Bài giảng Tin học ứng dụng: Chương 5 - Lê Hữu Hùng

5.1. MA TRẬN

Chương 5

MA TRẬN
ĐỊNH THỨC

HỆ PT
TUYẾN

TÍNH

Trong thực tế ta thường gặp phải các bảng
số thống kê các số liệu. Thí dụ như bảng
thống kê về mức độ sử dụng các loại
nguyên liệu để sản xuất các loại sản
phẩm.
loại sản phẩm

1

2

...

n

1

a11

a12

...

a1n

2

a21

a22

...

a2n

...

...

...

...

...

m

am1

am2

...

amn

loại
nguyên liệu


Số

aij (i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n) là
số lượng đơn vị nguyên liệu thứ i cần
dùng để sản xuất một đơn vị sản phẩm
thứ j.
Thống kê các số aij như trên thành một
bảng số tỏ ra rất tiện lợi, nó giúp ta
nắm được nhu cầu và khả năng của sản
xuất một cách trực quan và thuận tiện.
Trong toán học, người ta gọi các bảng
số như trên là ma trận.


 1)

Ma trận: Cho m và n là 2 số nguyên dương.
Một ma trận A cấp m x n là một bảng gồm m x n
số được xếp thành m hàng và n cột, nghĩa là:
a11

�
�
a21
�
A
�...
�
am1
�

a12
a22
...
am 2

... a1n �
... a2 n �
�
... ... �
�
... amn �

aij �
viết gọn ma trận A, ta dùng kí hiệu A  �
�
�
m�n
 Số aij R gọi là phần tử nằm ở hàng thứ i và cột
thứ j của A (do đó i thường gọi là chỉ số hàng và j
gọi là chỉ số cột).

 Tập hợp tất cả ma trận cấp m x n, kí hiệu là Mmxn.
 Để


Ma

trận vng, là ma trận có số hàng bằng số
cột. Ma trận vng có n hàng và n cột gọi là
ma trận vuông cấp n.

Tập

hợp tất cả các ma trận vng cấp n, kí
hiệu là Mn.

2) Các phép tốn trên ma trận:
Ma trận bằng nhau: Hai ma trận A, B  Mmxn
gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B, nếu
( A)ij  (B)ij , i  1, m; j  1, n.


Nhân

một số với ma trận
Cho A Mmxn và k  R. Tích của k với A, kí hiệu
kA, là ma trận cấp m x n, xác định bởi:
(kA)ij  k( A)ij , i=1,m; j=1,n.
Ví dụ 5.1 vd5-1.ppt
Qui ước: (-1)A viết thành -A và gọi là ma trận
đối của A.

Phép cộng ma trận. Cho A, B Mmxn. Tổng
của A và B, kí hiệu A + B, là ma trận cấp mxn,
xác định bởi:
(A  B)ij  (A)ij  (B)ij , i=1,m; j=1,n.
Ví

dụ 5.2


Định

nghĩa: Hiệu của hai ma trận cùng
cấp A và B, kí hiệu A - B, được xác định:
A  B  A  ( B)
Nhân hai ma trận. Cho AMmxn và
BMnxr (số cột của A bằng số hàng của
B). Tích của A và B, kí hiệu AB, là ma trận
cấp m x r, xácn định bởi:
( AB)ij  �( A)ik (B)kj , i=1,m; j=1,r.
k1

Sơ

đồ:

Ví dụ 5.3

vd5-3.ppt

 Chú

ý:
 Thông thường AB  BA khi chúng cùng xác
định,
 Nếu ab = 0 với a, b  R thì a = 0 hoặc b =
0. Nhưng tích ma trận AB = 0 chưa kết luận
được A = 0 hoặc B = 0, vì dễ dàng tìm thấy
hai ma trận khác ma trận khơng mà tích của
1 0  hạn:
 4 1 chẳng
 0 0
chúng là ma trận không,


 

 0 0   4 0   0 0 

 Chuyển

vị ma trận. Cho AMmxn. Ma trận
chuyển vị của A, kí hiệu AT, là ma trận cấp
nxm nhận được
T từ A bằng cách đổi hàng
A
  A ji , i  1, m; j  1, n.


ij

thành cột, tức là:


Giải toán ma trận trên EXCEL
Xét các ma trận A, B và C ở bảng tính sau:

1. Lập ma trận chuyển vị (Transpose Matrix) của A: AT
Các bước thực hiện:
Quét chọn khối ma trận A (vùng A3:D5)
Thực hiện lệnh Edit – Copy (hoặc gõ
Ctrl+C)
Chọn vị trí lập ma trận chuyển vị (ô A15)
Dùng lệnh Edit – Paste Special.
Xuất hiện hộp thoại.
Chọn Transpose, và OK.


Ta có kết quả:

2. Nhân (multiply) hai ma trận A và B: A.B
Các bước thực hiện:
Chọn vị trí lập ma trận tích (ơ A27)
Dùng lệnh MMULT (hoặc Click biểu tượng

trên Toolbar. Chọn
Math & Trig, rồi chọn lệnh MMULT). Xuất hiện hộp thoại:


Chọn vùng xác định ma trận A (A3:D5) trong khung
Array1; Chọn vùng xác định ma trận B (F3:H6) trong

khung Array2.
 Click OK.


Lưu ý: Sau khi Click OK, tại vị trí con trỏ ô hiện hành (ô
A27) chỉ xuất hiện số hạng ở dòng 1, cột 1 của ma trận AB.
Để hiển thị toàn bộ ma trận AB, ta phải quét chọn khối xuất
hiện của AB (3 dòng và 3 cột, vì A cấp 3x3 – B cấp 4x3), bắt
đầu từ số đầu tiên vừa xuất hiện. Tiếp đến gõ F2, rồi thực hiện
đồng thời: Ctrl + Shift + Enter.

Ta có kết quả:

tich-chvi matran.xls


5.2. ĐỊNH THỨC

Khái niệm định thức xuất hiện đầu tiên gắn với việc
giải hệ phương trình đại số tuyến tính có số phương
trình bằng số ẩn. Hệ này có một nghiệm duy nhất khi
và chỉ khi định thức của ma trận tương ứng với hệ
phương trình này khác 0.
Ví dụ hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn:

có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận vuông:

định thức của nó là: det(A)=ad-bc

Nếu

Nếu

det(A)  0, hệ có nghiệm duy nhất:

det(A) = 0 hệ có thể có vơ số nghiệm
hoặc khơng có nghiệm nào.
Có nhiều cách định nghĩa định thức và trong
giáo trình này, định thức được xây dựng
trên phép hoán vị.
1. Hoán vị Xét n số tự nhiên 1, 2, 3, ..., n.
Một cách sắp xếp các số 1, 2, 3, ..., n theo
một thứ tự nào đó được gọi là một hốn vị
của n số đó.
Các hốn vị của 3 số 1, 2, 3 là:
(1 2 3), (1 3 2), (2 1 3), (2 3 1), (3 1 2), (3 2 1).


Kí

hiệu Sn là tập hợp tất cả các hốn vị của n
số 1, 2, 3, ..., n. Tập Sn có n! phần tử. Chẳng
hạn tập S2 có 2! = 2 phần tử, tập S3 có 3! = 6
phần tử.
2. Nghịch thế
Trong hoán vị (1 2 ... n) của n số tự nhiên,
ta nói  i tạo với  j một nghịch thế nếu i < j
mà  i >  j.
Hay

nói cách khác, trong một hốn vị số lớn
hơn đứng trước số nhỏ hơn tạo thành một
nghịch thế.
Tổng số nghịch thế trong hốn vị (1 2 ... n),
kí hiệu là N( 1  2 ...  n).


3.

Định nghĩa Định thức
Cho ma trận vuông cấp n A = [aij]nxn.
Định thức của A, kí hiệu detA hay A,
là một số thực được xác định như sau:

det A 

�
 

(

trong

�

1 2 ... n )�Sn

(1)N (12 ... n )a11 a22 ...an n

đó

(α1α2 ...αn )�Sn

chỉtổ
ng chạy qua n! hoá
n vịcủ
a Sn , vàaiαi
làphầ
n tửnằ
m ởhà
ng i vàcộ
t αi củ
a A.


a11 a12 �
�
Ví du 5.6 Cho A  �
�
a
a
�21 22 �

Ta có S2 = {(1 2),(2 1)} 

detA =(-1)N(12)a11a22 + (-1)N(21)a12a21
= a11a22 - a12a21.
Vậy:

a11 a12
 a11a22  a12a21
a21 a22
(Công thức tính định thức cấp 2)

Chẳ
ng hạn

1

2

1 4

 4  (2)  6.

Ví du 5.7 Tính định thức cấp 3.


4. Ứng dụng của định thức: Ma trận nghịch
đảo
Một số định nghĩa:
a) Cho A = (aij)n. Trong A, bỏ đi các hàng và cột
chứa phần tử aij (tức là bỏ hàng thứ i và cột
thứ j). Phần còn lại tạo một ma trận vng cấp
n-1, định thức của nó được gọi là định thức con
bù của phần tử aij, và ký hiệu là  ij.
Đại lượng Aij ( 1) i  j  ij
được gọi là phần bù đại số của aij.
Ví dụ 5.8

4
2 3
2 3


A  1  2 1    23 
,
0 5
 0 5  3

A23 ( 1) 2 3  23  10


b)

Cho MT vuông cấp n: A = (aij)n và Aij
là phần bù đại số của aij. Ta lập ma trận
 A11
A
~  12
A
 ...

 A1n

A21
A22

...
...

...
A2 n

...
...

An1 
An 2 
... 

Ann 

%gọi làma trậ
A
n phụhợp củ
a A.
c)

Ma trận vng A gọi là không suy
biến nếu

detA  0.
d) Cho AMn. Nếu tồn tại ma trận B sao
cho

AB = BA = In
thì

B gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí

Tính định thức & tìm MT nghịch đảo
trên EXCEL
Xét ma trận C ở bảng tính sau:

1. Tính định thức của ma trận vng
Để tính định thức của ma trận (Matrix determinant)
vng C (detC), ta thực hiện các bước:
Chọn vị trí tính định thức (ơ F3).
Dùng lệnh MDETERM (hoặc Click biểu tượng
trên Toolbar. Chọn Math & Trig, rồi chọn lệnh
MDETERM).


Xuất hiện hộp thoại:


Chọn vùng xác định ma trận C (A2:C4) trong
khung Array.
Click OK.
Kết quả:


2. Lập ma trận nghịch đảo (Inverse Matrix)
Để lập ma trận nghịch đảo (Inverse Matrix) của C (C-1)
ta thực hiện các bước sau:
Chọn vị trí lập ma trận nghịch đảo (ô A7)
Dùng lệnh MINVERSE (hoặc Click biểu tượng trên
Toolbar. Chọn Math & Trig, rồi chọn lệnh Minverse).

Xuất hiện hộp thoại:


Chọn

vùng xác định ma trận C (A2:C4) trong
khung Array.
Click OK.
Lưu ý: Sau khi Click OK, tại vị trí con trỏ ô hiện hành
(ô A7) chỉ xuất hiện số hạng ở dịng 1, cột 1 của C-1.
Để hiển thị tồn bộ ma trận C-1, ta phải quét chọn khối
xuất hiện của C-1(3 dòng và 3 cột), bắt đầu từ số đầu
tiên vừa xuất hiện (ở đây ta quét chọn khối A7:C9).
Tiếp đến gõ F2, rồi thực hiện đồng thời: Ctrl + Shift
+ Enter. Ta có kết quả:

dthuc-ngdao matran.xls


5.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
TÍNH
Định nghĩa 1. Một hệ gồm m phương trình tuyến
tính đối với n ẩn số x1, x2, …, xn dạng

� a11 x1  a12 x2  ...  a1nxn  b1
� a x  a x  ...  a x  b
� 21 1 22 2
2n n
2
�

................................................
�
�
�am1 x1  am2 x2  ...  amnxn  bm

(1)

gọi là hệ phương trình tuyến tính.
Nếu b1= b2=… =bm= 0 thì hệ (1) gọi là hệ thuần
nhất;
Ngược lại, nếu  i {1, 2, …, m}: bi  0 thì hệ (1)
gọi là hệ khơng thuần nhất.


Định nghĩa 2.
Nghiệm của hệ (1) là mọi bộ số (x 1, x2, …, xn)
thoả mãn tất cả các phương trình của hệ.
Hệ (1) được gọi là tương thích nếu nó có
nghiệm, gọi là xác định nếu có một nghiệm
duy nhất và khơng xác định (hay vơ định)
nếu hệ có nhiều hơn một nghiệm. Trong
trường hợp hệ khơng có nghiệm ta nói hệ
khơng tương thích hay hệ vơ nghiệm.
Hai hệ phương trình tuyến tính gọi là tương
đương nếu nó có cùng chung nghiệm hoặc
cùng vô nghiệm.


Giải hệ PT tuyến tính trên EXCEL
Dùng

lệnh Solver trong Data tab | Analysis group
của Excel. Nếu trong trường hợp trong Analysis
group chưa có lệnh này, ta thực hiện các thao tác
sau:
Vào: File tab|
options |
Add-Ins…bấm
(excel add-in) Go