Một số biện pháp khắc phục các sai lầm thường gặp của học sinh khi học hình học không gian lớp 11

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN
----------

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
Một số biện pháp khắc phục các sai lầm thường gặp
của học sinh khi học Hình học khơng gian lớp 11

Giảng viên hướng dẫn

: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

Sinh viên thực hiện

: Đặng Thảo Trang

Lớp

: 16ST

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2020


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cơ trong khoa Tốn – trường
Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tơi hồn
thành khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt, tôi gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cơ Ngơ Thị Bích
Thủy – người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu. Cuối cùng,
tơi xin gởi lời cảm ơn những ý kiến góp ý quý báu, sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình
của gia đình, người thân, các thầy cơ, bạn bè, nhất là các bạn lớp 16ST trong q trình
tơi làm khóa luận tốt nghiệp này.
XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!
Đà Nẵng, tháng 01 năm 2020
Sinh viên

Đặng Thảo Trang

SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 1


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy
MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ..................................................................................................................0
MỤC LỤC .......................................................................................................................2
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................4
CHƯƠNG 1.CƠ SỞ LÍ LUẬN .......................................................................................6
1.1. Nội dung chương trình HHKG trong sách giáo khoa hình học 11 cơ bản hiện
hành .............................................................................................................................. 6
1.1.1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song. ...............6

1.1.2. Vectơ trong khơng gian. Quan hệ vng góc. ................................................7
1.2. Dạy học giải toán ..................................................................................................9
1.2.1. Yêu cầu đối với lời giải toán: .........................................................................9
1.2.2. Các bước của hoạt động giải tốn:................................................................ 10
1.2.3. Về tiến trình giải tốn ...................................................................................10
1.3. Một số khó khăn của học sinh khi học hình học khơng gian lớp 11...................10
1.3.1. Hình học khơng gian là một mơn học khó....................................................10
1.3.2. Nội dung, chương trình của mơn hình học khơng gian có nhiều vấn đề ......11
1.3.3. Bài tập hình học khơng gian đa dạng, phức tạp............................................11
1.3.4. Khó khăn từ tư tưởng học tập của học sinh ..................................................12
1.3.5. Khó khăn trong việc nắm vững kiến thức ....................................................12
1.3.6. Những khó khăn trong việc vẽ hình và đọc hình khơng gian .......................12
1.4. Những sai lầm học sinh thường mắc phải khi học HHKG .................................13
1.4.1. Sai lầm trong lời giải ....................................................................................14
1.4.2. Sai lầm trong lập luận ...................................................................................21
1.4.3. Lời giải chưa đầy đủ .....................................................................................22
CHƯƠNG 2.MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP
CỦA HỌC SINH KHI HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN ..........................................24
2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kĩ năng tư duy logic cho học sinh ................................ 24
2.1.1. Xây dựng và sắp xếp hệ thống các bài tập từ đơn giản đến phức tạp...........24
2.1.2. Giải tốn bằng phương pháp phân tích đi lên ...............................................26

SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 2


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

2.2. Biện pháp 2: Bồi dưỡng trí tưởng tượng khơng gian, rèn luyện kĩ năng vẽ hình
khơng gian ..................................................................................................................27
2.2.1. Bồi dưỡng trí tưởng tượng không gian cho học sinh ....................................27
2.2.2. Nâng cao kĩ năng vẽ hình trong khơng gian .................................................29
2.3. Biện pháp 3: Một số hoạt động dạy học giúp học sinh nắm vững kiến thức
HHKG ........................................................................................................................31
2.3.1. Chọn lọc kiến thức cơ bản “trọng tâm” ........................................................31
2.3.2. Chọn lọc bài tập cơ bản ................................................................................34
2.3.3. Mở rộng các bài tốn phẳng vào khơng gian ................................................36
2.3.4. Đưa các bài tốn khơng gian về bài tốn phẳng ...........................................39
2.3.5. Sử dụng liên kết các hình..............................................................................44
KẾT LUẬN ...................................................................................................................46
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 47

SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 3


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy
MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học mơn Tốn nói
riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay. Để thực
hiện yêu cầu này, bước quan trọng là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học.
Dạy học là quá trình thống nhất biện chứng giữa việc dạy của thầy và việc học

của trò. Muốn nâng cao chất lượng dạy học thì chúng ta cần phải quan tâm nhiều đến
hoạt động học tập của học sinh. Điều đó giúp học sinh rèn luyện và phát triển các thao
tác tư duy.
Hình học khơng gian là mảng kiến thức đòi hỏi học sinh phải nâng cao tư duy
trừu tượng. Các dạng tốn mang tính logic, vận dụng nhuần nhuyễn các đinh lý. Học
sinh phải biết phân tích bài tốn, qui lạ về quen. Thực tế, học sinh gặp nhiều sai lầm
khi giải tốn.
Qua q trình thực tập dưới trường Trung học phổ thơng, tơi đã tìm hiểu thực
trạng dạy và học hình học khơng gian khối lớp 11. Là sinh viên sư phạm sắp ra trường,
tôi chọn đề tài “Một số biện pháp khắc phục các sai lầm thường gặp của học sinh
khi học Hình học không gian lớp 11” nhằm nâng cao chất lượng dạy học.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu những khó khăn, sai lầm phổ biến của học sinh lớp 11 khi học
HHKG, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm để khắc phục, nhằm rèn luyện năng
lực giải toán cho học sinh .
3. Đối tượng nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu đặc điểm, nội dung chương trình và tìm hiểu thực tế dạy
học môn HHKG lớp 11 (sách cơ bản) cùng kinh nghiệm bản thân. Từ đó, phát hiện
những khó khăn, những sai lầm học sinh thường gặp và tìm ra biện pháp khắc phục.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu những khó khăn thường gặp, những sai lầm phổ biến của học sinh
khi học HHKG lớp 11.
- Đề xuất một số biện pháp nhằm hạn chế khó khăn và khắc phục những sai
lầm cho học sinh khi học HHKG 11.
5. Phương pháp nghiên cứu
a. Nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu lí luận về phương pháp dạy học toán, phương pháp dạy học hình
học, tâm lí học để phân tích ngun nhân của những khó khăn, sai lầm và đề ra một số
biện pháp khắc phục.
b. Nghiên cứu thực tiễn

SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 4


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

Tiến hành tìm hiểu những khó khăn, sai lầm học sinh thường gặp khi học
HHKG 11 thơng qua các giáo viên tốn ở trường trung học phổ thơng trong q trình
thực tập vệ tinh, kinh nghiệm học tập bộ môn HHKG của bản thân, các em học sinh và
thơng qua việc tìm hiểu các tài liệu có liên quan đến mơn học HHKG.
6. Đối tượng sử dụng đề tài
Đề tài này hy vọng sẽ trở thành tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên sư
phạm toán và các độc giả quan tâm.
7. Cấu trúc luận văn
Khóa luận gồm có hai chương
• Chương 1: Cơ sở lí luận
• Chương 2: Một số biện pháp khắc phục các sai lầm thường gặp của học
sinh khi học Hình học khơng gian.

SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 5


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1. Nội dung chương trình HHKG trong sách giáo khoa hình học 11 cơ bản hiện
hành
Chương trình hình học khơng gian lớp 11 gồm :
- Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.
Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng.
Bài 2: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song.
Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song.
Bài 4: Hai mặt phẳng song song.
Bài 5: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình khơng gian.
Ơn tập chương II.
- Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vng góc trong khơng gian.
Bài 1: Vectơ trong khơng gian.
Bài 2: Hai đường thẳng vng góc.
Bài 3: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng.
Bài 4: Hai mặt phẳng vng góc.
Bài 5: Khoảng cách.
Ơn tập chương III.
1.1.1. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song.
a. Các tính chất thừa nhận trong khơng gian:
- Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
- Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
- Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt
phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
- Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm khơng cùng thuộc một mặt phẳng.
- Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng cịn
có một điểm chung khác nữa.
- Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng
đều đúng.

b. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
• Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt: có 3 vị trí
- Hai đường thẳng cắt nhau.
- Hai đường thẳng song song.
- Hai đường thẳng chéo nhau.
• Các định lí, hệ quả:
- Định lí 1: Trong khơng gian, qua một điểm khơng nằm trên đường thẳng
cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
- Định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đơi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt
thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.
SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 6


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

- Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song
song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc
trùng với một trong hai đường thẳng đó.
- Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ
ba thì song song với nhau.
c. Đường thẳng và mặt phẳng song song
• Các định lí và hệ quả:
- Định lí 1: Nếu đường thẳng d khơng nằm trong mặt phẳng (α) và d song
song với đường thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α) .
- Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Nếu mặt
phẳng (𝛽) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến b thì b song song với a.

- Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường
thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
- Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng
chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
d. Hai mặt phẳng song song
• Định nghĩa: Hai mặt phẳng (α), (𝛽) được gọi là song song với nhau nếu
chúng khơng có điểm chung.
• Các định lí và hệ quả:
- Định lí 1: Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b
cùng song song với mặt phẳng (𝛽) thì (α) song song với (𝛽).
- Định lí 2: Qua một điểm nằm ngồi một mặt phẳng cho trước có một và
chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
- Hệ quả 1: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì qua d có
duy nhất một mặt phẳng song song với (α).
- Hệ quả 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba
thì song song với nhau.
- Hệ quả 3: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α). Mọi đường thẳng đi
qua A và song song với (α) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (α) .
- Định lí 3: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt
phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
- Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những
đoạn thẳng bằng nhau.
- Định lí 4: (định lí Ta-let) Ba mặt phẳng đơi một song song chắn trên hai
cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
1.1.2. Vectơ trong không gian. Quan hệ vng góc.
a. Vectơ trong khơng gian
• Định nghĩa: Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá
của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 7


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

• Các định lí:
- Định lí 1: Trong khơng gian cho hai vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ khơng cùng phương và
vectơ 𝑐⃗. Khi đó ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số 𝑚, 𝑛 sao cho 𝑐⃗ =
𝑚𝑎⃗ + 𝑛𝑏⃗⃗. Ngoài ra cặp số 𝑚, 𝑛 là duy nhất.
- Định lí 2: Trong khơng gian cho ba vectơ khơng đồng phẳng 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗. Khi
đó với mọi 𝑥⃗ ta đều tìm được một bộ ba số 𝑚, 𝑛, 𝑝 sao cho 𝑥⃗ = 𝑚𝑎⃗ + 𝑛𝑏⃗⃗ + 𝑝𝑐⃗. Ngoài
ra bộ ba số 𝑚, 𝑛, 𝑝 là duy nhất.
b. Hai đường thẳng vng góc
• Định nghĩa: Hai đường thẳng được gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa
chúng bằng 900 .
c. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng
• Đường thẳng d được gọi là vng góc với mặt phẳng (α) nếu d vng góc
với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) .
• Các định lí, hệ quả, tính chất:
- Định lí : Nếu một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt nhau
cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vng góc với mặt phẳng ấy.
- Hệ quả: Nếu một đường thẳng vng góc với hai cạnh của một tam giác
thì nó cũng vng góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.
- Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và
vng góc với một đường thẳng cho trước.
- Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và
vng góc với một mặt phẳng cho trước.
• Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc của đường thẳng và

mặt phẳng.
- Tính chất 1:
+ Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vng góc với đường
thẳng này thì cũng vng góc với đường thẳng kia.
+ Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì song
song với nhau.
- Tính chất 2:
+ Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vng góc với mặt
phẳng này thì cũng vng góc với mặt phẳng kia.
+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song
song với nhau.
- Tính chất 3:
+ Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng
nào vuông góc với (α) thì cũng vng góc với a.
+ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó)
cùng vng góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.
SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

d. Hai mặt phẳng vng góc
• Góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường
thẳng lần lượt vng góc với hai mặt phẳng đó.
• Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vng góc với nhau nếu góc giữa
hai mặt phẳng đó là góc vng.

• Các định lí và hệ quả:
- Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vng góc với nhau là
mặt phẳng này chứa một đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia.
- Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng vng góc với nhau thì bất cứ đường thẳng
nào nằm trong mặt phẳng này và vng góc với giao tuyến thì vng góc với mặt
phẳng kia.
- Hệ quả 2: Cho hai mặt phẳng (α) và (𝛽) vng góc với nhau. Nếu từ một
điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dựng một đường thẳng vng góc với mặt phẳng (𝛽) thì
đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (α).
- Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vng góc với mặt phẳng
thứ ba thì giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba đó.
e. Khoảng cách
• Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Cho đường thẳng
a song song với mặt phẳng (α). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là
khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (α), kí hiệu là d(a, (α)).
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng
kia.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
- Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a,b và cùng vng góc với
mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vng góc chung của a và b.
- Nếu đường vng góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần
lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau a và b.
1.2. Dạy học giải toán
1.2.1. Yêu cầu đối với lời giải toán:
- Lời giải khơng có sai lầm: Lời giải khơng có sai sót về kiến thức tốn học, về
suy luận và tính tốn, về hình vẽ và kí hiệu, về trình bày,…
- Lập luận phải có căn cứ chính xác: Các bước trong lời giải phải có cơ sở lí
luận, nghĩa là phải dựa vào các định nghĩa, định lí, tính chất, qui tắc, công thức,…đã

được học, các giả thiết đã cho.
- Lời giải phải đầy đủ: Lời giải phải bao hàm hết tất cả các khả năng có thể
xảy ra đối với một tình huống.
SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 9


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

- Trình bày phải đầy đủ, rõ ràng.
1.2.2. Các bước của hoạt động giải toán:
Hoạt động giải toán thường diễn ra theo bốn bước sau:
- Bước 1: Tìm hiểu bài tốn.
- Bước 2: Tìm kiếm, lựa chọn phương hướng giải (chương trình giải).
- Bước 3: Soạn thảo lời giải.
- Bước 4: Kiểm tra, đánh giá kết quả và lời giải; đề xuất hướng giải khác
(nếu có)
1.2.3. Về tiến trình giải tốn
Giải tốn là việc thực hiện một cách có hệ thống các hành động phức tạp, là sự
kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, nhiều quan hệ tốn học; cần có sự chọn lọc sáng tạo
các phương pháp giải quyết vấn đề. Vì vậy, giải bài tốn là tìm kiếm một cách có ý
thức các phương tiện thích hợp để đạt được mục đích của bài tập. Đó là một q trình
tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức, kỹ năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để
giải quyết vấn đề đã cho.
Theo Howard Gardner, G. Polya,… thì tiến trình lao động của học sinh khi
giải một bài tốn có thể theo các hướng sau:
- Hướng tổng quát hóa: Hướng này dựa trên quan điểm tổng hợp, chuyển từ

một tập hợp đối tượng trong bài toán sang một tập hợp khác lớn hơn và chứa đựng tập
hợp ban đầu.
- Hướng cụ thể hóa: Hướng này dựa trên quan điểm phân tích, chuyển bài
tốn ban đầu thành những bài tốn thành phần có quan hệ logic với nhau. Chuyển tập
hợp các đối tượng trong bài toán ban đầu sang một tập hợp con của nó, rồi từ tập con
đó tìm ra lời giải của bài tốn hoặc một tình huống hữu ích cho việc giải bài tốn đã
cho.
- Hướng chuyển bài toán về bài toán trung gian: Khi gặp bài tốn phức tạp,
học sinh có thể đi giải các bài toán trung gian để đạt đến từng điểm một, rồi giải bài
tốn đã cho hoặc có thể giả định điều kiện đối lập với bài tốn đang tìm cách giải và
xác định hệ quả của điều khẳng định kia hay đưa về bài toán liên quan dễ hơn, một bài
toán tương tự hoặc một phần bài tốn, từ đó rút ra những điều hữu ích để giải bài tốn
đã cho.
1.3. Một số khó khăn của học sinh khi học hình học khơng gian lớp 11
1.3.1. Hình học khơng gian là một mơn học khó
- Nội dung mơn học được xây dựng theo phương pháp tiên đề, tuy nhiên hệ
tiên đề đưa ra vẫn chưa đầy đủ, suy luận cịn có phần dựa vào trực giác. Bên cạnh đó
q trình chứng minh cần đảm bảo tính chặt chẽ; các suy luận, chứng minh phải có căn
cứ. Đây là một điều rất khó đối với học sinh.
SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 10


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

- Học sinh không chỉ phải hiểu, phải nhớ tất cả các lí thuyết đã học mà cịn
phải biết các phương pháp giải tốn hình để vận dụng lí thuyết. Từ đó, giải được một

bài tốn hình học khơng gian ở một yêu cầu nhất định. Như vậy vẫn còn một khoảng
cách khá xa giữa lí thuyết và thực hành.
- Ngồi ra, hình học khơng gian là một bộ mơn phong phú, sinh động, mang
nhiều tính sáng tạo. Học sinh cần được giúp đỡ nhiều về trí tưởng tượng khơng gian,
óc quan sát, phán đốn và những suy luận có lí. Những mặt này học sinh còn chưa
quen, còn nhiều bỡ ngỡ.
1.3.2. Nội dung, chương trình của mơn hình học khơng gian có nhiều vấn đề
• Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian. Quan hệ song song.
Chương này trình bày đại cương về đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ song
song giữa chúng. Học xong chương này học sinh cần đạt được các yêu cầu sau:
- Nắm vững các điều kiện xác định mặt phẳng.
- Nắm vững các vị trí tương đối giữa các đường thẳng, giữa các mặt phẳng,
giữa đường thẳng và mặt phẳng; đặc biệt là quan hệ song song giữa chúng.
- Nắm được cách xác định thiết diện của một hình khi cắt bởi một mặt
phẳng.
- Nắm được cách vẽ hình biểu diễn của một hình.
• Chương III: Vectơ trong khơng gian. Quan hệ vng góc.
Nội dung mà học sinh cần đạt được sau khi học xong chương này là:
- Bước đầu biết sử dụng vectơ vào việc thiết lập quan hệ vng góc.
- Vận dụng được các điều kiện vng góc của đường thẳng và mặt phẳng
vào việc giải toán.
- Nắm được khái niệm và cách tính góc, khoảng cách giữa một số đối tượng
trong hình học khơng gian.
❖ Nhận xét: Như vậy, nội dung của mơn học thì nhiều, u cầu sau mỗi
chương cũng khá cao nhưng thời gian dành cho môn học lại ít, số tiết trải ra khá rời
rạc, do đó thời gian để rèn luyện các kĩ năng giải bài tập cũng rất hạn chế. Điều đó gây
khó khăn cho việc ghi nhớ, củng cố và khắc sâu kiến thức của các em.
1.3.3. Bài tập hình học khơng gian đa dạng, phức tạp
- Bài tập hình học khơng gian rất đa dạng và phong phú ở nhiều mức độ khác
nhau, từ đơn giản đến phức tạp.

- Các bài tập chứng minh đều được triển khai theo con đường lập luận logic,
chứng minh suy diễn theo công thức sau:
𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ∩ … ∩ 𝐴𝑛 => 𝐵
Trong đó 𝐴𝑖 hoặc là giả thiết hoặc là các tiên đề, các định lí, các mệnh đề đã
được chứng minh đúng đắn trước đó; B là mệnh đề cần chứng minh, trong khi đó
chứng minh lại dựa vào các hình vẽ trực quan. Chẳng hạn “điểm”,”đường thẳng”, “mặt
phẳng” là những khái niệm cơ bản, trừu tượng chỉ hiểu qua các tiên đề. Nhiều học sinh
SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 11


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

bị ngộ nhận đồng nhất giữa những cái trừu tượng với cái dùng để mơ tả trực quan
chúng. Do đó, gây nên nhiều khó khăn khi học sinh giải các bài tập HHKG.
1.3.4. Khó khăn từ tư tưởng học tập của học sinh
Trong thực tế, học sinh thường ngại hoặc sợ môn học. Các em thường có suy
nghĩ là hình học chỉ chiếm 1/3 thời lượng chương trình bộ mơn tốn nên chỉ cần học
đại số. Từ tư tưởng đó, khi tiếp xúc với HHKG, các em thường cảm thấy môn học này
q khó, khơng thể hiểu và tiếp thu kiến thức nên các em thường né tránh, bỏ bê việc
học tập bộ môn HHKG ngay từ đầu dẫn đến việc mất kiến thức căn bản về HHKG.
Đây là khó khăn lớn cho những thầy cô trực tiếp giảng dạy HHKG 11.
1.3.5. Khó khăn trong việc nắm vững kiến thức
Trong chương trình mơn hình học phẳng, học sinh chủ yếu được học và làm
quen với hai đối tượng cơ bản là điểm và đường thẳng; tìm hiểu các mối quan hệ liên
quan như: Quan hệ giữa điểm với điểm, điểm với đường thẳng và đường thẳng với
đường thẳng.

Khi tiếp xúc với HHKG, sự khác biệt cơ bản giữa HHKG và hình học phẳng
chính là đưa thêm vào chương trình khái niệm mặt phẳng. Từ đó tạo nên nhiều mối
quan hệ: Quan hệ giữa điểm với đường thẳng, giữa điểm với mặt phẳng, giữa đường
thẳng với đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa mặt phẳng với mặt
phẳng.
HHKG khá trừu tượng nên việc nắm vững các định lí là rất khó khăn và trực
giác khơng mang lại kết quả như trong hình học phẳng. Do đó, nảy sinh nhiều vấn đề
trong định hướng tìm thuật giải, cách giải đối với các bài tập không gian. Điều này
khiến cho môn học HHKG trở nên phức tạp, vì vậy việc nắm vững kiến thức của bộ
môn này trong thời gian ngắn là điều vô cùng khó đối với học sinh.
1.3.6. Những khó khăn trong việc vẽ hình và đọc hình khơng gian
- Trong hình học phẳng, hình vẽ có thể biểu diễn một cách tường minh, phản
ánh trung thực hình dạng và kích thước. Mọi quan hệ như quan hệ liên thuộc, quan hệ
thứ tự, quan hệ song song, quan hệ vng góc,…giữa các đối tượng đều được biểu
diễn một cách trực quan. Do vậy, trong việc học hình học phẳng, học sinh có thể dựa
hồn tồn vào trực quan để phỏng đốn kết luận hay tìm hướng giải cho một bài tốn.
- Trong hình học khơng gian, hình vẽ được biểu diễn trên mặt phẳng thông
qua các phép chiếu xuyên tâm, phép chiếu song song hoặc là phép chiếu vng góc.
Do vậy, hình phẳng không thể phản ánh trung thực các mối quan hệ như quan hệ
vng góc, quan hệ bằng nhau,…của các đối tượng. Vì thế, muốn vẽ hình và đọc được
hình thì học sinh khơng thể dựa hồn tồn vào trực quan mà phải dựa vào hệ thống qui
ước kết hợp với tư duy logic, trí tưởng tượng khơng gian.
- Vậy, do thói quen khi học hình phẳng đồng thời năng lực tưởng tượng khơng
gian của các em cịn yếu nên gây ra nhiều khó khăn trong việc vẽ hình, đọc hình và tìm
SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 12


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

ra những mối quan hệ dựa vào hình vẽ. Ngồi ra, một số trường hợp hình vẽ chưa thể
hiện được hết giả thiết của bài tốn, hình vẽ sai gây nên sự bế tắc trong việc tìm lời
giải.
Ví dụ 1:
Trong hình học phẳng, cho bốn điểm A, B, C, D (với ba điểm bất kì khơng
cùng thuộc một đường thẳng). Ta tạo được tứ giác ABCD và hai đường chéo AC, BD
luôn cắt nhau tại một điểm.

Trong không gian, cho bốn điểm A, B, C, D (với ba điểm bất kì khơng cùng
thuộc một đường thẳng). Ta phải xét hai trường hợp:
+ Trường hợp 1: Nếu A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng, ta được
ABCD với hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại một điểm (như ở trên).
+ Trường hợp 2: Nếu A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng thì ta
có được tứ diện ABCD với hai đường AC và BD chéo nhau (không cắt nhau).

Tuy nhiên, đối với học sinh, khi cho bốn điểm A, B, C, D trong khơng
gian thì các em ln cho rằng chỉ xảy ra trường hợp thứ nhất.
- Bên cạnh đó, một số học sinh cịn chịu ảnh hưởng q nặng nề của hình học
phẳng. Do vậy, khi vẽ hình trong HHKG lại tuân thủ một cách máy móc về độ dài,
diện tích, góc,…điều này cũng gây khó khăn cho việc giải toán HHKG.
1.4. Những sai lầm học sinh thường mắc phải khi học HHKG
Những khó khăn kể trên là trở ngại rất lớn trong quá trình học HHKG và nó
cũng chính là ngun nhân sinh ra những sai lầm đáng tiếc cho học sinh khi học
SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 13

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

HHKG. Sau đây là một số sai lầm, phân tích nguyên nhân của những sai lầm, đồng
thời định hướng cách khắc phục những sai lầm ấy.
1.4.1. Sai lầm trong lời giải
a. Sai lầm khi vẽ hình
Do khơng nắm vững về qui tắc vẽ hình khơng gian nên nhiều học sinh đã mắc
phải những sai lầm sau:
- Không thể hiện đúng những nét đứt và những nét liền
Ví dụ 2: Vẽ hình chóp S.ABCD
* Một số học sinh đã vẽ như sau:

* Sai lầm: Học sinh không tưởng tượng được các đoạn thẳng AB, AD, SA
bị khuất hoặc quên vẽ các đoạn AB, AD, SA là nét đứt. Thông thường lỗi này các em
hay mắc phải khi mới bắt đầu làm quen với hình khơng gian.
* Hình vẽ đúng:

- Hình vẽ thể hiện sai một số tính chất
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD, với các mặt của tứ diện là những tam giác
nhọn. Dựng AH ⊥ BC, dựng đường trung tuyến AM của tam giác ACD.
* Một số học sinh vẽ hình như sau:
SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

* Sai lầm:
+ Các em vẫn chịu ảnh hưởng từ tư duy trực quan của hình học phẳng,
vẽ đường AH ⊥ BC, tuy nhiên trong khơng gian tính chất vng góc khơng nhất thiết
phải thể hiện như hình vẽ của hình học phẳng.
+ Các em không thể hiện được sự bằng nhau của hai đoạn thẳng CM và
DM vì có suy nghĩ sai lầm như do góc nhìn bị lệch nên hình vẽ khơng bảo tồn dược
tính chất bằng nhau giữa hai đoạn thẳng.
* Hình vẽ đúng:
+ Vì tam giác ABC nhọn nên với AH là đường cao thì H nằm giữa hai
điểm B, C. Giáo viến cần nhấn mạnh các qui tắc của biểu diễn hình khơng gian như
tính vng góc khơng nhất thiết phải thể hiện như trong hình phẳng.
+ Giáo viên cần nhấn mạnh về qui tắc bảo toàn quan hệ bằng nhau trong
biểu diễn hình khơng gian, do vậy nên khi M là trung điểm CD thì trên hình vẽ phải
biểu diễn được MC = MD.

- Hình vẽ không phản ánh hết giả thiết đề bài

SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 15


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vng với cạnh

huyền 𝐵𝐶 = 𝑎, góc nhọn 𝐵̂ = α. Các cạnh bên của hình chóp hợp với đáy những góc
bằng nhau và bằng 𝛽. Tính diện tích xung quanh của hình chóp.
* Bài làm của học sinh:

̂ = 𝑆𝐴𝐻
̂ = 𝑆𝐵𝐻
̂ =𝛽
Kẻ 𝑆𝐻 ⊥ mp(ABC), ta có: 𝑆𝐶𝐻
Mặt khác. Kẻ 𝐻𝐼 ⊥ AB, HJ ⊥ BC, HK ⊥ AC.
Theo định lí ba đường vng góc ta có:
𝑆𝐼 ⊥ AB, SK ⊥ AC, SJ ⊥BC.
1

1

1

2

2

2

Suy ra: 𝑆𝑥𝑞 = 𝑆𝑆𝐴𝐵 + 𝑆𝑆𝐴𝐶 + 𝑆𝑆𝐵𝐶 = 𝐴𝐵. 𝑆𝐼 + 𝐴𝐶. 𝑆𝐾 + 𝐵𝐶. 𝑆𝐽
Ta dễ dàng tính được SI, SJ, SK theo 𝑎, α,𝛽.
* Sai lầm: Học sinh không vận dụng hết các điều kiện trong giả thiết, do
vậy hình vẽ khơng hiện lên một sự liên hệ nào có thể giúp ta thực hiên được việc tính
tốn.
* Bài giải đúng:
Kẻ 𝑆𝐻 ⊥ mp(ABC) và 𝐻𝐼 ⊥ AB, HK ⊥ AC.

Nhận xét: Ta có thể thấy rằng các tam giác vuông sau bằng nhau:
̂ = 𝑆𝐴𝐻
̂ = 𝑆𝐵𝐻
̂ = 𝛽)
∆𝑆𝐴𝐻 = ∆𝑆𝐵𝐻 = ∆𝑆𝐶𝐻 (vì 𝑆𝐻 chung, 𝑆𝐶𝐻
Do vậy: 𝑆𝐴 = 𝑆𝐵 = 𝑆𝐶 và 𝐻𝐴 = 𝐻𝐵 = 𝐻𝐶.
Suy ra: H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì ∆𝐴𝐵𝐶 vng tại A nên H là trung điểm BC.
Lại có: trong mặt phẳng (ABC), tứ giác AIHK là hình chứ nhật
Nên I là trung điểm AB và K là trung điểm AC.
Lúc này ta có hình vẽ:

SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 16


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

Theo định lí ba đường vng góc ta có: 𝑆𝐼 ⊥ AB, SK ⊥ AC
1

1

1

2

2

2

Lúc này ta có: 𝑆𝑥𝑞 = 𝑆𝑆𝐴𝐵 + 𝑆𝑆𝐴𝐶 + 𝑆𝑆𝐵𝐶 = 𝐴𝐵. 𝑆𝐼 + 𝐴𝐶. 𝑆𝐾 + 𝐵𝐶. 𝑆𝐻
Ta dễ dàng tính được: 𝐴𝐵 = 𝑎. 𝑐𝑜𝑠α, AC = a. sinα
𝑎
𝑎
𝑎
𝑆𝐻 = 𝐻𝐵. 𝑡𝑎𝑛𝛽 = 𝑡𝑎𝑛𝛽, 𝐻𝐼 = 𝑠𝑖𝑛α, HK = 𝑐𝑜𝑠α
2

2

2

2

𝑆𝐼 = 𝑆𝐻 + 𝐻𝐼 =

2

𝑎2
4

𝑆𝐾 2 = 𝑆𝐻 2 + 𝐻𝐾 2 =

2

2

𝑎

2

(𝑡𝑎𝑛 𝛽 + 𝑠𝑖𝑛 α) ⇔ SI = √(𝑡𝑎𝑛2 𝛽 + 𝑠𝑖𝑛2 α)
2

𝑎2
4

𝑎

(𝑡𝑎𝑛2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 α) ⇔ SK = √(𝑡𝑎𝑛2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 α)
2
1

1

1

2

2

2

Vậy 𝑆𝑥𝑞 = 𝑆𝑆𝐴𝐵 + 𝑆𝑆𝐴𝐶 + 𝑆𝑆𝐵𝐶 = 𝐴𝐵. 𝑆𝐼 + 𝐴𝐶. 𝑆𝐾 + 𝐵𝐶. 𝑆𝐻
=

𝑎2
4

(𝑐𝑜𝑠√𝑡𝑎𝑛2 𝛽 + 𝑠𝑖𝑛2 α + 𝑠𝑖𝑛α√𝑡𝑎𝑛2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 α + 𝑡𝑎𝑛𝛽)

** Ngồi ra các em cịn mắc phải một số các sai lầm khác như: Ngộ nhận các
đường thẳng chéo nhau là cắt nhau do hình vẽ, vẽ kí hiệu vng góc sai, khơng kí hiệu
trong hình vẽ,…
b. Sai lầm về kiến thức cơ bản
Các sai lầm này nảy sinh do các em không nắm vững được các định nghĩa,
định lí, hệ quả. Ngồi ra, các em cịn sử dụng các định lí, hệ quả một cách chủ quan
dựa trên trực giác và những ý nghĩ của hình học phẳng. Chẳng hạn học sinh thường có
suy nghĩ sai lầm như:
- Một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì song song với mọi
đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
- Ln dựng được một mặt phẳng đi qua 4 điểm phân biệt cho trước.
- Một đường thẳng a vng góc với một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng
(P) thì a vng góc với (P),…
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a và
SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Gọi B’ là trung điểm của SB. Chứng minh
rằng: AB’ ⊥ (SBC).
SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 17


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

* Bài làm của học sinh:
Ta có: 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝑎
⇒ Tam giác SAB cân tại A.
Theo giả thiết, B’ là trung điểm của SB nên AB’ là đường cao của tam giác
SAB
⇒ AB’ ⊥ SB (1)
⇒ AB là hình chiếu của AB’ lên mặt phẳng (ABCD)
Mà AB ⊥ BC nên AB’ ⊥ (SBC)
* Sai lầm: Học sinh hiểu sai về định nghĩa hình chiếu vng góc của một
đường thẳng lên một mặt phẳng, dẫn tới các suy luận sai.
* Bài giải đúng:
Vì 𝑆𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝑎 nên tam giác SAB là tam giác cân tại A.
⇒ Trung tuyến AB’ của tam giác cũng chính là đường cao.
⇒ AB’ ⊥ SB (1)
Ta có: ABCD là hình vng nên AB ⊥ BC
Lại có: SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC
⇒ BC ⊥ (SAB)
Và AB’  (SAB) (vì B’ (SAB))
⇒ BC ⊥ AB’(2)
Từ (1) và (2) suy ra: AB’ ⊥ (SBC) (điều phải chứng minh)
c. Sai lầm về suy luận
Do tính trực giác, tư duy thiếu logic nên trong một vài trường hợp, các em làm
bài theo cảm tính, suy luận khơng chặt chẽ dẫn tới sai trong một vài trường hợp.
Ví dụ 6: Có tồn tại hay khơng những hình chóp tứ giác có hai mặt đối diện
cùng vng góc với mặt phẳng đáy ?
* Bài giải của học sinh:

SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 18

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

Giả sử hình chóp S.ABCD có hai mặt đối diện (SAD) và (SBC) cùng vng
góc với mặt đáy.
Dựng SM ⊥ AD và SN ⊥ BC
̂ , 𝑆𝑁𝑀
̂ lần lượt là góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) với mặt
⇒ 𝑆𝑀𝑁
đáy (ABCD)
̂ , 𝑆𝑁𝑀
̂ khơng thể cùng là góc vng
Vì SMN là một tam giác, nên 𝑆𝑀𝑁
Do đó (SAD) và (SBC) khơng thể cùng vng góc với mặt phẳng đáy.
Vậy khơng tồn tại hình chóp thỏa mãn đề bài.
* Sai lầm:
- Suy luận đã dựa vào một mệnh đề sai “Nếu (P), (Q) là hai mặt phẳng cắt
nhau theo giao tuyến a, thì góc giữa (P), (Q) là góc giữa đường thẳng b nằm trong (P)
và vng góc với a với một đường thẳng bất kì nằm trong (Q) và đi qua giao điểm của
a,b”.
̂ , 𝑆𝑁𝑀
̂ lần
- Suy luận sai lầm trên dẫn tới hai mệnh đề kết luận sai: “𝑆𝑀𝑁
lượt là góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) và đều là góc vng”. Mệnh đề sai
này lại trở thành tiên đề cho bước suy luận tiếp theo là “Tam giác SMN có hai góc
vng”.
* Bài giải đúng:

Vẫn tồn tại hình chóp tứ giác có hai mặt đối diện cùng vng góc với mặt
phẳng đáy.
Thật vậy: Cho hình chóp S.ABC với 𝑆𝐴 ⊥ (𝐴𝐵𝐶)

SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 19


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

Ta có: (𝑆𝐴𝐶 ) ⊥ (ABC) và (𝑆𝐴𝐵) ⊥ (𝐴𝐵𝐶)
Trên cạnh AC ta lấy điểm M bất kì (M khơng trùng với A và C)
Trên cạnh AB ta lấy điểm N bất kì (N khơng trùng với A và B)
Lúc này ta có hình vẽ:

Dễ dàng thấy được: (𝑆𝑀𝐶) ⊥ (𝑀𝑁𝐵𝐶) và (𝑆𝑁𝐵) ⊥ (𝑀𝑁𝐵𝐶)
Như vậy, hình chóp S.MNBC là hình chóp thỏa mãn đề bài.
d. Sai lầm trong trình bày
Khi trình bày lời giải của một bài toán, học sinh thường mắc phải những sai
lầm sau:
- Nhầm lẫn hoặc thiếu sót về kí hiệu.
- Sử dụng nhiều kí hiệu viết tắt, bài làm ẩu thả, khơng rõ ràng, mạch lạc.
- Tính tốn khơng cẩn thận, sai đáp số.
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA ⊥
(ABCD). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB, SD.
Chứng minh: MN // BD và SC ⊥ (AMN).

SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 20


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

* Bài làm của học sinh:
Hai ∆ ⊥ SAB và SAD bằng nhau (cạnh AB = AD = a và SA chung) có các đường
cao tương ứng là AM và AN nên BM = DN.
Mặt khác: M  SB, N  SD ⇒ MN  SBD
Xét ∆ 𝑆𝐵𝐷 có SB = SD
⇒ ∆𝑆𝐵𝐷 cân tại S và có BM = DN nên

𝐵𝑀
𝑆𝐵

=

𝐷𝑁
𝑆𝐷

⇒ MN // BD.
Ta có: BC ⊥ SAB nên BC ⊥ AM
Mặt khác: SB ⊥ AM (theo gt)
⇒ AM ⊥ SBC
⇒ AM ⊥ SC
Tương tự ta chứng minh được AN ⊥ SCD

⇒ AN ⊥ SC
⇒ SC ⊥ AMN (đpcm).
* Sai lầm:
- Học sinh viết tắt trong bài làm (∆ ⊥ SAB và SAD)
- Học sinh sử dụng sai kí hiệu (MN  SBD)
- Học sinh khơng sử dụng kí hiệu mặt phẳng (như mặt phẳng (SAB) viết SAB)
- Bài làm chưa rõ ràng, chưa gọn.
1.4.2. Sai lầm trong lập luận
Trong một số trường hợp, học sinh đưa ra lời giải thiếu những bước quan
trọng hoặc đưa ra những kết luận thiếu cơ sở, dẫn tới bài làm chưa chặt chẽ, chưa
logic.
Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Dựng thiết diện của hình
lập phương với một mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh DD’, trung điểm N của
cạnh D’C’ và đỉnh A.
* Bài làm của học sinh:

SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 21


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

Do hai mặt bên (BB’A’A) và (CC’D’D) song song với nhau nên giao tuyến
của hai mặt phẳng này với mặt phẳng (AMN) cũng phải song song với nhau. Do đó:
(AMN) ∩ (BB’A’A) = AB’ (AB’ // MN)
Lại có: (AMN) ∩ (AA’D’D) = AM
(AMN) ∩ (DD’C’C) = MN

(AMN) ∩ (A’B’C’D’) = B’N
Vậy, thiết diện cần tìm là tứ giác AB’NM.
* Sai lầm: Học sinh đã biết giao tuyến giữa mặt phẳng (AMN) và (AA’B’B)
là đoạn thẳng đi qua A và song song với MN, trực giác cho thấy giao tuyến đó là
đường AB’. Tuy nhiên, điều này chưa đúng vì chưa có cơ sở chứng minh MN // AB’.
* Bài giải đúng:

Ta có: (AMN) ∩ (AA’D’D) = AM
Trong mặt phẳng (AA’D’D) dựng P = AM ∩ A’D’
Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) ta nhận thấy B’, N, P thẳng hàng.
Thật vậy, ta có:
Lại có:

𝐷′𝑁
𝐴′𝐵′

=

𝑀𝐷 ′
𝐴𝐴′

1

𝑃𝐷 ′

2

𝑃𝐴′

= ⇒

=

1
2

1
2

Nên, PN đi qua B’ và

𝑁𝐵′
𝑃𝐵′

=

1
2

(AMN) ∩ (A’B’C’D’) = B’N
(AMN) ∩ (CC’D’D) = MN
(AMN) ∩ (AA’B’B) = AB’
Do đó, thiết diện cần tìm là hình AMNB’.
1.4.3. Lời giải chưa đầy đủ
Trong một số bài tốn, do khơng biết phân hoạch các trường hợp nên các em
thường xét thiếu những trường hợp đặc biệt, dẫn đến bài làm có nhiều sai sót.
Ví dụ 9: Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau và một điểm M bất kì. Dựng
đường thẳng d qua M và cắt hai đường thẳng a, b.
* Bài làm của học sinh:
SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 22


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

- Qua đường thẳng a và điểm M ta dựng được một mặt phẳng (P)
- Qua đường thẳng b và điểm M ta dựng được một mặt phẳng (Q)
- Gọi đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q)
Suy ra: d đi qua M và cắt hai đường thẳng a, b.
Vậy, đường thẳng d cần dựng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

* Sai lầm: Học sinh chỉ xét một vị trí của điểm M đối với hai đường thẳng a
và b. Nhưng không xét những trường hợp đặc biệt khác. Với cách giải này, học sinh
cho rằng bài tốn ln có nghiệm.
* Bài giải đúng:
Cách dựng:
- Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và điểm M.
- Dựng mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng b và điểm M.
- Dựng giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Chứng minh:
- M là điểm chung của (P) và (Q) nên M nằm trên giao tuyến d của (P) và
(Q)
- Mặt khác, d và a nằm trong (P) nên thường cắt nhau, d và b nằm trong
(Q) nên thường cắt nhau
- Do vậy, đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biện luận:
- Hai mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt vì a và b là hai đường thẳng chéo

nhau.
- Nếu d không song song với a hay b thì bài tốn có một nghiệm hình.
- Nếu d song song với a hay song song với b thì bài tốn vơ nghiệm.

SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 23


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: ThS Ngơ Thị Bích Thủy

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC CÁC SAI LẦM THƯỜNG
GẶP CỦA HỌC SINH KHI HỌC HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Xuất phát từ nguyên nhân của những khó khăn, sai lầm đã được phân tích ở
chương 1 thì q trình dạy học nên chú ý:
- Rèn luyện tư duy logic cho học sinh, các suy luận phải có căn cứ chính xác.
- Bồi dưỡng trí tưởng tượng khơng gian cho học sinh. Học sinh cần phải có ý
thức và thói quen liên hệ với thực tế.
- Hệ thống hóa kiến thức.
- Cung cấp cho học sinh một số phương pháp giải toán hình chủ yếu. Rèn
luyện để học sinh thành thạo những phương pháp này.
- Rèn luyện cách thể hiện nội dung tốn học sao cho:
+ Vẽ hình đúng, rõ ràng.
+ Diễn đạt bằng lời chính xác và bằng kí hiệu tốn học đúng, đầy đủ.
Qua quá trình nghiên cứu chương 1, tôi đề xuất một số biện pháp sau:
2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kĩ năng tư duy logic cho học sinh
2.1.1. Xây dựng và sắp xếp hệ thống các bài tập từ đơn giản đến phức tạp
Việc sắp xếp và xây dựng hệ thống bài tập từ đơn giản đế phức tạp (từ dễ đến

khó) ln là một việc cần thiết và quan trọng trong quá trình dạy học. Tư duy logic của
học sinh sẽ được rèn luyện nâng cao dần từ những dạng toán đơn giản đến phức tạp.
Tùy theo khả năng học tập mà học sinh có thể tiếp thu những mức độ bài tập khác
nhau, phù hợp với bản thân. Cũng chính từ hệ thống những câu hỏi, những bài tập như
vậy sẽ giúp cho học sinh có được những nhìn nhận sâu sắc hơn về bài tập HHKG, tạo
nhiều hứng thú hơn trong quá trình học tập bộ mơn. Đây là một phương pháp tốt để
góp phần nâng cao tư duy logic cho học sinh.
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P), điểm A không thuộc mặt phẳng (P), M  (P),
HM là hình chiếu vng góc của AM lên mặt phẳng (P), E là điểm thuộc AM sao cho
𝑀𝐸
𝑀𝐴

= 𝑘.

a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).
b. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (P), từ đó suy ra khoảng cách từ I
(I là trung điểm của AM) đến mặt phẳng (P).
c. Gọi d là đường thẳng qua I song song với mặt phẳng (P). Lấy J thuộc d,
tính khoảng cách từ J đến mặt phẳng (P).
d. Gọi C là chân đường vuông góc của J lên mặt phẳng (P). D là trung điểm
của JC. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (P).
Lời giải

SVTH: Đặng Thảo Trang

Trang 24