuộc:
R : XxY  [0, 1]
Trong đó: R(x, y) = R(x, y) là độ thuộc của (x, y) vào quan hệ R.
Định nghĩa: Cho R1, R2 là hai quan hệ mờ trên XxY, ta có định nghĩa: