Tai lieu on thi toan 11 HKI

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.28 MB, 68 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Va
Va

VaVấááánnnn đđđđeeeềààà 2222 :::: PHEPHEPHEPHÉÙÙÙPPPP TTTTỊỊỊỊNHNHNHNH TIETIETIETIẾÁÁÁNNNN
A.

A.A. KIEA.KIEKIEKIẾÁÁÁNNNN THTHTHTHỨỨỨỨCC CCCCCCƠƠƠƠ BABABABẢÛÛÛNNNN

′ ′ =

��

� �

1 ĐN : Phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép dời hình biến điểm M thành điểm M sao cho MM u.

′ ′

= ⇔ =

�� �

� �

Kí hiệu : T hay T .Khi đó : T (M) Mu u MM u

Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định khi biết vectơ tịnh tiến của nó .
Nếu T (M) M , M thì T là phép đồng nha át .o o

2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) v à phép tịnh tiến Tu

= ∀

� �

� �

′
⎧

′ ′ ′

⎯⎯→ = ⎨ ′

⎩

� x = x + a

M(x;y) M =T (M) (x ; y ) thì u

y = y + b

i
i

3 Tính chất :

ĐL : Phép tịnh tiến bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì .
HQ :

1. Bảo tồn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
2. Biến một tia thành tia .

3. Bảo tồn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
5. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .

6. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .

⎯⎯→ ⎯⎯→

Bieán

7. tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm I trực tâm , trọng tâm I trọng tâm )
′ ′

⎯⎯→
8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó .
(Tâm biến thành tâm : II I , R = R )

�
�

��PHPHPHPHƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNG PHAPHAPHAPHÁÙÙÙPPPP TTTTÌÌÌÌMMMM AẢÛÛÛNHAANHNHNH CUCUCUCỦÛÛÛAAAA MOMỘÄÄÄTMOMOTTT ĐĐĐĐIEIEIEIỂÅÅÅMMMM
′

⎧

′ ′ ′

⎯⎯→ = ⎨ ′

⎩

� x = x + a

M(x;y) M =T (M) (x ; y ) thì u

y = y + b

I
�

��PHPHPHPHƯƠƯƠƯƠƯƠNGNGNGNG PHAPHÁÙÙÙPPHAPHAPPP TTTTÌÌÌÌMMMM AAAẢÛÛÛNHNHNHNH CUCUCUCỦÛÛÛAAAA MOMỘÄÄÄTMOMOTTT HHHHÌÌÌÌNHNHNHNH (H)(H)(H)(H) ....

′ ′

∈ ⎯⎯→ ∈

′

≡ ⎯⎯→ ≡

i
i

Cách 1 : Dùng tính chất (cùng phương của đthẳng , bán kính đường trịn : khơng đổi )
1. Lấy M (H) M (H )

2. (H) đường thẳng (H ) đường thẳng cùng phương

′

⎧+ ⎧+

′ ′ ′

≡ ⎨ ⎯⎯→ ≡ ⎨

′

⎩ ⎩

′ ′

Taâm I Taâm I

(H) (C) (H ) (C ) (cần tìm I ) .
+ bk : R + bk : R = R

Cách 2 : Dùng biểu thức tọa độ .

Tìm x theo x , tìm y theo y rồi thay vào biểu thức tọa độ .

Cách 3

′ ′ ′

∈ ⎯⎯→ ∈

: Laáy hai điểm phân biệt : M, N (H) I M , N (H )
B,

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

′ −

′ ′

⎧ − = ⎧ =

′ ⇔ ′= ⇔ ′− ′+ = ⇔⎨ ⇔⎨

′+ = ′= −

⎩ ⎩

�
�� �

�

1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M của điểm M(3; 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2;1) .
Giải

x 3 2 x 5

Theo định nghóa ta có : M = T (M)u MM u (x 3;y 2) (2;1)

y 2 1 y 1

′

⇒ −

−

�
�

M(5; 1)
2 Tìm ảnh các điểm chỉ ra qua phép tịnh tiến theo vectơ u :

a) A( 1;1) , u = (3;1) ⇒ ′
−

� A (2;3)
b) B(2;1) , u = ( 3;2) ⇒ ′ −

′

− � − ⇒

B ( 1;3)

c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1)

′ ′
′ ′

′ = ′ =

�
��

� �

3 Trong mpOxy . Tìm ảnh A ,B lần lượt của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (3;1) .
Tính độ dài AB , A B .

Giaûi

Ta coù : A = T (A) (5;4) , B = T (B)u u = ′ ′ ′ ′ =

= = =

= ⇔ = = ⇔ =

��

� � � � � �

�� � ��

� �

1 2

(4;2) , AB = |AB| 5 , A B = |A B | 5 .
4 Cho 2 vectơ u ; u . Gỉa sử M1 2 1 T (M),Mu 2 Tu (M ). Tìm v để M1 2 T (M) .v
Giải

Theo đề : M1 T (M)u MM1 u , M1 2 Tu (M )1 M M1 2

= ⇔ = ⇒ = = + = =

�

�� � � �� � � � � �
�

u .2

Neáu : M2 T (M)v MM2 v v MM2 MM1 M M1 2 u + u .Vaäy : v u + u1 2 1 2
′

∆ − ∆

∆ � −

5 Đường thẳng cắt Ox tại A( 1;0) , cắt Oy tại B(0;2) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh
của qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; 1) .

′= = − ′= =

′

⎧ − ⎧ = +

′ ′ ′ ′ ′ ′

∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⎨ ⇒ ∆ ⎨

= − +

′ ′ ⎩

⎩

� �

� ��

i
Giải Vì : A T (A) (1; 1) , Bu T (B) (2;1) .u

qua A (1; 1) x 1 t

Mặt khác : T ( )u đi qua A ,B . Do đó : ptts :

y 1 2t

VTCP : A B = (1;2)

′

∆ ∆

∆ − −

′ = = −

�
�

6 Đường thẳng cắt Ox tại A(1;0) , cắt Oy tại B(0;3) . Hãy viết phương trình đường thẳng là ảnh
của qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 1; 2) .

Giaûi

Vì : A T (A)u (0; 2) , ′ = = −

′

⎧ − ⎧ = −

′ ′ ′ ′ ′ ′

∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ ⎨ ⇒ ∆ ⎨

= − +

′ ′ − ⎩

⎩

∆ − −

�

� ��

i
�

B T (B)u ( 1;1) .

qua A (0; 2) x t

Mặt khác : T ( )u đi qua A ,B . Do đó : ptts :

y 2 3t
VTCP : A B = ( 1;3)

7 Tương tự : a) : x 2y 4 = 0 , u = (0 ; 3) ⇒ ∆′ − + =
′

∆ + − � − − ⇒ ∆ + + =

: x 2y 2 0

b) : 3x y 3 = 0 , u = ( 1 ; 2) : 3x y 2 0

8 Tìm ảnh c + − = −

′ ′

⎧ ⎧ −

⇔

⎨ ′ ⎨ ′

−

⎩ ⎩

∈

�

2 2

ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (1; 3) .
Giải

x = x + 1 x = x 1
Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến T là : u

y = y 3 y = y + 3

Vì : M(x;y) ( + − = ⇔ ′ + ′+ = ⇔ ′ ′ ′ ∈ ′ + + =

′ + + =

2 2 2 2 2 2

C) : (x + 1) (y 2) 4 x (y 1) 4 M (x ;y ) (C ) : x (y 1) 4

2 2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

⎯⎯→ + −

∆ − +

9 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (x 1; y 2) .
a) CMR f là phép dời hình .

b) Tìm ảnh của đường thẳng ( ) : x 2y 3

−

− − + −

2 2

2 2 2

= 0.

c) Tìm ảnh của đường trịn (C) : (x + 3) + (y 1) = 2 .
d) Tìm ảnh của parabol (P) : y = 4x .

ÑS : b) x 2y 2 = 0 c) (x + 2) + (y 1) = 2 d) (y + 2) = 4(x
′

⎯⎯→ −

10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = ( x ; y) . Khẳng định nào sau đây
sai ?

A. f là 1 phép dời hình B.

∈

Nếu A(0 ; a) thì f(A) = A

C. M và f(M) đối xứng nhau qua trục hoành D. f [ M(2;3)] đường thẳng 2x + y + 1 = 0
ĐS : Chọn C . Vì M và f(M) đối xứng nhau qua trục tung →C sai .

− + + = −

′ ′

⎧ − ⎧

⇔

⎨ ′ ⎨ ′

+ −

⎩ ⎩

�
�

2 2

9 Tìm ảnh của đường trịn (C) : (x 3) (y 2) 1 qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 2;4) .
x = x 2 x = x + 2

Giải : Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến T là : u

y = y 4 y = y 4

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

∈ − + + = ⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − =

′ − + − =

2 2 2 2 2 2

Vì : M(x;y) (C) : (x 3) (y 2) 1 (x 1) (y 2) 1 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 1

2 2

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

′

− + + = ⇒ − + − =

′

+ − + − = −

�
�

2 2 2 2

BT Tương tự : a) (C) : (x 2) (y 3) 1, u = (3;1) (C ) : (x 1) (y 2) 1
2 2

b) (C) : x y 2x 4y 4 0, u = ( 2;3) (C ) + + − − =

− −

2 2

: x y 2x 2y 7 0
10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác định toạ độ các đỉnh C và D của hình bình hành ABCD biết đỉnh
A( 2;0), đỉnh B( 1;0) và giao điểm các đường chéo là I(1;2) .

Giaûi

= − − = = −

⎧ − = ⎧ =

⇔ = ⇔⎨ ⇔⎨ ⇒

− = =

⎩ ⎩

��

��
��

Gọi C(x;y) .Ta có : IC (x 1;y 2),AI (3;2),BI (2; 1)
Vì I là trung điểm của AC neân :

x 1 3 x 4

C = T (I) IC AI C(4;4)

AI y 2 2 y 4

Vì I là trung điểm của AC nên :

D = ⇔ = ⇔⎧⎪⎨ − = ⇔⎧⎪⎨ = ⇒

− = =

⎪ ⎪

⎩ ⎩

− ⇒ −

′
��

�� xD 1 2 xD 3

T (I) ID BI D(3;4)

BI yD 2 2 yD 4

Bài tập tương tự : A( 1;0),B(0;4),I(1;1) C(3;2),D(2; 2) .
11 Cho 2 đường thẳng song song nhau d và d . Hãy chỉ ra một

′

′ ′

∈ ∈

′ ′

∈ ⇔ =

��
��

phép tịnh tiến
biến d thành d . Hỏi có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế ?

Giải : Chọn 2 điểm cố định A d , A d

Lấy điểm tuỳ ý M d . Gỉa sử : M = T (M) MM AB
AB

′ ′ ′ ′ ′

⇒ = ⇒ ⇒ ∈ ⇒

′
′ ′

�� ��

MA M B M B / /MA M d d = T (d)

AB
Nhận xét : Có vô số phép tịnh tiến biến d thành d .

12 Cho 2 đường tròn (I,R) và (I ,R ) .Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến (I,R) ′ ′

′ ⇔ ′= ′

′

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

⇒ = ⇒ = = ⇒ ∈ ⇒

′

��
��

�� ��

thành (I ,R ) .
Giải : Lấy điểm M tuỳ ý trên (I,R) . Gỉa sử : M = T (M) MM II

IM I M I M IM R M (I ,R ) (I ,R ) = T [(I,R)]
II

13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố định , tâm I thay đổi di động
trên đường trịn (C) .Tìm quỹ tích trung điểm M của cạnh BC.

Giải

Gọi J là trung điểm cạnh AB . Khi đó d =
��
��

��

ễ thấy J cố định và IM JB .
Vậy M là ảnh của I qua phép tịnh tiến T . Suy ra : Quỹ tích của M là

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Tu+ v� �

′

14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax . Gọi T là phép tịnh tiến theo vectơ u = (m,n)
và (P ) là ảnh của (P) qua phép tịnh tiến đó . Hãy viết phương trình của ′

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

⎯⎯⎯→ − −

′ ′

⎧ − ⎧ −

′ ⇔⎨ ⇔⎨

′− ′−

⎩ ⎩

′ ′ ′

∈ = ⇔ − − ⇔

� �� � ��

��
u

(P ) .
Giaûi :

M(x;y) M (x ;y ) , ta có : MM = u , với MM = (x x ; y y)
x x = m x = x m

Vì MM = u

y y = n y = y n

2 2

Maø : M(x; y) (P) : y ax y n = a(x m) y =
I

′− + ⇔ ′ ′ ′ ∈ ′ − +

′ − + ⇔ − + +

∆ − ≠ ∆ ∆

�
�

� �

2 2

a(x m) n M (x ;y ) (P ) : y = a(x m) n

2 2 2

Vậy : Ảnh của (P) qua phép tịnh tiến T là (P ) : y = a(x m)u n y = ax 2amx am n .
15 Cho đt : 6x + 2y 1= 0 . Tìm vectơ u 0 để = T ( ) . u

Gi ∆ − ∆ ∆ ⇔ − = −

⇒ −

− −

� � � � �

�

ải : VTCP của là a = (2; 6) . Để : = T ( )u u cùng phương a . Khi đó : a = (2; 6) 2(1; 3)
chọn u = (1; 3) .

16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 2 điểm A( 5;2) , C( 1;0) . Biết : B = T (A) , C = T (B) . Tìm u và v�u �v � �
để có thể thực hiện phép biến đổi A thành C ?

Giaûi

− ⎯⎯⎯Tu�→ ⎯⎯⎯Tv�→ −

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

− − −
⎯⎯⎯�→ ⎯ �→

� �

u v

17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho 3 điểm K(1;2) , M(3; 1),N(2; 3) và 2 vectơ u = (2;3) ,v = ( 1;2) .
Tìm ảnh của K,M,N qua phép tịnh tiến T rồi T .u v

T T

HD : Gỉa sử : A(x;y)I BI ⎯⎯ ′ ′ = = ⇒ = + = + =

′ ′

⎧ − = ⎧ =

′ + ⇔ ′= ⇔⎨ ⇔⎨ ⇒ ′

′− = ′=

⎩ ⎩

′ ′

�� � �� � �� � �
��

� �

C(x ;y ) . Ta coù : AB u,BC v AC AB BC u v (1;5)

x 1 1 x 2

Do đó : K =Tu v(K) KK (1;5) K (2;7) .

y 2 5 y 7

Tương tự : M (4;4) , N (3;2) .

18 Trong hệ trụ ∆ − − ∆

′
≠

′ ′ ′
⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→

� �

�

� �

u u

c toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B( 2;4) , C( 4;5) . G là trọng tâm ABC và phép
tịnh tiến theo vectơ u 0 biến A thành G . Tìm G = T (G) .u

Giaûi

T T

A(3;0)I G( 1;3)I G (x ;y

′ ′

⎧ + = − ⎧ = −

′ ′

= − = = ⇔⎨ ⇔⎨ ⇒ −

′− = ′=

⎩ ⎩

′

− + + = + − + + =

�� � �� � ) x 1 4 x 5

Vì AG ( 4;3) u . Theo đề : GG u G ( 5;6).

y 3 3 y 6

2 2 2 2

19 Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường tròn (C) : (x 1) (y 3) 2,(C ) : x y 10x 4y 25 0.

Có hay không phe ′

′ ′ ′

− −

′

�

�
ùp tịnh tiến vectơ u biến (C) thành (C ) .

HD : (C) có tâm I(1; 3), bán kính R = 2 ; (C ) có tâm I (5; 2), bán kính R = 2 .
Ta thấy : R = R = 2 nên có phép tịnh tiến theo vectơ u ′

− ∈ ∆ − −

=
��
i

= (4;1) biến (C) thành (C ) .

20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A( 2;1) và B :2x y 5 = 0 . Tìm tập
hợp đỉnh C ?

Giải

Vì OABC là hình bình hành nên : BC = − ⇒ = −

′ ′

⎧ − = ⎧ = −

′ ′

⎯⎯⎯→ = ⇔⎨ ⇔⎨

′− = − = ′+

⎩ ⎩

′ ′ ′ ′ ′

∈ ∆ ⇔ − − ⇔ − − ⇔ ∈ ∆ − −

∆
�

�� �

�
��

i
i

AO (2; 1) C T (B) với u = (2; 1)u

T x x 2 x x 2

B(x;y) C(x ;y ) . Do : BC u

y y 1 y y 1

B(x;y) 2x y 5 = 0 2x y 10 = 0 C(x ;y ) : 2x y 10 = 0
21 Cho ABC . Goïi A ,B ,C 1 1 1

lần lượt là trung điểm các cạnh BC,CA,AB. Gọi O ,O ,O và I ,I ,I1 2 3 1 2 3
tương ứng là các tâm đường tròn ngoại tiếp và các tâm đường tròn nội tiếp của ba tam giác AB C ,1 1

BC A1 ∆ = ∆

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

⇒ ∆ ⎯⎯⎯⎯→ ∆ ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→

⇒

��

1 1 1

AB AB AB

2 2 2

, và CA B . Chứng minh rằng : O O O I I I .

1 1 1 1 2 3 1 2 3

HD :

Xét phép tịnh tieán : T1 bieán A C,C1 B,B1 A .1
AB

T T T

AB C1 1 C BA ;O1 1 1 O ;I2 1 I .2

I I I

�

= ⇒ =

= = ⇒ = = ⇒ ∆ = ∆

��

��
��

O O1 2 I I1 2 O O1 2 I I .1 2

Lý luận tương tự : Xét các phép tịnh tiến T1 ,T1 suy ra :
BC CA

2 2

O O2 3 I I vaø O O2 3 3 1 I I3 1 O O2 3 I I ,O O2 3 3 1 I I3 1 O O O1 2 3 I I I (1 2 3

�

c.c.c).

� � �

�

= = = =

��

� � �

��
BC

22 Trong tứ giác ABCD có AB = 6 3cm ,CD 12cm , A 60 ,B 150 và D 90 .
Tính độ dài các cạnh BC và DA .

HD :

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

= − + + = ⇒ =
∆

= + − = + − =

⇒

⇒ ∆
�

Lại có : BCD 360 (90 60 150 ) 60 MCD 30 .
Định lý hàm cos trong MCD :

2 2 2 2 2

MD MC DC 2MC.DC.cos30 (6 3) (12) 2.6 3.12. 36
2
MD = 6cm .

Ta coù : MD = CD vaø MC = MD 3 MDC là tam giác
2

� �

� � �

⇒ ∆ ⇒ = =

= = = ⇒ ∆

� �

�

đều
MCD là nửa tam giác đều DMC 90 và MDA 30 .
Vậy : MDA MAD MAB 30 AMD là tam giác cân tại M .

⊥ ⇒ ⇒ � =6 3 ⇒ =

Dựng MK AD K là trung điểm của AD KD=MDcos30 cm AD 6 3cm
2

Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 6 3cm

Va

VaVaVấááánnnn đđđđeeeềààà 3333:::: PHEPHÉÙÙÙPPHEPHEPPP ĐĐĐĐOỐÁÁÁIIII XOO XXXỨỨỨỨNGNGNGNG TRUTRUTRUTRỤÏÏÏCCCC
A

A

AA ,,,, KIEKIEKIEKIẾÁÁÁNNNN THTHTHTHỨỨỨỨCC CCCCCCƠƠƠƠ BABABABẢÛÛÛNNNN
′

′

1 ĐN1: Điểm M gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đ ường trung trực của đoạn
MM .

Phép đối xứng qua đường thẳ ng còn gọi là phép đối xứn

′

g trục . Đường thẳng a gọi là trụ c đối xứng.
ĐN2 : Phép đối xứng qua đường tha úng a là phép biến hình biến mỗi đi ểm M thành điểm M đối xứng
với M qua đường tha

′ ′

= ⇔ = −

��

a o o o

úng a .

Kí hiệu : Đ (M) M M M M M , với M là hình chiếu của M trên đường thẳng a .
Khi đó :

∈ =

i Nếu M a thì Đ (M) M : xem M là đối xứng với chính nó qua a . ( M còn gọi là điểm bất động ) a

′ ′

∉ = ⇔

iM a thì Đ (M) Ma a là đường trung trực củ a MM

a a

Đ (M) M thì Ñ (M ) M= ′ ′ =
i

a a

Ñ (H) H thì Đ (H ) H , H là ảnh của hình H .= ′ ′ = ′
i

⇔ =

i d

ĐN : d là trục đối xứng của hình H Đ (H) H .

Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định khi biết trục đối xứng của nó .

Chú ý : Một hình có thể khơng có trục đối xứng ,có thể có một hay nhiều trục đối xứng .

′ ′ ′

⎯⎯→ = =

′ ′

⎧ ⎧ −

≡ ⎨ ≡ ⎨

′ − ′

⎩ ⎩

2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) M Đ (M) (x ;y )

x = x x = x

ª d Ox : ª d Oy :

y = y y = y

i

3 ĐL : Phép đối xứng trục là một phép dời hình .

1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các
điểm tương ứ

HQ :

⎯⎯→
ng .

2. Đường thẳng thành đường thẳng .

3. Tia thành tia .

4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .

5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâmI trực tâm , trọn ⎯⎯→
′ ′
⎯⎯→

g tâm trọng tâm )
6. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . (Tâm biến thành tâm : I I , R = R )

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

PP : Tìm ảnh M = Đ (M)
1. (d) M , d a

2. H = d a

3. H là trung điểm của MM M ?
′

•

∋ ⊥

∩

′→ ′
′

∆ ∆

∆

∈ ∆ ≠

′

′ ′ ′ ′

∆ ∋ ∆ → ∆

ª PP : Tìm ảnh của đường thẳng : = Đ ( )
TH1: ( ) // (a)

1. Laáy A,B ( ) : A B
2. Tìm ảnh A = Đ (A)
3. A , // (a)

�

∆

∆ ∩
∈ ∆ ≠
′

∆ ≡

TH2 : // a
1. Tìm K = a

2. Lấy P : P K .Tìm Q = Đ (P)
3. (KQ)

�

ª PPPPPPPP::::Tìm M ( ) : (MA + MB)∈ ∆ min.
∈ ∆

∆

′ ∆

′ ′

∀ ∈ ∆ = ≥

′ ⇔ ′ ∩ ∆

min

min
Tìm M ( ) : (MA+ MB)

Loại 1 : A, B nằm cùng phía đối với ( ) :
1) gọi A là đối xứng của A qua ( )

2) M ( ), thì MA + MB MA + MB A B
Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( )
�

∆

∀ ∈ ∆ ≥

⇔ ∩ ∆

min

Loại 2 : A, B nằm khác phía đối với ( ) :
M ( ), thì MA + MB AB

Ta coù: (MA+MB) = AB M = (AB) ( )
�

B

BBB .... BABABABÀØØØIIII TATATATẬÄÄÄPPPP

′ ′′

⎯⎯⎯→ĐOx − ⎯⎯⎯→ĐOy − −

1 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(2;1) đối xứng qua Ox , rồi đối xứng qua Oy .
HD : M(2;1) M (2; 1) M ( 2; 1)

2 Trong mpOxy . Tìm ảnh của M(a;b) đối xứng qua Oy , rồi đối xứ

I I

′ ′′

⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯→ − −

′ ′′

− − ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

′ ′′

− ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

ÑOy Ñ

Ña Ñb

ng qua Ox .
HD : M(a;b) M ( a;b) M ( a; b)

3 Cho 2 đường thẳng (a) : x 2 = 0 , (b) : y + 1 = 0 và điểm M( 1;2) . Tìm : M M M .
HD : M( 1;2) M (5;2)

I I

I I −

−

′′ ⎯⎯⎯→ ′ ′ ′ ⎯⎯⎯→ ′′ ′′ ′′
′

⎧ = −

′
⎯⎯⎯⎯→ ⎨

′ =
⎩

Đa Đb

tđ(m;y) tđ(

M (5; 4) [ vẽ hình ] .
4 Cho 2 đường thẳng (a) : x m = 0 (m > 0) , (b) : y + n = 0 (n > 0).

Tìm M : M(x;y) M (x ; y ) M (x ; y ).

x 2m x
HD : M(x;y) M

y y

I I⎯⎯⎯⎯⎯⎯− − → ′′⎧⎨ ′′= −

′′ = − −
⎩

−

′ ′

− ∩ → − → − −

−

2m x; n)

x 2m x
M

y 2n y
5 Cho điểm M( 1;2) và đường thẳng (a) : x + 2y + 2 = 0 .

HD : (d) : 2x y + 4 = 0 , H = d a H( 2;0) , H là trung điểm của MM M ( 3; 2)

6 Cho điểm M( 4; ⇒ ′ = −

′

∆ − − ∆ ∆

−
≠
i

a
a

1) và đường thẳng (a) : x + y = 0 . M = Đ (M) ( 1; 4)
7 Cho 2 đường thẳng ( ) : 4x y + 9 = 0 , (a) : x y + 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .

HD :

4 1

Vì

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

∩ −

′

≡ ∈ − −

′

≡ +

i
i
i

a
a

HD : a Ox = K( 3;0) .

3 9
M O(0;0) Ox : M = Ñ (M) = ( ; ) .

5 5
b KM : 3x + 4y 9 = 0 .

9 Tìm b = Đ (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 .−
∩

≡ ∈

⎧

∆⎨ → ∆ − =

⊥
⎩

∩ ∆ → →

≡ −

i
i
i
i
i

HD : a Ox = K(3;0) .
P O(0;0) Ox .
+ Qua O(0;0)

: 3x y 0
+ a

3 9 3 9

E = a E( ; ) là trung điểm OQ Q( ; ) .

10 10 5 5

b KQ : 3x + 4y 9 = 0 .

1 −

∩ →

∈ ⇒ −

i
i

0 Tìm b = Đ (a) với đường thẳng (a) : x + 3y 3 = 0 .
Giải :

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay)
Cách 2 : K= a Ox K(3;0)

P(0;1) a Q = Ñ (P) = (0; 1 )
i b KQ : x 3y 3 = 0 .≡ − −

′

∆ − − − ∆ ∆

∆

′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ → ∈ ∆ ⇒ ∆ ≡

′ ′ ′ ′ ′

∈ ∆ → ∈ ∆ ⇒ ∆ ∆ ∆ ∋

11 Cho 2 đường thẳng ( ) : x 2y + 2 = 0 , (a) : x 2y 3 = 0 . Tìm ảnh = Đ ( ) .
PP : / /a

Caùch 1 : Tìm A,B A ,B A B
Cách 2 : Tìm A A / / , A

′

∈ ∆ → = = −

′ ′ ′ ′

∆ ∋ ∆ ∆ ⇒ ∆ − − =

′

+ − = −

′ − + =

i
i

2 2

Giaûi : A(0;1) A Ñ (A) (2; 3)
A , / / : x 2y 8 0

12 Cho đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 1 , đường thẳng (a) : 3x y + 1= 0 . Tìm (C ) = Đ [(C)]
HD : (C ) : (x 3) y 1 .

∆ −

∆ ∆

∆ = Ox ∆

13 Trong mpOxy cho ABC : A( 1;6),B(0;1) và C(1;6) . Khẳng định nào sau đây sai ?
A. ABC cân ở B B. ABC có 1 trục đối xứng

C. ABC Ñ ( ABC) D. Trọng tâm : G = ĐOy(G)
HD : Chọn D

− ∆ − + + =

∆ −

′

2 2

14 Trong mpOxy cho điểm M( 3;2), đường thẳng ( ) : x + 3y 8 = 0, đường tròn (C) : (x+3) (y 2) 4.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : x 2y + 2 = 0 .

Giải : Gọi M , ∆′ ′ ∆

⎧ −

′ ⎨

⊥
⎩

⊥ → + ∋ − ⇒ ⇒ +

i
i

( ) và (C ) là ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục a .
Qua M( 3;2)

a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) :
a

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

′
′
′ ′
′
′
⎧
= +

⎪
′
∩ ⇒ − ⇒ ⇔ ⎨
⎪ = +
⎩
⎧
− = − +
⎪ ⎧ = −
′
⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ − −
= −
⎩
⎪ = +
⎩
′
∆
≠ ⇒ ∆
−
i

H M M

M M

M
M

x (x x )

2
+ H = (d ) (a ) H ( 2;0 ) H la ø tru n g ñ ie åm c u ûa M ,M H

y (y y )

2
1

2 ( 3 x ) x 1

M ( 1; 2 )

1 y 2

0 (2 y )

2
b ) T ìm a ûn h ( ) :

1 3

V ì ( ) c a ét (a

1 2 ⇒ ∆ ∩

⎧ −

⇒ ⎨ ⇔

−
⎩
) K = ( ) (a )

x + 3 y 8 = 0

T o a ï ñ o ä c u ûa K la ø n g h ie äm c u ûa h eä : K (2; 2 )
x 2 y + 2 = 0

≠ ⇒ − −
⎧ −
⎨
⊥
⎩
i
i
i
a

Lấy P K Q = Đ [P( 1;3)] = (1; 1) . ( Làm tương tự như câu a) )
Qua P( 1;3)

Gọi đường thẳng (b) :

a
⊥ → + ∋ − ⇒ − ⇒ + −
∩ ⇒ ⇒ ⇔
⎧ ⎧
= + = − +
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⇔ ⎨ ⇔⎨ ⇔
⎪ = + ⎪ = +
⎪ ⎪
⎩ ⎩

E P Q Q

+ (b) (a) (b) : 2x y + m = 0 . Vì (b) P( 1;3) m = 1 (b) : 2x y 1 = 0
+ E = (b) (a) E(0;1) E là trung điểm cuûa P,Q

1 1

x (x x ) 0 ( 1 x ) x

2 2

1 1

y (y y ) 1 (3 y )

2 2
⎧ =
⎪
⇒ −
⎨
= −
⎪
⎩
⎧ − −
′ ′
∆ ≡ ⎨ ⇒ ∆ = ⇔ − − =
= − − = −
⎩
i ��
i
Q
Q
1
Q(1; 1)
y 1

Qua K(2;2) x 2 y 2

+ ( ) (KQ) : ( ) : 3x y 4 0

1 3

VTCP : KQ ( 1; 3) (1;3)

{

−
′
′ ′
⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
′
= = =
−
+
i i
i i

Đa Đa

c) + Tìm ảnh của tâm I( 3;2) như câu a) .

Tâm I Tâm I

+ Vì phép đối xứng trục là phép dời hình nên (C): (C ) : .Tìm I I

R 2 R R 2

+ Tâm I( 3;2)
Vậy : (C)

BK :
I I

{

⎯⎯⎯→ ′ ⎧⎪ ′ − − = −
⎨
⎪+ ′

⎩
′
→ + + − =
Đa a
2 2
2 2
+ Tâm I = Ñ [ I( 3; 2)] ( ; )

(C ) 5 5

R = 2

BK : R = R = 2

2 2

(C ) : (x ) (y ) 4

5 5
I
− ∆ − + − =
∆ −
−
2 2

15 Trong mpOxy cho điểm M(3; 5), đường thẳng ( ) : 3x + 2y 6 = 0, đường tròn (C) : (x+1) (y 2) 9.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phép đối xứng trục (a) : 2x y + 1 = 0 .

HD :

a) M(3; 5) I⎯⎯⎯→ ′ − − + + = − −
∆ ∩ →
′
∈ ∆ ≠ − ⇒ ∆ ≡ − + =
−
Ña
a

33 1 9 13

M ( ; ),(d) : x 2y 7 0,tđiểm H( ; )

5 5 5 5

4 15
b) + K= (a) K( ; )

7 7

+ P ( ) : P(2;0) K , Q = Ñ [P(2;0)] = ( 2;2) ( ) (KQ) : x 18y 38 0
c) + I(1; 2) ⎯⎯⎯Ña→I (′ −9 8; ) , R = R = 3 ′ ⇒(C ) : (x + )′ 9 2+(y−8)2 =9

5 5 5 5

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

− ∆ − + − + + =
∆

′
⎧ =
′

⎯⎯⎯→ ⎨

′
= −
⎩
ÑOx

16 Cho điểm M(2; 3), đường thẳng ( ) : 2x + y 4 = 0, đường tròn (C) : x y 2x 4y 2 0.
Tìm ảnh của M, ( ) và (C) qua phé p đối xứng qua Ox .

x x
HD : Ta coù : M(x;y) M (

y y

′
⎧ =
⇒ ⎨

′ = −
⎩
′

− ⎯⎯⎯→

i ÑOx

x x

1) (2)

y y

Thay vaøo (2) : M(2; 3) M (2;3)

′ ′ ′ ′ ′ ′

∈ ∆ ⇔ − − ⇔ ∈ ∆ − −

′ ′ ′ ′

∈ + − + + = ⇔ + − − + =

′ ′ ′ ′ ′ ′

⇔ − + − = ⇔ ∈ − + − =

i 2 2 2 2

2 2 2 2

M(x;y) ( ) 2x y 4 = 0 M (x ;y ) ( ) : 2x y 4 = 0 .
M(x;y) (C) : x y 2x 4y 2 0 x y 2x 4y 2 0

(x 1) (y 2) 3 M (x ;y ) (C ) : (x 1) (y 2) 3
−

′ ′

⎧ = ⎧ =

′

⎯⎯⎯→ ⎨ ⇒⎨

′= − = − ′

⎩ ⎩

′ ′ ′ ′ ′

∈ − ⇔ − − ⇔ + ⇔

Ox
ÑOx

17 Trong mpOxy cho đường thẳng (a) : 2x y+3 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .

x x x x

Giải : Ta có : M(x;y) M

y y y y

Vì M(x;y) (a) : 2x y+3 = 0 2(x ) ( y )+3 = 0 2x y +3 = 0 M (

′ ′ ∈ ′ +
′

⎯⎯⎯→ÑOy +

x ; y ) (a ) : 2x y + 3 = 0
Vaäy : (a)I (a ) : 2x y + 3 = 0

+ − −

′ ′

⎧ = − ⎧ = −
′

⎯⎯⎯→ ⎨ ⇒⎨

′= = ′

⎩ ⎩

′ ′ ′ ′ ′

∈ + − − ⇔ − + − − ⇔ +

2 2

Oy
ÑOy

2 2 2 2 2

18 Trong mpOxy cho đường tròn (C) : x y 4y 5 = 0 . Tìm ảnh của a qua Đ .

x x x x

Giải : Ta có : M(x;y) M

y y y y

Vì M(x;y) (C) : x y 4y 5 = 0 ( x ) y 4(y ) 5 = 0 x

− −

′ ′ ′ ′

⇔ ∈ + − −

′

⎯⎯⎯→ + − −

2
2 2

ÑOy 2 2

y 4y 5 = 0
M (x ; y ) (C ) : x y 4y 5 = 0

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

− − ∆ − + + − − +
−

2 2
a

19 Trong mpOxy cho đthẳng (a) : 2x y 3 = 0 , ( ) : x 3y 11 = 0 , (C) : x y 10x 4y 27 = 0 .
a) Viết biểu thức giải tích của phép đối xứng trục Đ .

b) Tìm ảnh của điểm M(4; 1) qua Ñ .

′ ′

∆ ∆ =

+ ≠

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

⎯⎯⎯→ = − − ⇒ =

′
⇒

�� � �� �

a a

2 2
Đa

c) Tìm ảnh : ( ) = Đ ( ),(C ) Đ (C) .
Giải

a) Tổng quát (a) : Ax + By + C=0 , A B 0

Goïi M(x;y) M (x ; y ) , ta có : MM (x x; y y) cùng phương VTPT n = (A;B) MM tn
x

′ ′

′ + +

⎧ − = ⎧ = +

′

⇒ ∀ ∈ ∈

⎨ ′ ⎨ ′

− = = +

⎩ ⎩

′ ′

+ + + + + +

⇔ + + = ⇔ + + =

−

⇔ + = − ⇔ =

ℝ

2 2

x x y y
x At x x At

( t ) . Gọi I là trung điểm của MM nên I( ; ) (a)

y y Bt y y Bt 2 2

x x y y x x At y y Bt

A( ) B( ) C 0 A( ) B( ) C 0

2 2 2 2

2(Ax + By + C)
(A B )t 2(Ax + By + C) t

A +
⎧

⎪

′ ′

⇒⎨ = − = −

⎪

⎩ + +

⎧ − − ⎧

′= − ′= − + +

⎪ ⎪

⇔

⎨ ⎨

− −

⎪ ′= + ⎪ ′= + −

⎪ ⎪

⎩ ⎩

′

− ⎯⎯⎯→ −

2 2

2 2 2 2

Ña

B
2A(Ax + By + C) 2B(Ax + By + C)

x x ; y y

A B A B

4(2x y 3) 3 4 12

x x x x y

5 5 5 5

Áp dụng kết quả trên ta có :

2(2x y 3) 4 3 6

y y y y y

5 5 5 5

4 7
b) M(4; 1) M ( ;

′

∆ ⎯⎯⎯→ ∆ + − =
′

⎯⎯⎯→ − + − =

Ña

Ña 2 2

)
5
c) : 3x y 17 0

d) (C) (C ) : (x 1) (y 4) 2

I
I

20 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : x 5y 7 = 0 và ( ) : 5x y 13 = 0 . Tìm phép đối xứng qua
trục biến ( ) thành ( ) .

′

∆ − + ∆ − −

′

∆ ∆

Giải
1 5

Vì ( ) và ( ) cắt nhau . Do đó trục đối xứng (a) của phép đối xứng biến ( ) thành ( ) chính

5 1

là đường phân giác của góc tạo bởi ( ) và ( ) .
−

′ ′

≠ ⇒ ∆ ∆ ∆ ∆

−

′

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

1
2

1 2

Từ đó suy ra (a) :

x y 1 0 (a )
1 25 25 + 1

Vậy có 2 phép đối xứng qua các trục ( ) : x y 5 0 , ( ) : x y 1 0

= ⇔ ⎢

− − =

+ ⎣

∆ + − = ∆ − − =

∈
a
21 Qua phép đối xứng trục Đ :

1. Những tam giác nào biến thành chính nó ?
2. Những đường trịn nào biến thành chính nó ?

HD :

1. Tam giác có 1 đỉnh trục a , hai đỉnh còn lại đ
∈

− + − =

′

→ + + −

2 2

ối xứng qua trục a .
2. Đường trịn có tâm a .

22 Tìm ảnh của đường trịn (C) : (x 1) (y 2) 4 qua phép đối xứng trục Oy.
PP : Dùng biểu thức toạ độ ĐS : (C ) : (x 1) (y 2 =

′ ′ ′

∆ ∆

′ ′ ′

− −

) 4

23 Hai ABC và A B C cùng nằm trong mặt phẳng toạ độ và đối xứng nhau qua trục Oy .
Biết A( 1;5),B( 4;6),C (3;1) . Hãy tìm toạ độ các đỉnh A , B và C .

′ ′ −

ÑS : A (1;5), B (4;6) và C( 3;1)

24 Xét các hình vng , ngũ giác đều và lục giác đều . Cho biết số trục đối xứng tương ứng của mỗi
loại đa giác đều đó và chỉ ra cách vẽ các trục đối xứng đó .

i
i
ĐS :

Hình vng có 4 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng
đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .

Ngũ giác đều co
i

ù 5 trục đối xứng ,đó là các đường thẳng đi qua đỉnh đối diện và tâm của ngũ giác đều .
Lục giác đều có 6 trục đối xứng , đó là các đường thẳng đi qua 2 đỉnh đối diện và các đường thẳng đi
qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện .

′
∆

′

25 Gọi d là phân giác trong tại A của ABC , B là ảnh của B qua phép đ ối xứng trục Đ . Khẳng định
nào sau đây sai ?

A. Nếu AB < AC thì B ở trên cạnh AC .
′

′ ≡
′

′ d ′ ∈

B. B là trung điểm cạnh AC .

C. Nếu AB = AC thì B C .
D. Nếu B là trung điểm cạnh AC thì AC = 2AB .
ĐS : Nếu B = Đ (B) thì B AC .

′ ′ ⇒ ′

′ ′ ⇒ ′≡

i
i
i

A đúng . Vì AB < AC mà AB = AB nên A B < AC B ở trên cạnh AC .

B sai . Vì giả thiết bài tốn khơ ng đủ khẳng định AB = AC.
2
C đúng . Vì AB = AB mà AB = AC nên A B = AC B C .

′ ′ ′

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
i

a b

Đa Đb

D đúng . Vì Nếu B là trung điểm cạ nh AC thì AC=2AB mà AB =AB nên AC=2AB .
26 Cho 2 đường thẳng a và b cắt nhau tại O . Xét 2 phép đối xứng trục Đ và Đ :
AI BI C

∈
∆
∆

. Khẳng định nào sau đây không sai ?
A. A,B,C đường tròn (O, R = OC) .

B. Tứ giác OABC nội tiếp .

C. ABC cân ở B
D. ABC vuông ở B

⇒

⇒ ⇒ ⇒ ∈

i
i

1 2

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

27 Cho ABC có hai trục đối xứng . Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. ABC là vuông B. ABC là vuông cân C. ABC là đều D. ABC là cân .
∆

⎧

⇒⎨ ⇒ = = ⇒ ∆

⎩

HD : Gỉa sử ABC có 2trục đối xứng là AC và BC
AB = AC

AB AB BC ABC đều .
BC = BA

� � �

� � � � � � � �

∆ = ∆

= = = =

o o o o o o o

28 Cho ABC có A 110 . Tính B và C để ABC
có trục đối xứng .

A. B = 50 vaø C 20 B. B = 45 vaø C 25 C. B = 40 vaø C 30 D. B = C 35
�

� � �

o o

o o o

HD : Chọn D . Vì : ABC có trục đối xứng khi ABC cân hoặc đều
Vì A 110 90 ABC cân tại A , khi đó :

180 A 180 110

B C 35

2 2

∆ ∆

= > ⇒ ∆

− −

= = = =

29 Trong các hình sau , hình nào có nhiều trục đối xứng nhất ?

A. Hình chữ nhật B. Hình vng C. Hình thoi D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn B. Vì : Hình vng có 4 trục đối xứng .

30 Trong các hình sau , hình nào có ít trục đối xứng nhất ?

A. Hình chữ nhật B. Hình vng C. Hình thoi D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn D. Vì : Hình thang cân có 1 trục đối xứng .

∆ ∆

31 Trong các hình sau , hình nào có 3 trục đối xứng ?

A. Hình thoi B. Hình vng C. đều D. vuông cân .
∆

ĐS : Chọn C. Vì : đều có 3 trục đối xứng .

32 Trong các hình sau , hình nào có nhiều hơn 4 trục đối xứng ?

A. Hình vng B. Hình thoi C. Hình trịn D. Hình thang cân .
ĐS : Chọn C. Vì : Hình trịn có vơ số trục đối xứng .

33 Trong các hình sau , hình nào khơng có trục đối xứng ?

A. Hình bình hành B. đều C. cân D. Hình thoi .∆ ∆
ĐS : Chọn A. Vì : Hình bình hành khơng có trục đối xứng .

34 Cho hai hình vuô ′ ′ ′

′ ′ ′
′ ′

∩

ng ABCD và AB C D có cạnh đều bằng a và có đỉnh A chung .

Chứng minh : Có thể thực hiện một phép đối xứng trục biến hình vuông ABCD thànhø AB C D .
HD : Gỉa sử : BC B C = E .

� �
′ = ′=

′
⎧

′ ′

⇒ ∆ ∆ ⇒⎨ ⇒ ⎯⎯⎯→

′
⎩

�

ĐAE
Ta có : AB = AB , B B 90 ,AE chung .

EB = EB

ABE = AB F B B

bieát AB = AB I

� � �

′
⎧

′

⇒ ⎯⎯⎯→

⎨

′
⎩

′

′ ′ = = −

′ ′ ′ ′

⇒ ⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯⎯→

�
ÑAE

ÑA ÑAE

EC = EC

Mặt khác : C C

AC = AC = a 2

BAB
Ngoài ra : AD = AD và D AE DAE 90

D D ABCD AB C D

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

35 Gọi H là trực tâm ABC . CMR : Bốn tam giác ABC , HBC , HAC , HAC có
đường tròn ngoại tiếp bằng nhau .

∆

� � �

� � ⊥ ⇒� �

⇒ ∆ ⇒

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

1 2

1 1 1 2

ĐBC ĐBC

HD :

Ta có : A = C (cùng chắn cung BK )

A = C (góc có cạnh tương ứng ) C = C
CHK cân K đối xứng với H qua BC .
Xét phép đối xứng trục BC .

Ta coù : K I H ; B I B ; ⎯⎯⎯→

∆ ⎯⎯⎯→ ∆

ÑBC
ÑBC

C C

Vậy : Đường tròn ngoại tiếp KBC Đường tròn ngoại tiếp HBC

I
I

∆
∆

′
∆

36 Cho ABC và đường thẳng a đi qua đỉnh A nhưng không đi qua B,C .
a) Tìm ảnh ABC qua phép đối xứng Đ .

b) Gọi G là trọng tâm ABC , Xác định G là ảnh của G qua phép đối xứng Đa.
a

a
a

Giải

a) Vì a là trục của phép đối xứng Đ nên :
A a A Đ (A) .

B,C a nên Đ : B B ,C C sao cho a là trung trực của BB ,CC
b) Vì G a nên Đ : G G sao cho a là trung trực

∈ ⇒ =

′ ′ ′ ′

∉ ⎯⎯→ ⎯⎯→

′

∉ ⎯⎯→

i I I

I cuûa GG .′

′
⎯⎯→
′

∀ ∈

37 Cho đường thẳng a và hai điểm A,B nằm cùng phía đối với a . Tìm trên đường
thẳng a điểm M sao cho MA+MB ngắn nhất .

Giải : Xét phép đối xứng Đ : Aa A .
M a thì MA = MA . Ta c

′ ≥ ′

′

ó : MA + MB = MA + MB A B
Để MA + MB ngắn nhất thì chọn M,A,B thẳng hàng

Vậy : M là giao điểm của a và A B .

∆

38 (SGK-P13)) Cho góc nhọn xOy và M là một điểm bên trong góc đó . Hãy
tìm điểm A trên Ox và điểm B trên Oy sao cho MBA có chu vi nhỏ nhất .
Giải

Gọi N = ĐOx(M) và P = ĐOx(M) . Khi
≥
≥

đó : AM=AN , BM=BP
Từ đó : CVi = MA+AB+MB = NA+AB+BP NP

( đường gấp khúc đường thẳng )

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

∆

39 Cho ABC cân tại A với đường cao AH . Biết A và H cố định . Tìm tập hợp
điểm C trong mỗi trường hợp sau :

a) B di động trên đường thẳng .
b) B di động trên đường trị

′ ′

∈ ∆ ∈ ∆ ∆ ∆

′
∆
n tâm I, bán kính R .
Giải

a) Vì : C = ĐAH(B) , mà B nên C với = ĐAH( )
Vậy : Tập hợp các điểm C là đường thẳng

b) Tương tự : Tập hợp các điểm C là đường tròn tâm J , bán kính R là ảnh của
đường tròn (I) qua ĐAH .

Va
Va
Va

Vấááánnnn đđđđeeeềààà 4444:::: PHEPHEPHEPHÉÙÙÙPPPP ĐĐĐĐOOỐÁÁÁIIII XO XXXỨỨỨỨNGNGNGNG TATATATÂÂÂÂMMMM

′

1 ĐN : Phép đối xứng tâm I là một phép dời hình biến mỗi điểm M thàn h điểm M đối xứng với M qua I.
Phép đối xứng qua một điểm còn g ọi là phép đối tâm .

Điểm I gọi là tâm của của phép đối xứng hay đơn gi ản là tâm đối xứng .
Kí hiệu : Đ (M) MI = ′⇔IM��′= −IM .��

′

≡ ≡

′ ′

≠ = ⇔

⇔ =

i
i
i

Nếu M I thì M I

Nếu M I thì M Đ (M)I I là trung trực của MM .
ĐN :Điểm I là tâm đối xứng của hình H Đ (H) H.I
Chú ý : Một hình có thể khơng có tâm đối xứng .

′ ′ ′

⎯⎯⎯→ = =

′

⎧ −

⎪
⎨

′ = −
⎪

⎩

2 Biểu thức tọa độ : Cho I(x ; y ) và phép đối xứng tâm I : M(x;y)o o M Đ (M) (x ;y ) thì I
x = 2xo x

y 2yo y
3 Tính chất :

1. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giư

õa hai điểm bất kì .
2. Biến một tia thành tia .

3. Bảo tồn tính thẳng hàng và thứ tự của các điểm tương ứng .
4. Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .

5. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .
6. Biến một góc thành góc có

→ →

số đo bằng nó .

7. Biến tam giác thành tam giác bằng nó . ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )
′ ′

⎯⎯→

8. Đường tròn thành đường tròn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : II I , R = R )
B

BBB .... BABABABAØØØØIIII TATATATẬÄÄÄPPPP

′

− ⇒

1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng tâm I :

1) A( 2;3) , I(1;2) A (4;1)
′

− ⇒ −

2) B(3;1) , I( 1;2) B ( 5;3)
3) C(2;4) , I(3;1) ⇒ C (4; 2) ′ −

{

Giaûi :

x 1 3 x 4

a) Gỉa sử : A Đ (A)I IA IA (x 1; y 2) ( 3;1) A (4;1)

y 2 1 y 1

Cách : Dùng biểu thức toạ độ

′− = ′=

′= ⇔ = − ⇔ ′− ′− = − − ⇔ ⇔ ⇒ ′

′− = − ′=
≠

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

′

∆ + + = − ⇒ ∆ + − =

∆

1) ( ) : x 2y 5 0,I(2; 1) ( ) : x 2y 5 0

2) ( ) − − = ⇒ ∆′ − + =

∆ + − = −

: x 2y 3 0,I(1; 0) ( ) : x 2y 1 0
3) ( ) : 3x 2y 1 0,I(2; 3) ⇒ ∆( ) : 3x 2y 1 0′ + + =

′ ′ ′

∆ ∆ ∆ ∆ → ∆

′ ′ ′ ′

∈ ∆ ∈ ∆ ⇒

Giải

PP : Có 3 cách

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ

Cách 2 : Xác định dạng // , rồi dùng công thức tính khoảng cách d( ; ) .
Cách 3 : Lấy bất kỳ A,B , rồi tìm ảnh A ,B ∆ ≡ ′ ′

′ ′

⎧ = − ⎧ = −

′

⎯⎯⎯→ ⎨ ⇒⎨

′= − − = − − ′

⎩ ⎩

A B

Ñ x 4 x x 4 x

1) Cách 1: Ta có : M(x;y) M

y 2 y y 2 y

′ ′ ′ ′

∈ ∆ ⇔ + + = ⇔ − + − − + = ⇔ + − =

′ ′ ′ ′

⇔ ∈ ∆ + − =

′

∆ ⎯⎯⎯→ ∆ + − =

′ ′

∆ ∆ ⇒ ∆ ∆

Vì M(x;y) x 2y 5 0 (4 x ) 2( 2 y ) 5 0 x 2y 5 0
M (x ;y ) : x 2y 5 0

Vậy : ( ) ( ) : x 2y 5 0
Caùch 2 : Gọi = Đ ( )I song song

′

⇒ ∆ ≠

⎡ =
′

∆ ∆ ⇔ = ⇔ = − ⇔ ⎢

= −
⎣

+ +

: x + 2y + m = 0 (m 5) .

|5| | m | m 5 (loại)

Theo đề : d(I; ) = d(I; ) 5 | m |

m 5

2 2 2 2

1 2 1 2

→ ∆′ + − =

′ ′ ′ ′ ′

− − − ∈ ∆ ⇒ − ⇒ ∆ ≡ + − =

( ) : x 2y 5 0
Cách 3 : Lấy : A( 5;0),B( 1; 2) A (9; 2),B (5;0) A B : x 2y 5 0

′

+ − = ⇒ − + =

3 Tìm ảnh của các đường trịn sau qua phép đối xứng tâm I :

2 2 2 2

1) (C) : x (y 2) 1,E(2;1) (C ) : (x 4) y 1
2

2) (C) : x + + + = ⇒ ′ + − − + =

− + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

2 2 2

y 4x 2y 0,F(1; 0) (C ) : x y 8x 2y 12 0
đ / nghiã hay biểu thức toạ độ

3) (P) : y = 2x x 3 , taâm O(0;0) . ′ − − −

′ ′
⎯⎯⎯E→ = =

(P ) : y = 2x x 3
HD : a) Co ù2 cách giải :

Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ .
Đ

Cách 2 : Tìm tâm I I ,R R (đa õcho) .
b) Tương tự .

4 Cho hai điểm A và B .Cho biết phép biến đổi M thàn

′ ′

h M sao cho AMBM là một hình bình hành .

⎧ ′

⎪ =

′ ⇔ ⎨

′
=
⎪
⎩

′= + ′= +

= −
′

⇒ =

��
��
��

��
��

HD :

MA BM
Nếu AMBM là hình bình hành

MB AM
Vì : MM MA AM MA MB (1)

Gọi I là trung điểm của AB . Ta có : IA IB
Từ (1) MM MI+ + + ⇒ ′=

′ ′

⇔ = ⇔ =

��
�� IA MI IB MM 2MI
MI IM M Ñ (M) .I

5 Cho ba đường tròn bằng nhau (I ; R),(I ; R),(I ; R) từng đôi tiếp1 2 3
xúc nhau tại A,B,C . Gỉa sử M là một điểm trên

⎯⎯⎯A→ ⎯⎯⎯B→ ⎯⎯⎯C→ ⎯⎯⎯I1→

(I ; R) , ngoài ra : 1
Đ

Đ Đ

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

•

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯⎯→ ⇔ = −

��

A A A

HD :

Do (I ; R) tiếp xúc với (I ; R) tại A , nên : 1 2

Ñ Ñ Ñ

MI N ; I1I I 2 MI1I NI2 MI1 NI (1)2
•

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯⎯→ ⇔ = −

•

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯ →

��

B B B

C C C

Do (I ; R) tiếp xúc với (I ; R) tại B , nên : 2 3

Ñ Ñ Ñ

N P ; I2 I 3 NI2 PI3 NI2 PI (2)3
Do (I ; R) tiếp xúc với (I ; R) tại C , nên : 3 1

Ñ Ñ Ñ

P Q ; I3 I 1 PI3

I I I

I I I ⎯⎯ ⇔ = −

= − ⇔ =

∆

��
��

QI1 PI3 QI (3)1
Từ (1),(2),(3) suy ra : MI1 QI1 M Đ (Q) .I

5 Cho ABC là tam giác vuông tại A . Kẻ đường cao AH . Vẽ phía

{

}

ngoài tam giác hai hình vng ABDE và ACFG .

a) Chứng minh tập hợp 6 điểm B,C,F,G,E,D co ùmột trục đối xứng .
b) Gọi K là trung điểm của EG . Ch ứng minh K ở trên đường thẳn

∩

⊥ ⊥

g AH .
c) Gọi P = DE FG . Chứng minh P ở trên đường thẳng AH .

d) Chứng minh : CD BP, BF CP .
e) Chứng minh : AH,CD,BF đồng qui .

�= �=

• ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯→

� �

DF DF DF DF

DF
HD :

a) Do : BAD 45 và CAF 45 nên ba điểm D,A,F thẳng hàng .

Đ Đ Đ Đ

Ta coù : A A ; D D ; F F ; C G ;

B E (Tính chất hình vuông ).
Vaäy : Taäp

l l l l

{

}

� �

∆ ∆ =

= ∆

hợp 6 điểm B,C,F,G,E,D co ù trục đối xứng chính là đường thẳng DAF .
b) Qua phép đối xứng trục DAF ta có : ABC = AEG nên BAC AEG.

Nhưng : BCA AGE ( 2 đối xứng = )

AGE�= �A (do KAG cân tại K) . Suy ra : A2 ∆ �1=A �2 ⇒K,A,H thẳng hàng ⇒K ở trên AH .
c) Tứ giác AFPG là một hình chữ nhật nên : A,K,P thẳng hàng . (Hơn nữa K là trung điểm của AP )

� �

• ∆ ∆

⎧
⎪

• ⎨ ⇒ ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ =

⎪
⎩

⊥ ⇒

Vậy : P ở trên PH .

d) Do EDC = DBP neân DC = BP .
DC = BP

Ta coù : DB = AB BDC ABP CD BP BCD APB nhưng hai góc này có cặp
BC = AP

caïnh : BC AP cặp cạnh cò ⊥
⊥

∆ ∆

n lại : DC BP.
Lý luận tương tự , ta có : BF CP.

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

= ��
�

� 2AB

A B

a) CMR : ÑB ÑA T .
b) Xác định ĐA Đ .B

HD : a) Gọi M là một điểm bất kỳ , ta có :
M

�

′ ′

⎯⎯⎯→ =

′⎯⎯⎯→ ′′ = ′′ ′′ ∀

��
��

�
A

B
Ñ

M : MA AM
Ñ

M M : MB BM . Nghóa là : M = ÑB Ñ (M), M ( 1)A

I
I

′′
⎯⎯⎯⎯⎯→
′′= ′+ ′ ′′

′= ′ ′′= ′

′′= + ′ = + ′ +

�
��

��

��
��

B A
Ñ Ñ

Ta chứng minh : M M :
Biết : MM MM M M

Maø : MM 2MA và M M 2M B

Vậy : MM 2MA 2M B 2MA 2M A 2AB
Vì : MA

�

′ + ′ = ′′= ⇔ ′′= �� ∀

�� � ��

2AB

AM neân MA M A 0 . Suy ra : MM 2AB M T (M), M (2)

=
��

��
�

� 2AB

2 BA
Từ (1) và (2) , suy ra : ĐB ĐA T .
b) Chứng minh tương tự : ĐA ĐB T .

7 Chứng minh rằng nếu hình (H) có hai trục đối xứng vng góc với nhau thì
(H) có tâm đối xứng .

HD : Dùng hình thoi

Gỉa sử hình (H) có hai trục đối xứng vng góc với nhau

� �

= =

∈

∩ =

Lấy điểm M bất kỳ thuộc (H) và M1 Đ (M) , Ma 2 Đ (M ) . Khi đó , theob 1
định nghĩa M ,M1 2 (H) .

Goïi O = a b , ta có : OM = OM và MOM1 1 2 AOM 1
OM = OM vaø M1 2 � �

� � � �

�

+ =

= × =

= ∀ ∈ ∈ ⇔

� �

OM 2M OB

1 2 1

Suy ra : OM = OM vaø MOM2 1 M OM1 2 2(AOM +M OB)1 1
hay MOM1 2 90 180

Vậy : O là trung điểm của M và M . 2

Do đó : M2 Đ (M), M (H),MO 2 (H) O là tâm đối xứng của (H) .

8 Cho � �

� � � �

∆ = ∆

= = = =

⎯⎯⎯→ ⇒

�

� �

ABC có AM và CN là các trung tuyến . CMR : Nếu BAM BCN = 30 thì ABC đều .
HD :

Tứ giác ACMN có NAM NCM 30 nên nội tiếp đtrịn tâm O, bkính R=AC và MON 2NAM 60 .
Đ

Xeùt : AI B (O)I

�

⎯⎯⎯→ ∈ ∈

⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯⎯→ ∈ ∈

⎧ = =

⎪

⇒ ∆
⎨

=
⎪

⎩

+ = + = =

�
N

M M

(O ) thì B (O ) vì A (O) .1 1

Ñ Ñ

C B (O) (O ) thì B (O ) vì C (O) .2 2
OO1 OO2 2R

Khi đó , ta có : OO O là tam giác đề u .1 2
MON 60

Vì O B O B R R1 2 2R O O nên B là trung điể1 2

I I

∆ ∆ ∆

∆ ∆

≃

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

Va
Va

VaVấááánnnn đđđđeeeềààà 5555:::: PHEPHEPHEPHÉÙÙÙPPPP QUAYQUAYQUAYQUAY
A.

A.

A.A. KIEKIEKIEKIẾÁÁÁNNNN THTHTHTHỨỨỨỨCCCC CCCCƠƠƠƠ BABABABẢÛÛÛNNNN

′ ′ ′ ϕ

1 ĐN : Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác . Phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M sao cho OM = OM và ( OM;OM ) = được gọi là phép quay tâm O với

ϕ
i

Phép quay hoàn toàn xác định khi biết tâm và góc quay
Kí hiệu : Q .O

góc quay .

≡

π ≡ ∀ ∈

i ℤ

Chú ý : Chiều dương của phép quay chiều dương của đường tròn lựơng gi ác .
2k

Q phép đồng nhất , k
(2k+1)

Q phép đối xứng tâm I , k
2 Tính chất :

ĐL : Phép quay
i

là một phép dời hình .
HQ :

1.Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương
ứng .

2. Đường thẳng thành đường thẳng .
3. Tia thành tia .

4. Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

′ ′
⎯⎯⎯⎯⎯(O ; )→

Q Q

5. Tam giác thành tam giác bằng nó . (Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )
Q

6. Đường tròn thành đường trịn bằng nó . ( Tâm biến thành tâm : I I , R

I I

I = R )

7. Góc thành góc bằng nó .
B.

B.B.B. BABABABÀØØØIIII TATATATẬÄÄÄPPPP

⎧ α

α ⎨

α
⎩

′ ′
⎯⎯⎯⎯⎯(O ; )→

1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) . Tìm M = Q(O ; )(M) .
HD :

x = rcos

Gọi M(x;y) . Đặt : OM = r , góc lượng giác (Ox;OM) = thì M

y = rsin

Q / /

Vì : MI M . Gọi M (x ;y ) thì ño α ϕ

′ α ϕ α ϕ − α ϕ = ϕ − ϕ

′ α ϕ α ϕ + α ϕ = ϕ + ϕ

′ ϕ − ϕ

′ ϕ + ϕ

/ /

ä daøi OM = r vaø (Ox;OM ) = + .
Ta coù :

x = rcos( + ) = acos .cos asin .sin x cos y sin .
y = rsin( + ) = asin .cos a cos .sin x sin y cos .

x = x cos y sin
/

Vaäy : M

y = x sin y cos

⎧

⎨
⎩

−ϕ

′′

⎧ ϕ + ϕ

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎨

′′ − ϕ + ϕ

⎩
′

⎧ − − ϕ − − ϕ

⎪

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎨

′ − − ϕ + − ϕ

⎪
⎩

⎯⎯ →

(O ; )

(I ; )
o o
(I ; )

o o
Đặc biệt :

Q / / x = x cos y sin

M M

y = x sin y cos

Q / x x = (x x ) coso o (y y )sin o

M M

y y = (x x )sin (y y ) cos

I(x ;y ) o o o

Q
M

I(x ;y )

I
I
I

�
�

� ⎯⎯⎯ ⎧⎪⎨ ′′− − ϕ − − ϕ

′′ − − − ϕ + − ϕ

⎪
⎩

x x = (x x ) cos (y y )sin

/ / o o o

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

−
⎯⎯⎯⎯⎯→

�

�
(O ; 45 )

(O;45 )

2 2
a) Điểm M(2;2) b) Đường tròn (C) : (x 1) + y = 4

/ / /

Giaûi . Goïi : M(x;y) I M (x ;y ) . Ta coù : OM = 2 2, (Ox; OM) α
⎧ ′

⎪ α = α − α = −

⎨
′

⎪ α = α + α = +

⎩

� � � � �

=
x = rcos( +45 ) r cos .cos 45 r sin .sin 45 x.cos 45 y.sin 45
/

Thì M

y = rsin( +45 ) r sin .cos 45 r cos .sin 45 y.cos 45 x.sin 45
⎧

′ −

⎪
⎪

⇒ ⎨

⎪ ′ +

⎪
⎩

2 2

x = x y

/ 2 2

2 2

y = x y

2 2

⎯⎯⎯⎯⎯→

⎧
⎪
⎧

′
⎯⎯⎯⎯⎯→

⎨ ⎨

′

⎩ ⎪⎩

′

⎯⎯⎯⎯⎯→ − −

�

i i

(O ; 45 )

(O ; 45 )
Q

a) A(2;2) A (0 ;2 2)
Q

/
Tâm I(1;0) Tâm I ?

b) Vì (C) : (C ) :

Bk : R = 2 Bk : R = R = 2
Q

2 2 2 2

/ 2 2

I(1;0) I ( ; ) . Vaäy : (C ) : (x ) + (y ) =

2 2 2 2

I 4

⎧

′ −

⎪
⎪
⎨

⎪ ′ +

⎪
⎩

1 3

x = x y

2 2

3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : . Hỏi f là phép gì ?

3 1

y = x y

2 2

⎧ π π

′ −

⎪
⎪
′ ′ ′

⎯⎯→ ⎨ ⇒ π

π π

⎪ ′ +

⎪
⎩
Giaûi

x = x cos y sin

3 3

Ta có f : M (x; y) M (x ;y ) với f là phép quay Q
(O; )

y = x sin y cos 3

3 3

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

4 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : 2x y+1= 0 . Tìm ảnh của đường thẳng qua :
a) Phép đối xứng tâm I(1; 2). b) Phép quay Q .

(O;90 )
Giải

a) Ta có : M (x ;y ) = Đ (M) thì biểu thức I

∆ −

−
′ ′ ′

�

x 2 x x 2 x

tọa độ M

y 4 y y 4 y

Vì M(x;y) ( ) : 2x y+1= 0 2(2 x ) ( 4 y) 1 0 2x y 9 0
M (x ;y ) ( ) : 2x y 9 0

′ ′
⎧ = − ⎧ = −
′⎨ ⇔⎨
′= − − = − − ′
⎩ ⎩
′ ′ ′ ′
∈ ∆ − ⇔ − − − − + = ⇔ − + + =

′ ′ ′ ′
⇔ ∈ ∆ − − =
I
(O;90 )
Đ

Vậy : ( ) ( ) : 2x y 9 0
Q

b) Cách 1 : Gọi M(x;y) M (x ;y ) . Đặt (Ox ; OM) = , OM = r ,
Ta coù (Ox ; OM ) = + 90 ,OM r .

x = rcos
Khi đó : M

y
′
∆ ⎯⎯⎯→ ∆ − − =
′ ′ ′
⎯⎯⎯⎯⎯→ α
′ α ′=
α
�
�
I
I
(O;90 )
(
Q

x r cos( 90 ) r sin y x y
M

= rsin y r sin( 90 ) rcos x y x

Vì M(x;y) ( ) : 2(y ) ( x ) + 1 = 0 x 2y + 1 = 0 M (x ;y ) ( ) : x 2y 1 0
Q

Vaäy : ( )

⎧ ′ ′
⎪
⎧ = α + = − α = − ⎧ =
′
⎯⎯⎯⎯⎯→ ⇒
⎨ ⎨ ⎨ ′
α = −
⎩ ⎪⎩ ′ = α + = α = ⎩
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
∈ ∆ − − ⇔ + ⇔ ∈ ∆ + + =
∆
� �
�
I

I⎯⎯⎯⎯⎯O;90 )→ ∆( ) : x 2y 1 0′ + + =
�
′ ′
• ∈ ∆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ − ∈ ∆
−

′ ′
• − ∈ ∆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ∈ ∆
′ ′ ′
• ∆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ∆ ≡ + + =
�
�
�
(O;90 )
(O;90 )
(O;90 )
Q

Cách 2 : Lấy : M(0;1) ( ) M ( 1; 0) ( )
Q

1 1

N( ;0) ( ) N (0; ) ( )

2 2

( ) ( ) M N : x 2y 1 0

I
I
I
′ ′
• ∆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ∆ ⇒ ∆ ⊥ ∆ ∆ = ⇒ ∆′ = −

′ ′
• ∈ ∆ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ∈ ∆
′
⎧
⎪
′ ′
• ∆ ⎨ ⇒ ∆
−
⎪
⎩
�
�
i
i
(O;90 )
(O;90 )
Q
1
Cách 3 : Vì ( ) ( ) ( ) ( ) mà hệ số góc : k 2 k

2
Q

M(0;1) ( ) M (1; 0) ( )
Qua M (1; 0)

( ) : 1 ( )
hsg ; k =

I
I

+ + =
: x 2y 1 0

′

5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(3;4) . Hãy tìm toạ độ điểm A là ảnh
o

của A qua phép quay tâm O góc 90 .
HD :

Gọi B(3;0),C(0;4) lần lượt là hình chiếu của A lên các trục Ox,

′ ′ ′

′ ′ − ′ −

Oy . Phép
o

quay tâm O góc 90 biến hình chữ nhật OABC thành hình chữ nhật OC A B .
Khi đó : C (0;3),B ( 4;0). Suy ra : A ( 4;3).

−
⎧
⎪ = =

= − = ⇒ ⎨
= ⇒ ⊥
⎪
⎩
⇒
��
��

6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy . Tìm phép quay Q biến điểm A( 1;5)
thành điểm B(5;1) .

OA OB 26
HD : Ta có : OA ( 1;5) và OB (5;1)

OA.OB 0 OA OB
B = Q

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

⇒ = ⇒ ⇔ ⇔ −

= ⇒ + = + =

�

��
�

(O ; 90 )
HD :

Vì N = Q (M) (OM;ON) 90 OM.ON = 0 4x+y = 0 y= 4x (1)
(O ; 90 )

2 2

Do : OM ON x y 16 1 17 (2) .

Giải (1) và − −

= � −

(2) , ta coù : N(1; 4) hay N( 1; 4) .

Thử lại : Điều kiện (OM;ON) 90 ta thấy N( 1; 4) thoả mãn .
�

−

∈ ∈ =

−
⎧ = >

+ = ⇒

⎨

= =

⎩

�
�

8 a)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(0;3) . Tìm B = Q (A) .
(O ; 45 )
HD : Phép quay Q biến điểm A Oy thành điểm B đt : y x,ta có :

(O ; 45 )

xB yB 0 2 2

. Maø OB = xB yB 3 x

OA OB 3 = ⇒

− +

⎯⎯→
o

3 3 3

B( ; ).
B

2 2 2

4 3 3 3 4 3

b) Cho A(4;3) . Tìm B = Q (A) B ( ; )

(O;60 ) 2 2

′

− + − =

′ ′

= − ⇒ + + − =

′

− + − =

�
�

2 2

9 Cho đường tròn (C) : (x 3) (y 2) 4 . Tìm (C ) = Q (C) .
(O ; 90 )

2 2

HD : Tìm ảnh của tâm I : Q (I) I ( 2;3) (C ) : (x 2) (y 3) 4 .
(O ; 90 )

2 2

10 Cho đường tròn (C) : (x 2) (y 2 3) 5 . Tìm (C ) =

′ ′

= − ⇒ + + − =

�
�

Q (C) .

(O ; 60 )

2 2

HD : Tìm ảnh của tâm I : Q (I) I ( 2;2 3) (C ) : (x 2) (y 2 3) 5 .
(O ; 60 )

′

− + − =

′ ′

= − + ⇒ − + + − − =

�
�

2 2

11 Cho đường tròn (C) : (x 2) (y 2) 3 . Tìm (C ) = Q (C) .
(O ; 45 )

2 2

HD : Tìm ảnh của taâm I : Q (I) I (1 2;1 2) (C ) : (x 1 2) (y 1 2) 3 .
(O ; 45 )

−

∈

�

12 [CB-P19] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(2;0) và đường thẳng (d) : x + y 2 = 0.
Tìm ảnh của A và (d) qua phép quay Q .

(O ; 90 )
HD :

Ta coù : A(2;0) Ox . Goïi B = Q (
(O ; 90 )

� ∈

− ∈

−

⇒ + = ⇔ +

−

� �

�

A) thì B Oy và OA = OB .
Vì toạ độ A,B thoả mãn pt (d) : x + y 2 = 0 nên A,B (d) .

Do B = Q (A) và tương tự Q (A) = C( 2;0)
(O ; 90 ) (O ; 90 )

x y x y

neân Q (d) = BC (BC) : 1

(O ; 90 ) xC yC 2 2

�

= ⇔1 x y 2− + =0

− − ∆ ⇒ ∆ + − =

+ − ∆

′ ′

∩ ∩ ⎯⎯⎯→ −

⇒ ∆ −

�
�

13 Cho (d) : x 3y 1 = 0 . Tìm = Q (d) . ( ) : 3x y 1 0
(O ; 90 )

14 Cho (d) : 2x y 2 = 0 . Tìm = Q (d) .
(O ; 60 )

1 3
aûnh

HD : d Ox = A(1;0) , d Oy = B(0;2) A ( ; ),B ( 3;1)
2 2

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

∆

�

15 Cho tam giác đều ABC có tâm O và phép quay Q .
(O; 120 )

a) Xác định ảnh của các đỉnh A,B,C .

b) Tìm ảnh của ABC qua phép quay Q

(O;120 )

� =�=� = ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

∆ ⎯⎯→ ∆

�
�

�
Giải

a) Vì OA = OB = OC và AOC BOC COA 120 neân Q : A B,B C,C A
(O;120 )

b) Q : ABC ABC

(O; 120 )

I I I

16 [CB-P19] Cho hình vuông ABCD tâm O .
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay Q .

(A ; 90 )
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay Q

(O ; 90 )
HD : a) Gọi E = Q (C) thì AE=AC va

(A ; 90 )

�

� ø CAE 90 nên AEC�
vng cân đỉnh A , có đường cao AD . Do đó : D là trung điểm của EC .
b) Ta có : Q (B) C và Q (B) C Q (BC) CD.

(O ; 90 ) (O ; 90 ) (A ; 90 )

= ∆

= = ⇒ =

� � �

�

∆

′

= =

�

� �

17 Cho hình vuông ABCD tâm O . M là trung điểm của AB , N là trung điểm
của OA . Tìm ảnh của AMN qua phép quay Q .

(O;90 )

HD : Q (A) D , Q (M) M laø trung điểm của A
(O;90 ) (O;90 )

�

′ ′ ′

= ∆ = ∆

� �

D .

Q (N) N là trung điểm của OD . Do đó : Q ( AMN) DM N

(O;90 ) (O;90 )

∆

18 [ CB-1.15 ] Cho hình lục giác đều ABCDEF , O là tâm đường trịn ngoại tiếp của nó . Tìm ảnh của
OAB qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O

= = =

��
��

�

� � �

��

�

�
OE

OE (O;60 )

(O;60 ) (O;60 ) (O;60 )

OE OE OE

, góc 60 và phép
tịnh tiến T .

HD :

Gọi F = T Q . Xeùt :

Q (O) O,Q (A) B,Q (B) C .
T (O) E,T (B) O,T (C) D

Vaäy : F(O) = E , F(A) = O ,
�

�

� F(B) = D ⇒F( OAB) = EOD∆ ∆

∆ �

19 Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương , O là tâm đường trịn ngoại tiếp của nó . I là
trung điểm của AB .

a) Tìm ảnh của AIF qua pheùp quay Q .
(O ; 120 )
b) Tìm ả ∆

∆ = ∆

�

�
�

nh của AOF qua pheùp quay Q .
(E ; 60 )
HD :

a) Q biến F,A,B lần lượt thành B,C,D , trung điểm I
(O ; 120 )

thành trung điểm J của CD neân Q ( AIF) CJB .
(O ; 120 )

b) Q bieán
�

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

BCF . Gọi M và N tương ứng là hai trung điểm của AF và CE . Chứng minh rằng : BMN là tam giác đều .
HD :

Xeùt pheùp quay Q .Ta coù : Q (A) E , Q (F) C
(B; 60 ) (B; 60 ) (B; 60 )

Q (AF) EC .
(B; 60 )

Do M là trung điểm của AF , N là trung điểm của EC , nên :

Q (M) N BM

(B; 60 )

= =

− − −

⇒ =

−

= ⇒

−

� � �

�

� = BN và MBN 60�= �⇒ ∆BMN là tam giác đều .

∆

21 [ CB-1.17 ] Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC . Điểm A chạy trên nửa đường trịn đó .
Dựng về phía ngồi của ABC hình vuo âng ABEF . Chứng minh rằng : E chạy

trên nửa đ

′
�

�
ường cố định .

HD : Gọi E = Q (A) . Khi A chạy trên nửa đường tròn (O) ,

(B;90 )

E sẽ chạy trên nửa đường tròn (O ) = Q [(O)] .
(B;90 )
∆

∆

′
∆

�

22 Cho đường (O;R) và đường thẳng khơng cắt đường trịn . Hãy
dựng ảnh của ( ) qua phép quay Q .

(O ; 30 )
Giaûi

Từ O hạ đường vng góc OH với . Dựng điểm H sao cho

(OH ′ ′ ′

′
∆

�

;OH ) = 30 và OH = OH . Dựng đường tròn qua 3 điểm O,H,H ;
đường tròn này cắt tại điểm L . Khi đó LH là đường thẳng phải dựng .

�

∆

∆ ⇒ = = �

23 Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d , M là điểm
di động trên d . Hãy tìm tập hợp các điểm N sao cho OMN đều .
Giải : OMN đều OM ON và NOM 60 . Vì vậy khi M chạ

′
′′

−
�

�
i

y trên d thì :
N chạy trên d là ảnh của d qua phép quay Q .

(O;60 )
N chạy trên d là ảnh của d qua phép quay Q

(O; 60 )
′

′ ′ ′ ′

24 Cho hai đường tròn (O) và (O ) bằng nhau và cắt nhau ở A và B .
Từ điểm I cố định kẻ cát tuyến di động IMN với (O) , MB và NB cắt
(O ) tại M và N . Chứng minh đường thẳng ′

′ ϕ ′

′ ′ ′ ′ ′

M N luôn luôn đi qua một
điểm cố định.

Giải

Xét phép quay tâm A , góc quay (AO; AO ) = biến (O) thành (O ) .
Vì MM và NN qua B nên (AO;AO ) = (AM;AM ) = (AN;AN ) .
Qua pheùp quay Q : MI

′ ′

⎯⎯→ ⎯⎯→

′ ′
⎯⎯⎯⎯→

′ ′

′ ϕ

(A; )

M , N N và do đó
Q

MN M N

Đường thẳng MN qua điểm cố định I nên đường thẳng M N qua
điểm cố định I là ảnh của I qua Q(A; )

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

∆

−
∆

�
25 Cho hai hình vuông ABCD và BEFG

a) Tìm ảnh của ABG trong phép quay Q .
(B; 90 )
b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AG và CE .
Chứng minh BMN vng cân .

Giải

BA BC
a) Vì

(BA;

⎧ ⎧ =

⎪ ⎪

⎨ ⎨

= − = −

⎪ ⎪

⎩ ⎩

⇒ ⎯⎯→ ⎯⎯→ ⇒ ∆ ⎯⎯→ ∆

− −

⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯→ ⇒ = −

− −

⇒ ∆

� �

�
BG BE

vaø

BC) 90 (BG; BE) 90

Q : A C,G E Q : ABG CBE

(B; 90 ) (B; 90 )

b) Q : AG CE Q : M N BM BN vaø (BM;BN) = 90

(B; 90 ) (B; 90 )

BMN vuông cân tại B .

I I

∆

∩ ∆

26 Cho ABC . Qua điểm A dựng hai tam giác vuông cân ABE và ACF . Gọi M là trung điểm của BC
và giả sử AM FE = H . Chứng minh : AH là đường cao của AEF .

⇒

�

�
�
HD :

Xét phép quay Q : Kéo dài FA một đoạn AD = AF .
(A;90 )

Vì AF = AC AC = AD nên suy ra : Q biến B , C lần lượt thành E , D
(A;90 )

Đ/ nghó
nên gọi trung điểm K của DE thì K= Q (M)

(A;90 ) ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⊥
∆

⊥ ⇒ ∆

MA AK (1) .
Trong DEF , vì AK là đường trung bình nên AK // FE (2)

Từ (1),(2) suy ra : AM FE AH là đường cao của AEF .

��

27 Cho hình vng ABCD có cạnh bằng 2 và có các đỉnh vẽ theo chiều
dương . Các đường chéo cắt nhau tại I. Trên cạnh BC lấy BJ = 1 . Xác định
phép biến đổi AI thành BJ .

HD = = ⇒ = � =

⇒ ∩

⇒
�

�

�
�

��

AB 2

: Ta có : AI= 1 AI BJ . Lại có : (AI,BJ) 45 .

2 2

BJ = Q (AI) . Tâm O = ttrực của AB cung chứa góc 45 đi
(O;45 )

qua A,B BJ = Q (AI)

(O;45 )
∆

28 [CB-1.18] Cho ABC . Dựng về phía ngồi của tam giác các hình vng BCIJ,ACMN,ABEF
và gọi O,P,Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng .

a) Goïi D là trung điểm của AB . Chư ∆
⊥

⇒ ⊥

�

ùng minh rằng : DOP vuông cân tại D .
b) Chứng minh rằng : AO PQ và AO = PQ .

HD :

a) Vì : AI = Q (MB) MB = AI vaø MB AI .
(C;90 )

�

Mặt khác : DP 1BM , DO

2 AI

⇒DP = và ⊥DO ⇒ ∆DOP vuông cân tại D .

� �

(D;90 ) (D;90 )
b) Từ câu a) suy ra :

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

về phía ngồi tam giác đó các hình vng ABDE và BCKF .
Gọi P là trung điểm của AC , H là điểm đối xứng của D qua B ,
M là tr

⊥
⎧

⎨

�
��

�
ung điểm của đoạn FH .

a) Xác định ảnh ủa hai vectơ BA và BP trong phép quay Q .
(B;90 )
b) Chứng minh rằng : DF BP và DF = 2BP .

HD :

BA = BH (cùng bằng BD)
a) Ta có :

(BA;BH) = 90
⎪

⎪
⎩

⇒ = ⇒ =

= = ⇒ =

= =

� �

� � �

� �

��

90 90

H QB (A) BH QB (BA)

90 90 90

Vì : QB (A) H,QB (C) F QB (AC) HF .

90 90

Mà : F là trung điểm của AC , QB (F) M là trung điểm của HF . Do đó : QB (BP) BM

= ⇒ = ⊥

∆ ⊥

�

��
��

.
90

b) Vì : QB (BP) BM BP BM,BP BM .

1 1

Mà : BM = DF và BM // DF (Đường trung bình của HDF ). Do đó : BP = DF , DF BP .

2 2

30 Cho tứ giác lồi ABCD . Về phía ng ồi tứ giác dựng các tam giác đều ABM , CDP . Về phía trong
tứ giác, dựng hai tam giác đều BCN và ADK . Chứng minh : MNPK là hình bình hành .

H ⎯⎯→ ⎯⎯→

⇒ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⇒ =

⎯⎯→ ⎯⎯→
⇒ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⇒ =

�
�

�
�
(B;90 )

(D;90 )
60

D : Xeùt pheùp quay Q : MB A , N C
Q

MN AC MN AC (1)
60

Xeùt pheùp quay Q : PD C , K A
Q

PK CA PK CA (2)
Từ (1) , (2) suy ra : MN = PK .

Lí luận , tươ

I I

⇒

ng tự : MK = PN MKNP là hình bình hành .
∆

∩ = ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→

⇒

� �

(B;60 ) (B;60 )
31 Cho ABC . Về phía ngồi tam giác , dựng ba tam giác đều
BCA ,ACB ,ABC . Chứng minh rằng : AA ,BB ,CC đồng quy .1 1 1 1 1 1
HD :

Q Q

Gỉa sử AA1 CC1 I . Xét : A1 C,A C1
A A1

I I

I � �

�

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⇒ = ⇒ =

= ⇒ ∆

� � �

�
(B;60 )

CC1 (A A;CC ) 601 1 AJC1 60 (1)
Lấy trên CC điểm E sao cho : IE = IA . Vì EIA1 60 EIA đều .

⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯→

⇒

� � �

(A;60 ) (A;60 ) (A;60 )

Q Q Q

Xeùt : B C ,I1 E , B1 C

Vì : C ,B,C thẳng hàng nên B,I,B thẳng hàng 1 1
AA ,BB ,CC đồng quy .1 1 1

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

32 Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối tâm các hình vng dựng
trên các cạnh của một hình bình hành về phía ngồi , hợp thành
một hình vng .

HD : Gọi I ,I ,I ,I là tâm của1 2 3 4

� �

⎯⎯→ ∆ = ∆

⇒ = = = ⇒ ⊥

⎯⎯⎯⎯⎯� → ⇒ = ⊥

�

�
(I;90 )

hình vuông cạnh AB,BC,CD,DA .
Dùng phép quay Q(I;90 ) : B C . Vì I BA1 I CD3

CI3 BI và DCI1 3 ABI1 45 . Maø DC // AB CI3 BI1
Q

Vaäy : I3 I1 I I2 1 I I vaø I I2 3 2 1 I I .2 3
Lý luận tương t

ự , ta có : I I I I là một hình vng .1 2 3 4

Va

VaVaVấááánnnn đđđđeeeềààà 7777:::: PHEPHEPHEPHÉÙÙÙPPPP VVVVỊỊỊỊ TTTTỰỰỰỰ
≠

′ ′ =

��
1 ĐN : Cho điểm I cố đinh và một số k 0 . Phép vị tự tâm I tỉ số k .

Kí hiệu : V , là phép biến hình biến mỗi điểm M thành ñieåm M sao cho IMI k IM.

′

⎧ −

⎪

′ ′ ′

⎯⎯⎯→ = = ⎨

′ −

⎪
⎩
k

k
2 Biểu thức tọa độ : Cho I(x ; y ) và phép vị tự V .o o I

x = kx+ (1 k)x

V k o

M(x;y) M V (M) (x ; y ) thì I

y = ky+ (1 k)yo

′= ′= ′ ′ ′ ′

��
3 Tính chất :

k k

1. M V (M), NI V (N) thì M N = kMN , M N = |k|.MNI

2. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các điểm tương ứng .

3. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho .
4. Biến một tia thành tia .

5. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên |k| .
6. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó .

7. Đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính R = |k|.R .′
8. Biến góc thành góc bằng nó .

B
B

BB .... BABABABÀØØØIIII TATATATẬÄÄÄPPPP

≠
−

1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I , tỉ số k 0 :

a) A(1;2) , I(3; 1) , k = 2 . → ′ −
′

− − − = − → −

A ( 1;5)
b) B(2; 3),I( 1; 2), k 3 . B ( 10;1)

c) C(8;3), I(2;1) , k = .

2 → ′

′ ′

− − ≡ − → − − −

C (5;2)

2 1 1

d) P( 3;2),Q(1;1),R(2; 4) , I O,k = 1/ 3 P (1; ),Q ( ; )

3 3 3 ′ −

′

⎧ − = −

′ ′ ′ ′ ′ ′

⎯⎯⎯⎯→ ⇔ = ⇔ − + = − ⇔ ⎨

′ + =
⎩
′

⎧ = −

′

⇔⎨ ⇒ −

′ =
⎩

��
(I;2)

2 4
,R ( ; )

3 3

V x 3 4

HD : a) Goïi : A(1;2) A (x ; y ) IA 2IA (x 3; y 1) 2( 2;3)

y 1 6

x 1

A ( 1;5) .
y 5

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

B thaønh C ?

HD : Gỉa sử tồn tại một phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thà
⎧− =

⎯⎯⎯⎯→ ⇔ = ⇔⎨ ⇔ = −

= −
⎩

⎯⎯→
−

−

��
(A;k)

nh C .

V 1 k(2) 1

Khi đó : B C AC kAB k

2 k( 4) 2

Vậy : Tồn tại phép vị tự V 1 : B C .
(A; )

3 Cho ba điểm A( 1;2),B(3;1),C(4;3) . Tồn tại hay không tồn ta

⎯⎯⎯⎯→ ⇔ =

��
(A;k)

ïi một phép vị tự tâm A , tỉ số k biến
B thành C ?

HD : Gỉa sử tồn tại một phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thành C .
V

Khi đó : BI C AC kAB (1) .
∆

−
′

⎯⎯→ ⎯⎯→

4 Cho OMN . Dựng ảnh của M,N qua phép vị tự tâm O , tỉ số k trong mỗi t rường hợp sau :

1 3

a) k = 3 b) k = c) k =

2 4

Giaûi

a) Phép vị tự V : MO I M , NI ′ ′= ′=

⎯⎯→ ⎯⎯→ ∆

− ⎯⎯→ ⎯⎯→ = −

��

��
N thì ta có OM 3OM,ON 3ON
1/2

b) Phép vị tự VO : M H , N K thì HK là đường trung bình của OMN .
3

3/ 4

c) Phép vị tự VO : M P , N Q thì ta có OP OM,OQ
4

I I

I I = −

��
3

ON
4
5 Cho hình bình hành ABCD (theo chiều kim đồng hồ) có tâm O . Dựng :
a) Ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị tự tâm O , tỉ số k = 2 .
b) Ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị t −

′ ′

⎯⎯→ =

′ ′

⎯⎯→ =

′ ′

⎯⎯→ =

′
⎯⎯→

��
��
��

1
ự tâm O , tỉ số k = .

2
Giải

a) Gọi V : AO A thì OA 2OA
B B thì OB 2OB
C C thì OC 2OC
D D thì O

I
I
I

I ′ =

′ ′ ′ ′

⇒ ⎯⎯→

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

− ⎯⎯→ = −

⎯⎯→ = −

��

▱ ▱

��
��

D 2OC
2

V : ABCDMO A B C D .

Ta veõ : AB// A B ,BC // B C ,CD // C D ,DA // D A
1

1/2

b) Goïi VO : A P thì OP OA
2
1
B Q thì OQ OB

I
I
I

⎯⎯→ = −

−

⇒ ⎯⎯→

��
��

▱ ▱

1
C R thì OR OC

2
1
D S thì OS OD

2
1/2

VO : ABCDM PQRS .
Ta veõ : AB// PQ,BC // QR,CD // RS,DA // SP .

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

�

∆ ∆ ∈

6 Cho ABC có AB = 4, AC = 6 , AD là phân giác trong của A của ABC (D BC) . Với giá trị nào
của k thì phép vị tự tâm D , tỉ số k biến B thành C .

HD :

Theo tính chất của phân gi �

−

= − = − = − ⇒ = − ⇒ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

��

��
��

��

( D; 3/2 )
ác trong của A , ta có :

DB AB 4 2 3

DC DB B C .

AC 6 3 2

Do DB và DC ngược hướng .

′ ′

∆

′ ′ ′ ′ ′ ′=

7 Cho ABC vuông ở A và AB = 6, AC = 8 . Phép vị tự V 3 biến B thành B ,C thành C .
(A; )

2
Khẳng định nào sau đây sai ?

A) BB C C là hình thang . B) B C = 12 . C) SAB C SABC . D) Chu v

4 ∆ ∆ ′ ′

′ ′ ⎯⎯⎯⎯⎯→

′ ′ = + =

(A;3/2)

i ( ABC) = Chu vi( AB C ) .
3

HD :

A) đúng vì B C BC .

3 3 2 2

B) sai vì : B C = BC AB AC 15

2 2

�
�

′ ′

′ ′ = = =

′ ′
=

1 3 3

.AB .AC .AB. .AC

SAB C 2 2 2 9

C) đúng vì : .

SABC AB.AC 4

.AB.AC
2

Chu vi AB C 3
D) đúng vì :

Chu vi ABC 2
�

�

∆

8 Cho ABC có hai đỉnh là B và C cố định , còn đỉnh A di động trên đường trịn (O) cho trước .
Tìm tập hợp các trọng tâm của ABC .

∆ =

�� 1��
HD : Gọi I là trung điểm của BC . Ta có I cố định . Nếu G là trọng tâm của ABC thì IG IA .

3
1/3

Vậy G là ảnh của A qua phép vị tự VI .

Tập hợp điểm A là đường tròn (O) nên tập hợp G là đường trịn (O ) , đó chính là ảnh của đường tròn
1/3

(O) qua phép vị tự VI .

9 Trong mpOxy , cho điểm A( 1;2) và đường thẳng d

′

− đi qua A có hệ số góc bằng 1 . Gọi B là đường
thẳng di động trên d . Gọi C là điểm sao cho tứ giác OABC là hình bình hành .Tìm phương trình tập
hợp :

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Qua A( 1;2)

(AB): (AB) : y 2 1(x 1) y x 3
Hsg : k = 1

Vậy B chạy trên d thì I chạy trên d // d và đi qua trung điểm M( ;1) củ a đoạn OA .
2

3
Vaäy d : x y = 0 .

2
b) Ta

⎧ −

→ − = + ⇔ = +

⎨
⎩

′ −

′ − +
i

i
�

�

� coù : OG 2OB G VO2/3(B) . Vậy G chạy trên đt d // d và qua điểm N( 2 4; ) VO2/3(A).

3 3 3

d : x y 2 = 0 .

10 Tìm ảnh của các đường thẳng d qu a phép vị tự tâm I , t
′′

= ⇒ = − ==

′′

⇒ − +

��

ỉ số k :
2

a) d : 3x y 5 = 0 ,V(O; ) d : 9x 3y 10 0
3

b) d : 2x y 4 = 0 ,V(O;3)

′

− − − → − + =

+ − d : 2x y 12 0
c) d : 2x y 4 = 0 ,V(I; 2) với I( 1;2) d : 2x y 8 0
d)

′

→ + − =

′

+ − − − → + + =

d : x 2y 4 = 0 ,V(I;2) với I(2; 1) + − − →d : x 2y 8 0′ + − =
11 Tìm ảnh của các đường tròn (C) q ua phép vị tự tâm I , tỉ số k : (Có 2 cách giải )

2 2

a) (C) : (x 1)− +(y 2) = 5 ,V(O; 2) + − →(C) : (x 2)+ 2 (y 4) = 202

2 2 2 2

b) (C) : (x 1) (y 1) = 4 ,V(O; 2) (C) : (x 2) (y 2) = 16

2 2

c) (C) : (x 3) (y 1) = 5 ,V(I; 2) với I(1;2)

+ −

− + − → − + −

− + + − (C) : (x 3)2 (y 8) = 202
12 Tìm phép vị tự biến d thành d :

x y

a) d : 1,d : 2x y 6 0,V(O; k)
2 4

→ + + −

′
′

− = − − = k = .2

3
HD : d : 2x y 4 0 // d : 2x y 6 0 . Laáy A(2;0) d,B(3;0) d .

3
Vì : phép vị tự V(O;k) : A B OB kOA . Vì : OA= (2;0),OB (3;0) OB OA

→

′ ′

− − = − − = ∈ ∈

⎯⎯→ ⇔ = = ⇒ =

��

3 3

V(O; ) V(O; )

2 2

Vaäy : A B d d

Lưu ý : Vì O,A,B thẳng hàng nên ta chọn chúng cùng nằm trên một đườn g thẳng . Để đơn giản ta chọn
chúng cùng nằm trên Ox hoặc Oy

′

⎯⎯⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯⎯⎯→

I I

+ + = − + − = − −

− = =

⎯⎯⎯⎯→

2 2 2 2

b) (C ) : (x 4)1 y 2 ; (C ) : (x 2)2 (y 3) 8 V(I; 2),I( 2;1)
HD :

(C ) coù taâm I ( 4; 0),R1 1 1 2 , (C ) có tâm I (2;3),R2 2 2 2 2
V(I;k)

Gỉa sử :(C )1 I
�

� (C ) thì :2

= ⇔ = = ⇔ = ±

− − − = − − − − ⇒ −

− − = − − − ⇒ − −

��
i

R2 | k | R1 | k | 2 k 2
R1

II2 kII thì 1

k = 2 . Goïi I(x ; y ) thì (2 x ;3 y )o o o o 2( 4 x ; y )o o I( 2;1)
k = 2 . Goïi I(x ; y ) thì (2 x ;3 y ) 2( 4 x ; y )o o o o o o I( 10; 3)

�
�

⎯⎯→ − − − −

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

− 2+ − 2 − 2+ − 2

13 Trong mpOxy , cho 2 đường tròn (C ) :(x 1)1 (y 3) = 1 và (C ) : (x 4)2 (y 3) = 4 .
a) Xác định toạ độ tâm vị tự ngồi của hai đường trịn đó .

b) Viết phương trình các tiếp tuyến c

= =

=
��

hung ngồi của hai đường trịn đó .
HD : (C ) có tâm I (1;3) , bk : R1 1 1 1 ; (C ) có tâm I (4;3) , bk : R2 2 2 2 .

a) Gọi I là tâm vị tự ngoài của (C ) và (C ) , ta có : II1 2 2 kII với1 k = R2 =2 =2⇒I( 2;3)−
R1 1

∆ ⇒ ∆ − ⇔ − + + =

∆

∆ ⇔ ∆ = ⇔ = ± ⇒

b) Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn là tiếp tuyến từ I đến (C ).1

Gọi đt đi qua I và có hệ số góc k :y 3 = k(x+2) ky y 3 2k 0 .
1

tiếp xúc (C )1 d(I ; ) R1 1 k

2 2

⎡ − + + =

⎢

∆ + − + =

⎢⎣

: 2.x 4y 12 3 2 0
1

: 2.x 4y 12 3 2 0
2

� �
′

14 Cho đường trịn (O,R) đường kính AB . Một đường tròn (O ) tiếp xúc với (O,R) và đoạn AB tại
C, D , đường thẳng CD cắt (O,R) tại I . Chứng minh rằng : AI BI .

HD :

C là tâm v

� ′

′

∈ ∈

′ ′

′

⎯⎯→ ⎯⎯→

′

⇒ ⇒ ⊥

ị tự của 2 đường tròn (O) và (O ) .
D (O ), I (O) và ba điểm C,D,I thẳng hàng .
Gọi R là bán kính của đường trịn (O ) , khi đó :

R
R

VC : O O ,I D
OI // O D OI AB (V

I I

�

� � �

′ ⊥

⇒ ⇒ =

ì O D AB)
I là trung điểm của AB AI BI .

′ ′ ′

′ ′

15 Cho hai đường tròn (O,R) và (O , R ) tiếp xúc trong tại A (R > R ) .
Đường kính qua A cắt (O,R) tại B và cắt (O , R ) tại C . Một đường

thẳng di động qua A cắt (O, R) tại M và ca ′ ′ ∩

∆ ∼∆ =

ét (O , R ) taïi N . Tìm quỹ tích của I = BN CM .
HD :

IC CN
Ta có : BM // CN . Hai BMI NCI . Do đó :

IM BM

∆ ∆ =

′ ′ ′

⇒ = = = ⇒ =

′

+ +

′
=

′ ′ + ′

⇒ = ⇒ = ⇒ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

′ ′

+ +

ω
∼

��
AC CN
Hai ACN ABM . Do đó :

AB BM

IC AC 2R R IC R

IM AB 2R R IM IC R R

R
V(C;k )

CI R R R R

CI CM M : I

CM R R R R

Vậy : Tập hợp các điểm I là đường tròn ( ) vị tự của đường

′
=

′
+
R
tròn (O,R) trong phép vị tự V(C ; k ) .

R R
∆

′ ′ ′

∆

16 Cho ABC . Gọi I , J . M theo thứ tự là trung điểm của AB, AC và IJ . Đường tròn ngoại tiếp tâm O
của AIJ , cắt AO tại A . Gọi M là chân đường vng góc hạ từ A xuống BC

′

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

= =

∆ ⎯⎯⎯⎯→ ∆

′ ′

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

′ ′

≡ ⇒

Goïi M là trung điểm BC .Ta có : AB 2AI và AC 2AJ1
V(A;2)

Từ đó : AIJ ABC . Khi đó :

V(A;2): O A ,M M 1 OM IJ A M1 BC .
Như thế : M1 M A,M,M thẳng hàng ( vì A,M

I I

,M thẳng hàng )1
∆

∆

17 Cho ABC . Gọi A ,B ,C tương ứng là trung điểm của BC,CA,1 1 1
AB. Kẻ A x,B y,C z lần lượt song song với các đường phân giác trong1 1 1
của các góc A,B,C của ABC . Chứng minh : A x,B y,C z1 1 1 đồng quy.

− ∆

∆

⎯⎯→ ⎯⎯→ ⎯⎯→

⎯⎯→ = − ⇒

HD :

Xét phép vị tự tâm G , tỉ số . G l à trọng tâm ABC ,
2

I là tâm đường trịn nợi tiếp ABC .

Ta có : AJ A x , BI1 B y , CI1 C z ,1
GI 1

I J ( ) A x, B y,C z đồng quy tạ1 1 1
GJ 2

I I I

I i J .

≠

18 Cho hai đường tròn (O ,R ) và (O ,R ) ngoài nhau1 1 2 2
R1 R . Một đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc ngoài 2
với (O ) tại A và tiếp xúc ngoài với (O ) tại B . Chứng1 2
minh rằng : Đường thẳng AB luôn luôn đi qua một điểm
cố định .

��
��
��

HD :

A là tâm vị tự biến (O ) thành (O) : AO và AO ngược hướng .1 1
B là tâm vị tự biến (O) thành (O ) : AO và AO ngược hướng .2 1
Kéo dài AB cắt (O ) tại C : AO và�� ��2 CO ngược hướng .��2

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

′ ′ ′ ′ ′ ′

∆ ∆

′ ′⊥ ′ ′⊥ ′ ′⊥

19 Cho ABC . Người ta muốn định ba điểm A ,B ,C lần lượt trên các cạnh BC,CA,AB sao cho A B C
đều và A B CA , B C AB và C A BC .

1. Gọi E,F,K lần lượt là chân các đường cao

′ ′ ′

′ ′ ′ =

′ ′ ′
∆

��

phát xuất từ A,B,C .

2/3 2/3 2/3

Ñaët : C = VB (A),A = VB (E),B = VB (F).
2
2/3

a) Nghiệm lại rằng : A = VB (E) và B C CK .
3
b) Suy ra rằng : A B C đều .

2. Chứng minh rằng trực ∆ ∆ ′ ′ ′

∆ ∆

′

tâm H của ABC cũng là trọng tâm của A B C .

HD :

a 3

Trong ABC đều các đướng cao : AE = BF = CK = .(a là cạnh của ABC)
2

và E,F,K lần lượt là trung điểm các cạnh .

1. a) Vì A = V ⇔ ′= ⇔ + ′= ⇔ ′= ′

′ ⇔ ′= ⇔ + ′= ⇔ ′= − = ⇔ ′

��
��

2 2 1 2

2/3(E) BA BE BC CA ( BC) CA CB . Vaäy : A = V2/3(E) .

B 3 3 2 3 B

2 2 1 2

2/3 2/3

Vì C = VB (A) BC BA BA AC BA AC BA AK B = VA (C).

3 3 3 3

′ ′ ′ ′

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ ⇒ =

��

2/3 2/3

A A

V V 2

Vaäy : C B , K C B C CK .
3

I I

′ ′

⎧ ⊥

⎪
′ ′ = ⇒ ⎨

′ ′
⎪
⎩
i
��

B C // CK cùng AB
2

b) Ta có : B C CK 2 a 3
3 B C = CK =

3 3

′ ′= ′ ′=

�� 2�� 2
Tương tự : C A AE và A B BF .

3 3

′ ′⊥ ′ ′⊥ ′ ′⊥ ′ ′ ′ ′ ′ ′ a 3 ⇒ ∆ ′ ′ ′
Vậy : B C AB,C A BC,A B AC và B C = C A = A B = A B C đều .

3
∆

′ ′ ′

= = ⇒ − = − ⇔ =

′ ′

��

2. Trực tâm H của ABC cũng là trọng tâm của tam giác đó , nên :

2 2 2 2

BH BF. Maø : BC BA BH BC (BF BA) C H AF .

3 3 3 3

Vaäy : C H // AF . Suy ra : C ⊥ ′ ′
′ ⊥ ′ ′

H A B
Lý luận tương tự : A H B C .

Va
Va
Va

Vấááánnnn đđđđeeeềààà 8888:::: PHEPHEPHEPHÉÙÙÙPPPP ĐĐĐOOỒÀÀÀNGNGNGNG DADADADẠÏÏÏNGNGNGNG
A.

A.

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

′ ′ ′

N là ảnh của chúng , ta có M N = k.MN .

2 ĐL : Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k> 0) đều là hợp thành của một phép vị tự tỉ số k và một phép
dời hình D.

3 Hệ quả : (Tính chất ) Phép đồng dạng :

1. Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng (và bảo toàn thứ tự ) .
2. Biến đường thẳng thành đường thẳng .

3. Biến tia thành tia .

4. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên k ( k là tỉ số đồn
′

g dạng ) .
5. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó ( tỉ số k).

6. Biến đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính R = k.R .
7. Biến góc thành góc bằng nó .

⇔ ∃ ⎯⎯→

Hai hình đồng dạng :

ĐN : Hai hình gọi là đồng dạng với nhau nếu có phép đồng biến hình này thành hình kia .
F

H đồng dạng G F đồng dạng : H I G

∉
1 Cho điểm M

a) Dựng ảnh của phép đồng dạng F là hợp thành của phép đối xứng trục Đ và phép vị tự V tâm O ,a
với O a , tỉ số k = 2 .

b) Dựng ảnh của phép đồng dạng F là −
ϕ

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

∈ ≡

∉

�
2

a O

hợp thành của phép vị tự V tâm O , tỉ số k = 3 và phép quay
tâm I với góc quay = 90 .

Giải

Đ V

a) Gọi : M M1 M2

M (a) thì M1 M và M là trung điểm OM2
M (a) v

I I

�

� ≠

∉ ≡

i
i
i
i

à O M thì :1
a là trung trực đoạn MM1
M là trung điểm đoạn OM 1 2
M (a) và O M thì :1

a là trung trực đoạn MM1
M là trung điểm đoạn OM 1 2
b) Gọ

�

−

⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→

= − =

�

�� �

3 90

O I

V Q

i M M1 M . Khi đó : 2
OM1 3OM , IM = IM và (IM ; IM) 901 1

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

∆

∆ ∆

2 Cho ABC có đường cao AH . H ở trên đoạn BC . Biết AH = 4 , HB = 2 , HC = 8 . Phép đồng dạng F
biến HBA thành HAC . F được hợp thành bởi hai phép biến hình nào dưới đây ?

A) P

��

1
hép đối xứng tâm H và phép vị tự tâm H tỉ số k = .

2
B) Phép tịnh tiến theo BA và phép vị tự tâm H tỉ số k = 2 .
C) Phép vị tự tâm H tỉ số k = 2 và phép quay tâm H , góc (H

ϕ ϕ ⎯⎯→ ⎯⎯→

∆

B;HA) .
D) Phép vị tự tâm H tỉ số k = 2 và phép đối xứng trục .

HD :
2

Phép V và Q(H; ) với = (HB;HA) : BH A , A C
Vậy : F là phép đồng dạng hợp thành bởi V và Q biến HB

I I

∆
A thaønh HAC .

+ =

∆ ∆ ∆

�� ��

3 Cho hình bình hành ABCD có tâm O . Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IA 2IB 0 và gọi G là
trọng tâm của ABD . F là phép đồng dạng biến AGI thành COD . F được hợp thành

−
��

bởi hai phép
biến hình nào sau đây ?

A) Phép tịnh tiến theo GO và phép vị tự V(B; 1) .
1
B) Phép đối xứng tâm G và phép vị tự V(B; ).

2
3

C) Phép vị tự V(A; ) và phép đối xứng

2 taâm O .

D) Phép vị tự V(A; ) và phép đối xứng tâm G .
3

∆ =

⎯⎯⎯→ ⎯

��
i

i
i

2/3

O
A

HD :

3
Vì G là trọng tâm ABD nên AO AG

2
3

Theo giả thiết , ta có : AB AJ .
2

Phép đối xứng tâm O , biến A thành C và B thành D ( O là bất biến )
Đ

AI AI ⎯⎯→ i ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ i ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→

2/3 2/3

O O

A Ñ A Ñ

V V

C . GI O I O . II BI D .

⇒ ∆ ⎯⎯⎯⎯→ ∆ ⎯⎯⎯O→ ∆

V(A; ) Ñ

AGI AOB COD

Phép đồng dạng F

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

QUAN

QUAN H

H

HỆ

Ệ

Ệ SONG

SONG

SONG SONG

SONG

N

N
N

NỘỘỘỘIIII DUNGDUNGDUNGDUNG

- Hai đường thẳng song song

- Đường thẳng song song với mặt phẳng

- Hai mặt phẳng song song

I)

I) T

T

Tó

ó

óm

m

m ttttắ

ắ

ắtttt llllý

ý

ý thuy

thuy

thuyếếếếtttt v

v

vềềềề hai

hai

hai đườ

đườ

đường

ng

ng th

th

thẳ

ẳ

ẳng

ng

ng song

song

song song

song

1))))

Nh

Nhậ

ậ

ận

n

n x

x

xéééétttt

Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong khơng gian, có hai khả năng xảy ra:

a) Khơng có mặt phẳng nào chứa cả a và b. Ta nói: a và b chéo nhau.

b) Có mặt phẳng chứa cả a và b. Ta nói a và b dồng phẳng. Lúc đó ta có các

trường hợp sau xảy ra :

i)

a

�

b

ii)

a và b cắt nhau

2 )))) Đị

Đị

Định

nh

nh ngh

ngh

nghĩĩĩĩa

a

+ Hai đường thẳng gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trong một

mặt phẳng.

+ Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và khơng có

điểm chung. Kí hiệu: a║b.

3)

Hai

Hai đườ

đườ

đường

ng

ng th

thẳ

th

ẳ

ẳng

ng

ng song

song

song song

song

+

T

Tíííính

nh

nh ch

chấ

ch

ấ

ấtttt 1

1

: Trong khơng gian, qua một điểm ngồi một đường thẳng có

một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

+

T

Tíííính

nh

nh ch

chấ

ch

ấ

ấtttt 2

2

: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường

thẳng thứ ba thì song song với nhau.

+

Đị

Định

nh

nh llllíííí

: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao

tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

+

H

Hệệệệ qu

qu

quả

ả

: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song

song thì giao tuyến của chúng ( nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng

với một trong hai đường thẳng đó.

CH

CHỦ

Ủ

Ủ ĐỀ

ĐỀ

ĐỀ 1

1

-

Xác định giao tuyến của hai mặt phằng( có yếu tố song song)

-

Chứng minh hai đường thẳng song song

• X

Xá

á

ácccc đị

đị

định

nh

nh giao

giao

giao tuy

giao

tuy

tuyếếếến

n

n hai

hai m

hai

m

mặ

ặ

ặtttt ph

ph

phẳ

ẳ

ẳng

ng

ng (P)

(P)

(P) vvvvà

(P)

à

à (Q)

(Q)

(Q) ta

ta th

ta

th

thự

ự

ựcccc hi

hi

hiệệệện

n

:

+ Tìm A

∈

(P)

∩

(Q)

+ Xác định phương của giao tuyến dựa vào hệ quả (trong phần tóm tắt lí

thuyết).

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

* Phối hợp hai cách trên.

VD

: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N,P lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC và CD.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD).

b) Xác định giao điểm Q của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP). Chứng

minh rằng tứ giác MNPQ là một hình bình hành.

Giải

B

BBB DDDD

C
CCC

A
A
A
A

d
ddd
M

M
M
M

N
N
N

N PPPP

a) Ta có : M

∈

(MNP)

∩

(ABD)

Và NP║BD (tính chất đường trung bình)

NP

⊂

(MNP)

BD

⊂

(ABD)

⇒

(MNP)

∩

(ABD) = d

Với d║ BD║ NP và d qua M.

b) Trong mp(ABD), ta có : d

∩

AD = Q

⇒

; ( )

Q AD

Q d d MNP

∈
⎧
⎨

∈ ⊂

⎩

( )

Q AD

Q MNP

∈
⎧
⇒ ⎨

∈
⎩

( )

Q AD MNP

⇒ = ∩

Ta có : MQ║BD

2
BD

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

NP║BD và

2
NP=

Vậy có : MQ║ NP và MQ = NP

⇒

MNPQ là hình bình hành.

B

BÀ

À

ÀIIII T

T

TẬ

Ậ

ẬP

P

P R

R

RÈ

È

ÈN

N

N LUY

LUY

LUYỆ

Ệ

ỆN

N

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p

p 1

1

:

Cho tứ diện ABCD; P, Q lần lượt là trung điểm AB và CD; điểm R nằm

trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng

minh rằng : AS =2SD.

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p

p 2

2

:

Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD.

a) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi

qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy.

b) Gọi A

’

là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng : GA = 3A

’

G.

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p

p 3

3

:

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AD cắt BC. Hãy tìm điểm M nằm

trên cạnh SD và điểm N nằm trên cạnh SC sao cho AM║BM.

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p

p 4

4

:

Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và BD; E

là một điểm thuộc cạnh AD khác với A và D.

a) Xác định thiết diện của hình tứ điện cắt bởi mp(IJE).

b) Tìm vị trí của E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.

c) Tìm điều kiện của tứ diện và vị trí điểm E trên cạnh AD để thiết diện là

một hình thoi.

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p

p 5

5

:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là

trọng tâm của hai tam giác SAB và SAD. E là trung điểm của CB.

a) Chứng minh rằng : MN║BD.

b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp (MNE).

c) Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mp(MNE) với các cạnh SB và

SD. Chứng minh rằng : LH║BD.

II)

II) T

T

TĨ

Ĩ

ĨM

M

M T

T

TẮ

Ắ

ẮT

T

T L

L

LÍÍÍÍ THUY

THUY

THUYẾ

Ế

ẾT

T

T V

V

VỀ

Ề

Ề ĐƯỜ

ĐƯỜ

ĐƯỜNG

NG

NG TH

TH

THẲ

Ẳ

ẲNG

Ẳ

NG

NG SONG

SONG

SONG SONG

SONG

SONG V

V

VỚ

Ớ

ỚIIII

M

MẶ

Ặ

ẶT

T

T PH

PH

PHẲ

Ẳ

ẲNG

NG

1)

1) V

V

Vịịịị tr

tr

tríííí ttttươ

ươ

ương

ng

ng đố

đố

đốiiii gi

gi

giữ

ữ

ữa

a

a đườ

đườ

đường

ng

ng th

th

thẳ

ẳ

ẳng

ng

ng v

v

và

à m

à

m

mặ

ặ

ặtttt ph

ph

phẳ

ẳ

ẳng

ng

Cho đường thẳng a và mp (P). Ta có :

+ a

⊂

(P) (a và (P) có hai điểm chung phân biệt)

+ a và (P) cắt nhau ( a và (P) có 1 điểm chung duy nhất)

+ a║mp (P) (a và (P) khơng có điểm chung)

Vậy : a║mp (P)

⇔

a

∩mp P( )= ∅

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

• Đị

Định

nh

nh llllíííí 1

1

: Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b nào đó nằm trên

mặt phẳng (P) khơng chứa a thì a song song với mặt phẳng (P).

Vậy : a không nằm trên (P)

a

�

b với b

⊂

mp (P)

⇒

a

�

mp (P)

• Đị

Định

nh

nh llllíííí 2

2

: Nếu đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song

với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng.

H

Hệệệệ qu

qu

quả

ả

ả a

a

: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt

phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt (P) theo một giao tuyến song song với a.

Vậy :

( )

( ) .

( ) ( )

a P

a Q a b

P Q b

⎫
⎪

⊂ ⎬⇒

⎪

∩ = ⎭

�

H

Hệệệệ qu

qu

quả

ả

ả b

b

: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng

thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy :

( ) ( ) .

( ) à ( )

P Q b

a b

a P v a Q

∩ = ⎫

⇒
⎬
⎭

�

� �

CH

CHỦ

Ủ

Ủ ĐỀ

ĐỀ

ĐỀ 2

2

:

Ch

Chứ

ứ

ứng

ng

ng minh

minh

minh đườ

đườ

đường

ng

ng th

thẳ

th

ẳ

ẳng

ng

ng song

song

song song

song

song v

v

vớ

ớ

ớiiii m

m

mộ

ộ

ộtttt m

m

mặ

ặ

ặtttt

ph

phẳ

ẳ

ẳng

ng

Ta dùng định lí :

A khơng nằm trên mp (P)

a

�

b với b

⊂

mp (p)

⇒

a

�

mp (p)

B

Bà

à

àiiii 1

1

: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của AB và CD.

a) Chứng minh rằng : MN

�

mp (SBC).

b) Gọi P là trung điểm SA. Chứng minh rằng : SC

�

mp (MNP).

Gi

Giả

ả

ảiiii

A

AAA DDDD

C
C
CC
B

BBB

S
SSS

M

M
M
M

N
N
NN
P

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

b) Gọi O = MN

∩

AC

⇒

O là trung điểm của AC

Mà P là trung điểm của SA

⇒

OP là đường trung bình của tam giác SAC

⇒

OP

�

SC

Mà OP

⊂

(MNP)

⇒

SC

�

mp (MNP).

Bài 2 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AC, CD,

DB.

a) Xác định giao điểm E của BI và mp (AKJ)

b) Chứng minh rằng : AB

�

mp (CDE).

c) Gọi G là giao điểm của KE và mp (ACD). Chứng minh rằng G là

trọng tâm của tam giác ACD.

CH

CHỦ

Ủ

Ủ ĐỀ

ĐỀ

ĐỀ 3

3

:

Thi

Thiếếếếtttt di

di

diệệệện

n

n ccccủ

ủ

ủa

a

a h

h

hìììình

nh

nh ch

nh

ch

chó

ó

óp

p

p vvvvà

à

à m

m

mặ

ặ

ặtttt ph

phẳ

ph

ẳ

ẳng

ng

ng (((( ccccó

ó

ó yyyyếếếếu

u ttttố

u

ố

ố đườ

đườ

đường

ng

ng th

th

thẳ

ẳ

ẳng

ng

ng song

song

song vvvvớ

ớ

ớiiii m

m

mặ

ặtttt ph

ặ

ph

phẳ

ẳ

ẳng)

ng)

Thông thường ta dùng hệ quả a).

a

�

(P)

a

⊂

(Q)

(P)

∩

(Q) = b

⇒

a

�

b.

VD

: Cho hình chóp tam giác ABCD; M là điểm giữa A và C. Mặt phẳng (P) qua

M và mp (P) song song với AB và CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp

(P). Thiết diện đó là hình gì?

Giải

Ta có :

( ) ( )

à AB (ABC)

AB (P)

M P ABC

m

∈ ∩ ⎫

⎪

⊂ ⎬

⎪
⎭
�

⇒

(P)

∩

(Q) = Mt với Mt

�

AB

Gọi N = Mt

∩

BC

Vậy : MN

�

AB

(a)

Ta có : N

∈

(P)

∩

(BCD)

CD

⊂

(BCD)

CD

�

(P)

⇒

(P)

∩

(BCD) = Nx với Nx

�

CD

Gọi Nx

∩

BD = P

Vậy : NP

�

CD

(b)

Ta có :

( ) ( )

( )

p P ABD

AB ABD

∈ ∩

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

⇒

(P)

∩

(BCD) = Py với Py

�

AB

Gọi Py

∩

AD = Q

Vậy : PQ

�

AB

(c)

Ta có :

( ) ( )

( )

QM P ACD

CD ACD QM CD

CD P

= ∩ ⎫

⎪

⊂ ⎬⇒

⎪
⎭

�
�

(d)

Vậy thiết diện của hình chóp tam giác ABCD cắt bởi mp (P) là tứ giác MNPQ.

Từ (a) và (c) cho : MN

�

PQ

Từ (b) và (d) cho : NP

�

MQ

Suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

B

Bà

à

àiiii T

T

Tậ

ậ

ập

p

: Cho tứ diện ABCD có AB =AC=CD=a, M là điểm trên cạnh AC sao cho AM

= x (với 0 < x < a). Mặt phẳng (P) qua M song song với AB và CD; (P) cắt các cạnh BC,

BD, AD lần lượt tại N, P, Q.

a) Tứ giác MNPQ là hình gì ?

b) Giả sử MN vng góc với NP. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x.

Tìm giá trị của x để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất.

B

BÀ

À

ÀIIII T

T

TẬ

Ậ

ẬP

P

P R

RÈ

R

È

ÈN

N

N LUY

LUY

LUYỆ

Ệ

ỆN

N

B

Bà

à

àiiii 1

1

: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AB.

Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác SCD và SAB.

a) Chứng minh đường thẳng MN song song với mp (ABCD).

b) Mặt phẳng (MAB) cắt SD, SC tai I, J. Chứng minh In song song với mp

(ABCD).

c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp (IJN).

B

Bà

à

àiiii 2

2

: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng và SAB là tam giác

đều. Lấy điểm M trên cạnh BC và điểm K trên cạnh SA sao cho BM = AK.

a) Chứng minh rằng MK song song với mp (SCD)

b) Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song AB, SB. (P) cắt SC, SD và

AD theo thứ tự tại N, P, Q. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình

thang.

B

Bà

à

àiiii 3

3

: Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của tam giác ABD, I là điểm nằm trên

cạnh BC sao cho BI= 2IC. Chứng minh rằng IG song song với mặt phẳng (ACD).

B

Bà

à

àiiii 4

4

: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung

điểm của SC; mp (P) qua đường thẳng A và song song với BD.

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Chứng minh rằng ba điểm K, A, J cùng thuộc một đường thẳng song

song với EF và tỉ số

EF

LJ

.

III)

III) T

T

TĨ

Ĩ

ĨM

M

M T

T

TẮ

Ắ

ẮT

T L

T

L

LÍÍÍÍ THUY

THUY

THUYẾ

Ế

ẾT

T

T V

V

VỀ

Ề

Ề HAI

HAI

HAI M

M

MẶ

Ặ

ẶT

T

T PH

PH

PHẲ

Ẳ

ẲNG

NG

NG SONG

SONG

SONG SONG

SONG

1)

1) V

V

Vịịịị tr

tr

tríííí ttttươ

ươ

ương

ng

ng đố

đố

đốiiii ccccủ

ủ

ủa

a

a hai

hai

hai m

mặ

m

ặ

ặtttt ph

ph

phẳ

ẳ

ẳng

ng

ng ph

ph

phâ

â

ân

n

n bi

bi

biệệệệtttt

(P)

∩

(Q) = a ( (P) cắt (Q) theo giao tuyến a)

(p)

�

(Q) ((P) và (Q) song song với nhau)

Vậy : (P)

�

(Q)

⇔

(P)

∩

(Q) =

∅

2)

2) Đ

Đ

Điiiiềềềều

u

u ki

kiệệệện

ki

n

n để

để

để hai

hai

hai m

m

mặ

ặ

ặtttt ph

ph

phẳ

ẳ

ẳng

ẳ

ng

ng song

song

song song

song

Đị

Định

nh

nh llllíííí 1

1

: Nếu mặt (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song

với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

Vậy :

a

∩

b = I

a

⊂

(P), b

⊂

(P)

a

�

(Q), b

�

(Q)

⇒

(P)

�

(Q).

3)

T

Tíííính

nh

nh ch

ch

chấ

ấ

ấtttt

:

• T

Tíííính

nh

nh ch

ch

chấ

ấ

ấtttt 1

1

: Qua một điểm nằm ngồi mặt phẳng, có một và chỉ một mặt

phẳng song song với mặt phẳng đó.

Hệ quả :

-

Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì qua a có một và chỉ

một mặt phẳng (p) song song với (Q).

-

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song

song nhau.

• T

Tíííính

nh

nh ch

ch

chấ

ấ

ấtttt 2

2

: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R)

đã cắt (P) thì cũng cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song với nhau.

Vậy : (P)

�

(Q)

(R)

∩

(P) = a

( )R ( )Q b và a b.

⇒ ∩ = �

4)

4) Đị

Đị

Định

nh

nh llllíííí Ta-l

Ta-l

Ta-léééétttt trong

trong

trong kh

kh

khơ

ơ

ơng

ng

ng gian

gian

Định lí 2 ( Định lí Ta-lét)

Ba mặt phẳng đơi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng

tương ứng tỉ lệ.

Định lí 3 (Định lí Ta-lét đảo)

Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a

’

lần lượt lấy các điểm A, B, C và

A

’

, B

’

, C

’

sao cho :

' ' ' ' ' '

AB BC CA

A B = B C =C A

Khi đó ba đường thẳng AA

’

, BB

’

, CC

’

lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

CH

CHỦ

Ủ

Ủ ĐỀ

ĐỀ

ĐỀ 4:

4:

4: CH

CH

CHỨ

CH

Ứ

ỨNG

NG

NG MINH

MINH

MINH HAI

HAI

HAI M

M

MẶ

M

Ặ

ẶT

T

T PH

PH

PHẲ

ẲNG

Ẳ

NG

NG SONG

SONG

SONG SONG

SONG

Để

Để ch

ch

chứ

ứ

ứng

ng

ng minh

minh

minh hai

hai

hai m

m

mặ

ặ

ặtttt ph

ph

phẳ

ẳ

ẳng

ng

ng song

song

song song,

song,

song, ta

ta

ta ch

ch

chứ

ch

ứ

ứng

ng

ng minh

minh

minh tr

tr

trêêêên

n

n m

m

mặ

ặtttt ph

ặ

ph

phẳ

ẳ

ẳng

ng

ng n

n

nà

à

àyyyy ccccó

ó

ó hai

hai

đườ

đường

ng

ng th

th

thẳ

ẳ

ẳng

ng

ng ccccắ

ắ

ắtttt nhau

nhau

nhau ccccù

ù

ùng

ng

ng song

song

song song

song

song vvvvớ

ớ

ớiiii m

m

mặ

ặ

ặtttt ph

ph

phẳ

ẳ

ẳng

ng

ng ccccị

ị

ịn

n

n llllạ

ạ

ại.

i.

Vd:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi

M,N lần lượt là trung điểm của SA và SD .

a) Chứng minh mp (OMN)

�

(SBC).

b) Gọi H là trung điểm OM. Chứng minh : HN

�

(SBC).

Giải

a) Ta có MN

�

AD (do MN là đtb của tam giác SAD)

Mà AD

�

BC

⇒

MN

�

BC

Mà BC

⊂

(SBC)

⇒

MN

�

(SBC).

Mặt khác : ON

�

SB

⊂

(SBC)

⇒

ON

�

(SBC).

Vậy có : MN

�

(SBC)

ON

�

(SBC)

MN

∩

ON = N

MN,ON

⊂

OMN)

Do đó : (OMN)

�

(SBC) (đpcm).

b) Ta có: (OMN)

�

(SBC)

mà HN

⊂

(OMN)

⇒

HN

�

(SBC) (đpcm).

B

BÀ

À

ÀIIII T

T

TẬ

Ậ

ẬP

P

P R

R

RÈ

R

È

ÈN

N

N LUY

LUY

LUYỆ

Ệ

ỆN

N

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi Bx, Cy, Dz là ba nửa đường thẳng song song

nhau đơi một và nằm một phía đối với mp(ABCD). Gọi M, N là hai điểm di động trên

Bx, Dz sao cho BM =DN = x ( với x > 0) và Cy cắt mp (AMN) tại P

a) Tứ giác AMPN là hình gì?

b) Chứng rằng khi x thay đổi thì (AMN) ln đi qua một đi qua một đường thẳng

cố định.

c) Gọi K là trung điểm của CP. Chứng minh rằng : (KMN) // (ABCD).

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. M và N là hai điểm di động lần lượt trên hai cạnh AD và BC

sao cho AM = BN. Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

CH

CHỦ

Ủ

Ủ ĐỀ

ĐỀ

ĐỀ 5:

5:

5: H

HÌÌÌÌNH

H

NH

NH L

L

LĂ

Ă

ĂNG

NG

NG TR

TR

TRỤ

Ụ

Ụ ---- H

H

HÌÌÌÌNH

NH

NH H

H

HỘ

Ộ

ỘP

P

Ch

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

● Hình hợp có :

+ Có tắt cả 6 mặt là hình bình hành

+ có 4 đường chéo đồng quy tại trung điểm I của mỗi đường. I gọi là

tâm hình hộp.

B

Bà

à

àiiii 1

1

: Cho hình lăng trụ tam giác tam giác ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của cạnh

A’B’.

a) Chứng minh CB’ song song với mp (AHC’).

b) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (A’BC). Chứng minh d

song song mp (BB’C’C).

B

Bà

à

àiiii 2

2

:

Cho hình hợp

ABCD.A’B’C’D’.

a) Xác định giao điểm G của AC’ với mp (B’CD’). Chứng minh G là trọng tâm

ΔB’CD’.

b)

Chứng minh : (A’BD)//(B’CD’).

CH

CHỦ

Ủ

Ủ ĐỀ

ĐỀ

ĐỀ 6:

6:

6: PH

PH

PHÉ

É

ÉP

P

P CHI

CHI

CHIẾ

Ế

ẾU

U

U SONG

SONG

SONG SONG

SONG

1.

Kh

Khá

á

áiiii ni

ni

niệệệệm

m

m ph

ph

phéééép

p

p chi

chi

chiếếếếu

u

u song

song

song song

song

*

Cho mp (P) và một đường lcắt mp (P).

Phép chiếu song song lên mp(P) theo phương chiếu l là phép đặt tương ứng

mổi điểm M với điểm M’ là giao điểm của mp(P) với đường thẳng đi qua M

và song song với đường thẳng l.

*

Hình biểu diển của một hình H trong khơng gian là hình chiếu H’

Của H qua một phép chiếu song song ( hoặc một hình đồng dạng

Với H’)

Ta cịn nói : H’ là ảnh của H qua phép chiếu song song đó.

2.

T

Tíííính

nh

nh ch

ch

chấ

ấ

ấtttt

Chỉ xét hình chiếu song song cvua3 các đoạn thẳng, đường thẳng không song

song hoặc trùng vời phương chiếu l.

�

Hình chiếu song song với đường thẳng là đường thẳng.

�

Hình chiếu song song của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng, của một tia là

một tia.

�

Hình chiếu song song của hai đường song song là hai đoạn thẳng song song

hoặc trùng nhau.

�

Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số của hai đoạn thẳng song song

hoặc trùng nhau.

3.

H

Hìììình

nh

nh bi

bi

biểểểểu

u di

u

di

diểểểển

n

n song

song

song song

song

song ccccủ

ủa

ủ

a

a m

m

mộ

ộ

ộtttt h

h

hìììình

nh

nh trong

nh

trong

trong kh

kh

khơ

ơ

ơng

ng

ng gian

gian

�

Một hình tam giác ABC có hình chiếu song song có thể xem là hình biểu diển

bất kì của một tam giác nào( tam giác thường, tam giác vuông, tam giác

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

�

Một hình bình hành ABCD có thể xem là hình biểu diễn của bất kì hình bình

hành nào, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng.

�

Hình biểu diển của một đường tròn là một đường elip hoặc đường trịn hoặc

đặc biệt có thể là một đoạn thẳng.

B

Bà

à

àiiii 1

1

: Cho tam giác ABC có hình chiếu song song là tam giác A’B’C’. Chứng minh

rằng trọng tâm G của tam giác ABC có hình chiếu song song là trọng ttâm G’ của tam

giác A’B’C’.

B

Bà

à

àiiii 2

2

: Cho tam giác ABC. Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) và phương chiếu l để hình

chiếu tam giác ABC trên mp (P)

a) là một tam giác cân

b) là một tam giác đều

c) là một tam giác vuông

B

BÀ

À

ÀIIII T

T

TẬ

Ậ

ẬP

P

P T

T

TỔ

Ổ

ỔNG

NG

NG H

H

HỢ

Ợ

ỢP

P

P V

V

VỀ

Ề

ỀQUAN

QUAN

QUAN H

QUAN

H

HỆ

Ệ

Ệ SONG

SONG

SONG SONG

SONG

B

Bà

à

àiiii 1

1

. Cho tứ diện ABCD cạnh bằng a. Lấy M trên cạnh AB, N trên cạnh CD sao cho

AM = DP = a

/

3. Mặt phẳng (p) qua MP song song với AC cắt BC tại N và AD tại Q.

Tính diện tích tứ giác MNPQ.

B

Bà

à

àiiii 2

2

. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của tam giác

ABC, ACC’và A’B’C’.

a) Chứng minh IJ song song mp (ABC’)

a) Chứng minh JK song song mp (BB’C’C)

a) Chứng minh (IJK)//(BB’C’c).

B

Bà

à

àiiii 3

3

: Cho hình chóp S.ABC và một điểm M nằm bên trong tam giác ABC . các đường

thẳng qua M lần lượt song song với các đường thẳng SA, SB, SC cắt các mặt phẳng

(SBC), (SCA), (SAB) tại A’, B’, C’.

1. Gọi N là giao điểm của SA’ với BC. Chứng minh rằng A, M ,N thẳng hàng.

2. Chứng minh rằng : S

ΔMBC

⁄S

ΔABC

= MA⁄

SA

3. Chứng minh rằng : MA’⁄

SA + MB’⁄

SB + MC’⁄

SC = 1.

B

Bà

à

àiiii 4

4

: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Một mp (P) lần lược cắt

các cạnh SA, SB, SC tại A’, B’, C’.

1. Tìm giao điểm D’ của SD và mp (P).

2. Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của A’C’ và SO. Chứng

minh rằng : SA⁄

SA’ + SC⁄

SC’ = 2SO⁄

SI.

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

I-I- Ph

Ph

Phươ

ươ

ương

ng tr

ng

tr

trìììình

nh

nh llllượ

ượ

ượng

ng

ng gi

gi

giá

á

ácccc ccccơ

ơ

ơ b

ơ

b

bả

ả

ản:

n:

��

Sinx

Sinx =a

=a

(((( cosx

cosx =

cosx

=

= a

a

a ))))

---- N

N

Nếếếếu

u

a >1

th

thìììì ph

ph

phươ

ươ

ương

ng

ng tr

tr

trìììình

nh

nh đã

đã

đã cho

cho

cho v

vơ

v

ơ

ơ nghi

nghi

nghiệệệệm.

m.

-N

-Nếếếếu

u

a ≤1

th

thìììì

*

2
sin sin
2

arcsin 2
sin
arcsin 2
x k

x k Z

x k

x a k

x a

x a k

α π
α
π α π
π
π π
= +
⎡
= ⇔⎢ ∈
= − +
⎣
= +
⎡
= ⇔ ⎢
= − +
⎣

2
sin sin
2

u v k

u v k Z

u v k

π
π π
= +
⎡
= ⇔⎢ ∈
= − +
⎣

*

2
cos cos
2
cos 2
cos
cos 2
x k

x k Z

x k

x arc a k

x a

x arc a k

α π
α
α π
π
π
= +
⎡
= ⇔ ⎢ ∈
= − +
⎣
= +
⎡
= ⇔ ⎢
= − +
⎣
2
cos cos
2

u v k

u v k Z

u v k

π
π
= +
⎡
= ⇔⎢ ∈
= − +
⎣

Đặ

Đặcccc bi

bi

biệệệệtttt

sin 1 2

x= ⇔ x=π +k π

sin 1 2

x= − ⇔ x= −π +k π

os 1 2

c x= ⇔ x=k π

os 0

c x= ⇔x=π +kπ

os 1 2

c x= − ⇔x=π+k π
sinx= ⇔0 x=kπ

�

Tan x = a

( cot x = a )

*

tanx=tan x= +k

tanx a x arctana k

α α π

π

⇔

= ⇔ = + tanu=tanv⇔u= +v kπ

*

t

cot

co x co

x

k

x a

x arc

a k

α

π

=

⇔ = +

= ⇔ =

+

co ut =co vt ⇔u= +v kπ

Đặ

Đặcccc bi

bi

biệệệệtttt

tan 1

x= ⇔ x=π +kπ cot 1

x= ⇔x=π +kπ

tan 1

x= − ⇔x= −π +kπ cot 1

x= − ⇔ x= −π +kπ

tanx=0⇔x=kπ cot 0

x= ⇔x=π +kπ

Ch

Chú

ú

ú ý

ý

ý::::

1
) cos
2
cos os
3
a x

x c π

=
⇔ =
1
1
) cos
2
cos os
3
a x

x c π π

−
=
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
1
sin
2
x=
sin sin
6
x π
⇔ =
1
sin
2

x= −

sin sin
6

x ⎛−π ⎞

⇔ = ⎜ ⎟

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

) cos
2
cos os
4
b x

x c π

=
⇔ =
1
2
) cos
2
cos os
4
b x

x c π π

−
=
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
2
sin
2
x=
sin sin

4
x π
⇔ =
2
sin
2

x= −

sin sin
4

x ⎛−π ⎞

⇔ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
) cos
2
cos os
6
c x

x c π

=
⇔ =
1
3
) cos

2
cos os
6
c x

x c π π

−
=
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
3
sin
2
x=
sin sin
3
x π
⇔ =
3
sin
2

x=−

sin sin
3

x ⎛−π ⎞

⇔ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
) tan
3
tan tan
6
g x
x π
=
⇔ =
1
3
) tan
3
tan tan
6
g x
x π
−
=
−
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠

) tan 3

tan tan

3
h x
x π
=
⇔ =

1) tan 3

tan tan
3
h x
x π
= −
−
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
3
) cot
3
cot cot
3
i x
x π
=
⇔ =
1
3
) cot
3

cot cot
3
i x
x π
−
=
−
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠

) cot 3

cot cot
6
k x
x π
=
⇔ =

1) cot 3

cot cot
6
k x
x π
= −
−
⎛ ⎞
⇔ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p

p ứ

ứ

ứng

ng

ng d

d

dụ

ụ

ụng:

ng:

B

Bà

à

àiiii 1:

1:

1: Gi

Gi

Giả

ả

ảiiii ccccá

á

ácccc ph

ph

phươ

ươ

ương

ng

ng tr

tr

trìììình

nh

nh sau:

sau:

1)

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∈
+
=
+
=
⇔
=
Z
k
k
x
k
x

x
π
π
π
π
π
2
3
2
2
3
3
sin
sin

2)

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
=
+
+
=
+

⇔
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
π
π
π
π
π
π
π
π
π
2
3
3
2
3
3
3
sin
3
sin
k
x

k
x
x
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
=
⇔
π
π
π
2
3
2
k
x
k
x

3)

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡

+
−
=
+
=
⇔
=
π
π
π
2
3
2
arcsin
2
3
2
arcsin
3
2
sin
k
x
k
x
x

4)

sin (x-15

)

=

5
3
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
=
−
+
=
−
⇔
0
0
0
0
0
360
5
3
arcsin
180
15
360
5

3
arcsin
15
k
x
k
x

5)

x= x⇔ x=± k∈Z

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

7)

2π
4
arccos
4

cosx= ⇔ x=± +k

8)

3 tanx – 3 = 0

⇔tanx= 3

3
tan

tan = π

⇔ x ⇔x=π +kπ

9)

3cot2x +

3 = 0

3
3
2

cot =−

⇔ x ⎟

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⇔
3
cot
2

cot x π

π
π

k
x=− +
⇔
3
2
2
6
π
π
k
x=− +
⇔

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p

p ttttự

ự

ự luy

luy

luyệệệện:

n:

B

Bà

à

àiiii 1:

1:

1: Gi

Giả

Gi

ả

ảiiii ccccá

á

ácccc ph

phươ

ph

ươ

ương

ng

ng tr

tr

trìììình

nh

nh sau:

sau:

1)

2 cosx + sin2x = 0

2) cos(

x

-2) = - cos(5

x

+2)

3) tan

x

= cot(

x

+60

),

x

∈

(0

; 270

)

4) tan 2x =

3

6) tan (2x

6
π

−

) = 1

7) cot

⎟

⎠
⎞
⎜

⎝
⎛

+200
4

x

=

− 3

B

Bà

à

àiiii 2:

2:

2: Gi

Giả

Gi

ả

ảiiii ccccá

á

ácccc ph

phươ

ph

ươ

ương

ng

ng tr

tr

trìììình

nh

nh sau:

sau:

2 2

1 2 sin 2 sin 0 8 sin cos 2 1 0

4 2

2 sin(2 ) 2 cos( ) 0 9 cos cos 2 1 0

3 3

3 2 sin( ) sin( 2 ) 0 10 sin( ) cos( 2 ) 1

3 3 6 3

3 2

4 3 cos( ) sin(3 ) 0 11 cos( 2 ) cos( ) 1 0

2 2 3 3

5 sin (5 ) cos (

x x x x

x

x x x

x

x
π π
π π π π
π π π
π
π

> + = > + − =

> + + + = > + + =

> − + − = > + + + =

> + + + = > + + + + =

> + −

2 2

) 0 12 tan 5 . tan 1

4
2

6 cot(3 ). tan( ) 1 13 tan . tan(2 ) 1 0

3 3 6

7 tan 2 . tan 3 1

x x

x x x x

x x

π

π π π

+ = > =

> + − = > − + =

> =

B

Bà

B

à

àiiii 3:

3:

3: T

T

Tììììm

m ttttậ

m

ậ

ập

p

p x

x

xá

á

ácccc đị

đị

định

nh

nh ccccá

á

ácccc h

hà

h

à

àm

m

m ssssố

ố

ố sau:

sau:

1 cos

1)

2sin

1 sin(

2)

cos 3

cos 2

x

y

x

y

x

−

=

+

−

=

−

3tan

3)

1 4)

3 cot 2

1 x

y

tanx

y

x

=

+

=

+

B

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

3 3

4 4

6 6

2 1)sin cos

sin

cos

8 2) tan

s

cos

1

3 3)sin(2

)

cot

cos(2

)

6

1 4) cos

sin

2

7 5) cos

sin

8

13 6) cos

sin

8 7) tan 3 tan(

) tan(

) 1

4 x

inx

x

π

−

=

+

=

−

+

−

=

+

=

+

=

−

+

=

9)sin cos cos 2 cos 4

4 3

10)1 cos 2

sin 2

0 11)1 cos8

2sin 4 cos 4

0 12)1-cos2x+2sinx =0

13)sinx+sin9x+sin3x+sin7x=0

14)cosx+cos9x+cos3x+cos7x=0

15)sinx+sin5x+sin3x=0

16) cos

cos 2

cos 3

0 17)cosx+cos3x+2cos2

x

= −

+

=

−

+

=

+

=

x=0

18)1+ cos 4

2sin 2 cos

0 19) cos 3

cos 2

cos

1 0

x

+

=

+

−

− =

8)2sin

x

−

sin

x

=

0 II-M

II-Mộ

ộ

ộtttt ssssố

ố

ố ph

ph

phươ

ươ

ương

ng

ng tr

tr

trìììình

nh

nh llllượ

ượ

ượng

ng

ng gi

gi

giá

á

ácccc th

th

thườ

ường

ườ

ng

ng g

g

gặ

ặ

ặp:

p:

�

Ph

Phươ

ươ

ương

ng

ng tr

tr

trìììình

nh

nh b

b

bậ

ậ

ậcccc hai

hai

hai theo

theo

theo m

m

mộ

m

ộ

ộtttt h

h

hà

à

àm

m

m ssssố

ố llllượ

ố

ượ

ượng

ng

ng gi

gi

giá

á

ácccc

asin

x+bsinx +c = 0

acos

x+bcosx +c = 0

atan

x+btanx +c = 0

acot

x+bcotx +c = 0

đặ

đặtttt tttt =

=

= sinx

sinx

(((( cosx,tanx,

cosx,tanx,

cosx,tanx, cotx)

cotx)

Ri

Riêêêêng

ng

ng ph

ph

phươ

ươ

ương

ươ

ng

ng tr

tr

trìììình

nh

nh sinx,cosx

sinx,cosx ccccó

sinx,cosx

ó

ó đ

đ

điiiiềềềều

u ki

u

ki

kiệệệện

n

t ≤1

Bài tập ứng dụng

Giải các phương trình sau:

1)3cos

x-5cosx+2=0

⇔

3t

– 5t +2 = 0 với t =cosx và

t ≤1

⇔

⎢
⎢
⎣
⎡

=
=
⇔

⎢
⎢
⎣
⎡

=
=

5
2
cos

1
cos

5
2
1

x
x
t

t

hs giải tiếp tục

2) 2sin

x-sinx-1=0

⇔

2t

– t -1 = 0 với t =sinx và

t ≤1

⇔

⎢
⎢
⎣

⎡

−
=
=
⇔

⎢
⎢
⎣
⎡

−
=
=

2
1
sin

1
sin

2
1
1

x
x
t

t

hs giải tiếp tục

3) 3tan

x-2 3 tanx+3 = 0

⇔

3t

-2 3 t+3 = 0 với t = tanx phương trình

này vơ nghiệm nên pt đã cho vô nghiệm.

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p

p ttttự

ự

ự luy

luy

luyệệệện

n

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

7) 4sin

x + 12cos

x = 7

8)2cos

(x/2)+3cos(x/2)+1=0

9)

cos

4 sin

2

1

4 x

=

x

−

10) 2tanx + 3cotx = 4

11) 9sin

x-5cos

x-5sinx+4=0

12) 5 tanx – 2cotx = 3

13) tan

x-tanx-2=0

14)

cot x−(1− 3) cotx+ 3=0

15)

3 cot x−4 cotx+ 3=0

16)

4 tan 2 0
cos x− x− =

17 ) sin

(2x+

π

/4)-3sin(2x+

π

/4)+2=0

18) 2tanx – 3 cotx – 2 = 0

�

Phương trình

asin

2222

x+bsinxcos

x+bsinxcos x

x

x +c

+c

+c cos

cos

2222

x

x =

=

= 0

0

-xét xem cosx = 0 có phải là nghiệm của phương trình hay khơng?

-Chia phương trình cho cos

x ta được phương trình

atan

2222

x+btanx

x+btanx +c

+c

+c =

=

= 0

0

�

Phương trình

asin

2222

x+bsinxcos

x+bsinxcos x

x

x +c

+c

+c cos

cos

2222

x

x =

=

= d

d

⇔

asin

x+bsinxcos x +c cos

x = d(sin

x+cos

x)

Biến đổi đưa về dạng đã học

Bài tập ứng dụng:

Giải các phương trình sau:

1) sin

x – sin2x +cos

x = 0

⇔

sin

x – 2sinxcosx +cos

x = 0

vì cosx = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình

nên chia phương trình cho cos

x khi đó ta được phương trình:

tan

x-2tanx+1 = 0 hs giải tiếp tục

2) sin

x + 5sinxcosx -2cos

x =2

⇔

sin

x + 5sinxcosx -2cos

x =2 (sin

x+cos

x)

⇔

sin

x-5sinxcosx+4cos

x = 0 đã biết cách giải.

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p

p ttttự

ự

ự luy

luy

luyệệệện

n

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

1 2 sin (1 3) sin cos (1 3) cos 1 2 3cos 2 3 sin cos 5sin 0
3 2 sin 4 sin cos 4 cos 1 0 4 2 3 cos 6 sin cos 3 3
5 2 sin sin cos cos 1 0 6 4 sin 3 3 sin 2 2 cos 4
7 2 sin 3cos 5sin cos 8 sin

x x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x

> + − + − = > + + =

> + − − = > + = +

> + − + = > + − =

> + = > −

(

)

2 2 2 2

2 2

8sin cos 7 cos 0
1

9 sin 2 sin cos 2 cos 10 sin 3 1 sin cos 3 cos 0
2

11 3sin 5 cos 2 cos 2 4 sin 2 0

12 2 sin 6 sin cos 2(1 3) cos 5 30

x x x

x x x x x x x x

x x x x

+ =

> + − = > − + + =

> + − − =

> + + + = +

�

Ph

Phươ

Ph

ươ

ương

ng

ng tr

trìììình

tr

nh

nh asinx+bcosx

asinx+bcosx

asinx+bcosx =

=

= cccc

C

Cá

á

ách

ch

ch gi

giả

gi

ả

ải:

i:

-chia phương trình cho

2 2

b
a +

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

phương trình có nghiệm khi

2 2 2

c

b

a + ≥

Bài tập ứng dụng:

Giải các phương trình sau:

1)

3sinx+cosx=3

2
3
cos
2
1
sin
2
3
=
+

⇔ x x

2
3
6

sin ⎟=

⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
+

⇔ x π

>1

ptvn

2)

2
1
cos
2
2
sin
2
2
1
cos
2
sin

2 x− x= ⇔ x− x=

6
sin
4

sin π ⎟= π

⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−

⇔ x

hs tự giải tiếp

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p ttttự

p

ự

ự luy

luy

luyệệệện

n

Giaûi các phương trình :

1/ 2 sin cos 2 2 / cos 3 sin 2

3 / sin 7 3 cos 7 2 4 / 3 cos sin 2

5 / 5 cos 2 12 sin 2 13 6 / 2 sin 5 cos 4
7 / 3sin 5 cos 4 2

x x x x

x x

− = + =

+ = + =

− = − =

+ =

�

Ph

Phươ

ươ

ương

ng

ng tr

tr

trìììình

nh

a

(

sinx±cosx

)

+bsinxcossx+c=0

C

Cá

á

ách

ch

ch gi

giả

gi

ả

ải:

i:

Đặ

Đặtttt tttt =

=

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±
=
±
4
sin

2
cos

sinx x x π

v

vớ

ớ

ớiiii

t ≤ 2

Suy

Suy ra

ra

ra sinxcosx

sinxcosx

sinxcosx theo

theo

theo tttt

Bài tập ứng dụng:

Giải các phương trình sau:

1)

(2

+

2)

(sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2

2 + 1

Đặt t = sinx + cosx =

); 2

4
sin(

2 x+π t ≤

Suy ra

sinxcosx =

1
2

−

t

khi đó phương trình đã cho có dạng:

(

2 2

)

2 2 0
2

=
+
+
− t
t

( )

⇔
⎢
⎣
⎡
=
=
n
t
l
t
2
)
(
2
2
)
4
sin(

2 x+π =

⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
+
⇔
4

sin x π

=1

hs tự giải tiếp

2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6

Đặt t = sinx - cosx =

); 2
4

sin(

2 x−π t ≤

Suy ra

sinxcosx =

2
1−t2

khi đó phương trình đã cho có dạng:

6t

-2
1−t2

= 6

⇔

t

+ 12t – 13 = 0

⎢
⎣

⎡
−
=
=
⇔
)
(
13
)
(
1
l
t
n
t

⇔ ) 1

4
sin(

2 x−π =

hs tự giải tiếp

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p ttttự

p

ự

ự luy

luy

luyệệệện

n

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

6) sin 2

2 sin(

) 1

4 x

+

x

−

=

.

7)

(1

+

2)(sin

x

−

cos )

x

+

2sin cos

x

= +

1

2 .

8) sin

x

−

cos

x

+

4sin 2

x

=

1 .

9) 1 + tgx = 2

sinx.

10) sinxcosx + 2sinx + 2cosx = 2.

11) 2sin2x – 2(sinx + cosx) +1 = 0.

12)

cos

1 sin

1

10 cos

sin

3 x

+

=

.

13) sin

x + cos

x =

2
2

.

14) sinx – cosx + 7sin2x = 1.

L

LƯ

Ư

ƯU

U

U Ý

Ý

: khi giải phương trình lượng giác cần tiến hành theo các bước:

-Xét xem các góc lượng giác có cùng góc chưa? Nêu chưa đưa về cùng góc nếu được.

-Cố gắng đưa phương trình đã cho về dạng đã học.

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

T

TỔ

Ổ

Ổ H

H

HỢ

Ợ

ỢP

P

�

Hai

Hai quy

quy

quy ttttắ

ắ

ắcccc đế

đếm

đế

m

m ccccơ

ơ

ơ b

bả

b

ả

ản

n

�

Ho

Hoá

á

án

n v

n

v

vịịịị ---- Ch

Ch

Chỉỉỉỉnh

nh

nh h

hợ

h

ợ

ợp

p

p –

–

– T

Tổ

T

ổ

ổ h

h

hợ

ợ

ợp

p

�

Nh

Nhịịịị th

th

thứ

ứcccc Niu-t

ứ

Niu-t

Niu-tơ

ơ

ơn

n

§

§1

1

1 HAI

HAI

HAI QUY

QUY

QUY T

T

TẮ

Ắ

ẮC

C C

C

CƠ

Ơ

Ơ B

B

BẢ

Ả

ẢN

N

I.

Qui

Qui ttttắ

ắ

ắcccc ccccộ

ộ

ộng

ng

1.

1. Đị

Đị

Định

nh

nh ngh

ngh

nghĩĩĩĩa

a

Một cơng việc có thể hồn thành

b

bở

ở

ởiiii m

m

mộ

ộ

ộtttt trong

trong

trong hai

hai

hai h

h

hà

à

ành

nh độ

nh

độ

động

ng

. Nếu hành động này

có

n

cách thực và hành động kia có

m

cách thực hiện

kh

khô

ô

ông

ng

ng tr

tr

trù

ù

ùng

ng

ng vvvvớ

ớ

ớiiii b

b

bấ

ấ

ấtttt k

k

kỳỳỳỳ ccccá

á

ách

ch

ch n

n

nà

à

ào

o

ccccủ

ủ

ủa

a

a h

hà

h

à

ành

nh

nh độ

độ

động

độ

ng

ng th

th

thứ

ứ nh

ứ

nh

nhấ

ấ

ấtttt

. Khi đó cơng việc có thể hồn thành bởi

n + m

cách.

Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

2.

2. Ch

Ch

Chú

ú

ú ý

ý

Nếu ký hiệu

n

(

A

) hoặc

A

là số phần tử của tập hợp hữu hạn

A

thì quy tắc cộng có

thể phát biểu như sau:

• Nếu

A

và

B

là hai tập hợp hữu hạn khơng giao nhau thì

(

)

( ) ( )

n A

B

n A

n B

.

• Nếu

A

và

B

là hai tập hợp hữu hạn bất kỳ thì

(

)

( ) ( ) ( )

n AÈB =n A +n B -n AầB

.

ã

Nu

X

l tp hu hạn tùy ý và

A

là tập con của

X

thì

(

)

( ) ( )

n X A =n X +n A

.

• Nếu

A A A1, 2, 3,...Am

là các tập hợp hữu hạn đơi một khơng giao nhau thì

(

1 2 3 ... m

)

( 1) ( 2) ... ( m)

n A ÈA ÈA È ÈA =n A +n A + +n A

.

II.

Quy

Quy ttttắ

ắ

ắcccc nh

nhâ

nh

â

ân

n

Đị

Định

nh

nh ngh

ngh

nghĩĩĩĩa

a

Một công việc nào đó được hồn thành bởi

hai

hai h

hai

h

hà

ành

à

nh

nh độ

độ

động

ng

ng li

li

liêêêên

n

n ti

ti

tiếếếếp

p

. Có

m

cách

thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có

n

cách thực hiện hành động thứ

hai, thì có

m.n

cách hồn thành cơng việc.

Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.

GI

GIẢ

Ả

ẢIIII TO

TO

TOÁ

Á

ÁN

N

V

Vấ

ấ

ấn

n

n đề

đề

đề 1.

1. Quy

1.

Quy

Quy ttttắ

ắ

ắcccc ccccộ

ộ

ộng

ng

1.

Cho

AAAA=

{

1;2;3;4;5;6;7;8;9

}

; BBBB=

{

2;4;6;8;10

}

a) Tính

n A n B n A

( ), ( ), ( ∪

B n A

), ( ∩

B

)

.

b) Kiểm chứng công thức

n A

(

B

)

n A

( )+

n B

( )-

n A

( Ç

B

)

.

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

a)

A

{

1;2;3;4;5;6;7;8;9

}

⇒

n A

( ) 9=

{

2;4;6;8;10

}

( ) 5

B n B

BBB= ⇒n Bn Bn B =

{

1;2;3;4;5;6;7;8;9;10

}

( ) 10

A

B

n A

B

A

∪

B

= ⇒

n A

∪

B

{

2;4;6; 8

}

; ( ) 4

A

B

n A

B

A

∩

B

n A

∩

B

b)

n An An An A( ∪BBBB) 10=

;

n An An An A( )+n Bn Bn Bn B( )−n An An An A( ∩BBBB) 5 9 4 10= + − =

Vậy

n A

(

B

)

n A

( )+

n B

( )-

n A

( Ç

B

)

2.

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Theo quy tắc cộng có 10 + 5 = 15 cách chọn một trong các quả cầu ấy.

3.

Một lớp có 50 học sinh dự trại hè được chơi hai mơn thể thao: cầu lơng và

bóng bàn. Có 30 học sinh đăng kí chơi cầu lơng, 28 bạn đăng kí chơi bóng bàn và 10

bạn khơng đăng kí chơi mơn nào. Hỏi có bao nhiêu bạn:

a) Đăng kí chơi cả hai mơn?

b) Chỉ đăng kí chơi một mơn?

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

Kí hiệu

X

là tập hợp học sinh trong lớp.

A, B

lần lượt là tập hợp các học sinh đăng

kí chơi cầu lơng và chơi bóng bàn.

Như vậy, tập hợp học sinh đăng kí chơi cả hai mơn là:

AAAA∩BBBB

và tập hợp học sinh

đăng kí chơi ít nhất một mơn là:

AAAA∪BBBB

suy ra

n A

( ∪

B

) 50 10= − =40

a) Ta có:

n A

(

B

)

n A

( )+

n B

( )-

n A

( Ç

B

)

suy ra

n A( ÇB)=n A( )+n B( )-n A

(

ÈB

)

=30+28-40=18

vậy có 18 học sinh đăng kí chơi cả hai mơn.

b) Số học sinh chỉ đăng kí chơi một môn là:

(

)

( ) 40 18 22

n A

B

n A

B

= - =

.

V

Vấ

ấ

ấn

n

n đề

đề

đề 2.

2.

2. Quy

Quy ttttắ

Quy

ắ

ắcccc nh

nh

nhâ

â

ân

n

4.

Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a) Có 4 chữ số.

b) Có 4 chữ số khác nhau.

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

Kí hiệu số cần tìm là

nnnn=abcdabcdabcdabcd

.

a) Có 4 cách chọn cho

a

.

4 cách chọn cho

b

4 cách chọn cho

c

4 cách chọn cho

d

Vậy theo quy tắc nhân có 4.4.4.4 = 256 số thỏa u cầu bài tốn.

b) Có 4 cách chọn cho

a

.

3 cách chọn cho

b.

2 cách chọn cho

c.

1 cách chọn cho

d.

Vậy theo quy tắc nhân có 4.3.2.1 = 24 số thỏa yêu cầu bài toán.

5.

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thề lập được bao nhiêu số có:

a) 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2.

b) 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5.

c) 4 chữ số khác nhau chia hết cho 10.

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

Kí hiệu số cần tìm là

nnnn=abcdabcdabcdabcd

.

a)

nnnn=abcdabcdabcdabcd

chia hết cho 2 suy ra

d

∈

{

0;2;4;6

}

Trường hợp

d = 0

Có 6 cách chọn cho

a

.

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

Trường hợp

dddd ≠0

Có 3 cách chọn cho

d

.

5 cách chọn cho

a

.

5 cách chọn cho

b

.

4 cách chọn cho

c

.

Theo quy tắc nhân có 3.5.5.4 = 300 số thỏa yêu cầu bài tốn.

Vậy có 120 + 300 = 420 số thỏa yêu cầu bài toán.

b)

nnnn=abcdabcdabcdabcd

chia hết cho 5 suy ra

d

∈

{

0;5

}

Trường hợp

d =

0 Có 6 cách chọn cho

a

.

5 cách chọn cho b.

4 cách chọn cho c.

Theo quy tắc nhân có 6.5.4 = 120 số thỏa yêu cầu bài tốn.

Trường hợp

dddd =5

Có 5 cách chọn cho

a

.

5 cách chọn cho

b

.

4 cách chọn cho

c

.

Theo quy tắc nhân có 5.5.4 = 100 số thỏa u cầu bài tốn.

Vậy có 120 + 100 = 240 số thỏa yêu cầu bài toán.

c)

nnnn=abcdabcdabcdabcd

chia hết cho 10 suy ra

d

và

cccc

∈

{

2;4;6

}

d = 0

có 1 cách chọn cho

d

.

{

2;4;6

}

cccc

∈

có 3 cách chọn cho

c

.

5 cách chọn cho

a

.

4 cách chọn cho

b

.

Theo quy tắc nhân có 3.5.4 = 60 số thỏa yêu cầu bài toán.

6.

Trong một đội văn nghệ có 8 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một

đơi song ca nam – nữ?

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

Có 8 cách chọn cho nam, và ứng với mỗi cách chọn bạn nam có 6 cách chọn bạn

nữ.

Vậy theo quy tắc nhân có: 8.6 = 64 cách chọn đội song ca.

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p ttttự

p

ự

ự luy

luy

luyệệệện

n

1. Trong hộp có 10 quả cầu trắng và 5 quả cầu đen. Có bao nhiêu cách chọn một

trong các quả cầu ấy?

2. Từ các số tự nhiên 1, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu sơ tự nhiên

a)

Có bốn chữ số?

b) Có bốn chữ số khác nhau đơi một?

3. Từ các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có sáu

chữ số đơi một khác nhau?

4. Có bao nhiêu số tự nhiên

n

có bốn chữ số đơi một khác nhau biết

a)

n

chẵn?;

b)

n

lẻ ?

c)

n

chia hết cho 2?

d)

n

chia hết cho 5?

e)

n

chia hết cho 10?

f)

n

chia hết cho 20?

5. Từ các số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu sơ tự nhiên có ba

chữ số đơi một khác nhau nhỏ hơn 345?

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

số đầu tiên là chữ số lẻ?

8. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm sáu chữ số khác nhau đơi một trong đó có

đúng ba chữ số chẵn và ba chữ số lẻ?

9. Cho cá chữ số 0, 2, 4, 5, 6, 8, 9. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ

số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 5?

10. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hãy tìm các số có ba chữ số khác nhau đơi một

sao cho số vừa tìm được lớn hơn 300 và nhỏ hơn 600?

11. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tư nhiên gồm sáu chữ số khác nhau, sao cho

các chữ số đó có mặt các chữ số 0 và 1?

12. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 ghế được xếp thành hành

ngang, sao cho:

a) Nam và nữ ngồi xen kẻ nhau?

b) Các bạn nam ngồi liền nhau?

13. Có bao nhiêu cách xếp chổ ngồi cho 10 bạn trong đó có An, Bình vào 10 ghế

xếp thành hàng ngang, nếu:

a) Hai bạn An, Bình ngồi cạnh nhau?

b) Hai bạn An, Bình ngồi cách nhau?

14. Bốn người đan ơng, hai người đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào bảy ghế

đặt thành hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho:

a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà?

b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông?

15. Có bao nhiêu cách xếp chổ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà

không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu

a) Ghế xếp thành hàng ngang?

b) Ghế xếp thành một vòng tròn?

16. Có 5 quyển sách tốn, 4 quyển sách lý và 6 quyển sách hóa. Hỏi có bao nhiêu

cách xếp chúng vào một kệ sách sao cho:

a) Chúng nằm tùy ý.

b) Những quyển sách thuộc cùng loại thì ở chung.

17. Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 18 nam và 22 nữ. Chọn ra một đội gồm 7

người tham gia mùa hè xanh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho:

a) Chọn tùy ý trong 40 học sinh.

b) Trong 7 học sinh chọn ra có ít nhất 3 nam.

18. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 bi vàng. Người ta chọn ra 4

viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn trong số bi lấy ra khơng có đủ ba màu?

19. Một người muốn chọn 6 bơng hoa từ 3 bó hoa để cấm vào một bình hoa. Bó thứ

nhất có 10 bơng hồng, bó thứ hai có 6 bơng lan và bó thứ ba có 4 bơng cúc.

a) Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn?

b) Nếu người đó muốn chọn mổi loại hoa đúng 2 bơng. Hỏi có bao nhiêu cách

chọn?

20. Một bộ bài có 52 quân trong đó có 4 quân át.

a) Có bao nhiêu cách rút ra ba quân trong 52 quân?

b) Có bao nhiêu cách rút ra ba quân trong đó có đúng 1 quân át?

21. Một bộ bài có 52 quân. Hỏi có bao nhiêu cách rút ra từ bộ bài 10 quân gồm có

3 qn “cơ”, 3 qn “rơ” và 4 qn “bích”?

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

b) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu đánh số chẵn, lẻ riêng biệt?

23. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập một số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong

tất cả trong các số thiết lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh

nhau?

24. Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn

A, B, C, D, E

vào một ghế dài sao cho:

a)

Bạn C ngồi chính giữa.

b) Hai bạn

A

và

E

ngồi ở hai đầu ghế?

25. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số trong đó

chữ số 1 xuất hiện 5 lần?

26. Có thể lập được bao nhiêu số có tám chữ số từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó

chữ số 1 và 6 đều có mặt hai lần, cịn các chữ số khác có mặt một lần ?

§

§2

2

2 HO

HO

HỐ

Á

ÁN

N

N V

V

VỊỊỊỊ ---- T

T

TỔ

Ổ

Ổ H

H

HỢ

Ợ

ỢP

P

P –

–

– CH

CHỈỈỈỈNH

CH

NH

NH H

H

HỢ

Ợ

ỢP

P

Ho

Hố

á

án

n

n v

v

vịịịị

1.

1. Đị

Đị

Định

nh

nh ngh

ngh

nghĩĩĩĩa

a

Cho tập

A

có

n

(

n

³1

)

phần tử. Khi

ssssắ

ắ

ắp

p

p x

x

xếếếếp

p

p n

n

n ph

ph

phầ

ầ

ần

ầ

n

n ttttử

ử

ử n

n

nà

à

àyyyy theo

theo

theo m

mộ

m

ộ

ộtttt th

th

thứ

ứ

ứ ttttự

ự

, ta

được một

ho

hoá

á

án

n

n vvvvịịịị

các phần tử của tập

A

(gọi tắc là hoán vị của tập

A

)

2.

2. S

S

Số

ố

ố ccccá

á

ácccc ho

hoá

ho

á

án

n

n v

v

vịịịị

Số hoán vị của

n

phần tử được ký hiệu là

Pn

và được tính theo cơng thức:

! ( 1)( 2)...2.1

n

P =n =n n- n

-Trong đó:

• n

đọc là

n

giai thừa.

•

0!=1

I.

Ch

Chỉỉỉỉnh

nh

nh h

h

hợ

ợ

ợp

p

1.

1. Đị

Đị

Định

nh

nh ngh

ngh

nghĩĩĩĩa

a

Cho tập hợp

A

gồm

n

phần tử và số nguyên

k

với

1£ £k n

. Khi

llllấ

ấ

ấyyyy ra

ra k

ra

k

k ph

ph

phầ

ầ

ần

n

n ttttử

ử

ccccủ

ủ

ủa

a

a ttttậ

ậ

ập

p

p A

A vvvvà

A

à

à ssssắ

ắ

ắp

p

p x

x

xếếếếp

p

p theo

theo

theo m

m

mộ

ộ

ộtttt th

thứ

th

ứ

ứ ttttự

ự

, ta được một chỉnh hợp chập

k

của

n

phần tử của

tập

A

(gọi tắc là chỉnh hợp chập

k

của

A

).

2.

2. S

S

Số

ố

ố ch

ch

chỉỉỉỉnh

nh

nh h

h

hợ

ợ

ợp

p

Số chỉnh hợp chập

k

của

n

phần tử ký hiệu là

k
n

A

và được tính theo cơng thức:

(

)

(

)

!
1
!

k
n

n

A k n

n k

= £ £

-Ch

Ch

Chú

ú

ú ý

ý

ý::::

Từ định nghĩa suy ra mỗi hoán vị của

n

phần tử, chính là một chỉnh hợp chập

n

của

n

phần tử đó và ngược lại. Vì vậy:

Pn = Ann.

Cơng thức trên vẫn đúng khi

n = 0

II.

T

Tổ

ổ

ổ h

hợ

h

ợ

ợp

p

1.

Đị

Định

nh

nh ngh

ngh

nghĩĩĩĩa

a

Cho tập hợp

A

gồm

n

phần tử và số nguyên

k

với

1£ £k n

.

M

Mỗ

ỗ

ỗiiii ttttậ

ậ

ập

p

p con

con

con ccccủ

ủ

ủa

a

a A

A

A ccccó

ó

k

k ph

ph

phầ

ầ

ần

n

n ttttử

ử

được gọi là tổ hợp chập

k

của

n

phần tử của tập

A

(gọi tắc là tổ hợp chập

k

của

A

).

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

(

)

! !

k
n

n
C

k n k

-3.

3.

C

Cá

á

ácccc ttttíííính

nh

nh ch

ch

chấ

ấ

ấtttt ccccủ

ủa

ủ

a

a ttttổ

ổ

ổ h

h

hợ

ợ

ợp

p

•

o n

n n

C

•

Cnk =Cnn k-

(

0£ £k n

)

• (

)

1 1 1

k k k

n n n

C =C-- +C - £ £k n

• C

nk

n

C

nn k1

(

k

n

)

k

-= £ £

•

1 1

(

)

k k

n n

n k

C C k n

k

-- +

= £ £

Gi

Giả

ả

ảiiii to

to

toá

á

án

n

1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau.

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

Kí hiệu số cần tìm là

abcdabcdabcdabcd

Mội hốn vị của 4 chữ số 1, 2, 3, 4 cho ta một số cần tìm.

Vậy có

PPPP4 =4! 4.3.2.1 24= =

số thỏa u cầu bài tốn.

2. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bìa thư khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3

tem thư, và 3 bì thư và dán ba tem thư ấy lên ba lá thư. Một bì thư chỉ dán một tem thư.

Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy.

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

Chọn 3 trong 5 tem thư có

CCCC53 =10

cách chọn.

Chọn 3 trong 6 bì thư có

C

63 =20

cách chọn.

Dán 3 tem lên 3 bì có

PPPP3 =3! 6=

cách dán.

Theo quy tắc nhân ta có 10.20.6 = 1.200 cách làm theo yêu cầu bài tốn.

3. Một bó hồng gồm 10 bơng hồng bạch và 10 bông hồng nhung. Bạn Nhung muốn

chọn ra 5 bơng để cấm vào một bình, trong đó nhất thiết phải có hai bơng hồng bạch và

hai bơng hồng nhung. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

Có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Chọn hai bông bạch và ba bơng nhung

Chọn hai bơng bạch có:

C

102

cách

Chọn 3 bơng hồng nhung có

CCCC103

Trường hợp này có

C C

102. 63 =5400

cách.

Trường hợp 2: Chọn ba bông bạch và hai bơng nhung

Chọn ba bơng bạch có:

C

103

cách

Chọn 2 bơng hồng nhung có

CCCC102

Trường hợp này có

C C

102. 63 =5400

cách.

Như vậy theo quy tắc cộng có: 5400 + 5400 = 10.800 cách chọn theo yêu cầu.

4. Dùng 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 để viết các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau.

Hỏi

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Kí hiệu số cần tìm là

nnnn=abcdabcdabcdabcd

a)

nnnn

là số tùy ý: Mỗi số phải tìm là một chỉnh hợp chập 4 của 6 chữ số đã cho.

Vậy có

A

64 =360

số thỏa yêu cầu.

b)

nnnn

chẵn suy ra

d

∈

{

2;4;6

}

Có 3 cách chọn cho

d

.

Mỗi số

abcabcabcabc

là một chỉnh hợp chập 3 của 5 chữa số (

AAAA53

).

Theo quy tắc nhân có 3.

A

53

= 180 số thỏa yêu cầu.

5. Tính: a)

P

A

P

;

b)

12!

3!.10!

B

;

c)

10 9
17 17

8
17

A A

AAA AAA
C
C
C
C
A
A
AA
+
=

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

a)

17
15
17! 17.16.15!
17.16 272
15! 15!
P
P
P
P
A
A
A
A
P
P

PP
= = = = =

.

b)

12! 12.11.10! 12.11 22
3!.10! 3!.10! 1.2.3

B

BBB= = = =

.

c)

10 9
17 17

8
17

17! 17! 1 1 8.9 9

7! 8! 7! 8! 9! 9! 8.9 9 81

17! 1 1

9! 9! 9!

A A
A A
A A
A A

C
C
C
C
A
AAA

+ + +

= = = = = + =

6. Giải phương trình

CCCC23nnnn =20CCCCnnnn2

(*)

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

Điều kiện

n N
nnn NNN
n
nnn

⎧ ∈
⎨

≥
⎩

Khi đó (*)

(

)

(

)

2 ! !

3! 2 3 ! 2!.( 2)!

(2 2)(2 1)2 ( 1)

6 2

2 1 15 8

n

nnn nnnn

n n

nnn nnn

n n n n n

n n
n n
n n
n n
⇔ =
− −
− − −
⇔ =
⇔ − = ⇔ =

.

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p ttttự

p

ự

ự luy

luy

luyệệệện

n

1. Dùng Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp giải các bài tập ở mục hai quy tắc cơ bản.

2. Rút gọn biểu thức

1 2 3

3 3

k k k k

n n n n

B=C + C - + C - +C -

với

3£ £

k

n

.

3. Giải phương trình.

a)

C23n =20Cn2

; b)

72A1x-A3x+1=72

; c)

Cx1+6Cx2+6Cx3=9x2-14x

; d)

5 6 7

5 2 14

x x x

C

.

4. Tìm

n

nguyên dương thỏa mãn đẳng thức:

4 3 2

1 1 2

0
4

n n n

C - -C - - A- =

.

5. Giải bất phương trình.

a)

(

)

4
4 42
2 !
x
x

A

x

P

+ £

;

b)

4 3 2

1 1 2

0
4

x x x

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

6. Gii h phng trỡnh

1
1
1

1
5
3

m
n
m
n
m
n

C
C
C

+
+

-+

=
ùù

ùù
ớù

ùù =

ùùùợ

Đ

Đ3

3

3 NH

NH

NH TH

TH

THỨ

ỨC

Ứ

C

C NIU-T

NIU-T

NIU-TƠ

Ơ

ƠN

N

I.

C

Cô

ô

ông

ng th

ng

th

thứ

ứ

ứcccc nh

nh

nhịịịị th

th

thứ

ứ

ứcccc Nuit

Nuit

Nuitơ

ơ

ơn.

n.

(

)

0 1 1

.... ...

n

n n n k n k k n n k n k k

n n n n n

k

a b C a C a -b C a - b C b C a - b

+ = + + + + + =

å

Cộng thức trên gọi là công thức nhị thức Niu-tơn (gọi tắc là nhị thức Niu-tơn)

�

H

Hệệệệ qu

qu

quả

ả

ả....

Với

a= =b 1

, ta có

0 1 2

2n=

C

n +

C

n+

C

n + +...

C

nn

Với

a=1, b= -1

, ta có

0 1 2

( )

C

n -

C

n+

C

n - + -... 1 k

C

nk + + -... 1 n

C

nn

�

Ch

Chú

ú

ú ý

ý

. Trong khai triển

(

)

n

n k n k k

n
k

a b C a - b

+ =

å

Số các số hạng là

n

+ 1.

Các số hạng có số mũ

a

giảm dần từ

n

đến 0, số mũ của

b

tăng dần từ 0 đến

n

.

Các hệ số của mỗi số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau

k n k

n n

C

- £ £

k

n

.

Nếu

n

là số nguyên lẻ thì số hạng thứ

n+

và

1 1

n+

là số hạng chính giữa

trong khai triển.

Nếu

n

là số nguyên chẵn thì số hạng thứ

1
2

n+

là số hạng chính giữa trong

khai triển.

II.

II. Tam

Tam

Tam gi

gi

giá

á

ácccc Pascal.

Pascal.

Trong công thức nhị thức Niu-tơn, cho

nnnn=0, 1, 2, 3,...

và xếp các hệ số thành dòng,

ta nhận được một tam giác gọi là tam giác Pascal.

Ngoài ra tam giác pascal còn được phát biểu đơn giản như sau:

Trong tam giác ta đi từ số 1. Mỗi số trong tam giác bằng số bên trên cộng số bên

trái.

Gi

Giả

ả

ảiiii to

to

toá

á

án

n

1. Khai triển

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

a)

(

)

7 70 71 72 2 73 3 74 4 ... 7kkkk 7 kkkk ... 77 7

x C C x C x C x C x C x C x

x C C x C x C x C x C x − C x

+ = + + + + + + + +

b)

(

)

4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4

4 4 4 4 4

2 3 4

2 3 2 2 ( 3 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3 ) (3 )

16 96 216 216 81

x C C x C x C x C x

xxx CCC CCC xxx CCC xxx CCC xxx CCC xxx

x x x x

− = + − + − + − +

= − + − +

2. Tìm hệ số của số hạng chứa

x

trong khai triển

(

3xxxx−4

)

.

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

Khai triển

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

5 5

5 5 5 5

5 5

0 0

3 4 kkkk 3 kkkk 4 kkkk 3 kkkk 4 kkkk kkkk kkkk

k k

x C x C x

x C x − − C x −

= =

− =

∑

− =

∑

−

Chọn

5−

k

= ⇒3

k

Do đó hệ số của số hạng chứa

x

trong khai triển là

( )

(

)

( ) (

)

2 2

5 5

3 kkkk 4 kkkk kkkk 3 4 4320

C C

−

− = − =

3. Tính tổng

0 2 1 22 2 23 3 ... 2nnnn nnnn.

n n n n n
nnn nnn nnn nnn nnn

T

C

T

C

T

C

+ +

C

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

Ta có

(

)

0 1 2 2 3 3

1 nnnn ... nnnn nnnn.

n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n

x

C

C x

x

C

C x

x

C

C x

x

C

C x

+ = + + + + +

(*)

Trong khai triển (*) thay

x

ta được

(

)

0 1 2 2 3 3

1 2 nnnn 2 2 2 ... nnnn2 .nnnn
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n

C

+ = + + + + +

Vậy

3nnnn

T
T
T
T =

.

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p

1. Khai triển :

(

x

-2

)

;

(

x

)

;

(

x

y

)

2. Tìm hệ số của số hạng chứa

x

trong khai triển

(

2x-1

)

.

3. Tìm

x

sao cho số hạng thứ ba trong khai triển

(

x

)

là 540.

5. Tìm hệ số của s hng khụng cha

x

trong khai trin

15
2 1

x
x

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

.

6. Tỡm h s ca s hng chứa

12 13

x y

trong khai triển

(

x

y

)

.

7. Tìm số hng chớnh gia trong khai trin

x
x

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ø

.

8. Biết tổng các hệ số trong khai triển

(

)

1+x n

là 1024. Tìm hệ số của số hạng chứa

x

.

9. Cho biết trong khai triển

2 1

n

x
x

æ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

. Tng cỏc s hng thứ nhất, hai, ba là 46. Tìm

hệ số của số hạng khơng chứa

x

.

10. Tìm số ngun dương

n

sao cho trong khai triển

(

x

)

n

có hai hệ số liên tiếp có

tỉ lệ là 7/15.

11. Cho biết tổng tất cả các hệ s trong khai trin

3
2

1 n

x
x

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

là 64. Tìm hệ số của số

hạng khơng chứa

x

.

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

�

Bi

Biếếếến

n

n ccccố

ố

ố v

ố

v

và

à

à x

x

xá

ácccc su

á

su

suấ

ấ

ấtttt ccccủ

ủ

ủa

a bi

a

bi

biếếếến

n

n ccccố

ố

�

C

Cá

á

ácccc quy

quy

quy ttttắ

ắ

ắcccc ttttíííính

nh

nh x

x

xá

á

ácccc su

su

suấ

ấ

ấtttt

§

§1

1

1 BI

BI

BIẾ

Ế

ẾN

Ế

N

N C

C

CỐ

Ố V

Ố

V

VÀ

À

À X

X

XÁ

Á

ÁC

C

C SU

C

SU

SUẤ

Ấ

ẤT

T C

T

C

CỦ

Ủ

ỦA

A

A BI

BI

BIẾ

Ế

ẾN

N

N C

C

CỐ

Ố

I.

I. Bi

Bi

Biếếếến

n

n ccccố

ố

ố....

1.

Ph

Phéééép

p

p th

th

thử

ử

ử ng

ử

ng

ngẫ

ẫ

ẫu

u

u nhi

nhi

nhiêêêên

n

n v

v

và

à

à kh

kh

khô

ô

ông

ng

ng gian

gian

gian m

m

mẫ

ẫ

ẫu.

u.

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quả của nó,

mặc dù biết tập tất cả các kết quả có của phép thử đó.

Để đơn giản, phép thử ngẫu nhiên được gọi tắc là phép thử.

Tập hợp mọi kết quả của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử và

kí hiệu là

Ω

.

2.

2. Bi

Bi

Biếếếến

n

n ccccố

ố

ố....

Biến cố là tập con khơng gian mẫu.

Ch

Chú

ú

ú ý

ý

ý::::

• Người ta thường kí hiệu các biến cố các chữ in hoa

A, B, C,…

• Khi nói các biến cố

A, B, C,…

mà khơng nói gì thêm ta hiểu chúng cùng liên

quan đến một phép thử.

• Tập

∅

được gọi là biến cố khơng thể(gọi tắc là biến cố khơng), cịn tập

Ω

gọi

là biến cố chắt chắn.

• Ta nói rằng

A

xảy ra khi và chỉ khi kết quả của phép thử là một phần tử của

A

.

• Các phần tử của

A

gọi là các kết quả thuận lợi cho

A

.

II.

II. X

X

Xá

á

ácccc su

su

suấ

ấ

ấtttt ccccủ

ủ

ủa

a

a bi

bi

biếếếến

n

n ccccố

ố

ố....

Giả sử

A

là một biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả

đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số

( )

n A
n A
n An A
n
n
n

n Ω

là xác suất của biến cố

A

.

Kí hiệu

( ) ( )
( )

n A
n A
n An A
P A

P AP AP A
n
n
n
n

=
Ω

Đị

Định

nh

nh llllý

ý

ý::::

( ) 0 ; ( ) 1

P

∅ =

P

Ω =

Với mọi biến cố

A

, ta có:

0≤ P AP AP AP A( ) 1≤

B

Bà

à

àiiii to

to

tố

á

án

n

1. Gieo một đồng tiến ba lần. Gọi

A

là biến cố “mặt ngữa xuất hiện ít nhất một lần”.

a)

Hãy mơ tả khơng gian mẫu.

b)

Xác định biến cố

A

.

c)

Tính xác suất biến cố

A

.

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

a)

Không gian mẫu

Ω =

{

SSS SSN SNS NSS SNN NSN NNS NNN

; ; ; ; ; ; ;

}

.

b) Biến cố

A

:

A

{

SSN SNS NSS SNN NSN NNS NNN

; ; ; ; ; ;

}

.

c)

Ta có

nnnn( ) 8 ; ( ) 7Ω = n An An An A =

Vậy xác suất của biến cố

A

là

( ) ( ) 7.
( ) 8

n A
n An An A

P A

P A
P A
P A

n
n
nn

= =

Ω

2. Có 9 miếng bìa được ghi số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên hai miếng bìa và xếp theo

thứ tự từ trái sang phải. Tính xác suất của các biến cố sau:

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

Mỗi kết quả của phép thử là một tổ hợp chập 2 của 9 phần tử

Vậy không gian mẫu gồm

nnnn( )Ω =AAAA92 =72

a) Kí hiệu số tạo thành là

nnnn=abababab
n A

n A
n A

n∈A

nên

b

∈

{

2;4;6;8

}

. Có 4 cách chọn cho

b

và 8 cách chọn cho

a

Theo quy tắc nhân ta có

n(A)

= 8.4 = 32

Vậy

( ) ( ) 32 4.
( ) 72 9

n A
n An An A
P A

P A
P AP A

n
nnn

= = =

Ω

b)

nnnn∈BBBB

nên

bbbb=5

, có 1 cách chọn cho

b

và 8 cách chọn cho

a

.

Theo quy tắc nhân có

n(B)

= 8.1 = 8

Vậy

( ) ( ) 8 1.
( ) 72 9

n B
n Bn Bn B
P B

P B
P BP B

n
nnn

= = =

Ω

3. Từ một hộp chứa 5 viên bi màu trắng và 7 viên bi màu đỏ lấy ra ngẫu nhiên đồng

thời 5 viên bi. Tìm xác suất đề lấy được ba viên bi màu trắng và 2 viên bi màu đỏ.

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

Hộp bi có chứa 12 viên bi.

Chọn ngậu nhiên 5 trong 12 viên bi có

C

125 =729

cách

Vậy khơng gian mẫu

Ω

có 792 phần tử.

Chọn 3 trong 5 viên bi trắng có

CCCC53 =10

cách.

Chọn 2 trong 7 viên bi đỏ có

C

72 =21

cách.

Vậy biến cố

A

: “lấy được 3 viên bi trắng 2 viên bi đỏ” có: 10.21 = 210 phần tử

Như vậy xác suất cần tìm là

( ) ( ) 210.

( ) 792

n A

n An An A
P A

P A
P AP A

n
nnn

= =

Ω

B

Bà

à

àiiii ttttậ

ậ

ập

p

p ttttự

ự

ự luy

luy

luyệệệện

n

1. Ba bà mẹ, mỗi người sinh một đứa con. Tính xác suất để đứa bé sinh ra.

a)

Chỉ có một nữ.

b)

Nhiều nhất một nữ.

2. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của các biến cố sau.

A: “Xuất hiện mặt chẵn”.

B: “Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3”.

C: “Xuất hiện mặt có số chấm khơng nhỏ hơn 3”.

3. Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất.

a) Hãy mơ tả khơng gian mẫu.

b) Tính xác suất biến cố

A

: “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc

sắc nhỏ hơn hoặc bằng 6 ”.

4. Có chín miếng bìa như nhau được ghi từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên hai miếng bìa

và xếp theo thứ tự từ trái sang phải. Tính xác suất của biến cố sau:

a) A: “Số tao thành có chữ số hành chục lớn hơn hàng đơn vị”.

b) C: “Số tạo thành có chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị”.

5. Một bình đựng 6 viên bi chỉ khác nhau về màu, 2 xanh, 2 vàng, 2 đỏ. Lấy ngẫu

nhiên 2 viên bi. Tính xác suất để được.

a. 2 viên bi xanh.

b. 2 viên bi khác màu.

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

thời 5 viên bi. Tìm xác suất để lấy được 2 viên bi màu trắng và 3 viên bi màu đỏ.

§

§2

§

2

2 C

C

CÁ

Á

ÁC

C QUY

C

QUY

QUY T

T

TÁ

Á

ÁC

C

C T

T

TÍÍÍÍNH

NH

NH X

X

XÁ

ÁC

Á

C

C SU

SU

SUẤ

Ấ

ẤT

T

I.

I. Quy

Quy

Quy ttttắ

ắ

ắcccc ccccộ

ộ

ộng

ng

ng x

x

xá

á

ácccc su

su

suấ

ấ

ất.

t.

1.

1.Bi

Bi

Biếếếến

n

n ccccố

ố

ố h

ố

h

hợ

ợ

ợp.

p.

Cho hai biến

A

và

B

. biến cố “

A

hoặc

B

xảy ra”, kí hiệu là

A

∪

B

được gọi là hợp

của hai biến cố

A

và

B

.

Nếu

ΩAAAA

và

ΩBBBB

lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho

A

và

B

thì hợp các

kết quả thuận lợi cho

AAAA∪BBBB

là

Ω ∪ ΩAAAA BBBB

.

Một cách tổng quát: Cho

k

biến cố

A A AA A AA A AA A A1, 2, 3,...,AAAAkkkk

. Biến cố “có ít nhất một trong

các biến cố

xảy ra”, kí hiện

AAAA1∪AAAA2∪AAAA3∪...∪AAAAkkkk

được gọi là hợp của

các biên cố đó.

2.

2.Bi

Bi

Biếếếến

n

n ccccố

ố

ố xung

xung

xung kh

kh

khắ

ắ

ắc.

c.

Cho hai biến cố

A

và

B

. Hai biến cố

A

và

B

được gọi là xung khắc nếu biến cố

này xảy ra thì biến cố kia khơng xảy ra.

Như vậy hai biến cố

A

và

B

xung khắc khi và chỉ khi

Ω ∩ Ω = ∅AAAA BBBB

.

Trong đó

ΩAAAA

,

ΩBBBB

lần lượt là các kết quả thuận lợi cho

A

và

B

.

3.

3. Quy

Quy

Quy ttttắ

ắ

ắcccc ccccộ

ộ

ộng

ng

ng x

x

xá

á

ácccc su

su

suấ

ấ

ất.

t.

Nếu hai biến cố

A

và

B

xung khắc, thì xác suất để

A

hoặc

B

xảy ra là

( ) ( ) ( )

P A B P A P B
P A B P A P B
P A B P A P B
P A∪B =P A +P B

Quy tắc cộng xác suất cho nhiều biến cố được phát biểu như sau:

Cho k biến cố

đôi một xung khắc. Khi đó:

1 2 3 1 2 3

( ... kkkk) ( ) ( ) ( ) ... ( kkkk)

P A A A A P A P A P A P A

P AP A ∪ AA ∪AA ∪ ∪AA = P AP A +P AP A +P AP A + +P AP A

4.

4. Bi

Bi

Biếếếến

n

n ccccố

ố

ố đố

đố

đối.

i.

Cho

A

là một biến cố đối. Khi đó biến cố “Khơng xảy ra

A

”, kí hiệu là

A

, được

gọi là

bi

biếếếến

n

n ccccố

ố

ố đố

đố

đốiiii

của

A

.

Ch

Chú

ú

ú ý

ý

ý::::

• Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc.

• Hai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến cố đối nhau.

• Ta có kết quả sau:

P A

( )

= −1 P A

( )

II.

II. Quy

Quy

Quy ttttắ

ắ

ắcccc nh

nh

nhâ

â

ân

n x

n

x

xá

á

ácccc su

su

suấ

ấ

ấtttt

1.

1. Bi

Bi

Biếếếến

n

n ccccố

ố

ố giao

giao

Cho hai biến cố

A

và

B

. Biến cố “Cả

A

và

B

cùng xảy ra”, kí hiệu là

AB

, được

gọi là

giao

giao ccccủ

ủ

ủa

a

a hai

hai bi

hai

bi

biếếếến

n

n ccccố

ố

A

và

B

.

Tổng quát: Cho

k

biến cố

. Biến cố “tất cả biến cố

1, 2, 3,..., kkkk

A A A A

A A AA A AA A A AAA

xảy ra”, kí hiện

A A AA A AA A AA A A1 2 3...AAAAkkkk

được gọi là giao của

k

biên cố đó.

2.

2. Bi

Bi

Biếếếến

n

n ccccố

ố

ố độ

ố

độ

độcccc llllậ

ậ

ập

p

Hai biến cố

A

và

B

được gọi là

độ

độcccc llllậ

ậ

ập

p

với nhau nếu việc xảy ra hay không

xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

3.

3. Quy

Quy

Quy ttttắ

ắ

ắcccc nh

nh

nhâ

â

ân

n x

n

x

xá

á

ácccc su

su

suấ

ấ

ấtttt

Nếu hai biến cố

A

và

B

độc lập với nhau thì:

(

)

( ) ( )

P AB =P A P B

B

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

1. Một chiếc hộp có 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ rồi nhân hai

số trên thẻ lại với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n gi

n

gi

giả

ả

ảiiii to

to

toá

á

án

n

Kết quả nhận được là một số chẵn khi và chỉ khi trong hai thẻ rút được có ít nhất

một thẻ ghi số chẵn.

Gọi

A

là biến cố “rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”

B

là biến cố “cả hai thẻ rút được là thẻ chẵn”

Khi đó biến cố “tích hai số hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn” là

A

∪

B

.

Rõ ràng

A

và

B

là xung khắc nên

P AP AP AP A( ∪BBBB)=P AP AP AP A( )+P BP BP BP B( )

Mỗi lần rút đồng thời hai thẻ cho ta một tổ hợp chập 2 của 9 phần tử. Do đó, số

khơng gian mẫu là

nnnn( )Ω =CCCC92

.

Trong 9 thẻ có 4 thẻ chẳn và 5 thẻ lẻ:

Suy ra

n A

( )=

C C

41 15

và

n B

( )=

C

42

Do đó

1 1
4 5
2
9

20
( )

C C
C CC CC C
P A

P A
P A

P A

C
C
C
C

= =

;

2
4
2
9

6 1

( )

36 6

C
C
CC
P B
P BP BP B

C
C
CC

= = =

Vậy

( ) ( ) ( ) 20 1 13
36 6 18

P A B P A P B
P A B P A P B

P AP A∪BB =P AP A +P BP B = + =

.

2. Một chiếc máy có 2 động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động

cơ I và động cơ II chạy tốt tương ứng là 0,8 và 0,7. Hãy tính xác suất để:

a) Cả hai động cơ đều chạy tốt.

b) Cả hai động cơ đều khơng chạy tốt.

c) Có ít nhất một động cơ chạy tốt.

H

Hướ

ướ

ướng

ng

ng d

d

dẫ

ẫ

ẫn

n

n gi

gi

giả

ả

ảiiii

a) Gọi

A

là biến cố: “Động cơ I chạy tốt”,

B

là biến cố: “Động cơ II chạy tốt”,

C

là biến cố: “Cả hai động cơ đều chạy tốt”.

Rõ ràng

A

và

B

là hai biến cố độc lập và

C = AB

Do đó

P(C) = P(AB) = P(A)P(B) =

0,8.0,7 = 0,56

b) Gọi

D

là biến cố: “cả hai động cơ đều chạy không tốt”

Rõ ràng

DDDD= ABABABAB

Do đó:

P D

( )=

P AB

( )=

P A P B

( ) ( ) (1= −

P A

( ))(1−

P B

( )) 0,2.0,3 0,06= =

c) Gọi

E

là biến cố “Có ít nhất một động cơ chạy tốt”.

Suy ra

E

D

Do đó:

P E

( )=

P D

( ) 1= −

P D

( ) 1 0,06= − =0,94

.

To

Toá

á

án

n

n ttttự

ự

ự luy

luy

luyệệệện

n

1. Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2

viên bi. Tính xác suất để chọn được hai viên bi

a) Cùng màu.

b) Khác màu.

2. Bạn thứ nhất có một đồng tiền, bạn thứ hai có con súc sắc. Xét phép thử: bạn thứ

nhất gieo đồng tiền, sau đó bạn thứ hai gieo con súc sắc.

a) Mô tả không gian mẫu.

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

d) Biến cố

A, C

có phải là hai biến cố độc lập không? Chứng minh.

3. Cho

P(A) =

1/3

; P(B) = m

và

P A

(

B

)

=1/ 2

. Tìm

m

để:

a)

A

và

B

độc lập.

b)

A

và

B

xung khắc.

4. Cho P

(A) =

0.6 ; P(B) =

0.4. Tính

P A

(

ÈB

)

, biết

A

và

B

xung khắc.

5. Có ba bình

A, B ,C

mội bình chứa ba quả cầu trắng, ba quả cầu xanh và ba quả

cầu đỏ. Từ mỗi bình lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để

a) Ba quả cầu có màu đơi một khác nhau.

b) Hai quả cầu có cùng màu cịn quả kia khác màu.

6. Một bình chứa 16 viên bi, với 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ.

a)

Lấy ngẫu nhiên ba viên bi. Tính xác suất để:

i) Lấy được cả ba viên bi đỏ.

ii) Lấy được cả ba viên bi không đỏ.

iii) Lấy được ba viên bi có màu khác nhau.

b)

Lấy ngẫu nhiên bốn viên bi. Tính xác suất để:

i) Lấy được đúng một viên bi trắng.

ii) Lấy được đúng hai viên bi trắng.

c)

Lấy ngẫu nhiên 10 viên bi. Tính xác suất lấy được 5 viên bi trắng, 3 viên bi

đen và 2 viên bi đỏ.

7. Kết quả (

b, c

) của việc gieo con súc sắc cân đối đồng chất hai lần, trong đó

b

là số

chấm xuất hiện trong lần gieo đầu,

c

là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ 2, được

thay vào phương trình bậc hai

x

bx

+ =

c

. Tính xác suất để:

a) Phương trình vơ nghiệm.

b) Phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình có nghiệm.

8. Từ một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 20 quả cầu xanh được

đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tính xác suất sao cho quả cầu được chọn:

a) Ghi số chẵn.

b) Màu đỏ.

c) Màu đỏ và ghi số chẵn.

d) Màu xanh hoặc ghi số lẻ.

9. Có 5 nam và 5 nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh một bàn trịn. Tính xác suất sao cho.

Nam, nữ ngồi xen kẽ.

10. Từ một cổ bài 52 quân, lấy ngẫu nhiên lần lượt từng quân. Tính xác suất sao cho

con thứ 2 là con Át, nếu

a)

Lấy lần lượt khơng hồn lại.

b) Lấy lần lượt có hồn lại.

11. Ba người cùng bắn vào bia. Gọi

Ak

là biến cố “người thứ

k

bắn trúng”,

1, 2,3

k=

.

Hãy biểu diễn các biến cố sau qua biến cố

A A A1, 2, 3

:

A

: “Có ít nhất một người bắn trúng”.

B

: “Cả ba đều bắn trúng”.

Tính P(

A

), P(

B

).

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

13. Trong một bộ bài tú lơ khơ có 52 lá. Rút ngẫu nhiên cùng lúc 4 lá. Tính xác suất

để có:

a)

2 hoặc 3 lá Át.

b) Ít nhất một lá Át.

14. Xác suất bắn trúng đích của một người bắn súng là 0,6. Tính xác suất để trong ba

lần bắn độc lập người đó bắn:

a)

Trúng đích đúng một lần.

b) Khơng lần nào trúng đích.

c)

Trúng đích ít nhất một lần.

15. Có ba xạ thủ cùng bắn vào một tấm bia. Xác suất trúng đích lần lượt là 0,7 ; 0,8 ;

0,9. Tính xác suất để:

a)

Có ít nhất một người bắn trúng bia.

b) Có đúng hai người bắn trúng bia.

16. Bắn ba viên đạn một cách độc lập vào một mục tiêu. Xác suất trúng mục tiêu của

từng viên đạn tương ứng là 0,3 ; 0,4 ; 0,5. Nếu chỉ có một viên đạn trúng thì mục tiêu bị

phá hủy với xác suất là 0,6. Nếu có từ hai viên đạn trúng trở lên thì mục tiêu chắc chắn

bị phá hủy. Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy khi bắn ba viên đạn như trên.

17. Có ba bóng đèn trong một mạch điện. chúng có thể bị hỏng một cách độc lập trong

khoảng thời gian 100 giờ sáng liên tục với xác suất tương ứng là 0,1 ; 0,25 ; 0,4. Tính

xác suất để:

a) Mạch điện khơng sáng bóng nào trong thời gian 100 giờ nếu mắc ba bóng

song song.

b) Cũng câu hỏi như trên nếu mắc nối tiếp.

18. Một cửa hàng bán một sản phẩm gạch men trong đó 40% là do xưởng một sản

xuất, cịn lại là do xưởng hai sản xuất. Tỉ lệ sản phẩm loại

A

do xưởng I sản xuất là 0,8,

do xưởng II là 0,9.

a) Mua ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suất để mua được sản phẩm loại A.

b) Mua một sản phẩm từ cửa hàng và thấy đó khơng phải là sản phẩm loại A. Hỏi

sản phẩm đó có khả năng do phân xưởng nào sản suất nhiều hơn.

19. Có ba con súc sắc I, II, III. Xác suất xuất hiện mặt hiện mặt 4 chấm của con súc

sắc I là 1/6, của con súc sắc II là 2/9 và con súc sắc III là 3/17. Gieo ba con súc sắc I, II,

III. Tính xác suất để:

a)

Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 4 chấm.

b) Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 4 chấm.

c)

Trong trường hợp có 1 con súc sắc xuất hiện mặt 4 chấm. Tính xác suất để

đó là con súc sắc II.

</div>

Tai lieu on thi toan 11 HKI

i

{

{

{

{

{

{

}

{

}

<b>QUAN</b>

<b>QUAN</b>

<b>QUAN</b>

<b>QUAN H</b>

<b>H</b>

<b>H</b>

<b>HỆ</b>

<b>Ệ</b>

<b>Ệ</b>

<b>Ệ SONG</b>

<b>SONG</b>

<b>SONG</b>

<b>SONG SONG</b>

<b>SONG</b>

<b>SONG</b>

<b>SONG</b>

- Hai đường thẳng song song

- Đường thẳng song song với mặt phẳng

- Hai mặt phẳng song song

<b>I)</b>

<b>I)</b>

<b>I)</b>

<b>I) T</b>

<b>T</b>

<b>T</b>

<b>Tó</b>

<b>ó</b>

<b>ó</b>

<b>óm</b>

<b>m</b>

<b>m</b>

<b>m ttttắ</b>

<b>ắ</b>

<b>ắ</b>

<b>ắtttt llllý</b>

<b>ý</b>

<b>ý</b>

<b>ý thuy</b>

<b>thuy</b>

<b>thuy</b>

<b>thuyếếếếtttt v</b>

<b>v</b>

<b>v</b>

<b>vềềềề hai</b>

<b>hai</b>

<b>hai</b>

<b>hai đườ</b>

<b>đườ</b>

<b>đườ</b>

<b>đường</b>

<b>ng</b>

<b>ng</b>

<b>ng th</b>

<b>th</b>

<b>th</b>

<b>thẳ</b>

<b>ẳ</b>

<b>ẳ</b>

<b>ẳng</b>

<b>ng</b>

<b>ng</b>

<b>ng song</b>

<b>song</b>

<b>song</b>

<b>song song</b>

<b>song</b>

<b>song</b>

<b>song</b>

<b>Nh</b>