Tài liệu HS gioi huyen 08-09

UBND huyện Châu Thành CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG GIÁO DỤC Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008
Môn thi : Toán
Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian phát đề )
(Học sinh không phải chép đề vào giấy thi)
ĐỀ
Bài 1: (2 điểm)
Cho đa thức f(x) =
3 2
ax 2ax ax 4+ − −
a) Xác đònh a để f(x) chia hết cho x – 1
b) Với a tìm được chứng minh f(x) chia hết cho 8, với mọi x nguyên lẻ
Bài 2: (1 điểm)
Chứng minh rằng :
yxyx
+
≥+
411
với
yx,
∀
>0
Bài 3: (3 điểm)
= − + −
− +
− + − = − +
2
2
a) Tìm GTLN của 7 9

b) Tìm GTNN của = 16 66
c) Giải phương trình 7 9 16 66
A x x
B x x
x x x x
Bài 4: (2 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A. Từ trung điểm K của cạnh BC kẻ đường thẳng
vuông góc với AK, đường thẳng này cắt tia AB tại D, cắt tia AC tại E. Gọi I là trung
điểm của đoạn thẳng ED.
a) Chứng minh rằng AI ⊥ BC.
b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không? Tại sao?
Bài 5: (2 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lần lượt lấy 2 điểm E và F. Sao
cho
AE CF
BE DF
=
.
Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của đoạn EF thì AC
chia diện tích tứ giác ABCD thành hai phần bằng nhau.
-----HẾT-----
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008
Môn thi : Toán
Bài 1: (2 điểm)
a/ Vì f(x) chia hết cho x – 1 nên f(1) = 0. Do đó:
3
a.1 2a.1 a.1 4 0+ − − =
Suy ra: a = 2. Vậy: f(x) =
3 2
2x 4x 2x 4+ − −

b/ Ta có: f(x) =
3 2
2x 4x 2x 4+ − −
=
( )
3 2
2 x 2x x 2+ − −
=
( ) ( )
2
2 x x 2 x 2
 
+ − +
 
=
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 x 2 x 1 2 x 2 x 1 x 1+ − = + + −
Vì x lẻ nên x -1 và x + 1 là 2 số chẵn liên tiếp nên tích của chúng chia hết cho 8
Vậy: f(x) chia hết cho 8.
Bài 2: (1 điểm) Xét hiệu :
yxxy
yx
yxyx
+
−
+
=

+
−








+
4411
=
( )
( ) ( )
( )
( )
OyxO
yxxy
yx
yxxy
yxyx
yxxy
xyyx
>∀≥
+
−
=
+
+−

=
+
−+
,
24
2
22
2
Dấu = xảy ra  x = y
Bài 3: (3 điểm)
( ) ( )
) Tìm giá trò lớn nhất của 7 9
2
2 2 ( 7)(9 ) 2 7 9 4
2
4 2
2 7 9 8
2
) Tìm giá trò nhỏ nhất của 16 66

a A x x
A x x x x
A A
Max A x x x
b B x x
B x
= − + −
= + − − ≤ + − + − =
≤ ⇒ ≤
⇒ = ⇔ − = − ⇔ =

= − +
= −
( )
2
8 2 2
2 8 0 8Min B x x
+ ≥
⇒ = ⇔ − = ⇒ =
( )
2
) Giải phương trình: -7 9 10 66
Ta có: vế trái 7 9 2 điều kiện: 7 x 9
2
vế phải 8 2 2
Theo đề bài nên 2 . Do đó 8
Vậy 8 thỏa mãn phương trình đ
c x x x x
A x x
B x
A B A B x
x
+ − = − +
= − + − ≤ ≤ ≤
= − + ≥
= = = =
= ã cho.
Bài 4 : (2đ)
a/ Do ABC vuông ở A, K là trung điểm của BC nên
suy ra : KB = KC = KA
KAC cân ở K nên

ˆ ˆ
KAC KCA= (1)
Mặt khác ADE vuông ở A, I là trung điểm của DE nên:
ID = IE = IA; IAE cân nên
ˆ
ˆ
IAE IEA=
(2)
Vì AK ⊥ DE nên
0
ˆ
ˆ
90IEA KAE+ = (3)
Từ (1), (2), và (3)
0
ˆ ˆ
90KCA IAE⇒ + =
Do đó
0
ˆ
90AHC = hay AH ⊥ BC
E
H
I
K
D
B
C
A
b/ Do AI ≥ AK hay

2 2
DE BC
≥
nên DE ≥ BC
Vậy DE không thể nhỏ hơn BC . (ABC vuông cân thì DE = BC )
Bài 5: (2 điểm)
Gọi D
1
, B
1
, E
1
, và F
1
lần lượt là hình chiếu của D, B, E, F trên AC.
Xét : EE
1
I và FF
I
I. Ta có:
EE
1
I = FF
I
I (c. huyền, góc nhọn)
 EE
1
= FF
1
(1)

1
1 1
1
1
1 1
1
// (2)
// (3)
⇒ =
⇒ =
EE
AE
EE BB
BB AB
FF CF
FF DD
DD CD

Mặt khác:
1 1
1 1
1 1
1 1

Do đó từ (2) và (3)
mà (theo (1))
1
2
ABC ADC ABCD
AE CF AE CF

BE DF AE BE CF DF
AE CF
AB CD
EE FF
EE FF
BB DD
BB DD
S S S
∆ ∆
= ⇒ =
+ +
⇒ =
⇒
= =
⇒ =
⇒ = =