Tài liệu BT Giới hạn-Liên tục

BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11
GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài 1: Dùng đònh nghóa, chứng minh rằng:
a)
n
n 1 1
lim
2n 1 2
→∞
+
=
−
b)
2
2
n
1 2n 2
lim
1 3n 3
→∞
−
= −
+

c)
2
n
3
lim 0
n 1
→∞

=
+
d)
n
2 n 1
lim 2
n
→∞
+
=
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a)
n
4n 1
lim
2n 7
→∞
+
−
b)
2
2
n
2n 2 n 8
lim
n 3 n 7
→∞
− +
− + −

c)
3
2
n
2n 5n 1
lim
2n n 3
→∞
+ −
− +
d)
2
n
n 3n 3
lim
n 2n 2
→∞
+
+ +
e)
3
n
(2n 1)(n 1)(3n 4)
lim
(6n 1)
→∞
+ − −
+
f)
2

n
(3n 4)(n 2)(n 3)
lim
2n(n n 4)
→∞
+ + −
+ −

Bài 3: Tính các giới hạn sau:
a)
2 2
n
lim( n 2n 1 n 7n 3)
→∞
− − − − +
b)
2
n
lim( n n n)
→∞
+ −

c)
3
3
n
lim( n 1 n)
→∞
+ −
d)

3
3
n
lim( n n n)
→∞
− +

e)
2
2
n
4n 1 (2n 1)
lim
n 4n 1 n
→∞
+ − +
+ + −
f)
3
3
2
n
2 n n
lim
n 1 n
→∞
− +
+ −
g)
3 3 2 2

n
lim( n 3n 1 n 4n)
→∞
− + − +

Bài 4: Tính các giới hạn sau:
a)
n
n
n
3 4
lim
1 3.4
→∞
+
+
b)
n n n
n n n
n
3 4 5
lim
3 4 5
→∞
− +
+ −
c)
n 1 n 1
n n
n

2 3
lim
2 3
+ +
→∞
+
+

d)
n n n 1
n
n n 1
n
2 6 4
lim
3 6
+
+
→∞
+ −
+
e)
2
n
n
lim
2n 1
→∞
 
 

+
 
f)
2
n
3n 1
lim
4n 5
→∞
+
 
 
+
 
Bài 5: Xét sự hội tụ của các dãy số sau:
a)
n
1 1 1
a (1 )(1 )...(1 )
2 4 2n
= − − −
b)
n
1 1 1
a ...
n 1 n 2 2n
= + + +
+ +
c)
n

1 1 1
a ...
1.2 2.3 (n 1)n
= + + +
−
d)
n
2
1 2 ... (n 1)
a
2n 3n
+ + + −
=
+
e)
n
1 1 1
a ...
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
= + + +
− +

GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài 1: Dùng đònh nghóa, chứng minh rằng:
a)
x 1
lim(2x 3) 6
→
+ =
b)

x 1
x 2 1
lim
2(x 1) 4
→−
+
= −
−

c)
x 5
lim x 4 3
→
+ =
d)
x 0
limsin x 0
→
=

 DẠNG VÔ ĐỊNH
0
0
:
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a)
2
x 3
x 3
lim

x 9
→−
+
−
b)
2
2
x 2
x x 6
lim
x 4
→
+ −
−
c)
2
2
x 4
x 16
lim
x x 20
→
−
+ −

d)
3 2
2
x 1
x x x 1

lim
x 3x 2
→
− − +
− +
e)
3
3 2
x 1
x 1
lim
x x x 1
→
−
− + −
f)
4 2
3 2
x 3
x 6x 27
lim
x 3x x 3
→−
− −
+ + +
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
a)
5
3
x 1

x 1
lim
x 1
→−
+
+
b)
6 5
2
x 1
4x 5x x
lim
(1 x)
→
− +
−
c)
x 0
(1 x)(1 2x)(1 3x) 1
lim
x
→
+ + + −
d)
5
5 2
x 0
(1 x) (1 5x)
lim
x x

→
+ − +
+
1
BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
a)
m
n
x 1
x 1
lim
x 1
→
−
−
b)
n n
x a
x a
lim
x a
→
−
−
(n ∈ Z
+
; a ≠ 0)
c)
2 n

x 0
x x ...x n
lim
x 1
→
+ + −
−
d)
x 0
(1 x)(1 2x)...(1 nx) 1
lim
x
→
+ + + −
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
1 2x 1
lim
2x
→
+ −
b)
x 0
4x
lim
9 x 3
→
+ −
c)

x 2
x 7 3
lim
x 2
→
+ −
−

d)
2
2
x 1
3x 2 4x x 2
lim
x 3x 2
→
− − −
− +
e)
3 2
x 1
2x 7 x 4
lim
x 4x 3
→
+ + −
− +

f)
x 1

2x 7 3
lim
2 x 3
→
+ −
− +
g)
2
2
x 0
x 1 1
lim
x 16 4
→
+ −
+ −

h)
x 4
x 5 2x 1
lim
x 4
→
+ − +
−
k)
x 0
x 1 x 4 3
lim
x

→
+ + + −
Bài 6: Tính các giới hạn sau:
a)
3
x 2
4x 2
lim
x 2
→
−
−
b)
3
3
x 3
2 19 x
lim
4x 3 3
→
+ −
− −
c)
3
3
x 1
x 1
lim
4x 4 2
→

−
+ −

d)
3 3
3
x 1
x 9 2x 6
lim
x 1
→
+ + −
+
e)
3
x 0
1 x 1 x
lim
x
→
+ − +

f)
3
2
x 2
8x 11 x 7
lim
x 3x 2
→

+ − +
− +
g)
3
3
x 1
3x 2 2x 1
lim
x 1
→
− − −
−
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
a)
x a
x x a a
lim
x a
→
−
−
b)
n
m
x 1
x 1
lim
x 1
→
−

−
(m, n ∈ Z
+
)
c)
3 5
4
4
x 1
(1 x)(1 x)(1 x)(1 x)
lim
(1 x)
→
− − − −
−


 GIỚI HẠN HÀM SỐ LƯNG GIÁC:
Bài 8: Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
sinx
lim
2x
→
b)
x 0
tgx
lim
x

→
c)
2
x 1
sin(x 1)
lim
x 1
→
−
−

d)
2
2
x 0
x
sin
2
lim
x
→
e)
x 0
sin5x
lim
tg3x
→
f)
x 0
1 cos x

lim
x.sin x
→
−
Bài 9: Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
1 cos x
lim
1 cos3x
→
−
−
b)
3
x 0
tgx sin x
lim
x
→
−
c)
2
x 0
cosx cos3x
lim
sin x
→
−

d)
3
x 0
1 cos x
lim
x.sin 2x
→
−
e)
4
x 0
1 cos x
lim
x.sin3x
→
−
f)
3
2
x 0
1 cos x
lim
sin x
→
−
g)
2
2
x 0
1 sin x cos x

lim
sin x
→
+ −
h)
2
x 0
1 cos x cos2x
lim
x
→
−

Bài 10: Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
1 1
lim( )
sin x tgx
→
−
b)
x 0
1 1 1
lim( )
sin x sin3x x
→
−

c)

2
x 0
1 cos x
lim
tg x
→
−
d)
3
x 0
1 cos2x tg x
lim
x.sin x
→
− +

Bài 11: Tính các giới hạn sau:
a)
x
4
2 sin x 1
lim
2 cosx 1
π
→
−
−
b)
x
4

sin x cos x
lim
4x
π
→
−
− π
c)
x
4
1 tgx
lim
1 cot gx
π
→
−
−

d)
x
2
cosx
lim
x
2
π
→
π
−
e)

x
2
1
lim( tgx)
cosx
π
→
−
f)
x
2
lim(1 cos2x)tgx
π
→
+
g)
x
6
2sinx 1
lim
2cosx 3
π
→
−
−
h)
2
x
6
2sinx 1

lim
4cos x 3
π
→
−
−
k)
3
x
3
tg x 3tgx
lim
cos(x )
6
π
→
−
π
+

2
BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11
Bài 12: Tính các giới hạn sau:
a)
x 0
cos(a x) cos(a x)
lim
x
→
+ − −

b)
2
x 0
sin(a x) 2sin(a x) sina
lim
x
→
+ − + +

c)
x 0
sin(a x) sin(a x)
lim
tg(a x) tg(a x)
→
+ − −
+ − −
d)
2
2
x 0
tg(a x)tg(a x) tg a
lim
x
→
+ − −

 GIỚI HẠN MỘT BÊN:
Bài 13: Tính các giới hạn sau:

a)
x 1
x 3 3x 1
lim
x 1
+
→
+ − +
−
b)
x
1 cosx
lim
sin x
+
→π
+
c)
x
2
1 cosx
lim
x
2
+
π
→
+
π
−

Bài 14: Tính giới hạn một bên và giới hạn (nếu có) của các hsố:
a)
3
3sin x
nếu x 0
f(x) khi x 0
x
x 1 nếu x 0

>

= →


− ≤

b)
2
2
x 3 2
nếu x 1
x 1
f(x) khi x 1
x 3x 1
nếu x 1
4(3x 5x 2)

+ −
>



−
= →

− +

<

− +

c)
3
2
2
2
6(1 cosx)
nếu x 0
sin x
f(x) khi x 0
x x
nếu x 0
x

−
>


= →

−


<


 DẠNG VÔ ĐỊNH
∞
∞
:
Bài 15: Tính các giới hạn sau:
a)
x
2x 1
lim
x 1
→∞
+
−
b)
2
2
x
2x 3x 4
lim
1 2x 4x
→∞
− +
+ −
c)
2
x

2x x 1
lim
x 2
→∞
− +
−

d)
3
3 2
x
2x 3
lim
x 2x 1
→∞
+
− +
e)
2
x
x x 1
lim
x x 1
→∞
+
+ +
f)
2
3
x

(3x 1)(5x 3)
lim
(2x 1)(x 4)
→∞
+ +
− +

Bài 16: Tính các giới hạn sau:
a)
2
x
4x 1
lim
3x 1
→∞
+
−
b)
2 2
x
9x x 1 4x 2x 1
lim
x 1
→∞
+ + − + +
+

c)
2
2

x
x 2x 3 4x 1
lim
4x 1 2 x
→∞
+ + + +
+ + −
d)
4
2
x
3x 2 x x 5x
lim
2x 4x 5
→∞
− + −
+ −
Bài 17: Tính các giới hạn sau:
a)
x
1 2 x x
lim
x 3
→∞
+ −
+
b)
3
2
x

x 3x 1
lim
x x x
→∞
+ −
+

c)
2
x
x.sin x
lim
2x 1
→∞
=
d)
x
x 2 1 x
lim
1 x
→∞
+ −
−

 DẠNG VÔ ĐỊNH
∞ − ∞
:
Bài 18: Tính các giới hạn sau:
a)
2

x
lim( x x x)
→∞
+ −
b)
2
x
lim(2x 1 4x 4x 3)
→∞
− − −

c)
2 2
x
lim( x x 1 x x 1)
→∞
− + − + +
d)
3
3
x
lim( x 1 x)
→∞
+ −
e)
3
3 2
x
lim( x x x)
→∞

+ −
f)
3 33 2 3
x
lim( x 5x x 8x)
→∞
+ − +
Bài 19: Tính các giới hạn sau:
a)
2
x 1
2 1
lim( )
x 1 x 1
→
− −
b)
3
x 1
1 3
lim( )
1 x 1 x
→
−
− −

3
BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11
c)
2 2

x 2
1 1
lim( )
x 3x 2 x 5x 6
→
−
− + − +

d)
x 0
2
1 1
lim( )
x
tgx
sin
2
→
−
e)
2
2
x
2
sin x
lim( tg x)
cos x
π
→
−

Bài 20: Tính các giới hạn sau:
a)
x
lim ( x x x x)
→+∞
+ + −

b)
x
lim ( x x x x x x )
→+∞
+ + − − −

c)
2 2
x
lim x( x 2x 2 x x x)
→+∞
+ − + +

d)
3 3 2 2
x
lim ( x 3x x 2x)
→+∞
+ − −
e)
n
1 2 n
x

lim [ (x a )(x a )...(x a ) x]
→+∞
+ + + −
 DẠNG VÔ ĐỊNH
0.∞
:
Bài 21: Tính các giới hạn sau:
a)
x
2
lim( x)tgx
2
π
→
π
−
b)
x
4
lim tg2x.tg( x)
4
π
→
π
−
c)
x 0
limsin5x.cotg3x
→

d)
x 0
lim x.cot gx
→
e)
x 1
lim(1 x)tg x
2
→
π
−
f)
x
2
lim(x 4)sin
x
→∞
+
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1: Xét tính liên tục tại x
0
của hàm số trong các trhợp sau:
a)
2 3
2
0
2 7x 5x x
nếu x 2
f(x) tại x 2
x 3x 2

1 nếu x 2

− + −
≠

= =
− +


=

b)
3
3
0
x x 2
nếu x 1
x 1
f(x) tại x 1
4
nếu x 1
3

+ +
≠ −


+
= = −



= −


c)
0
1 2x 3
nếu x 2
f(x) tại x 2
2 x
1 nếu x 2

− −
≠

= =

−

=

d)
0
x 2
nếu x 4
x 5 3
f(x) tại x 4
3
nếu x 4
2


−
≠


+ −
= =


=


e)
3
0
3x 2 2
nếu x 2
x 2
f(x) tại x 2
3
nếu x 2
4

+ −
≠


−
= =



=


Bài 2: Xét tính liên tục tại x
0
của hàm số trong các trhợp sau:
a)
2
0
1 cosx
nếu x 0
sin x
f(x) tại x 0
1
nếu x 0
4

−
≠


= =


=


4
BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11 BÀI TẬP ĐẠI SỐ 11

b)
2
2
0
cosx 1 sin x
nếu x 0
f(x) tại x 0
sin x
10 nếu x 0

− +

≠
= =


− =

c)
0
1 cos x
nếu x 0
sin x.sin2x
f(x) tại x 0
1
nếu x 0
8

−
≠



= =


=


d)
3
2
0
1 cos x
nếu x 0
sin x
f(x) tại x 0
1
nếu x 0
3

−
≠


= =


=



e)
0
sin x
nếu x 1
f(x) tại x 1
x 1
nếu x 1
π

≠

= =
−


− π =

f)
2
0
1 cosx
nếu x 0
sin x
f(x) tại x 0
1
nếu x 0
4

−
≠



= =


=


g)
2 2
2
0
sin (x 4)
nếu x 2
f(x) tại x 2
x 4x 4
16 nếu x 2

−
≠

= =
− +


=

h)
2
0

1
x sin nếu x 0
f(x) tại x 0
x
0 nếu x 0

≠

= =


=

Bài 3: Xét tính liên tục tại x
0
của hàm số trong các trhợp sau:
a)
0
2
x 5
nếu x 5
f(x) tại x 5
2x 1 3
(x 5) 3 nếu x 5
−

>

= =
− −



− + ≤

b)
0
1 cos x nếu x 0
f(x) tại x 0
x 1 nếu x 0
− ≤


= =

+ >


c)
3
2
0
1 cos2x
nếu x 0
sin x
2
f(x) nếu x 0 tại x 0
3
1 1 x 1
nếu x 0
6 x


−
>



= = =



+ −
+ <


d)
3
2
0
2
2
6(1 cosx)
nếu x 0
sin x
f(x) 1 nếu x 0 tại x 0
x x
nếu x 0
x

−
>




= = =


−

<


e)
0
x 2
nếu x 0
x 4
1
f(x) nếu x 0 tại x 0
2
x
nếu x 0
tg2x

−
>

−


= = =




− <


5