Tài liệu chuyên đề ôn thi HSG toán 6

CHUYÊN ĐỀ 3 CHỮ SỐ TÂN CÙNG.
Tiết 9: TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1) Tìm chữ số tận cùng của tích:
+ Tích các số lẽ là một số lẽ.
+ Tích của một số tận cùng bằng 5 với bất kỳ số lẽ nào cũng tận cùng bằng 5.
+ Tích của một số chẳn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẳn.
+ Tích của một số tận cùng bằng 0 với bất kỳ số tự nhiên nào cũng tận cùng bằng 0.
2) Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa:
a) Tìm một chữ số tân cùng:
+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 Khi nâng lên lũy thừa bất kỳ( khác 0) thì vẫn có
tận cùng bằng 0; 1; 5 ; 6.
+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 3; 7; 9 nâng lên lũy thừa 4n đều có tận cùng là 1.
…3
4n
= ….1; …..7
4n
= ….1; …9
4n
= …1
+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên lũy thừa 4n (n
≠
0) đều có tận cùng là 6.
…2
4n
= ….6; …..4
4n
= ….6; …8
4n
= …6.
+ Các số tự nhiên có tận cùng là 4 hoặc 9 khi nâng lên lũy thừa lẽ thì có chữ số tận cùng bằng

chính nó.
B/ Ví dụ : Tìm một chữ số tân cùng:
1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
74
30
; 49
31
; 87
32
; 58
33
; 23
35
.
2) CMR 8
102
– 2
102
Chia hết cho 10.
Giải:
1) Có : 74
30
= 74
4.7
.74
2
= (…6). (…6) = (…6);
49
31
= (….9);

87
32
= 87
4.8
= (…1);
58
33
= 58
32
. 58 = 58
4.8
. 58 = (…6). 58 = (…8);
23
35
= 23
32
. 23
3
= (…1) .(…7) = (…7).

2) 8
102
= 8
100
.8
2
= 8
4.25
.8
2

= (…6). 64 = ….4
2
102
= 2
100
.2
2
= 2
4.25
.2
2
= (…6) . 4 = ….4.
Vậy 8
102
– 2
102
có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10.
C/ Bài Tập:
1) CMR A = 51
n
+ 47
102
(n
∈
N) Chia hết cho 10.
2) Chứng tỏ rằng 17
5
+ 24
4
– 13

21
chia hết cho 10.
Giải:
1) 51
n
= ….1
47
102
= 47
100
.47
2
= 47
4.25
.47
2
= (….1).( …9) = …9
Vậy A = ….1 + ….9 = ….0 nên chia hết cho 10.
2) Có 17
5
+ 24
4
– 13
21
= 17
4
.17 + (…6) – (13
2
)
10

. 13 = (…1).17 + (…6) – (…9)
10
.13
= (…7) + (…6) – (..1). 13 = (…7) + (…6) – (..3) = (…3) + (…3) = (…0).
Vậy số 17
5
+ 24
4
– 13
21
chia hết cho 10.
Tiết 10: LUYÊN TẬP
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n:
a) 7
4n
- 1 chia hết cho 10.
b) 3
4n+1
+ 2 chia hết cho 5.
c) 2
4n+1
+ 3 chia hết cho 5
d) 2
4n+2
+ 1 chia hết cho 5
e) 9
2n+1
+ 1 chia hết cho cả 2 và 5.
2) Tìm các số tự nhiên n để n
10

+ 1 chia hết cho 10.
3) Biết rằng số tự nhiên n chia hết cho 2 và n
2
- n chia hết cho 5. Tìm chữ số tận cùng của n?
Giải:
1) a/ Có 7
4n
- 1 = (…1) – 1 = (…0) nên chia hết cho 10.
b/ 3
4n+1
+ 2 = 3
4n
.3 + 2 = (…1). 3 + 2 = (…3) + 2 = …5 nên chia hết cho 5.
c/ 2
4n+1
+ 3 = 2
4n
. 2 + 3 = (…6). 2 + 3 = (…2) + 3 = (…5) nên chia hết cho 5.
d/ 2
4n+2
+ 1 = 2
4n
.2
2
+ 1 = (…6). 4 + 1 = (…4) + 1 = (..5) nên chia hết cho 5.
e/ 9
2n+1
+ 1 = (…9) + 1 = (…0) nên chia hết cho 10. ( vì 2n + 1 là số lẽ).
2) Có n
10

+ 1 chia hết cho 10 => n
10
= n
5.2
= (n
5
)
2
có tận cùng bằng 9.
=> n
5
tận cùng bằng 3 hoặc 7 => n tận cùng bằng 3 hoặc 7.
3) Có n
2
– n = n.(n – 1) chia hết cho 5 nên n hoặc n – 1 chia hết cho 5
Do đó n tận cùng là 0 ; 5 hoặc n – 1 tận cùng là 0 ; 5.
=> n tận cùng là 0 ; 5 hoặc 1; 6 .
Vì n chiz hết cho 2 . Vậy n tận cùng là 0; 6.
Tiết 11: TÌM HAI CHỮ SỐ TÂN CÙNG TRỞ LÊN
A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1) Tìm hai chữ số tân cùng:
+ Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01;
25; 76.
+ Các số 3
20
(hoặc số 81
5
); 7
4
; 51

2
; 99
2
có tận cùng bằng 01.
+ Các số 2
20
; 6
5
; 18
4
; 24
2
; 74
2
; 68
4
có tận cùng bằng 76.
+ Số 26
n
( n > 1) có tận cùng bằng 76.
2) Tìm ba chữ số tân cùng trở lên:
+ Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận cùng bằng
001; 376; 625.
+ Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận cùng bằng 0625.
+ Một số chính phương thì không có tận cùng là 2; 3; 7; 8
B/ Ví dụ: Tìm hai chữ số tân cùng:
a) Tìm hai chữ số tân cùng của 2
100
.
b) Tìm hai chữ số tân cùng 7

1991
.
Giải: a) Ta có: 2
10
= 1024. Bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76.
Do đó 2
100
= (2
10
)
10
= 1024
10
= (1024
2
)
5
= (…76)
5
= …76
Vậy hai chữ số tận cùng của 2
100
là 76.
b) 7
4
= 2401. Số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01. Do
đó: 7
1991
= 7
1998

.7
3
= (7
4
)
497
. 343 = ( …01)
497
. 343 = (…01). 343 = …43.
Vậy 7
1991
có tận cùng bằng 43.
C/ Bài Tập:
1) Tìm hai chữ số tận cùng của:
a) 51
51
; b) 6
666
; c) 14
101
. 16
101
; d)
99
99
99
; e) 5
n
, với n > 1

Giải:
1) a) 51
51
= (51
2
)
25
. 51 =
( ) ( )
25
...01 .51 ...01 .51 ...51= =
;
b) 6
666
= (6
5
)
133
. 6 = (..76)
133
. 6 = (…76) . 6 = …56
c) 14
101
. 16
101
= (14 . 16)
101
= 224
101
= (224

2
)
50
.224 = (…76)
50
.224 = (…76) .224 = …24;
d)
99
99 2 1 2
99 99 (99 ) .99 (...01) .99 (..01).99 ...99
k k k+
= = = = = ;
e) 5
n
=….25. (n > 1).
Tieát 12: LUYEÂN TAÄP